1、2018年 湖 南 省 长 沙 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (在 下 列 各 题 的 四 个 选 项 中 ,只 有 一 项 是 符 合 要 求 的 ,请 在 答 题 卡 中 填 涂 符 合 题 意的 选 项 ,本 大 题 共 12个 小 题 ,每 小 题 3 分 ,共 36 分 )1. -2的 相 反 数 是 ( )A.-2B.- 12C.2D. 12解 析 ： 根 据 只 有 符 号 不 同 的 两 个 数 互 为 相 反 数 ， 可 得 答 案 . 答 案 ： C.2.据 统 计 ， 2017年 长 沙 市 地 区 生 产 总 值 约 为 10200 亿 元 ， 经 济
2、总 量 迈 入 “ 万 亿 俱 乐 部 ” ， 数据 10200 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.0.102 105B.10.2 103C.1.02 104D.1.02 10 3解 析 ： 10200=1.02 104.答 案 ： C.3.下 列 计 算 正 确 的 是 ( )A.a2+a3=a5B.3 2 2 2 =1C.(x 2)3=x5D.m5 m3=m2解 析 ： 直 接 利 用 合 并 同 类 项 法 则 以 及 幂 的 乘 方 运 算 法 则 、 同 底 数 幂 的 乘 除 运 算 法 则 分 别 计 算得 出 答 案 .答 案 ： D.4.下 列 长 度 的 三 条
3、 线 段 ， 能 组 成 三 角 形 的 是 ( )A.4cm， 5cm， 9cmB.8cm， 8cm， 15cmC.5cm， 5cm， 10cmD.6cm， 7cm， 14cm解 析 ： 结 合 “ 三 角 形 中 较 短 的 两 边 之 和 大 于 第 三 边 ” ， 分 别 套 入 四 个 选 项 中 得 三 边 长 ， 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： B.5.下 列 四 个 图 形 中 ， 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( ) A.B.C.D. 解 析 ： A、 是 轴 对 称 图 形 ， 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 正
4、确 ；B、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；C、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ；D、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 .答 案 ： A.6.不 等 式 组 2 02 4 0 xx 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 正 确 的 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： 解 不 等 式 x+2 0， 得 ： x -2，解 不 等 式 2x-4 0， 得 ： x 2，则 不 等 式 组 的 解 集 为 -2 x 2，将 解
5、集 表 示 在 数 轴 上 如 下 ： 答 案 ： C. 7.将 下 列 如 图 的 平 面 图 形 绕 轴 l 旋 转 一 周 ， 可 以 得 到 的 立 体 图 形 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： 根 据 面 动 成 体 以 及 圆 台 的 特 点 进 行 逐 一 分 析 ， 能 求 出 结 果 .答 案 ： D. 8.下 列 说 法 正 确 的 是 ( )A.任 意 掷 一 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 10 次 ， 一 定 有 5 次 正 面 向 上B.天 气 预 报 说 “ 明 天 的 降 水 概 率 为 40%” ， 表 示 明 天 有 40%的 时 间 都 在 降 雨C
