1、2018年 广 东 省 茂 名 市 高 考 一 模 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.若 集 合 A=x|x2-2x-3 0， B=-1， 0， 1， 2， 则 A B=( )A.-1， 0， 1， 2B.x|-1 x 3C.0， 1， 2D.-1， 0， 1解 析 ： 集 合 A=x|x 2-2x-3 0=x|-1 x 3，B=-1， 0， 1， 2，则 A B=0， 1， 2.答 案 ： C2.已 知 复 数 z
2、满 足 (z-i)i=2+i， i是 虚 数 单 位 ， 则 |z|=( )A. 2B. 3C. 5D.3 解 析 ： 由 (z-i)i=2+i， 得 222 1 2i iiz i ii i ， z=1-i，则 221 1 2z .答 案 ： A3.已 知 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 2 41yx yx y ， 则 z=3x+y的 最 大 值 为 ( )A.12B.11 C.3D.-1解 析 ： 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： 由 z=3x+y 得 y=-3x+z，平 移 直 线 y=-3x+z， 由 图 象 可 知 当 直 线 y=-3x+z，
3、经 过 点 A 时 ，直 线 的 截 距 最 大 ， 此 时 z最 大 .由 2 1yx y ， 解 得 32xy ，即 A(1， 2)， 此 时 zmax=3 3+2=11.答 案 ： B4.设 X N(1， 1)， 其 正 态 分 布 密 度 曲 线 如 图 所 示 ， 那 么 向 正 方 形 ABCD中 随 机 投 掷 10000 个点 ， 则 落 入 阴 影 部 分 的 点 的 个 数 的 估 计 值 是 ( ) (注 ： 若 X N( ， 2)， 则 P( - X + )=68.26%， P( -2 X +2 )=95.44%)A.7539B.6038C.7028D.6587解 析
4、： X N(1， 1)， =1， =1. + =2 P( - X + )=68.26%， 则 P(0 X 2)=68.26%，则 P(1 X 2)=34.13%， 阴 影 部 分 的 面 积 为 ： 0.6587. 正 方 形 ABCD 中 随 机 投 掷 10000 个 点 ， 则 落 入 阴 影 部 分 的 点 的 个 数 的 估 计 值 是 6587.答 案 ： D 5.数 学 文 化 算 法 统 宗 是 明 朝 程 大 位 所 著 数 学 名 著 ， 其 中 有 这 样 一 段 表 述 ： “ 远 看 巍 巍 塔七 层 ， 红 光 点 点 倍 加 增 ， 共 灯 三 百 八 十 一 ”
5、 ， 其 意 大 致 为 ： 有 一 栋 七 层 宝 塔 ， 每 层 悬 挂 的 红灯 数 为 上 一 层 的 两 倍 ， 共 有 381盏 灯 ， 则 该 塔 中 间 一 层 有 ( )盏 灯 .A.24B.48C.12D.60解 析 ： 根 据 题 意 ， 设 最 底 一 层 有 a盏 灯 ，则 由 题 意 知 从 下 而 上 ， 第 一 层 至 第 七 层 的 灯 的 盏 数 构 成 一 个 以 a 为 首 项 ， 以 12 为 公 比 的 等比 数 列 ， 又 由 77 11 2 38111 2aS ，解 可 得 a=192，则 34 1 242a a ，即 该 塔 中 间 一 层 有
6、 24盏 灯 .答 案 ： A6.甲 、 乙 、 丙 三 人 参 加 某 公 司 的 面 试 ， 最 终 只 有 一 人 能 够 被 该 公 司 录 用 ， 得 到 面 试 结 果 以 后 ，甲 说 ： 丙 被 录 用 了 ； 乙 说 ： 甲 被 录 用 了 ； 丙 说 ： 我 没 被 录 用 .若 这 三 人 中 仅 有 一 人 说 法 错 误 ，则 下 列 结 论 正 确 的 是 ( )A.丙 被 录 用 了 B.乙 被 录 用 了C.甲 被 录 用 了D.无 法 确 定 谁 被 录 用 了解 析 ： 假 设 甲 说 的 是 真 话 ， 即 丙 被 录 用 ， 则 乙 说 的 是 假 话
