1、2018年 北 京 市 顺 义 区 高 考 一 模 试 卷 数 学 文一 、 选 择 题 (本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 40分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 选 出 符合 题 目 要 求 的 一 项 )1.已 知 全 集 U=R， 集 合 A=x|-3 x 3， 则 C UA=( )A.(-3， 3)B.-3， 3C.(- ， -3) (3， + )D.(- ， -3 3， + )解 析 ： U=R， A=x|-3 x 3； CUA=(- ， -3 3， + ).答 案 ： D2.若 复 数 1m ii 在 复 平 面 内 对 应 的
2、点 在 第 四 象 限 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 ( )A.(- ， -1)B.(-1， 1)C.(1， + ) D.(-1， + )解 析 ： 1 1 11 1 1 2 2m i im i m mii i i 在 复 平 面 内 对 应 的 点 在 第 四 象 限 ， 1 021 02mm ， ， 解 得 m 1. 实 数 m的 取 值 范 围 是 (1， + ).答 案 ： C3.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 s值 为 ( ) A.138B. 85C. 53D. 32解 析 ： 模 拟 程 序 的 运 行 ， 可 得 k=1， s=2不 满
3、足 条 件 k 3， 执 行 循 环 体 ， k=2， s= 32不 满 足 条 件 k 3， 执 行 循 环 体 ， k=3， s= 53 不 满 足 条 件 k 3， 执 行 循 环 体 ， k=4， s= 85 .满 足 条 件 k 3， 退 出 循 环 ， 输 出 s的 值 为 85 .答 案 ： B4.已 知 点 P(x， y)的 坐 标 满 足 条 件 2 3 9 02 3 9 01 0 x yx yy ， 且 点 P 在 直 线 3x+y-m=0上 .则 m 的 取 值范 围 是 ( )A.-9， 9B.-8， 9 C.-8， 10D.9， 10 解 析 ： 画 出 不 等 式
4、组 2 3 9 02 3 9 01 0 x yx yy ， 表 示 的 平 面 区 域 ， 如 图 所 示 ； 则 目 标 函 数 3x+y-m=0转 化 为 m=3x+y，目 标 函 数 过 点 A时 ， 取 得 最 小 值 ， 过 点 B 时 取 得 最 大 值 ；由 2 3 9 01x yy ， 求 得 A(-3， 1)， 由 2 3 9 01x yy ， 求 得 B(3， 1)，则 m=3x+y 的 最 小 值 为 3 (-3)+1=-8， 最 大 值 为 3 3+1=10； m 的 取 值 范 围 是 -8， 10.答 案 ： C5.设 直 线 l过 原 点 ， 倾 斜 角 为 ，
5、圆 C 的 方 程 为 x 2+(y-2)2=1.则 “ = 3 ” 是 “ 直 线 L 与 圆C相 切 ” 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 直 线 l过 原 点 ， 倾 斜 角 为 ， = 3 ， 直 线 l 的 方 程 为 y= 3 x，圆 x 2+(y-2)2=1 的 圆 心 C(0， 2)， 半 径 r=1，圆 心 C(0， 2)到 直 线 y= 3 x的 距 离 d= 24 =1， 直 线 l与 圆 相 切 ， “ ”3 “ 直 线 l 与 圆 C相 切 ”
6、；直 线 l过 原 点 ， 倾 斜 角 为 的 直 线 方 程 为 y=tan x， 直 线 l 与 圆 C相 切 ， 22 11 tan ， 解 得 tan = 3 或 tan =- 3 ， = 3 或 = 23 . “ 直 线 l与 圆 C 相 切 ” “ 3 或 = 23 ” . “ = 3 ” 是 “ 直 线 l 与 圆 C 相 切 ” 的 充 分 而 不 必 要 条 件 .答 案 ： A6.已 知 x， y R， 且 0 x y 1， 则 ( )A.x -1 y-1 1B.1 lgx lgyC. 1 12 2x y 2D.0 sinx siny解 析 ： x， y R， 且 0 x
7、y 1， 1 1x y 1， lgx lgy 0， 1 1 12 2 2x y ， 0 sinx siny.答 案 ： D 7.已 知 ab ， 是 单 位 向 量 ， 32a b ， 则 a tb (t R)的 最 小 值 为 ( )A. 14B. 12C. 32D.1解 析 ： ab ， 是 单 位 向 量 ， 32a b ； 2 2 22 22 1 3a tb a ta b t b t t ； t2+ 3 t+1的 最 小 值 为 4 3 14 4 ； a tb 的 最 小 值 为 12 .答 案 ： B8.某 食 品 保 鲜 时 间 y(单 位 ： 小 时 )与 储 藏 温 度 x(单
8、 位 ： )满 足 函 数 关 系 y=ekx+b(e=2.718为 自 然 对 数 的 底 数 ， k， b 为 常 数 ).若 该 食 品 在 0 的 保 鲜 时 间 是 192 小 时 ， 在 22 的 保 鲜时 间 是 48 小 时 ， 则 该 食 品 在 33 的 保 鲜 时 间 是 ( )A.16小 时B.20小 时 C.24小 时D.28小 时解 析 ： y=ekx+b(e=2.718 为 自 然 对 数 的 底 数 ， k， b 为 常 数 ).当 x=0时 ， eb=192，当 x=22时 e22k+b=48， e22k= 48 1192 4 ， e11k= 12 ， eb=
