1、2018年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (天 津 卷 )数 学 理一 .选 择 题 ： 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.设 全 集 为 R， 集 合 A=x|0 x 2， B=x|x 1， 则 A (CRB)=( )A.x|0 x 1B.x|0 x 1C.x|1 x 2D.x|0 x 2解 析 ： A=x|0 x 2， B=x|x 1， C RB=x|x 1， A (CRB)=x|0 x 1.答 案 ： B2.设 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 52 410 x yx yx yy ，
2、 则 目 标 函 数 z=3x+5y 的 最 大 值 为 ( )A.6B.19C.21D.45 解 析 ： 由 变 量 x， y满 足 约 束 条 件 52 410 x yx yx yy ， 得 如 图 所 示 的 可 行 域 ， 由 51x yx y ， ， 解 得 A(2，3).当 目 标 函 数 z=3x+5y经 过 A 时 ， 直 线 的 截 距 最 大 ， z取 得 最 大 值 .将 其 代 入 得 z 的 值 为 21. 答 案 ： C3.阅 读 如 图 的 程 序 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 ， 若 输 入 N的 值 为 20， 则 输 出 T 的 值 为 ( ) A
3、.1B.2C.3D.4解 析 ： 若 输 入 N=20，则 i=2， T=0， 202Ni =10 是 整 数 ， 满 足 条 件 .T=0+1=1， i=2+1=3， i 5 不 成 立 ，循 环 ， 203Ni 不 是 整 数 ， 不 满 足 条 件 .i=3+1=4， i 5不 成 立 ，循 环 ， 204Ni =5是 整 数 ， 满 足 条 件 ， T=1+1=2， i=4+1=5， i 5成 立 ， 输 出 T=2.答 案 ： B. 4.设 x R， 则 “ 1 12 2x ” 是 “ x3 1” 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充
4、要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 由 1 12 2x 可 得 1 1 12 2 2x ， 解 得 0 x 1， 由 x3 1， 解 得 x 1， 故 “ 1 12 2x ” 是 “ x3 1” 的 充 分 不 必 要 条 件 .答 案 ： A5.已 知 a=log2e， b=ln2， c= 12 1log 3 ， 则 a， b， c 的 大 小 关 系 为 ( )A.a b cB.b a cC.c b aD.c a b解 析 ： a=log 2e 1， 0 b=ln2 1， 1 2 22 1log log 3 log3c e a ， 则 a， b， c 的 大 小
5、 关系 c a b.答 案 ： D6.将 函 数 y=sin(2x+ 5 )的 图 象 向 右 平 移 10 个 单 位 长 度 ， 所 得 图 象 对 应 的 函 数 ( )A.在 区 间 3 54 4 ， 上 单 调 递 增B.在 区 间 34 ， 上 单 调 递 减C.在 区 间 5 34 2 ， 上 单 调 递 增 D.在 区 间 32 ， 2 上 单 调 递 减解 析 ： 将 函 数 y=sin(2x+ 5 )的 图 象 向 右 平 移 10 个 单 位 长 度 ， 得 到 的 函 数 为 ： y=sin2x，增 区 间 满 足 ： 2 2 22 2k x k ， k Z，减 区 间
6、 满 足 ： 32 2 22 2k x k ， k Z， 增 区 间 为 4 4k k ， ， k Z，减 区 间 为 34 4k k ， ， k Z， 将 函 数 y=sin(2x+ 5 )的 图 象 向 右 平 移 10 个 单 位 长 度 ， 所 得 图 象 对 应 的 函 数 在 区 间 3 54 4 ， 上 单 调 递 增 .答 案 ： A 7.已 知 双 曲 线 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)的 离 心 率 为 2， 过 右 焦 点 且 垂 直 于 x 轴 的 直 线 与 双曲 线 交 于 A， B 两 点 .设 A， B到 双 曲 线 的 同 一 条 渐 近
