1、试 卷 第 1页 ， 总 17页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 绝密启用前2019年北京市高考数学试卷（文科)试卷副标题考 试 范 围 ： xxx； 考 试 时 间 ： 100分 钟 ； 命 题 人 ： xxx题 号 一 二 三 总 分得 分注 意 事 项 ：1 答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名 、 班 级 、 考 号 等 信 息2 请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上 第 I 卷 （ 选 择 题 )请 点 击 修 改 第 I卷 的 文 字 说 明 评 卷 人 得 分 一 、 单 选 题1 已 知 集 合 A=x|1x1， 则 A B
2、=A.（ 1， 1） B.（ 1， 2） C.（ 1， + ） D.（ 1， + ）【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】根 据 并 集 的 求 法 直 接 求 出 结 果 . 【 详 解 】 姀 姀 姀 ， ，故 选 C.【 点 睛 】考 查 并 集 的 求 法 ， 属 于 基 础 题 .2 已 知 复 数 z=2+i， 则 z z A 3 B 5 C 3 D 5 【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】题 先 求 得 z， 然 后 根 据 复 数 的 乘 法 运 算 法 则 即 得 .【 详 解 】 试 卷 第 2页 ， 总 17页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内
3、 装 订 线 z 2 i,z z (2 i)(2 i) 5 故 选 D.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 复 数 的 运 算 法 则 ， 共 轭 复 数 的 定 义 等 知 识 ， 属 于 基 础 题 .3 下 列 函 数 中 ， 在 区 间 （ 0， +） 上 单 调 递 增 的 是A. 姀 B.y=姀 C. log姀 D. 姀【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】由 题 意 结 合 函 数 的 解 析 式 考 查 函 数 的 单 调 性 即 可 . 【 详 解 】函 数 姀 log姀， 姀 在 区 间 隰 上 单 调 递 减 ，函 数 姀 在 区 间 隰 上 单 调 递 增 ，
4、 故 选 A.【 点 睛 】本 题 考 查 简 单 的 指 数 函 数 、 对 数 函 数 、 幂 函 数 的 单 调 性 ， 注 重 对 重 要 知 识 、 基 础 知 识 的考 查 ， 蕴 含 数 形 结 合 思 想 ， 属 于 容 易 题 .4 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 s 值 为 A.1 B.2 C.3 D.4【 答 案 】 B【 解 析 】 试 卷 第 3页 ， 总 17页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 分 析 】根 据 程 序 框 图 中 的 条 件 逐 次 运 算 即 可 .【 详 解 】运 行 第 一 次
5、 ， ， ，运 行 第 二 次 ， ， ，运 行 第 三 次 ， ， ，结 束 循 环 ， 输 出 ， 故 选 B.【 点 睛 】本 题 考 查 程 序 框 图 ， 属 于 容 易 题 ， 注 重 基 础 知 识 、 基 本 运 算 能 力 的 考 查 .5 已 知 双 曲 线 2 22 1x ya （ a 0） 的 离 心 率 是 5 则 a=A 6 B 4 C 2 D 12【 答 案 】 D 【 解 析 】【 分 析 】本 题 根 据 根 据 双 曲 线 的 离 心 率 的 定 义 ， 列 关 于 a的 方 程 求 解 .【 详 解 】 双 曲 线 的 离 心 率 5ce a ， 2 1c
