1、2018年 广 东 省 佛 山 市 高 考 一 模 试 卷 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.已 知 集 合 A=-1， 0， 1， B=x|x-x2=0， 则 A B=( )A.0B.1C.(0， 1)D.0， 1解 析 ： B=x|x-x 2=0=0， 1， 则 A B=0， 1.答 案 ： D2.设 复 数 z1=2+i， z2=1+ai， 若 1 2z z R， 则 实 数 a=( )A.-2B. 12C.1
2、2D.2解 析 ： z 1=2+i， z2=1+ai， 1 2z z =(2+i)(1-ai)=(a+2)+(1-2a)i，若 1 2z z R， 则 1-2a=0， 即 a=12 .答 案 ： C3.若 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 02 1 04 3 0yx yx y ， ， 则 z=3x-2y的 最 小 值 为 ( )A.-1B.0C.3 D.9解 析 ： 画 出 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 02 1 04 3 0yx yx y ， ， 可 行 域 如 图 阴 影 区 域 ： 目 标 函 数 z=3x-2y可 看 做 1232y x z ， 即 斜 率 为 32
3、 ，截 距 为 12 z 的 动 直 线 ，数 形 结 合 可 知 ， 当 动 直 线 过 点 A 时 ， z最 小 由 2 1 04 3 0 x yx y ， 得 A(-1， -1)， 目 标 函 数 z=3x-2y的 最 小 值 为 z=-3 0+2 1=-1.答 案 ： A4.袋 中 有 5个 球 ， 其 中 红 色 球 3个 ， 标 号 分 别 为 1， 2， 3； 篮 色 球 2 个 ， 标 号 分 别 为 1， 2；从 袋 中 任 取 两 个 球 ， 则 这 两 个 球 颜 色 不 同 且 标 号 之 和 不 小 于 4的 概 率 为 ( )A. 310 B.25C.35D. 71
4、0解 析 ： 袋 中 有 5个 球 ， 其 中 红 色 球 3 个 ， 标 号 分 别 为 1， 2， 3； 篮 色 球 2 个 ， 标 号 分 别 为 1，2； 从 袋 中 任 取 两 个 球 ， 基 本 事 件 有 10 个 ， 分 别 为 ： (红 1， 红 2)， (红 1， 红 3)， (红 1，篮 1)， (红 1， 篮 2)， (红 2， 红 3)， (红 2， 篮 1)， (红 2， 篮 2)， (红 3， 篮 1)， (红 3， 篮2)， (篮 1， 篮 2)， 这 两 个 球 颜 色 不 同 且 标 号 之 和 不 小 于 4 包 含 的 基 本 事 件 有 3 个 ， 分
5、 别 为 ：(红 2， 篮 2)， (红 3， 篮 1)， (红 3， 篮 2)， 故 这 两 个 球 颜 色 不 同 且 标 号 之 和 不 小 于 4 的 概率 为 p= 310. 答 案 ： A5.已 知 命 题 p： x 1， log2x+4logx2 4， 则 p 为 ( )A.p： x 1， log2x+4logx2 4B.p： x 1， log2x+4logx2 4C.p： x 1， log2x+4logx2=4 D.p： x 1， log2x+4logx2 4解 析 ： 命 题 是 全 称 命 题 ， 则 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题 ， 即 ： p： x 1， lo
6、g2x+4logx2 4.答 案 ： D6.把 曲 线 C1： y=2sin(x- 6 )上 所 有 点 向 右 平 移 6 个 单 位 长 度 ， 再 把 得 到 的 曲 线 上 所 有 点 的横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 12 ， 得 到 曲 线 C 2， 则 C2( )A.关 于 直 线 x= 4 对 称B.关 于 直 线 x=512 对 称C.关 于 点 (12 ， 0)对 称D.关 于 点 ( ， 0)对 称解 析 ： 把 曲 线 C 1 ： y=2sin(x- 6 ) 上 所 有 点 向 右 平 移 6 个 单 位 长 度 ， 可 得y=2sin(x 6 6 )=2sin(x