7、线 的 距 离 分 别 为 d1和 d2， 且 d1+d2=6， 则双 曲 线 的 方 程 为 ( )A. 2 2 14 12x y B. 2 2 112 4x y C. 2 2 13 9x y D. 2 2 19 3x y 解 析 ： 由 题 意 可 得 图 象 如 图 ， CD 是 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 y=ba x， 即 bx-ay=0， F(c， 0)，AC CD， BD CD， FE CD， ACDB是 梯 形 ， F是 AB的 中 点 ， EF= 1 22d d =3， EF= 2 2a b =b，所 以 b=3， 双 曲 线 2 22 2 1x ya b (a 0，
8、 b 0)的 离 心 率 为 2， 可 得 ca =2，可 得 ： 2 22a ba =4， 解 得 a= 3 .则 双 曲 线 的 方 程 为 ： 2 2 13 9x y .答 案 ： C8.如 图 ， 在 平 面 四 边 形 ABCD 中 ， AB BC， AD CD， BAD=120 ， AB=AD=1.若 点 E 为 边 CD上 的 动 点 ， 则 AE BE 的 最 小 值 为 ( ) A. 2116B. 32C. 2516D.3解 析 ： 如 图 所 示 ， 以 D 为 原 点 ， 以 DA 所 在 的 直 线 为 x 轴 ， 以 DC 所 在 的 直 线 为 y 轴 ， 过 点
9、B做 BN x 轴 ， 过 点 B做 BM y轴 ， AB BC， AD CD， BAD=120 ， AB=AD=1， AN=ABcos60 = 12 ， BN=ABsin60 = 32 ， DN=1+ 1 32 2 ， BM= 32 ， CM=MBtan30 = 32 ， DC=DM+MC= 3 ， A(1， 0)， B( 3 32 2， )， C(0， 3 )， 设 E(0， m)， ( ) ( 3 31 0 32 )2AE m BE m m ， ， ， ， ， 2 223 3 3 3 3 3 212 2 4 2 16 4 16AE BE m m m m ，当 m= 34 时 ， 取 得
10、最 小 值 为 2116 . 答 案 ： A二 .填 空 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30 分 .9.i是 虚 数 单 位 ， 复 数 6 71 2ii = .解 析 ： 6 7 1 26 7 6 14 7 12 20 5 41 2 1 2 1 2 5 5i ii i i i ii i i .答 案 ： 4-i10.在 (x- 12 x ) 5的 展 开 式 中 ， x2的 系 数 为 .解 析 ： (x- 12 x )5的 二 项 展 开 式 的 通 项 为 Tr+1=C5r x5-r 51 1 10 32 22 r r r rC xx .由 10 3
11、2 r =2， 得 r=2. x2的 系 数 为 2 251 52 2C .答 案 ： 5211.已 知 正 方 体 ABCD-A 1B1C1D1的 棱 长 为 1， 除 面 ABCD外 ， 该 正 方 体 其 余 各 面 的 中 心 分 别 为 点E， F， G， H， M(如 图 )， 则 四 棱 锥 M-EFGH 的 体 积 为 .解 析 ： 正 方 体 的 棱 长 为 1， M-EFGH的 底 面 是 正 方 形 的 边 长 为 ： 22 ， 四 棱 锥 是 正 四 棱 锥 ， 棱 锥 的 高 为 12 ， 四 棱 锥 M-EFGH的 体 积 ： 21 2 1 13 2 2 12 .答
12、 案 ： 11212.已 知 圆 x 2+y2-2x=0的 圆 心 为 C， 直 线 21 223 2x ty t ， (t为 参 数 )与 该 圆 相 交 于 A， B两 点 ，则 ABC的 面 积 为 .解 析 ： 圆 x2+y2-2x=0化 为 标 准 方 程 是 (x-1)2+y2=1， 圆 心 为 C(1， 0)， 半 径 r=1；直 线 21 223 2x ty t ， 化 为 普 通 方 程 是 x+y-2=0，则 圆 心 C 到 该 直 线 的 距 离 为 d= 1 0 2 222 ， 弦 长 |AB|= 2 2 1 22 2 1 2 22 2r d ， ABC的 面 积 为
