1、2018年 吉 林 省 吉 林 市 高 考 三 模 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 60 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一个 是 符 合 题 目 要 求 .1.设 全 集 U=Z， A=-1， 1， 3， 5， 7， 9， B=-1， 5， 7， 则 A (CUB)=( )A.1， 3， 9B.-1， 5， 7C.-1， 1， 3， 9D.-1， 1， 3， 5， 9解 析 ： 进 行 交 集 、 补 集 的 运 算 即 可 .C UB =x Z|x -1， 且 x 5， 且 x 7， A (CUB
2、)=1， 3， 9.答 案 ： A2.已 知 复 数 1 iz i (i为 虚 数 单 位 )， 则 z的 虚 部 为 ( )A. 12 iB. 12 iC. 12 D. 12解 析 ： 直 接 利 用 复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 化 简 得 答 案 . 1 121 1 211 i iiz ii i i ， z 的 虚 部 为 12 .答 案 ： C3.已 知 命 题 p： x 0 R， x02+2 3x0， 则 命 题 p 的 否 定 为 ( )A. p： x0 R， x02+2 3x0B. p： x R， x2+2 3xC. p： x R， x2+2 3xD. p： x 0
3、 R， x02+2 3x0 解 析 ： 运 用 特 称 命 题 的 否 定 为 全 称 命 题 ， 以 及 量 词 和 不 等 号 的 变 化 ， 即 可 得 到 所 求 命 题 的 否定 .由 特 称 命 题 的 否 定 为 全 称 命 题 ， 可 得 x0 R， x02+2 3x0，则 命 题 p 的 否 定 为 ： x R， x2+2 3x.答 案 ： B4.下 列 各 组 向 量 中 ， 可 以 作 为 基 底 的 是 ( )A. 1ure =(0， 0)， 2ure =(1， -2)B. 1ure =(2， -3)， 2ure =( 12 ， 34 ) C. 1ure =(3， 5)
4、， 2ure =(6， 10)D. 1ure =(-1， 2)， 2ure =(5， 7)解 析 ： 不 共 线 的 向 量 可 作 基 底 ， 由 向 量 共 线 的 条 件 逐 个 选 项 判 断 即 可 .选 项 A， 可 得 0 (-2)-0 1=0， 故 1ure 2ure ， 不 可 作 基 底 ， 故 错 误 ；选 项 B， 可 得 2 ( 34 )-(-3) 12 =0， 故 1ure 2ure ， 不 可 作 基 底 ， 故 错 误 ；选 项 C， 可 得 3 10-5 6=0， 故 1ure 2ure ， 不 可 作 基 底 ， 故 错 误 ；选 项 D， 可 得 -1 7
5、-2 5 0， 故 1ure ， 2ure 不 平 行 ， 故 可 作 基 底 ， 故 正 确 . 答 案 ： D5.设 x， y 满 足 约 束 条 件 3 002 x yx yx ， 则 z=3x+y 的 最 小 值 是 ( )A.-5B.4C.-3D.11解 析 ： 作 出 约 束 条 件 对 应 的 平 面 区 域 ， 利 用 线 性 规 划 的 知 识 ， 通 过 平 移 即 可 求 z的 最 小 值 . 作 出 约 束 条 件 3 002 x yx yx 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： 由 z=3x+y， 得 y=-3x+z，平 移 直 线 y=-3x+z， 由 图 象 可
6、 知 当 直 线 y=-3x+z， 经 过 点 A 时 ， 直 线 y=-3x+z的 截 距 最 小 ，此 时 z最 小由 3 00 x yx y ， 解 得 A( 32 ， 32 )，此 时 z的 最 小 值 为 3 323 32 z .答 案 ： C6.已 知 等 差 数 列 a n的 公 差 不 为 0， a1=1， 且 a2， a4， a8成 等 比 数 列 ， 设 an的 前 n 项 和 为 Sn，则 Sn=( )A. 12n nB. 212nC. 2 12nD. 34n n 解 析 ： 利 用 等 差 数 列 的 通 项 公 式 与 求 和 公 式 以 及 等 比 数 列 的 性
