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    2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学文及答案解析.docx

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    2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学文及答案解析.docx

    1、2018年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (天 津 卷 )数 学 文一 .选 择 题 : 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 , 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.设 集 合 A=1, 2, 3, 4, B=-1, 0, 2, 3, C=x R|-1 x 2, 则 (A B) C=( )A.-1, 1B.0, 1C.-1, 0, 1D.2, 3, 4解 析 : A=1, 2, 3, 4, B=-1, 0, 2, 3, (A B)=1, 2, 3, 4 -1, 0, 2, 3=-1, 0, 1, 2, 3, 4, 又 C=x R|-1 x

    2、 2, (A B) C=-1, 0, 1.答 案 : C2.设 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 52 410 x yx yx yy , 则 目 标 函 数 z=3x+5y 的 最 大 值 为 ( )A.6B.19C.21D.45 解 析 : 由 变 量 x, y满 足 约 束 条 件 52 410 x yx yx yy , 得 如 图 所 示 的 可 行 域 , 由 51x yx y , , 解 得 A(2,3).当 目 标 函 数 z=3x+5y经 过 A 时 , 直 线 的 截 距 最 大 , z取 得 最 大 值 .将 其 代 入 得 z 的 值 为 21. 答 案 : C3.

    3、设 x R, 则 “ x3 8” 是 “ |x| 2” 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 : 由 x 3 8, 得 x 2, 则 |x| 2,反 之 , 由 |x| 2, 得 x -2 或 x 2,则 x3 -8 或 x3 8.即 “ x3 8” 是 “ |x| 2” 的 充 分 不 必 要 条 件 .答 案 : A4.阅 读 如 图 的 程 序 框 图 , 运 行 相 应 的 程 序 , 若 输 入 N的 值 为 20, 则 输 出 T 的 值 为 ( ) A.1B.2C.3D.4

    4、解 析 : 若 输 入 N=20,则 i=2, T=0, 202Ni =10 是 整 数 , 满 足 条 件 .T=0+1=1, i=2+1=3, i 5 不 成 立 , 循 环 , 203Ni 不 是 整 数 , 不 满 足 条 件 .i=3+1=4, i 5不 成 立 ,循 环 , 204Ni =5是 整 数 , 满 足 条 件 , T=1+1=2, i=4+1=5, i 5成 立 , 输 出 T=2.答 案 : B.5.已 知 a=log 3 72 , b= 1314 , c= 13 1log 5 , 则 a, b, c的 大 小 关 系 为 ( )A.a b cB.b a cC.c b

    5、 aD.c a b解 析 : a=log 3 72 , c= 13 1log 5 =log35, 且 5 72 3, log35 log3 72 1, 则 b= 1314 ( 14 )0=1, c a b.答 案 : D6.将 函 数 y=sin(2x+ 5 )的 图 象 向 右 平 移 10 个 单 位 长 度 , 所 得 图 象 对 应 的 函 数 ( )A.在 区 间 4 4 , 上 单 调 递 增B.在 区 间 4 , 0上 单 调 递 减 C.在 区 间 4 , 2 上 单 调 递 增D.在 区 间 2 , 上 单 调 递 减解 析 : 将 函 数 y=sin(2x+ 5 )的 图

    6、象 向 右 平 移 10 个 单 位 长 度 ,所 得 图 象 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y=sin2 10 5( )x =sin2x.当 x 4 4 , 时 , 2x 2 2 , , 函 数 单 调 递 增 ;当 x 4 2 , 时 , 2x 2 , , 函 数 单 调 递 减 ;当 x - 4 , 0时 , 2x - 2 , 0, 函 数 单 调 递 增 ; 当 x 2 , 时 , 2x , 2 , 函 数 先 减 后 增 .答 案 : A 7.已 知 双 曲 线 2 22 2 1x ya b (a 0, b 0)的 离 心 率 为 2, 过 右 焦 点 且 垂 直 于 x 轴

