1、2018年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (新 课 标 卷 )数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 题 共 12小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 60 分 。 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的 。1.已 知 集 合 A=x|x 1 0， B=0， 1， 2， 则 A B=( )A.0B.1C.1， 2D.0， 1， 2解 析 ： A=x|x 1 0=x|x 1， B=0， 1， 2， A B=x|x 1 0， 1， 2=1， 2.答 案 ： C2.(1+i)(2 i)=( ) A. 3 iB. 3+i
2、C.3 iD.3+i解 析 ： (1+i)(2 i)=3+i.答 案 ： D3.中 国 古 建 筑 借 助 榫 卯 将 木 构 件 连 接 起 来 .构 件 的 凸 出 部 分 叫 榫 头 ， 凹 进 部 分 叫 卯 眼 ， 图 中木 构 件 右 边 的 小 长 方 体 是 榫 头 .若 如 图 摆 放 的 木 构 件 与 某 一 带 卯 眼 的 木 构 件 咬 合 成 长 方 体 ，则 咬 合 时 带 卯 眼 的 木 构 件 的 俯 视 图 可 以 是 ( ) A.B.C.D.解 析 ： 由 题 意 可 知 ， 如 图 摆 放 的 木 构 件 与 某 一 带 卯 眼 的 木 构 件 咬 合
3、成 长 方 体 ， 小 的 长 方 体 ，是 榫 头 ， 从 图 形 看 出 ， 轮 廓 是 长 方 形 ， 内 含 一 个 长 方 形 ， 并 且 一 条 边 重 合 ， 另 外 3边 是 虚 线 ， 所 以 木 构 件 的 俯 视 图 是 A. 答 案 ： A4.若 sin =13 ， 则 cos2 =( )A. 89B. 79C. 79D. 89解 析 ： sin =13 ， cos2 =1 2sin2 = 1 92 71 9 .答 案 ： B5.(x2+ 2x )5的 展 开 式 中 x4的 系 数 为 ( )A.10B.20C.40D.80解 析 ： 由 二 项 式 定 理 得 (x
4、 2+ 2x )5的 展 开 式 的 通 项 为 ： 52 10 31 5 522 rrr r r rr xT C x C x ，由 10 3r=4， 解 得 r=2， (x2+ 2x )5的 展 开 式 中 x4的 系 数 为 52 22 C =40.答 案 ： C6.直 线 x+y+2=0分 别 与 x 轴 ， y 轴 交 于 A， B两 点 ， 点 P 在 圆 (x 2) 2+y2=2 上 ， 则 ABP面 积的 取 值 范 围 是 ( )A.2， 6B.4， 8C. 2 3 2， D.2 2 3 2， 解 析 ： 直 线 x+y+2=0分 别 与 x 轴 ， y轴 交 于 A， B 两
5、 点 ， 令 x=0， 得 y= 2， 令 y=0， 得 x= 2， A( 2， 0)， B(0， 2)， |AB|= 4+4=2 2 ， 点 P在 圆 (x 2) 2+y2=2上 ， 设 P 2 co2 s sin2 ， ， 点 P到 直 线 x+y+2=0的 距 离 ： 2sin 42 cos sin 2 42 22 2d ， sin 4 1， 1， d= 22sin 44 2 3 2， ， ABP面 积 的 取 值 范 围 是 ：1 12 2 2 2 2 3 22 2 ， =2， 6.答 案 ： A7.函 数 y= x 4+x2+2 的 图 象 大 致 为 ( )A. B.C. D.解
6、析 ： 函 数 过 定 点 (0， 2)， 排 除 A， B.函 数 的 导 数 f (x)= 4x3+2x= 2x(2x2 1)，由 f (x) 0 得 2x(2x2 1) 0，得 x 22 或 0 x 22 ， 此 时 函 数 单 调 递 增 ， 排 除 C.答 案 ： D 8.某 群 体 中 的 每 位 成 员 使 用 移 动 支 付 的 概 率 都 为 p， 各 成 员 的 支 付 方 式 相 互 独 立 .设 X 为 该群 体 的 10 位 成 员 中 使 用 移 动 支 付 的 人 数 ， DX=2.4， P(x=4) P(X=6)， 则 p=( )A.0.7B.0.6C.0.4D
7、.0.3解 析 ： 某 群 体 中 的 每 位 成 员 使 用 移 动 支 付 的 概 率 都 为 p， 看 做 是 独 立 重 复 事 件 ， 满 足 X B(10，p)，P(x=4) P(X=6)， 可 得 6 44 4 6 610 101 1C p p C p p ， 可 得 1 2p 0.即 12p .因 为 DX=2.4， 可 得 10p(1 p)=2.4， 解 得 p=0.6或 p=0.4(舍 去 ).答 案 ： B9. ABC的 内 角 A， B， C的 对 边 分 别 为 a， b， c.若 ABC的 面 积 为 2 2 24a b c ， 则 C=( ) A. 2B. 3C.
