1、2018年 湖 南 省 株 洲 市 高 考 一 模 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.已 知 集 合 A=x|x 2， B=x|2x 1， 则 A B=( )A.x|0 x 2B.x|1 x 2C.x|x 0D.x|x 2解 析 ： B=x|2 x 1=x|x 0， A B=x|0 x 2.答 案 ： A2.已 知 2 1 ia i ， 其 中 i 为 虚 数 单 位 ， a R， 则 a=( )A. 1B.1C.2
2、D. 2解 析 ： 由 2 1 ia i ，得 2=(1 i)(a+i)=a+1+(1 a)i， 1 21 0a a ， 即 a=1.答 案 ： B3.已 知 等 比 数 列 an是 递 增 数 列 ， Sn是 an的 前 n项 和 .若 a1+a3=5， a1a3=4， 则 S6=( )A.31B.32C.63D.64解 析 ： 设 公 比 为 q， 因 为 a n是 递 增 的 等 比 数 列 ， 所 以 q 0.an an 1因 为 a1+a3=a1+a1q2=5， 且 a1 0， a3 0， 又 a1a3=a22=4，所 以 得 a1=1， a2=2， a3=4， q=2，则 S6=
3、11a q (1 q6)=q6 1=64 1=63.答 案 ： C4.如 图 所 示 ， 三 国 时 代 数 学 家 赵 爽 在 周 髀 算 经 中 利 用 弦 图 ， 给 出 了 勾 股 定 理 的 绝 妙 证 明 .图 中 包 含 四 个 全 等 的 直 角 三 角 形 及 一 个 小 正 方 形 (阴 影 ).设 直 角 三 角 形 有 一 内 角 为 30 ， 若向 弦 图 内 随 机 抛 掷 1000 颗 米 粒 (大 小 忽 略 不 计 )， 则 落 在 小 正 方 形 (阴 影 )内 的 米 粒 数 大 约 为( ) A.134 B.866C.300D.500解 析 ： 设 大
4、正 方 形 的 边 长 为 2x， 则 小 正 方 形 的 边 长 为 3 x x，向 弦 图 内 随 机 抛 掷 1000 颗 米 粒 (大 小 忽 略 不 计 )，设 落 在 小 正 方 形 (阴 影 )内 的 米 粒 数 大 约 为 a，则 2231000 2x xa x ，解 得 4 2 31000 1344a .答 案 ： A 5.已 知 f(x)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 .当 x 0时 ， f(x)=x2 x， 则 不 等 式 f(x) 0 的 解 集 用 区间 表 示 为 ( )A.( 1， 1)B.( ， 1) (1， + )C.( ， 1) (0， 1)D.(
5、1， 0) (1， + )解 析 ： 根 据 题 意 ， 当 x 0 时 ， f(x)=x2 x，若 f(x) 0， 则 有 x2 x 0， 解 可 得 x 1， 即 在 (1， + )上 ， f(x) 0， 反 之 在 (0， 1)上 ，f(x) 0，又 由 函 数 为 奇 函 数 ， 则 在 (0， 1， )上 ， f(x) 0， 在 ( ， 1)上 ， f(x) 0，则 不 等 式 f(x) 0 的 解 集 为 ( 1， 0) (1， + )；答 案 ： D6.(1+x x 2)10展 开 式 中 x3的 系 数 为 ( )A.10B.30C.45D.210解 析 ： (1+x x2)1
6、0=1+(x x2)10 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 21 10 rrrT C x x .对 于 (x x 2)r， 通 项 公 式 为 21 mm r mm rT C x x ，令 r+m=3， 根 据 0 m r， r、 m 为 自 然 数 ， 求 得 21rm ， 或 rm 3 0. (1+x x2)10展 开 式 中 x3项 的 系 数 为 2 1 3 010 2 10 3 90 120 30C C C C .答 案 ： B7.某 三 棱 柱 的 三 视 图 如 图 粗 线 所 示 ， 每 个 单 元 格 的 长 度 为 1， 则 该 三 棱 柱 外 接 球 的 表 面 积