6、 a ， 2 1 5aa ，解 得 12a ， 故 选 D.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 双 曲 线 的 离 心 率 的 定 义 ， 双 曲 线 中 a,b,c 的 关 系 ， 方 程 的 数 学 思 想 等 知 识 ，意 在 考 查 学 生 的 转 化 能 力 和 计 算 求 解 能 力 .6 设 函 数 f（ x） =cosx+bsinx（ b 为 常 数 ） ， 则 “ b=0” 是 “ f（ x） 为 偶 函 数 ” 的A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【 答 案 】 C
7、试 卷 第 4页 ， 总 17页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 解 析 】【 分 析 】根 据 定 义 域 为 R的 函 数 姀为 偶 函 数 等 价 于 姀姀进 行 判 断 .【 详 解 】 隰 时 ， 姀 cos姀 sin姀 cos姀,姀为 偶 函 数 ；姀为 偶 函 数 时 ， 姀姀对 任 意 的 姀 恒 成 立 ， 姀 cos 姀 sin 姀 cos姀 sin姀cos姀 sin姀 cos姀 sin姀 ， 得 姀 隰 对 任 意 的 姀 恒 成 立 ， 从 而 隰.从 而 “ 隰”是 “姀为 偶 函 数 ”的 充 分 必 要 条 件 ， 故 选 C.【 点
8、睛 】 本 题 较 易 ， 注 重 重 要 知 识 、 基 础 知 识 、 逻 辑 推 理 能 力 的 考 查 .7 在 天 文 学 中 ， 天 体 的 明 暗 程 度 可 以 用 星 等 或 亮 度 来 描 述 .两 颗 星 的 星 等 与 亮 度 满 足 lg， 其 中 星 等 为 mk的 星 的 亮 度 为 Ek（ k=1,2） .已 知 太 阳 的 星 等 是 26.7，天 狼 星 的 星 等 是 1.45， 则 太 阳 与 天 狼 星 的 亮 度 的 比 值 为A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10 10.1【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】 由 题
9、意 得 到 关 于 的 等 式 ， 结 合 对 数 的 运 算 法 则 可 得 亮 度 的 比 值 .【 详 解 】两 颗 星 的 星 等 与 亮 度 满 足 lg,令 隰,lg 隰 隰 隰隰.故 选 ： A.【 点 睛 】本 题 以 天 文 学 问 题 为 背 景 ,考 查 考 生 的 数 学 应 用 意 识 信 息 处 理 能 力 阅 读 理 解 能 力 以 及指 数 对 数 运 算 . 8 如 图 ， A， B 是 半 径 为 2的 圆 周 上 的 定 点 ， P 为 圆 周 上 的 动 点 ， APB 是 锐 角 ， 大小 为 .图 中 阴 影 区 域 的 面 积 的 最 大 值 为
10、试 卷 第 5页 ， 总 17页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 A 4+4cos B 4+4sin C 2+2cos D 2+2sin【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】由 题 意 首 先 确 定 面 积 最 大 时 点 P的 位 置 ， 然 后 结 合 扇 形 面 积 公 式 和 三 角 形 面 积 公 式 可 得 最 大 的 面 积 值 .【 详 解 】观 察 图 象 可 知 ， 当 P为 弧 AB的 中 点 时 ， 阴 影 部 分 的 面 积 S取 最 大 值 ， 此 时 BOP= AOP=-, 面 积 S的 最 大 值 为 2 22 2 +
11、SPOB+SPOA=4+1| |sin( )2 OP OB 1| |sin( )2 OP OA 4 2sin 2sin 4 4 sin .故 选 ： B.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 阅 读 理 解 能 力 、 数 学 应 用 意 识 、 数 形 结 合 思 想 及 数 学 式 子 变 形 和 运 算 求 解能 力 ， 有 一 定 的 难 度 .关 键 观 察 分 析 区 域 面 积 最 大 时 的 状 态 ， 并 将 面 积 用 边 角 等 表 示 . 试 卷 第 6页 ， 总 17页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 第 II 卷 （ 非 选 择 题 )请 点