7、， 丙 说 的 是 假 话 ， 不 成 立 ；假 设 甲 说 的 是 假 话 ， 即 丙 没 有 被 录 用 ， 则 丙 说 的 是 真 话 ，若 乙 说 的 是 真 话 ， 即 甲 被 录 用 ， 成 立 ， 故 甲 被 录 用 ；若 乙 被 录 用 ， 则 甲 和 乙 的 说 法 都 错 误 ， 不 成 立 .答 案 ： C7.函 数 | |xef x x 的 部 分 图 象 大 致 为 ( ) A. B.C. D.解 析 ： f(-x)=-f(x)， 可 得 f(x)为 奇 函 数 ， 排 除 B， f(1) 3e 1， 排 除 A.当 x 0 时 ， 213 3 xx x eef x
8、f xx x ， ， 在 区 间 (1， + )上 f(x)单 调 递 增 ， 排 除D.答 案 ： C8.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 那 么 输 出 的 S值 是 ( ) A. 12B.-1C.2018D.2解 析 ： 依 题 意 ， 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 可 知 ：初 始 S=2， 当 k=0时 ， S0=-1， k=1时 ， S1= 12 ，同 理 S 2=2， S3=-1， S4= 12 ， ，可 见 Sn的 值 周 期 为 3. 当 k=2007时 ， S2007=S0=-1，k=2008， 退 出 循 环 .输 出 S=-1.答 案 ： B
9、9.设 P是 双 曲 线 222 2 1yxa b (a 0， b 0)上 的 点 ， F 1， F2是 其 焦 点 ， 且 PF1 PF2， 若 PF1F2的 面 积 是 1， 且 a+b=3， 则 双 曲 线 的 离 心 率 为 ( )A.2B. 5C. 52D. 32解 析 ： 方 法 一 ： 设 |PF 1|=m， |PF2|=n， 由 题 意 得由 PF1 PF2， PF1F2的 面 积 是 1， 则 12 mn=1， 得 mn=2， Rt PF1F2中 ， 根 据 勾 股 定 理 得 m2+n2=4c2 (m-n)2=m2+n2-2mn=4c2-4， 结 合 双 曲 线 定 义 ，
10、 得 (m-n)2=4a2， 4c2-4=4a2， 化 简 整 理 得 c2-a2=1， 即 b2=1，则 b=1， 由 a+b=3， 得 a=2， 所 以 2 2 5c a b ， 该 双 曲 线 的 离 心 率 为 52ce a .方 法 二 ： 由 双 曲 线 的 焦 点 三 角 形 的 面 积 公 式 2tan2bS ， F 1PF2= ，由 PF1 PF2， 则 F1PF2=90 ，则 PF1F2的 面 积 2 2 1tan45bS b ， 由 a+b=3， 得 a=2， 所 以 2 2 5c a b ， 该 双 曲 线 的 离 心 率 为 52ce a .答 案 ： C10.已 知
11、 ABC的 三 个 内 角 A、 B、 C的 对 边 分 别 为 a、 b、 c.若 sin 12 6A ， 且 a=2.则 ABC面 积 的 最 大 值 为 ( ) A. 3B. 33C. 32D.2 3解 析 ： ABC的 三 个 内 角 A、 B、 C的 对 边 分 别 为 a、 b、 c.若 sin 12 6A ， 且 a=2.由 于 ： 0 A ，则 ： 6 2 6 3A ， 所 以 ： 2 6 6A ，解 得 ： 23A ，所 以 ： a2=b2+c2-2bccosA，整 理 得 ： 4=b2+c2+bc，由 于 ： b2+c2 2bc，所 以 ： bc 43 ，则 ： 1 1 4
12、 3 3sin2 2 3 2 3ABCS bc A .答 案 ： B 11.三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 三 棱 锥 外 接 球 的 体 积 为 ( )A.4 3 B.2 3C.4 2D.2 2解 析 ： 三 棱 锥 的 直 观 图 如 图 ， 以 PBC所 在 平 面 为 球 的 截 面 ， 则 截 面 圆 O1的 半 径 为 1 3 12 sin60 ， 以 ABC所 在 平 面 为 球 的 截 面 ，则 截 面 圆 O2的 半 径 为 1 112 2AB 球 心 H 到 ABC所 在 平 面 的 距 离 为 1 13 2PO ，则 球 的 半 径 R 为 1 1
