1、2018年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (新 课 标 )数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.设 1 21 iz ii ， 则 |z|=( )A.0B. 12C.1D. 2 解 析 ： 利 用 复 数 的 代 数 形 式 的 混 合 运 算 化 简 后 ， 然 后 求 解 复 数 的 摸 . 211 2 2 21 1 1 iiz i i i i ii i i ，则 |z|=1.答 案 ： C2.已
2、知 集 合 A=x|x 2-x-2 0， 则 CRA=( )A.x|-1 x 2B.x|-1 x 2C.x|x -1 x|x 2D.x|x -1 x|x 2解 析 ： 通 过 求 解 不 等 式 ， 得 到 集 合 A， 然 后 求 解 补 集 即 可 .集 合 A=x|x2-x-2 0，可 得 A=x|x -1或 x 2，则 ： C RA=x|-1 x 2.答 案 ： B3.某 地 区 经 过 一 年 的 新 农 村 建 设 ， 农 村 的 经 济 收 入 增 加 了 一 倍 ， 实 现 翻 番 .为 更 好 地 了 解 该地 区 农 村 的 经 济 收 入 变 化 情 况 ， 统 计 了
3、该 地 区 新 农 村 建 设 前 后 农 村 的 经 济 收 入 构 成 比 例 ， 得到 如 下 饼 图 ： 则 下 面 结 论 中 不 正 确 的 是 ( )A.新 农 村 建 设 后 ， 种 植 收 入 减 少B.新 农 村 建 设 后 ， 其 他 收 入 增 加 了 一 倍 以 上C.新 农 村 建 设 后 ， 养 殖 收 入 增 加 了 一 倍D.新 农 村 建 设 后 ， 养 殖 收 入 与 第 三 产 业 收 入 的 总 和 超 过 了 经 济 收 入 的 一 半解 析 ： 设 建 设 前 经 济 收 入 为 a， 建 设 后 经 济 收 入 为 2a.通 过 选 项 逐 一
4、分 析 新 农 村 建 设 前 后 ，经 济 收 入 情 况 ， 利 用 数 据 推 出 结 果 .设 建 设 前 经 济 收 入 为 a， 建 设 后 经 济 收 入 为 2a.A项 ， 种 植 收 入 37 2a-60%a=14%a 0，故 建 设 后 ， 种 植 收 入 增 加 ， 故 A 项 错 误 .B项 ， 建 设 后 ， 其 他 收 入 为 5% 2a=10%a，建 设 前 ， 其 他 收 入 为 4%a，故 10%a 4%a=2.5 2， 故 B 项 正 确 .C项 ， 建 设 后 ， 养 殖 收 入 为 30% 2a=60%a，建 设 前 ， 养 殖 收 入 为 30%a，故
5、 60%a 30%a=2，故 C 项 正 确 .D项 ， 建 设 后 ， 养 殖 收 入 与 第 三 产 业 收 入 总 和 为(30%+28%) 2a=58% 2a，经 济 收 入 为 2a，故 (58% 2a) 2a=58% 50%，故 D 项 正 确 .因 为 是 选 择 不 正 确 的 一 项 .答 案 ： A 4.记 Sn为 等 差 数 列 an的 前 n项 和 .若 3S3=S2+S4， a1=2， 则 a5=( )A.-12B.-10C.10D.12解 析 ： 利 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式 和 前 n项 和 公 式 列 出 方 程 ， 能 求 出 a5的 值 . S
6、n为 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 .若 3S3=S2+S4， a1=2， 3 (3a 1+ 3 22 d)=a1+a1+d+4a1+ 4 32 d，把 a1=2， 代 入 得 d=-3 a5=2+4 (-3)=-10.答 案 ： B5.设 函 数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若 f(x)为 奇 函 数 ， 则 曲 线 y=f(x)在 点 (0， 0)处 的 切 线 方 程 为( )A.y=-2xB.y=-xC.y=2x D.y=x解 析 ： 利 用 函 数 的 奇 偶 性 求 出 a， 求 出 函 数 的 导 数 ， 求 出 切 线 的 向 量 然 后 求 解 切 线 方
