1、2018年 广 东 省 佛 山 市 高 考 一 模 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.复 数 1 51 22 iz i 的 实 部 为 ( )A.-0B.0C.1D.2解 析 ： 1 5 1 2 21 2 1 2 52 52 22 i ii i iz ii i ii ， 复 数 1 1 22 iz i 的 实 部 为 0. 答 案 ： B2.已 知 全 集 U=R， 集 合 A=0， 1， 2， 3， 4， B=x|
2、x2-2x 0， 则 图 1 中 阴 影 部 分 表 示 的 集合 为 ( )A.0， 1， 2B.1， 2C.3， 4D.0， 3， 4解 析 ： 全 集 U=R， 集 合 A=0， 1， 2， 3， 4， B=x|x2-2x 0=x|x 2或 x 0， CUB=x|0 x 2， 图 中 阴 影 部 分 表 示 的 集 合 为 A (CUB)=0， 1， 2.答 案 ： A3.若 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 02 1 04 3 0yx yx y ， 则 z=3x-2y 的 最 小 值 为 ( )A.-1B.0C.3D.9 解 析 ： 画 出 变 量 x， y 满 足 约 束 条
3、 件 02 1 04 3 0yx yx y 可 行 域 如 图 阴 影 区 域 ： 目 标 函 数 z=3x-2y可 看 做 3 12 2y x z ， 即 斜 率 为 32 ，截 距 为 12 z 的 动 直 线 ，数 形 结 合 可 知 ， 当 动 直 线 过 点 A 时 ， z最 小由 2 1 04 3 0 x yx y 得 A(-1， -1) 目 标 函 数 z=3x-2y的 最 小 值 为 z=-3 0+2 1=-1.答 案 ： A4.已 知 x R， 则 “ x 2=x+2” 是 “ 2x x ” 的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 要 条
4、 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： “ x2=x+2” ， 解 得 x=2或 -1.由 “ 2x x ” ， 解 得 x=2. “ x 2=x+2” 是 “ 2x x ” 的 必 要 不 充 分 条 件 .答 案 ： B5.把 曲 线 1 2sin 6C y x ： 上 所 有 点 向 右 平 移 6 个 单 位 长 度 ， 再 把 得 到 的 曲 线 上 所 有 点的 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 12 ， 得 到 曲 线 C2， 则 C2( )A.关 于 直 线 4x 对 称B.关 于 直 线 512x 对 称C.关 于 点 (12 ， 0)对 称 D.关 于
5、点 ( ， 0)对 称解 析 ： 把 曲 线 1 2sin 6C y x ： 上 所 有 点 向 右 平 移 6 个 单 位 长 度 ， 可 得 2sin 2sin6 6 3y x x 的 图 象 ；再 把 得 到 的 曲 线 上 所 有 点 的 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 12 ， 得 到 曲 线 C2： 2sin 2 3y x 的 图象 ， 对 于 曲 线 C2： y=2sin(2x- 3 )：令 4x ， y=1， 不 是 最 值 ， 故 它 的 图 象 不 关 于 直 线 4x 对 称 ， 故 A 错 误 ；令 512x ， y=2， 为 最 值 ， 故 它 的 图 象 关 于
6、 直 线 4x 对 称 ， 故 B 正 确 ；令 12x ， y=-1， 故 它 的 图 象 不 关 于 点 (12 ， 0)对 称 ， 故 C 错 误 ；令 x= ， y=- 3 ， 故 它 的 图 象 不 关 于 点 ( ， 0)对 称 ， 故 D 错 误 . 答 案 ： B6.已 知 1tan 4tan ， 则 2cos 4 =( )A. 12B. 13C. 14D. 15解 析 ： 由 1tan 4tan ， 得 sin cos 4cos sin ， 即 2 2sin cos 4sin cos ， sin cos = 14 ， 2 1 cos 2 1 22 1 sin 2 1 2sin
