1、2018年 山 东 省 德 州 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12小 题 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 正 确 的 ， 请 把 正确 的 选 项 选 出 来 ， 每 小 题 选 对 得 4分 ， 选 错 、 不 选 或 选 出 的 答 案 超 过 一 个 均 记 零 分 。1.3的 相 反 数 是 ( )A.3B. 13C.-3 D.-13解 析 ： 3 的 相 反 数 是 -3.答 案 ： C2.下 列 图 形 中 ， 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( )A. B.C.D.
2、解 析 ： A 是 中 心 对 称 图 形 ； B 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 ； C 是 轴 对 称 图 形 ； D 既 不 是轴 对 称 图 形 又 不 是 中 心 对 称 图 形 .答 案 ： B 3.一 年 之 中 地 球 与 太 阳 之 间 的 距 离 随 时 间 而 变 化 ， 1个 天 文 单 位 是 地 球 与 太 阳 之 间 的 平 均 距离 ， 即 1.496 亿 km， 用 科 学 记 数 法 表 示 1.496 亿 是 ( )A.1.496 107 B.14.96 108C.0.1496 108D.1.496 108解 析 ： 科 学 记
3、 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n为 整 数 .确 定 n 的 值 时 ，要 看 把 原 数 变 成 a 时 ， 小 数 点 移 动 了 多 少 位 ， n 的 绝 对 值 与 小 数 点 移 动 的 位 数 相 同 .当 原 数绝 对 值 1时 ， n 是 正 数 ； 当 原 数 的 绝 对 值 1 时 ， n是 负 数 .数 据 1.496亿 用 科 学 记 数 法 表 示 为 1.496 108.答 案 ： D4.下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.a 3 a2=a6B.(-a2)3=a6C.a7 a5=a2D.-2mn-mn
4、=-mn解 析 ： A、 a3 a2=a5， 故 原 题 计 算 错 误 ；B、 (-a2)3=-a6， 故 原 题 计 算 错 误 ；C、 a7 a5=a2， 故 原 题 计 算 正 确 ；D、 -2mn-mn=-3mn， 故 原 题 计 算 错 误 .答 案 ： C5.已 知 一 组 数 据 ： 5， 2， 8， x， 7， 它 们 的 平 均 数 是 6， 则 这 组 数 据 的 中 位 数 是 ( )A.7 B.6C.5D.4解 析 ： 由 题 意 得 6+2+8+x+7=6 5， 解 得 ： x=7， 这 组 数 据 按 照 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为 ： 2， 6，7，
5、 7， 8， 则 中 位 数 为 7.答 案 ： A6.如 图 ， 将 一 副 三 角 尺 按 不 同 的 位 置 摆 放 ， 下 列 方 式 中 与 互 余 的 是 ( ) A.图 B.图 C.图 D.图 解 析 ： 图 ， + =180 -90 ， 互 余 ；图 ， 根 据 同 角 的 余 角 相 等 ， = ；图 ， 根 据 等 角 的 补 角 相 等 = ；图 ， + =180 ， 互 补 . 答 案 ： A7.如 图 ， 函 数 y=ax2-2x+1和 y=ax-a(a是 常 数 ， 且 a 0)在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 的 图 象 可 能是 ( )A. B.C.D.