7、- 3 )的 图 象 ；再 把 得 到 的 曲 线 上 所 有 点 的 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 12 ， 得 到 曲 线 C2： y=2sin(2x- 3 )的 图 象 ，对 于 曲 线 C2： y=2sin(2x- 3 )： 令 x= 4 ， y=1， 不 是 最 值 ， 故 它 的 图 象 不 关 于 直 线 x= 4 对称 ， 故 A 错 误 ；令 x=512 ， y=2， 为 最 值 ， 故 它 的 图 象 关 于 直 线 x= 4 对 称 ， 故 B 正 确 ；令 x=12 ， y=-1， 故 它 的 图 象 不 关 于 点 (12 ， 0)对 称 ， 故 C 错 误 ；
8、 令 x= ， y= 3 ， 故 它 的 图 象 不 关 于 点 ( ， 0)对 称 ， 故 D错 误 .答 案 ： B7.当 m=5， n=2 时 ， 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 S 值 为 ( ) A.20B.42C.60D.180解 析 ： 由 已 知 中 的 程 序 语 句 可 知 ： 该 程 序 的 功 能 是 利 用 循 环 结 构 计 算 并 输 出 变 量 S=5 4 3的 值 ， S=5 4 3=60.答 案 ： C8.已 知 tan =2， 则 cos 2( + 4 )=( )A.12B.25C.15D. 110解 析 ： tan =2，则
9、2 1 cos 2 2cos 4 2 2 2 2 22 2 2 21 sin2 sin 2sin cos cos tan 2tan 1 2 2 2 1 1= 2 2sin 2cos 2tan 2 2 2 2 10 答 案 ： D9.已 知 函 数 f(x)= 22 2 02 0( ),( )x x xx x x ， 则 下 列 函 数 为 奇 函 数 的 是 ( )A.f(sinx)B.f(cosx)C.xf(sinx)D.x 2f(cosx)解 析 ： 根 据 题 意 ， 对 于 函 数 f(x)= 22 2 02 0( ),( )x x xx x x ， 当 x 0 时 ， f(x)=x2
10、+2x， 则 有 -x 0，f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x， 则 函 数 f(x)为 偶 函 数 ， 分 析 选 项 ：对 于 A， 设 g(x)=f(sinx)， 有 g(-x)=fsin(-x)=f(-sinx)=f(sinx)=g(x)， 为 偶 函 数 ， 不符 合 题 意 ；对 于 B， 设 g(x)=f(cosx)， 有 g(-x)=fcos(-x)=f(cosx)=g(x)， 为 偶 函 数 ， 不 符 合 题 意 ；对 于 C， 设 g(x)=xf(sinx)， 有 g(-x)=(-x)fsin(-x)=-xf(-sinx)=-xf(sinx)=-g(x)， 为
11、奇 函 数 ， 符 合 题 意 ；对 于 D， 设 g(x)=x 2f(sinx)， 有 g(-x)=(-x)2fsin(-x)=x2f(-sinx)=x2f(sinx)=g(x)， 为 偶函 数 ， 不 符 合 题 意 .答 案 ： C10.如 图 ， 在 正 方 形 ABCD-A1B1C1D1中 ， E， F 分 别 为 B1C1， C1D1的 中 点 ， 点 P 是 底 面 A1B1C1D1内一 点 ， 且 AP 平 面 EFDB， 则 tan APA1的 最 大 值 是 ( ) A. 22B.1C. 2D.2 2解 析 ： 连 结 AC、 BD， 交 于 点 O， 连 结 A 1C1，
12、 交 EF于 M， 连 结 OM， 设 正 方 形 ABCD-A1B1C1D1中 棱 长 为 1， 在 正 方 形 ABCD-A1B1C1D1中 ， E， F 分 别 为 B1C1， C1D1的 中 点 ，点 P 是 底 面 A1B1C1D1内 一 点 ， 且 AP 平 面 EFDB， AO 平 行 且 相 等 PM， A1P=C1M= 24 4AC ， tan APA1= 11 1 2 224AAAP tan APA1的 最 大 值 是 2 2.答 案 ： D11.双 曲 线 C： 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F 1、 F2， 焦 距