7、 coscos 4 2 2 2 4 42 1 1 .答 案 ： C7.当 m=5， n=2 时 ， 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 S 值 为 ( ) A.20B.42C.60D.180解 析 ： 由 已 知 中 的 程 序 语 句 可 知 ： 该 程 序 的 功 能 是 利 用 循 环 结 构 计 算 并 输 出 变 量 S=5 4 3的 值 ，S=5 4 3=60.答 案 ： C8.某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 ( ) A. 212B.15C.332D.18解 析 ： 由 题 意 可 知 几 何 体 的
8、直 观 图 为 ： 多 面 体 ： A B C -ABCD几 何 体 补 成 四 棱 柱 ， 底 面 是 直 角 梯 形 ， 底 边 长 为 3， 高 为 3，上 底 边 长 为 1， 几 何 体 的 体 积 为 ： V 棱 柱 -V 棱 锥 = 1 3 1 3 333 3 3 1 31 12 2 2 23 8 .答 案 ： C9.已 知 2 2x xaf x 为 奇 函 数 ， g(x) bx-log2(4x+1)为 偶 函 数 ， 则 f(ab)=( )A.174B. 52C. 154D. 32 解 析 ： 根 据 题 意 ， 2 2x xaf x 为 奇 函 数 ， 则 有 f(-x)+
9、f(x)=0，即 2 2 02 2x xx xa a ， 解 可 得 a=-1，g(x) bx-log2(4x+1)为 偶 函 数 ， 则 g(x)=g(-x)，即 bx-log2(4x+1)=b(-x)-log2(4-x+1)，解 可 得 b=1，则 ab=-1，f(ab)=f(-1)= 1 11 32 22 .答 案 ： D10. ABC内 角 A， B， C的 对 边 分 别 为 a， b， c， 若 115 cos3 14a B A ， ， ， 则 ABC的 面 积 S=( ) A.10 33B.10C.10 3D.20 3解 析 ： 若 115 cos3 14a B A ， ， ，可
10、 得 2 5 3sin 1 cos 14A A ，由 正 弦 定 理 可 得 35sin 2 7sin 5 314a Bb A ， sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= 5 3 1 11 3 4 314 2 14 2 7 ，则 ABC的 面 积 为 S= 1 1 4 3sin 5 7 10 32 2 7ab C .答 案 ： C11.已 知 三 棱 锥 P-ABC中 ， 侧 面 PAC 底 面 ABC， BAC=90 ， AB=AC=4， PA= 10， PC= 2 ，则 三 棱 锥 P-ABC外 接 球 的 表 面 积 为 ( )A.24B.28C.32D.36解
11、 析 ： 取 BC 中 点 D， 连 结 AD， 过 P作 PE 平 面 ABC， 交 AC 于 E， 过 E 作 EF BC， 交 AD 于F， 以 D 为 原 点 ， DB 为 x 轴 ， AD为 y 轴 ， 过 D作 平 面 ABC的 垂 线 为 z轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 1 16 16 2 22DA DB DC ， 2 2 2 2AP AE PC CE ， 即 2210 2 4AE AE ，解 得 AE=3， CE=1， PE=1， AF=EF= 3 22 ，则 B(2 2 ， 0， 0)， P( 3 2 2 12 2 ， ， )，设 球 心 O(0， 0，
12、 t)， 则 OB=OP， 2 22 2 23 2 22 2 0 0 0 0 12 2t t ，解 得 t=-1， 三 棱 锥 P-ABC外 接 球 半 径 R= 2 22 2 0 0 t =3， 三 棱 锥 P-ABC外 接 球 的 表 面 积 为 ： S=4 R2=4 9=36 .答 案 ： D12.设 函 数 f(x)=x3-3x2+2x， 若 x1， x2(x1 x2)是 函 数 g(x)=f(x)- x的 两 个 极 值 点 ， 现 给 出如 下 结 论 ： 若 -1 0， 则 f(x1) f(x2)； 若 0 2， 则 f(x1) f(x2)； 若 2， 则 f(x 1) f(x2