6、.“ 篮 球 队 员 在 罚 球 线 上 投 篮 一 次 ， 投 中 ” 为 随 机 事 件D.“ a是 实 数 ， |a| 0” 是 不 可 能 事 件解 析 ： 直 接 利 用 概 率 的 意 义 以 及 随 机 事 件 的 定 义 分 别 分 析 得 出 答 案 .答 案 ： C.9.估 计 10 +1的 值 是 ( )A.在 2和 3之 间B.在 3和 4之 间 C.在 4和 5之 间D.在 5和 6之 间解 析 ： 应 先 找 到 所 求 的 无 理 数 在 哪 两 个 和 它 接 近 的 整 数 之 间 ， 然 后 判 断 出 所 求 的 无 理 数 的 范围 .答 案 ： C.1
7、0.小 明 家 、 食 堂 、 图 书 馆 在 同 一 条 直 线 上 ， 小 明 从 家 去 食 堂 吃 早 餐 ， 接 着 去 图 书 馆 读 报 ，然 后 回 家 ， 如 图 反 映 了 这 个 过 程 中 ， 小 明 离 家 的 距 离 y 与 时 间 x 之 间 的 对 应 关 系 .根 据 图 象 ，下 列 说 法 正 确 的 是 ( ) A.小 明 吃 早 餐 用 了 25minB.小 明 读 报 用 了 30minC.食 堂 到 图 书 馆 的 距 离 为 0.8kmD.小 明 从 图 书 馆 回 家 的 速 度 为 0.8km/min解 析 ： 小 明 吃 早 餐 用 了 (
8、25-8)=17min， A 错 误 ；小 明 读 报 用 了 (58-28)=30min， B 正 确 ；食 堂 到 图 书 馆 的 距 离 为 (0.8-0.6)=0.2km， C错 误 ；小 明 从 图 书 馆 回 家 的 速 度 为 0.8 10=0.08km/min， D错 误 .答 案 ： B.11.我 国 南 宋 著 名 数 学 家 秦 九 韶 的 著 作 数 书 九 章 里 记 载 有 这 样 一 道 题 ： “ 问 有 沙 田 一 块 ，有 三 斜 ， 其 中 小 斜 五 里 ， 中 斜 十 二 里 ， 大 斜 十 三 里 ， 欲 知 为 田 几 何 ？ ” 这 道 题 讲
9、的 是 ： 有 一块 三 角 形 沙 田 ， 三 条 边 长 分 别 为 5 里 ， 12里 ， 13里 ， 问 这 块 沙 田 面 积 有 多 大 ？ 题 中 “ 里 ” 是 我 国 市 制 长 度 单 位 ， 1里 =500米 ， 则 该 沙 田 的 面 积 为 ( )A.7.5平 方 千 米B.15平 方 千 米C.75平 方 千 米D.750平 方 千 米解 析 ： 直 接 利 用 勾 股 定 理 的 逆 定 理 进 而 结 合 直 角 三 角 形 面 积 求 法 得 出 答 案 .答 案 ： A.12.若 对 于 任 意 非 零 实 数 a， 抛 物 线 y=ax 2+ax-2a总
10、不 经 过 点 P(x0-3， x02-16)， 则 符 合 条 件 的点 P( )A.有 且 只 有 1 个B.有 且 只 有 2 个C.有 且 只 有 3 个D.有 无 穷 多 个解 析 ： 根 据 题 意 可 以 得 到 相 应 的 不 等 式 ， 然 后 根 据 对 于 任 意 非 零 实 数 a， 抛 物 线 y=ax2+ax-2a总 不 经 过 点 P(x 0-3， x02-16)， 即 可 求 得 点 P的 坐 标 ， 从 而 可 以 解 答 本 题 . 答 案 ： B.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 6 个 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 18分 )13.化 简
11、： 11 1mm m =_.解 析 ： 原 式 = 11mm =1.答 案 ： 1.14.某 校 九 年 级 准 备 开 展 春 季 研 学 活 动 ， 对 全 年 级 学 生 各 自 最 想 去 的 活 动 地 点 进 行 了 调 查 ，把 调 查 结 果 制 成 了 如 下 扇 形 统 计 图 ， 则 “ 世 界 之 窗 ” 对 应 扇 形 的 圆 心 角 为 _度 . 解 析 ： “ 世 界 之 窗 ” 对 应 扇 形 的 圆 心 角 =360 (1-10%-30%-20%-15%)=90 .答 案 ： 90.15.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 将 点 A (-2， 3)向 右