13、 为 2c， 以 右 顶 点A为 圆 心 的 圆 与 直 线 l： x-3y+c=0相 切 于 点 N.设 l 与 C 的 交 点 为 P、 Q， 若 点 N 恰 为 线 段 PQ的 中 点 ， 则 双 曲 线 C的 离 心 率 为 ( )A. 2B. 3C.2D.2 2解 析 ： 如 图 ， 以 右 顶 点 A 为 圆 心 的 圆 与 直 线 l： x- 3y+c=0 相 切 于 点 N， AN= 2a c ， 直 线 l： x- 3y+c=0 的 倾 斜 角 为 30 ， QF1A=30 ， NAF1=60 ， yN=AN sin60 = 3 4a c ，由 2 2 2 2 2 23 0b
14、 x a y a bx y c ， 得 2 2 2 2 42 2 43 2 3 02 3 0b a y b cy by b cy b ， 21 2 2 23 32 3 4N y y b cy a cb a ，整 理 得 ： c 3-3c2a+4a3=0-e3-3e2+4=0， (e3+1)-3(e2-1)=0-(e+1)(e2-4e+4)=0. e=2.答 案 ： C12.设 函 数 f(x)=x3-3x2+2x， 若 x1， x2(x1 x2)是 函 数 g(x)=f(x)- x的 两 个 极 值 点 ， 现 给 出如 下 结 论 ： 若 -1 0， 则 f(x1) f(x2)； 若 0 2
15、， 则 f(x 1) f(x2)； 若 2， 则 f(x1) f(x2).其 中 正 确 结 论 的 个 数 为 ( )A.0B.1C.2D.3解 析 ： 函 数 g(x)=f(x)- x， g (x)=f (x)- ，令 g (x)=0， f (x)- =0，即 f (x)= 有 两 解 x 1， x2， (x1 x2) f(x)=x3-3x2+2x， f (x)=3x2-6x+2，分 别 画 出 y=f (x)与 y= 的 图 象 如 图 所 示 ： 当 -1 0时 ， 则 f(x1) f(x2)； 若 0 2， 则 f(x1) f(x2)； 若 2， 则 f(x1) f(x2).答 案
16、： B二 、 填 空 题 (每 题 5 分 ， 满 分 20 分 ， 将 答 案 填 在 答 题 纸 上 )13.设 12 11( ) ( )a b c a b ， ， ， ， ， 若 a c ， 则 实 数 的 值 等 于 .解 析 ： c a b =(1， 2)+ (-1， 1)=(1- ， 2+ )， a c ， a c =1- +2(2+ )=0， 则 实 数 =-5.答 案 ： -5 14.设 曲 线 y=xlnx 在 点 (1， 0)处 的 切 线 与 曲 线 4y x 在 点 P 处 的 切 线 垂 直 ， 则 点 P的 横 坐 标为 .解 析 ： 由 y=xlnx， 得 y =
17、1+lnx， y |x=1=1， 由 4y x ， 得 y =-4x2， 设 P(x0， y0)， 则0 204|x xy x ， 由 题 意 可 得 ： 204x =-1， x0= 2.则 P 点 的 横 坐 标 为 2.答 案 ： 2.15. ABC内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 若 a=5， 11cos3 14B A ， ， 则 ABC 的 面积 S= . 解 析 ： ABC中 ， cosA= 1114， 可 得 ： 2 5 3sin 1 cos 14A A ， 由 正 弦 定 理 可 得 ： 35sin 2 7sin 5 314a Bb A ， 由 余
18、 弦 定 理 b 2=a2+c2-2accosB， 可 得 ： 49=25+c2-5c， 解 得 ： c=8 或 -3(舍 去 )， 1 1 3sin 5 8 10 32 2 2ABCS ac B .答 案 ： 10 316.平 面 四 边 形 ABCD中 ， AB=AD= 2， CB=CD= 10， AC=4， 沿 直 线 AC 将 ACD翻 折 成 ACD ， 当 三 棱 锥 D -ABC的 体 积 取 得 最 大 值 时 ， 该 三 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 是 .解 析 ： 在 三 角 形 ABC中 ， 由 余 弦 定 理 可 得 2 10 16 1cos 2 2 10