13、1 1 2 122 2 2 2S AB d .答 案 ： 1213.已 知 a， b R， 且 a-3b+6=0， 则 2 a+ 18b 的 最 小 值 为 .解 析 ： a， b R， 且 a-3b+6=0， 可 得 ： 3b=a+6，则 6 6 61 1 1 1 12 2 2 2 28 2 2 2 2 2 4a a a ab a a a ， 当 且 仅 当 2a= 612a .即 a=-3时 取 等 号 .函 数 的 最 小 值 为 ： 14 .答 案 ： 1414.已 知 a 0， 函 数 f(x)= 2 2 2 02 2 0 x ax a xx ax a x ， ， 若 关 于 x 的
14、 方 程 f(x)=ax恰 有 2 个 互 异的 实 数 解 ， 则 a的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 当 x 0时 ， 由 f(x)=ax得 x 2+2ax+a=ax， 得 x2+ax+a=0， 得 a(x+1)=-x2， 得 a= 21xx ， 设 g(x)= 21xx ， 则 g (x)= 2 22 22 1 21 1x x x x xx x ，由 g(x) 0得 -2 x -1或 -1 x 0， 此 时 递 增 ，由 g(x) 0得 x -2， 此 时 递 减 ， 即 当 x=-2时 ， g(x)取 得 极 小 值 为 g(-2)=4，当 x 0 时 ， 由 f(x)=ax 得
15、-x2+2ax-2a=ax， 得 x2-ax+2a=0， 得 a(x-2)=x2， 当 x=2 时 ， 方 程不 成 立 ，当 x 2 时 ， a= 22xx ， 设 h(x)= 22xx ， 则 h (x)= 2 22 22 2 42 2x x x x xx x ，由 h(x) 0得 x 4， 此 时 递 增 ，由 h(x) 0得 0 x 2 或 2 x 4， 此 时 递 减 ， 即 当 x=4时 ， h(x)取 得 极 小 值 为 h(4)=8，要 使 f(x)=ax恰 有 2个 互 异 的 实 数 解 ， 则 由 图 象 知 4 a 8. 答 案 ： (4， 8)三 .解 答 题 ： 本
16、 大 题 共 6 小 题 ， 共 80 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 . 15.在 ABC中 ， 内 角 A， B， C所 对 的 边 分 别 为 a， b， c.已 知 bsinA=acos(B- 6 ).( )求 角 B的 大 小 ；( )设 a=2， c=3， 求 b 和 sin(2A-B)的 值 .解 析 ： ( )由 正 弦 定 理 得 sin sinb aA B ， 与 bsinA=acos(B- 6 ).由 此 能 求 出 B.( )由 余 弦 定 理 得 b= 7 ， 由 bsinA=acos(B- 6 )， 得 sinA=
17、37 ， cosA= 27 ， 由 此 能 求 出sin(2A-B).答 案 ： ( )在 ABC中 ， 由 正 弦 定 理 得 sin sinb aA B ， 得 bsinA=asinB，又 bsinA=acos(B- 6 ). asinB=acos(B- 6 )， 即 3 1sin cos cos cos si( ) n sin cos sin6 6 6 2 2B B B B B B ， tanB= 3 ， 又 B (0， )， B= 3 .( )在 ABC中 ， a=2， c=3， B= 3 ，由 余 弦 定 理 得 b= 2 2 72 cosa c ac B ， 由 bsinA=aco
18、s(B- 6 )， 得 sinA= 37 ， a c， cosA= 27 ， sin2A=2sinAcosA= 4 37 ， cos2A=2cos 2A-1= 17 ， sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB= 4 3 1 1 3 3 37 2 7 2 14 .16.已 知 某 单 位 甲 、 乙 、 丙 三 个 部 门 的 员 工 人 数 分 别 为 24， 16， 16.现 采 用 分 层 抽 样 的 方 法从 中 抽 取 7人 ， 进 行 睡 眠 时 间 的 调 查 .( )应 从 甲 、 乙 、 丙 三 个 部 门 的 员 工 中 分 别 抽 取 多 少 人 ？(