12、 击 修 改 第 II卷 的 文 字 说 明评 卷 人 得 分 二 、 填 空 题9 已 知 向 量 a=（ 4， 3） ， b =（ 6， m） ， 且 a b ， 则 m=_.【 答 案 】 8.【 解 析 】【 分 析 】利 用 a b 转 化 得 到 0a b 加 以 计 算 ， 得 到 m. 【 详 解 】向 量 4,3 6,a b m a b （ ） ， （ ） ， ，则 0 4 6 3 0 8a b m m ， ， .【 点 睛 】本 题 考 查 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 、 平 面 向 量 的 数 量 积 、 平 面 向 量 的 垂 直 以 及 转 化 与 化 归 思
13、想 的 应 用 .属 于 容 易 题 .10 若 x， y 满 足 2,1,4 3 1 0,xyx y 则 y x 的 最 小 值 为 _， 最 大 值 为 _.【 答 案 】 3 . 1.【 解 析 】【 分 析 】作 出 可 行 域 ， 移 动 目 标 函 数 表 示 的 直 线 ， 利 用 图 解 法 求 解 .【 详 解 】作 出 可 行 域 如 图 阴 影 部 分 所 示 . 试 卷 第 7页 ， 总 17页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 设 z y x ,则 y=x+z.当 直 线 y=x+z经 过 点 2, 1B 时 ,z取 最 小 值 3 ，
14、 经 过 点 2,3A 时 ,z取 最 大 值 1.【 点 睛 】本 题 是 简 单 线 性 规 划 问 题 的 基 本 题 型 ， 根 据 “ 画 、 移 、 解 ” 等 步 骤 可 得 解 .题 目 难 度 不大 题 ， 注 重 了 基 础 知 识 、 基 本 技 能 的 考 查 .11 设 抛 物 线 y 2=4x 的 焦 点 为 F， 准 线 为 l.则 以 F 为 圆 心 ， 且 与 l 相 切 的 圆 的 方 程 为_【 答 案 】 (x-1)2+y2=4.【 解 析 】【 分 析 】由 抛 物 线 方 程 可 得 焦 点 坐 标 ， 即 圆 心 ， 焦 点 到 准 线 距 离 即
15、 半 径 ， 进 而 求 得 结 果 .【 详 解 】抛 物 线 y 2=4x中 ， 2p=4， p=2，焦 点 F（ 1,0） ， 准 线 l的 方 程 为 x=-1，以 F为 圆 心 ，且 与 l相 切 的 圆 的 方 程 为 (x-1)2+y2=22,即 为 (x-1)2+y2=4.【 点 睛 】 试 卷 第 8页 ， 总 17页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 本 题 主 要 考 查 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 ， 抛 物 线 的 准 线 方 程 ， 直 线 与 圆 相 切 的 充 分 必 要 条 件 等知 识 ， 意 在 考 查 学 生 的 转 化 能 力
16、 和 计 算 求 解 能 力 .12 某 几 何 体 是 由 一 个 正 方 体 去 掉 一 个 四 棱 柱 所 得 ， 其 三 视 图 如 图 所 示 如 果 网 格 纸 上小 正 方 形 的 边 长 为 1， 那 么 该 几 何 体 的 体 积 为 _ 【 答 案 】 40.【 解 析 】【 分 析 】本 题 首 先 根 据 三 视 图 ,还 原 得 到 几 何 体 ,根 据 题 目 给 定 的 数 据 ,计 算 几 何 体 的 体 积 .属 于中 等 题 .【 详 解 】如 图 所 示 ,在 棱 长 为 4 的 正 方 体 中 ,三 视 图 对 应 的 几 何 体 为 正 方 体 去 掉