6、解 析 ： A、 由 一 次 函 数 y=ax-a 的 图 象 可 得 ： a 0， 此 时 二 次 函 数 y=ax2-2x+1 的 图 象 应 该 开口 向 下 ， 故 选 项 错 误 ；B、 由 一 次 函 数 y=ax-a的 图 象 可 得 ： a 0， 此 时 二 次 函 数 y=ax2-2x+1的 图 象 应 该 开 口 向 上 ，对 称 轴 x= 22a 0， 故 选 项 正 确 ；C、 由 一 次 函 数 y=ax-a的 图 象 可 得 ： a 0， 此 时 二 次 函 数 y=ax2-2x+1的 图 象 应 该 开 口 向 上 ，对 称 轴 x= 22a 0， 和 x轴 的
7、正 半 轴 相 交 ， 故 选 项 错 误 ；D、 由 一 次 函 数 y=ax-a的 图 象 可 得 ： a 0， 此 时 二 次 函 数 y=ax 2-2x+1的 图 象 应 该 开 口 向 上 ，故 选 项 错 误 .答 案 ： B8.分 式 方 程 311 1 2xx x x 的 解 为 ( )A.x=1B.x=2C.x=-1 D.无 解解 析 ： 去 分 母 得 ： x2+2x-x2-x+2=3， 解 得 ： x=1， 经 检 验 x=1是 增 根 ， 分 式 方 程 无 解 .答 案 ： D9.如 图 ， 从 一 块 直 径 为 2m的 圆 形 铁 皮 上 剪 出 一 个 同 心
8、角 为 90 的 扇 形 ， 则 此 扇 形 的 面 积 为( ) A. 2 m2B. 32 m2C. m2D.2 m2解 析 ： 连 接 AC， 从 一 块 直 径 为 2m 的 圆 形 铁 皮 上 剪 出 一 个 同 心 角 为 90 的 扇 形 ， 即 ABC=90 ， AC为 直 径 ， 即 AC=2m， AB=BC， AB2+BC2=22， AB=BC= 2 m， 阴 影 部 分 的 面 积 是 290 2 1360 2 (m2).答 案 ： A10.给 出 下 列 函 数 ： y=-3x+2； y= 3x ； y=2x2； y=3x， 上 述 函 数 中 符 合 条 作 “ 当 x
9、 1时 ， 函 数 值 y 随 自 变 量 x增 大 而 增 大 “ 的 是 ( )A. B. C. D. 解 析 ： y=-3x+2， 当 x 1 时 ， 函 数 值 y 随 自 变 量 x增 大 而 减 小 ， 故 此 选 项 错 误 ； y= 3x ， 当 x 1 时 ， 函 数 值 y 随 自 变 量 x 增 大 而 减 小 ， 故 此 选 项 错 误 ； y=2x2， 当 x 1 时 ， 函 数 值 y 随 自 变 量 x增 大 而 减 小 ， 故 此 选 项 正 确 ； y=3x， 当 x 1 时 ， 函 数 值 y 随 自 变 量 x 增 大 而 减 小 ， 故 此 选 项 正
10、确 . 答 案 ： B11.我 国 南 宋 数 学 家 杨 辉 所 著 的 详 解 九 章 算 术 一 书 中 ， 用 如 图 的 三 角 形 解 释 二 项 式 (a+b)n的 展 开 式 的 各 项 系 数 ， 此 三 角 形 称 为 “ 杨 辉 三 角 ” 根 据 ” 杨 辉 三 角 ” 请 计 算 (a+b)8的 展 开 式 中 从 左 起 第 四 项 的 系 数 为 ( )A.84B.56C.35D.28解 析 ： 找 规 律 发 现 (a+b)4的 第 四 项 系 数 为 4=3+1；(a+b)5的 第 四 项 系 数 为 10=6+4；(a+b) 6的 第 四 项 系 数 为 2
11、0=10+10；(a+b)7的 第 四 项 系 数 为 35=15+20； (a+b)8第 四 项 系 数 为 21+35=56.答 案 ： B12.如 图 ， 等 边 三 角 形 ABC的 边 长 为 4， 点 O是 ABC的 中 心 ， FOG=120 ， 绕 点 O 旋 转 FOG， 分 别 交 线 段 AB、 BC于 D、 E 两 点 ， 连 接 DE， 给 出 下 列 四 个 结 论 ： OD=OE； S ODE=SBDE； 四 边 形 ODBE的 面 积 始 终 等 于 4 33 ； BDE周 长 的 最 小 值 为 6.上 述 结 论 中 正 确 的 个数 是 ( )A.1 B.
