1、2018年 安 徽 省 淮 北 市 高 考 一 模 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60分1.设 复 数 Z满 足 (1+i)Z=i， 则 |Z|=( )A. 22B. 12C. 2D.2解 析 ： 由 (1+i)Z=i， 得 1 1 11 2 21 1i iiZ ii i i ， 2 21 1 22 2 2Z .答 案 ： A2.已 知 A=x|x2 2x 3 0， B=y|y=x2+1， 则 A B=( )A. 1， 3B. 3， 2C.2， 3D.1， 3解 析 ： A=x|x 2 2x 3 0=x| 1 x 3，B=y|y=
2、x2+1=y|y 1，则 A B=x|1 x 3=1， 3，答 案 ： D3.函 数 1 lnf x xx 的 图 象 大 致 为 ( ) A.B. C.D.解 析 ： 当 x 0 时 ， 函 数 1 lnf x xx ， 由 函 数 y= 1x 、 y=ln( x)递 减 知 函 数 f(x)= 1 ln xx 递 减 ， 排 除 CD；当 x 0 时 ， 函 数 f(x)= 1 ln xx ， 此 时 ， f(1)=1 ln11 =1， 而 选 项 A 的 最 小 值 为 2， 故 可排 除 A， 只 有 B正 确 .答 案 ： B4. 九 章 算 术 是 我 国 古 代 第 一 部 数
3、字 专 著 ， 是 算 经 十 书 中 最 重 要 的 一 种 ， 成 于 公 元 一世 纪 左 右 ， 它 是 一 本 综 合 性 的 历 史 著 作 ， 是 当 时 世 界 上 最 简 练 有 效 的 应 用 数 学 ， “ 更 相 减 损术 ” 便 是 九 章 算 术 中 记 录 的 一 种 求 最 大 公 约 数 的 算 法 ， 按 其 算 理 流 程 有 如 图 所 示 程 序 框图 ， 若 输 入 的 a、 b 分 别 为 96、 42， 则 输 出 的 i为 ( ) A.4B.5C.6D.7解 析 ： 由 程 序 框 图 可 知 ：当 a=96， b=42 时 ， 满 足 a b
4、， 则 a=96 42=54， i=1由 a b， 则 a=54 42=12， i=2由 a b， 则 b=42 12=30， i=3由 a b， 则 b=30 12=18， i=4 由 a b， 则 b=18 12=6， i=5由 a b， 则 a=12 6=6， i=6由 a=b=6， 输 出 i=6.答 案 ： C5.如 果 实 数 x， y满 足 关 系 1 02 0 x yx y ， 又 2 73x yx 恒 成 立 ， 则 的 取 值 范 围 为 ( )A.( ， 1 95 ， + )B.( ， 3C. 95 ， + )D.(3， + ) 解 析 ： 设 2 7 123 3x y
5、yz x x ，z的 几 何 意 义 是 区 域 内 的 点 到 D(3， 1)的 斜 率 加 2，作 出 实 数 x， y 满 足 关 系 1 02 0 x yx y 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： 由 图 形 ， 可 得 C( 1 32 2， )，由 图 象 可 知 ， 直 线 CD的 斜 率 最 小 值 为 = 1 32 7 92 21 532 ， z 的 最 小 值 为 95 ， 的 取 值 范 围 是 ( ， 1 95 ， + ).答 案 ： A6.某 空 间 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 ( ) A. 73B. 8 3C
6、. 83D. 7 3解 析 ： 由 三 视 图 得 该 几 何 体 是 从 四 棱 锥 P ABCD中 挖 去 一 个 半 圆 锥 ， 四 棱 锥 的 底 面 是 以 2为 边 长 的 正 方 形 、 高 是 2，圆 锥 的 底 面 半 径 是 1、 高 是 2， 所 求 的 体 积 21 1 1 82 2 2 1 23 2 3 3V .答 案 ： B7.已 知 等 比 数 列 an中 ， a5=3， a4a7=45， 则 7 95 7a aa a 的 值 为 ( )A.3B.5C.9D.25解 析 ： 根 据 题 意 ， 等 比 数 列 a n中 ， a5=3， a4a7=45，则 有 4