8、 4D. 6解 析 ： ABC的 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c. ABC的 面 积 为 2 2 24a b c ， S ABC= 2 2 2s1 in 42 a b cab C ， sinC= 2 2 22a b cbc =cosC， 0 C ， C= 4 .答 案 ： C10.设 A， B， C， D 是 同 一 个 半 径 为 4 的 球 的 球 面 上 四 点 ， ABC为 等 边 三 角 形 且 面 积 为 9 3，则 三 棱 锥 D ABC体 积 的 最 大 值 为 ( )A.12 3B.18 3 C.24 3D.54 3解 析 ： ABC为 等 边
9、 三 角 形 且 面 积 为 9 3， 可 得 23 9 34 AB ， 解 得 AB=6，球 心 为 O， 三 角 形 ABC 的 外 心 为 O ， 显 然 D 在 O O的 延 长 线 与 球 的 交 点 如 图 ： 222 3 6 2 3 4 2 3 23 2O C OO ， ，则 三 棱 锥 D ABC高 的 最 大 值 为 ： 6，则 三 棱 锥 D ABC体 积 的 最 大 值 为 ： 31 3 6 18 33 4 .答 案 ： B11.设 F1， F2是 双 曲 线 C： 222 2 1yxa b (a 0.b 0)的 左 ， 右 焦 点 ， O 是 坐 标 原 点 .过 F2
10、作 C的 一 条 渐 近 线 的 垂 线 ， 垂 足 为 P， 若 |PF 1|= 6|OP|， 则 C 的 离 心 率 为 ( )A. 5B.2C. 3D. 2解 析 ： 双 曲 线 C： 222 2 1yxa b (a 0.b 0)的 一 条 渐 近 线 方 程 为 by xa ， 点 F 2到 渐 近 线 的 距 离 2 2bcd ba b ， 即 |PF2|=b， 2 2 2 22 2 2cos bOP OF PF c b a PFO c ， ， |PF1|= 6|OP|， |PF1|= 6a，在 三 角 形 F 1PF2中 ， 由 余 弦 定 理 可 得 |PF1|2=|PF2|2+
11、|F1F2|2 2|PF2| |F1F2|COS PF2O， 6a2=b2+4c2 2 b 2c bc =4c2 3b2=4c2 3(c2 a2)，即 3a2=c2，即 3a=c， 3ce a .答 案 ： C12.设 a=log 0.20.3， b=log20.3， 则 ( )A.a+b ab 0B.ab a+b 0C.a+b 0 abD.ab 0 a+b解 析 ： a=log0.20.3=lg0.3lg5 ， b=log20.3=lg0.3lg2 ， 5lg0.3lglg0.3 lg5 lg2lg0.3 lg0.3 2lg2 lg5 lg2lg5 lg2lg5a b ，10lg0.3 lg
12、lg0.3 lg0.3 3lg2 lg5 lg2lg5ab ， 10 5lg lg3 2 ， lg0.3 0lg2lg5 ， ab a+b 0.答 案 ： B二 、 填 空 题 ： 本 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 20分 .13.已 知 向 量 a=(1， 2)， b=(2， 2)， c=(1， ).若 c (2a b )， 则 =_.解 析 ： 向 量 a=(1， 2)， b=(2， 2)， 2a b =(4， 2)， c=(1， )， c (2a b )， 14 2 ，解 得 =12 .答 案 ： 1214.曲 线 y=(ax+1)e x在 点 (0， 1)处 的 切
13、 线 的 斜 率 为 2， 则 a=_.解 析 ： 曲 线 y=(ax+1)ex， 可 得 y =aex+(ax+1)ex，曲 线 y=(ax+1)ex在 点 (0， 1)处 的 切 线 的 斜 率 为 2，可 得 ： a+1= 2， 解 得 a= 3.答 案 ： 315.函 数 f(x)=cos(3x+ 6 )在 0， 的 零 点 个 数 为 _.解 析 ： f(x)=cos(3x+ 6 )=0， 3 6 2x k ， k Z， x= 19 3k ， k Z， 当 k=0时 ， x= 9 ，当 k=1时 ， x=49 ，当 k=2时 ， x=79 ，当 k=3时 ， x=109， x 0，