7、质 即 可 得 出 .设 等 差 数 列 an的 公 差 d 0， a1=1， 且 a2， a4， a8成 等 比 数 列 ， a42=a2 a8， 即 (1+3d)2=(1+d)(1+7d)， 解 得 d=1， 或 0(舍 去 ).则 1 12 2 n n n n nS n .答 案 ： A 7.以 抛 物 线 y2=8x上 的 任 意 一 点 为 圆 心 作 圆 与 直 线 x=-2 相 切 ， 这 些 圆 必 过 一 定 点 ， 则 这 一定 点 的 坐 标 是 ( )A.(0， 2)B.(2， 0)C.(4， 0)D.(0， 4)解 析 ： 先 根 据 抛 物 线 的 标 准 方 程
8、表 示 出 其 准 线 方 程 ， 然 后 根 据 已 知 条 件 和 抛 物 线 的 定 义 即 可求 解 . 抛 物 线 y 2=8x的 准 线 方 程 为 x=-2， 由 题 可 知 动 圆 的 圆 心 在 y2=8x上 ， 且 恒 与 抛 物 线 的 准 线 相 切 ，由 定 义 可 知 ， 动 圆 恒 过 抛 物 线 的 焦 点 (2， 0).答 案 ： B8.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 当 输 出 S=210时 ， 则 输 入 n的 值 为 ( ) A.6B.7C.8D.9解 析 ： 模 拟 程 序 的 运 行 ， 可 得 程 序 框 图 的 功 能 ， 结 合
9、 已 知 进 而 计 算 得 解 n 的 值 .由 题 意 ， 模 拟 执 行 程 序 ， 可 得 程 序 框 图 的 功 能 是 计 算 S=n (n-1) 5 的 值 ，由 于 S=210=7 6 5，可 得 ： n=7， 即 输 入 n 的 值 为 7.答 案 ： B9.如 图 ， 网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1， 粗 实 线 画 出 的 是 某 几 何 体 的 三 视 图 ， 则 该 几 何 体 的体 积 为 ( ) A.143B.103C.83D. 53解 析 ： 由 题 意 ， 该 几 何 体 是 由 一 个 半 圆 柱 与 一 个 半 球 组 成 的 组 合
10、体 ， 其 中 半 圆 柱 的 底 面 半 径为 1， 高 为 4， 半 球 的 半 径 为 1， 即 可 求 出 几 何 体 的 体 积 .由 题 意 ， 该 几 何 体 是 由 一 个 半 圆 柱 与 一 个 半 球 组 成 的 组 合 体 ，其 中 半 圆 柱 的 底 面 半 径 为 1， 高 为 4， 半 球 的 半 径 为 1，几 何 体 的 体 积 为 3 21 12 24 81 1 43 3 . 答 案 ： C10.已 知 锐 角 满 足 cos( - 4 )=cos2 ， 则 sin cos 等 于 ( )A. 14B. 14C. 24 D. 24解 析 ： 由 cos( -
11、4 )=cos2 ， 得2 2cos cos sin sin cos sin4 4 ， 22 (sin +cos )=(sin +cos )(cos -sin )， (0， 2 )， sin +cos 0，则 cos -sin = 22 .两 边 平 方 得 ： 1-2sin cos = 12 ， sin cos = 14 .答 案 ： A11.朱 世 杰 是 历 史 上 最 伟 大 的 数 学 家 之 一 ， 他 所 著 的 四 元 玉 鉴 卷 中 “ 如 像 招 数 ” 五 问 有 如 下 问 题 ： “ 今 有 官 司 差 夫 一 千 八 百 六 十 四 人 筑 堤 .只 云 初 日 差
12、 六 十 四 人 ， 次 日 转 多 七 人 ， 每人 日 支 米 三 升 ， 共 支 米 四 百 三 石 九 斗 二 升 ， 问 筑 堤 几 日 ” .其 大 意 为 ： “ 官 府 陆 续 派 遣 1864人 前 往 修 筑 堤 坝 ， 第 一 天 派 出 64人 ， 从 第 二 天 开 始 ， 每 天 派 出 的 人 数 比 前 一 天 多 7 人 ， 修筑 堤 坝 的 每 人 每 天 分 发 大 米 3 升 ， 共 发 出 大 米 40392升 ， 问 修 筑 堤 坝 多 少 天 ” .这 个 问 题 中 ，前 5 天 应 发 大 米 ( )A.894升B.1170升C.1275米D.