19、5B ，则 2 2 1 1 2sin 1 cos sin 2 10 22 25 5ABCB B S ac B ， ，则 AC 边 上 的 高 为 h=1， 平 面 四 边 形 ABCD 中 ， AB=AD= 2， CB=CD= 10， AC=4， 四 边 形 是 筝形 ， AC BD， 当 三 棱 锥 D -ABC 的 体 积 取 得 最 大 值 时 ， ACD 翻 折 成 ACD 两 个 三 角 形 所在 平 面 垂 直 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ， 如 图 ： 则 A(0， 0， 0)， B(0， 1， 1)， C(0， 4， 0)， D(1， 1， 0)
20、， 设 外 接 球 的 球 心 为 (x， y， z)， 则|OA|=|OB|=|OC|=|OD|， 可 得 ： 22 2 2 2 22 22 2 2 222 2 2 2 211 14x y z x y zx y z x y zx y z z y z ， ，解 得 x=-1； y=2， z=-1， 外 接 球 的 半 径 为 ： 1 4 1 6r OA ，外 接 球 的 表 面 积 为 ： 4 r 2=24 .答 案 ： 24三 、 解 答 题 (本 大 题 共 5 小 题 ， 共 70 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .)17.已 知 数 列
21、 an是 等 比 数 列 ， 数 列 bn满 足 b1=-3， b2=-6， an+1+bn=n(n N+).(1)求 a n的 通 项 公 式 ；(2)求 数 列 bn的 前 n项 和 Sn.解 析 ： (1)利 用 已 知 条 件 列 出 方 程 求 出 数 列 的 首 项 与 公 差 ， 然 后 求 解 数 列 的 通 项 公 式 .(2)求 出 数 列 的 通 项 公 式 ， 然 后 利 用 拆 项 法 求 解 数 列 的 和 即 可 .答 案 ： (1)因 为 an+1+bn=n， 则 a2+b1=1， 得 a2=4， a3+b2=2， 得 a3=8，因 为 数 列 an是 等 比
22、数 列 ， 所 以 1 21 48a qa q ， ， a1=2， q=2， 所 以 an=a1qn-1=2n. (2)由 (1)可 得 bn=n-an+1=n-2n+1，所 以 Sn=(1-22)+(2-23)+ +(n-2n+1)=(1+2+3+ +n)-(22+23+ +2n+2)= 2 2 21 2 1 2 4 22 1 2 2 nn n n n n 18.某 课 外 实 习 作 业 小 组 调 查 了 1000名 职 场 人 士 ， 就 入 职 两 家 公 司 的 意 愿 做 了 统 计 ， 得 到 如下 数 据 分 布 ： (1)请 分 布 计 算 40 岁 以 上 (含 40岁
23、)与 40岁 以 下 全 体 中 选 择 甲 公 司 的 概 率 (保 留 两 位 小 数 )，根 据 计 算 结 果 ， 你 能 初 步 得 出 什 么 结 论 ？(2)若 分 析 选 择 意 愿 与 年 龄 这 两 个 分 类 变 量 ， 计 算 得 到 的 K2的 观 测 值 为 k1=5.5513， 测 得 出“ 选 择 意 愿 与 年 龄 有 关 系 ” 的 结 论 犯 错 误 的 概 率 的 上 限 是 多 少 ？ 并 用 统 计 学 知 识 分 析 ， 选 择意 愿 与 年 龄 变 量 和 性 别 变 量 哪 一 个 关 联 性 更 大 ？附 ： 22 .n ad bcK a b
24、 c d a c b d 解 析 ： (1)根 据 题 意 计 算 选 择 甲 公 司 的 概 率 ， 比 较 即 可 得 出 结 论 ；(2)根 据 题 意 填 写 列 联 表 ， 计 算 K2， 根 据 临 界 值 表 得 出 结 论 .答 案 ： (1)设 40 岁 以 上 (含 40岁 )与 40岁 以 下 群 体 中 选 择 甲 公 司 的 概 率 分 别 为 P1， P2， 由 数据 知 P1= 110 120 23 0.49110 150 120 90 47 ，P2= 140 80 22 0.42140 200 80 110 53 ，因 为 P 1 P2， 所 以 年 龄 40岁
25、 以 上 (含 40岁 )的 群 体 选 择 甲 公 式 的 可 能 性 要 大 ；(2)因 为 k1=0.5513 5.024， 根 据 表 中 对 应 值 ，得 出 “ 选 择 意 愿 与 年 龄 有 关 系 ” 的 结 论 犯 错 的 概 率 的 上 限 是 0.025，由 数 据 分 布 可 得 选 择 意 愿 与 性 别 两 个 分 类 变 量 的 2 2 列 联 表 ： 计 算 K2= 21000 250 200 350 200 2000 6.734600 400 450 50 297( ) ， 且 K2=6.734 6.635，根 据 临 界 值 表 得 出 结 论 “ 选 择