7、 程 .函 数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax， 若 f(x)为 奇 函 数 ，可 得 a=1， 所 以 函 数 f(x)=x3+x， 可 得 f (x)=3x2+1，曲 线 y=f(x)在 点 (0， 0)处 的 切 线 的 斜 率 为 ： 1，则 曲 线 y=f(x)在 点 (0， 0)处 的 切 线 方 程 为 ： y=x.答 案 ： D6.在 ABC中 ， AD 为 BC 边 上 的 中 线 ， E为 AD的 中 点 ， 则 uurEB=( )A. 3 14 4uuur uuurAB AC B. 1 34 4uuur uuurAB ACC. 3 14 4uuur uuurAB A
8、CD. 1 34 4uuur uuurAB AC解 析 ： 运 用 向 量 的 加 减 运 算 和 向 量 中 点 的 表 示 ， 计 算 可 得 所 求 向 量 .在 ABC中 ， AD为 BC边 上 的 中 线 ， E 为 AD的 中 点 ， 1 1 1 3 12 2 2 4 4 uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurEB AB AE AB AD AB AB AC AB AC .答 案 ： A7.某 圆 柱 的 高 为 2， 底 面 周 长 为 16， 其 三 视 图 如 图 .圆 柱 表 面 上 的 点 M 在 正 视 图 上 的
9、 对 应 点 为 A， 圆 柱 表 面 上 的 点 N 在 左 视 图 上 的 对 应 点 为 B， 则 在 此 圆 柱 侧 面 上 ， 从 M 到 N 的 路 径 中 ，最 短 路 径 的 长 度 为 ( )A.2 17B.2 5 C.3D.2解 析 ： 判 断 三 视 图 对 应 的 几 何 体 的 形 状 ， 利 用 侧 面 展 开 图 ， 转 化 求 解 即 可 .由 题 意 可 知 几 何 体 是 圆 柱 ， 底 面 周 长 16， 高 为 ： 2，直 观 图 以 及 侧 面 展 开 图 如 图 ： 圆 柱 表 面 上 的 点 N在 左 视 图 上 的 对 应 点 为 B， 则 在
10、此 圆 柱 侧 面 上 ， 从 M到 N的 路 径 中 ， 最 短路 径 的 长 度 ： 2 22 4 2 5 .答 案 ： B8.设 抛 物 线 C： y2=4x 的 焦 点 为 F， 过 点 (-2， 0)且 斜 率 为 23 的 直 线 与 C 交 于 M， N 两 点 ， 则guuur uuurFM FN ( )A.5B.6C.7D.8 解 析 ： 求 出 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 ， 直 线 方 程 ， 求 出 M、 N 的 坐 标 ， 然 后 求 解 向 量 的 数 量 积 即 可 .抛 物 线 C： y2=4x的 焦 点 为 F(1， 0)， 过 点 (-2， 0)且 斜
11、率 为 23 的 直 线 为 ： 3y=2x+4，联 立 直 线 与 抛 物 线 C： y2=4x， 消 去 x 可 得 ： y2-6y+8=0，解 得 y1=2， y2=4， 不 妨 M(1， 2)， N(4， 4)， uuurFM =(0， 2)， uuurFN =(3， 4).则 guuur uuurFM FN =(0， 2) (3， 4)=0 3+2 4=8.答 案 ： D9.已 知 函 数 f(x)= 0ln 0 ， ， xe xx x ， g(x)=f(x)+x+a.若 g(x)存 在 2个 零 点 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 ( )A.-1， 0)B.0， + )C.-1
12、， + )D.1， + )解 析 ： 由 g(x)=0得 f(x)=-x-a，作 出 函 数 f(x)和 y=-x-a的 图 象 如 图 ： 当 直 线 y=-x-a 的 截 距 -a 1， 即 a -1时 ， 两 个 函 数 的 图 象 都 有 2个 交 点 ，即 函 数 g(x)存 在 2 个 零 点 ，故 实 数 a 的 取 值 范 围 是 -1， + ).答 案 ： C10.如 图 来 自 古 希 腊 数 学 家 希 波 克 拉 底 所 研 究 的 几 何 图 形 .此 图 由 三 个 半 圆 构 成 ， 三 个 半 圆 的直 径 分 别 为 直 角 三 角 形 ABC 的 斜 边 B