13、1467米解 析 ： 先 利 用 等 差 数 列 通 项 公 式 求 出 第 5天 派 出 的 人 数 ， 再 利 用 等 差 数 列 前 n项 和 公 式 求 出前 5 天 一 共 派 出 多 少 人 ， 由 此 能 求 出 结 果 . 第 一 天 派 出 64人 ， 从 第 二 天 开 始 ， 每 天 派 出 的 人 数 比 前 一 天 多 7 人 ， 第 5天 派 出 ： 64+4 7=92人 ， 前 5天 共 派 出 S5= 52 (64+92)=390(人 )， 前 5天 应 发 大 米 ： 390 3=1170(升 ).答 案 ： B12.对 于 定 义 域 为 R 的 函 数 f
14、(x)， 若 同 时 满 足 下 列 三 个 条 件 ： f(0)=0； 当 x R， 且 x0 时 ， 都 有 xf (x) 0； 当 x1 0 x2， 且 |x1|=|x2|时 ， 都 有 f(x1) f(x2)， 则 称 f(x)为“ 偏 对 称 函 数 ” .现 给 出 下 列 三 个 函 数 ：f 1(x)=-x3+ 32 x2， f2(x)=ex-x-1， f3(x)= ln 1 02 0 ， x xx x则 其 中 是 “ 偏 对 称 函 数 ” 的 函 数 个 数 为 ( )A.0B.1C.2D.3解 析 ： 逐 个 条 件 进 行 验 证 ： 首 先 可 验 证 四 个 函
15、数 都 满 足 条 件 ； 对 于 条 件 ， 若 f (x)的符 号 容 易 判 断 ， 可 验 证 不 等 式 xf (x) 0 成 立 ， 若 f (x)的 符 号 不 容 易 判 断 ， 可 理 解 到 为 函 数 在 区 间 (- ， 0)上 单 调 递 减 ， 在 区 间 (0， + )上 单 调 递 增 ， 通 过 函 数 的 单 调 性 进 行 判 断 ，可 排 除 不 满 足 条 件 的 f2(x)； 对 剩 余 的 函 数 验 证 条 件 ， 由 此 能 求 出 结 果 . xf (x) 0， 0 0 xf x ， 或 0 0 xf x .即 条 件 等 价 于 函 数 f
16、(x)在 区 间 (- ， 0)上 单 调 递 减 ， 在 区 间 (0， + )上 单 调 递 增 .对 于 f 1(x)=-x3+ 32 x2， f1(0)=0， 满 足 条 件 f(0)=0；f1 (x)=-3x2+3x， 由 f1 (x) 0， 得 0 x 1， 由 f1 (x) 0， 得 x 0或 x 1， f1(x)=-x3+ 32 x2的 减 区 间 是 (- ， 0)， (1， + )； 增 区 间 是 (0， 1)， 不 满 足 .故 f1(x)=-x3+ 32 x2不 是 “ 偏 对 称 函 数 ” ；对 于 f 2(x)=ex-x-1， f2(0)=e0-0-1=0， 满
17、 足 条 件 f(0)=0；f2 (x)=ex-1， 由 f2 (x) 0， 得 x 0， 由 f2 (x)=ex-1 0， 得 x 0， f2(x)=ex-x-1的 减 区 间 为 (- ， 0)， 增 区 间 为 (0， + )， 满 足 条 件 ；当 x1 0 x2， 且 |x1|=|x2|时 ， 2 1 2 22 22 1 2 1 2 2 21 11 1 1 1 2 x x x xx xf x f x e x e x e x x e xe e，设 1 2 x xg x e xe ， 则 1 2 xg x ex e ，当 x 0 时 ， g (x) 0， g(x)是 增 函 数 ， 2
18、22 1 21 2 0 x xf x f x e xe ， f(x1) f(x2)， 满 足 ，故 f2(x)=ex-x-1为 “ 偏 对 称 函 数 ” ；对 于 f3(x)= ln 1 02 0 ， x xx x ， f3(0)=ln1=0， 满 足 条 件 f(0)=0；f 3(x)= ln 1 02 0 ， x xx x ， 由 复 合 函 数 的 单 调 性 法 则 知 ：f3(x)在 区 间 (- ， 0)上 单 调 递 减 ， 在 (0， + )上 单 调 递 增 ， 满 足 条 件 .由 函 数 f3(x)= ln 1 02 0 ， x xx x 的 单 调 性 知 ： 当 x
19、1 0 x2， 且 |x1|=|x2|时 ， 都 有 f(x1)f(x2)， 满 足 条 件 ， f 3(x)是 “ 偏 对 称 函 数 ” .答 案 ： C二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4个 小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 20分 .13.学 校 艺 术 节 对 A， B， C， D四 件 参 赛 作 品 只 评 一 件 一 等 奖 ， 在 评 奖 揭 晓 前 ， 甲 ， 乙 ， 丙 ， 丁 四 位 同 学 对 这 四 件 参 赛 作 品 预 测 如 下 ： 甲 说 ： “ 是 C 或 D 作 品 获 得 一 等 奖 ” ； 乙 说 ： “ B 作品 获 得 一 等 奖 ”