12、2C.3D.4解 析 ： 连 接 OB、 OC， 如 图 ， ABC为 等 边 三 角 形 ， ABC= ACB=60 ， 点 O是 ABC的 中 心 ， OB=OC， OB、 OC分 别 平 分 ABC和 ACB， ABO= OBC= OCB=30 ， BOC=120 ， 即 BOE+ COE=120 ，而 DOE=120 ， 即 BOE+ BOD=120 ， BOD= COE，在 BOD和 COE中 ， BOD COEBO COOBD OCE ， ， BOD COE， BD=CE， OD=OE， 所 以 正 确 ； S BOD=S COE， 四 边 形 ODBE 的 面 积 =S OBC=
13、 21 1 3 44 33 3 4 3ABCS ， 所 以 正 确 ；作 OH DE， 如 图 ， 则 DH=EH， DOE=120 ， ODE= OEH=30 ， 1 33 32 2OH OE HE OH OE DE OE ， ， ， S ODE= 1 1 332 2 4OE OE OE2， 即 S ODE随 OE 的 变 化 而 变 化 ，而 四 边 形 ODBE 的 面 积 为 定 值 ， S ODE S BDE； 所 以 错 误 ； BD=CE， BDE的 周 长 =BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+ 3 OE，当 OE BC 时 ， OE最 小 ， BDE
14、的 周 长 最 小 ， 此 时 OE= 3 32 ， BDE周 长 的 最 小 值 =4+2=6， 所 以 正 确 .答 案 ： C 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 6小 题 ， 共 24 分 ， 只 要 求 填 写 最 后 结 果 ， 每 小 题 填 对 得 4 分 。13.计 算 ： |-2+3|= .解 析 ： |-2+3|=1.答 案 ： 1 14.若 x1， x2是 一 元 二 次 方 程 x2+x-2=0 的 两 个 实 数 根 ， 则 x1+x2+x1x2= .解 析 ： 由 根 与 系 数 的 关 系 可 知 ： x1+x2=-1， x1x2=-2， x1+x2+x1x
15、2=-3.答 案 ： -315.如 图 ， OC为 AOB 的 平 分 线 ， CM OB， OC=5， OM=4， 则 点 C 到 射 线 OA 的 距 离 为 . 解 析 ： 过 C作 CF AO， OC 为 AOB的 平 分 线 ， CM OB， CM=CF， OC=5， OM=4， CM=3， CF=3.答 案 ： 3 16.如 图 ， 在 4 4的 正 方 形 方 格 图 形 中 ， 小 正 方 形 的 顶 点 称 为 格 点 ， ABC的 顶 点 都 在 格 点上 ， 则 BAC的 正 弦 值 是 .解 析 ： AB 2=32+42=25、 AC2=22+42=20、 BC2=12
16、+22=5， AC2+BC2=AB2， ABC 为 直 角 三 角 形 ， 且 ACB=90 ， 则 sin BAC= 55BCAB .答 案 ： 55 17.对 于 实 数 a， b， 定 义 运 算 “ ” ： a b= 2 2a b a bab a b ， ， ， 例 如 4 3， 因 为 4 3.所 以 4 3= 2 24 3 =5.若 x， y满 足 方 程 组 4 82 29x yx y ， ， 则 x y= .解 析 ： 由 题 意 可 知 ： 4 82 29x yx y ， ， 解 得 ： 512xy ， ， x y， 原 式 =5 12=60.答 案 ： 6018.如 图 ，
17、 反 比 例 函 数 y= 3x 与 一 次 函 数 y=x-2 在 第 三 象 限 交 于 点 A， 点 B 的 坐 标 为 (-3， 0)， 点 P 是 y 轴 左 侧 的 一 点 ， 若 以 A， O， B， P 为 顶 点 的 四 边 形 为 平 行 四 边 形 ， 则 点 P 的 坐 标为 .解 析 ： 由 题 意 得 23y xy x ， 解 得 31xy ， 或 13xy ， 反 比 例 函 数 y= 3x 与 一 次 函 数 y=x-2在 第 三 象 限 交 于 点 A， A(-1， -3).当 以 AB为 对 角 线 时 ， AB的 中 点 坐 标 M为 (-2， -1.5)