7、 为( ) A.4B.8C.12D.16解 析 ： 由 三 棱 柱 的 三 视 图 得 该 三 棱 柱 是 一 个 倒 放 的 直 三 棱 柱 ABC A1B1C1，其 中 ABC是 等 腰 直 角 三 角 形 ， AB=AC=2， AB AC，AA1 平 面 ABC， AA1=2， 如 图 ， 该 三 棱 柱 外 接 球 的 半 径 2 2 21 2 2 2 32 2BCR ， 该 三 棱 柱 外 接 球 的 表 面 积 ： 224 4 3 12S r .答 案 ： C8.已 知 x表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 ， 如 0.5=0， 1=1， 2.4=2.执 行 如 图 所 示
8、 的 程 序 框图 ， 则 输 出 S 的 值 为 ( ) A.450B.460C.495D.550解 析 ： 模 拟 程 序 的 运 行 ， 可 得 程 序 框 图 的 功 能 是 计 算 并 输 出 1 2 3 99 10010 10 10 10 10S 的 值 ，1 2 3 99 10010 10 10 10 10S =10 0+10 1+10 2+ +10 9+10=10+20+30+ +90+10=460.答 案 ： B9.已 知 函 数 mxxf x nxe (m， n为 整 数 )的 图 象 如 图 所 示 ， 则 m， n 的 值 可 能 为 ( ) A.m=2， n= 1B.
9、m=2， n=1C.m=1， n=1D.m=1， n= 1解 析 ： 根 据 图 象 可 得 11 1 2f ne ， ， 当 n= 1 时 ， 不 满 足 ， 故 排 除 A， D；当 m=n=1 时 ， 1 11 0 xx x xx x e xf x x f xe e e ， 恒 成 立 ，故 函 数 f(x)无 极 值 点 ， 故 不 符 合 题 意 .答 案 ： B10.已 知 f(x)=cos x， ( 0)的 图 象 关 于 点 3 04， 对 称 ， 且 f(x)在 区 间 20 3， 上 单 调 ，则 的 值 为 ( ) A.1B.2C.103D. 23解 析 ： f(x)的
10、图 象 关 于 ( 34 ， 0)对 称 ， cos 34 =0， 34 2 k ， k Z，解 得 2 43 3k ， k Z；令 k x +k ， 解 得 k kx ， k Z； f(x)在 0， 上 是 单 调 减 函 数 ， f(x)在 (0， 23 )上 单 调 ， 23 ， 解 得 32 ；又 0， = 23 .答 案 ： D11.已 知 抛 物 线 C1： y2 4x 和 圆 C2： (x-1)2+y2 1， 直 线 y=k(x 1)与 C1， C2依 次 相 交 于 A(x1，y 1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， D(x4， y4)四 点 (其 中 x1 x2
11、 x3 x4)， 则 |AB| |CD|的 值 为 ( )A.1B.2C. 24kD.k2解 析 ： y2=4x， 焦 点 F(1， 0)， 准 线 l0： x= 1.由 定 义 得 ： |AF|=x A+1，又 |AF|=|AB|+1， |AB|=xA，同 理 ： |CD|=xD，由 题 意 可 知 直 线 l 的 斜 率 存 在 且 不 等 于 0，则 直 线 l 的 方 程 为 ： y=k(x 1)代 入 抛 物 线 方 程 ， 得 ： k2x2 (2k2+4)x+k2=0， xAxD=1， 则 |AB| |CD|=1.综 上 所 述 ， |AB| |CD|=1.答 案 ： A 12.已
12、 知 直 三 棱 柱 ABC A1B1C1的 侧 棱 长 为 6， 且 底 面 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形 ， 用 一 平 面 截 此棱 柱 ， 与 侧 棱 AA1， BB1， CC1， 分 别 交 于 三 点 M， N， Q， 若 MNQ为 直 角 三 角 形 ， 则 该 直 角 三角 形 斜 边 长 的 最 小 值 为 ( )A.2 2B.3C.2 3D.4解 析 ： 如 图 ， 不 妨 设 N 在 B 处 ， AM=h， CQ=m， 则 有 MB2=h2+4， BQ2=m2+4， MQ2=(h m)2+4由 MB2=， =BQ2+MQ2m2 hm+2=0. =h2 8 0h2
