1、2018年 宁 夏 银 川 一 中 高 考 一 模 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.已 知 集 合 A=-1， 1， 3， B=1， a2-2a， BA， 则 实 数 a 的 不 同 取 值 个 数 为 ( )A.2B.3C.4D.5解 析 ： BA， a 2-2a=-1 或 a2-2a=3. 由 a2-2a=-1 得 a2-2a+1=0， 解 得 a=1.当 a=1时 ， B=1， -1， 满 足 BA. 由 a2
2、-2a=3 得 a2-2a-3=0， 解 得 a=-1或 3，当 a=-1时 ， B=1， 3， 满 足 BA，当 a=3时 ， B=1， 3， 满 足 BA.综 上 ， 若 BA， 则 a= 1 或 a=3.答 案 ： B2.已 知 z 是 纯 虚 数 ， 21z i 是 实 数 ， 那 么 z 等 于 ( )A.2i B.iC.-iD.-2i解 析 ： 由 题 意 得 z=ai.(a R 且 a 0). 2 1 2 221 1 1 2 z i a a iz i i i ，则 a+2=0， a=-2.有 z=-2i.答 案 ： D3.已 知 函 数 2log 0( )( )3 0 x x x
3、f x x ， 则 14 f f 的 值 是 ( ) A.9B. 19C. 19D.-9解 析 ： 因 为 14 0， 所 以 22 22 1log 2 2 31 1log4 4 9 f f f f f . 答 案 ： B4.已 知 x、 y 满 足 约 束 条 件 1 000 x yx yx 则 z=x+2y 的 最 大 值 为 ( )A.-2B.-1C.1D.2解 析 ： 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 ， 利 用 z 的 几 何 意 义 ， 即 可 得 到 结 论 .作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： 由 z=x+2y 得 1 12 2 y
4、 x z ，平 移 直 线 1 12 2 y x z 由 图 象 可 知 当 直 线 1 12 2 y x z 经 过 点 A 时 ， 直 线1 12 2 y x z 的 截 距 最 大 ，此 时 z最 大 ，由 0 1 0 xx y ， 即 01 xy ，即 A(0， 1)， 此 时 z=0+2=2.答 案 ： D 5.已 知 直 线 ax+by+c=0 与 圆 O： x2+y2=1相 交 于 A， B 两 点 ， 且 |AB|= 3 ， 则 uuuur urgOBOA 的 值 是 ( )A. 12B. 12C. 34D.0解 析 ： 取 AB的 中 点 C， 连 接 OC， |AB|= 3
5、 ， 则 AC= 32 ， OA=1， sin s1 32 2in ACAOB AOC OA ， AOB=120 ，则 1 121 120 uuu uu rrgOA cosOB .答 案 ： A6.如 图 ， 网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1， 粗 线 画 出 的 是 某 几 何 体 的 三 视 图 ， 则 该 几 何 体 的 表面 积 为 ( ) A.96B.80+4 2 C.96+4( 2 -1)D.96+4(2 2 -1)解 析 ： 由 三 视 图 可 知 几 何 体 为 边 长 为 4的 正 方 体 挖 去 一 个 圆 锥 得 到 的 ， 圆 锥 的 底 面 半 径
6、为 2，高 为 2， 圆 锥 的 母 线 长 为 2 2 ， 几 何 体 的 平 面 部 分 面 积 为 6 42- 22=96-4 ，圆 锥 的 侧 面 积 为 2 2 2 =4 2 ， 几 何 体 的 表 面 积 为 96-4 +4 2 .答 案 ： C7.已 知 角 的 终 边 经 过 点 P(-4， 3)， 函 数 f(x)=sin( x+ )( 0)的 图 象 的 相 邻 两 条 对 称轴 之 间 的 距 离 等 于 2 ， 则 f( 4 )的 值 为 ( )A. 35 B. 45C. 35D. 45解 析 ： 由 条 件 利 用 任 意 角 的 三 角 函 数 的 定 义 求 得