18、， 平 行 四 边 形 的 对 角 线 互 相 平 分 ， M为 OP中 点 ，设 P 点 坐 标 为 (x， y)， 则 0 02 1.52 2x y ， ， 解 得 x=-4， y=-3， P(-4， -3).当 OB 为 对 角 线 时 ，由 O、 B 坐 标 可 求 得 OB 的 中 点 坐 标 M(- 32 ， 0)， 设 P 点 坐 标 为 (x， y)，由 平 行 四 边 形 的 性 质 可 知 M 为 AP 的 中 点 ，结 合 中 点 坐 标 公 式 可 得 1 3 3 02 2 2x y ， ， 解 得 x=-2， y=3， P(-2， 3)；当 以 OA为 对 角 线 时
19、 ， 由 O、 A 坐 标 可 求 得 OA 的 中 点 坐 标 M( 1 32 2 ， )， 设 P 点 坐 标 为 (x， y)，由 平 行 四 边 形 的 性 质 可 知 M 为 BP 中 点 ，结 合 中 点 坐 标 公 式 可 得 3 1 0 32 2 2 2x y ， ， 解 得 x=2， y=-3， P(2， -3)(舍 去 ). 综 上 所 述 ， P 点 的 坐 标 为 (-4， -3)， (-2， 3).答 案 ： (-4， -3)， (-2， 3).三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 7 小 题 ， 共 78 分 。 解 答 要 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、
20、 证 明 过 程 或 演 算 步骤 。19.先 化 简 ， 再 求 值 2 23 3 1 11 2 1 1x xx x x x ， 其 中 x是 不 等 式 组 5 3 3 11 31 92 2x xx x ，的 整 数 解 .解 析 ： 原 式 利 用 除 法 法 则 变 形 ， 约 分 后 计 算 得 到 最 简 结 果 ， 求 出 x 的 值 ， 代 入 计 算 即 可 求 出值 . 答 案 ： 原 式 = 213 1 1 1 11 1 3 1 1 1 1xx x x xx x x x x x x ，不 等 式 组 解 得 ： 3 x 5， 即 整 数 解 x=4， 则 原 式 = 13
21、 .20.某 学 校 为 了 解 全 校 学 生 对 电 视 节 目 的 喜 爱 情 况 (新 闻 ， 体 育 ， 动 画 ， 娱 乐 ， 戏 曲 )， 从 全校 学 生 中 随 机 抽 取 部 分 学 生 进 行 问 卷 调 查 ， 并 把 调 查 结 果 绘 制 成 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 . 请 根 据 以 上 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：(1)这 次 被 调 查 的 学 生 共 有 多 少 人 ？(2)请 将 条 形 计 图 补 充 完 整 ；(3)若 该 校 约 有 1500名 学 生 ， 估 计 全 校 学 生 中 喜 欢 娱 乐 节 目 的 有 多 少 人
22、？(4)该 校 广 播 站 需 要 广 播 员 ， 现 决 定 从 喜 欢 新 闻 节 目 的 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 名 同 学 中 选 取 2名 ，求 恰 好 选 中 甲 、 乙 两 位 同 学 的 概 率 (用 树 状 图 或 列 表 法 解 答 ).解 析 ： (1)根 据 动 画 类 人 数 及 其 百 分 比 求 得 总 人 数 ；(2)总 人 数 减 去 其 他 类 型 人 数 可 得 体 育 类 人 数 ， 据 此 补 全 图 形 即 可 ；(2)用 样 本 估 计 总 体 的 思 想 解 决 问 题 ；(3)根 据 题 意 先 画 出 树 状 图 ， 得 出 所 有