20、； 丙 说 ： “ A， D两 件 作 品 未 获 得 一 等 奖 ” ； 丁 说 ： “ 是 C 作 品 获 得 一 等 奖 ” .评 奖 揭 晓 后 ， 发 现 这 四 位 同 学 中 只 有 两 位 说 的 话 是 对 的 ， 则 获 得 一 等 奖 的 作 品 是 .解 析 ： 根 据 学 校 艺 术 节 对 同 一 类 的 A， B， C， D四 项 参 赛 作 品 ， 只 评 一 项 一 等 奖 ， 故 假 设 A，B， C， D 分 别 为 一 等 奖 ， 判 断 甲 、 乙 、 丙 、 丁 的 说 法 的 正 确 性 ， 即 可 判 断 .若 A 为 一 等 奖 ， 则 甲 ，
21、 丙 ， 丁 的 说 法 均 错 误 ， 故 不 满 足 题 意 ；若 B 为 一 等 奖 ， 则 乙 ， 丙 说 法 正 确 ， 甲 ， 丁 的 说 法 错 误 ， 故 满 足 题 意 ；若 C 为 一 等 奖 ， 则 甲 ， 丙 ， 丁 的 说 法 均 正 确 ， 故 不 满 足 题 意 ；若 D 为 一 等 奖 ， 则 只 有 甲 的 说 法 正 确 ， 故 不 合 题 意 .故 若 这 四 位 同 学 中 只 有 两 位 说 的 话 是 对 的 ， 则 获 得 一 等 奖 的 作 品 是 B.答 案 ： B 14.函 数 42 y x x (x 0)的 最 大 值 为 .解 析 ： 根
22、 据 基 本 不 等 式 的 性 质 即 可 得 到 ， 关 键 是 等 号 成 立 的 条 件 .即 4x x .问 题 得 以 解 决 .4 4 42 2 2 2 2 4 2 gy x x xx x x ， 当 且 仅 当 x=2时 取 等 号 .所 以 函 数 42 y x x (x 0)的 最 大 值 为 -2.答 案 ： -215.已 知 ， 是 平 面 ， m， n是 直 线 ， 给 出 下 列 命 题 ： 若 m ， m ， 则 若 m ， n ， m ， n ， 则 如 果 m ， n ， m， n 是 异 面 直 线 ， 则 n 与 相 交 若 =m.n m， 且 n ， n
23、 ， 则 n ， 且 n 其 中 正 确 确 命 题 的 序 号 是 (把 正 确 命 题 的 序 号 都 填 上 )解 析 ： 由 面 面 垂 直 的 判 定 理 判 断 .若 m ， m ， 则 ， 由 面 面 垂 直 的 判 定 理 知 正 确 . 由 面 面 平 行 判 定 定 理 判 断 .若 m ， n ， m ， n ， 则 ； 两 条 相 交 直 线 才 行 ， 不 正 确 . 也 可 能 平 行 .如 果 m ， n ， m， n 是 异 面 直 线 ， 则 n 与 相 交 ； 也 可 能 平 行 ， 不 正 确 . 若 由 线 面 平 行 的 判 定 定 理 判 断 .若
24、=m.n m， 且 n ， n ， 则 n ， 且 n 由 线 面 平 行 的 判 定 定 理 知 正 确 .答 案 ： 16.等 比 数 列 an的 首 项 为 32 ， 公 比 为 12 ， 前 n 项 和 为 Sn， 则 当 n N*时 ， 1n nS S 的 最 大值 与 最 小 值 的 比 值 为 . 解 析 ： 由 题 意 ， 11 1 21 11 13 12 12 2212 ， 为 奇 数， 为 偶 数n n nn n nS n ，n为 奇 数 时 ， Sn随 着 n 的 增 大 而 减 少 ， 所 以 1 321 nS S ， 故 10 56 n nS S ；n为 偶 数 时
25、， S n随 着 n 的 增 大 而 增 大 ， 所 以 2 341 nS S ， 故 1 70 12 n nS S ；所 以 数 列 1n nS S 的 最 大 项 的 值 与 最 小 项 的 值 的 比 值 为 107 71256 .答 案 ： 107三 、 解 答 题 ： 共 70 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .第 1721 题 为 必 考 题 ，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 .第 22、 23 题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 作 答 .(一 )必 考 题 ： 每 题 12分 ， 共 60 分 . 17.