12、 平 移 3个 单 位 长 度 ， 再 向 下 平 移 2 个 单 位 长度 ， 那 么 平 移 后 对 应 的 点 A 的 坐 标 是 _.解 析 ： 将 点 A (-2， 3)向 右 平 移 3 个 单 位 长 度 ， 得 到 (1， 3)， 再 向 下 平 移 2个 单 位 长 度 ， 平 移 后 对 应 的 点 A 的 坐 标 是 ： (1， 1).答 案 ： (1， 1).16.掷 一 枚 质 地 均 匀 的 正 方 体 骰 子 ， 骰 子 的 六 个 面 上 分 别 刻 有 1 到 6的 点 数 ， 掷 得 面 朝 上 的点 数 为 偶 数 的 概 率 是 _. 解 析 ： 先 统
13、 计 出 偶 数 点 的 个 数 ， 再 根 据 概 率 公 式 解 答 .答 案 ： 正 方 体 骰 子 共 六 个 面 ， 点 数 为 1， 2， 3， 4， 5， 6， 偶 数 为 2， 4， 6，故 点 数 为 偶 数 的 概 率 为 3 16 2 .17.已 知 关 于 x 方 程 x2-3x+a=0有 一 个 根 为 1， 则 方 程 的 另 一 个 根 为 _.解 析 ： 设 方 程 的 另 一 个 根 为 m，根 据 题 意 得 ： 1+m=3，解 得 ： m=2.答 案 ： 2.18.如 图 ， 点 A， B， D 在 O上 ， A=20 ， BC 是 O的 切 线 ， B
14、为 切 点 ， OD的 延 长 线 交 BC于 点 C， 则 OCB=_度 . 解 析 ： A=20 ， BOC=40 ， BC 是 O的 切 线 ， B 为 切 点 ， OBC=90 ， OCB=90 -40 =50 .答 案 ： 50.三 、 解 答 题 (本 大 题 共 8 个 小 题 ， 第 19、 20 题 每 小 题 6 分 ， 第 21、 22题 每 小 题 6分 ， 第 22、23 题 每 小 题 6 分 ， 第 25、 26 题 每 小 题 6 分 ， 共 66 分 。 解 答 时 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明过 程 或 演 算 步 骤 )19.计 算 ：
15、(-1) 2018- 8 +( -3)0+4cos45 .解 析 ： 本 题 涉 及 零 指 数 幂 、 乘 方 、 二 次 根 式 化 简 和 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 4 个 考 点 .在 计 算 时 ，需 要 针 对 每 个 考 点 分 别 进 行 计 算 ， 然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计 算 结 果 .答 案 ： 原 式 =1-2 2 +1+4 22 =1-2 2 +1+2 2 =2.20.先 化 简 ， 再 求 值 ： (a+b) 2+b(a-b)-4ab， 其 中 a=2， b=- 12 .解 析 ： 首 先 计 算 完 全 平 方 ， 计 算
16、单 项 式 乘 以 多 项 式 ， 然 后 再 合 并 同 类 项 ， 化 简 后 ， 再 代 入 a、b的 值 ， 进 而 可 得 答 案 .答 案 ： 原 式 =a2+2ab+b2+ab-b2-4ab=a2-ab，当 a=2， b=- 12 时 ， 原 式 =4+1=5.21.为 了 了 解 居 民 的 环 保 意 识 ， 社 区 工 作 人 员 在 光 明 小 区 随 机 抽 取 了 若 干 名 居 民 开 展 主 题 为“ 打 赢 蓝 天 保 卫 战 ” 的 环 保 知 识 有 奖 问 答 活 动 ， 并 用 得 到 的 数 据 绘 制 了 如 图 条 形 统 计 图 (得分 为 整
