1、2018年 浙 江 省 舟 山 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 题 有 10小 题 , 每 题 3分 , 共 30 分 。 请 选 出 各 题 中 唯 一 的 正 确 选 项 , 不 选 、多 选 、 错 选 , 均 不 得 分 )1.下 列 几 何 体 中 , 俯 视 图 为 三 角 形 的 是 ( )A. B.C.D.解 析 : A、 俯 视 图 是 圆 , 故 A 不 符 合 题 意 ;B、 俯 视 图 是 矩 形 , 故 B 不 符 合 题 意 ; C、 俯 视 图 是 三 角 形 , 故 C 符 合 题 意 ;D、 俯 视 图 是 四 边 形 , 故 D 不 符
2、合 题 意 .答 案 : C2.2018 年 5 月 25 日 , 中 国 探 月 工 程 的 “ 鹊 桥 号 ” 中 继 星 成 功 运 行 于 地 月 拉 格 朗 日 L2 点 ,它 距 离 地 球 约 1500000km, 数 1500000用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.15 105B.1.5 10 6C.0.15 107D.1.5 105解 析 : 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 , 其 中 1 |a| 10, n为 整 数 .确 定 n 的 值 时 ,要 看 把 原 数 变 成 a 时 , 小 数 点 移 动 了 多 少 位 , n
3、的 绝 对 值 与 小 数 点 移 动 的 位 数 相 同 .当 原 数绝 对 值 10时 , n 是 正 数 ; 当 原 数 的 绝 对 值 1时 , n 是 负 数 .1500000=1.5 106.答 案 : B3.2018年 1 4月 我 国 新 能 源 乘 用 车 的 月 销 量 情 况 如 图 所 示 , 则 下 列 说 法 错 误 的 是 ( ) A.1月 份 销 量 为 2.2万 辆B.从 2月 到 3 月 的 月 销 量 增 长 最 快C.4月 份 销 量 比 3 月 份 增 加 了 1 万 辆D.1 4月 新 能 源 乘 用 车 销 量 逐 月 增 加解 析 : 由 图 可
4、 得 ,1月 份 销 量 为 2.2万 辆 , 故 选 项 A正 确 ,从 2 月 到 3月 的 月 销 量 增 长 最 快 , 故 选 项 B正 确 ,4月 份 销 量 比 3月 份 增 加 了 4.3-3.3=1万 辆 , 故 选 项 C 正 确 ,1 2 月 新 能 源 乘 用 车 销 量 减 少 , 2 4 月 新 能 源 乘 用 车 销 量 逐 月 增 加 , 故 选 项 D 错 误 .答 案 : D4.不 等 式 1-x 2 的 解 在 数 轴 上 表 示 正 确 的 是 ( ) A.B.C.D.解 析 : 不 等 式 1-x 2, 解 得 : x -1, 表 示 在 数 轴 上
5、, 如 图 所 示 . 答 案 : A5.将 一 张 正 方 形 纸 片 按 如 图 步 骤 , 沿 虚 线 对 折 两 次 , 然 后 沿 中 平 行 于 底 边 的 虚 线 剪 去一 个 角 , 展 开 铺 平 后 的 图 形 是 ( ) A.B.C. D.解 析 : 由 于 得 到 的 图 形 的 中 间 是 正 方 形 , 且 顶 点 在 原 来 的 正 方 形 的 对 角 线 上 .答 案 : A6.用 反 证 法 证 明 时 , 假 设 结 论 “ 点 在 圆 外 ” 不 成 立 , 那 么 点 与 圆 的 位 置 关 系 只 能 是 ( )A.点 在 圆 内B.点 在 圆 上C.