14、， x= 9 ， 或 x=49 ， 或 x=79 ， 故 零 点 的 个 数 为 3.答 案 ： 316.已 知 点 M( 1， 1)和 抛 物 线 C： y2=4x， 过 C的 焦 点 且 斜 率 为 k 的 直 线 与 C 交 于 A， B 两 点 .若 AMB=90 ， 则 k=_.解 析 ： 抛 物 线 C： y2=4x的 焦 点 F(1， 0)， 过 A， B 两 点 的 直 线 方 程 为 y=k(x 1)，联 立 2 4 1y xy k x 可 得 ， k 2x2 2(2+k2)x+k2=0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 21 2 24 2kx x k ， x
15、1x2=1， y1+y2=k(x1+x2 2)= 4k ， y1y2=k2(x1 1)(x2 1)=k2x1x2 (x1+x2)+1= 4， M( 1， 1)， MA =(x 1+1， y1 1)， MB =(x2+1， y2 1)， AMB=90 =0， 0MA MB (x1+1)(x2+1)+(y1 1)(y2 1)=0，整 理 可 得 ， x1x2+(x1+x2)+y1y2 (y1+y2)+2=0， 241 2 4 4 2 0kk ，即 k2 4k+4=0， k=2.答 案 ： 2三 、 解 答 题 ： 共 70 分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算
16、 步 骤 。 第 17 21题 为 必 考 题 ，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 。 第 22、 23题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 作 答 。 (一 )必 考 题 ： 共 60分 。17.等 比 数 列 a n中 ， a1=1， a5=4a3.(1)求 an的 通 项 公 式 ；(2)记 Sn为 an的 前 n项 和 .若 Sm=63， 求 m.解 析 ： (1)利 用 等 比 数 列 通 项 公 式 列 出 方 程 ， 求 出 公 比 q= 2， 由 此 能 求 出 an的 通 项 公 式 .(2)当 a1=1， q= 2时 ， 1 23 nnS ， 由 Sm=
17、63， 得 1 23 mmS =63， m N， 无 解 ； 当a1=1， q=2 时 ， Sn=2n 1， 由 此 能 求 出 m.答 案 ： (1) 等 比 数 列 a n中 ， a1=1， a5=4a3. 1 q4=4 (1 q2)，解 得 q= 2，当 q=2时 ， an=2n 1，当 q= 2 时 ， an=( 2)n 1， an的 通 项 公 式 为 ， an=2n 1， 或 an=( 2)n 1.(2)记 Sn为 an的 前 n项 和 .当 a 1=1， q= 2时 ， 1 1 1 2 1 21 31 2 n nnn a qS q ，由 Sm=63， 得 1 23 mmS =63
18、， m N， 无 解 ； 当 a1=1， q=2时 ， 1 1 1 2 2 11 1 2n n nn a qS q ，由 Sm=63， 得 Sm=2m 1=63， m N，解 得 m=6.18.某 工 厂 为 提 高 生 产 效 率 ， 开 展 技 术 创 新 活 动 ， 提 出 了 完 成 某 项 生 产 任 务 的 两 种 新 的 生 产方 式 .为 比 较 两 种 生 产 方 式 的 效 率 ， 选 取 40名 工 人 ， 将 他 们 随 机 分 成 两 组 ， 每 组 20人 .第 一组 工 人 用 第 一 种 生 产 方 式 ， 第 二 组 工 人 用 第 二 种 生 产 方 式 .