17、数 ， 满 分 为 10分 ， 最 低 分 为 6 分 ) 请 根 据 图 中 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：(1)本 次 调 查 一 共 抽 取 了 _名 居 民 ；(2)求 本 次 调 查 获 取 的 样 本 数 据 的 平 均 数 、 众 数 和 中 位 数 ； (3)社 区 决 定 对 该 小 区 500名 居 民 开 展 这 项 有 奖 问 答 活 动 ， 得 10 分 者 设 为 “ 一 等 奖 ” ， 请 你根 据 调 查 结 果 ， 帮 社 区 工 作 人 员 估 计 需 准 备 多 少 份 “ 一 等 奖 ” 奖 品 ？解 析 ： (1)根 据 总 数 =个 体 数
18、量 之 和 计 算 即 可 ；(2)根 据 平 均 数 、 总 数 、 中 位 数 的 定 义 计 算 即 可 ；(3)利 用 样 本 估 计 总 体 的 思 想 解 决 问 题 即 可 ；答 案 ： (1)共 抽 取 ： 4+10+15+11+10=50(人 )；(2)平 均 数 = 150 (4 6+10 7+15 8=11 9+10 10)=8.26；众 数 ： 得 到 8 分 的 人 最 多 ， 故 众 数 为 8.中 位 数 ： 由 小 到 大 排 列 ， 知 第 25， 26 平 均 分 为 8 分 ， 故 中 位 数 为 8 分 ；(3)得 到 10分 占 10 50=20%，故
19、 500人 时 ， 需 要 一 等 奖 奖 品 500 20%=100(份 ). 22.为 加 快 城 乡 对 接 ， 建 设 全 域 美 丽 乡 村 ， 某 地 区 对 A、 B两 地 间 的 公 路 进 行 改 建 .如 图 ， A、B 两 地 之 间 有 一 座 山 .汽 车 原 来 从 A 地 到 B 地 需 途 径 C 地 沿 折 线 ACB 行 驶 ， 现 开 通 隧 道 后 ，汽 车 可 直 接 沿 直 线 AB行 驶 .已 知 BC=80千 米 ， A=45 ， B=30 .(1)开 通 隧 道 前 ， 汽 车 从 A 地 到 B 地 大 约 要 走 多 少 千 米 ？(2)开
20、 通 隧 道 后 ， 汽 车 从 A地 到 B 地 大 约 可 以 少 走 多 少 千 米 ？ (结 果 精 确 到 0.1千 米 )(参 考 数据 ： 2 141， 3 1.73) 解 析 ： (1)过 点 C 作 AB的 垂 线 CD， 垂 足 为 D， 在 直 角 ACD 中 ， 解 直 角 三 角 形 求 出 CD， 进 而解 答 即 可 ；(2)在 直 角 CBD 中 ， 解 直 角 三 角 形 求 出 BD， 再 求 出 AD， 进 而 求 出 汽 车 从 A 地 到 B地 比 原 来少 走 多 少 路 程 .答 案 ： (1)过 点 C 作 AB 的 垂 线 CD， 垂 足 为
21、D， AB CD， sin30 =CDBC ， BC=80 千 米 ， CD=BC sin30 =80 12 =40(千 米 )，AC= 40 40 2sin 45 22CD (千 米 )， AC+BC=80+40 2 40 1.41+80=136.4(千 米 )，答 ： 开 通 隧 道 前 ， 汽 车 从 A 地 到 B地 大 约 要 走 136.4千 米 ；(2) cos30 = BDBC ， BC=80(千 米 )， BD=BC cos30 =80 32 =40 3 (千 米 )， tan45 =CDAD ， CD=40(千 米 )， AD= 40tan 45 1CD =40(千 米 )
22、， AB=AD+BD=40+40 3 40+40 1.73=109.2(千 米 )， 汽 车 从 A地 到 B 地 比 原 来 少 走 多 少 路 程 为 ： AC+BC-AB=136.4-109.2=27.2(千 米 ).答 ： 汽 车 从 A 地 到 B地 比 原 来 少 走 的 路 程 为 27.2千 米 .23.随 着 中 国 传 统 节 日 “ 端 午 节 ” 的 临 近 ， 东 方 红 商 场 决 定 开 展 “ 欢 度 端 午 ， 回 馈 顾 客 ” 的让 利 促 销 活 动 ， 对 部 分 品 牌 粽 子 进 行 打 折 销 售 ， 其 中 甲 品 牌 粽 子 打 八 折 ，