23、情 况 数 ， 再 根 据 概 率 公 式 即 可 得 出 答 案 .答 案 ： (1)这 次 被 调 查 的 学 生 人 数 为 15 30%=50人 ；(2)喜 爱 “ 体 育 ” 的 人 数 为 50-(4+15+18+3)=10 人 ， 补 全 图 形 如 下 . (3)估 计 全 校 学 生 中 喜 欢 娱 乐 节 目 的 有 1500 1850 =540 人 ；(4)列 表 如 下 ： 所 有 等 可 能 的 结 果 为 12 种 ， 恰 好 选 中 甲 、 乙 两 位 同 学 的 有 2种 结 果 ， 所 以 恰 好 选 中 甲 、 乙两 位 同 学 的 概 率 为 2 112
24、6 .21.如 图 ， 两 座 建 筑 物 的 水 平 距 离 BC 为 60m， 从 C 点 测 得 A 点 的 仰 角 为 53 ， 从 A 点 测 得D点 的 俯 角 为 37 ， 求 两 座 建 筑 物 的 高 度 (参 考 数 据 ： sin37 35 ， cos37 45 ， tan37 34 ， sin53 45 ， cos53 35 ， tan53 43 ). 解 析 ： 过 点 D 作 DE AB 于 于 E， 则 DE=BC=60m， 在 Rt ABC 中 ， 求 出 AB， 在 Rt ADE 中 求出 AE 即 可 解 决 问 题 ；答 案 ： 过 点 D 作 DE AB
25、 于 于 E， 则 DE=BC=60m， 在 Rt ABC中 ， tan53 = 460 3AB ABBC ， ， AB=80(m)，在 Rt ADE中 ， tan37 = AEDE ， 34 60AE ， AE=45(m)， BE=CD=AB-AE=35(m)，答 ： 两 座 建 筑 物 的 高 度 分 别 为 80m和 35m.22.如 图 ， AB是 O 的 直 径 ， 直 线 CD与 O 相 切 于 点 C， 且 与 AB的 延 长 线 交 于 点 E， 点 C 是BF 的 中 点 . (1)求 证 ： AD CD；(2)若 CAD=30 ， O 的 半 径 为 3， 一 只 蚂 蚁
26、从 点 B 出 发 ， 沿 着 BE-EC-CB爬 回 至 点 B， 求蚂 蚁 爬 过 的 路 程 ( 3.14， 3 1.73， 结 果 保 留 一 位 小 数 ).解 析 ： (1)连 接 OC， 根 据 切 线 的 性 质 得 到 OC CD， 证 明 OC AD， 根 据 平 行 线 的 性 质 证 明 ；(2)根 据 圆 周 角 定 理 得 到 COE=60 ， 根 据 勾 股 定 理 、 弧 长 公 式 计 算 即 可 .答 案 ： (1)连 接 OC， 直 线 CD 与 O相 切 ， OC CD， 点 C 是 BF 的 中 点 ， DAC= EAC， OA=OC， OCA= EA
27、C， DAC= OCA， OC AD， AD CD； (2) CAD=30 ， CAE= CAD=30 ，由 圆 周 角 定 理 得 ， COE=60 ， OE=2OC=6， EC= 60 33 3 3 180OC BC ， ， 蚂 蚁 爬 过 的 路 程 =3+3 3 + 11.3.23.为 积 极 响 应 新 旧 动 能 转 换 ， 提 高 公 司 经 济 效 益 ， 某 科 技 公 司 近 期 研 发 出 一 种 新 型 高 科 技设 备 ， 每 台 设 备 成 本 价 为 30万 元 ， 经 过 市 场 调 研 发 现 ， 每 台 售 价 为 40万 元 时 ， 年 销 售 量 为60
28、0台 ； 每 台 售 价 为 45万 元 时 ， 年 销 售 量 为 550台 .假 定 该 设 备 的 年 销 售 量 y(单 位 ： 台 )和销 售 单 价 x(单 位 ： 万 元 )成 一 次 函 数 关 系 .(1)求 年 销 售 量 y 与 销 售 单 价 x 的 函 数 关 系 式 ；(2)根 据 相 关 规 定 ， 此 设 备 的 销 售 单 价 不 得 高 于 70 万 元 ， 如 果 该 公 司 想 获 得 10000万 元 的 年利 润 ， 则 该 设 备 的 销 售 单 价 应 是 多 少 万 元 ？解 析 ： (1)根 据 点 的 坐 标 ， 利 用 待 定 系 数 法