13、C， 直 角 边 AB， AC. ABC的 三 边 所 围 成 的 区 域 记 为 I，黑 色 部 分 记 为 ， 其 余 部 分 记 为 .在 整 个 图 形 中 随 机 取 一 点 ， 此 点 取 自 ， ， 的 概 率分 别 记 为 p 1， p2， p3， 则 ( )A.p 1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3解 析 ： 如 图 ： 设 BC=2r1， AB=2r2， AC=2r3， r12=r22+r32， S = 12 4r2r3=2r2r3， S = 12 r12-2r2r3，S = 12 r32+ 12 r22-S = 12 r32+ 12 r22- 12
14、r12+2r2r3=2r2r3， S =S ， P1=P2.答 案 ： A11.已 知 双 曲 线 C： 2 2 13 x y ， O 为 坐 标 原 点 ， F 为 C 的 右 焦 点 ， 过 F 的 直 线 与 C 的 两 条 渐 近 线 的 交 点 分 别 为 M， N.若 OMN 为 直 角 三 角 形 ， 则 |MN|=( )A. 32B.3C.2 3D.4解 析 ： 求 出 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 ， 求 出 直 线 方 程 ， 求 出 MN的 坐 标 ， 然 后 求 解 |MN|.双 曲 线 C： 2 2 13 x y 的 渐 近 线 方 程 为 ： y= 33 x，
15、 渐 近 线 的 夹 角 为 ： 60 ， 不 妨 设 过 F(2，0)的 直 线 为 ： y= 3 (x-2)， 则 ： 33 23 y xy x ， 解 得 32 32 xy ， 即 M( 32 ， 32 )， 3 233 y xy x ， 解 得 3 3 xy ， 即 N(3， 3 )，则 223 333 2 32 MN .答 案 ： B12.已 知 正 方 体 的 棱 长 为 1， 每 条 棱 所 在 直 线 与 平 面 所 成 的 角 都 相 等 ， 则 截 此 正 方 体 所 得 截 面 面 积 的 最 大 值 为 ( )A. 3 34B. 2 33C. 3 24D. 32 解 析
16、 ： 利 用 正 方 体 棱 的 关 系 ， 判 断 平 面 所 成 的 角 都 相 等 的 位 置 ， 然 后 求 解 截 此 正 方 体 所得 截 面 面 积 的 最 大 值 .正 方 体 的 所 有 棱 中 ， 实 际 上 是 3组 平 行 的 棱 ， 每 条 棱 所 在 直 线 与 平 面 所 成 的 角 都 相 等 ， 如 图 所 示 ：正 六 边 形 平 行 的 平 面 ， 并 且 正 六 边 形 时 ， 截 此 正 方 体 所 得 截 面 面 积 的 最 大 ，此 时 正 六 边 形 的 边 长 22 ， 截 此 正 方 体 所 得 截 面 最 大 值 为 ： 23 2 3 36
17、 4 2 4 .答 案 ： A二 、 填 空 题 ： 本 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 20分 .13.若 x， y满 足 约 束 条 件 2 2 01 00 x yx yy ， 则 z=3x+2y的 最 大 值 为 .解 析 ： 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： 由 z=3x+2y得 3 12 2 y x z ，平 移 直 线 3 12 2 y x z ，由 图 象 知 当 直 线 3 12 2 y x z 经 过 点 A(2， 0)时 ， 直 线 的 截 距 最 大 ， 此 时 z 最 大 ， 最 大 值 为 z=3 2=6.答 案 ： 6
18、14.记 Sn为 数 列 an的 前 n项 和 .若 Sn=2an+1， 则 S6= .解 析 ： 先 根 据 数 列 的 递 推 公 式 可 得 an是 以 -1为 首 项 ， 以 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 再 根 据 求 和公 式 计 算 即 可 .Sn为 数 列 an的 前 n 项 和 ， Sn=2an+1， 当 n=1时 ， a 1=2a1+1， 解 得 a1=-1，当 n 2 时 ， Sn-1=2an-1+1， ，由 - 可 得 an=2an-2an-1， an=2an-1， an是 以 -1 为 首 项 ， 以 2 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 66 1 1 2