19、根 据 工 人 完 成 生 产 任 务 的 工 作 时间 (单 位 ： min)绘 制 了 如 下 茎 叶 图 ： (1)根 据 茎 叶 图 判 断 哪 种 生 产 方 式 的 效 率 更 高 ？ 并 说 明 理 由 ；(2)求 40 名 工 人 完 成 生 产 任 务 所 需 时 间 的 中 位 数 m， 并 将 完 成 生 产 任 务 所 需 时 间 超 过 m 和 不超 过 m的 工 人 数 填 入 下 面 的 列 联 表 ： 超 过 m 不 超 过 m第 一 种 生 产 方 式第 二 种 生 产 方 式(3)根 据 (2)中 的 列 联 表 ， 能 否 有 99%的 把 握 认 为 两
20、 种 生 产 方 式 的 效 率 有 差 异 ？附 ： 22 n ad bcK a b c d a c b d ，P(K 2 k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828解 析 ： (1)根 据 茎 叶 图 中 的 数 据 判 断 第 二 种 生 产 方 式 的 工 作 时 间 较 少 些 ， 效 率 更 高 ；(2)根 据 茎 叶 图 中 的 数 据 计 算 它 们 的 中 位 数 ， 再 填 写 列 联 表 ；(3)列 联 表 中 的 数 据 计 算 观 测 值 ， 对 照 临 界 值 得 出 结 论 .答 案 ： (1)根 据 茎 叶 图 中 的 数
21、据 知 ，第 一 种 生 产 方 式 的 工 作 时 间 主 要 集 中 在 70 92 之 间 ，第 二 种 生 产 方 式 的 工 作 时 间 主 要 集 中 在 65 90 之 间 ，所 以 第 二 种 生 产 方 式 的 工 作 时 间 较 少 些 ， 效 率 更 高 ；(2)这 40 名 工 人 完 成 生 产 任 务 所 需 时 间 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 后 ，排 在 中 间 的 两 个 数 据 是 79和 81， 计 算 它 们 的 中 位 数 为 m=79 812 =80；由 此 填 写 列 联 表 如 下 ； 超 过 m 不 超 过 m 总 计 第 一 种
22、生 产 方 式 15 5 20第 二 种 生 产 方 式 5 15 20总 计 20 20 40(3)根 据 (2)中 的 列 联 表 ， 计 算 2 22 40 15 15 5 5 10 6.63520 20 20 20n ad bcK a b c d a c b d ， 能 有 99%的 把 握 认 为 两 种 生 产 方 式 的 效 率 有 差 异 .19.如 图 ， 边 长 为 2的 正 方 形 ABCD所 在 的 平 面 与 半 圆 弧 CD所 在 平 面 垂 直 ， M 是 CD上 异 于 C， D 的 点 .(1)证 明 ： 平 面 AMD 平 面 BMC；(2)当 三 棱 锥
23、M ABC体 积 最 大 时 ， 求 面 MAB与 面 MCD所 成 二 面 角 的 正 弦 值 .解 析 ： (1)根 据 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 MC 平 面 ADM即 可 .(2)根 据 三 棱 锥 的 体 积 最 大 ， 确 定 M 的 位 置 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 求 出 点 的 坐 标 ， 利 用 向量 法 进 行 求 解 即 可 .答 案 ： (1)证 明 ： 在 半 圆 中 ， DM MC， 正 方 形 ABCD 所 在 的 平 面 与 半 圆 弧 CD所 在 平 面 垂 直 ， AD 平 面 BCM， 则 AD MC， AD DM=D
24、， MC 平 面 ADM， MC平 面 MBC， 平 面 AMD 平 面 BMC.(2) ABC的 面 积 为 定 值 ， 要 使 三 棱 锥 M ABC体 积 最 大 ， 则 三 棱 锥 的 高 最 大 ，此 时 M为 圆 弧 的 中 点 ，建 立 以 O 为 坐 标 原 点 ， 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 2， A(2， 1， 0)， B(2， 1， 0)， M(0， 0， 1)，则 平 面 MCD的 法 向 量 m =(1， 0， 0)，设 平 面 MAB的 法 向 量 为 n=(x， y， z)则 AB =(0， 2，