13、).其 中 正 确 结 论 的 个 数 为 ( )A.0B.1C.2D.3解 析 ： 函 数 g(x)=f(x)- x， g (x)=f (x)- ，令 g (x)=0， f (x)- =0，即 f (x)= 有 两 解 x 1， x2， (x1 x2) f(x)=x3-3x2+2x， f (x)=3x2-6x+2，分 别 画 出 y=f (x)与 y= 的 图 象 如 图 所 示 ： 当 -1 0时 ， 则 f(x1) f(x2)； 若 0 2， 则 f(x1) f(x2)； 若 2， 则 f(x1) f(x2).答 案 ： B二 、 填 空 题 (每 题 5 分 ， 满 分 20 分 ，
14、将 答 案 填 在 答 题 纸 上 )13.设 a=(1， 2)， b=(-1， 1)， c a b ， 若 a c ， 则 实 数 的 值 等 于 _.解 析 ： c a b =(1， 2)+ (-1， 1)=(1- ， 2+ )， a c ， a c =1- +2(2+ )=0，则 实 数 =-5答 案 ： -514.已 知 a 0， (ax-1) 4(x+2)展 开 式 中 x2的 系 数 为 1， 则 a的 值 为 _.解 析 ： (ax-1)4(x+2)=(1-ax)4(x+2)=(1-4ax+6a2x2+ )(x+2)；其 展 开 式 中 x2的 系 数 为 -4a+12a2=1，
15、即 12a2-4a-1=0，解 得 a= 12 或 a= 16 (不 合 题 意 ， 舍 去 )； a 的 值 为 12 .答 案 ： 1215.设 袋 子 中 装 有 3 个 红 球 ， 2 个 黄 球 ， 1 个 篮 球 ， 规 定 ： 取 出 一 个 红 球 得 1分 ， 取 出 一 个 黄球 得 2分 ， 取 出 一 个 篮 球 得 3 分 ， 现 从 该 袋 子 中 任 取 (有 放 回 ， 且 每 球 取 得 的 机 会 均 等 )2 个球 ， 则 取 出 此 2球 所 得 分 数 之 和 为 3 分 的 概 率 为 _. 解 析 ： 袋 子 中 装 有 3个 红 球 ， 2 个
16、黄 球 ， 1 个 篮 球 ，规 定 ： 取 出 一 个 红 球 得 1分 ， 取 出 一 个 黄 球 得 2分 ， 取 出 一 个 篮 球 得 3分 ，现 从 该 袋 子 中 任 取 (有 放 回 ， 且 每 球 取 得 的 机 会 均 等 )2个 球 ，基 本 事 件 总 数 n=6 6=36，取 出 此 2 球 所 得 分 数 之 和 为 3分 包 含 的 基 本 事 件 个 数 m=2 3+3 2=12，取 出 此 2 球 所 得 分 数 之 和 为 3分 的 概 率 为 1236 13mp n .答 案 ： 1316.双 曲 线 C： 222 2 1yxa b (a 0， b 0)的
17、 左 右 焦 点 分 别 为 F 1， F2， 焦 距 2c， 以 右 顶 点 A 为圆 心 ， 半 径 为 2a c 的 圆 过 F1的 直 线 l相 切 与 点 N， 设 l 与 C 交 点 为 P， Q， 若 2PQ PN ，则 双 曲 线 C的 离 心 率 为 _.解 析 ： 由 2PQ PN ， 可 得 N 为 PQ的 中 点 ，AN PQ，在 直 角 三 角 形 F 1AN 中 ， AF1=a+c，AN= 2a c ，即 有 NF1A=30 ，直 线 PQ的 斜 率 为 33 ， AN的 斜 率 为 3 ， 由 F1(-c， 0)， A(a， 0)，可 得 直 线 PQ的 方 程
18、为 y= 33 (x+c)，代 入 双 曲 线 的 方 程 可 得(3b2-a2)x2-2ca2x-a2c2-3a2b2=0，设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，可 得 21 2 2 223 a cx x b a ，PQ的 中 点 N的 横 坐 标 为 22 223 a cb a ，纵 坐 标 为 2 22 2 2 23 33 3 3a c cbb a b ac ，由 0 3NAN Nyk x a ， 即 为 22 2 33 33 cba c ab a ，即 为 a2c-3a(c2-a2)+a3=-c(c2-a2)，化 为 (c-2a)2=0，即 c=2a， 可 得 e= ca =2