13、1 34 4 ，所 以 球 的 体 积 为 34 3 4 33 .答 案 ： A12.定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f(x)满 足 条 件 f(1+x)=f(1-x)， 当 x 0， 1时 ， f(x)=x， 若 函 数g(x)=|f(x)|-ae -|x|在 区 间 -2018， 2018上 有 4032个 零 点 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ( )A.(0， 1)B.(e， e3) C.(e， e2)D.(1， e3)解 析 ： f(x)满 足 条 件 f(1+x)=f(1-x)且 为 奇 函 数 ， 函 数 f(x)=f(2-x)=-f(-x) f(-x)=f(2+
14、x)f(x+4)=f(x) f(x)周 期 为 4， 当 x 0， 1时 ， f(x)=x， 根 据 m(x)=|f(x)|与 n(x)=ae-|x|图 象 ，函 数 g(x)=|f(x)|-ae-|x|在 区 间 -2018， 2018上 有 4032个 零 点 ，即 m(x)=|f(x)|与 n(x)=ae -|x|在 0， 4有 且 仅 有 两 个 交 点 ， 1 13 3m nm n 即 e a e3.答 案 ： B二 、 填 空 题 ： 本 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 20分 .13.已 知 a (1， 2)， b (-1， )， 若 a b， 则 =_.解 析
15、 ： 12 1a b a b ， ， ， ， ， a b =-1+2 =0， 解 得 = 12 .答 案 ： 1214.在 421 1x x 的 展 开 式 中 ， x2的 系 数 是 _.解 析 ： 4 32 2 2 3 24 41 1 1 2 1 4x x x x x C x C x x x 2的 系 数 = 241 2 1 10C 答 案 ： -1015.已 知 函 数 2 24sin sin 2sin2 4xf x x x ( 0)在 区 间 34 4 ， 上 是增 函 数 ， 且 在 区 间 0， 上 恰 好 取 得 一 次 最 大 值 ， 则 的 取 值 范 围 是 _.解 析 ：
16、 2 24sin sin 2sin2 4xf x x x = 21 cos 24sin 2sin2 xx x =2sin x(1+sin x)-2sin 2 x=2sin x，即 ： f(x)=2sin x， 2 2 ， 是 函 数 含 原 点 的 递 增 区 间 .又 函 数 在 34 4 ， 上 递 增 ， 32 2 4 4 ， ， ， 得 不 等 式 组 2 434 2 ， 得 223 ，又 0， 20 3 ，又 函 数 在 区 间 0， 上 恰 好 取 得 一 次 最 大 值 ，根 据 正 弦 函 数 的 性 质 可 知 2 2x k ， k Z， 即 函 数 在 2 2kx 处 取
17、得 最 大 值 ， 可 得 0 2 ， 12 ，综 上 ， 可 得 1 22 3 ， .答 案 ： 1 22 3 ，16.从 抛 物 线 x 2=4y的 准 线 l上 一 点 P 引 抛 物 线 的 两 条 切 线 PA、 PB， 且 A、 B为 切 点 ， 若 直 线AB的 倾 斜 角 为 6 ， 则 P点 的 横 坐 标 为 _.解 析 ： 如 图 ， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， P(x0， -1)， 则 1 21 2 3tan6 3AB y yk x x ，又 2 21 21 24 4x xy y ， ， 1 2 34 3AB x xK ， 则 1 2 4 33x x
18、 .由 x2=4y， 得 24xy ， 2xy ， 切 线 PA 的 方 程 为 11 12xy y x x ，切 线 PB的 方 程 为 22 22xy y x x ，即 切 线 PA 的 方 程 为 21 1 14 2x xy x x ， 即 x12-2x1x+4y 0；切 线 PB的 方 程 为 22 2 24 2x xy x x ， 即 x22-2x2x+4y 0. 点 P(x 0， -1)在 切 线 PA、 PB上 ， x12-2x1x0-4 0， x22-2x2x0-4 0，可 知 x1， x2是 方 程 x2-2x0 x-4=0的 两 个 根 ， x1+x2=2x0， 得 0 2