6、点 在 圆 心 上D.点 在 圆 上 或 圆 内解 析 : 反 证 法 证 明 时 , 假 设 结 论 “ 点 在 圆 外 ” 不 成 立 , 那 么 点 与 圆 的 位 置 关 系 只 能 是 : 点 在圆 上 或 圆 内 .答 案 : D 7.欧 几 里 得 的 原 本 记 载 , 形 如 x2+ax=b2的 方 程 的 图 解 法 是 : 画 Rt ABC, 使 ACB=90 ,BC= 2a , AC=b, 再 在 斜 边 AB上 截 取 BD= 2a .则 该 方 程 的 一 个 正 根 是 ( )A.AC的 长B.AD的 长C.BC的 长D.CD的 长解 析 : 欧 几 里 得 的
7、原 本 记 载 , 形 如 x 2+ax=b2的 方 程 的 图 解 法 是 : 画 Rt ABC, 使 ACB=90 ,BC= 2a , AC=b, 再 在 斜 边 AB上 截 取 BD= 2a .则 该 方 程 的 一 个 正 根 是 AD的 长 .答 案 : B 8.用 尺 规 在 一 个 平 行 四 边 形 内 作 菱 形 ABCD, 下 列 作 法 中 错 误 的 是 ( )A.B.C. D.解 析 : A、 作 图 根 据 由 作 图 可 知 , AC BD, 且 平 分 BD, 即 对 角 线 平 分 且 垂 直 的 四 边 形 是 菱 形 ,正 确 ;B、 由 作 图 可 知
8、AB=BC, AD=AB, 即 四 边 相 等 的 四 边 形 是 菱 形 , 正 确 ;C、 由 作 图 可 知 AB=DC, AD=BC, 只 能 得 出 ABCD是 平 行 四 边 形 , 错 误 ;D、 由 作 图 可 知 对 角 线 AC平 分 对 角 , 可 以 得 出 是 菱 形 , 正 确 .答 案 : C9.如 图 , 点 C在 反 比 例 函 数 y= kx (x 0)的 图 象 上 , 过 点 C 的 直 线 与 x 轴 , y 轴 分 别 交 于 点 A,B, 且 AB=BC, AOB的 面 积 为 1, 则 k的 值 为 ( ) A.1B.2C.3D.4解 析 : 设
9、 点 A 的 坐 标 为 (a, 0), 过 点 C的 直 线 与 x 轴 , y 轴 分 别 交 于 点 A, B, 且 AB=BC, AOB的 面 积 为 1, 点 C(-a,- ka ), 点 B的 坐 标 为 (0, 2ka ), 22 ka a =1, 解 得 , k=4.答 案 : D 10.某 届 世 界 杯 的 小 组 比 赛 规 则 : 四 个 球 队 进 行 单 循 环 比 赛 (每 两 队 赛 一 场 ), 胜 一 场 得 3 分 ,平 一 场 得 1分 , 负 一 场 得 0 分 , 某 小 组 比 赛 结 束 后 , 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 队 分 别 获 得
10、 第 一 、 二 、三 、 四 名 , 各 队 的 总 得 分 恰 好 是 四 个 连 续 奇 数 , 则 与 乙 打 平 的 球 队 是 ( )A.甲B.甲 与 丁C.丙D.丙 与 丁解 析 : 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 队 分 别 获 得 第 一 、 二 、 三 、 四 名 , 各 队 的 总 得 分 恰 好 是 四 个 连 续奇 数 , 甲 得 分 为 7 分 , 2 胜 1 平 , 乙 得 分 5 分 , 1 胜 2 平 , 丙 得 分 3 分 , 1 胜 0 平 , 丁 得分 1 分 , 0胜 1平 , 甲 、 乙 都 没 有 输 球 , 甲 一 定 与 乙 平 , 丙 得 分
11、 3分 , 1 胜 0 平 , 乙 得 分 5 分 , 1 胜 2 平 , 与 乙 打 平 的 球 队 是 甲 与 丁 .答 案 : B 二 、 填 空 题 (本 题 有 6 小 题 , 每 题 4 分 , 共 24 分 )11.分 解 因 式 : m2-3m= .解 析 : m2-3m=m(m-3).答 案 : m(m-3)12.如 图 , 直 线 l1 l2 l3, 直 线 AC 交 l1, l2, l3于 点 A, B, C; 直 线 DF 交 l1, l2, l3于 点 D,E, F, 已 知 13ABAC , 则 EFDE = . 解 析 : 13ABAC , BCAB =2, l1