19、.答 案 ： 2三 、 解 答 题 (本 大 题 共 5 小 题 ， 共 70 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .)17.已 知 各 项 均 不 为 零 的 等 差 数 列 a n的 前 n项 和 Sn.且 满 足 2Sn 2na + n， R.(1)求 的 值 ；(2)求 数 列 2 1 2 11n na a 的 前 n项 和 Tn.解 析 ： (1)利 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式 以 及 数 列 的 求 和 公 式 ， 利 用 待 定 系 数 法 求 解 即 可 .(2)利 用 裂 项 相 消 法 求 解 数 列 的 和 即 可
20、 .答 案 ： (1)因 为 数 列 an为 等 差 数 列 ， 设 an=An+B，因 为 a n的 公 差 不 为 零 ， 则 2 nn A B A B nS ， 所 以 22 2n nS A A B n ，因 为 2Sn 2na + n， R， 所 以 An2+(A+2B)n=A2n2+(2AB+ )n+B2，所 以 22 12 2 00 10A A AA B AB BBA .(2)由 (1)知 a n=n，所 以 2 1 2 11 1 1 1 12 2 1 2 12 1 2 1n na a n nn n ，所 以 1 1 1 1 11 12 2 1 2 1 2 2 11 1 1 2 1
21、3 3 5n nT n n n n .18.有 甲 乙 两 家 公 司 都 愿 意 聘 用 某 求 职 者 ， 这 两 家 公 式 的 具 体 聘 用 信 息 如 下 ：甲 公 司 职 位 A B C D月 薪 /元 6000 7000 8000 9000获 得 相 应 职 位 概 率 0.4 0.3 0.2 0.1乙 公 司 职 位 A B C D月 薪 /元 5000 7000 9000 11000获 得 相 应 职 位 概 率 0.4 0.3 0.2 0.1(1)根 据 以 上 信 息 ， 如 果 你 是 该 求 职 者 ， 你 会 选 择 哪 一 家 公 司 ？ 说 明 理 由 ；(2
22、)某 课 外 实 习 作 业 小 组 调 查 了 1000名 职 场 人 士 ， 就 选 择 这 两 家 公 司 的 意 愿 作 了 统 计 ， 得 到如 下 数 据 分 布 ：人 员 结 构选 择 意 愿 40岁 以 上 (含 40岁 )男 性 40岁 以 上 (含 40岁 )女 性 40岁 以 下 男 性 40岁 以 下 女 性选 择 甲 公 司 110 120 140 80选 择 乙 公 司 150 90 200 110 若 分 析 选 择 意 愿 与 年 龄 这 两 个 分 类 变 量 ， 计 算 得 到 的 K2的 观 测 值 为 k1=5.5513， 测 得 出 “ 选择 意 愿
23、与 年 龄 有 关 系 ” 的 结 论 犯 错 误 的 概 率 的 上 限 是 多 少 ？ 并 用 统 计 学 知 识 分 析 ， 选 择 意 愿与 年 龄 变 量 和 性 别 变 量 哪 一 个 关 联 性 更 大 ？附 ： 22 n ad bcK a b c d a c b d P(K2 k) 0.050 0.025 0.010 0.005k 3.841 5.024 6.635 7.879解 析 ： (1)设 甲 公 司 与 乙 公 司 的 月 薪 分 别 为 随 机 变 量 X， Y， 计 算 E(X)和 E(Y)的 值 ， 比 较 即可 得 出 结 论 ；(2)根 据 题 意 填 写
24、选 择 意 愿 与 性 别 两 个 分 类 变 量 的 列 联 表 ， 计 算 K 2， 对 照 临 界 值 表 得 出 结 论 .答 案 ： (1)设 甲 公 司 与 乙 公 司 的 月 薪 分 别 为 随 机 变 量 X， Y，则 E(X)=6000 0.4+7000 0.3+8000 0.2+9000 0.1=7000，E(Y)=5000 0.4+7000 0.3+9000 0.2+11000 0.1=7000，D(X)=(6000-7000)2 0.4+(7000-7000)2 0.3+(8000-7000)2 0.2+(9000-7000)2 0.1=10002，D(Y)=(5000
25、-7000)2 0.4+(7000-7000)2 0.3+(9000-7000)2 0.2+(11000-7000)2 0.1=20002，则 E(X)=E(Y)， D(X) D(Y)，我 希 望 不 同 职 位 的 月 薪 差 距 小 一 些 ， 故 选 择 甲 公 司 ；或 我 希 望 不 同 职 位 的 月 薪 差 距 大 一 些 ， 故 选 择 乙 公 司 ；(2)因 为 k 1=5.5513 5.024， 根 据 表 中 对 应 值 ，得 出 “ 选 择 意 愿 与 年 龄 有 关 系 ” 的 结 论 犯 错 的 概 率 的 上 限 是 0.025，由 数 据 分 布 可 得 选 择