26、在 ABC中 ， 角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 为 a， b， c， 满 足 ： ABC的 外 心 在 三 角 形 内 部(不 包 括 边 )； (b2-a2-c2)sin(B+C)= 3 accos(A+C).( )求 A 的 大 小 .解 析 ： ( )利 用 已 知 条 件 结 合 余 弦 定 理 ， 转 化 求 解 即 可 .答 案 ： ( )因 为 ABC的 外 心 在 三 角 形 内 部 (不 包 括 边 )， 所 以 ABC为 锐 角 三 角 形 ；由 余 弦 定 理 得 ： b 2=a2+c2-2accosB移 项 ： b2-a2-c2=-2accosB代 入 条
27、 件 得 ： -2accosBsin(B+C)= 3 accos(A+C)， -2cosBsin( -A)= 3 cos( -B)，即 ： 2cosBsinA= 3 cosB，因 为 ABC为 锐 角 三 角 形 ， 所 以 cosB 0， 则 有 ： sinA= 32 ， A= 3 . ( )求 代 数 式 b ca 的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )由 正 弦 定 理 以 及 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 结 合 函 数 的 最 值 求 解 即 可 .答 案 ： ( )由 正 弦 定 理 得 ： sin sinsin b c B Ca A ， A+B+C= 且 A= 3 ，
28、 C= 23 -B， 代 入 上 式 化 简 得 ：2sin sin 3sinsin cos3 3 32 6 2sinsin sin s2 in 6 B B BB Bb c Ba A A A ，又 ABC为 锐 角 三 角 形 ， 则 有 ：00 22 2 6 200 3 22 BB BBC ， 23 6 3 B ， 则 有 sin 1632 B ，即 ： 3 2 b ca .18.“ 共 享 单 车 ” 的 出 现 ， 为 我 们 提 供 了 一 种 新 型 的 交 通 方 式 .某 机 构 为 了 调 查 人 们 对 此 种 交通 方 式 的 满 意 度 ， 从 交 通 拥 堵 不 严 重
29、 的 A 城 市 和 交 通 拥 堵 严 重 的 B 城 市 分 别 随 机 调 查 了 20个 用 户 ， 得 到 了 一 个 用 户 满 意 度 评 分 的 样 本 ， 并 绘 制 出 茎 叶 图 如 图 ： 参 考 数 据 如 下 ： (下 面 临 界 值 表 供 参 考 )(参 考 公 式 22 n ad bcK a b c d a c b d ， 其 中 n=a+b+c+d) ( )根 据 茎 叶 图 ， 比 较 两 城 市 满 意 度 评 分 的 平 均 值 的 大 小 及 方 差 的 大 小 (不 要 求 计 算 出 具 体值 ， 给 出 结 论 即 可 ).解 析 ： ( )根
30、 据 茎 叶 图 的 数 据 即 可 判 断 .答 案 ： ( )A城 市 评 分 的 平 均 值 小 于 B城 市 评 分 的 平 均 值 ，A城 市 评 分 的 方 差 大 于 B城 市 评 分 的 方 差 .( )若 得 分 不 低 于 80分 ， 则 认 为 该 用 户 对 此 种 交 通 方 式 “ 认 可 ” ， 否 则 认 为 该 用 户 对 此 种 交通 方 式 “ 不 认 可 ” ， 请 根 据 此 样 本 完 成 此 2 2 列 联 表 ， 并 据 此 样 本 分 析 是 否 有 95%的 把 握 认为 城 市 拥 堵 与 认 可 共 享 单 车 有 关 . 解 析 ： (
31、 )由 题 意 做 出 2 2 列 联 表 ， 根 据 公 式 计 算 即 可 判 断 .答 案 ： ( )2 2列 联 表 2 2列 联 表 22 40 5 10 10 15 8 3.84120 20 15 25 3 x ，所 以 没 有 95%的 把 握 认 为 城 市 拥 堵 与 认 可 共 享 单 车 有 关 .( )在 A， B 城 市 对 此 种 交 通 方 式 “ 认 可 ” 的 用 户 中 按 照 分 层 抽 样 的 方 法 抽 取 6人 ， 若 在 此6人 中 推 荐 2 人 参 加 “ 单 车 维 护 ” 志 愿 活 动 ， 求 A 城 市 中 至 少 有 1人 的 概 率