12、 l2 l3, 2.EF BCDE AB 答 案 : 213.小 明 和 小 红 玩 抛 硬 币 游 戏 , 连 续 抛 两 次 , 小 明 说 : “ 如 果 两 次 都 是 正 面 , 那 么 你 赢 ; 如 果两 次 是 一 正 一 反 , 则 我 嬴 .” 小 红 赢 的 概 率 是 , 据 此 判 断 该 游 戏 (填 “ 公 平 ” 或 “ 不公 平 ” ).解 析 : 所 有 可 能 出 现 的 结 果 如 下 表 所 示 : 因 为 抛 两 枚 硬 币 , 所 有 机 会 均 等 的 结 果 为 : 正 正 , 正 反 , 反 正 , 反 反 ,所 以 出 现 两 个 正 面
13、的 概 率 为 14 , 一 正 一 反 的 概 率 为 2 14 2 , 因 为 二 者 概 率 不 等 , 所 以 游 戏不 公 平 .答 案 : 14 , 不 公 平 .14.如 图 , 量 角 器 的 0度 刻 度 线 为 AB, 将 一 矩 形 直 尺 与 量 角 器 部 分 重 叠 , 使 直 尺 一 边 与 量 角器 相 切 于 点 C, 直 尺 另 一 边 交 量 角 器 于 点 A, D, 量 得 AD=10cm, 点 D在 量 角 器 上 的 读 数 为 60 ,则 该 直 尺 的 宽 度 为 cm. 解 析 : 连 接 OC, 直 尺 一 边 与 量 角 器 相 切 于
14、点 C, OC AD, AD=10, DOB=60 , DAO=30 , OE= 5 33 , OA=10 33 , CE=OC-OE=OA-OE= 5 33 .答 案 : 5 3315.甲 、 乙 两 个 机 器 人 检 测 零 件 , 甲 比 乙 每 小 时 多 检 测 20 个 , 甲 检 测 300 个 比 乙 检 测 200个 所 用 的 时 间 少 10%, 若 设 甲 每 小 时 检 测 x个 , 则 根 据 题 意 , 可 列 出 方 程 : .解 析 : 设 设 甲 每 小 时 检 测 x 个 , 则 乙 每 小 时 检 测 (x-20)个 ,根 据 题 意 得 , 300
15、20020 x x (1-10%).答 案 : 300 20020 x x (1-10%). 16.如 图 , 在 矩 形 ABCD 中 , AB=4, AD=2, 点 E 在 CD 上 , DE=1, 点 F 是 边 AB 上 一 动 点 , 以EF 为 斜 边 作 Rt EFP.若 点 P 在 矩 形 ABCD 的 边 上 , 且 这 样 的 直 角 三 角 形 恰 好 有 两 个 , 则 AF 的 值 是 .解 析 : EFP 是 直 角 三 角 形 , 且 点 P 在 矩 形 ABCD的 边 上 , P 是 以 EF为 直 径 的 圆 O与 矩形 ABCD的 交 点 , 当 AF=0
16、时 , 如 图 1, 此 时 点 P 有 两 个 , 一 个 与 D 重 合 , 一 个 交 在 边 AB上 ; 当 O 与 AD 相 切 时 , 设 与 AD边 的 切 点 为 P, 如 图 2, 此 时 EFP是 直 角 三 角 形 , 点 P只 有一 个 ,当 O与 BC相 切 时 , 如 图 4, 连 接 OP, 此 时 构 成 三 个 直 角 三 角 形 , 则 OP BC, 设 AF=x, 则 BF=P1C=4-x, EP1=x-1, OP EC, OE=OF, OG= 11 12 2xEP , O 的 半 径 为 : OF=OP= 12x +(4-x),在 Rt OGF中 , 由
17、 勾 股 定 理 得 : OF2=OG2+GF2, 2 2 21 14 12 2x xx , 解 得 : x=113 , 当 1 AF 113 时 , 这 样 的 直 角 三 角 形恰 好 有 两 个 , 当 AF=4, 即 F与 B重 合 时 , 这 样 的 直 角 三 角 形 恰 好 有 两 个 , 如 图 5, 综 上 所 述 , 则 AF的 值 是 : 0 或 1 AF 113 或 4.答 案 : 0 或 1 AF 113 或 4.三 、 解 答 题 (本 题 有 8 小 题 , 第 1719 题 每 题 6 分 , 第 20, 21 题 每 题 8 分 , 第 22, 23 题 每题