25、0)， AM=( 2， 1， 1)，由 n AB =2y=0， n AM = 2x+y+z=0，令 x=1，则 y=0， z=2， 即 n=(1， 0， 2)，则 1 1cos 1 1 4 5m nmn m n ， ， 则 面 MAB与 面 MCD所 成 二 面 角 的 正 弦 值 sin = 21 2 51 55 .20.已 知 斜 率 为 k 的 直 线 l 与 椭 圆 C： 22 14 3yx 交 于 A， B 两 点 ， 线 段 AB 的 中 点 为 M(1，m)(m 0).(1)证 明 ： k 12 ；(2)设 F 为 C的 右 焦 点 ， P 为 C 上 一 点 ， 且 0FP F
26、A FB .证 明 ： FA FP FB ， ， 成 等 差数 列 ， 并 求 该 数 列 的 公 差 .解 析 ： (1) 设 A(x 1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 利 用 点 差 法 得 6(x1 x2)+8m(y1 y2)=0 ，1 21 2 6 38 4y yk x x m m 又 点 M(1， m)在 椭 圆 内 ， 即 21 14 3m ， (m 0)， 解 得 m 的 取 值 范 围 ， 即 可 得 k 12 ，(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， P(x3， y3)， 可 得 x1+x2=2由 0FP FA FB ， 可 得 x3 1=0， 由
27、椭 圆 的 焦 半 径 公 式 得 则 |FA|=a ex1=2 12 x1， |FB|=2 12 x 2， |FP|=2 12 x3=32 .即 可 证 明 |FA|+|FB|=2|FP|， 求 得 A， B 坐 标 再 求 公 差 .答 案 ： (1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 线 段 AB 的 中 点 为 M(1， m)， x1+x2=2， y1+y2=2m将 A， B 代 入 椭 圆 C： 22 14 3yx 中 ， 可 得2 21 12 22 23 4 123 4 12x yx y ，两 式 相 减 可 得 ， 3(x 1+x2)(x1 x2)+4(y1+y2)(
28、y1 y2)=0，即 6(x1 x2)+8m(y1 y2)=0， 1 21 2 6 38 4y yk x x m m 点 M(1， m)在 椭 圆 内 ， 即 21 14 3m ， (m 0)，解 得 0 m 32 134 2k m .(2)证 明 ： 设 A(x 1， y1)， B(x2， y2)， P(x3， y3)，可 得 x1+x2=2， 0FP FA FB ， F(1， 0)， x1 1+x2 1+x3 1=0， y1+y2+y3=0， x3=1， m 0， 可 得 P在 第 一 象 限 ， 故 3 32 3 4y m ， ， k= 1由 椭 圆 的 焦 半 径 公 式 得 则 |F
29、A|=a ex1=2 12 x1， |FB|=2 12 x2， |FP|=2 12 x3= 32 . 则 |FA|+|FB|=4 12 (x1+x2) 3， |FA|+|FB|=2|FP|，联 立 2 2743 4 12y xx y ， 可 得 21 2 1 2 1 2 3 214 7x x x x x x 所 以 该 数 列 的 公 差 d满 足 1 212 3 212 14d x x ， 该 数 列 的 公 差 为 3 2128 .21.已 知 函 数 f(x)=(2+x+ax 2)ln(1+x) 2x.(1)若 a=0， 证 明 ： 当 1 x 0 时 ， f(x) 0； 当 x 0 时