26、意 愿 与 性 别 有 关 ” 的 犯 错 误 的 概 率 上 限 为 0.01， 由 0.01 0.025，所 以 与 年 龄 相 比 ， 选 择 意 愿 与 性 别 关 联 性 更 大 .19.如 图 ， 已 知 四 棱 锥 P-ABCD中 ， AB CD， AB AD， AB=AD=2， CD=4， PC=PD， PAB= PAD=60 . (1)证 明 ： 顶 点 P 在 底 面 ABCD的 射 影 为 边 CD的 中 点 ；(2)点 Q 在 PB 上 ， 且 DQ PB， 求 三 棱 锥 Q-BCD 的 体 积 .解 析 ： (1)取 CD的 中 点 为 O， 连 接 OP， OB，
27、 说 明 OB CD， 证 明 PO CD， 推 出 CD 平 面 POB，得 到 CD PB， AB PB， 证 明 OP OB， 即 可 证 明 PO 底 面 ABCD， 顶 点 P在 底 面 ABCD 的 射 影为 边 CD的 中 点 .(2)求 出 BQ= 23 ， 设 三 棱 锥 Q-BCD 的 高 为 h， 求 出 h， S BCD=12 4 2=4， 然 后 求 解 三 棱 锥Q-BCD的 体 积 .答 案 ： 取 CD的 中 点 为 O， 连 接 OP， OB， 则 OD=BA=2， 因 为 AB CD， AB AD， AB=AD=2，所 以 四 边 形 ABOD是 正 方 形
28、 ， OB CD， 因 为 PC=PD， O 为 CD中 点 ， 所 以 PO CD，由 OP OB=O， 所 以 CD 平 面 POB， PB平 面 POB，所 以 CD PB， 因 为 AB CD， 所 以 AB PB，则 在 Rt ABP中 ， PAB=60 ， AB=2，所 以 AP=4， PB=2 3， 在 Rt DOP中 ， 2 22 3 2 2 2PO 所 以 OB2+OP2=4+8=12=PB2， 即 OP OB， 又 CD OB=O，所 以 PO 底 面 ABCD， 即 顶 点 P 在 底 面 ABCD的 射 影 为 边 CD的 中 点 .(2)由 题 设 与 (1)可 得
29、2 2 2 3 2 3BD PD PB ， ， ，因 为 DQ PB， 所 以 8-BQ 2=12-(2 3-BQ)2， 解 得 23BQ ， 所 以 13BQPB ，又 PO=2 2， 设 三 棱 锥 Q-BCD 的 高 为 h，则 h= 1 2 22 2 3 3 ， 又 S BCD=12 4 2=4，所 以 三 棱 锥 Q-BCD 的 体 积 1 2 2 8 243 3 9V 20.已 知 椭 圆 C1： 2 22 2 1x ya b (a b 0)的 右 顶 点 与 抛 物 线 C2： y2=2px(p 0)的 焦 点 重 合 ，椭 圆 C1的 离 心 率 为 12 ， 过 椭 圆 C1
30、的 右 焦 点 F 且 垂 直 于 x 轴 的 直 线 截 抛 物 线 所 得 的 弦 长 为4 2.(1)求 椭 圆 C1和 抛 物 线 C2的 方 程 ；(2)过 点 A(-2， 0)的 直 线 l 与 C 2交 于 M， N 两 点 ， 点 M 关 于 x 轴 的 对 称 点 为 M ， 证 明 ： 直线 M N 恒 过 一 定 点 .解 析 ： (1)利 用 椭 圆 的 顶 点 与 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 相 同 ， 椭 圆 的 离 心 率 ， 列 出 方 程 组 ， 求 出 a，b， 即 可 得 到 椭 圆 方 程 抛 物 线 方 程 .(2)设 l： x=my-2， 联 立
31、 2 28x myy x ， 得 y2-8my+16=0， 设 M(x1， y1)， N(x1， y1)， 则 M (x1，-y 1)， 利 用 韦 达 定 理 以 及 判 别 式 大 于 0， 求 出 仔 细 的 斜 率 ， 推 出 直 线 系 方 程 ， 得 到 直 线 M N恒 过 定 点 (2， 0).答 案 ： (1)设 椭 圆 C1的 半 焦 距 为 c， 依 题 意 ， 可 得 2pa ， 则 C2： y2=4ax，代 入 x=c， 得 y2=4ax， 即 2y ax ， 所 以 4 4 2ac ， 则 有 2 2 22 312 1acca a ba b c ， ， ， ， 所