7、76 5 15a aa a ，则 65 5aq a ，则 2 2 27 9 5 75 7 5 7 25a a a q a q qa a a a ；答 案 ： D 8.已 知 F 是 双 曲 线 222 2 1yxa b (a 0， b 0)的 右 焦 点 ， 若 点 F 关 于 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 对称 的 点 恰 好 落 在 双 曲 线 的 左 支 上 ， 则 双 曲 线 的 离 心 率 为 ( )A. 2B. 3C. 5D. 6解 析 ： 设 F(c， 0)， 渐 近 线 方 程 为 by xa ，对 称 点 为 F(m， n)，即 有 n am c b ，且 1 12 2
8、 b m cn a ， 解 得 2 2 2b a abm nc c ， ，将 F( 2 2 2b a abc c ， )， 即 ( 2 22 2c a abc c ， )，代 入 双 曲 线 的 方 程 可 得 22 2 2 22 2 2 22 4 1c a a bc a c b ，化 简 可 得 22ca 4=1， 即 有 e2=5，解 得 e= 5 .答 案 ： C9.函 数 f(x)在 定 义 域 R内 可 导 ， 若 f(1+x)=f(3 x)， 且 当 x ( ， 2)时 ， (x 2)f (x) 0， 设 a=f(0)， b=f( 12 )， c=f(3)， 则 a， b， c 的
9、 大 小 关 系 是 ( ) A.a b cB.c a bC.c b aD.b c a解 析 ： f(1+x)=f(3 x)， 函 数 f(x)的 图 象 关 于 直 线 x=2对 称 ， f(3)=f(1).当 x ( ， 2)时 ， (x 2)f (x) 0， f (x) 0， 即 f(x)单 调 递 增 ， 0 12 1， f(0) f( 12 ) f(2)，即 a b c. 答 案 ： C10.已 知 函 数 sin 2 3 cosf x a x x 的 一 条 对 称 轴 为 6x ， 且 f(x1) f(x2)= 16， 则 |x1+x2|的 最 小 值 为 ( )A. 3B. 2
10、C. 23D. 34解 析 ： sin 2 3 cosf x a x x = 2 12 sina x ，由 于 函 数 f(x)的 对 称 轴 为 ： 6x ， 所 以 1 36 2f a ，则 21 3 122 a a ，解 得 ： a=2；所 以 ： f(x)=4sin(x 3 )，由 于 ： f(x1) f(x2)= 16，所 以 函 数 f(x)必 须 取 得 最 大 值 和 最 小 值 ，所 以 ： x 1=2k + 56 或 x2=2k 6 ， k Z；所 以 ： |x1+x2|的 最 小 值 为 23 .答 案 ： C11.对 于 向 量 a， b， 定 义 a b 为 向 量
11、a， b 的 向 量 积 ， 其 运 算 结 果 为 一 个 向 量 ， 且 规 定 a b的 模 |a b|=|a|b|sin (其 中 为 向 量 a 与 b的 夹 角 )， a b 的 方 向 与 向 量 a， b的 方 向 都垂 直 ， 且 使 得 a， b， a b 依 次 构 成 右 手 系 .如 图 ， 在 平 行 六 面 体 ABCD EFGH 中 ， EAB=EAD= BAD=60 ， AB=AD=AE=2， 则 AB AD AE =( ) A.4B.8C.2 2D.4 2解 析 ： 据 向 量 积 定 义 知 ， 向 量 AB AD 垂 直 平 面 ABCD， 且 方 向
12、向 上 ， 设 AB AD 与 AE 所成 角 为 . EAB= EAD= BAD=60 ， 点 E在 底 面 ABCD 上 的 射 影 在 直 线 AC上 . 作 EI AC 于 I， 则 EI 面 ABCD， + EAI= 2 .过 I 作 IJ AD 于 J， 连 EJ， 由 三 垂 线 逆 定 理 可 得 EJ AD. AE=2， EAD=60 ， AJ=1， EJ= 3 .又 CAD=30 ， IJ AD， AI= 2 33 . AE=2， EI AC， 3cos 3AIEAI AE . 3 6sin sin cos cos2 3 3EAI EAI ， .故 3 6sin cos 8