19、 33x .答 案 ： 2 33三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 5小 题 ， 共 70 分 .其 中 17至 21题 为 必 做 题 ， 22、 23 题 为 选 做 题 .解答 过 程 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .17.设 正 项 等 比 数 列 a n， a4=81， 且 a2， a3的 等 差 中 项 为 1 232 a a .(I)求 数 列 an的 通 项 公 式 ；(II)若 2 1log3 nanb ， 数 列 bn的 前 n 项 和 为 Sn， 数 列 cn满 足 14 1n nc S ， Tn为 数 列 cn的 前 n项 和
20、， 若 Tn n恒 成 立 ， 求 的 取 值 范 围 .解 析 ： (I)设 等 比 数 列 a n的 公 比 为 q(q 0)， 由 题 意 得 34 1 21 1 1 1813a aqaq aq a aq ， 解 得 即 可得 出 .(II)由 (I)得 2 13log3 =2 1nn nb ， 利 用 求 和 公 式 可 得 Sn， 利 用 裂 项 求 和 方 法 可 得 Tn， 再利 用 单 调 性 即 可 得 出 .答 案 ： (I)设 等 比 数 列 an的 公 比 为 q(q 0)，由 题 意 ， 得 34 1 21 1 1 1813a aqaq aq a aq 解 得 1 3
21、3aq 所 以 an a1qn-1 3n(II)由 (I)得 2 13log3 =2 1nn nb 1 21 2 12 2nn n nn b bS n . 21 1 1 12 2 1 2 14 1nc n nn ， 1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1 2 1n nT n n n ，若 2 1n nT n n 恒 成 立 ， 则 12 1n (n N*)恒 成 立 ，则 12 1n max， 所 以 13 .18.如 图 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， PC 底 面 ABCD， AD BC， AD=2BC=2， PC=2， ABC 是 以 AC为 斜 边 的 等 腰
22、 直 角 三 角 形 ， E是 PD的 中 点 .(I)求 证 ： 平 面 EAC 平 面 PCD； (II)求 直 线 PA 与 平 面 EAC所 成 角 的 正 弦 值 .解 析 ： (I)推 导 出 PC AC， AC CD， 从 而 AC 平 面 PCD， 由 此 能 证 明 平 面 EAC 平 面 PCD.(II)解 法 1： 作 PH EC， 则 PH 平 面 EAC， 从 而 PA与 平 面 EAC所 成 角 为 PAH， 由 此 能 出 直线 PA 与 平 面 EAC所 成 角 的 正 弦 值 .解 法 2： 由 PC 底 面 ABCD， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，
23、 利 用 向 量 法 能 出 直 线 PA 与 平 面 EAC所 成角 的 正 弦 值 .答 案 ： (I) PC 底 面 ABCD， AC 底 面 ABCD， PC AC，由 题 意 可 知 ， AD BC， 且 AD=2BC=2 ABC是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 2 2 2AC BC CD ， ， CD 2+AC2=AD2， 即 AC CD，又 PC CD=C， AC 平 面 PCD， AC 平 面 EAC， 平 面 EAC 平 面 PCD.(II)解 法 1： 由 (1)得 平 面 EAC 平 面 PCD， 平 面 EAC 平 面 PCD=EC， 作 PH EC， 则 PH 平
24、面 EAC， PA 与 平 面 EAC所 成 角 为 PAH，在 Rt PAC中 ， PA= 6， 在 Rt PHC中 ， sin PCE= 33 ， PH=PCsin PCE 2 33 ，2 3 23sin 3 36PHPAH PA ， 直 线 PA 与 平 面 EAC所 成 角 的 正 弦 值 为 23.解 法 2： PC 底 面 ABCD， 则 建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系 ， 则 P(0， 0， 2)， C(0， 0， 0)， A(0， 2 ， 0)， D( 2 ， 0， 0)， E( 22 ， 0， 1) 20 20 01 0 2 22CA CE PA ， ， ，