7、cos 和 sin 的 值 ， 再 根 据 周 期 性 求 得 的 值 ， 再 利 用 诱 导 公 式 求 得 f( 4 )的 值 .由 于 角 的 终 边 经 过 点 P(-4， 3)， 可 得 cos = 45 ， sin = 35 .再 根 据 函 数 f(x)=sin( x+ )( 0)的 图 象 的 相 邻 两 条 对 称 轴 之 间 的 距 离 等 于 2 ， 可 得 周 期 为 2 22 2 ， 求 得 =2， f(x)=sin(2x+ )， 4sin cos4 2 5 f .答 案 ： D8.已 知 程 序 框 图 如 图 所 示 ， 则 该 程 序 框 图 的 功 能 是 (
8、 ) A.求 数 列 1n 的 前 10 项 和 (n N*)B.求 数 列 12n 的 前 10 项 和 (n N*)C.求 数 列 1n 的 前 11 项 和 (n N*)D.求 数 列 12n 的 前 11 项 和 (n N*)解 析 ： 经 过 分 析 本 题 为 考 查 程 序 框 图 当 型 循 环 结 构 ， 按 照 循 环 体 的 特 点 先 判 断 出 数 列 ， 然 后根 据 判 断 框 的 语 句 判 断 出 计 算 的 项 数 .根 据 题 意 ，s=s+ 1n ， n=n+2 数 列 为 12n 又 K 10 计 算 的 是 求 数 列 12n 的 前 10 项 和
9、(n N*).答 案 ： B9.某 单 位 安 排 甲 、 乙 、 丙 三 人 在 某 月 1日 至 12 日 值 班 ， 每 人 4 天 .甲 说 ： 我 在 1 日 和 3日 都 有 值 班 ；乙 说 ： 我 在 8 日 和 9日 都 有 值 班 ；丙 说 ： 我 们 三 人 各 自 值 班 的 日 期 之 和 相 等 .据 此 可 判 断 丙 必 定 值 班 的 日 期 是 ( )A.2日 和 5日B.5日 和 6日 C.6日 和 11日D.2日 和 11日解 析 ： 由 题 意 ， 1 至 12 的 和 为 78， 因 为 三 人 各 自 值 班 的 日 期 之 和 相 等 ，所 以
10、三 人 各 自 值 班 的 日 期 之 和 为 26，根 据 甲 说 ： 我 在 1 日 和 3 日 都 有 值 班 ； 乙 说 ： 我 在 8 日 和 9 日 都 有 值 班 ， 可 得 甲 在 1、 3、10、 12日 值 班 ， 乙 在 8、 9、 2、 7或 8、 9、 4、 5，据 此 可 判 断 丙 必 定 值 班 的 日 期 是 6日 和 11 日 .答 案 ： C10.设 函 数 f(x)=ln(1+|x|)- 211x ， 则 使 得 f(x) f(2x-1)成 立 的 x 的 取 值 范 围 是 ( )A.(- ， 13 ) (1， + )B.(13 ， 1) C.( 13
11、 ， 13 )D.(- ， 13 ， ) ( 13 ， + )解 析 ： 根 据 函 数 的 奇 偶 性 和 单 调 性 之 间 的 关 系 ， 将 不 等 式 进 行 转 化 即 可 得 到 结 论 . 函 数 f(x)=ln(1+|x|)- 211x 为 偶 函 数 ，且 在 x 0 时 ， f(x)=ln(1+x)- 211x ，导 数 为 f (x) 21 2 01 1 2 xx x ，即 有 函 数 f(x)在 0， + )单 调 递 增 ， f(x) f(2x-1)等 价 为 f(|x|) f(|2x-1|)，即 |x| |2x-1|，平 方 得 3x2-4x+1 0，解 得 ：