19、)若 抽 出 的 7 人 中 有 4 人 睡 眠 不 足 ， 3人 睡 眠 充 足 ， 现 从 这 7人 中 随 机 抽 取 3 人 做 进 一 步的 身 体 检 查 .(i)用 X 表 示 抽 取 的 3 人 中 睡 眠 不 足 的 员 工 人 数 ， 求 随 机 变 量 X 的 分 布 列 与 数 学 期 望 ； (ii)设 A 为 事 件 “ 抽 取 的 3 人 中 ， 既 有 睡 眠 充 足 的 员 工 ， 也 有 睡 眠 不 足 的 员 工 ” ， 求 事 件 A发 生 的 概 率 .解 析 ： ( )利 用 分 层 抽 样 ， 通 过 抽 样 比 求 解 应 从 甲 、 乙 、 丙
20、 三 个 部 门 的 员 工 中 分 别 抽 取 人 数 ；( )若 (i)用 X 表 示 抽 取 的 3人 中 睡 眠 不 足 的 员 工 人 数 ， 的 可 能 值 ， 求 出 概 率 ， 得 到 随 机 变量 X 的 分 布 列 ， 然 后 求 解 数 学 期 望 ；(ii)利 用 互 斥 事 件 的 概 率 求 解 即 可 .答 案 ： ( )单 位 甲 、 乙 、 丙 三 个 部 门 的 员 工 人 数 分 别 为 24， 16， 16.人 数 比 为 ： 3： 2： 2， 从 中 抽 取 7人 现 ， 应 从 甲 、 乙 、 丙 三 个 部 门 的 员 工 中 分 别 抽 取 3，
21、 2， 2人 .( )若 抽 出 的 7 人 中 有 4 人 睡 眠 不 足 ， 3人 睡 眠 充 足 ， 现 从 这 7人 中 随 机 抽 取 3 人 做 进 一 步的 身 体 检 查 .(i)用 X 表 示 抽 取 的 3 人 中 睡 眠 不 足 的 员 工 人 数 ，随 机 变 量 X的 取 值 为 ： 0， 1， 2， 3， P(X=k)= 34 373k kC CC ， k=0， 1， 2， 3.所 以 随 机 变 量 的 分布 列 为 ： 随 机 变 量 X的 数 学 期 望 E(X)= 1 12 18 4 120 1 2 335 35 35 35 7 ；(ii)设 A 为 事 件
22、 “ 抽 取 的 3 人 中 ， 既 有 睡 眠 充 足 的 员 工 ， 也 有 睡 眠 不 足 的 员 工 ” ，设 事 件 B为 ： 抽 取 的 3 人 中 ， 睡 眠 充 足 的 员 工 有 1 人 ， 睡 眠 不 足 的 员 工 有 2人 ， 事 件 C为 抽取 的 3人 中 ， 睡 眠 充 足 的 员 工 有 2 人 ， 睡 眠 不 足 的 员 工 有 1人 ， 则 ： A=B C， 且 P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)， 故 P(A)=P(B C)=P(X=2)+P(X=1)= 67 .所 以 事 件 A发 生 的 概 率 ： 67 .17.如 图 ， AD BC且
23、AD=2BC， AD CD， EG AD 且 EG=AD， CD FG 且 CD=2FG， DG 平 面 ABCD，DA=DC=DG=2. ( )若 M 为 CF 的 中 点 ， N为 EG的 中 点 ， 求 证 ： MN 平 面 CDE；( )求 二 面 角 E-BC-F的 正 弦 值 ；( )若 点 P在 线 段 DG上 ， 且 直 线 BP 与 平 面 ADGE所 成 的 角 为 60 ， 求 线 段 DP 的 长 .解 析 ： ( )依 题 意 ， 以 D 为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 DA DC DG 、 、 的 方 向 为 x轴 ， y 轴 ， z 轴 的 正方 向 建 立
24、空 间 直 角 坐 标 系 .求 出 对 应 点 的 坐 标 ， 求 出 平 面 CDE 的 法 向 0n 量 及 MN ， 由0 0MN n ， 结 合 直 线 MN 平 面 CDE， 可 得 MN 平 面 CDE；( )分 别 求 出 平 面 BCE与 平 面 平 面 BCF的 一 个 法 向 量 ， 由 两 法 向 量 所 成 角 的 余 弦 值 可 得 二 面角 E-BC-F 的 正 弦 值 ；( )设 线 段 DP的 长 为 h， (h 0， 2)， 则 点 P 的 坐 标 为 (0， 0， h)， 求 出 BP=(-1， -2， h)， 而 DC =(0， 2， 0)为 平 面 A