18、 10 分 , 第 24题 12分 , 共 66 分 )17.计 算 : (1)计 算 : 02 8 1 3 3 1 ;(2)化 简 并 求 值 a b abb a a b , 其 中 a=1, b=2. 解 析 : (1)首 先 计 算 绝 对 值 、 二 次 根 式 的 化 简 、 零 次 幂 , 然 后 再 计 算 乘 法 , 后 算 加 减 即 可 ;(2)首 先 把 分 式 化 简 , 计 算 括 号 里 面 的 减 法 , 再 算 括 号 外 的 乘 法 , 化 简 后 , 再 代 入 a、 b 的 值 .答 案 : (1)原 式 =4 2 2 3 1 4 2 ;(2)原 式 =
19、2 2a b ab a bab a b ;当 a=1, b=2时 , 原 式 =1-2=-1.18.用 消 元 法 解 方 程 组 3 54 3 2x yx y , 时 , 两 位 同 学 的 解 法 如 下 :解 法 一 : 由 - , 得 3x=3.解 法 二 :由 得 , 3x+(x-3y)=2, 把 代 入 , 得 3x+5=2.(1)反 思 : 上 述 两 个 解 题 过 程 中 有 无 计 算 错 误 ? 若 有 误 , 请 在 错 误 处 打 “ “ .(2)请 选 择 一 种 你 喜 欢 的 方 法 , 完 成 解 答 .解 析 : (1)观 察 两 个 解 题 过 程 即 可
20、 求 解 ;(2)根 据 加 减 消 元 法 解 方 程 即 可 求 解 .答 案 : (1)解 法 一 中 的 解 题 过 程 有 错 误 ,由 - , 得 3x=3“ ” ,应 为 由 - , 得 -3x=3; (2)由 - , 得 -3x=3, 解 得 x=-1,把 x=-1代 入 , 得 -1-3y=5, 解 得 y=-2.故 原 方 程 组 的 解 是 , 12xy 19.已 知 : 在 ABC 中 , AB=AC, D 为 AC 的 中 点 , DE AB, DF BC, 垂 足 分 别 为 点 E, F, 且DE=DF.求 证 : ABC是 等 边 三 角 形 . 解 析 : 只
21、 要 证 明 Rt ADE Rt CDF, 推 出 A= C, 推 出 BA=BC, 又 AB=AC, 即 可 推 出 AB=BC=AC.答 案 : DE AB, DF BC, 垂 足 分 别 为 点 E, F, AED= CFD=90 , D 为 AC 的 中 点 , AD=DC,在 Rt ADE和 Rt CDF中 , AD DCDE DF , Rt ADE Rt CDF, A= C, BA=BC, AB=AC, AB=BC=AC, ABC是 等 边 三 角 形 .20.某 厂 为 了 检 验 甲 、 乙 两 车 间 生 产 的 同 一 款 新 产 品 的 合 格 情 况 (尺 寸 范 围
22、为 176mm 185mm的 产 品 为 合 格 ), 随 机 各 抽 取 了 20个 样 品 进 行 检 测 , 过 程 如 下 :收 集 数 据 (单 位 : mm)甲 车 间 : 168, 175, 180, 185, 172, 189, 185, 182, 185, 174, 192, 180, 185, 178, 173,185, 169, 187, 176, 180. 乙 车 间 : 186, 180, 189, 183, 176, 173, 178, 167, 180, 175, 178, 182, 180, 179, 185,180, 184, 182, 180, 183.整
23、理 数 据 :分 析 数 据 : 应 用 数 据 :(1)计 算 甲 车 间 样 品 的 合 格 率 .(2)估 计 乙 车 间 生 产 的 1000个 该 款 新 产 品 中 合 格 产 品 有 多 少 个 ?(3)结 合 上 述 数 据 信 息 , 请 判 断 哪 个 车 间 生 产 的 新 产 品 更 好 , 并 说 明 理 由 .解 析 : (1)利 用 所 列 举 的 数 据 得 出 甲 车 间 样 品 的 合 格 率 ;(2)得 出 乙 车 间 样 品 的 合 格 产 品 数 进 而 得 出 乙 车 间 样 品 的 合 格 率 进 而 得 出 答 案 ;(3)利 用 平 均 数 、