23、乙 品 牌 粽 子 打 七 五折 ， 已 知 打 折 前 ， 买 6 盒 甲 品 牌 粽 子 和 3 盒 乙 品 牌 粽 子 需 600 元 ； 打 折 后 ， 买 50 盒 甲 品 牌粽 子 和 40 盒 乙 品 牌 粽 子 需 要 5200元 .(1)打 折 前 甲 、 乙 两 种 品 牌 粽 子 每 盒 分 别 为 多 少 元 ？(2)阳 光 敬 老 院 需 购 买 甲 品 牌 粽 子 80盒 ， 乙 品 牌 粽 子 100盒 ， 问 打 折 后 购 买 这 批 粽 子 比 不 打折 节 省 了 多 少 钱 ？解 析 ： (1)设 打 折 前 甲 品 牌 粽 子 每 盒 x 元 ， 乙
24、品 牌 粽 子 每 盒 y元 ， 根 据 “ 打 折 前 ， 买 6 盒 甲品 牌 粽 子 和 3盒 乙 品 牌 粽 子 需 600元 ； 打 折 后 ， 买 50 盒 甲 品 牌 粽 子 和 40 盒 乙 品 牌 粽 子 需 要5200元 ” ， 即 可 得 出 关 于 x、 y的 二 元 一 次 方 程 组 ， 解 之 即 可 得 出 结 论 ； (2)根 据 节 省 钱 数 =原 价 购 买 所 需 钱 数 -打 折 后 购 买 所 需 钱 数 ， 即 可 求 出 节 省 的 钱 数 .答 案 ： (1)设 打 折 前 甲 品 牌 粽 子 每 盒 x 元 ， 乙 品 牌 粽 子 每 盒
25、y 元 ，根 据 题 意 得 ： 6 3 60050 0.8 40 0.75 5200 x yx y ，解 得 ： 40120 xy .答 ： 打 折 前 甲 品 牌 粽 子 每 盒 40元 ， 乙 品 牌 粽 子 每 盒 120 元 .(2)80 40+100 120-80 0.8 40-100 0.75 120=3640(元 ).答 ： 打 折 后 购 买 这 批 粽 子 比 不 打 折 节 省 了 3640 元 .24.如 图 ， 在 ABC 中 ， AD 是 边 BC 上 的 中 线 ， BAD= CAD， CE AD， CE 交 BA 的 延 长 线 于 点 E， BC=8， AD=
26、3. (1)求 CE 的 长 ；(2)求 证 ： ABC为 等 腰 三 角 形 .(3)求 ABC的 外 接 圆 圆 心 P 与 内 切 圆 圆 心 Q之 间 的 距 离 .解 析 ： (1)证 明 AD 为 BCE的 中 位 线 得 到 CE=2AD=6；(2)通 过 证 明 ABD CAD得 到 AB=AC；(3)如 图 ， 连 接 BP、 BQ、 CQ， 先 利 用 勾 股 定 理 计 算 出 AB=5， 设 P 的 半 径 为 R， Q 的 半 径为 r， 在 Rt PBD中 利 用 勾 股 定 理 得 到 (R-3) 2+42=R2， 解 得 R= 256 ， 则 PD= 76 ，
27、再 利 用 面 积 法求 出 r= 43 ， 即 QD= 43 ， 然 后 计 算 PD+QD即 可 .答 案 ： (1)解 ： AD是 边 BC 上 的 中 线 ， BD=CD， CE AD， AD 为 BCE的 中 位 线 ， CE=2AD=6；(2)证 明 ： BD=CD， BAD= CAD， AD=AD， ABD CAD， AB=AC， ABC为 等 腰 三 角 形 . (3)如 图 ， 连 接 BP、 BQ、 CQ， 在 Rt ABD中 ， AB= 2 23 4 =5，设 P的 半 径 为 R， Q 的 半 径 为 r，在 Rt PBD中 ， (R-3)2+42=R2， 解 得 R=
28、 256 ， PD=PA-AD= 256 -3= 76 ， S ABQ+S BCQ+S ACQ=S ABC， 12 r 5+ 12 r 8+ 12 r 5= 12 3 8， 解 得 r= 43 ，即 QD= 43 ， PQ=PD+QD= 7 4 56 3 2 .答 ： ABC的 外 接 圆 圆 心 P 与 内 切 圆 圆 心 Q之 间 的 距 离 为 52 .25.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 函 数 y= mx (m为 常 数 ， m 1， x 0)的 图 象 经 过 点 P(m， 1)和 Q(1， m)， 直 线 PQ 与 x 轴 ， y 轴 分 别 交 于 C