29、 即 可 求 出 年 销 售 量 y 与 销 售 单 价 x 的 函 数 关 系 式 ； (2)设 此 设 备 的 销 售 单 价 为 x 万 元 /台 ， 则 每 台 设 备 的 利 润 为 (x-30)万 元 ， 销 售 数 量 为(-10 x+1000)台 ， 根 据 总 利 润 =单 台 利 润 销 售 数 量 ， 即 可 得 出 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ， 解 之取 其 小 于 70的 值 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1)设 年 销 售 量 y 与 销 售 单 价 x 的 函 数 关 系 式 为 y=kx+b(k 0)，将 (40， 600)、 (45，
30、550)代 入 y=kx+b， 得 ： 40 60045 550k bk b ， 解 得 ： 101000kb ， ， 年 销 售 量y与 销 售 单 价 x的 函 数 关 系 式 为 y=-10 x+1000.(2)设 此 设 备 的 销 售 单 价 为 x 万 元 /台 ， 则 每 台 设 备 的 利 润 为 (x-30)万 元 ， 销 售 数 量 为(-10 x+1000)台 ，根 据 题 意 得 ： (x-30)(-10 x+1000)=10000， 整 理 ， 得 ： x 2-130 x+4000=0， 解 得 ： x1=50， x2=80. 此 设 备 的 销 售 单 价 不 得
31、高 于 70 万 元 ， x=50.答 ： 该 设 备 的 销 售 单 价 应 是 50万 元 /台 .24. 再 读 教 材 ：宽 与 长 的 比 是 5 12 (约 为 0.618)的 矩 形 叫 做 黄 金 矩 形 ， 黄 金 矩 形 给 我 们 以 协 调 、 匀 称 的 美感 ， 世 界 各 国 许 多 著 名 的 建 筑 ， 为 取 得 最 佳 的 视 觉 效 果 ， 都 采 用 了 黄 金 矩 形 的 设 计 ， 下 面 ，我 们 用 宽 为 2 的 矩 形 纸 片 折 叠 黄 金 矩 形 .(提 示 ： MN=2)第 一 步 ， 在 矩 形 纸 片 一 端 ， 利 用 图 的
32、方 法 折 出 一 个 正 方 形 ， 然 后 把 纸 片 展 平 .第 二 步 ， 如 图 ， 把 这 个 正 方 形 折 成 两 个 相 等 的 矩 形 ， 再 把 纸 片 展 平 . 第 三 步 ， 折 出 内 侧 矩 形 的 对 角 线 AB， 并 把 AB折 到 图 中 所 示 的 AD处 .第 四 步 ， 展 平 纸 片 ， 按 照 所 得 的 点 D 折 出 DE， 使 DE ND， 则 图 中 就 会 出 现 黄 金 矩 形 . 问 题 解 决 ：(1)图 中 AB= (保 留 根 号 )；(2)如 图 ， 判 断 四 边 形 BADQ的 形 状 ， 并 说 明 理 由 ；(3
33、)请 写 出 图 中 所 有 的 黄 金 矩 形 ， 并 选 择 其 中 一 个 说 明 理 由 .实 际 操 作(4)结 合 图 ， 请 在 矩 形 BCDE中 添 加 一 条 线 段 ， 设 计 一 个 新 的 黄 金 是 形 ， 用 字 母 表 示 出 来 ，并 写 出 它 的 长 和 宽 .解 析 ： (1)理 由 勾 股 定 理 计 算 即 可 ；(2)根 据 菱 形 的 判 定 方 法 即 可 判 断 ；(3)根 据 黄 金 矩 形 的 定 义 即 可 判 断 ；(4)如 图 -1中 ， 在 矩 形 BCDE上 添 加 线 段 GH， 使 得 四 边 形 GCDH为 正 方 形 ，
34、 此 时 四 边 形 BGHE为 所 求 是 黄 金 矩 形 . 答 案 ： (1)如 图 3 中 ， 在 Rt ABC 中 ， AB= 2 2 2 21 2 5AC BC .(2)结 论 ： 四 边 形 BADQ是 菱 形 .理 由 ： 如 图 中 ， 四 边 形 ACBF 是 矩 形 ， BQ AD， AB DQ， 四 边 形 ABQD是 平 行 四 边 形 ，由 翻 折 可 知 ： AB=AD， 四 边 形 ABQD是 菱 形 .(3)如 图 中 ， 黄 金 矩 形 有 矩 形 BCDE， 矩 形 MNDE. AD= 5 .AN=AC=1， CD=AD-AC= 5 -1， BC=2， 5