13、 4 22 3AB AD AE AB AD BAD AE ，答 案 ： D12.若 存 在 实 数 x 使 得 关 于 x 的 不 等 式 (e x a)2+x2 2ax+a2 12 成 立 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围是 ( )A. 12 B. 14 C. 12 ， + )D. 14 ， + )解 析 ： 不 等 式 (e x a)2+x2 2ax+a2 12 成 立 ，即 为 (ex a)2+(x a)2 12 ，表 示 点 (x， ex)与 (a， a)的 距 离 的 平 方 不 超 过 12 ，即 最 大 值 为 12 .由 (a， a)在 直 线 l： y=x 上 ，设 与
14、 直 线 l平 行 且 与 y=e x相 切 的 直 线 的 切 点 为 (m， n)，可 得 切 线 的 斜 率 为 em=1，解 得 m=0， n=1，切 点 为 (0， 1)， 由 切 点 到 直 线 l 的 距 离 为 直 线 l上 的 点 与 曲 线 y=ex的 距 离 的 最 小 值 ，可 得 (0 a)2+(1 a)2= 12 ，解 得 a= 12 ， 则 a 的 取 值 集 合 为 12 .答 案 ： A二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4小 题 ， 每 小 题 5 分13.已 知 等 差 数 列 an前 15项 的 和 S15=30， 则 a2+a9+a13=_.解 析
15、 ： 设 等 差 数 列 的 等 差 为 d， an前 15项 的 和 S15=30， 1 1515 302a a ， 即 a 1+7d=2，则 a2+a9+a13=(a1+d)+(a1+8d)+(a1+12d)=3(a1+7d)=6.答 案 ： 614.若 12 nx x 的 二 项 展 开 式 中 的 所 有 二 项 式 系 数 之 和 等 于 256， 则 该 展 开 式 中 常 数 项 的 值为 _.解 析 ： 由 题 意 可 知 ， 2 n=256， 解 得 n=8. 81 12 2nx xx x ， 其 展 开 式 的 通 项 8 8 8 21 8 812 2rrr r r rrT
16、 C x C xx ，令 8 2r=0， 得 r=4. 该 展 开 式 中 常 数 项 的 值 为 4 45 82 1120T C .答 案 ： 112015.已 知 函 数 f(x)的 定 义 域 为 R， 其 导 函 数 f (x)的 图 象 如 图 所 示 ， 则 对 于 任 意 x 1， x2 R(x1 x2)， 下 列 结 论 正 确 的 序 号 是 _. f(x) 0恒 成 立 ； (x1 x2)f(x1) f(x2) 0； (x1 x2)f(x1) f(x2) 0； 1 21 22 2f x f xx xf 1 21 22 2f x f xx xf 解 析 ： 由 导 函 数 的
17、 图 象 可 知 ， 导 函 数 f (x)的 图 象 在 x 轴 下 方 ， 即 f (x) 0， 故 原 函 数 为减 函 数 ，并 且 是 ， 递 减 的 速 度 是 先 快 后 慢 .所 以 f(x)的 图 象 如 图 所 示 ： f(x) 0 恒 成 立 ， 没 有 依 据 ， 故 不 正 确 ； 表 示 (x1 x2)与 f(x1) f(x2)异 号 ， 即 f(x)为 减 函 数 .故 正 确 ； 表 示 (x1 x2)与 f(x1) f(x2)同 号 ， 即 f(x)为 增 函 数 .故 不 正 确 ， 左 边 边 的 式 子 意 义 为 x1， x2中 点 对 应 的 函 数
18、 值 ， 即 图 中 点 B 的 纵 坐 标 值 ，右 边 式 子 代 表 的 是 函 数 值 得 平 均 值 ， 即 图 中 点 A的 纵 坐 标 值 ， 显 然 有 左 边 小 于 右 边 ，故 不 正 确 ， 正 确 ， 综 上 ， 正 确 的 结 论 为 .答 案 ： 16.在 ABC 中 ， D、 E 分 别 是 AB、 AC 的 中 点 ， M 是 直 线 DE 上 的 动 点 .若 ABC的 面 积 为 2，则 2MB MC BC 的 最 小 值 为 _. 解 析 ： D、 E 是 AB、 AC的 中 点 ， M 到 BC 的 距 离 等 于 点 A到 BC的 距 离 的 一 半