25、， ， ， ， ， .设 平 面 EAC的 法 向 量 为 n=(x， y， z)，则 00n CAn CE ， 即 2 02 2 0yx z ，令 z=1， 解 得 2 01n ， ，记 直 线 PA 与 平 面 EAC所 成 角 为 ， 则 2sin 3n PAn PA ，所 以 直 线 PA与 平 面 EAC 所 成 角 的 正 弦 值 为 23 .19.交 强 险 是 车 主 必 须 为 机 动 车 购 买 的 险 种 ， 若 普 通 6 座 以 下 私 家 车 投 保 交 强 险 第 一 年 的 费用 (基 准 保 费 )统 一 为 a元 ， 在 下 一 年 续 保 时 ， 实 行
26、的 是 费 率 浮 动 机 制 ， 保 费 与 上 一 年 度 车 辆发 生 道 路 交 通 事 故 的 情 况 相 联 系 ， 发 生 交 通 事 故 的 次 数 越 多 ， 费 率 就 越 高 ， 具 体 浮 动 情 况 如表 ： 交 强 险 浮 动 因 素 和 浮 动 费 率 比 率 表浮 动 因 素 浮 动 比 率A 1 上 一 个 年 度 未 发 生 有 责 任 道 路 交 通 事 故 下 浮 10% A2 上 两 个 年 度 未 发 生 有 责 任 道 路 交 通 事 故 下 浮 20%A3 上 三 个 及 以 上 年 度 未 发 生 有 责 任 道 路 交 通 事 故 下 浮 3
27、0%A4 上 一 个 年 度 发 生 一 次 有 责 任 不 涉 及 死 亡 的 道 路 交 通 事 故 0%A5 上 一 个 年 度 发 生 两 次 及 两 次 以 上 有 责 任 道 路 交 通 事 故 上 浮 10%A6 上 一 个 年 度 发 生 有 责 任 道 路 交 通 死 亡 事 故 上 浮 30%某 机 构 为 了 解 某 一 品 牌 普 通 6座 以 下 私 家 车 的 投 保 情 况 ， 随 机 抽 取 了 100辆 车 龄 已 满 三 年 的该 品 牌 同 型 号 私 家 车 的 下 一 年 续 保 时 的 情 况 ， 统 计 如 下 表 ：类 型 A 1 A2 A3 A
28、4 A5 A6数 量 20 10 10 30 20 10以 这 100辆 该 品 牌 车 的 投 保 类 型 的 频 率 代 替 一 辆 车 投 保 类 型 的 概 率 ， 完 成 下 列 问 题 ：(I)按 照 我 国 机 动 车 交 通 事 故 责 任 强 制 保 险 条 例 汽 车 交 强 险 价 格 的 规 定 ， a=950(元 )， 记X为 某 同 学 家 的 一 辆 该 品 牌 车 在 第 四 年 续 保 时 的 费 用 ， 求 X 的 分 布 列 与 数 学 期 望 ；(II)某 二 手 车 销 售 商 专 门 销 售 这 一 品 牌 的 二 手 车 ， 且 将 下 一 年 的
29、 交 强 险 保 费 高 于 基 本 保 费 的车 辆 记 为 事 故 车 ， 假 设 购 进 一 辆 事 故 车 亏 损 5000元 ， 一 辆 非 事 故 车 盈 利 10000 元 ： 若 该 销 售 商 购 进 三 辆 (车 龄 已 满 三 年 )该 品 牌 二 手 车 ， 求 这 三 辆 车 中 至 多 有 一 辆 事 故 车 的 概率 ； 若 该 销 售 商 一 次 购 进 100 辆 (车 龄 已 满 三 年 )该 品 牌 二 手 车 ， 求 该 销 售 商 获 得 利 润 的 期 望值 .解 析 ： (I)由 题 意 可 知 ： X 的 可 能 取 值 为 0.9a， 0.8a
30、， 0.7a， a， 1.1a， 1.3a， 由 统 计 数 据 分别 求 出 相 应 的 概 率 ， 由 此 能 求 出 X的 分 布 列 和 数 学 期 望 . (II) 由 统 计 数 据 可 知 任 意 一 辆 该 品 牌 车 龄 已 满 三 年 的 二 手 车 为 事 故 车 的 概 率 为 310， 由 此能 出 三 辆 车 中 至 多 有 一 辆 事 故 车 的 概 率 . 设 Y为 该 销 售 商 购 进 并 销 售 一 辆 二 手 车 的 利 润 ， Y的 可 能 取 值 为 -5000， 10000， 分 别 求 出相 应 的 概 率 ， 由 此 能 求 出 Y 的 分 布