32、 .解 析 ： ( )根 据 分 层 抽 样 ， 求 解 出 人 数 ， 写 基 本 事 件 ， 即 可 求 解 .答 案 ： ( )A市 抽 取 5 6 25 10 人 ， 设 为 x， y；B市 抽 取 10 6 45 10 人 ， 设 为 a， b， c， d，基 本 事 件 共 有 ： xy， xa， xb， xc， xd， ya， yb， yc， yd， ab， ac， ad， bc， bd， cd 共 15 个 ，设 “ A市 至 少 有 1 人 ” 为 事 件 M， 则 事 件 M 包 含 的 基 本 事 件 为 ： xy， xa， xb， xc， xd， ya， yb， yc，
33、 yd 共 9个 ，所 以 P(M) 9 315 5 .19.在 如 图 如 示 的 多 面 体 中 ， 平 面 AEFD 平 面 BEFC， 四 边 形 AEFD是 边 长 为 2 的 正 方 形 ， EF BC， 且 BE=CF= 12 BC=2. ( )若 M， N 分 别 是 AE， CF 中 点 ， 求 证 ： MN 平 面 ABCD.解 析 ： ( )在 平 面 CDF中 ， 作 NH CF， 连 接 AH， 可 得 AMNH是 平 行 四 边 形 .则 MN AH.即 可由 线 面 平 行 的 判 定 得 MN 平 面 ABCD.答 案 ： ( )证 明 ： 在 平 面 CDF中
34、 ， 作 NH CF， 连 接 AH， M、 N分 别 是 AE、 CF的 中 点 ， 且 AEFD是 正 方 形 NH DF， NH= 12 DF，AM DF， AM= 12 DF， NH=AM， NH AM， AMNH是 平 行 四 边 形 . MN AH. AH平 面 ABCD， MN平 面 ABCD， MN 平 面 ABCD.( )求 此 多 面 体 ABCDEF 的 体 积 .解 析 ： ( )由 多 面 体 ABCDEF 的 体 积 V=V D-BCF+VB-AEFD求 解 .答 案 ： ( )连 接 BD， BF， 过 F作 FG EF， 交 BC于 点 G， 四 边 形 BEF
35、C 是 等 腰 梯 形 ， CG= 12 (BC-EF)=1， FG= 3 ， 平 面 AEFD 平 面 BEFC， GF 平 面 AEFD， DF 平 面 BEFC. 1 1 1 4 4 333 3 2 32 V gD BCF BCFV S DF .1 1 4 333 2 23 3 gB AEFD AEFDV S HF . 多 面 体 ABCDEF的 体 积 V=VD-BCF+VB-AEFD= 8 33 .20.已 知 椭 圆 C： 2 22 2 1 x ya b (a b 0)的 离 心 率 是 32 ， 且 椭 圆 经 过 点 (0， 1).( )求 椭 圆 C 的 标 准 方 程 .解
36、 析 ： ( )由 椭 圆 的 离 心 率 公 式 可 求 得 a 和 b 的 值 ， 求 得 椭 圆 方 程 .答 案 ： ( )Q椭 圆 经 过 点 (0， 1)， 21b =1， b 2=1， e= 32 ， 22 21 34 be a ，解 得 a 2=4，椭 圆 C的 标 准 方 程 为 2 2 14 x y .( )若 直 线 l1： x+2y-2=0与 圆 D： x2+y2-6x-4y+m=0 相 切 ： ( )求 圆 D的 标 准 方 程 .( )若 直 线 l2过 定 点 (3， 0)， 与 椭 圆 C 交 于 不 同 的 两 点 E， F， 与 圆 D交 于 不 同 的 两
37、 点 M， N，求 |EF| |MN|的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )(i)由 题 意 求 得 直 线 l1方 程 ， 将 圆 转 化 成 标 准 方 程 ， 利 用 点 圆 心 到 直 线 的 距 离 公式 ， 求 得 半 径 ， 即 可 求 得 圆 D的 标 准 方 程 .(ii)设 l2： y=k(x-3)， 代 入 椭 圆 方 程 ， 利 用 韦 达 定 理 及 弦 长 公 式 求 得 |EF| |MN|， 根 据 二 次函 数 的 单 调 性 即 可 求 得 |EF| |MN|的 取 值 范 围 .答 案 ： ( )(i)由 (1)得 直 线 l 1的 方 程 为 2x +y