32、以 椭 圆 C1的 方 程 为 2 2 14 3x y ， 抛 物 线 C2的 方 程为 y2=8x.(2)依 题 意 ， 可 知 直 线 l 的 斜 率 不 为 0， 可 设 l： x=my-2，联 立 x=my-2， y2=8x， 得 y2-8my+16=0， 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， 则 M (x1， -y1)， 0， 得 m -1或 m 1， y 1+y2=8m， y1y2=16， 1 28y ym ，所 以 直 线 M N 的 斜 率 1 22 1 2 1 2 18 8M N y y mK x x m y y y y ，可 得 直 线 M N 的 方 程 为 2
33、 12 18y y x xy y ，即 222 1 2 18 28 myy x yy y y y 2 2 1 2 2 12 1 2 1 168 y y y y y yxy y y y 2 1 2 1 2 18 16 8 2x xy y y y y y ，所 以 当 m -1 或 m 1 时 ， 直 线 M N 恒 过 定 点 (2， 0).21.已 知 函 数 2 21ln 2f x x ax x x ， (其 中 a R)(1)若 a 0， 讨 论 函 数 f(x)的 单 调 性 ；(2)若 a 0， 求 证 ： 函 数 f(x)有 唯 一 的 零 点 .解 析 ： (1)求 出 函 数 的
34、 定 义 域 ， 导 函 数 ， 求 出 极 值 点 ， 然 后 判 断 导 函 数 的 符 号 ， 判 断 函 数 的单 调 性 即 可 .(2)求 出 f(x)取 得 极 小 值 小 于 0， 证 明 ： 在 区 间 (0， 1e )上 ， f(x) 0， 令 x=1e ， t 1， 则 x (0， 1e )， 1 1 1 1 1ln 2t t t t tf x f ae e e e e ， 推 出 不 等 atet t-12 成 立 ， 得 到 结论 .答 案 ： (1)f(x)的 定 义 域 为 (0， + )，f (x)=(2x-a)lnx+(x2-ax)1x +x=(2a-x)ln
35、x+2x-a=(2x-a)(1+lnx)，令 f (x)=0， 即 (2x-a)(1+lnx)=0 1 2 12ax x e ， ， 当 x 1=x2， 即 1 22a ae e ， 时 ， f (x) 0， f(x)是 (0， + )上 的 增 函 数 ； 当 x1 x2， 即 1 202a ae e ， 时 ，当 x (0， 2a )时 ， f (x) 0， f(x)单 调 递 增 ，当 x ( 12a e， )时 ， f (x) 0， f(x)单 调 递 减 ；当 x (1e ， + )时 ， f (x) 0， f(x)单 调 递 增 ； 当 x 2 x1， 即 1 2ae ， a 2e
36、 时 ， 当 x (0， 2a )时 ， f (x) 0， f(x)单 调 递 增 ；当 x (1 2ae， )时 ， f (x) 0， f(x)单 调 递 减 ；当 x ( 2a ， + )时 ， f (x) 0， f(x)单 调 递 增 ；综 上 所 述 ， 当 0 a 2e 时 ， f(x)在 (0， 2a )， (1e ， + )单 调 递 增 ， 在 ( 12a e， )单 调 递 减 ；当 a=2e 时 ， f(x)在 (0， + )单 调 递 增 ；当 a 2e 时 ， f(x)在 (0， 1e )， ( 2a ， + )单 调 递 增 ， 在 在 (1 2ae， )单 调 递
37、减 .(2)若 a 0， 令 f (x)=0， 即 (2x-a)(1+lnx)=0， 得 x=1e ， 当 x (0， 1e )时 ， f (x) 0， f(x)单 调 递 减 ， 当 x (1e ， + )时 ， f (x) 0， f(x)单 调 递 增 ，故 当 x=1e 时 ， f(x)取 得 极 小 值 21 1 1 1 1 1 1ln 02f a ae e e e e e e ，以 下 证 明 ： 在 区 间 (0， 1e )上 ， f(x) 0，令 x=1e ， t 1， 则 x (0， 1e )， 1 1 1 1 1ln 2t t t t tf x f ae e e e e ，