24、 方 差 的 意 义 分 别 分 析 得 出 答 案 .答 案 : (1)甲 车 间 样 品 的 合 格 率 为 : 5 620 100%=55%;(2) 乙 车 间 样 品 的 合 格 产 品 数 为 : 20-(1+2+2)=15(个 ), 乙 车 间 样 品 的 合 格 率 为 : 1520 100%=75%, 乙 车 间 的 合 格 产 品 数 为 : 1000 75%=750(个 ); (3) 乙 车 间 合 格 率 比 甲 车 间 高 , 所 以 乙 车 间 生 产 的 新 产 品 更 好 ; 甲 、 乙 平 均 数 相 等 , 且 均 在 合 格 范 围 内 , 而 乙 的 方
25、差 小 于 甲 的 方 差 , 说 明 乙 比 较 稳 定 , 所以 乙 车 间 生 产 的 新 产 品 更 好 .21.小 红 帮 弟 弟 荡 秋 千 (如 图 1), 秋 千 离 地 面 的 高 度 h(m)与 摆 动 时 间 t(s)之 间 的 关 系 如 图 2所 示 . (1)根 据 函 数 的 定 义 , 请 判 断 变 量 h 是 否 为 关 于 t 的 函 数 ?(2)结 合 图 象 回 答 : 当 t=0.7s时 , h 的 值 是 多 少 ? 并 说 明 它 的 实 际 意 义 . 秋 千 摆 动 第 一 个 来 回 需 多 少 时 间 ?解 析 : (1)根 据 图 象
26、和 函 数 的 定 义 可 以 解 答 本 题 ;(2) 根 据 函 数 图 象 可 以 解 答 本 题 ; 根 据 函 数 图 象 中 的 数 据 可 以 解 答 本 题 .答 案 : (1)由 图 象 可 知 , 对 于 每 一 个 摆 动 时 间 t, h 都 有 唯 一 确 定 的 值 与 其 对 应 , 变 量 h是 关 于 t 的 函 数 ;(2) 由 函 数 图 象 可 知 , 当 t=0.7s 时 , h=0.5m, 它 的 实 际 意 义 是 秋 千 摆 动 0.7s时 , 离 地 面 的 高 度 是 0.5m; 由 图 象 可 知 , 秋 千 摆 动 第 一 个 来 回 需
27、 2.8s.22.如 图 1, 滑 动 调 节 式 遮 阳 伞 的 立 柱 AC 垂 直 于 地 面 AB, P为 立 柱 上 的 滑 动 调 节 点 , 伞 体 的截 面 示 意 图 为 PDE, F 为 PD 的 中 点 , AC=2.8m, PD=2m, CF=1m, DPE=20 , 当 点 P 位 于初 始 位 置 P0 时 , 点 D 与 C 重 合 (图 2).根 据 生 活 经 验 , 当 太 阳 光 线 与 PE 垂 直 时 , 遮 阳 效 果最 佳 . (1)上 午 10: 00 时 , 太 阳 光 线 与 地 面 的 夹 角 为 65 (图 3), 为 使 遮 阳 效 果
28、 最 佳 , 点 P 需 从P0上 调 多 少 距 离 ? (结 果 精 确 到 0.1m)(2)中 午 12: 00 时 , 太 阳 光 线 与 地 面 垂 直 (图 4), 为 使 遮 阳 效 果 最 佳 , 点 P 在 (1)的 基 础 上还 需 上 调 多 少 距 离 ? (结 果 精 确 到 0.1m)(参 考 数 据 : sin70 0.94, cos70 0.34,tan70 2.75, 2 1.41, 3 1.73)解 析 : (1)只 要 证 明 CFP1是 等 腰 直 角 三 角 形 , 即 可 解 决 问 题 ;(2)解 直 角 三 角 形 求 出 CP 2的 长 即 可
29、 解 决 问 题 .答 案 : (1)如 图 2 中 , 当 P 位 于 初 始 位 置 时 , CP0=2m,如 图 3中 , 上 午 10: 00 时 , 太 阳 光 线 与 地 面 的 夹 角 为 65 , 上 调 的 距 离 为 P 0P1. 1=90 , CAB=90 , ABE=65 , AP1E=115 , CP1E=65 , DP1E=20 , CP1F=45 , CF=P1F=1m, C= CP1F=45 , CP1F 是 等 腰 直 角 三 角 形 , P1C= 2 m, P0P1=CP0-P1C=2- 2 0.6m,即 为 使 遮 阳 效 果 最 佳 , 点 P 需 从