    7、的 直 线 与 双曲 线 交 于 A, B 两 点 .设 A, B到 双 曲 线 的 同 一 条 渐 近 线 的 距 离 分 别 为 d1和 d2, 且 d1+d2=6, 则双 曲 线 的 方 程 为 ( )A. 2 2 13 9x y B. 2 2 19 3x y C. 2 2 14 12x y D. 2 2 112 4x y 解 析 : 由 题 意 可 得 图 象 如 图 , CD 是 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 y= ba x, 即 bx-ay=0, F(c, 0),AC CD, BD CD, FE CD, ACDB是 梯 形 , F是 AB的 中 点 , EF= 1 22d d

    8、 =3, EF= 2 2a b =b,所 以 b=3, 双 曲 线 2 22 2 1x ya b (a 0, b 0)的 离 心 率 为 2, 可 得 ca =2,可 得 : 2 22a ba =4, 解 得 a= 3 .则 双 曲 线 的 方 程 为 : 2 2 13 9x y .答 案 : A8.在 如 图 的 平 面 图 形 中 , 已 知 OM=1, ON=2, MON=120 , 2BM MA , 2CN NA , 则BC OM 的 值 为 ( ) A.-15B.-9C.-6D.0解 析 : 不 妨 设 四 边 形 OMAN是 平 行 四 边 形 ,由 OM=1, ON=2, MON

    9、=120 ,2 2BM MACN NA , , 知 3 3 3 3BC AC AB AN AM OM ON , 2 23 3 3 3 3 1 3 2 1 cos120 6BC OM OM ON OM OM ON OM .答 案 : C 二 .填 空 题 : 本 大 题 共 6 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 30 分 .9.i是 虚 数 单 位 , 复 数 6 71 2ii = .解 析 : 6 7 1 26 7 6 14 7 12 20 5 41 2 1 2 1 2 5 5i ii i i i ii i i .答 案 : 4-i10.已 知 函 数 f(x)=e xlnx, f (x

    10、)为 f(x)的 导 函 数 , 则 f (1)的 值 为 .解 析 : 函 数 f(x)=exlnx, 则 f (x)=exlnx+ 1x ex; f (1)=e ln1+1 e=e.答 案 : e11.如 图 , 已 知 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1的 棱 长 为 1, 则 四 棱 锥 A1-BB1D1D的 体 积 为 . 解 析 : 由 题 意 可 知 四 棱 锥 A1-BB1D1D的 底 面 是 矩 形 , 边 长 : 1 和 2 , 四 棱 锥 的 高 : 1 11 22 2AC .则 四 棱 锥 A1-BB1D1D的 体 积 为 : 1 2 11 23 2 3 .答 案

    11、: 1312.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 经 过 三 点 (0, 0), (1, 1), (2, 0)的 圆 的 方 程 为 .解 析 : 根 据 题 意 画 出 图 形 如 图 所 示 , 结 合 图 形 知 经 过 三 点 (0, 0), (1, 1), (2, 0)的 圆 ,其 圆 心 为 (1, 0), 半 径 为 1, 则 该 圆 的 方 程 为 (x-1)2+y2=1.答 案 : (x-1)2+y2=113.已 知 a, b R, 且 a-3b+6=0, 则 2a+ 18b 的 最 小 值 为 .解 析 : a, b R, 且 a-3b+6=0, 可 得 : 3b=a+

    12、6,则 2a+ 6 6 61 1 1 1 12 2 2 28 2 2 2 2 2 4a a ab a a a ,当 且 仅 当 612 2a a .即 a=-3时 取 等 号 .函 数 的 最 小 值 为 : 14 . 答 案 : 1414.己 知 a R, 函 数 f(x)= 2 2 2 2 02 2 0 x x a xx x a x , , 若 对 任 意 x -3, + ), f(x) |x|恒成 立 , 则 a的 取 值 范 围 是 .解 析 : 当 x 0 时 , 函 数 f(x)=x2+2x+a-2 的 对 称 轴 为 x=-1, 抛 物 线 开 口 向 上 , 要 使 x 0 时

    13、 , 对 任 意 x -3, + ), f(x) |x|恒 成 立 ,则 只 需 要 f(-3) |-3|=3, 即 9-6+a-2 3, 得 a 2,当 x 0 时 , 要 使 f(x) |x|恒 成 立 , 即 f(x)=-x2+2x-2a, 则 直 线 y=x的 下 方 或 在 y=x上 ,由 -x2+2x-2a=x, 即 x2-x+2a=0, 由 判 别 式 =1-8a 0, 得 a 18 , 综 上 18 a 2.答 案 : 18 , 2三 .解 答 题 : 本 大 题 共 6 小 题 , 共 80 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 , 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .

    14、15.己 知 某 校 甲 、 乙 、 丙 三 个 年 级 的 学 生 志 愿 者 人 数 分 别 为 240, 160, 160.现 采 用 分 层 抽 样的 方 法 从 中 抽 取 7 名 同 学 去 某 敬 老 院 参 加 献 爱 心 活 动 .( )应 从 甲 、 乙 、 丙 三 个 年 级 的 学 生 志 愿 者 中 分 别 抽 取 多 少 人 ? ( )设 抽 出 的 7 名 同 学 分 别 用 A, B, C, D, E, F, G表 示 , 现 从 中 随 机 抽 取 2 名 同 学 承 担 敬老 院 的 卫 生 工 作 .(i)试 用 所 给 字 母 列 举 出 所 有 可 能

    15、 的 抽 取 结 果 ;(ii)设 M 为 事 件 “ 抽 取 的 2 名 同 学 来 自 同 一 年 级 ” , 求 事 件 M 发 生 的 概 率 .解 析 : ( )利 用 分 层 抽 样 的 性 质 能 求 出 应 从 甲 、 乙 、 丙 三 个 年 级 的 学 生 志 愿 意 者 中 分 别 抽 取得 人 , 2 人 , 2 人 .( )(i)从 抽 取 的 7 名 同 学 中 抽 取 2 名 同 学 , 利 用 列 举 法 能 求 出 所 有 可 能 结 果 .(ii)设 抽 取 的 7名 学 生 中 , 来 自 甲 年 级 的 是 A, B, C, 来 自 乙 年 级 的 是 D

    16、, E, 来 自 丙 年 级 的是 F, G, M 为 事 件 “ 抽 取 的 2 名 同 学 来 自 同 一 年 级 ” , 利 用 列 举 法 能 求 出 事 件 M 发 生 的 概 率 .答 案 : ( )由 已 知 得 甲 、 乙 、 丙 三 个 年 级 的 学 生 志 愿 者 人 数 之 比 为 3: 2: 2, 由 于 采 用 分 层抽 样 的 方 法 从 中 抽 取 7 名 同 学 , 应 从 甲 、 乙 、 丙 三 个 年 级 的 学 生 志 愿 意 者 中 分 别 抽 取 得 人 , 2 人 , 2 人 .( )(i)从 抽 取 的 7 名 同 学 中 抽 取 2 名 同 学

    17、 的 所 有 可 能 结 果 为 : A, B, A, C, A, D, A, E, A, F, A, G, B, C, B, D,B, E, B, F, B, G, C, D, C, E, C, F, C, G, D, E,D, F, D, G, E, F, E, G, F, G, 共 21 个 .(i)设 抽 取 的 7 名 学 生 中 , 来 自 甲 年 级 的 是 A, B, C,来 自 乙 年 级 的 是 D, E, 来 自 丙 年 级 的 是 F, G, M为 事 件 “ 抽 取 的 2名 同 学 来 自 同 一 年 级 ” ,则 事 件 M 包 含 的 基 本 事 件 有 : A

    18、, B, A, C, B, C, D, E, F, G, 共 5 个 基 本 事 件 , 事 件 M 发 生 的 概 率 P(M)= 521 .16.在 ABC中 , 内 角 A, B, C所 对 的 边 分 别 为 a, b, c.已 知 bsinA=acos(B- 6 ).( )求 角 B的 大 小 ;( )设 a=2, c=3, 求 b 和 sin(2A-B)的 值 .解 析 : ( )由 正 弦 定 理 得 sin sinb aA B , 与 bsinA=acos(B- 6 ).由 此 能 求 出 B.( )由 余 弦 定 理 得 b= 7 , 由 bsinA=acos(B- 6 ),