13、 8该 直 角 三 角 形 斜 边 MB= 24 2 3h .答 案 ： C二 、 填 空 题 (每 题 5 分 ， 满 分 20 分 ， 将 答 案 填 在 答 题 纸 上 )13.已 知 ABC是 边 长 为 2的 等 边 三 角 形 ， E为 边 BC 的 中 点 ， 则 AE AB =_.解 析 ： E为 等 边 三 角 形 ABCBC 的 中 点 ， BAE=30 ， AE= 3 ， cos30 2 3 cos30 3AE AB AE AB .答 案 ： 3 14.已 知 实 数 x， y 满 足 1 200 x yxy ， 则 z=2x+y的 最 大 值 为 =_.解 析 ： 作
14、出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： (阴 影 部 分 ).由 z=2x+y 得 y= 2x+z， 平 移 直 线 y= 2x+z，由 图 象 可 知 当 直 线 y= 2x+z 经 过 点 C 时 ， 直 线 y= 2x+z的 截 距 最 大 ，此 时 z最 大 .由 20 x yy ， 解 得 C(2， 0)将 C(2， 0)的 坐 标 代 入 目 标 函 数 z=2x+y，得 z=2 2+0=4.即 z=2x+y的 最 大 值 为 4.答 案 ： 4 15.已 知 双 曲 线 E 经 过 正 方 形 的 四 个 顶 点 ， 且 双 曲 线 的 焦 距 等 于 该 正
15、 方 形 的 边 长 ， 则 双 曲 线E的 离 心 率 为 =_.解 析 ： 根 据 题 意 ， 如 图 ： 设 双 曲 线 E 经 过 的 正 方 形 的 四 个 顶 点 为 A、 B、 C、 D，其 A 在 第 一 象 限 ，双 曲 线 的 两 个 焦 点 为 F1、 F2，连 接 AF1， 若 双 曲 线 的 焦 距 等 于 该 正 方 形 的 边 长 ， 则 有 |F1F2|=2c，|AF2|=c，则 有 |AF1|= 5 c，则 2a=|AF1| |AF2|=( 5 1)c，则 双 曲 线 的 离 心 率 5 12ce a .答 案 ： 5 1216.如 表 给 出 一 个 “ 等
16、 差 数 阵 ” ： 其 中 每 行 、 每 列 都 是 等 差 数 列 ， a ij表 示 位 于 第 i 行 第 j 列的 数 .则 112在 这 “ 等 差 数 阵 ” 中 出 现 的 次 数 为 =_.4 7 10 a1j 7 12 17 a2j 10 17 24 a3j ai1 ai2 ai3 aij 解 析 ： 根 据 图 象 和 每 行 、 每 列 都 是 等 差 数 列 ，该 等 差 数 阵 的 第 一 行 是 首 项 为 4， 公 差 为 3的 等 差 数 列 ： a 1j=4+3(j 1)，第 二 行 是 首 项 为 7， 公 差 为 5的 等 差 数 列 ： a2j=7+
17、5(j 1)第 i 行 是 首 项 为 4+3(i 1)， 公 差 为 2i+1 的 等 差 数 列 ，因 此 aij=4+3(i 1)+(2i+1)(j 1)=2ij+i+j，要 找 112在 该 等 差 数 阵 中 的 位 置 ， 也 就 是 要 找 正 整 数 i， j， 使 得 2ij+i+j=112，所 以 1122 1ij i ，当 i=1时 ， j=37，当 i=2时 ， j=22，当 i=4时 ， j=12，当 i=7时 ， j=7，当 i=12时 ， j=4， 当 i=22时 ， j=2，当 i=37时 ， j=1. 112在 这 “ 等 差 数 阵 ” 中 出 现 的 次
18、数 为 7.答 案 ： 7三 、 解 答 题 (本 大 题 共 5 小 题 ， 共 70 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .)17.在 ABC中 ， A 30 ， BC 2 5 ， 点 D在 AB边 上 ， 且 BCD为 锐 角 ， CD=2， BCD的 面积 为 4.(1)求 cos BCD的 值 ；(2)求 边 AC的 长 .解 析 ： (1)首 先 利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 求 出 sin BCD的 值 ， 进 一 步 利 用 同 角 三 角 函 数 的 关 系式 求 出 结 果 .(2)利 用 余 弦 定 理 和 勾 股