30、 ， f(x) 0；(2)若 x=0 是 f(x)的 极 大 值 点 ， 求 a.解 析 ： (1)对 函 数 f(x)两 次 求 导 数 ， 分 别 判 断 f (x)和 f(x)的 单 调 性 ， 结 合 f(0)=0即 可 得出 结 论 ；(2)令 h(x)为 f (x)的 分 子 ， 令 h (0)计 算 a， 讨 论 a 的 范 围 ， 得 出 f(x)的 单 调 性 ， 从 额得 出 a的 值 .答 案 ： (1)证 明 ： 当 a=0 时 ， f(x)=(2+x)ln(1+x) 2x， (x 1). 2ln 1 1 1x xf x x f xx x ， ，可 得 x ( 1， 0
31、)时 ， f (x) 0， x (0， + )时 ， f (x) 0 f (x)在 ( 1， 0)递 减 ， 在 (0， + )递 增 ， f (x) f (0)=0， f(x)=(2+x)ln(1+x) 2x在 ( 1， + )上 单 调 递 增 ， 又 f(0)=0. 当 1 x 0时 ， f(x) 0； 当 x 0时 ， f(x) 0.(2)解 ： 由 f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x) 2x， 得f (x)=(1+2ax)ln(1+x)+ 22 1 2 1 ln 12 21 1ax x ax x xx axx x ，令 h(x)=ax2 x+(1+2ax)(1+x)ln(x+1
32、)，h (x)=4ax+(4ax+2a+1)ln(x+1).当 a 0， x 0 时 ， h (x) 0， h(x)单 调 递 增 ， h(x) h(0)=0， 即 f (x) 0， f(x)在 (0， + )上 单 调 递 增 ， 故 x=0不 是 f(x)的 极 大 值 点 ， 不 符 合 题 意 .当 a 0 时 ， h (x)=8a+4aln(x+1)+1 21ax ，显 然 h (x)单 调 递 减 ， 令 h (0)=0， 解 得 a= 16 . 当 1 x 0时 ， h (x) 0， 当 x 0 时 ， h (x) 0， h (x)在 ( 1， 0)上 单 调 递 增 ， 在 (
33、0， + )上 单 调 递 减 ， h (x) h (0)=0， h(x)单 调 递 减 ， 又 h(0)=0， 当 1 x 0时 ， h(x) 0， 即 f (x) 0，当 x 0 时 ， h(x) 0， 即 f (x) 0， f(x)在 ( 1， 0)上 单 调 递 增 ， 在 (0， + )上 单 调 递 减 ， x=0是 f(x)的 极 大 值 点 ， 符 合 题 意 ； 若 16 a 0， 则 h (0)=1+6a 0， h ( 1 64 aae 1)=(2a 1)(1 1 64 aae ) 0， h (x)=0在 (0， + )上 有 唯 一 一 个 零 点 ， 设 为 x 0，
34、当 0 x x0时 ， h (x) 0， h (x)单 调 递 增 ， h (x) h (0)=0， 即 f (x) 0， f(x)在 (0， x0)上 单 调 递 增 ， 不 符 合 题 意 ； 若 a 16 ， 则 h (0)=1+6a 0， h ( 21e 1)=(1 2a)e2 0， h (x)=0在 ( 1， 0)上 有 唯 一 一 个 零 点 ， 设 为 x1， 当 x1 x 0 时 ， h (x) 0， h (x)单 调 递 减 ， h (x) h (0)=0， h(x)单 调 递 增 ， h(x) h(0)=0， 即 f (x) 0， f(x)在 (x 1， 0)上 单 调 递
35、 减 ， 不 符 合 题 意 .综 上 ， a= 16 .(二 )选 考 题 ： 共 10分 。 请 考 生 在 第 22、 23 题 中 任 选 一 题 作 答 。 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一题 计 分 。 选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 22.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， O 的 参 数 方 程 为 cossinxy ， ( 为 参 数 )， 过 点 (0， 2 )且 倾 斜 角 为 的 直 线 l 与 O交 于 A， B两 点 .(1)求 的 取 值 范 围 ；(2)求 AB 中 点 P的 轨 迹 的 参 数 方 程 .解 析 ：