19、 ， S ABC=2S MBC， 而 ABC的 面 积 2， 则 MBC的 面 积 S MBC=1，S MBC= 12 丨 MB丨 丨 MC丨 sin BMC=1， 2sinMB MC BMC 丨 丨 丨 丨 . 2coscos sin BMCMB MC MB MC BMC BMC .由 余 弦 定 理 ， 丨 BC 丨 2=丨 BM丨 2+丨 CM丨 2 2丨 BM丨 丨 CM丨 cos BMC，显 然 ， BM、 CM 都 是 正 数 ， 丨 BM丨 2+丨 CM 丨 2 2丨 BM丨 丨 CM 丨 ， 丨 BC丨 2=丨 BM 丨 2+丨 CM 丨 2 2 丨 BM 丨 丨 CM丨 co
20、s BMC= 2 2cos2 2sin sin BMCBMC BMC . 2 2cos 2 2cos2 2sin sin sinBMC BMCMB MC BC BMC BMC BMC = 2 cos2 sin BMCBMC ， 方 法 一 ： 令 y= 2 cossin BMCBMC ， 则 y = 21 2cossin BMCBMC ，令 y =0， 则 cos BMC= 12 ， 此 时 函 数 在 (0， 12 )上 单 调 减 ， 在 ( 12 ， 1)上 单 调 增 ， cos BMC= 12 时 ， 2 cossin BMCBMC 取 得 最 小 值 为 3 ，2MB MC BC
21、的 最 小 值 为 2 3 ；方 法 二 ： 令 y= 2 cossin BMCBMC ，则 ysin BMC+cos BMC=2， 则 21 y sin( BMC+ )=2，tan = 1y ，则 sin( BMC+ )= 221 y 1， 解 得 ： y 3 ，则 2MB MC BC 的 最 小 值 为 2 3 .答 案 ： 2 3三 、 解 答 题 .(本 大 题 共 5小 题 ， 共 70 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 )17.在 ABC中 ， 角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 为 a， b， c， 且 acosB=(3c
22、b)cosA.(1)求 cosA的 值 ；(2)若 b=3， 点 M在 线 段 BC上 ， 2 3 2AB AC AM AM ， ， 求 ABC的 面 积 .解 析 ： (1)由 正 弦 定 理 ， 两 角 和 的 正 弦 函 数 公 式 ， 三 角 形 内 角 和 定 理 化 简 已 知 等 式 可 得sinC=3sinCcosA， 结 合 sinC 0， 可 求 cosA的 值 .(2)将 2AB AC AM 两 边 平 方 ， 利 用 平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 可 求 c的 值 ， 进 而 根 据 三 角形 的 面 积 公 式 即 可 计 算 得 解 . 答 案 ： (1)
23、因 为 acosB=(3c b)cosA， 由 正 弦 定 理 得 ： sinAcosB=(3sinC sinB)cosA，即 sinAcosB+sinBcosA=3sinCcosA， 可 得 ： sinC=3sinCcosA，在 ABC中 ， sinC 0，所 以 1cos 3A .(2) 2AB AC AM ， 两 边 平 方 得 ： 2 2 22 4AB AC AB AC AM ，由 b=3， 3 2AM ， 1cos 3A ， 可 得 ： 2 19 2 3 4 183c c ，解 得 ： c=7或 c= 9(舍 )，所 以 ABC的 面 积 1 2 27 3 7 22 3S .18.在
24、 如 图 所 示 的 圆 台 中 ， AB， CD分 别 是 下 底 面 圆 O， 上 底 面 圆 O 的 直 径 ， 满 足 AB CD， 又 DE 为 圆 台 的 一 条 母 线 ， 且 与 底 面 ABE成 角 3 .( )若 面 BCD与 面 ABE的 交 线 为 l， 证 明 ： l 面 CDE；( )若 AB=2CD， 求 平 面 BCD的 与 平 面 ABE所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值 . 解 析 ： ( )在 圆 台 OO 中 ， 由 CD圆 O ， 可 得 CD 平 面 ABE， 再 由 线 面 平 行 的 性 质 可 得 l CD， 进 一 步 利 用 线 面 平