17、 棱 柱1 1 1 1MPDA NQCB 之 后 余 下 的 几 何 体 , 几 何 体 的 体 积 3 14 2 4 2 4 402V .【 点 睛 】(1)求 解 以 三 视 图 为 载 体 的 空 间 几 何 体 的 体 积 的 关 键 是 由 三 视 图 确 定 直 观 图 的 形 状 以 及 试 卷 第 9页 ， 总 17页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 直 观 图 中 线 面 的 位 置 关 系 和 数 量 关 系 ， 利 用 相 应 体 积 公 式 求 解 ； (2)若 所 给 几 何 体 的 体 积不 能 直 接 利 用 公 式 得 出 ，
18、则 常 用 等 积 法 、 分 割 法 、 补 形 法 等 方 法 进 行 求 解 13 已 知 l， m 是 平 面 外 的 两 条 不 同 直 线 给 出 下 列 三 个 论 断 ： l m； m ； l 以 其 中 的 两 个 论 断 作 为 条 件 ， 余 下 的 一 个 论 断 作 为 结 论 ， 写 出 一 个 正 确 的 命 题 ：_【 答 案 】 如 果 l ， m ， 则 l m.【 解 析 】【 分 析 】将 所 给 论 断 ， 分 别 作 为 条 件 、 结 论 加 以 分 析 . 【 详 解 】将 所 给 论 断 ， 分 别 作 为 条 件 、 结 论 ， 得 到 如
19、下 三 个 命 题 ：（ 1） 如 果 l ， m ， 则 l m. 正 确 ；（ 2） 如 果 l ， l m， 则 m .不 正 确 ， 有 可 能 m在 平 面 内 ；（ 3） 如 果 l m， m ， 则 l .不 正 确 ， 有 可 能 l与 斜 交 、 l .【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 空 间 线 面 的 位 置 关 系 、 命 题 、 逻 辑 推 理 能 力 及 空 间 想 象 能 力 .14 李 明 自 主 创 业 ， 在 网 上 经 营 一 家 水 果 店 ， 销 售 的 水 果 中 有 草 莓 、 京 白 梨 、 西 瓜 、 桃 ，价 格 依 次 为 60元 /盒
20、 、 65元 /盒 、 80元 /盒 、 90元 /盒 为 增 加 销 量 ， 李 明 对 这 四 种 水 果 进 行 促 销 ： 一 次 购 买 水 果 的 总 价 达 到 120元 ， 顾 客 就 少 付 x 元 每 笔 订 单 顾 客 网 上 支 付成 功 后 ， 李 明 会 得 到 支 付 款 的 80% 当 x=10时 ， 顾 客 一 次 购 买 草 莓 和 西 瓜 各 1盒 ， 需 要 支 付 _元 ； 在 促 销 活 动 中 ， 为 保 证 李 明 每 笔 订 单 得 到 的 金 额 均 不 低 于 促 销 前 总 价 的 七 折 ， 则 x的 最 大 值 为 _【 答 案 】
21、130. 15.【 解 析 】【 分 析 】由 题 意 可 得 顾 客 需 要 支 付 的 费 用 ， 然 后 分 类 讨 论 ， 将 原 问 题 转 化 为 不 等 式 恒 成 立 的 问 题 可 得 x的 最 大 值 .【 详 解 】(1) 10 x ,顾 客 一 次 购 买 草 莓 和 西 瓜 各 一 盒 ,需 要 支 付 60 80 10 130 元 .(2)设 顾 客 一 次 购 买 水 果 的 促 销 前 总 价 为 y元 , 试 卷 第 10页 ， 总 17页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 120y 元 时 ,李 明 得 到 的 金 额 为 80%y ,
22、符 合 要 求 .120y 元 时 ,有 80% 70%y x y 恒 成 立 ,即 8 7 , 8yy x y x ,即min 158yx 元 .所 以 x的 最 大 值 为 15.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 不 等 式 的 概 念 与 性 质 数 学 的 应 用 意 识 数 学 式 子 变 形 与 运 算 求 解 能 力 ,以实 际 生 活 为 背 景 ， 创 设 问 题 情 境 ， 考 查 学 生 身 边 的 数 学 ， 考 查 学 生 的 数 学 建 模 素 养 . 评 卷 人 得 分 三 、 解 答 题15 在 ABC 中 ， a=3， 2b c ， cosB= 12 （