31、 列 和 该 销 售 商 一 次 购 进 100 辆 该 品 牌 车 龄 已 满 三 年 的 二 手车 获 得 利 润 的 期 望 值 .答 案 ： (I)由 题 意 可 知 ： X的 可 能 取 值 为 0.9a， 0.8a， 0.7a， a， 1.1a， 1.3a， (1 分 )由 统 计 数 据 可 知 ： P(X 0.9a) 15 ，P(X 0.8a) 110，P(X 0.7a) 110， P(X a) 310，P(X 1.1a) 15 ，P(X 1.3a) 110. X 的 分 布 列 为 ：X 0.9a 0.8a 0.7a a 1.1a 1.3aP 15 110 110 310 1
32、5 110 1 1 1 3 1 1 9.80.9 0.8 0.7 1.1 1.3 9315 10 10 10 5 10 10EX a a a a a a a (II) 由 统 计 数 据 可 知 任 意 一 辆 该 品 牌 车 龄 已 满 三 年 的 二 手 车 为 事 故 车 的 概 率 为 310，三 辆 车 中 至 多 有 一 辆 事 故 车 的 概 率 为 0 3 1 20 13 33 3 3 31 1 0.78410 10 10 10P C C 设 Y为 该 销 售 商 购 进 并 销 售 一 辆 二 手 车 的 利 润 ， Y的 可 能 取 值 为 -5000， 10000，P(Y
33、=-5000)= 310， P(Y=10000)= 710， Y 的 分 布 列 为 ：Y -5000 10000P 310 7103 75000 10000 550010 10EY 所 以 该 销 售 商 一 次 购 进 100 辆 该 品 牌 车 龄 已 满 三 年 的 二 手 车 获 得 利 润 的 期 望 值 为100EY=550000元 =55万 元 .20.已 知 椭 圆 C1： 2 22 2 1y xa b (a b 0)的 一 个 焦 点 为 F1(0， 5)， 且 经 过 点 P(4 53， ).(I)求 椭 圆 C1的 标 准 方 程 ；(II)已 知 椭 圆 C2的 中
34、心 在 原 点 ， 焦 点 在 y 轴 上 ， 且 长 轴 和 短 轴 的 长 分 别 是 椭 圆 C1的 长 轴 和短 轴 的 长 的 倍 ( 1)， 过 点 C(-1， 0)的 直 线 l 与 椭 圆 C 2交 于 A， B 两 个 不 同 的 点 ， 若2AC CB ， 求 OAB面 积 取 得 最 大 值 时 直 线 l 的 方 程 .解 析 ： (1)由 已 知 可 得 |PF1|、 |PF2|的 值 及 椭 圆 焦 距 ， 再 由 椭 圆 定 义 求 得 a， 结 合 隐 含 条 件 求得 b， 则 椭 圆 方 程 可 求 ；(2)设 椭 圆 C2 的 方 程 为 2 22 2 1
35、9 4y x ， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由 题 意 设 直 线 l 方 程 为y=k(x+1)(A， B， O 三 点 不 共 线 ， 故 k 0)， 联 立 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 ， 借 助 于 向 量 等 式 及 根与 系 数 的 关 系 可 得 2 2189 4ky k .则 OAB 的 面 积 为 S OAB=S AOC+S BOC， 化 为 含 有 k 的 代 数 式 ，利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 ， 进 一 步 得 到 直 线 l的 方 程 .答 案 ： (1)设 椭 圆 C1的 另 一 个 焦 点 为 F2(0， 5- )， 由 题
36、 意 可 得 ， PF1F2为 直 角 三 角 形 ，则 |PF1| 43 ， |F1F2| 2 5， 2 22 1 1 2 143PF PF FF ，由 椭 圆 的 定 义 得 1 2 182 63a PF PF ， 即 a=3，又 由 b 2+c2=a2， 得 b=2， 椭 圆 C1 的 标 准 方 程 2 2 19 4y x ；(2)设 椭 圆 C2 的 方 程 为 2 22 2 19 4y x ， A(x1， y1)， B(x2， y2). 1， 点 C(-1， 0)在 椭 圆 内 部 ， 直 线 l 与 椭 圆 必 有 两 个 不 同 的 交 点 . 当 直 线 l 垂 直 于 x