19、定 理 逆 定 理 求 出 结 果 .答 案 ： (1) BC 2 5 ， CD 2， 则 ： 1 sin 42BCDS BC CD BCD ， 2in 55s BCD . 5cos 5BCD ；(2)在 BCD中 ， 552 2 cos 5CD BC BCD ， ， ，由 余 弦 定 理 得 ： DB 2=CD2+BC2 2CD BC cos BCD=16，即 DB=4， DB2+CD2=BC2， BCD=90 ，即 ACD为 直 角 三 角 形 ， A=30 ， AC=2CD=4.18.如 图 ， 在 几 何 体 ABCDEF 中 ， 四 边 形 ADEF 为 矩 形 ， 四 边 形 AB
20、CD 为 梯 形 ， AB CD， 平 面CBE与 平 面 BDE垂 直 ， 且 CB BE.(1)求 证 ： ED 平 面 ABCD；(2)若 AB AD， AB=AD=1， 且 平 面 BCE 与 平 面 ADEF 所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 66 ， 求 AF 的长 . 解 析 ： (1)推 导 出 CB BE， 从 而 CB 面 BDE， 进 而 CB ED， 再 由 ED AD， 能 证 明 ED 平 面ABCD.(2)以 D 为 坐 标 原 点 ， DA、 DC、 DE分 别 为 x， y， z 轴 建 立 空 间 坐 标 系 ， 利 用 向 量 法 能 出 AF=
21、DE=1.答 案 ： (1)因 为 平 面 CBE 与 平 面 BDE垂 直 ，且 CB BE， 平 面 CBE与 平 面 BDE的 交 线 为 BE，所 以 CB 面 BDE，又 ED面 BDE， 所 以 ， CB ED， 在 矩 形 ADEF中 ， ED AD，又 四 边 形 ABCD 为 梯 形 ， AB CD， 所 以 AD 与 CB 相 交 ，故 ED 平 面 ABCD.解 ： (2)由 (1)知 ， ED垂 直 DA， ED垂 直 DC， 又 AD垂 直 AB， AB平 行 CD， 所 以 DC垂 直 DA，如 图 ， 以 D为 坐 标 原 点 ， DA、 DC、 DE 分 别 为
22、 x， y， z轴 建 立 空 间 坐 标 系 AD AB 1， AB AD， BD 2又 CB BD， CDB=45 ， 所 以 DC=2，设 DE=a， 则 B(1， 1， 0)， C(0， 2， 0)， E(0， 0， a)，BE=( 1， 1， a)， BC=( 1， 1， 0)设 平 面 BEC的 法 向 量 为 n x y z ， ， ，则 0 000n x y aBE zx yn BC ， 令 x=1， 则 y 1， z 2a ， 所 以 平 面 BEC 的 法 向 量 为，平 面 ADEF 的 法 向 量 为 m (0， 1， 0)，因 为 平 面 BCE与 平 面 ADEF所
23、 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 66 ， 则 6cos 6nm ， ，即 21 662 4a ， 解 得 a=1， 即 AF=DE=1.19.某 协 会 对 A， B 两 家 服 务 机 构 进 行 满 意 度 调 查 ， 在 A， B 两 家 服 务 机 构 提 供 过 服 务 的 市 民中 随 机 抽 取 了 1000 人 ， 每 人 分 别 对 这 两 家 服 务 机 构 进 行 评 分 ， 满 分 均 为 60分 .整 理 评 分 数 据 ， 将 分 数 以 10 为 组 距 分 成 6 组 ： 0， 10)， 10， 20)， 20， 30)， 30， 40)，40， 50