12、13 x 1，所 求 x的 取 值 范 围 是 ( 13 ， 1).答 案 ： B11.设 F 1， F2是 双 曲 线 2 22 2 1 x ya b (a 0， b 0)的 左 、 右 两 个 焦 点 ， 若 双 曲 线 右 支 上 存 在 一点 P， 使 2 2 0 uuur uuur ug uurOP OF F P (O为 坐 标 原 点 )， 且 |PF1|= 3 |PF2|， 则 双 曲 线 的 离 心 率 为 ( )A. 2 12B. 2 +1 C. 3 12D. 3 +1解 析 ： 取 PF2的 中 点 A， 则 2 2 uuur uuur uurOP OF OA， 2 2 0
13、 uuur uuur ug uurOP OF F P ， 22 0urgu uuurOA F P ， 2uur uuurOA F P， O 是 F 1F2的 中 点 OA PF1， PF1 PF2， |PF1|= 3 |PF2|， 2a=|PF1|-|PF2|=( 3 -1)|PF2|， |PF 1|2+|PF2|2=4c2， c=|PF2|， 2 3 13 1 ce a .答 案 ： D12.若 函 数 f(x)=x 3-3x在 (a， 6-a2)上 有 最 小 值 ， 则 实 数 a的 取 值 范 围 是 ( )A.( 5 ， 1)B. 5 ， 1)C.-2， 1)D.(-2， 1)解 析
14、 ： 根 据 题 意 求 出 函 数 的 导 数 ， 因 为 函 数 f(x)在 区 间 (a， 6-a 2)上 有 最 小 值 ， 所 以 f (x)先 小 于 0 然 后 再 大 于 0， 所 以 结 合 二 次 函 数 的 性 质 可 得 ： a 1 5-a2， 进 而 求 出 正 确 的 答 案 .由 题 意 可 得 ： 函 数 f(x)=x3-3x，所 以 f (x)=3x2-3.令 f (x)=3x2-3=0可 得 ， x= 1，因 为 函 数 f(x)在 区 间 (a， 6-a2)上 有 最 小 值 ， 其 最 小 值 为 f(1)，所 以 函 数 f(x)在 区 间 (a， 6
15、-a2)内 先 减 再 增 ， 即 f (x)先 小 于 0 然 后 再 大 于 0，所 以 结 合 二 次 函 数 的 性 质 可 得 ： a 1 6-a 2，且 f(a)=a3-3a f(1)=-2， 且 6-a2-a 0，联 立 解 得 ： -2 a 1. 答 案 ： C二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 .13.曲 线 y=x2+ 1x 在 点 (1， 2)处 的 切 线 方 程 为 .解 析 ： 求 出 函 数 的 导 数 ， 求 出 切 线 的 斜 率 ， 利 用 点 斜 式 求 解 切 线 方 程 即 可 .曲 线 y=x
16、2+ 1x ， 可 得 y =2x- 21x ，切 线 的 斜 率 为 ： k=2-1=1.切 线 方 程 为 ： y-2=x-1， 即 ： x-y+1=0.答 案 ： x-y+1=014.已 知 P 是 ABC 所 在 平 面 内 一 点 ， 2 0 uur uuur uurPB PC PA ， 现 将 一 粒 黄 豆 随 机 撒 在 ABC内 ， 则 黄 豆 落 在 PBC内 的 概 率 是 .解 析 ： 根 据 向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则 ， 结 合 共 线 向 量 充 要 条 件 ， 得 点 P 是 ABC 边 BC 上的 中 线 AO的 中 点 .再 根 据 几
17、何 概 型 公 式 ， 将 PBC的 面 积 与 ABC的 面 积 相 除 可 得 本 题 的 答案 . 以 PB、 PC 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 PBDC， 则 uur uuur uuurPB PC PD ， 2 0 uur uuur uurPB PC PA ， 2 uur uuur uurPB PC PA ，得 ： 2uuur uurPD PA，由 此 可 得 ， P 是 ABC边 BC 上 的 中 线 AO的 中 点 ，点 P 到 BC 的 距 离 等 于 A 到 BC的 距 离 的 12 ， S PBC= 12 S ABC.将 一 粒 黄 豆 随 机 撒 在 ABC内 ，