25、 行 的 判 定 可 得 l 面 CDE；( )连 接 OO 、 BO 、 OE， 则 CD OE， 由 已 知 AB CD， 得 AB OE， 再 由 三 垂 线 定 理 得 O B OE， 即 O B CD， 可 得 O BO 就 是 求 面 BCD与 底 面 ABE 所 成 二 面 角 的 平 面 角 .设 AB=4，由 母 线 与 底 面 成 角 3 ， 求 解 三 角 形 可 得 平 面 BCD的 与 平 面 ABE所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值 .答 案 ： ( )证 明 ： 如 图 ， 在 圆 台 OO 中 ， CD圆 O ， CD 平 面 ABE， 面 BCD 面 AB
26、E=l， l CD， CD平 面 CDE， l平 面 CDE， l 面 CDE；( )解 ： 连 接 OO 、 BO 、 OE， 则 CD OE， 由 AB CD， 得 AB OE，又 O B 在 底 面 的 射 影 为 OB，由 三 垂 线 定 理 知 ： O B OE， O B CD， O BO就 是 求 面 BCD与 底 面 ABE所 成 二 面 角 的 平 面 角 .设 AB=4， 由 母 线 与 底 面 成 角 3 ，可 得 OE=2O D=2， DE=2， OB=2， OO = 3 ， cos O BO= 2 77 .19.如 图 为 2017 届 淮 北 师 范 大 学 数 学
27、与 应 用 数 学 专 业 N 名 毕 业 生 的 综 合 测 评 成 绩 (百 分 制 )分 布 直 方 图 ， 已 知 80 90分 数 段 的 学 员 数 为 21人 .( )求 该 专 业 毕 业 总 人 数 N 和 90 95 分 数 段 内 的 人 数 n；( )现 欲 将 90 95 分 数 段 内 的 n 名 毕 业 生 随 机 的 分 配 往 A、 B、 C 三 所 学 校 ， 若 每 所 学 校 至 少 分 配 两 名 毕 业 生 ， 且 甲 乙 两 人 必 须 进 同 一 所 学 校 ， 共 有 多 少 种 不 同 的 分 配 方 法 ？( )若 90 95 分 数 段
28、内 的 这 n 名 毕 业 生 中 恰 有 两 女 生 ， 设 随 机 变 量 表 示 n 名 毕 业 生 中 分配 往 乙 学 校 的 两 名 学 生 中 女 生 的 人 数 ， 求 的 分 布 列 和 数 学 期 望 . 解 析 ： ( )先 求 出 80 90分 数 段 的 毕 业 生 的 频 率 和 学 员 总 数 ， 由 此 能 求 出 毕 业 生 的 总 人 数N， 从 而 求 出 90 95分 数 段 内 的 人 数 频 率 ， 进 而 能 求 出 90 95分 数 段 内 的 人 数 .( )将 90 95 分 数 段 内 的 6名 毕 业 生 随 机 的 分 配 往 A、 B
29、、 C三 所 学 校 ， 每 所 学 校 至 少 分 配两 名 毕 业 生 ， 且 甲 乙 两 人 必 须 进 同 一 所 学 校 ， 利 用 排 列 数 公 式 能 出 共 有 多 少 不 同 的 分 配 方 法 .( ) 所 有 可 能 取 值 为 0， 1， 2， 分 别 求 出 相 应 的 概 率 ， 由 此 能 求 出 的 分 布 列 和 数 学 期 望 .答 案 ： ( )80 90 分 数 段 的 毕 业 生 的 频 率 为 ：p1=(0.04+0.03) 5=0.35，此 分 数 段 的 学 员 总 数 为 21人 ， 毕 业 生 的 总 人 数 N为 N= 210.35 =6
30、0，90 95分 数 段 内 的 人 数 频 率 为 ：p 2=1 (0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01) 5=0.1， 90 95 分 数 段 内 的 人 数 n=60 0.1=6.( )将 90 95 分 数 段 内 的 6 名 毕 业 生 随 机 的 分 配 往 A、 B、 C 三 所 学 校 ，每 所 学 校 至 少 分 配 两 名 毕 业 生 ， 且 甲 乙 两 人 必 须 进 同 一 所 学 校 ，共 有 ： 2 2 34 2 322 18C C AA 不 同 的 分 配 方 法 .( ) 所 有 可 能 取 值 为 0， 1， 2， 0 22 426 60