30、P0上 调 0.6m.(2)如 图 4 中 , 中 午 12: 00 时 , 太 阳 光 线 与 地 面 垂 直 (图 4), 为 使 遮 阳 效 果 最 佳 , 点 P调 到P 2处 . P2E AB, CP2E= CAB=90 , DP2E=20 , CP2F=70 , 作 FG AC于 G, 则 CP2=2CG=1 cos70 0.68m, P1P2=CP1-CP2= 2 -0.68 0.7m, 即 点 P 在 (1)的 基 础 上 还 需 上 调 0.7m.23.已 知 , 点 M 为 二 次 函 数 y=-(x-b)2+4b+1图 象 的 顶 点 , 直 线 y=mx+5 分 别 交
31、 x 轴 正 半 轴 , y轴 于 点 A, B. (1)判 断 顶 点 M 是 否 在 直 线 y=4x+1上 , 并 说 明 理 由 .(2)如 图 1, 若 二 次 函 数 图 象 也 经 过 点 A, B, 且 mx+5 -(x-b)2+4b+1, 根 据 图 象 , 写 出 x的取 值 范 围 .(3)如 图 2, 点 A 坐 标 为 (5, 0), 点 M 在 AOB内 , 若 点 C( 14 , y1), D( 34 , y2)都 在 二 次 函 数图 象 上 , 试 比 较 y1与 y2的 大 小 .解 析 : (1)根 据 顶 点 式 解 析 式 , 可 得 顶 点 坐 标
32、, 根 据 点 的 坐 标 代 入 函 数 解 析 式 检 验 , 可 得 答案 ;(2)根 据 待 定 系 数 法 , 可 得 二 次 函 数 的 解 析 式 , 根 据 函 数 图 象 与 不 等 式 的 关 系 : 图 象 在 下 方的 函 数 值 小 , 可 得 答 案 ;(3)根 据 解 方 程 组 , 可 得 顶 点 M 的 纵 坐 标 的 范 围 , 根 据 二 次 函 数 的 性 质 , 可 得 答 案 .答 案 : (1)点 M 为 二 次 函 数 y=-(x-b) 2+4b+1图 象 的 顶 点 , M 的 坐 标 是 (b, 4b+1),把 x=b代 入 y=4x+1,
33、得 y=4b+1, 点 M 在 直 线 y=4x+1 上 ;(2)如 图 1, 直 线 y=mx+5交 y 轴 于 点 B, B 点 坐 标 为 (0, 5)又 B在 抛 物 线 上 , 5=-(0-b)2+4b+1=5, 解 得 b=2, 二 次 函 数 的 解 析 是 为 y=-(x-2)2+9,当 y=0时 , -(x-2)2+9=0, 解 得 x1=5, x2=-1, A(5, 0).由 图 象 , 得 : 当 mx+5 -(x-b)2+4b+1 时 , x的 取 值 范 围 是 x 0 或 x 5;(3)如 图 2, 直 线 y=4x+1 与 直 线 AB交 于 点 E, 与 y 轴
34、 交 于 F,A(5, 0), B(0, 5)得 直 线 AB 的 解 析 式 为 y=-x+5,联 立 EF, AB得 方 程 组 4 15y xy x , 解 得 45215xy , , 点 E( 4 215 5, ), F(0, 1).点 M 在 AOB内 , 1 4b+1 21 405 5b, .当 点 C, D 关 于 抛 物 线 的 对 称 轴 对 称 时 , b- 1 34 4 -b, b= 12 ,且 二 次 函 数 图 象 开 口 向 下 , 顶 点 M在 直 线 y=4x+1上 , 综 上 : 当 0 b 12 时 , y1 y2, 当 b= 12 时 , y1=y2, 当
35、 1 42 5b 时 , y1 y2.24. 我 们 定 义 : 如 果 一 个 三 角 形 一 条 边 上 的 高 等 于 这 条 边 , 那 么 这 个 三 角 形 叫 做 “ 等 高 底 ”三 角 形 , 这 条 边 叫 做 这 个 三 角 形 的 “ 等 底 ” . (1)概 念 理 解 :如 图 1, 在 ABC 中 , AC=6, BC=3, ACB=30 , 试 判 断 ABC 是 否 是 ” 等 高 底 ” 三 角 形 ,请 说 明 理 由 .(2)问 题 探 究 :如 图 2, ABC 是 “ 等 高 底 ” 三 角 形 , BC是 ” 等 底 ” , 作 ABC关 于 BC