19、 631 2 S .答 案 ： -6315.从 2 位 女 生 ， 4 位 男 生 中 选 3 人 参 加 科 技 比 赛 ， 且 至 少 有 1 位 女 生 入 选 ， 则 不 同 的 选 法共 有 种 .(用 数 字 填 写 答 案 )解 析 ： 方 法 一 ： 直 接 法 ， 分 类 即 可 求 出 . 1女 2男 ， 有 1 22 4 12C C ， 2 女 1 男 ， 有 2 12 4 4C C ，根 据 分 类 计 数 原 理 可 得 ， 共 有 12+4=16种 .方 法 二 ： 间 接 法 ， 先 求 出 没 有 限 制 的 种 数 ， 再 排 除 全 是 男 生 的 种 数
20、.3 36 4 20 4 16 C C 种 .答 案 ： 1616.已 知 函 数 f(x)=2sinx+sin2x， 则 f(x)的 最 小 值 是 .解 析 ： 由 题 意 可 得 T=2 是 f(x)=2sinx+sin2x的 一 个 周 期 ，故 只 需 考 虑 f(x)=2sinx+sin2x在 0， 2 )上 的 值 域 ，先 来 求 该 函 数 在 0， 2 )上 的 极 值 点 ，求 导 数 可 得 f (x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos 2x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1)，令 f (x)=0 可 解 得 cosx= 12 或 cosx=-
21、1，可 得 此 时 x= 3 ， 或 53 ； y=2sinx+sin2x 的 最 小 值 只 能 在 点 x= 3 ， 或 53 和 边 界 点 x=0中 取 到 ，计 算 可 得 f( 3 )= 3 32 ， f( )=0， f( 53 )= 3 32 ， f(0)=0， 函 数 的 最 小 值 为 3 32 . 答 案 ： 3 32三 、 解 答 题 ： 共 70 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .第 17 21题 为 必 考 题 ，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 .第 22、 23 题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要
22、 求 作 答 .(一 )必 考 题 ： 每 题 12分 ， 共 60 分 .17.在 平 面 四 边 形 ABCD中 ， ADC=90 ， A=45 ， AB=2， BD=5.(1)求 cos ADB.解 析 ： (1)由 正 弦 定 理 得 2 5sin sin 45 ADB ， 求 出 sin ADB= 25 ， 由 此 能 求 出 cos ADB. 答 案 ： (1)如 图 所 示 ： ADC=90 ， A=45 ， AB=2， BD=5， 由 正 弦 定 理 得 ： 2 5sin sin 45 ADB ， 即 2 5sin sin 45 ADB ， 2sin 45si 5 2n 5 A
23、DB ， AB BD， ADB A， 22 23cos 1 5 5 ADB .(2)若 DC=2 2 ， 求 BC. 解 析 ： (2)由 ADC=90 ， 得 cos BDC=sin ADB= 25 ， 再 由 DC=2 2 ， 利 用 余 弦 定 理 能 求出 BC.答 案 ： (2) ADC=90 ， cos BDC=sin ADB= 25 ， DC=2 2 ， 2 2 2 cos 25 8 2 2 2 25 55 BC BD DC BD DC BDC .18.如 图 ， 四 边 形 ABCD为 正 方 形 ， E， F 分 别 为 AD， BC的 中 点 ， 以 DF为 折 痕 把 D
24、FC折 起 ，使 点 C到 达 点 P的 位 置 ， 且 PF BF. (1)证 明 ： 平 面 PEF 平 面 ABFD.解 析 ： (1)利 用 正 方 形 的 性 质 可 得 BF 垂 直 于 面 PEF， 然 后 利 用 平 面 与 平 面 垂 直 的 判 断 定 理 证明 即 可 .答 案 ： (1)证 明 ： 由 题 意 ， 点 E、 F分 别 是 AD、 BC的 中 点 ，则 AE= 12 AD， BF= 12 BC，由 于 四 边 形 ABCD为 正 方 形 ， 所 以 EF BC.由 于 PF BF， EF PF=F， 则 BF 平 面 PEF.又 因 为 BF平 面 ABF