23、） 求 b， c 的 值 ；（ ） 求 sin（ B+C） 的 值 【 答 案 】 （ ） 7, 5b c ； （ ） 3 314 .【 解 析 】【 分 析 】 ( )由 题 意 列 出 关 于 a,b,c的 方 程 组 ， 求 解 方 程 组 即 可 确 定 b,c的 值 ；( )由 题 意 结 合 余 弦 定 理 、 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 和 诱 导 公 式 可 得 sin B C 的 值 .【 详 解 】（ ） 由 余 弦 定 理 可 得 2 2 2 1cos 2 2a c bB ac ，因 为 3a ， 所 以 2 2 3 9 0c b c ； 因 为 2b c ，
24、 所 以 解 得 75bc .（ ） 由 （ ） 知 3, 7, 5a b c ， 所 以 2 2 2 13cos 2 14b c aA bc ； 因 为 A为 ABC 的 内 角 ， 所 以 2co 3 3sin 1s1 4AA .因 为 3 3sin( ) sin( ) sin 14B C A A . 试 卷 第 11页 ， 总 17页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 余 弦 定 理 的 应 用 ， 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 、 诱 导 公 式 的 应 用 等 知 识 ， 意 在考 查 学 生 的 转 化
25、 能 力 和 计 算 求 解 能 力 .16 设 an是 等 差 数 列 ， a1= 10， 且 a2+10， a3+8， a4+6成 等 比 数 列 （ ） 求 an的 通 项 公 式 ；（ ） 记 an的 前 n 项 和 为 Sn， 求 Sn的 最 小 值 【 答 案 】 （ ） 2 12na n ； （ ） 30 .【 解 析 】【 分 析 】 ( )由 题 意 首 先 求 得 数 列 的 公 差 ， 然 后 利 用 等 差 数 列 通 项 公 式 可 得 na 的 通 项 公 式 ；( )首 先 求 得 nS 的 表 达 式 ， 然 后 结 合 二 次 函 数 的 性 质 可 得 其
26、最 小 值 .【 详 解 】（ ） 设 等 差 数 列 na 的 公 差 为 d ，因 为 2 3 4+10 +8 +6a a a， ， 成 等 比 数 列 ， 所 以 23 2 4( +8) ( +10)( +6)a a a ，即 2(2 2) (3 4)d d d ， 解 得 2d ， 所 以 10 2( 1) 2 12na n n .（ ） 由 （ ） 知 2 12na n , 所 以 2 210 2 12 11 12111 ( )2 2 4n nS n n n n ；当 5n 或 者 6n 时 ， nS 取 到 最 小 值 30 .【 点 睛 】等 差 数 列 基 本 量 的 求 解
27、是 等 差 数 列 中 的 一 类 基 本 问 题 ， 解 决 这 类 问 题 的 关 键 在 于 熟 练 掌握 等 差 数 列 的 有 关 公 式 并 能 灵 活 运 用 .17 改 革 开 放 以 来 ， 人 们 的 支 付 方 式 发 生 了 巨 大 转 变 近 年 来 ， 移 动 支 付 已 成 为 主 要 支付 方 式 之 一 为 了 解 某 校 学 生 上 个 月 A， B两 种 移 动 支 付 方 式 的 使 用 情 况 ， 从 全 校 所 有的 1000名 学 生 中 随 机 抽 取 了 100人 ， 发 现 样 本 中 A， B两 种 支 付 方 式 都 不 使 用 的 有
28、5 人 ， 样 本 中 仅 使 用 A和 仅 使 用 B的 学 生 的 支 付 金 额 分 布 情 况 如 下 ：支 付 金 额 不 大 于 2000元 大 于 2000元 试 卷 第 12页 ， 总 17页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 支 付 方 式仅 使 用 A 27人 3人仅 使 用 B 24人 1人（ ） 估 计 该 校 学 生 中 上 个 月 A， B两 种 支 付 方 式 都 使 用 的 人 数 ；（ ） 从 样 本 仅 使 用 B的 学 生 中 随 机 抽 取 1人 ， 求 该 学 生 上 个 月 支 付 金 额 大 于 2000元的 概 率 ；（ ）