24、)， 50， 60， 得 到 A 服 务 机 构 分 数 的 频 数 分 布 表 ， B 服 务 机 构 分 数 的 频 率 分 布 直 方图 ：A服 务 机 构 分 数 的 频 数 分 布 表 分 数 区 间 频 数0， 10) 20 10， 20) 3020， 30) 5030， 40) 15040， 50) 40050， 60 350 定 义 市 民 对 服 务 机 构 评 价 的 “ 满 意 度 指 数 ” 如 下 ：分 数 0， 30) 30， 50) 50， 60满 意 度 指 数 0 1 2(1)在 抽 样 的 1000人 中 ， 求 对 B 服 务 机 构 评 价 “ 满 意
25、度 指 数 ” 为 0的 人 数 ；(2)从 在 A， B 两 家 服 务 机 构 都 提 供 过 服 务 的 市 民 中 随 机 抽 取 1 人 进 行 调 查 ， 试 估 计 其 对 B服 务 机 构 评 价 的 “ 满 意 度 指 数 ” 比 对 A服 务 机 构 评 价 的 “ 满 意 度 指 数 ” 高 的 概 率 ；(3)如 果 从 A， B服 务 机 构 中 选 择 一 家 服 务 机 构 ， 你 会 选 择 哪 一 家 ？ 说 明 理 由 . 解 析 ： (1)由 对 B 服 务 机 构 的 频 率 分 布 直 方 图 ， 得 对 B 服 务 机 构 “ 满 意 度 指 数 ”
26、 为 0 的 频 率为 0.2， 由 此 能 求 出 对 B服 务 机 构 评 价 “ 满 意 度 指 数 ” 为 0 的 人 数 .(2)设 “ 对 B 服 务 机 构 评 价 满 意 度 指 数 比 对 A 服 务 机 构 评 价 满 意 度 指 数 高 ” 为 事 件C.记 “ 对 B服 务 机 构 评 价 满 意 度 指 数 为 1” 为 事 件 B1； “ 对 B服 务 机 构 评 价 满 意 度 指数 为 2” 为 事 件 B2； “ 对 A服 务 机 构 评 价 满 意 度 指 数 为 0” 为 事 件 A0； “ 对 A 服 务 机构 评 价 满 意 度 指 数 为 1” 为
27、事 件 A1.P(C)=P(B1A0+B2A0+B2A1)， 由 此 能 求 出 该 学 生 对 B 服 务机 构 评 价 的 “ 满 意 度 指 数 ” 比 对 A服 务 机 构 评 价 的 “ 满 意 度 指 数 ” 高 的 概 率 .(3)如 果 从 学 生 对 A， B 两 服 务 机 构 评 价 的 “ 满 意 度 指 数 ” 的 期 望 角 度 看 分 别 求 出 B服 务 机 构“ 满 意 度 指 数 ” X 的 分 布 列 和 A 服 务 机 构 “ 满 意 度 指 数 ” Y 的 分 布 列 ， 由 此 能 出 结 果 .答 案 ： (1)由 对 B 服 务 机 构 的 频
28、率 分 布 直 方 图 ， 得 ：对 B 服 务 机 构 “ 满 意 度 指 数 ” 为 0的 频 率 为 (0.003+0.005+0.012) 10=0.2，所 以 ， 对 B服 务 机 构 评 价 “ 满 意 度 指 数 ” 为 0 的 人 数 为 1000 0.2=200人 .(2)设 “ 对 B 服 务 机 构 评 价 满 意 度 指 数 比 对 A 服 务 机 构 评 价 满 意 度 指 数 高 ” 为 事 件C. 记 “ 对 B服 务 机 构 评 价 满 意 度 指 数 为 1” 为 事 件 B1； “ 对 B服 务 机 构 评 价 满 意 度 指 数 为 2” 为 事 件 B2
29、；“ 对 A服 务 机 构 评 价 满 意 度 指 数 为 0” 为 事 件 A0； “ 对 A服 务 机 构 评 价 满 意 度 指 数 为 1” 为 事 件 A1.所 以 P(B1)=(0.02+0.02) 10=0.4， P(B2)=0.4，由 用 频 率 估 计 概 率 得 ： P(A0)=0.1， P(A1)=0.55，因 为 事 件 Ai与 Bj相 互 独 立 ， 其 中 i=1， 2， j=0， 1.所 以 P(C)=P(B 1A0+B2A0+B2A1)=0.3，所 以 该 学 生 对 B服 务 机 构 评 价 的 “ 满 意 度 指 数 ” 比 对 A服 务 机 构 评 价 的
30、 “ 满 意 度 指 数 ” 高 的概 率 为 0.3.(3)如 果 从 学 生 对 A， B两 服 务 机 构 评 价 的 “ 满 意 度 指 数 ” 的 期 望 角 度 看 ： B 服 务 机 构 “ 满 意度 指 数 ” X的 分 布 列 为 ：X 0 1 2P 0.2 0.4 0.4A服 务 机 构 “ 满 意 度 指 数 ” Y 的 分 布 列 为 ：Y 0 1 2P 0.1 0.55 0.35 因 为 E(X)=0 0.2+1 0.4+2 0.4=1.2； E(Y)=0 0.1+1 0.55+2 0.35=1.25，所 以 E(X) E(Y)， 会 选 择 A 服 务 机 构 .2