18、黄 豆 落 在 PBC 内 的 概 率 为 12 VVPBCABCSP S .答 案 ： 1215.对 于 数 列 a n， 定 义 数 列 an+1-an为 数 列 an的 “ 差 数 列 ” ， 若 a1=1， an的 “ 差 数 列 ”的 通 项 公 式 为 an+1-an=2n， 则 数 列 an的 前 n项 和 Sn= .解 析 ： an+1-an=2n， an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+ +(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+2n-3+ +2+1 =1 21 2 n=2n-1， 数 列 an的 前 n 项 和 ：Sn=(2+22+ +
19、2n)-n= 2 1 21 2 n n=2 n+1-n-2.答 案 ： 2n+1-n-216.已 知 抛 物 线 C： y2=2px(p 0)的 焦 点 为 F， 过 点 F倾 斜 角 为 60 的 直 线 l 与 抛 物 线 C在 第一 、 四 象 限 分 别 交 于 A、 B 两 点 ， 则 AFBF 的 值 等 于 .解 析 ： 设 A(x 1， y1)， B(x2， y2)， 则 y12=2px1， y22=2px2，1 2 2 8sin 2 3 pAB x x p p， 即 有 1 2 53 x x p，由 直 线 l 倾 斜 角 为 60 ，则 直 线 l 的 方 程 为 ： 23
20、0 py x ，即 33 2 y x p ， 联 立 抛 物 线 方 程 ，消 去 y并 整 理 ， 得12x 2-20px+3p2=0，则 21 2 4 px x ， 可 得 1 32x p， 2 16x p，则 3 12 21 12 36 p pAFBF p p .答 案 ： 3三 、 解 答 题 (本 大 题 共 6 小 题 ， 共 70 分 .第 1721题 为 必 考 题 ， 每 小 题 12 分 ， 共 60分 ； 第22、 23题 为 选 考 题 ， 有 10分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .) 17.已 知 函 数 f(x)=A
21、sin( x+ )， x R， (其 中 A 0， 0， 2 2 )， 其 部 分 图 象如 图 所 示 . (1)求 函 数 f(x)的 解 析 式 .解 析 ： (1)根 据 图 象 ， 可 得 函 数 的 最 小 正 周 期 T=8， 结 合 周 期 公 式 得 = 4 .再 根 据 f(1)=1是 函 数 的 最 大 值 ， 列 式 可 解 出 的 值 ， 得 到 函 数 f(x)的 解 析 式 .答 案 ： (1)由 图 可 知 ， 最 小 正 周 期 T=(3-1) 4=8， 所 以 2 4 T .又 当 x=1时 ， f(x)有 最 大 值 为 1， f(1)=sin( 4 +
22、)=1， 得 24 2 k ， 取 k=0， 得 = 4 .所 以 函 数 的 解 析 式 为 sin 4 4 f x x . (2)已 知 横 坐 标 分 别 为 -1、 1、 5的 三 点 M、 N、 P 都 在 函 数 f(x)的 图 象 上 ， 求 sin MNP的 值 .解 析 ： (2)由 (1)的 解 析 式 ， 得 出 M、 N、 P 三 点 的 坐 标 ， 结 合 两 点 的 距 离 公 式 得 到 MN、 PN、PM 的 长 ， 用 余 弦 定 理 算 出 cos MNP 的 值 ， 最 后 用 同 角 三 角 函 数 平 方 关 系 ， 可 得 sin MNP的 值 .答