25、DGE 的 一 个 法 向 量 ， 由 直 线 BP 与 平 面 ADGE所 成 的 角 为 60 ， 可 得 线 段 DP 的 长 .答 案 ： ( )依 题 意 ， 以 D 为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 DA DC DG 、 、 的 方 向 为 x轴 ， y 轴 ， z 轴 的 正方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 . 可 得 D(0， 0， 0)， A(2， 0， 0)， B(1， 2， 0)， C(0， 2， 0)， E(2， 0， 2)， F(0， 1， 2)， G(0，0， 2)， M(0， 32 ， 1)， N(1， 0， 2).设 0n=(x， y， z)为 平
26、面 CDE的 法 向 量 ，则 00 2 02 2 0n DC yn DE x z ， ， 不 妨 令 z=-1， 可 得 0n=(1， 0， -1)；又 MN=(1， - 32 ， 1)， 可 得 0MN n =0.又 直 线 MN平 面 CDE， MN 平 面 CDE；( )依 题 意 ， 可 得 BC=(-1， 0， 0)， BE=(1， -2， 2)， CF=(0， -1， 2). 设 n=(x， y， z)为 平 面 BCE的 法 向 量 ，则 02 2 0n BC xn BE x y z ， ， 不 妨 令 z=1， 可 得 n =(0， 1， 1).设 m =(x， y， z)为
27、 平 面 BCF 的 法 向 量 ，则 02 0m BC xm CF y z ， ， 不 妨 令 z=1， 可 得 m =(0， 2， 1).因 此 有 cos 3 1010m nmn m n ， ， 于 是 sin 1010mn ， . 二 面 角 E-BC-F的 正 弦 值 为 1010 ；( )设 线 段 DP 的 长 为 h， (h 0， 2)， 则 点 P的 坐 标 为 (0， 0， h)，可 得 BP=(-1， -2， h)， 而 DC =(0， 2， 0)为 平 面 ADGE的 一 个 法 向 量 ， 故 22cos 5BP DC BP DC BP DC h ， .由 题 意 ，
28、 可 得 22 3sin60 25h ， 解 得 h= 33 0， 2. 线 段 DP的 长 为 33 .18.设 a n是 等 比 数 列 ， 公 比 大 于 0， 其 前 n 项 和 为 Sn(n N*)， bn是 等 差 数 列 .已 知 a1=1，a3=a2+2， a4=b3+b5， a5=b4+2b6.( )求 an和 bn的 通 项 公 式 ；( )设 数 列 Sn的 前 n 项 和 为 Tn(n N*)，(i)求 Tn；(ii)证 明 221 2 21 2 2nn k k kk T b bk k n (n N*).解 析 ： ( )设 等 比 数 列 an的 公 比 为 q， 由
29、 已 知 列 式 求 得 q， 则 数 列 a n的 通 项 公 式 可 求 ；等 差 数 列 bn的 公 差 为 d， 再 由 已 知 列 关 于 首 项 与 公 差 的 方 程 组 ， 求 得 首 项 与 公 差 ， 可 得 等差 数 列 的 通 项 公 式 ；( )(i)由 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 求 得 Sn， 再 由 分 组 求 和 及 等 比 数 列 的 前 n 项 和 求 得 数 列Sn的 前 n项 和 为 Tn；(ii)化 简 整 理 21 2k k kT b bk k ， 再 由 裂 项 相 消 法 证 明 结 论 .答 案 ： ( )设 等 比 数 列