31、0.已 知 椭 圆 C： 222 2 1yxa b (a b 0)与 直 线 l： bx ay=0都 经 过 点 2 2 2M ， .直 线 m与 l 平 行 ， 且 与 椭 圆 C 交 于 A， B 两 点 ， 直 线 MA， MB与 x轴 分 别 交 于 E， F 两 点 .(1)求 椭 圆 C 的 方 程 ；(2)证 明 ： MEF为 等 腰 三 角 形 .解 析 ： (1)将 点 M 分 别 直 线 方 程 及 椭 圆 方 程 ， 即 可 求 得 a 和 b 的 值 ， 求 得 椭 圆 方 程 ；(2)设 直 线 m 的 方 程 ， 代 入 椭 圆 方 程 ， 利 用 韦 达 定 理
32、及 直 线 的 斜 率 公 式 求 得 k MA+kMB=0， 即 可求 得 MEF为 等 腰 三 角 形 .答 案 ： (1)由 直 线 l： bx ay=0都 经 过 点 2 2 2M ， ， 则 a=2b，将 2 2 2M ， 代 入 椭 圆 方 程 ： 222 2 14 yxb b ， 解 得 ： b2=4， a2=16， 椭 圆 C 的 方 程 为 22 116 4yx ；(2)证 明 ： 设 直 线 m 为 ： 12y x t ， A(x 1， y1)， B(x2， y2)联 立 ： 22 116 412yxy x t ， 整 理 得 x2+2tx+2t2 8=0， x1+x2=
33、2t， x1x2=2t2 8，设 直 线 MA， MB 的 斜 率 为 k MA， kMB， 要 证 MEF为 等 腰 三 角 形 ，只 需 kMA+kMB=0， 由 1 21 22 22 2 2 2MA MBy yk kx x ， ， 2 21 2 1 21 2 1 22 2 2 8 4 2 2 4 2 8 02 2 2 2 2 2 2 2MA MB x x t x x t t t tk k x x x x ， ，所 以 MEF为 等 腰 三 角 形 .21.已 知 函 数 f(x)=lnx+a(x 1) 2(a 0).(1)讨 论 f(x)的 单 调 性 ；(2)若 f(x)在 区 间 (
34、0， 1)内 有 唯 一 的 零 点 x0， 证 明 ： 3 12 0e x e .解 析 ： (1)求 出 函 数 的 导 数 ， 通 过 讨 论 a 的 范 围 ， 求 出 函 数 的 单 调 区 间 即 可 ；(2)设 1ln 2xg x x x ， (x (0， 1)， 求 出 函 数 的 导 数 ， 根 据 函 数 的 单 调 性 证 明 即 可 .答 案 ： (1) 22 2 1ax axf x x ， 当 0 a 2 时 ， f(x) 0， y=f(x)在 (0， + )上 单 调 递 增 ， 当 a 2 时 ， 设 2ax 2 2ax+1=0 的 两 个 根 为 1 2 1 2
35、10 2x x x x， ， 且2 21 22 22 2a a a a a ax xa a ， ，y=f(x)在 (0， x1)， (x2， + )单 调 递 増 ， 在 (x1， x2)单 调 递 减 .(2)证 明 ： 依 题 可 知 f(1)=0， 若 f(x)在 区 间 (0， 1)内 有 唯 一 的 零 点 x0， 由 (1)可 知 a 2， 且 0 1 10 2x x ， .于 是 ： lnx0+a(x0-1)2 0 2ax02-2ax0+1 0由 得 00 01ln 02xx x ， 设 1ln 2xg x x x ， (x (0， 1)，则 22 12xg x x ， 因 此