23、 案 ： (2) f(-1)=0， f(1)=1且 5 sin 5 14 4 f . 三 点 坐 标 分 别 为 M(-1， 0)， N(1， 1)， P(5， -1)，由 两 点 的 距 离 公 式 ， 得 |MN|= 5 ， |PN|=2 5 ， |MP|= 37 ， 根 据 余 弦 定 理 ， 得 5 20 37 3cos 52 5 2 5 MNP . MNP (0， ) sin MNP是 正 数 ， 得 2 4sin 1 cos 5 MNP MNP .18.如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， 底 面 ABCD为 平 行 四 边 形 ， DAB=60 ， AB=2AD， M 为
24、 AB的 中点 ， PAD为 等 边 三 角 形 ， 且 平 面 PAD 平 面 ABCD. (1)证 明 ： PM BC.解 析 ： (1)取 AD中 点 O， 连 接 PO， OM， DM， 证 明 BC 平 面 POM， 可 得 PM BC.答 案 ： (1)证 明 ： 取 AD 中 点 O， 连 接 PO， OM， DM，由 已 知 得 PO 平 面 ABCD， PO BC， DAB=60 ， AB=2AD， ADM是 正 三 角 形 ， OM AD， OM BD， OM= 12 BD， OM BC PO OM=O， BC 平 面 POM， PM平 面 POM， PM BC.(2)若
25、PD=1， 求 点 D到 平 面 PAB的 距 离 .解 析 ： (2)若 PD=1， 利 用 V P-ABD=VD-PAB， 可 求 点 D 到 平 面 PAB的 距 离 .答 案 ： (2) PD=1， DAB=60 ， AB=2AD=2PD=2， ABD是 直 角 三 角 形 ， BD AD， BD= 3 ， PO= 32 ， 1 13 4 V gP ABO ABDV S PO ，设 点 D到 平 面 P取 AB的 距 离 为 h，由 BD AD， BD PO， BD 平 面 ABD， BD PD， PBD是 直 角 三 角 形 ， PB=2，在 PBD中 ， PA=1， AB=PB=2
26、， PBD是 等 腰 三 角 形 ， S PAB= 154 ， 由 VP-ABD=VD-PAB， 可 得 1541 13 4g h ， h= 155 ， 点 D到 平 面 PAB的 距 离 为 155 .19.为 了 解 某 市 民 众 对 某 项 公 共 政 策 的 态 度 ， 在 该 市 随 机 抽 取 了 50名 市 民 进 行 调 查 ， 做 出 了 他 们 的 月 收 入 (单 位 ： 百 元 ， 范 围 ： 15， 75)的 频 率 分 布 直 方 图 ， 同 时 得 到 他 们 月 收 入 情 况以 及 对 该 项 政 策 赞 成 的 人 数 统 计 表 ： (1)求 月 收 入
27、 在 35， 45)内 的 频 率 ， 并 补 全 这 个 频 率 分 布 直 方 图 ， 并 在 图 中 标 出 相 应 纵 坐 标 .解 析 ： (1)根 据 频 率 的 定 义 ， 以 及 频 率 直 方 图 的 画 法 ， 补 全 即 可 .答 案 ： (1)1-0.01 10 3-0.02 10 2=0.3 (2)根 据 频 率 分 布 直 方 图 估 计 这 50人 的 平 均 月 收 入 .解 析 ： (2)根 据 平 均 数 的 定 义 ， 求 出 平 均 数 ， 并 用 样 本 估 计 总 体 即 可 .答 案 ： (2)20 0.1+30 0.2+40 0.3+50 0.2
28、+60 0.1+70 0.1=43(百 元 )即 这 50人 的 平 均 月 收 入 估 计 为 4300元 .(3)若 从 月 收 入 (单 位 ： 百 元 )在 65， 75的 被 调 查 者 中 随 机 选 取 2人 ， 求 2 人 都 不 赞 成 的 概率 .解 析 ： (3)根 据 古 典 概 型 概 率 公 式 ， 分 别 列 举 出 所 有 的 基 本 事 件 ， 再 找 到 满 足 条 件 的 基 本 事件 ， 计 算 即 可 .答 案 ： (3)65， 75的 人 数 为 5 人 ， 其 中 2 人 赞 成 ， 3人 不 赞 成 .记 赞 成 的 人 为 a， b， 不 赞