26、 意 愿 与 性 别 两 个 分 类 变 量 的 2 2 列 联 表 如 下 ：选 择 甲 公 司 选 择 乙 公 司 总 计男 250 350 600女 200 200 400总 计 450 550 1000计 算 22 1000 250 200 350 200 2000 6.734600 400 450 550 297K ，且 K 2=6.734 6.635，对 照 临 界 值 表 得 出 结 论 “ 选 择 意 愿 与 性 别 有 关 ” 的 犯 错 误 的 概 率 上 限 为 0.01，由 0.01 0.025， 所 以 与 年 龄 相 比 ， 选 择 意 愿 与 性 别 关 联 性
27、更 大 .19.如 图 ， 已 知 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， AB CD， AB AD， AB=3， CD=4， AD=AP=4， PAB= PAD=60 . (1)证 明 ： 顶 点 P 在 底 面 ABCD的 射 影 在 BAD的 平 分 线 上 ；(2)求 二 面 角 B-PD-C的 余 弦 值 .解 析 ： (1)设 点 O 为 点 P 在 底 面 ABCD 的 射 影 ， 连 接 PO， AO， 则 PO 底 面 ABCD， 分 别 作 OM AB， ON AD， 垂 直 分 别 为 M， N， 连 接 PM， PN， 证 明 PO AB， 结 合 OM AB， 推 出 AB
28、 平面 OPM， 可 得 AB PM， AD PN， 证 明 AMP ANP， Rt AMO Rt ANP， 得 到 OAM= OAN，推 出 AO为 BAD的 平 分 线 .(2)以 O 为 原 点 ， 分 别 以 OM， ON， OP所 在 直 线 为 x， y， z 轴 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标系 O-xyz，求 出 平 面 BPD 的 一 个 法 向 量 ， 平 面 PDC 的 一 个 法 向 量 利 用 空 间 向 量 的 数 量 积 求 解 二 面 角B-PD-C的 余 弦 值 即 可 .答 案 ： (1)证 明 ： 设 点 O 为 点 P 在 底 面
29、 ABCD的 射 影 ， 连 接 PO， AO， 则 PO 底 面 ABCD，分 别 作 OM AB， ON AD， 垂 直 分 别 为 M， N， 连 接 PM， PN，因 为 PO 底 面 ABCD， AB底 面 ABCD， 所 以 PO AB，又 OM AB， OM OP=O， 所 以 AB 平 面 OPM， PM平 面 OPM， 所 以 AB PM，同 理 AD PN， 即 AMP= ANP=90 ，又 PAB= PAD， PA=PA， 所 以 AMP ANP，所 以 AM=AN， 又 AO=AO， 所 以 Rt AMO Rt ANO，所 以 OAM= OAN， 所 以 AO 为 BA
30、D的 平 分 线 . (2)以 O 为 原 点 ， 分 别 以 OM， ON， OP所 在 直 线 为 x， y， z 轴 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标系 O-xyz， 因 为 PA=4， 所 以 AM=2， 因 为 AB AD， AO 为 BAD的 平 分 线 ，所 以 45 2 2 2OAM OM AM AO ， ， ， 所 以 2 2 2 2PO PA AO ，则 B(2， 1， 0)， P(0， 0， 2 2 )， D(-2， -2， 0)， C(-2， 4， 0)，所 以 ( ) (43 ) ( )0 2 2 2 2 060DB DP DC ， ， ， ，
31、， ， ， ，设 平 面 BPD的 一 个 法 向 量 为 1 1 1 1n x y z ， ， ，则 1 1 11 1 1 14 3 02 2 2 2 0n DB x yn DP x y z ， 可 取 1 3 2 4 2 1n ， ， ，设 平 面 PDC的 一 个 法 向 量 为 2 2 2 2n x y z ， ， ，则 由 2 22 1 1 16 02 2 2 2 0n DC yn DP x y z ， 可 取 2 2 0 1n ， ， ， 所 以 1 21 2 1 2 6 1 5 17cos 5118 32 1 2 1n nn n n n ， ，所 以 二 面 角 B-PD-C 的