38、=1， 即 x+2y-2=0，又 圆 D的 标 准 方 程 为 (x-3)2+(y-2)2=13-m， 圆 心 为 (3， 2)， 圆 的 半 径 2 23 2 2 2 51 2 r ， 圆 D的 标 准 方 程 为 (x-3)2+(y-2)2=5.(ii)由 题 可 得 直 线 l 2的 斜 率 存 在 ，设 l2： y=k(x-3)， 与 椭 圆 C 的 两 个 交 点 为 E(x1， y1)、 F(x2， y2)，由 2 2 314 y k xx y 消 去 y 得 (1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0，由 0， 得 0 k 2 15 ， 21 2 2241 4 kx x k
39、 ， 21 2 236 41 4 kx x k ， 22 22 222 2 21 2 1 2 2 2 21 1 524 36 11 4 1 1 41 4 1 4 1 4 g g k kk kEF k x x x x k k k k k.又 圆 D的 圆 心 (3， 2)到 直 线 l 2： kx-y-3k=0的 距 离 2 23 2 3 21 1 k kd k k ， 圆 D截 直 线 l2所 得 弦 长 22 2 25 12 2 1 kMN r d k ， 2 2 2 42 2 21 1 5 5 1 1 254 2 81 4 1 1 4 g k k k kEF MN k k k ，设 t=1
40、+4k 2 1， 95 )， k2= 14t ， 2 22 11 25 1 5048 2 9 25 g tEF MN t t t ， t 1， 95 )， 21 509 25 t t (0， 16， |EF| |MN|的 取 值 范 围 (0， 8.21.已 知 函 数 2 xx ax af x e (x 0， a R).( )当 a=1时 ， 求 函 数 f(x)的 极 值 .解 析 ： ( )求 出 函 数 的 导 数 ， 解 关 于 导 函 数 的 不 等 式 ， 求 出 函 数 的 单 调 区 间 和 极 值 即 可 .答 案 ： ( )当 a=1时 ， 1 2 xx xf x e (
41、x 0)， x (0， 1)， (2， + )时 ， f (x) 0； x (1， 2)时 ， f (x) 0，所 以 f(x)在 区 间 (0， 1)， (2， + )上 为 增 函 数 ， 在 区 间 (1， 2)上 为 减 函 数 ，所 以 f(x)在 (0， + )上 有 极 大 值 f(1)= 1e ， 极 小 值 f(2)= 23e .( )设 1 f x f xg x x ， 若 函 数 g(x)在 (0， 1) (1， + )内 有 两 个 极 值 点 x 1， x2，求 证 ： g(x1) g(x2) 24e .解 析 ： ( )求 出 函 数 的 导 数 ， 设 h(x)=
42、2x2-(2+a)x+2， 结 合 二 次 函 数 的 性 质 得 到 关 于 a 的 范围 ， 从 而 证 明 不 等 式 .答 案 ： ( )证 明 ： 2 1 xx ag x x e ， 2 22 2 21 xx a xg x x e ，设 h(x)=2x 2-(2+a)x+2，由 已 知 h(x)=0 在 (0， 1)， (1， + )上 有 两 个 不 相 等 的 实 根 x1， x2，所 以 21 21 2 2 16 02 021 0 V a ax xx x ， 解 得 ： a 2，而 1 不 能 是 方 程 的 根 ， 即 a 2， 综 上 a 2， 1 221 2 1 21 2