29、， D 两 点 ， 点 M(x， y)是 该 函 数 图 象 上 的 一个 动 点 ， 过 点 M分 别 作 x轴 和 y 轴 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 A， B.(1)求 OCD的 度 数 ；(2)当 m=3， 1 x 3时 ， 存 在 点 M使 得 OPM OCP， 求 此 时 点 M的 坐 标 ； (3)当 m=5 时 ， 矩 形 OAMB与 OPQ的 重 叠 部 分 的 面 积 能 否 等 于 4.1？ 请 说 明 你 的 理 由 .解 析 ： (1)想 办 法 证 明 OC=OD 即 可 解 决 问 题 ；(2)设 M(a， 3a )， 由 OPM OCP， 推 出 OP
30、OM PMOC OP CP ， 由 此 构 建 方 程 求 出 a， 再 分类 求 解 即 可 解 决 问 题 ；(3)不 存 在 分 三 种 情 形 说 明 ： 当 1 x 5 时 ， 如 图 1 中 ； 当 x 1 时 ， 如 图 2 中 ； 当 x 5 时 ， 如 图 3中 ；答 案 ： (1)设 直 线 PQ的 解 析 式 为 y=kx+b， 则 有 1km bk b m ，解 得 1 1kb m ， y=-x+m+!，令 x=0， 得 到 y=m+1， D(0， m+1)，令 y+0， 得 到 x=m+1， C(m+1， 0)， OC=OD， COD=90 ， OCD=45 .(2)
31、设 M(a， 3a )， OPM OCP， OP OM PMOC OP CP ， OP 2=OC OM，当 m=3时 ， P(3， 1)， C(4， 0)，OP2=32+12=10， OC=4， OM= 2 29a a ， 104OPOC ， 10=4 2 29a a ， 4a 4-25a2+36=0，(4a2-9)(a2-4)=0， a= 32 ， a= 2， 1 a 3， a= 32 或 2，当 a= 32 时 ， M( 32 ， 2)， PM= 132 ， CP= 2 ， 13 1042 2PMCP (舍 弃 )，当 a=2时 ， M(2， 32 )， PM= 52 ， CP= 2 ，
32、5 1042 2PMCP ， 成 立 ， M(2， 32 ).(3)不 存 在 .理 由 如 下 ：当 m=5时 ， P(5， 1)， Q(1， 5)， 设 M(x， 5x )，OP的 解 析 式 为 ： y= 15 x， OQ的 解 析 式 为 y=5x， 当 1 x 5 时 ， 如 图 1中 ， E( 1x ， 5x )， F(x， 15 x)，S=S 矩 形 OAMB-S OAF-S OBE=5- 12 x 15 x- 12 1x 5x =4.1，化 简 得 到 ： x4-9x2+25=0， O， 没 有 实 数 根 . 当 x 1 时 ， 如 图 2 中 ， S=S OGH S OAM
33、=2.5， 不 存 在 ， 当 x 5 时 ， 如 图 3 中 ， S=S OTS S OBM=2.5， 不 存 在 ，综 上 所 述 ， 不 存 在 .26.我 们 不 妨 约 定 ： 对 角 线 互 相 垂 直 的 凸 四 边 形 叫 做 “ 十 字 形 ” . (1) 在 “ 平 行 四 边 形 ， 矩 形 ， 菱 形 ， 正 方 形 ” 中 ， 一 定 是 “ 十 字 形 ” 的 有 _； 在 凸 四 边 形 ABCD 中 ， AB=AD 且 CB CD， 则 该 四 边 形 _“ 十 字 形 ” .(填 “ 是 ” 或 “ 不 是 ” )(2)如 图 1， A， B， C， D 是
34、半 径 为 1的 O上 按 逆 时 针 方 向 排 列 的 四 个 动 点 ， AC与 BD交 于 点E， ADB- CDB= ABD- CBD， 当 6 AC2+BD2 7 时 ， 求 OE 的 取 值 范 围 ；(3)如 图 2， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 抛 物 线 y=ax2+bx+c(a， b， c 为 常 数 ， a 0， c 0)与 x 轴 交 于 A， C 两 点 (点 A 在 点 C 的 左 侧 )， B 是 抛 物 线 与 y 轴 的 交 点 ， 点 D 的 坐 标 为 (0，-ac)， 记 “ 十 字 形 ” ABCD 的 面 积 为 S， 记 AO