30、a n的 公 比 为 q， 由 a1=1， a3=a2+2， 可 得 q2-q-2=0. q 0， 可 得 q=2.故 an=2n-1.设 等 差 数 列 bn的 公 差 为 d， 由 a4=b3+b5， 得 b1+3d=4，由 a5=b4+2b6， 得 3b1+13d=16， b1=d=1.故 bn=n；( )(i)由 ( )， 可 得 Sn=1 21 2n =2n-1，故 T n= 11 1 2 1 22 1 2 2 21 2 nn nk k nk k n n n ；(ii) 1 1 2 12 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 2 1k k k kk k k k k kT b
31、b kk k k k k k k k . 3 2 4 3 2 1 221 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 2 4 3 2 1 2n n nn k k kk T b bk k n n n .19.设 椭 圆 2 22 2x ya b =1(a b 0)的 左 焦 点 为 F， 上 顶 点 为 B.已 知 椭 圆 的 离 心 率 为 53 ， 点 A 的 坐 标 为 (b， 0)， 且 |FB| |AB|=6 2 . ( )求 椭 圆 的 方 程 ；( )设 直 线 l： y=kx(k 0)与 椭 圆 在 第 一 象 限 的 交 点 为 P， 且 l 与 直 线 AB 交 于 点 Q.若
32、5 24AQPQ sin AOQ(O为 原 点 )， 求 k的 值 .解 析 ： ( )设 椭 圆 的 焦 距 为 2c， 根 据 椭 圆 的 几 何 性 质 与 已 知 条 件 ， 求 出 a、 b 的 值 ， 再 写 出椭 圆 的 方 程 ；( )设 出 点 P、 Q 的 坐 标 ， 由 题 意 利 用 方 程 思 想 ， 求 得 直 线 AB的 方 程 以 及 k的 值 .答 案 ： ( )设 椭 圆 2 22 2x ya b =1(a b 0)的 焦 距 为 2c， 由 椭 圆 的 离 心 率 为 e= 53 ， 22 59ca ；又 a 2=b2+c2， 2a=3b， 由 |FB|=
33、a， |AB|= 2 b， 且 |FB| |AB|=6 2 ；可 得 ab=6， 从 而 解 得 a=3， b=2， 椭 圆 的 方 程 为 2 29 4x y =1；( )设 点 P的 坐 标 为 (x1， y1)， 点 Q 的 坐 标 为 (x2， y2)， 由 已 知 y1 y2 0； |PQ|sin AOQ=y1-y2；又 |AQ|= 2sin yOAB ， 且 OAB= 4 ， |AQ|=2y， 由 5 24AQPQ sin AOQ， 可 得 5y 1=9y2；由 方 程 组 2 2 19 4y kxx y ， ， 消 去 x， 可 得 y1= 269 4kk ， 直 线 AB的 方
34、 程 为 x+y-2=0；由 方 程 组 2 0y kxx y ， ， 消 去 x， 可 得 y 2= 2 1kk ；由 5y1=9y2， 可 得 5(k+1)= 23 9 4k ，两 边 平 方 ， 整 理 得 56k2-50k+11=0， 解 得 k= 12 或 k= 1128 ； k 的 值 为 12 或 1128 .20.已 知 函 数 f(x)=a x， g(x)=logax， 其 中 a 1.( )求 函 数 h(x)=f(x)-xlna 的 单 调 区 间 ；( )若 曲 线 y=f(x)在 点 (x1， f(x1)处 的 切 线 与 曲 线 y=g(x)在 点 (x2， g(x
35、2)处 的 切 线 平 行 ，证 明 x1+g(x2)= 2ln lnln aa ；( )证 明 当 a 1ee 时 ， 存 在 直 线 l， 使 l是 曲 线 y=f(x)的 切 线 ， 也 是 曲 线 y=g(x)的 切 线 .解 析 ： ( )把 f(x)的 解 析 式 代 入 函 数 h(x)=f(x)-xlna， 求 其 导 函 数 ， 由 导 函 数 的 零 点 对 定义 域 分 段 ， 由 导 函 数 在 各 区 间 段 内 的 符 号 可 得 原 函 数 的 单 调 区 间 ；( )分 别 求 出 函 数 y=f(x)在 点 (x 1， f(x1)处 与 y=g(x)在 点 (