25、D， 所 以 ： 平 面 PEF 平 面 ABFD.(2)求 DP 与 平 面 ABFD所 成 角 的 正 弦 值 .解 析 ： (2)利 用 等 体 积 法 可 求 出 点 P 到 面 ABCD的 距 离 ， 进 而 求 出 线 面 角 .答 案 ： (2)在 平 面 DEF中 ， 过 P 作 PH EF 于 点 H， 联 结 DH， 由 于 EF为 面 ABCD和 面 PEF的 交 线 ， PH EF，则 PH 面 ABFD， 故 PH DH.在 三 棱 锥 P-DEF中 ， 可 以 利 用 等 体 积 法 求 PH，因 为 DE BF且 PF BF，所 以 PF DE，又 因 为 PDF
26、 CDF， 所 以 FPD= FCD=90 ，所 以 PF PD，由 于 DE PD=D， 则 PF 平 面 PDE，故 VF-PDE= 13 PF S PDE，因 为 BF DA且 BF 面 PEF，所 以 DA 面 PEF，所 以 DE EP.设 正 方 形 边 长 为 2a， 则 PD=2a， DE=a在 PDE中 ， PE= 3 a， 所 以 S PDE= 32 a2，故 VF-PDE= 36 a3，又 因 为 S DEF= 12 a 2a=a2，所 以 2 323 F PDEVPH aa ，所 以 在 PHD中 ， sin 34 PHPDH PD ， 即 PDH为 DP 与 平 面
27、ABFD所 成 角 的 正 弦 值 为 ： 34 .19.设 椭 圆 C： 2 2 12 x y 的 右 焦 点 为 F， 过 F 的 直 线 l 与 C 交 于 A， B 两 点 ， 点 M 的 坐 标 为(2， 0).(1)当 l 与 x 轴 垂 直 时 ， 求 直 线 AM的 方 程 .解 析 ： (1)先 得 到 F 的 坐 标 ， 再 求 出 点 A 的 方 程 ， 根 据 两 点 式 可 得 直 线 方 程 .答 案 ： (1)c= 2 1 =1， F(1， 0)， l 与 x 轴 垂 直 ， x=1，由 2 21 12 xx y ， 解 得 221 xy 或 221 xy ， A
28、(1， 22 )或 (1， 22 )， 直 线 AM 的 方 程 为 2 22 y x ， 2 22 y x .(2)设 O 为 坐 标 原 点 ， 证 明 ： OMA= OMB.解 析 ： (2)分 三 种 情 况 讨 论 ， 根 据 直 线 斜 率 的 问 题 ， 以 及 韦 达 定 理 ， 即 可 证 明 .答 案 ： (2)证 明 ： 当 l 与 x 轴 重 合 时 ， OMA= OMB=0 ，当 l 与 x 轴 垂 直 时 ， OM 为 AB的 垂 直 平 分 线 ， OMA= OMB，当 l 与 x 轴 不 重 合 也 不 垂 直 时 ， 设 l 的 方 程 为 y=k(x-1)，
29、 k 0，A(x 1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 2 ， x2 2 ，直 线 MA， MB的 斜 率 之 和 为 kMA， kMB之 和 为 1 21 22 2 MA MB y yk k x x ，由 y1=kx1-k， y2=kx2-k得 1 2 1 21 22 3 42 2 MA MB kx x kx x kk k x x ，将 y=k(x-1)代 入 2 2 12 x y 可 得 (2k 2+1)x2-4k2x+2k2-2=0， 21 2 242 1 kx x k ， 21 2 22 22 1 kx x k ， 2kx1x2-3k(x1+x2)+4k= 212 1k (4
30、k2-4k-12k2+8k2+4k)=0从 而 k MA+kMB=0，故 MA， MB 的 倾 斜 角 互 补 ， OMA= OMB，综 上 OMA= OMB.20.某 工 厂 的 某 种 产 品 成 箱 包 装 ， 每 箱 200件 ， 每 一 箱 产 品 在 交 付 用 户 之 前 要 对 产 品 作 检 验 ，如 检 验 出 不 合 格 品 ， 则 更 换 为 合 格 品 .检 验 时 ， 先 从 这 箱 产 品 中 任 取 20件 作 检 验 ， 再 根 据 检验 结 果 决 定 是 否 对 余 下 的 所 有 产 品 作 检 验 .设 每 件 产 品 为 不 合 格 品 的 概 率
31、都 为 p(0 p 1)，且 各 件 产 品 是 否 为 不 合 格 品 相 互 独 立 .(1)记 20 件 产 品 中 恰 有 2件 不 合 格 品 的 概 率 为 f(p)， 求 f(p)的 最 大 值 点 p 0.解 析 ： (1) 求 出 182 220 1 f p C p p ， 则 18 17 172 2 220 202 1 18 1 2 1 1 10 f p C p p p p C p p p ， 利 用 导 数 性 质 能求 出 f(p)的 最 大 值 点 p0=0.1. 答 案 ： (1)记 20件 产 品 中 恰 有 2 件 不 合 格 品 的 概 率 为 f(p)，则