29、成 的 人 为 x， y， z任 取 2人 的 情 况 分 别 是 ： ab， ax， ay， az， bx， by， bz， xy， xz， yz 共 10种 情 况 .其 中 2人 都 不 赞 成 的 是 ： xy， yz， xz 共 3 种 情 况 . 2 人 都 不 赞 成 的 概 率 是 P= 310 .20.已 知 椭 圆 2 22 2 1 x ya b (a b 0)的 离 心 率 e= 32 ， 连 接 椭 圆 的 四 个 顶 点 得 到 的 菱 形 的 面积 为 4.(1)求 椭 圆 的 方 程 .解 析 ： (1)由 离 心 率 求 得 a 和 c 的 关 系 ， 进 而
30、根 据 c2=a2-b2求 得 a和 b的 关 系 ， 进 而 根 据 12 2a 2b=4求 得 a 和 b， 则 椭 圆 的 方 程 可 得 .答 案 ： (1)由 32 ce a ， 得 3a 2=4c2.再 由 c2=a2-b2， 解 得 a=2b. 由 题 意 可 知 12 2a 2b=4， 即 ab=2.解 方 程 组 22 a bab ， 得 21 ab .所 以 椭 圆 的 方 程 为 2 2 14 x y .(2)设 直 线 l 与 椭 圆 相 交 于 不 同 的 两 点 A， B， 已 知 点 A 的 坐 标 为 (-a， 0)， 点 Q(0， y 0)在 线段 AB 的
31、垂 直 平 分 线 上 ， 且 4uuurguur OBOA ， 求 y0的 值 .解 析 ： (2)由 (1)可 求 得 A 点 的 坐 标 ， 设 出 点 B 的 坐 标 和 直 线 l 的 斜 率 ， 表 示 出 直 线 l的 方 程与 椭 圆 方 程 联 立 ， 消 去 y， 由 韦 达 定 理 求 得 点 B的 横 坐 标 的 表 达 式 ， 进 而 利 用 直 线 方 程 求 得其 纵 坐 标 表 达 式 ， 表 示 出 |AB|进 而 求 得 k， 则 直 线 的 斜 率 可 得 .设 线 段 AB的 中 点 为 M， 当 k=0时 点 B的 坐 标 是 (2， 0)， 线 段
32、AB 的 垂 直 平 分 线 为 y轴 ， 进 而 根 据 4uuurguur OBOA 求 得 y 0； 当 k 0 时 ， 可 表 示 出 线 段 AB的 垂 直 平 分 线 方 程 ， 令 x=0 得 到 y0的 表 达 式 根 据 4uuurguur OBOA 求 得y0； 综 合 答 案 可 得 .答 案 ： (2)由 ( )可 知 点 A 的 坐 标 是 (-2， 0).设 点 B的 坐 标 为 (x1， y1)， 直 线 l 的 斜 率 为 k.则 直 线 l 的 方 程 为 y=k(x+2).于 是 A、 B 两 点 的 坐 标 满 足 方 程 组 2 2 214 y k xx
33、 y ，消 去 y并 整 理 ， 得 (1+4k 2)x2+16k2x+(16k2-4)=0，由 21 216 42 1 4 kx k ， 得 21 22 81 4 kx k ， 从 而 1 241 4 ky k ，所 以 2 22 22 2 22 8 4 12 1 4 1 4 1 4 k k kAB k k k ，设 线 段 AB 的 中 点 为 M，则 M 的 坐 标 为 ( 2 281 4 kk ， 221 4 kk ).以 下 分 两 种 情 况 ： 当 k=0时 ， 点 B 的 坐 标 是 (2， 0)，线 段 AB的 垂 直 平 分 线 为 y 轴 ，于 是 uurQA=(-2，
34、-y0)， uuurQB =(2， -y0).由 4uuurguur OBOA ， 得 y0= 2 2 . 当 k 0 时 ， 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 22 22 1 81 4 1 4 k ky xk k k .令 x=0， 解 得 y0= 261 4 kk .由 uurQA=(-2， -y0)， uuurQB =(x1， y1-y0)，得 21 0 1 0 2 2 2 22 2 8 6 4 62 1 4 1 4 1 4 1 4 uur uuurg k k k kQA QB x y y y k k k k 4 2224 16 15 1 41 4 k kk ， 整 理