35、B， COD， AOD， BOC 的 面 积 分 别 为 S1，S 2， S3， S4.求 同 时 满 足 下 列 三 个 条 件 的 抛 物 线 的 解 析 式 ； 1 2S S S ； 3 4S S S ； “ 十 字 形 ” ABCD的 周 长 为 12 10 .解 析 ： (1)利 用 “ 十 字 形 ” 的 定 义 判 断 即 可 ；(2)先 判 断 出 ADB+ CAD= ABD+ CAB， 进 而 判 断 出 AED= AEB=90 ， 即 ： AC BD， 再 判断 出 四 边 形 OMEN是 矩 形 ， 进 而 得 出 OE2=2- 14 (AC2+BD2)， 即 可 得 出
36、 结 论 ；(3)由 题 意 得 ， A( 2b a ， 0)， B(0， c)， C( 2b a ， 0)， D(0， -ac)， 求 出 S= 12 AC BD=- 12 (ac+c) a ， S1= 12 OA OB=- ( )4c b ， S2= 12 OC OD=- ( )4c b ， S3= 12 OA OD= ( )4c b ， S4= 12 OB OC= ( )4c b ， 进 而 建 立 方 程2 24( ) ( ) ( ) ( )4c b c b c b c ba a ， 求 出 a=1， 再 求 出 b=0，进 而 判 断 出 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， 求 出
37、 AD=3 10 ， 进 而 求 出 c=-9， 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1) 菱 形 ， 正 方 形 的 对 角 线 互 相 垂 直 ， 菱 形 ， 正 方 形 是 ： “ 十 字 形 ” ， 平 行 四 边 形 ， 矩 形 的 对 角 线 不 一 定 垂 直 ， 平 行 四 边 形 ， 矩 形 不 是 “ 十 字 形 ” ； 如 图 ，当 CB=CD 时 ， 在 ABC和 ADC中 ， AB ADCB CDAC AC ， ABC ADC(SSS)， BAC= DAC， AB=AD， AC BD， 当 CB CD时 ， 四 边 形 ABCD不 是 “ 十 字 形 ” ；(2)
38、 ADB+ CBD= ABD+ CDB， CBD= CDB= CAB， ADB+ CAD= ABD+ CAB， 180 - AED=180 - AEB， AED= AEB=90 ， AC BD，过 点 O作 OM AC于 M， ON BD于 N， 连 接 OA， OD， OA=OD=1， OM 2=OA2-AM2， ON2=OD2-DN2， AM= 12 AC， DN= 12 BD， 四 边 形 OMEN是 矩 形 ， ON=ME， OE2=OM2+ME2， OE2=OM2+ON2=2- 14 (AC2+BD2)， 6 AC2+BD2 7， 2- 74 OE2 2- 32 ， 12 OE2 1
39、2 ， 12 OE 22 (OE 0)；(3)由 题 意 得 ， A( 2b a ， 0)， B(0， c)， C( 2b a ， 0)， D(0， -ac)， a 0， c 0， OA= 2 ba ， OB=-c， OC= 2 ba ， OD=-ac， AC= a ， BD=-ac-c， S= 12 AC BD=- 12 (ac+c) a ， S1= 12 OA OB=- ( )4c b ， S2= 12 OC OD=- ( )4c b ，S3= 12 OA OD= ( )4c b ， S4= 12 OB OC= ( )4c b ， 1 2S S S ， 3 4S S S ， 2 24( ) ( ) ( ) ( )4c b c b c b c ba a ， 4a =2， a=1， S=-c ， S1=- ( )4c b ， S4=- ( )4c b ， 1 2S S S ， S=S 1+S2+2 1 2S S ， 2 422 16c ccc ， 2c c c ， 2 4 4b c c ， b=0， A(- c ， 0)， B(0， c)， C( c ， 0)， d(0， -c)， 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， 4AD=12 10 ， AD=3 10 ，即 ： AD 2=90， AD2=c2-c， c2-c=90， c=-9或 c=10(舍 )，即 ： y=x2-9.