29、 已 知 上 个 月 样 本 学 生 的 支 付 方 式 在 本 月 没 有 变 化 现 从 样 本 仅 使 用 B的 学 生 中 随 机 抽 查 1人 ， 发 现 他 本 月 的 支 付 金 额 大 于 2000元 结 合 （ ） 的 结 果 ， 能 否 认 为 样本 仅 使 用 B的 学 生 中 本 月 支 付 金 额 大 于 2000元 的 人 数 有 变 化 ？ 说 明 理 由 【 答 案 】 （ ） 400人 ；（ ） 125 ；（ ） 见 解 析 .【 解 析 】【 分 析 】( )由 题 意 利 用 频 率 近 似 概 率 可 得 满 足 题 意 的 人 数 ； ( )利 用 古
30、 典 概 型 计 算 公 式 可 得 上 个 月 支 付 金 额 大 于 2000元 的 概 率 ；( )结 合 概 率 统 计 相 关 定 义 给 出 结 论 即 可 .【 详 解 】（ ） 由 图 表 可 知 仅 使 用 A的 人 数 有 30人 ， 仅 使 用 B的 人 数 有 25人 ，由 题 意 知 A,B两 种 支 付 方 式 都 不 使 用 的 有 5人 ，所 以 样 本 中 两 种 支 付 方 式 都 使 用 的 有 100 30 25 5 40 ，所 以 全 校 学 生 中 两 种 支 付 方 式 都 使 用 的 有 40 1000 400100 （ 人 ） .（ ） 因 为
31、 样 本 中 仅 使 用 B的 学 生 共 有 25人 ， 只 有 1人 支 付 金 额 大 于 2000元 ， 所 以 该 学 生 上 个 月 支 付 金 额 大 于 2000元 的 概 率 为 125 .（ ） 由 （ ） 知 支 付 金 额 大 于 2000元 的 概 率 为 125 ，因 为 从 仅 使 用 B的 学 生 中 随 机 调 查 1人 ， 发 现 他 本 月 的 支 付 金 额 大 于 2000元 ，依 据 小 概 率 事 件 它 在 一 次 试 验 中 是 几 乎 不 可 能 发 生 的 ， 所 以 可 以 认 为 仅 使 用 B的 学 生 中本 月 支 付 金 额 大
32、于 2000元 的 人 数 有 变 化 ， 且 比 上 个 月 多 . 试 卷 第 13页 ， 总 17页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 古 典 概 型 概 率 公 式 及 其 应 用 ， 概 率 的 定 义 与 应 用 等 知 识 ， 意 在 考 查 学 生 的转 化 能 力 和 计 算 求 解 能 力 .18 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， PA平 面 ABCD， 底 部 ABCD 为 菱 形 ， E 为 CD的 中 点 . （ ） 求 证 ： BD 平 面 PAC；（ ） 若 ABC=60 ， 求
33、 证 ： 平 面 PAB 平 面 PAE；（ ） 棱 PB 上 是 否 存 在 点 F， 使 得 CF 平 面 PAE？ 说 明 理 由 .【 答 案 】 （ ） 见 解 析 ；（ ） 见 解 析 ；（ ） 见 解 析 .【 解 析 】【 分 析 】( )由 题 意 利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 即 可 证 得 题 中 的 结 论 ； ( )由 几 何 体 的 空 间 结 构 特 征 首 先 证 得 线 面 垂 直 ， 然 后 利 用 面 面 垂 直 的 判 断 定 理 可 得 面面 垂 直 ；( )由 题 意 ， 利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 和 线 面 平 行 的