32、 余 弦 值 为 5 1751 .20.已 知 椭 圆 C1： 222 2 1yxa b (a b 0 )的 焦 点 与 抛 物 线 C2： 2 8 2y x 的 焦 点 F 重 合 ， 且 椭圆 C 1的 右 顶 点 P 到 F 的 距 离 为 3 2 2 ；(1)求 椭 圆 C1的 方 程 ；(2)设 直 线 l 与 椭 圆 C1交 于 A， B 两 点 ， 且 满 足 PA PB， 求 PAB 面 积 的 最 大 值 .解 析 ： (1)利 用 已 知 条 件 转 化 求 解 椭 圆 的 几 何 量 ， 求 解 椭 圆 方 程 即 可 ；(2)设 出 直 线 方 程 ， 利 用 直 线
33、与 椭 圆 方 程 联 立 ， 利 用 弦 长 公 式 转 化 求 解 三 角 形 的 面 积 ， 利 用基 本 不 等 式 求 解 即 可 .答 案 ： (1)设 椭 圆 C1的 半 焦 距 为 c， 依 题 意 ， 可 得 a b，且 2 2 0 2 2 3 2 2 3 1F c a c a b ， ， ， ， ，所 以 椭 圆 C 1的 方 程 为 2 2 19x y .(2)依 题 意 ， 可 设 直 线 PA， PB的 斜 率 存 在 且 不 为 零 ，不 妨 设 直 线 PA： y=k(x-3)， 则 直 线 PB： 1 3y xk ， 联 立 ： 2 2 319y k xx y
34、得 (1+9k2)x2-54k2x+(81k2-9)=0，则 2 261 1 9PA k k 同 理 可 得 ： 222 221 6 61 11 91 9 kPB kk kk ，所 以 PAB 的 面 积 为 ： 2 2 2 2 2 222 2 22 2 2 218 1 18 1 18 11 32 81 9 9 9 1 64 2 9 1 64k k k k k kS PA PB k k k k k k ，当 且 仅 当 3(k 2+1)=8k， 即 4 73k 是 面 积 取 得 最 大 值 38 .21.已 知 函 数 f(x)=(x-a)lnx+ 12 x， (其 中 a R)(1)若 曲
35、 线 y=f(x)在 点 (x0， f(x0)处 的 切 线 方 程 为 y= 12 x， 求 a的 值 ；(2)若 1 22 a ee (e 为 自 然 对 数 的 底 数 )， 求 证 ： f(x) 0.解 析 ： (1)求 出 定 义 域 ， 求 出 导 函 数 ， 利 用 切 线 方 程 列 出 方 程 组 求 解 即 可 .(2)令 3ln 2ag x f x x x ， 则 21 ag x x x ， 推 出 g(x)在 (0， + )上 递 增 ， 证 明在 g(x) 区 间 22a a， 上 有 唯 一 的 零 点 x 0 ， 推 出 f(x) 取 得 最 小 值 即 0 0
36、001 2 02af x x a xx ， 即 可 .答 案 ： (1)f(x)的 定 义 域 为 (0， + )， 3ln 2af x x x ，由 题 意 知 0 00 0 0 00 012 1ln 23 1ln 2 2y xy x a x xax x ， 则 0 00 0lnln 1 00 x a xax x ，解 得 x 0=1， a=1或 x0=a， a=1， 所 以 a=1.(2)令 3ln 2ag x f x x x ， 则 21 ag x x x ，因 为 1 22 a ee ， 所 以 2 0 x ag x x ， 即 g(x)在 (0， + )上 递 增 ，以 下 证 明
37、在 g(x)区 间 22a a， 上 有 唯 一 的 零 点 x0，事 实 上 3 1 3ln ln 2 ln2 ln2 12 2 2 2 2 2 22a a a a ag g a a aa a ， ， 因 为 1 22 a ee ， 所 以 2 1 1ln 0 2 ln 2 1 02 2 2 2a eg g a e ， ，由 零 点 的 存 在 定 理 可 知 ， g(x)在 22a a， 上 有 唯 一 的 零 点 x0，所 以 在 区 间 (0， x0)上 ， g(x)=f(x) 0， f(x)单 调 递 减 ；在 区 间 (x0， + )上 ， g(x)=f(x) 0， f(x)单 调