36、g(x)在 10 2， 上 单 调 递 减 ，又 33 12 12 4 30 02 2e eg e g e ， 根 据 零 点 存 在 定 理 ， 故 3 12 0e x e .请 考 生 在 22、 23 两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 .选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 22.已 知 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 是 =4cos .以 极 点 为 平 面 直 角 坐 标 系 的 原 点 ， 极 轴 为 x 轴 的正 半 轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 直 线 l的 参 数 方 程 是
37、1 cossinx ty t (t为 参 数 ).(1)将 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 ；(2)若 直 线 l 与 曲 线 C 相 交 于 A、 B两 点 ， 且 13AB ， 求 直 线 的 倾 斜 角 的 值 .解 析 ： (1)由 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 ， 得 2=4 cos .由 x2+y2= 2， x= cos ， y= sin ，能 求 出 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 .(2)将 直 线 l 的 参 数 方 程 代 入 圆 的 方 程 ， 得 ： t 2 2tcos 3=0.利 用 韦 达 定 理 和 弦 长 公 式
38、 能求 出 直 线 的 倾 斜 角 的 值 .答 案 ： (1)由 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 是 =4cos ， 得 2=4 cos . x2+y2= 2， x= cos ， y= sin ， 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 x2+y2 4x=0， 即 (x 2)2+y2=4.(2)将 直 线 l 的 参 数 方 程 1 cossinx ty t (t 为 参 数 )代 入 圆 的 方 程 ， 得 ：(tcos 1) 2+(tsin )2=4，化 简 得 t2 2tcos 3=0.设 A， B 两 点 对 应 的 参 数 分 别 为 t1， t2， 则 1 21 2 2c
39、os3t tt t ， 2 21 2 1 2 1 24 4cos 12 13AB t t t t t t ，4cos 2 =1， 解 得 1cos 2 ， 3 或 23 .选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 .23.已 知 函 数 f(x)=|2x+1| |x|+a，(1)若 a= 1， 求 不 等 式 f(x) 0 的 解 集 ；(2)若 方 程 f(x)=2x 有 三 个 不 同 的 解 ， 求 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)通 过 讨 论 x 的 范 围 ， 得 到 关 于 x 的 不 等 式 组 ， 解 出 取 并 集 即 可 ；(2)求 出 a=2x+|x| |2x+
40、1|， 令 g(x)=2x+|x| |2x+1|， 结 合 函 数 的 图 象 求 出 a 的 范 围 即 可 .答 案 ： (1)当 a= 1 时 ， 不 等 式 f(x) 0 可 化 为 ： |2x+1| |x| 1 0， 1 1 002 2 2 1 1 02 1 1 0 2 1 1 0 xx x x xx x x x 或 或 ，解 得 ： x 2 或 x 0， 不 等 式 的 解 集 为 ( ， 2 0， + ).(2)由 f(x)=2x 得 ： a=2x+|x| |2x+1|，令 g(x)=2x+|x| |2x+1|， 则 ： 13 1 211 021 0 x xg x x xx x ，作 出 函 数 y=g(x)的 图 象 如 图 示 ， 易 知 1 1 0 12 2A B ， ， ， ，结 合 图 象 知 ： 当 11 2a 时 ， 函 数 y=a 与 y=g(x)的 图 象 有 三 个 不 同 交 点 ，即 方 程 f(x)=2x有 三 个 不 同 的 解 ， a 的 取 值 范 围 为 11 2 ， .