36、(1) O的 普 通 方 程 为 x 2+y2=1， 圆 心 为 O(0， 0)， 半 径 r=1， 当 = 2 时 ， 直 线 l 的 方程 为 x=0， 成 立 ； 当 2 时 ， 过 点 (0， 2 )且 倾 斜 角 为 的 直 线 l 的 方 程 为y=tan x+ 2 ， 从 而 圆 心 O(0， 0)到 直 线 l 的 距 离 2 11 ta2nd ， 进 而 求 出4 2 或 32 4 ， 由 此 能 求 出 的 取 值 范 围 .(2) 设 直 线 l 的 方 程 为 x=m(y+ 2 ) ， 联 立 2 2 1 2x m yx y ， 得 2 2 2 21 2 2 2 1 0
37、m y m y m ， 由 此 利 用 韦 达 定 理 、 中 点 坐 标 公 式 能 求 出 AB 中 点 P 的 轨 迹 的 参 数 方 程 .答 案 ： (1) O的 参 数 方 程 为 cossinxy ( 为 参 数 )， O的 普 通 方 程 为 x2+y2=1， 圆 心 为 O(0， 0)， 半 径 r=1，当 = 2 时 ， 过 点 (0， 2 )且 倾 斜 角 为 的 直 线 l 的 方 程 为 x=0， 成 立 ；当 2 时 ， 过 点 (0， 2 )且 倾 斜 角 为 的 直 线 l 的 方 程 为 y=tan x+ 2 ， 倾 斜 角 为 的 直 线 l 与 O交 于
38、A， B两 点 ， 圆 心 O(0， 0)到 直 线 l的 距 离 2 11 ta2nd ， tan 2 1， tan 1 或 tan 1， 4 2 或 32 4 ，综 上 的 取 值 范 围 是 ( 34 4 ， ).(2)由 (1)知 直 线 l 的 斜 率 不 为 0， 设 直 线 l的 方 程 为 x=m(y+ 2 )，设 A(x1， y1)， (B(x2， y2)， P(x3， y3)，联 立 2 2 1 2x m yx y ， 得 2 2 2 21 2 2 2 1 0m y m y m ，21 2 221 2 2 2 12 112my y mmy y m ， 1 2 1 2 2 3
39、22 2 2 2 21mx x m y m y mm ，21 2 1 23 32 22 22 21 1x x y ym mx ym m ， ， AB 中 点 P的 轨 迹 的 参 数 方 程 为 2 222 12 1mm mmxy ， (m 为 参 数 )， ( 1 m 1).选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 (10 分 )23.设 函 数 f(x)=|2x+1|+|x 1|.(1)画 出 y=f(x)的 图 象 ；(2)当 x 0， + )时 ， f(x) ax+b， 求 a+b的 最 小 值 . 解 析 ： (1)利 用 分 段 函 数 的 性 质 将 函 数 表 示 为 分 段 函
40、数 形 式 进 行 作 图 即 可 .(2)将 不 等 式 恒 成 立 转 化 为 图 象 关 系 进 行 求 解 即 可 .答 案 ： (1)当 x 12 时 ， f(x)= (2x+1) (x 1)= 3x，当 12 x 1， f(x)=(2x+1) (x 1)=x+2，当 x 1 时 ， f(x)=(2x+1)+(x 1)=3x， 则 1213 2 1123 x xf x x xx x ， ， ， 对 应 的 图 象 为 ： 画 出 y=f(x)的 图 象 ；(2)当 x 0， + )时 ， f(x) ax+b，当 x=0时 ， f(0)=2 0 a+b， b 2，当 x 0 时 ， 要 使 f(x) ax+b恒 成 立 ，则 函 数 f(x)的 图 象 都 在 直 线 y=ax+b 的 下 方 或 在 直 线 上 ， f(x)的 图 象 与 y 轴 的 交 点 的 纵 坐 标 为 2，且 各 部 分 直 线 的 斜 率 的 最 大 值 为 3，故 当 且 仅 当 a 3 且 b 2时 ， 不 等 式 f(x) ax+b 在 0， + )上 成 立 ，即 a+b的 最 小 值 为 5.