38、1 1 1 1 10 0 0 02 2 2t tt t tf x f a t ate t ate te e e ， 因 为 a 0， t 1， 不 等 atet t-12 ， 显 然 成 立 ，故 在 区 间 (0， 1e )上 ， f(x) 0， 又 f(1)=12 0， 即 f(1)f(1e ) 0， 故 当 a 0时 ， 函 数 f(x)有 唯 一 的 零 点 x0 (1e ， 1).22.在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 直 线 l 的 参 数 方 程 为 cos2 sinx ty t ， (t为 参 数 ， 0 )， 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 2cos2 2sinxy
39、， ( 为 参 数 )， 以 坐 标 原 点 O 为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴建 立 极 坐 标 系 .(1)求 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 ；(2)设 C 与 l 交 于 M， N 两 点 (异 于 原 点 )， 求 |OM|+|ON|的 最 大 值 .解 析 ： (1)曲 线 C 的 参 数 方 程 消 去 参 数 ， 得 曲 线 C 的 普 通 方 程 ， 由 此 能 求 出 曲 线 C 的 极 坐标 方 程 .(2)由 直 线 l的 参 数 方 程 可 知 ， 直 线 l 必 过 圆 C 的 圆 心 (0， 2)， 则 MON= 2 ， 设 M( 1， )，N
40、( 2， + 2 )， 则 4 2sin( 4)OM ON ， 当 = 4 ， |OM|+|ON|取 得 最 大 值 为 4 2.答 案 ： (1) 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 2cos2 2sinxy ， ( 为 参 数 )， 消 去 参 数 ， 得 曲 线 C的 普 通 方 程 为 x2+(y-2)2=4，化 简 得 x 2+y2=4y， 则 2=4 sin ， 所 以 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 =4sin .(2) 直 线 l 的 参 数 方 程 为 cos ,2 sin ,x ty t (t为 参 数 ， 0 )， 由 直 线 l 的 参 数 方 程 可 知 ，
41、直 线 l 必 过 点 (0， 2)， 也 就 是 圆 C 的 圆 心 ， 则 MON= 2 ， 不妨 设 M( 1， )， N( 2， + 2 )， 其 中 (0， 2 )，则 1 2 4sin 4sin 4 sin cos 4 2sin2( ) ( ) ( )4OM ON ，所 以 当 = 4 ， |OM|+|ON|取 得 最 大 值 为 4 2.23.已 知 函 数 f(x)=x|x-a|， a R.(1)若 f(1)+f(-1) 1， 求 a 的 取 值 范 围 ；(2)若 a 0， 对 -x， y (- ， a， 都 有 不 等 式 f(x) |y+54 |+|y-a|恒 成 立 ，
42、 求 a 的 取 值 范围 .解 析 ： (1)利 用 f(1)+f(-1)=|1-a|-|1+a| 1， 通 过 a -1， -1 a 1， a 1， 分 别 求 解 即 可 . (2)要 使 得 不 等 式 恒 成 立 ， 只 需 f(x)max |y+54 |+|y-a|min， 通 过 二 次 函 数 的 最 值 ， 绝 对值 的 几 何 意 义 ， 转 化 求 解 即 可 .答 案 ： (1)f(1)+f(-1)=|1-a|-|1+a| 1，若 a -1， 则 1-a+1+a 1， 得 2 1， 即 a -1 时 恒 成 立 ，若 -1 a 1， 则 1-a-(1+a) 1， 得 a
43、 -12 ， 即 -1 a -12 ，若 a 1， 则 -(1-a)-(1+a) 1， 得 -2 1， 即 不 等 式 无 解 ， 综 上 所 述 ， a 的 取 值 范 围 是 (- ， -12 ).(2)由 题 意 知 ， 要 使 得 不 等 式 恒 成 立 ， 只 需 f(x)max |y+54 |+|y-a|min，当 x (- ， a时 ， f(x)=-x2+ax， f(x)max= 22 4a af ，因 为 |y+54 |+|y-a| |a+54 |， 所 以 当 y -54 ， a时 ， |5 5 54 4 4| miny y a a a ，即 2 54 4a a ， 解 得 -1 a 5， 结 合 a 0， 所 以 a的 取 值 范 围 是 (0， 5.