37、轴 时 ， AC CB (不 是 零 向 量 )， 不 合 条 件 ；故 设 直 线 l方 程 为 y=k(x+1)(A， B， O 三 点 不 共 线 ， 故 k 0)，由 2 2 214 9 36y k xy x ， 得 2 229 184 9 36 0y ykk . 1 2 2189 4ky y k ， 2AC CB ， 而 点 C(-1， 0)， (-1-x 1， -y1)=2(x2+1， y2)， 即 y1=-2y2， 则 y1+y2=-y2， 2 2189 4ky k . OAB 的 面 积 为 S OAB=S AOC+S BOC1 2 1 2 2 2181 1 1 3 3 27
38、27 91 12 2 2 2 2 9 42 369 4 4ky y y y y k kk .上 式 取 等 号 的 条 件 是 2 94k ， 即 32k 时 ， OAB的 面 积 取 得 最 大 值 . 直 线 l 的 方 程 为 3 12y x 或 3 12y x - . 21.已 知 函 数 ln 2 ag x x x x (a R).(I)讨 论 g(x)的 单 调 性 ；(II)当 10 a e 时 ， 函 数 222af x xg x x x 在 其 定 义 域 内 有 两 个 不 同 的 极 值 点 ，记 作 x1， x2， 且 x1 x2， 若 m 1， 证 明 ： 11 2m
39、 mx x e .解 析 ： ( )求 出 函 数 的 导 数 ， 需 要 分 类 讨 论 ， 解 关 于 导 函 数 的 不 等 式 ， 求 出 函 数 的 单 调 区 间 ；( )先 求 出 f(x)= 2ln 2ax x x x a ， 求 导 ， 欲 证 11 2m mx x e 等 价 于 要 证 ： 11 2ln lnm mx x e ， 等 价 于 证 明 1 21 ma x mx ， 等 价 于 证 明 1 1ln m tt t m ， t (0， 1)，再 构 造 函 数 ， 利 用 导 数 ， 求 出 函 数 的 最 值 即 可 证 明 .答 案 ： (I) 22 21 2
40、2 a x x ag x x x x (a R)，方 程 2x2+x-a=0的 判 别 式 =1+8a， 当 a -18 时 ， 0， g (x) 0， g(x)在 (0， + )为 增 函 数 ， 当 a -18 时 ， 0， 方 程 2x 2+x-a=0 的 两 根 为 1 21 1 8 1 1 84 4a ax x ， ， 当 -18 a 0时 ， x1 x2 0， g(x)在 (0， + )为 增 函 数 ，当 a 0 时 ， x1 0 x2， g(x)在 (x2， + )为 增 函 数 ， 在 (0， x2为 减 函 数 ，综 上 所 述 ： 当 a 0 时 ， g(x)的 增 区
41、间 为 (0， + )， 无 减 区 间 ，当 a 0 时 ， g(x)的 增 区 间 为 (x2， + )， 减 区 间 (0， x2，(II)证 明 ： 2ln 2ax x x x a ，所 以 f(x)=lnx-ax因 为 f(x)有 两 极 值 点 x 1， x2，所 以 lnx1=ax1， lnx2=ax2，欲 证 11 2m mx x e 等 价 于 要 证 ： 11 2ln lnm mx x e ，即 1+m lnx1+mlnx2，所 以 1+m lnx1+mlnx2=ax1+max2=a(x1+mx2)，因 为 m 1， 0 x1 x2，所 以 原 式 等 价 于 要 证 明
42、： 1 21 ma x mx .又 lnx 1=ax1， lnx2=ax2，作 差 得 1 1 22ln x a x xx ，所 以 121 2ln xxa x x 所 以 原 式 等 价 于 要 证 明 ： 1 1 22 11 2 1 2 2 1 2ln 11 lnx m x xx xmx x x mx x x mx ， 令 12xt x ， t (0， 1)， 上 式 等 价 于 要 证 ： 1 1ln m tt t m ， t (0， 1)，令 1 1ln m th t t t m ，所 以 221t t mh t t t m ，当 m 1 时 ， h (t) 0，所 以 h(t)在 (