    19、 得 sinA= 37 , cosA= 27 , 由 此 能 求 出sin(2A-B). 答 案 : ( )在 ABC中 , 由 正 弦 定 理 得 sin sinb aA B , 得 bsinA=asinB,又 bsinA=acos(B- 6 ). asinB=acos(B- 6 ),即 3 1sin cos cos cos si( ) n sin cos sin6 6 6 2 2B B B B B B , tanB= 3 , 又 B (0, ), B= 3 .( )在 ABC中 , a=2, c=3, B= 3 ,由 余 弦 定 理 得 b= 2 2 72 cosa c ac B , 由

    20、bsinA=acos(B- 6 ), 得 sinA= 37 , a c, cosA= 27 , sin2A=2sinAcosA= 4 37 , cos2A=2cos2A-1= 17 , sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB= 4 3 1 1 3 3 37 2 7 2 14 .17.如 图 , 在 四 面 体 ABCD 中 , ABC是 等 边 三 角 形 , 平 面 ABC 平 面 ABD, 点 M 为 棱 AB的 中点 , AB=2, AD=2 3 , BAD=90 . ( )求 证 : AD BC; ( )求 异 面 直 线 BC 与 MD所 成 角 的 余 弦 值

    21、;( )求 直 线 CD 与 平 面 ABD所 成 角 的 正 弦 值 .解 析 : ( )由 平 面 ABC 平 面 ABD, 结 合 面 面 垂 直 的 性 质 可 得 AD 平 面 ABC, 则 AD BC;( )取 棱 AC 的 中 点 N, 连 接 MN, ND, 又 M 为 棱 AB的 中 点 , 可 得 DMN(或 其 补 角 )为 异 面 直线 BC 与 MD所 成 角 , 求 解 三 角 形 可 得 异 面 直 线 BC与 MD 所 成 角 的 余 弦 ;( )连 接 CM, 由 ABC为 等 边 三 角 形 , M 为 边 AB的 中 点 , 可 得 CM AB, 且 CM

    22、= 3 , 再 由 面面 垂 直 的 性 质 可 得 CM 平 面 ABD, 则 CDM 为 直 线 CD 与 平 面 ABD 所 成 角 , 求 解 三 角 形 可 得直 线 CD与 平 面 ABD 所 成 角 的 正 弦 值 .答 案 : ( )由 平 面 ABC 平 面 ABD, 平 面 ABC 平 面 ABD=AB, AD AB, 得 AD 平 面 ABC, 故 AD BC;( )取 棱 AC的 中 点 N, 连 接 MN, ND, M 为 棱 AB的 中 点 , 故 MN BC, DMN(或 其 补 角 )为 异 面 直 线 BC与 MD所 成 角 ,在 Rt DAM中 , AM=1

    23、, 故 DM= 2 2 13AD AM , AD 平 面 ABC, 故 AD AC,在 Rt DAN中 , AN=1, 故 DN= 2 2 13AD AN ,在 等 腰 三 角 形 DMN中 , MN=1, 可 得 cos DMN= 1 132 26MNDM . 异 面 直 线 BC 与 MD所 成 角 的 余 弦 值 为 1326 ;( )连 接 CM, ABC为 等 边 三 角 形 , M 为 边 AB的 中 点 , 故 CM AB, CM= 3 ,又 平 面 ABC 平 面 ABD, 而 CM平 面 ABC,故 CM 平 面 ABD, 则 CDM为 直 线 CD 与 平 面 ABD所 成

    24、 角 .在 Rt CAD中 , CD= 2 2 4AC AD ,在 Rt CMD中 , sin CDM= 34CMCD . 直 线 CD 与 平 面 ABD所 成 角 的 正 弦 值 为 34 . 18.设 an是 等 差 数 列 , 其 前 n项 和 为 Sn(n N*); bn是 等 比 数 列 , 公 比 大 于 0, 其 前 n项 和 为 Tn(n N*).已 知 b1=1, b3=b2+2, b4=a3+a5, b5=a4+2a6.( )求 Sn和 Tn;( )若 Sn+(T1+T2+ +Tn)=an+4bn, 求 正 整 数 n 的 值 .解 析 : ( )设 等 比 数 列 bn