36、所 在 直 线 的 对 称 图 形得 到 A BC, 连 结 AA 交 直 线 BC于 点 D.若 点 B 是 AA C 的 重 心 , 求 ACBC 的 值 .(3)应 用 拓 展 :如 图 3, 已 知 l 1 l2, l1与 l2之 间 的 距 离 为 2.“ 等 高 底 ” ABC的 “ 等 底 ” BC在 直 线 l1上 ,点 A 在 直 线 l2上 , 有 一 边 的 长 是 BC 的 2 倍 .将 ABC绕 点 C 按 顺 时 针 方 向 旋 转 45 得 到 A B C, A C所 在 直 线 交 l2于 点 D.求 CD 的 值 .解 析 : (1)过 A作 AD BC于 D
37、, 则 ADC是 直 角 三 角 形 , ADC=90 , 依 据 ACB=30 , AC=6,可 得 AD= 12 AC=3, 进 而 得 到 AD=BC=3, 即 ABC是 “ 等 高 底 ” 三 角 形 ;(2)依 据 ABC是 “ 等 高 底 ” 三 角 形 , BC是 “ 等 底 ” , 可 得 AD=BC, 依 据 ABC 关 于 BC所 在 直线 的 对 称 图 形 是 A BC, 点 B 是 AA C 的 重 心 , 即 可 得 到 BC=2BD, 设 BD=x, 则 AD=BC=2x,CD=3x, 由 勾 股 定 理 得 AC= 13 x, 即 可 得 到 13 132 2A
38、C xBC x ; (3) 当 AB= 2 BC 时 , 画 出 图 形 分 两 种 情 况 分 别 求 得 22 103CD x 或2 2 2CD AC ; 当 AC=2BC时 , 画 出 图 形 分 两 种 情 况 讨 论 , 求 得 CD=AB=BC=2.答 案 : (1) ABC是 “ 等 高 底 ” 三 角 形 ;理 由 : 如 图 1, 过 A作 AD BC于 D, 则 ADC是 直 角 三 角 形 , ADC=90 , ACB=30 , AC=6, AD= 12 AC=3, AD=BC=3, 即 ABC是 “ 等 高 底 ” 三 角 形 ; (2)如 图 2, ABC是 “ 等
39、高 底 ” 三 角 形 , BC 是 “ 等 底 ” , AD=BC, ABC关 于 BC所 在 直 线 的 对 称 图 形 是 ABC, ADC=90 , 点 B是 AA C 的 重 心 , BC=2BD, 设 BD=x, 则 AD=BC=2x, CD=3x,由 勾 股 定 理 得 AC= 13 x, 13 132 2AC xBC x ;(3) 当 AB= 2 BC 时 , .如 图 3, 作 AE BC于 E, DF AC于 F, “ 等 高 底 ” ABC的 “ 等 底 ” 为 BC, l1 l2, l1与 l2之 间 的 距 离 为 2, AB= 2 BC, BC=AE=2, AB=2
40、 2 , BE=2, 即 EC=4, AC=2 5 , ABC绕 点 C按 顺 时 针 方 向 旋 转 45 得 到 ABC, DCF=45 ,设 DF=CF=x, l1 l2, ACE= DAF, 12DF AEAF CE , 即 AF=2x, AC=3x=2 5 , 2 25 2 103 3x CD x , . .如 图 4, 此 时 ABC等 腰 直 角 三 角 形 , ABC绕 点 C按 顺 时 针 方 向 旋 转 45 得 到 ABC, ACD是 等 腰 直 角 三 角 形 , 2 2 2CD AC . 当 AC= 2 BC 时 , .如 图 5, 此 时 ABC是 等 腰 直 角 三 角 形 , ABC绕 点 C按 顺 时 针 方 向 旋 转 45 得 到 ABC, AC l1, CD=AB=BC=2; .如 图 6, 作 AE BC于 E, 则 AE=BC, 2 2AC BC AE , ACE=45 , ABC绕 点 C按 顺 时 针 方 向 旋 转 45 , 得 到 ABC 时 , 点 A在 直 线 l 1上 , AC l2, 即 直 线 AC与 l2无 交 点 ,综 上 所 述 , CD 的 值 为 2 10 2 2 23 , ,