35、得 7k2=2， 故 k= 147 ，所 以 y0= 2 145 .综 上 ， y0= 22 或 y0= 2 145 .21.已 知 函 数 f(x)=ax 3-x2+bx(a， b R， f (x)为 其 导 函 数 ， 且 x=3时 f(x)有 极 小 值 -9.(1)求 f(x)的 单 调 递 减 区 间 .解 析 ： (1)先 求 出 函 数 的 导 数 ， 得 到 方 程 组 ， 求 出 a， b， 从 而 求 出 函 数 表 达 式 ， 进 而 求 出 函数 的 单 调 区 间 .答 案 ： (1)由 f (x)=3ax2-2x+b， 因 为 函 数 在 x=3时 有 极 小 值
36、-9，所 以 27 6 027 9 3 9 a ba b ， 从 而 得 133 ba ，所 求 的 f(x)= 13 x 3-x2-3x， 所 以 f (x)=x2-2x-3，由 f (x) 0 解 得 -1 x 3，所 以 f(x)的 单 调 递 减 区 间 为 (-1， 3).(2)若 不 等 式 f (x) k(xlnx-1)-6x-4(k 为 正 整 数 )对 任 意 正 实 数 x 恒 成 立 ， 求 k 的 最 大值 .(解 答 过 程 可 参 考 使 用 以 下 数 据 ： ln7 1.95， ln8 2.08)解 析 ： (2)将 问 题 转 化 为 x+ 1k x +4-k
37、lnx 0， 记 g(x)=x+ 1k x +4-klnx， 通 过 求 导 得 到 函数 的 单 调 性 ， 从 而 有 g(x) g(k+1)=k+6-kln(k+1)， 问 题 转 化 为 k+6-kln(k+1) 0， 记 h(x)=1+ 6x -ln(x+1)， 通 过 求 导 得 到 函 数 h(x)的 单 调 性 ， 从 而 得 到 k 的 最 大 值 .答 案 ： (2)因 为 f (x)=x2-2x-3， 所 以 f (x) k(xlnx-1)-6x-4 等 价 于x2+4x+1 k(xlnx-1)， 即 x+ 1k x +4-klnx 0，记 g(x)=x+ 1k x +4
38、-klnx，则 g (x)= 21 1 x x kx ，由 g (x)=0， 得 x=k+1，所 以 g(x)在 (0， k+1)上 单 调 递 减 ， 在 (k+1， + )上 单 调 递 增 ，所 以 g(x) g(k+1)=k+6-kln(k+1)， g(x) 0 对 任 意 正 实 数 x恒 成 立 ，等 价 于 k+6-kln(k+1) 0， 即 1+ 6k -ln(k+1) 0，记 h(x)=1+ 6x -ln(x+1)，则 h (x)= 26 1 1 x x 0， 所 以 h(x)在 (0， + )上 单 调 递 减 ，又 h(6)=2-ln7 0， h(7)=137 -ln8
39、0，所 以 k的 最 大 值 为 6.请 考 生 在 第 22-23 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 .选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 22.在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C1的 参 数 方 程 为 2 2cos2sin xy ( 为 参 数 )， 曲 线 C2的 参数 方 程 为 2cos2 2sin xy ( 为 参 数 )， 以 O 为 极 点 ， x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 .(1)求 曲 线 C 1和 曲 线 C2的 极 坐 标 方 程 .解 析 ： (1