43、 2 21 2 1 2 2 24 2 2 2 41 22 2 g a ax xx x a x x a ag x g x x x x x e a e ， a 2， g(x1) g(x2) 2 224 4 a ee .(二 )选 考 题 ： 共 10 分 .请 考 生 在 第 22、 23题 中 任 选 一 题 作 答 .如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题计 分 .选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 22.在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 直 线 l的 参 数 方 程 为 222 221 x ty t (t为 参 数 )， 以 原 点 为 极 点 ， x轴 的
44、正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C的 极 坐 标 方 程 为 2 co 52 6s 4 a a .( )分 别 写 出 直 线 l的 普 通 方 程 与 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 .解 析 ： ( )直 接 利 用 转 换 关 系 式 ， 把 参 数 方 程 和 极 坐 标 方 程 与 直 角 坐 标 方 程 进 行 转 化 .答 案 ： ( )直 线 l 的 参 数 方 程 为 222 221 x ty t (t为 参 数 )，求 出 直 线 l的 普 通 方 程 为 y=x-3.由 2 co 52 6s 4 a a ， 得 2 2 22 22 2
45、cos sin a ，即 x2+y2=2ax-2ay，(x-a)2+(y+a)2=2a2即 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 (x-a)2+(y+a)2=2a2.( )已 知 点 P(2， -1)， 直 线 l 与 曲 线 C 相 交 于 M， N 两 点 ， 若 |MN|2=6|PM| |PN|， 求 a 的 值 .解 析 ： ( )利 用 根 和 系 数 的 关 系 求 出 结 果 .答 案 ： ( )设 M， N 两 点 对 应 参 数 分 别 为 t 1， t2，将 直 线 222 221 x ty t 代 入 到 圆 的 方 程 x2+y2=2ax-2ay中t 2+ 2 t
46、+5-6a=0， 所 以 t1+t2= 2 ， t1t2=5-6a.因 为 |MN|2=6|PM|PN|，所 以 (t1-t2)2=6|t1t2|.因 为 a 56 ，所 以 t1t2 0，所 以 (t 1-t2)2=-6t1t2，所 以 (t1+t2)2+2t1t2=0，即 ： ( 2 )2+2(5-6a)=0，解 得 a=1.选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 23.已 知 函 数 f(x)=|x-1|.( )解 不 等 式 f(x)+f(x+4) 8.解 析 ： ( )运 用 绝 对 值 的 定 义 ， 去 绝 对 值 ， 解 不 等 式 ， 求 并 集 ， 即 可 得 到 所 求 解
47、 集 . 答 案 ： ( )f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|= 2 2 34 3 12 2 1 ， ， ， x xxx x ，当 x -3 时 ， 由 -2x-2 8， 解 得 x -5；当 -3 x 1时 ， f(x)=4 8， 原 不 等 式 不 成 立 ；当 x 1 时 ， 由 2x+2 8， 解 得 x 3.所 以 ， 不 等 式 f(x) 8 的 解 集 为 x|x -5， 或 x 3.( )若 |a| 1， |b| 1， a 0， 求 证 ： f(ab) |a|f( ba ).解 析 ： ( )f(ab) |a|f( ba )， 即 |ab-1| |a-b|， 两 边 平 方 后 作 差 ， 由 因 式 分 解 ， 即 可 得证 . 答 案 ： ( )证 明 ： f(ab) |a|f( ba )， 即 |ab-1| |a-b|. |a| 1， |b| 1， |ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1) 0，所 以 ， |ab-1| |a-b|.故 所 证 不 等 式 成 立 .