36、x2， g(x2)处 的 切 线 的 斜 率 ， 由斜 率 相 等 ， 两 边 取 对 数 可 得 结 论 ；( )分 别 求 出 曲 线 y=f(x)在 点 (x1， 1xa )处 的 切 线 与 曲 线 y=g(x)在 点 (x2， logax2)处 的 切 线 方 程 ， 把 问 题 转 化 为 证 明 当 a 1ee 时 ， 存 在 x1 (- ， + )， x2 (0， + )使 得 l1与 l2重合 ， 进 一 步 转 化 为 证 明 当 a 1ee 时 ， 方 程 1 11 1 1 2ln lnln 0ln lnx x aa x a a x a a 存 在 实 数解 .然 后 利
37、 用 导 数 证 明 即 可 .答 案 ： ( )由 已 知 ， h(x)=ax-xlna， 有 h (x)=axlna-lna，令 h (x)=0， 解 得 x=0.由 a 1， 可 知 当 x 变 化 时 ， h (x)， h(x)的 变 化 情 况 如 下 表 ： 函 数 h(x)的 单 调 减 区 间 为 (- ， 0)， 单 调 递 增 区 间 为 (0， + )；( )由 f (x)=axlna， 可 得 曲 线 y=f(x)在 点 (x1， f(x1)处 的 切 线 的 斜 率 为 1xa lna.由 g (x)= 1lnx a ， 可 得 曲 线 y=g(x)在 点 (x2，
38、g(x2)处 的 切 线 的 斜 率 为 2 1lnx a . 这 两 条 切 线 平 行 ， 故 有 1 2 1ln lnxa a x a ， 即 x 2 1xa (lna)2=1，两 边 取 以 a为 底 数 的 对 数 ， 得 logax2+x1+2logalna=0， x1+g(x2)= 2ln lnln aa ；( )曲 线 y=f(x)在 点 (x1， 1xa )处 的 切 线 l1： y- 1 1x xa a lna(x-x1)，曲 线 y=g(x)在 点 (x 2， logax2)处 的 切 线 l2： y-logax2= 2 1lnx a (x-x2).要 证 明 当 a 1
39、ee 时 ， 存 在 直 线 l， 使 l 是 曲 线 y=f(x)的 切 线 ， 也 是 曲 线 y=g(x)的 切 线 ，只 需 证 明 当 a 1ee 时 ， 存 在 x1 (- ， + )， x2 (0， + )使 得 l1与 l2重 合 ，即 只 需 证 明 当 a 1ee 时 ， 方 程 组 11 1 21 21ln ln 1ln log lnxx xa a x aa x a a ax a 由 得 1 21lnxa a ， 代 入 得 ： 1 11 1 1 2ln lnln 0ln lnx x aa x a a x a a ， 因 此 ， 只 需 证 明 当 a 1ee 时 ， 关
40、 于 x1的 方 程 存 在 实 数 解 .设 函 数 u(x)=ax-xaxlna+x+ 1 2ln lnln ln aa a ， 既 要 证 明 当 a 1ee 时 ， 函 数 y=u(x)存 在 零 点 .u (x)=1-(lna)2xax， 可 知 x (- ， 0)时 ， u (x) 0； x (0， + )时 ， u (x)单 调 递 减 ，又 u (0)=1 0， 2 21 11 0ln lnu aa a ，故 存 在 唯 一 的 x 0， 且 x0 0， 使 得 u (x0)=0， 即 1-(lna)2x0 0 xa =0.由 此 可 得 ， u(x)在 (- ， x0)上 单
41、 调 递 增 ， 在 (x0， + )上 单 调 递 减 ，u(x)在 x=x0处 取 得 极 大 值 u(x0). a 1ee ， 故 lnlna -1.u(x 0)= 0 00 0 0201 2ln ln 1 2ln ln 2 2ln lnln 0ln ln ln lnlnx x a a aa x a a x xa a a ax a .下 面 证 明 存 在 实 数 t， 使 得 u(t) 0，由 ( )可 得 ax 1+ 1lna ，当 x 1lna 时 ，有 u(x) (1+xlna)(1-xlna)+x+ 2 21 2ln ln 1 2ln lnln 1ln ln ln lna aa x xa a a a . 存 在 实 数 t， 使 得 u(t) 0.因 此 ， 当 a 1ee 时 ， 存 在 x1 (- ， + )， 使 得 u(x 1)=0. 当 a 1ee 时 ， 存 在 直 线 l， 使 l 是 曲 线 y=f(x)的 切 线 ， 也 是 曲 线 y=g(x)的 切 线 .