43、0， 1)上 单 调 递 增 ，因 此 h(t) h(1)=0，所 以 1 1ln m tt t m 在 t (0， 1)上 恒 成 立 ， 所 以 原 不 等 式 成 立 . 请 考 生 在 第 22、 23 两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 ， 作 答 时 ， 请 用 2B 铅 笔 在 答 题 卡 上 把 所 选 题 目 对 应 的 题 号 涂 黑 .选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 讲 22.在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 直 线 l倾 斜 角 为 ， 其 参 数 方 程 为 2 cossinx
44、ty t (t 为 参 数 )，在 以 原 点 O为 极 点 ， x 轴 非 负 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 (取 相 同 的 长 度 单 位 )， 曲 线 C的 极 坐标 方 程 为 -4cos =0.(I)若 直 线 l 与 曲 线 C 有 公 共 点 ， 求 直 线 l 倾 斜 角 的 取 值 范 围 ；(II)设 M(x， y)为 曲 线 C上 任 意 一 点 ， 求 x+ 3y 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)直 接 把 参 数 方 程 和 极 坐 标 方 程 与 直 角 坐 标 方 程 进 行 转 化 .( )利 用 三 角 函 数 的 关 系 变 换 ，
45、把 函 数 的 关 系 式 变 形 成 正 弦 型 函 数 ， 进 一 步 求 出 函 数 的 值 域 .答 案 ： ( )曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 -4cos =0.转 化 为 ： x 2+y2-4x=0，整 理 得 ： (x-2)2+y2=4 曲 线 C 是 圆 心 为 C(2， 0)， 半 径 为 2的 圆 . 直 线 l 过 点 P(-2， 0)， 当 l斜 率 不 存 在 时 ， l的 方 程 为 x=-2与 曲 线 C 没 有 公 共 点 ； 当 直 线 l斜 率 存 在 时 ，设 直 线 l 的 方 程 为 ： y=k(x+2)，即 kx-y+2k=0直 线 l与
46、圆 有 公 共 点 ， 则 22 2 21k kd k ，解 得 ： 3 33 3k 0， ， 的 取 值 范 围 是 ： 50 6 6 ， ， .(II)曲 线 C的 直 角 坐 标 方 程 为 ： x2+y2-4x=0，可 化 为 ： (x-2)2+y2=4.其 参 数 方 程 为 ： 2 2cos2sinxy ( 为 参 数 ) M(x， y)为 曲 线 C 上 任 意 一 点 ， 3 2 2cos 2 3sin 2 4sin 6x y ，由 于 ： -1 sin 6 1 则 ： -4 4 sin 6 4所 以 ： -2 4 sin 6 +2 6 x+ 3y的 取 值 范 围 是 -2.
47、6.选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 23.已 知 函 数 f(x)=|x-3|-|x+5|.( )求 不 等 式 f(x) 2 的 解 集 ；( )设 函 数 f(x)的 最 大 值 为 M， 若 不 等 式 x2+2x+m M有 解 ， 求 m 的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )通 过 讨 论 x 的 范 围 ， 求 出 不 等 式 的 解 集 即 可 ；( )求 出 f(x)的 分 段 函 数 的 形 式 ， 根 据 二 次 函 数 的 性 质 求 出 m的 范 围 即 可 .答 案 ： ( )当 x 3 时 ， f(x)=-8， 此 时 f(x) 2无 解 ；当 -5 x 3时 ， f(x)=-2x-2， 由 f(x) 2 解 得 -5 x -2；当 x -5 时 ， f(x)=8， 此 时 f(x) 2 恒 成 立 .综 上 ， 不 等 式 f(x) 2 的 解 集 是 x|x -2.( )由 ( )可 知 8 32 2 5 38 5xf x x xx ， ， ， 易 知 函 数 f(x)的 最 大 值 M=8，若 x2+2x+m 8 有 解 ， 得 m -x2-2x+8 有 解 .即 m -(x+1)2+9max=9.因 此 ， m 的 取 值 范 围 是 m 9.