    25、的 公 比 为 q, 由 已 知 列 式 求 得 q, 则 数 列 bn的 通 项 公 式 与 前 n项 和 可 求 ; 等 差 数 列 an的 公 差 为 d, 再 由 已 知 列 关 于 首 项 与 公 差 的 方 程 组 , 求 得 首 项 与 公差 , 代 入 等 差 数 列 的 通 项 公 式 与 前 n 项 和 公 式 可 得 Sn;( )由 ( )求 出 T1+T2+ +Tn, 代 入 Sn+(T1+T2+ +Tn)=an+4bn, 化 为 关 于 n 的 一 元 二 次 方程 求 解 正 整 数 n的 值 .答 案 : ( )设 等 比 数 列 b n的 公 比 为 q, 由

    26、b1=1, b3=b2+2, 可 得 q2-q-2=0. q 0, 可 得 q=2.故 bn=2n-1, Tn=1 2 2 11 2n n ;设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d, 由 b4=a3+a5, 得 a1+3d=4,由 b5=a4+2a6, 得 3a1+13d=16, a1=d=1.故 an=n, Sn= 12n n ;( )由 ( ), 可 得 T 1+T2+ +Tn=(21+22+ +2n)-n= 2 1 21 2 n -n=2n+1-n-2.由 Sn+(T1+T2+ +Tn)=an+4bn, 可 得 12n n +2n+1-n-2=n+2n+1,整 理 得 : n2-3n

    27、-4=0, 解 得 n=-1(舍 )或 n=4. n 的 值 为 4.19.设 椭 圆 2 22 2x ya b =1(a b 0)的 右 顶 点 为 A, 上 顶 点 为 B.已 知 椭 圆 的 离 心 率 为 53 ,|AB|= 13 .( )求 椭 圆 的 方 程 ; ( )设 直 线 l: y=kx(k 0)与 椭 圆 交 于 P, Q 两 点 , 1 与 直 线 AB 交 于 点 M, 且 点 P, M 均 在 第四 象 限 .若 BPM的 面 积 是 BPQ面 积 的 2 倍 , 求 k 的 值 .解 析 : (1)设 椭 圆 的 焦 距 为 2c, 由 已 知 可 得 22 59

    28、ca , 又 a2=b2+c2, 解 得 a=3, b=2, 即 可 .( )设 点 P(x1, y1), M(x2, y2), (x2 x1 0).则 Q(-x1, -y1).由 BPM的 面 积 是 BPQ 面 积 的 2 倍 , 可 得 x2-x1=2x1-(-x1), x2=5x1,联 立 方 程 求 出 由 2 1 26 603 2 9 4x xk k , , 可 得 k.答 案 : (1)设 椭 圆 的 焦 距 为 2c,由 已 知 可 得 22 59ca , 又 a 2=b2+c2, 解 得 a=3, b=2, 椭 圆 的 方 程 为 : 2 29 4x y =1, ( )设 点

    29、 P(x1, y1), M(x2, y2), (x2 x1 0).则 Q(-x1, -y1). BPM的 面 积 是 BPQ 面 积 的 2 倍 , |PM|=2|PQ|, 从 而 x2-x1=2x1-(-x1), x2=5x1,易 知 直 线 AB的 方 程 为 : 2x+3y=6.由 2 3 6x yy kx , 可 得 x2= 63 2k 0.由 2 24 9 36x yy kx , 可 得 1 269 4x k , 29 4 5 3 2k k , 18k 2+25k+8=0, 解 得 k=- 89 或 k=- 12 .由 x2= 63 2k 0.可 得 k - 23 , 故 k=- 1