31、 15C CP C ， 1 12 426 81 15C CP C ， 2 0 22 4 6 12 15P C C C ， 所 以 的 分 布 列 为 ： 0 1 2P 615 815 115所 以 随 机 变 量 数 学 期 望 为 6 8 1 20 1 215 15 15 3E .20.已 知 椭 圆 C： 222 2 1yxa b (a b 0)， 其 左 右 焦 点 为 F 1， F2， 过 F1直 线 l： x+my+ 3 =0与 椭 圆 C 交 于 A， B 两 点 ， 且 椭 圆 离 心 率 e= 32 ；( )求 椭 圆 C 的 方 程 ；( ) 若 椭 圆 存 在 点 M， 使
32、 得 2 3OM OA OB ， 求 直 线 l的 方 程 .解 析 ： (I)过 F1直 线 l： x+my+ 3 =0， 以 及 离 心 率 结 合 a、 b、 c 关 系 ， 求 解 即 可 得 到 椭 圆 方程 . (II)设 AB 的 方 程 为 y=k(x 2)， 联 立 直 线 与 椭 圆 的 方 程 组 ， 利 用 判 别 式 求 出 k 的 范 围 ， 设A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(x3， y3)， 利 用 韦 达 定 理 以 及 ， 即 可 求 出 m 的 值 ， 得 到 直 线 l 的 方 程答 案 ： ( )过 F1直 线 l： x+my+ 3 =0
33、，令 y=0， 解 得 x= 3 ， c= 3 ， 32ce a ， a=2， b 2=a2 c2=4 3=1， 椭 圆 C 的 方 程 为 2 2 14x y ；( )设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(x3， y3)，由 2 3OM OA OB ， 得 ： 3 1 2 3 1 21 3 1 32 2 2 2x x x y y y ， 代 入 椭 圆 方 程 可 得 ：2 21 2 1 21 1 3 1 3 1 04 2 2 2 2x x y y ， 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 21 1 3 1 3 4 14 4 4 4 8x y x y x x y y ， x
34、 1x2+4y1y2=0联 立 方 程 2 2 3 04 4 0 x myx y 消 x 可 得 (m2+4)y2+2 3 my 1=0， 1 2 1 22 22 3 14 4my y y ym m ， ， x1x2+4y1y2=(my1+ 3 )(my2+ 3 )+4y1y2=(m 2+4)4y1y2+ 3 m(y1+y2)+3=0，即 m2=2，解 得 m= 2所 求 直 线 l的 方 程 ： 2 3 0 x y .21.设 函 数 f(x)= 12 x2 alnx， 其 中 a R.(1)若 函 数 f(x)在 12 ， + )上 单 调 递 增 ， 求 实 数 a的 取 值 范 围 ；
35、(2)设 正 实 数 m 1， m2满 足 m1+m2=1， 当 a 0时 ， 求 证 ： 对 任 意 的 两 个 正 实 数 x1， x2， 总 有 f(m1x1+m2x2) m1f(x1)+m2f(x2)成 立 ；(3)当 a=2 时 ， 若 正 实 数 x1， x2， x3满 足 x1+x2+x3=3， 求 f(x1)+f(x2)+f(x3)的 最 小 值 .解 析 ： (1)求 得 f(x)的 导 数 ， 由 题 意 可 得 f (x)=x ax 0在 12 ， + )恒 成 立 ， 运 用 参 数分 离 和 二 次 函 数 的 最 值 ， 即 可 得 到 所 求 范 围 ；(2)求
36、得 f(x)的 导 数 ， 及 二 阶 导 数 ， 判 断 符 号 ， 由 凹 凸 函 数 的 性 质 ， 即 可 得 证 ；(3)求 得 f(x)的 导 数 ， 以 及 二 阶 导 数 ， 判 断 符 号 ， 由 凹 凸 函 数 的 性 质 ， 即 可 得 到 所 求 最 小 值 .答 案 ： (1)函 数 f(x)= 12 x 2 alnx，导 数 为 f (x)=x ax ， 函 数 f(x)在 12 ， + )上 单 调 递 增 ， 可 得f (x)=x ax 0在 12 ， + )恒 成 立 ，即 为 a x2的 最 小 值 ，由 x2在 12 ， + )的 最 小 值 为 14 ，