34、判 定 定 理 即 可 找 到 满 足 题 意 的 点 .【 详 解 】（ ） 证 明 ： 因 为 PA平 面 ABCD,所 以 PA BD ；因 为 底 面 ABCD是 菱 形 ， 所 以 AC BD ;因 为 PA AC A , ,PA AC平 面 PAC,所 以 BD平 面 PAC. （ ） 证 明 ： 因 为 底 面 ABCD是 菱 形 且 60ABC ， 所 以 ACD 为 正 三 角 形 ， 所 以AE CD ,因 为 /AB CD,所 以 AE AB ； 试 卷 第 14页 ， 总 17页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 因 为 PA平 面 ABCD， A
35、E平 面 ABCD,所 以 AE PA ；因 为 PA AB A所 以 AE平 面 PAB，AE平 面 PAE,所 以 平 面 PAB 平 面 PAE.（ ） 存 在 点 F 为 PB中 点 时 ， 满 足 /CF 平 面 PAE； 理 由 如 下 : 分 别 取 ,PB PA的 中 点 ,F G， 连 接 , ,CF FG EG,在 三 角 形 PAB中 ， /FG AB且 12FG AB ；在 菱 形 ABCD中 ， E为 CD中 点 ， 所 以 /CE AB且 12CE AB ， 所 以 /CE FG且CE FG ， 即 四 边 形 CEGF为 平 行 四 边 形 ， 所 以 /CF E
36、G;又 CF 平 面 PAE， EG平 面 PAE， 所 以 /CF 平 面 PAE.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 ， 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 ， 立 体 几 何 中 的 探 索 问 题 等 知识 ， 意 在 考 查 学 生 的 转 化 能 力 和 计 算 求 解 能 力 . 19 已 知 椭 圆 2 22 2: 1x yC a b 的 右 焦 点 为 (1,0)， 且 经 过 点 (0,1)A .（ ） 求 椭 圆 C 的 方 程 ；（ ） 设 O 为 原 点 ， 直 线 : ( 1)l y kx t t 与 椭 圆 C 交 于 两 个
37、 不 同 点 P， Q， 直 线AP 与 x 轴 交 于 点 M， 直 线 AQ 与 x 轴 交 于 点 N， 若 |OM| |ON|=2， 求 证 ： 直 线 l 经 过定 点 .【 答 案 】 （ ） 2 2 12x y ；（ ） 见 解 析 . 【 解 析 】【 分 析 】 试 卷 第 15页 ， 总 17页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 ( )由 题 意 确 定 a,b的 值 即 可 确 定 椭 圆 方 程 ；( )设 出 直 线 方 程 ， 联 立 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 确 定 OM,ON的 表 达 式 ， 结 合 韦 达 定 理 确
38、定 t的 值 即 可 证 明 直 线 恒 过 定 点 .【 详 解 】（ ） 因 为 椭 圆 的 右 焦 点 为 (1,0)， 所 以 1225；因 为 椭 圆 经 过 点 (0,1)A ,所 以 1b ， 所 以 2 2 2 2a b c ， 故 椭 圆 的 方 程 为 2 2 12x y .（ ） 设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 联 立 2 2 12 ( 1)x yy kx t t 得 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x ktx t ，21 2 1 22 24 2 20, ,1 2 1 2kt tx x xxk k ， 1 2 1 2 22( )
39、 2 1 2ty y k x x t k ，2 22 21 2 1 2 1 2 22( ) 1 2t kyy k xx kt x x t k .直 线 1 1 1: 1 yAP y xx ， 令 0y 得 11 1xx y ， 即 11 1xOM y ； 同 理 可 得 22 1xON y .因 为 2OM ON ,所 以 1 2 1 21 2 1 2 1 2 21 1 ( ) 1x x xxy y yy y y ；22 1 12 1tt t ， 解 之 得 0t ， 所 以 直 线 方 程 为 y kx ， 所 以 直 线 l恒 过 定 点 (0,0).【 点 睛 】解 决 直 线 与 椭