38、 递 增 ，故 当 x=x0时 ， f(x)取 得 最 小 值 0 0 0 01ln 2f x x a x x ，因 为 0 0 0 3ln 02ag x x x ， 即 0 0 3ln 2ax x ，所 以 20 0 0 0 00 03 1 52 2 2a af x x a x x xx x ，即 0 0 001 2 02af x x a xx . f(x) 0.请 考 生 在 22、 23两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 .22.在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 直 线 l 的 参 数 方 程 为 cos2 sinx
39、ty t (t 为 参 数 ， 0 )， 曲线 C 的 参 数 方 程 为 2cos2 2sinxy (为 参 数 )， 以 坐 标 原 点 O为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立极 坐 标 系 .(1)求 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 ；(2)设 C 与 l 交 于 M， N 两 点 (异 于 原 点 )， 求 |OM|+|ON|的 最 大 值 .解 析 ： (1)曲 线 C 的 参 数 方 程 消 去 参 数 ， 得 曲 线 C 的 普 通 方 程 ， 由 此 能 求 出 曲 线 C 的 极 坐标 方 程 . (2)由 直 线 l 的 参 数 方 程 可 知 ， 直
40、 线 l 必 过 圆 C 的 圆 心 (0， 2)， 则 2MON ， 设 1 2 2M N ， ， ， ， 则 |OM|+|ON|= 4 2 sin 4 ， 当 4 ， |OM|+|ON|取 得最 大 值 为 4 2 .答 案 ： (1) 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 2cos2 2sinxy (为 参 数 )， 消 去 参 数 ， 得 曲 线 C的 普 通 方 程 为 x 2+(y-2)2=4，化 简 得 x2+y2=4y， 则 2=4 sin ，所 以 曲 线 C的 极 坐 标 方 程 为 =4sin .(2) 直 线 l 的 参 数 方 程 为 cos2 sinx ty t (t
41、 为 参 数 ， 0 )， 由 直 线 l的 参 数 方 程 可 知 ， 直 线 l 必 过 点 (0， 2)， 也 就 是 圆 C 的 圆 心 ， 则 2MON ，不 妨 设 1 2 2M N ， ， ， ， 其 中 0 2 ， ，则 1 2 4sin 4sin 4 sin cos 4 2 sin2 4OM ON ，所 以 当 4 ， |OM|+|ON|取 得 最 大 值 为 4 2 . 23.已 知 函 数 f(x)=x|x-a|， a R.(1)若 f(1)+f(-1) 1， 求 a 的 取 值 范 围 ；(2)若 a 0， 对 x， y (- ， a， 都 有 不 等 式 54f x
42、y y a 恒 成 立 ， 求 a 的 取 值范 围 .解 析 ： (1)利 用 f(1)+f(-1)=|1-a|-|1+a| 1， 通 过 a -1， -1 a 1， a 1， 分 别 求 解 即 可 .(2)要 使 得 不 等 式 恒 成 立 ， 只 需 max min4 |5 |f x y y a ， 通 过 二 次 函 数 的 最 值 ，绝 对 值 的 几 何 意 义 ， 转 化 求 解 即 可 .答 案 ： (1)f(1)+f(-1)=|1-a|-|1+a| 1，若 a -1， 则 1-a+1+a 1， 得 2 1， 即 a -1 时 恒 成 立 ，若 -1 a 1， 则 1-a-(
43、1+a) 1， 得 a 12 ， 即 -1 a 12 ， 若 a 1， 则 -(1-a)-(1+a) 1， 得 -2 1， 即 不 等 式 无 解 ，综 上 所 述 ， a 的 取 值 范 围 是 12 ， .(2)由 题 意 知 ， 要 使 得 不 等 式 恒 成 立 ， 只 需 max min4 |5 |f x y y a ，当 x (- ， a时 ， 22 max 2 4a af x x ax f x f ， ，因 为 5 54 4y y aa ， 所 以 当 54y a ， 时 ，min5 5| 54 4| 4y y a a a ，即 2 54 4a a ， 解 得 -1 a 5， 结 合 a 0， 所 以 a的 取 值 范 围 是 (0， 5.