32、182 220 1 f p C p p ， 18 17 172 2 220 202 1 18 1 2 1 1 10 f p C p p p p C p p p ，令 f (p)=0， 得 p=0.1，当 p (0， 0.1)时 ， f (p) 0，当 p (0.1， 1)时 ， f (p) 0， f(p)的 最 大 值 点 p 0=0.1.(2)现 对 一 箱 产 品 检 验 了 20 件 ， 结 果 恰 有 2 件 不 合 格 品 ， 以 (1)中 确 定 的 p0作 为 p 的 值 .已知 每 件 产 品 的 检 验 费 用 为 2 元 ， 若 有 不 合 格 品 进 入 用 户 手 中
33、， 则 工 厂 要 对 每 件 不 合 格 品 支 付25元 的 赔 偿 费 用 .(i)若 不 对 该 箱 余 下 的 产 品 作 检 验 ， 这 一 箱 产 品 的 检 验 费 用 与 赔 偿 费 用 的 和 记 为 X， 求 EX.( )以 检 验 费 用 与 赔 偿 费 用 和 的 期 望 值 为 决 策 依 据 ， 是 否 该 对 这 箱 余 下 的 所 有 产 品 作 检 验 ？解 析 ： (2)(i)由 p=0.1， 令 Y 表 示 余 下 的 180件 产 品 中 的 不 合 格 品 数 ， 依 题 意 知 Y B(180，0.1)， 再 由 X=20 2+25Y， 即 X=4
34、0+25Y， 能 求 出 EX.(ii)如 果 对 余 下 的 产 品 作 检 验 ， 由 这 一 箱 产 品 所 需 要 的 检 验 费 为 400元 ， EX=490 400， 从而 应 该 对 余 下 的 产 品 进 行 检 验 .答 案 ： (2)(i)由 (1)知 p=0.1，令 Y 表 示 余 下 的 180件 产 品 中 的 不 合 格 品 数 ， 依 题 意 知 Y B(180， 0.1)， X=20 2+25Y， 即 X=40+25Y， EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25 180 0.1=490.(ii)如 果 对 余 下 的 产 品 作 检 验 ， 由 这
35、 一 箱 产 品 所 需 要 的 检 验 费 为 400元 ， EX=490 400， 应 该 对 余 下 的 产 品 进 行 检 验 .21.已 知 函 数 1 ln f x x a xx .(1)讨 论 f(x)的 单 调 性 .解 析 ： (1)求 出 函 数 的 定 义 域 和 导 数 ， 利 用 函 数 单 调 性 和 导 数 之 间 的 关 系 进 行 求 解 即 可 .答 案 ： (1)函 数 的 定 义 域 为 (0， + )， 函 数 的 导 数 22 21 11 a x axf x x x x ，设 g(x)=x2-ax+1，当 a 0 时 ， g(x) 0 恒 成 立 ，
36、 即 f (x) 0 恒 成 立 ， 此 时 函 数 f(x)在 (0， + )上 是 减 函 数 ，当 a 0 时 ， 判 别 式 =a2-4， 当 0 a 2 时 ， 0， 即 g(x) 0， 即 f (x) 0 恒 成 立 ， 此 时 函 数 f(x)在 (0， + )上是 减 函 数 ， 当 a 2 时 ， x， f (x)， f(x)的 变 化 如 下 表 ： 综 上 当 a 2 时 ， f(x)在 (0， + )上 是 减 函 数 ，当 a 2 时 ， 在 (0， 2 42 a a )， 和 ( 2 42 a a ， + )上 是 减 函 数 ，则 ( 2 42 a a ， 2 4
37、2 a a )上 是 增 函 数 .(2)若 f(x)存 在 两 个 极 值 点 x 1， x2， 证 明 ： 1 21 2 2 f x f x ax x .解 析 ： (2)将 不 等 式 进 行 等 价 转 化 ， 构 造 新 函 数 ， 研 究 函 数 的 单 调 性 和 最 值 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： (2)由 (1)知 a 2， 0 x1 1 x2， x1x2=1，则 1 2 2 1 1 2 2 1 1 21 211 ln ln 2 ln ln f x f x x x a x x x x a x xx x ，则 1 2 1 211 2 2ln ln2 2 f x f x