40、圆 的 综 合 问 题 时 ， 要 注 意 ：(1)注 意 观 察 应 用 题 设 中 的 每 一 个 条 件 ， 明 确 确 定 直 线 、 椭 圆 的 条 件 ； (2)强 化 有 关 直 线 与 椭 圆 联 立 得 出 一 元 二 次 方 程 后 的 运 算 能 力 ， 重 视 根 与 系 数 之 间 的 关 系 、弦 长 、 斜 率 、 三 角 形 的 面 积 等 问 题 20 已 知 函 数 3 21( ) 4f x x x x .（ ） 求 曲 线 ( )y f x 的 斜 率 为 1的 切 线 方 程 ；（ ） 当 2,4x 时 ， 求 证 ： 6 ( )x f x x ； 试
41、卷 第 16页 ， 总 17页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 （ ） 设 ( ) | ( ) ( )|( )F x f x x a a R ， 记 ( )F x 在 区 间 2,4 上 的 最 大 值 为 M（ a） ，当 M（ a） 最 小 时 ， 求 a 的 值 【 答 案 】 （ ） 0 x y 和 27 27 64 0 x y .（ ） 见 解 析 ；（ ） 3a .【 解 析 】【 分 析 】( )首 先 求 解 导 函 数 ， 然 后 利 用 导 函 数 求 得 切 点 的 横 坐 标 ， 据 此 求 得 切 点 坐 标 即 可 确 定切 线 方 程 ；
42、( )由 题 意 分 别 证 得 6 0f x x 和 0f x x 即 可 证 得 题 中 的 结 论 ；( )由 题 意 结 合 ( )中 的 结 论 分 类 讨 论 即 可 求 得 a的 值 .【 详 解 】（ ） 23( ) 2 14f x x x ， 令 23( ) 2 1 14f x x x 得 0 x 或 者 83x .当 0 x 时 ， (0) 0f ， 此 时 切 线 方 程 为 y x ， 即 0 x y ；当 83x 时 ， 8 8( )3 27f ， 此 时 切 线 方 程 为 6427y x ， 即 27 27 64 0 x y ；综 上 可 得 所 求 切 线 方
43、程 为 0 x y 和 27 27 64 0 x y . （ ） 设 3 21( ) ( ) 4g x f x x x x ， 23( ) 24g x x x ， 令 23( ) 2 04g x x x 得0 x 或 者 83x ， 所 以 当 2,0 x 时 ， ( ) 0g x ， ( )g x 为 增 函 数 ； 当 8(0, )3x 时 ，( ) 0g x ， ( )g x 为 减 函 数 ； 当 8 ,43x 时 ， ( ) 0g x ， ( )g x 为 增 函 数 ；而 (0) (4) 0g g ， 所 以 ( ) 0g x ， 即 ( )f x x ；同 理 令 3 21( )
44、 ( ) 6 64h x f x x x x ， 可 求 其 最 小 值 为 ( 2) 0h ， 所 以 ( ) 0h x ，即 ( ) 6f x x ， 综 上 可 得 6 ( )x f x x .（ ） 由 （ ） 知 6 ( ) 0f x x ， 所 以 ( )M a 是 , 6a a 中 的 较 大 者 ，若 6a a ， 即 3a 时 ， ( ) 3M a a a ；若 6a a ， 即 3a 时 ， ( ) 6 6 3M a a a ； 试 卷 第 17页 ， 总 17页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 所 以 当 ( )M a 最 小 时 ， ( ) 3M a ， 此 时 3 .【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 利 用 导 函 数 研 究 函 数 的 切 线 方 程 ， 利 用 导 函 数 证 明 不 等 式 的 方 法 ， 分 类 讨论 的 数 学 思 想 等 知 识 ， 意 在 考 查 学 生 的 转 化 能 力 和 计 算 求 解 能 力 .