40、)曲 线 C1的 参 数 方 程 为 2 2cos2sin xy ( 为 参 数 )， 利 用 平 方 关 系 消 去 参 数 可 得曲 线 C1 的 直 角 坐 标 方 程 ， 利 用 互 化 公 式 可 得 曲 线 C1 极 坐 标 方 程 .曲 线 C2 的 参 数 方 程 为2cos2 2sin xy ( 为 参 数 )， 消 去 参 数 可 得 ： 曲 线 C2的 普 通 方 程 ， 利 用 互 化 公 式 可 得 C2极坐 标 方 程 . 答 案 ： (1)曲 线 C1的 参 数 方 程 为 2 2cos2sin xy ( 为 参 数 )，利 用 平 方 关 系 消 去 参 数 可
41、 得 ： 曲 线 C1的 普 通 方 程 为 (x-2)2+y2=4，展 开 可 得 ： x2+y2-4x=0，利 用 互 化 公 式 可 得 ： 2-4 cos =0， C1极 坐 标 方 程 为 =4cos .曲 线 C 2的 参 数 方 程 为 2cos2 2sin xy ( 为 参 数 )，消 去 参 数 可 得 ： 曲 线 C2的 普 通 方 程 为 x2+(y-2)2=4，展 开 利 用 互 化 公 式 可 得 C2极 坐 标 方 程 为 =4sin .(2)已 知 射 线 l1： = (0 2 )， 将 射 线 l1顺 时 针 旋 转 6 得 到 射 线 l2； = - 6 ，
42、且射 线 l 1与 曲 线 C1交 于 O， P两 点 ， 射 线 l2与 曲 线 C2交 于 O， Q两 点 ， 求 |OP| |OQ|的 最 大 值 .解 析 ： (2)设 点 P 极 点 坐 标 ( 1， 4cos )， 即 1=4cos .点 Q极 坐 标 为 ( 2， 4sin( - 6 )，即 2=4sin( - 6 ).代 入 |OP| |OQ|， 利 用 和 差 公 式 、 三 角 函 数 的 单 调 性 与 值 域 即 可 得 出 .答 案 ： (2)设 点 P 极 点 坐 标 ( 1， 4cos )， 即 1=4cos .点 Q 极 坐 标 为 ( 2， 4sin( - 6
43、 )， 即 2=4sin( - 6 ).则 1 2 14cos 4sin 16cos sin cos6 232 g g gOP OQ8sin 2 46 . (0， 2 )， 2 - 6 ( 6 ， 56 )，当 2 6 2 ， 即 = 3 时 ， |OP| |OQ|取 最 大 值 4. 选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 .23.设 不 等 式 -2 |x-1|-|x+2| 0的 解 集 为 M， 且 a， b M.(1)证 明 ： 1 1 13 6 4 a b . 解 析 ： (1)由 绝 对 值 不 等 式 的 解 法 ， 运 用 绝 对 值 的 意 义 ， 可 得 1 12 2 x ，
44、 则 |a| 12 ， |b| 12 ， 再 由 绝 对 值 不 等 式 的 性 质 ， 即 可 得 证 .答 案 ： (1)证 明 ： -2 |x-1|-|x+2| 0，可 得 |x-1| |x+2|， 即 有 x2-2x+1 x2+4x+4，解 得 x 12 ，则 x+2 0， 可 得 -2 |x-1|-(x+2)，即 有 x |x-1|， 可 得 x-1 x或 x-1 -x，解 得 1 12 2 x ，则 |a| 12 ， |b| 12 ，1 1 1 1 1 1 1 13 6 3 6 3 6 2 4 a b a b .(2)比 较 |1-4ab|与 2|a-b|的 大 小 ， 并 说 明
45、 理 由 .解 析 ： (2)运 用 作 差 法 ， 可 得 ： |1-4ab|2-4|a-b|2， 由 平 方 差 公 式 ， 分 解 因 式 ， 结 合 a， b 的范 围 ， 即 可 得 到 所 求 大 小 关 系 .答 案 ： (2)|1-4ab| 2|a-b|.理 由 ： |1-4ab| 2-4|a-b|2=(1-4ab-2a+2b)(1-4ab+2a-2b)=(1-2a)(1+2b)(1+2a)(1-2b)=(1-4a2)(1-4b2)，由 |a| 12 ， |b| 12 ， 可 得4a2 1， 4b2 1，则 (1-4a2)(1-4b2) 0，可 得 |1-4ab| 2|a-b|.