37、可 得 a 14 ；(2)证 明 ： 由 f(x)= 12 x 2 alnx， a 0，可 得 f (x)=x ax ， f (x)=1+ 2ax 0，即 有 f(x)为 凹 函 数 ，由 m1+m2=1， 可 得 对 任 意 的 两 个 正 实 数 x1， x2，总 有 f(m1x1+m2x2) m1f(x1)+m2f(x2)成 立 ；(3)由 f(x)= 12 x 2 2lnx，可 得 导 数 为 f (x)=x 2x ，f (x)=1+ 22x 0， 则 f(x)为 凹 函 数 ，有 1 2 3 1 2 313 3 x x xf f x f x f x ，即 为 1 2 31 2 3 3
38、 1 3 3 1 33 2 2x x xf x f x f x f f ，则 f(x 1)+f(x2)+f(x3)的 最 小 值 为 32 .选 做 题 .(10分 )选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 讲 22.在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 圆 C 的 极坐 标 方 程 为 =2 2 sin( 4 )， 直 线 l 的 参 数 方 程 为 1x ty t t 为 参 数 ， 直 线 l 和 圆 C交 于 A， B 两 点 .( )求 圆 C的 直 角 坐 标 方 程 ；
39、( )设 l 上 一 定 点 M(0， 1)， 求 |MA| |MB|的 值 .解 析 ： ( )圆 C 的 极 坐 标 方 程 转 化 为 2=2 sin 2 cos ， 由 此 能 求 出 圆 C的 直 角 坐 标方 程 .( )直 线 l的 参 数 方 程 化 为 22 21 2x ty t ， t 为 参 数 ， 代 入 (x+1)2+(y 1)2=2， 得 t2 2t 1=0， 由 此 能 求 出 |MA| |MB|.答 案 ： ( ) 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为 ： 2 2 sin 2 2 sin cos cos sin 2sin 2cos4 4 4 ， 2=2 sin 2
40、 cos ， 圆 C的 直 角 坐 标 方 程 x2+y2=2y 2x， 即 (x+1)2+(y 1)2=2. ( )直 线 l的 参 数 方 程 为 1x ty t ， t为 参 数 ，直 线 l的 参 数 方 程 可 化 为 22 21 2x ty t ， t 为 参 数 ，代 入 (x+1) 2+(y 1)2=2， 得 2 22 21 22 2t t ，化 简 得 ： t2 2t 1=0， 1 2 1t t ， |MA| |MB|= 1 2 1t t .选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 23.已 知 函 数 f(x)=|x m| 3， 且 f(x) 0的 解 集 为 ( ， 2 4，
41、 + ).( )求 m 的 值 ；( )若 x R， 使 得 f(x) t+|2 x|成 立 ， 求 实 数 t 的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )利 用 不 等 式 的 解 集 ， 列 出 方 程 即 可 求 m 的 值 ；( )利 用 已 知 条 件 ， 转 化 求 解 函 数 的 最 值 ， 然 后 推 出 结 果 即 可 .答 案 ： ( ) 函 数 f(x)=|x m| 3， 且 f(x) 0的 解 集 为 ( ， 2 4， + ). 即 |x m| 3 0的 解 集 为 ( ， 2 4， + ). m+3=4， m 3= 2， 解 得 m=1.( ) x R， 使 得 f(x) t+|2 x|成 立 ， 即 |x 1| 3 t+|2 x|， x R， |x 1| |2 x| t+3，令 g(t)=|x 1| |x 2|= 1 12 31 21 2xx xx ， ， ， ， x R， |x 1| |2 x| t+3成 立 ， t+3 g(x) max=1， t 2.