38、 a x xax x x x ，则 问 题 转 为 证 明 2 211ln lnx xx x 1 即 可 ， 即 证 明 lnx1-lnx2 x1-x2，即 证 2lnx1 x1- 11x 在 (0， 1)上 恒 成 立 ，设 h(x)=2lnx-x+ 1x ， (0 x 1)， 其 中 h(1)=0，求 导 得 222 2 212 1 2 11 0 xx xh x x x x x ，则 h(x)在 (0， 1)上 单 调 递 减 ， h(x) h(1)， 即 2lnx-x+ 1x 0， 故 2lnx x- 1x ， 则 1 21 2 2 f x f x ax x 成 立 .(二 )选 考 题
39、 ： 共 10 分 .请 考 生 在 第 22、 23题 中 任 选 一 题 作 答 .如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题计 分 .选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 (10分 )22.在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C 1的 方 程 为 y=k|x|+2.以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C2的 极 坐 标 方 程 为 2+2 cos -3=0.(1)求 C2的 直 角 坐 标 方 程 .解 析 ： (1)直 接 利 用 转 换 关 系 ， 把 参 数 方 程 和 极 坐 标 方
40、 程 与 直 角 坐 标 方 程 进 行 转 化 .答 案 ： (1)曲 线 C2的 极 坐 标 方 程 为 2+2 cos -3=0.转 换 为 直 角 坐 标 方 程 为 ： x2+y2+2x-3=0，转 换 为 标 准 式 为 ： (x+1) 2+y2=4.(2)若 C1与 C2有 且 仅 有 三 个 公 共 点 ， 求 C1的 方 程 .解 析 ： (2)利 用 直 线 在 坐 标 系 中 的 位 置 ， 再 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 的 应 用 求 出 结 果 .答 案 ： (2)由 于 曲 线 C1的 方 程 为 y=k|x|+2， 则 ： 该 直 线 关 于 y
41、轴 对 称 ， 且 恒 过 定 点 (0， 2).由 于 该 直 线 与 曲 线 C2的 极 坐 标 有 且 仅 有 三 个 公 共 点 .所 以 ： 必 有 一 直 线 相 切 ， 一 直 线 相 交 .则 ： 圆 心 到 直 线 y=kx+2 的 距 离 等 于 半 径 2.故 ： 22 21 kk ，解 得 ： k= 43 或 0， (0 舍 去 ) 故 C1的 方 程 为 ： y= 43 |x|+2.选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 (10 分 )23.已 知 f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当 a=1 时 ， 求 不 等 式 f(x) 1 的 解 集 .解 析 ： (1
42、)去 绝 对 值 ， 化 为 分 段 函 数 ， 即 可 求 出 不 等 式 的 解 集 .答 案 ： (1)当 a=1时 ， f(x)=|x+1|-|x-1|= 2 12 1 12 1 ， ， xx xx ， 由 f(x) 1， 2 11 1 x x 或 2 11 x ， 解 得 x 12 ，故 不 等 式 f(x) 1 的 解 集 为 ( 12 ， + ).(2)若 x (0， 1)时 不 等 式 f(x) x成 立 ， 求 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： (2)当 x (0， 1)时 不 等 式 f(x) x 成 立 ， 转 化 为 即 |ax-1| 1， 即 0 ax 2， 转 化 为a 2x ， 且 a 0， 即 可 求 出 a 的 范 围 .答 案 ： (2)当 x (0， 1)时 不 等 式 f(x) x 成 立 ， |x+1|-|ax-1|-x 0，即 x+1-|ax-1|-x 0，即 |ax-1| 1， -1 ax-1 1， 0 ax 2， x (0， 1)， a 0， 0 x 2a ， a 2x ， 2x 2， 0 a 2，故 a 的 取 值 范 围 为 (0， 2.