35、 12CDBC ， 矩 形 BCDE是 黄 金 矩 形 . 2 5 121 5MNDN ， 矩 形 MNDE是 黄 金 矩 形 .(4)如 图 -1中 ， 在 矩 形 BCDE上 添 加 线 段 GH， 使 得 四 边 形 GCDH为 正 方 形 ， 此 时 四 边 形 BGHE为 所 求 是 黄 金 矩 形 .长 GH= 5 -1， 宽 HE=3- 5 . 25.如 图 1， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 直 线 y=x-1 与 抛 物 线 y=-x2+bx+c 交 于 A、 B 两 点 ， 其 中A(m， 0)、 B(4， n)， 该 抛 物 线 与 y轴 交 于 点 C， 与
36、x轴 交 于 另 一 点 D. (1)求 m、 n的 值 及 该 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2)如 图 2， 若 点 P 为 线 段 AD 上 的 一 动 点 (不 与 A、 D重 合 )， 分 别 以 AP、 DP 为 斜 边 ， 在 直 线AD的 同 侧 作 等 腰 直 角 APM 和 等 腰 直 角 DPN， 连 接 MN， 试 确 定 MPN面 积 最 大 时 P 点 的 坐标 ；(3)如 图 3， 连 接 BD、 CD， 在 线 段 CD 上 是 否 存 在 点 Q， 使 得 以 A、 D、 Q 为 顶 点 的 三 角 形 与 ABD相 似 ， 若 存 在 ， 请 直 接 写
37、出 点 Q 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)把 A 与 B 坐 标 代 入 一 次 函 数 解 析 式 求 出 m与 n 的 值 ， 确 定 出 A 与 B 坐 标 ， 代 入 二次 函 数 解 析 式 求 出 b与 c的 值 即 可 ；(2)由 等 腰 直 角 APM和 等 腰 直 角 DPN， 得 到 MPN为 直 角 ， 由 两 直 角 边 乘 积 的 一 半 表 示 出三 角 形 MPN面 积 ， 利 用 二 次 函 数 性 质 确 定 出 三 角 形 面 积 最 大 时 P 的 坐 标 即 可 ；(3)存 在 ， 分 两 种 情 况 ， 根
38、 据 相 似 得 比 例 ， 求 出 AQ的 长 ， 利 用 两 点 间 的 距 离 公 式 求 出 Q坐 标即 可 .答 案 ： (1)把 A(m， 0)， B(4， n)代 入 y=x-1得 ： m=1， n=3， A(1， 0)， B(4， 3)， y=-x2+bx+c 经 过 点 A 与 点 B， 1 016 4 3b cb c ， ， 解 得 ： 65bc ， ， 则 二 次 函 数 解 析 式 为 y=-x2+6x-5； (2) APM与 DPN都 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， APM= DPN=45 ， MPN=90 ， MPN为 直 角 三 角 形 ，令 -x2+6x-5
39、=0， 得 到 x=1或 x=5， D(5， 0)， 即 DP=5-1=4，设 AP=m， 则 有 DP=4-m， PM= 22 m， PN= 22 (4-m)， S MPN= 221 1 2 2 1 14 2 12 2 2 2 4 4PM PN m m m m m ， 当 m=2， 即 AP=2时 ， S MPN最 大 ， 此 时 OP=3， 即 P(3， 0)；(3)存 在 ，易 得 直 线 CD解 析 式 为 y=x-5， 设 Q(x， x-5)， 由 题 意 得 ： BAD= ADC=45 ，当 ABD DAQ时 ， AB BDDA AQ ， 即 3 2 44 AQ ， 解 得 ： AQ=8 23 ，由 两 点 间 的 距 离 公 式 得 ： (x-1) 2+(x-5)2=1283 ， 解 得 ： x= 73 ， 此 时 Q( 7 83 3， )；当 ABD DQA 时 ， BDAQ =1， 即 AQ= 10 ， (x-1)2+(x-5)2=10， 解 得 ： x=2， 此 时 Q(2，-3)，综 上 ， 点 Q的 坐 标 为 (2， -3)或 ( 7 83 3， ).