    30、2 ,20.设 函 数 f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3), 其 中 t1, t2, t3 R, 且 t1, t2, t3是 公 差 为 d 的 等 差数 列 .( )若 t 2=0, d=1, 求 曲 线 y=f(x)在 点 (0, f(0)处 的 切 线 方 程 ;( )若 d=3, 求 f(x)的 极 值 ;( )若 曲 线 y=f(x)与 直 线 y=-(x-t2)-6 3 有 三 个 互 异 的 公 共 点 , 求 d的 取 值 范 围 .解 析 : ( )求 出 t2=0, d=1时 f(x)的 导 数 , 利 用 导 数 求 斜 率 , 再 写 出 切 线 方 程 ;

    31、( )计 算 d=3时 f(x)的 导 数 , 利 用 导 数 判 断 f(x)的 单 调 性 , 求 出 f(x)的 极 值 ;( )曲 线 y=f(x)与 直 线 y=-(x-t 2)-6 3 有 三 个 互 异 的 公 共 点 ,等 价 于 关 于 x 的 方 程 f(x)+(x-t2)-6 3 =0有 三 个 互 异 的 实 数 根 ,利 用 换 元 法 研 究 函 数 的 单 调 性 与 极 值 , 求 出 满 足 条 件 的 d的 取 值 范 围 .答 案 : ( )函 数 f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),t2=0, d=1 时 , f(x)=x(x+1)(x-1)

    32、=x3-x, f (x)=3x2-1, f(0)=0, f (0)=-1, y=f(x)在 点 (0, f(0)处 的 切 线 方 程 为 y-0=-1 (x-0), 即 x+y=0;( )d=3时 , f(x)=(x-t 2+3)(x-t2)(x-t2-3)=(x-t2)3-9(x-t2)=x3-3t2x2+(3t22-9)x-t23+9t2; f (x)=3x2-6t2x+3t22-9,令 f (x)=0, 解 得 x=t2- 3 或 x=t2+ 3 ;当 x 变 化 时 , f (x), f(x)的 变 化 情 况 如 下 表 ; f(x)的 极 大 值 为 32 3 3 9 3 6 3

    33、f t ,极 小 值 为 32 3 3 9 3 6 3f t ;( )曲 线 y=f(x)与 直 线 y=-(x-t2)-6 3 有 三 个 互 异 的 公 共 点 ,等 价 于 关 于 x 的 方 程 (x-t 2+d)(x-t2)(x-t2-d)+(x-t2)-6 3 =0有 三 个 互 异 的 实 数 根 ,令 u=x-t2, 可 得 u3+(1-d2)u+6 3 =0;设 函 数 g(x)=x3+(1-d2)x+6 3 , 则 曲 线 y=f(x)与 直 线 y=-(x-t2)-6 3 有 3 个 互 异 的 公 共 点 ,等 价 于 函 数 y=g(x)有 三 个 不 同 的 零 点

    34、 ;又 g (x)=3x2+(1-d2),当 d 2 1 时 , g (x) 0 恒 成 立 , 此 时 g(x)在 R上 单 调 递 增 , 不 合 题 意 ;当 d2 1 时 , 令 g (x)=0, 解 得 x1=- 2 13d , x2= 2 13d ; g(x)在 (- , x1)上 单 调 递 增 , 在 (x1, x2)上 单 调 递 减 ,在 (x2, + )上 也 单 调 递 增 ; g(x)的 极 大 值 为 32 221 2 3 11 6 3 093 ddg x g ;极 小 值 为 g(x 2)= 32 22 2 3 11 6 393 ddg ;若 g(x2) 0, 由 g(x)的 单 调 性 可 知 ,函 数 g(x)至 多 有 两 个 零 点 , 不 合 题 意 ;若 g(x2) 0, 即 32 21d 27, 解 得 |d| 10 ,此 时 |d| x 2, g(|d|)=|d|+6 3 0, 且 -2|d| x1; g(-2|d|)=-6|d|3-2|d|+6 3 0,从 而 由 g(x)的 单 调 性 可 知 ,函 数 y=g(x)在 区 间 (-2|d|, x1), (x1, x2), (x2, |d|)内 各 有 一 个 零 点 , 符 合 题 意 ; d 的 取 值 范 围 是 (- , - 10 ) ( 10 , + ).


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