9、192当 x=33时 ， e 33k+b=(ek)33 (eb)=( 12 )3 192=24.答 案 ： C二 、 填 空 题 (本 大 题 共 6 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30分 )9.已 知 双 曲 线 2xm -y 2=1 的 一 个 焦 点 为 (-2 2 ， 0)， 则 该 双 曲 线 的 方 程 为 .解 析 ： 双 曲 线 2xm -y2=1 的 一 个 焦 点 为 (-2 2 ， 0)， 即 c=2 2，则 有 c2=m+1=8， 解 可 得 ： m=1， 则 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 ： 27x -y2=1.答 案 ： 27x -y 2=110
10、.在 ABC中 ， AC=1， BC=3， A+B=60 ， 则 AB= .解 析 ： AC=1， BC=3， A+B=60 ， 由 正 弦 定 理 可 得 ： 3 1sin sin 60( )A A ，整 理 可 得 ： 3 3 3sin cos sin2 2A A A ， 可 得 ： sinA= 3 35 cosA， sin 2A+cos2A=1， 可 解 得 ： cosA= 5 1326 ， 由 余 弦 定 理 可 得 ： 32=AB2+12-2 1 AB 5 1326 ， 整 理 可 得 ： AB2- 5 1313 AB-8=0， 解 得 ： AB=2 13 ， 或 16 1313 (
11、舍 去 ).答 案 ： 2 13 11.某 高 校 调 查 了 200名 学 生 每 周 的 自 习 时 间 (单 位 ： 小 时 )， 制 成 了 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直方 图 ， 其 中 自 习 时 间 的 范 围 是 12.5， 25， 样 本 数 据 分 组 为 12.5， 15)， 15， 17.5)， 17.5，20)， 20， 22.5)， 22.5， 25.根 据 直 方 图 ， 这 200名 学 生 中 每 周 的 自 习 时 间 不 少 于 20小时 的 人 数 是 .解 析 ： 根 据 直 方 图 ， 得 这 200名 学 生 中 每 周 的 自 习 时
12、间 不 少 于 20小 时 的 频 率 为 (0.08+0.04) 2.5=0.3. 这 200名 学 生 中 每 周 的 自 习 时 间 不 少 于 20小 时 的 人 数 是 200 0.3=60(人 ).答 案 ： 6012.已 知 x+y=3， 则 2x+2y的 最 小 值 是 .解 析 ： 已 知 x+y=3， 则 ： 32 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2x y x y x y .答 案 ： 4 213.已 知 一 个 四 棱 锥 的 底 面 是 平 行 四 边 形 ， 该 四 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 (单 位 ： m)， 则 该 四 棱锥 的 体 积 为 m
13、 3.解 析 ： 由 主 视 图 可 知 棱 锥 高 为 6， 由 俯 视 图 和 侧 视 图 可 知 底 面 平 行 四 边 形 的 长 为 4， 高 为 2， 四 棱 锥 的 体 积 V= 13 4 2 6=16. 答 案 ： 16 14.刘 老 师 带 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 名 学 生 去 参 加 自 主 招 生 考 试 ， 考 试 结 束 后 刘 老 师 和 四 名 学 生了 解 考 试 情 况 .四 名 学 生 回 答 如 下 ：甲 说 ： “ 我 们 四 人 都 没 考 好 .”乙 说 ： “ 我 们 四 人 中 有 人 考 得 好 .”丙 说 ： “ 乙 和 丁 至 少
14、 有 一 人 没 考 好 .”丁 说 ： “ 我 没 考 好 .”结 果 四 名 学 生 中 有 两 人 说 对 了 ， 则 这 四 名 学 生 中 说 对 了 的 是 两 人 .解 析 ： 甲 与 乙 的 关 系 是 对 立 事 件 ， 二 人 说 的 话 矛 盾 ， 必 有 一 对 一 错 ， 如 果 丁 正 确 ， 则 丙 也 是对 的 ， 所 以 丁 错 误 ， 可 得 丙 正 确 ， 此 时 ， 乙 正 确 .答 案 ： 乙 、 丙三 、 解 答 题 (本 大 题 共 6 小 题 ， 共 80 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ) 15
15、.已 知 函 数 f(x)=sin(2x+ 6 )-2cos2x.(I)求 f( 6 )的 值 ；(II)求 f(x)在 区 间 3 6 ， 上 的 最 大 值 .解 析 ： (I)将 x= 6 带 入 计 算 即 可 .(II)利 用 和 与 差 公 式 以 及 辅 助 角 公 式 化 简 ， 求 解 内 层 范 围 ， 可 得 答 案 .答 案 ： (I) 由 题 意 ，22( ) ( ) 3 3 1sin 2 2 cos sin 2 16 6 6 6 2 2 2 2f ； (II)由 函 数 sin 2 2cos2 sin 2 cos cos2 sin cos2) 16 6 6(f x
16、x x x x x 3 1sin 2 cos2 1 sin 2 12 2 6( )x x x ， x 3 6 ， 上 ， 2x- 6 6 5 6 ， ，故 当 2x- 6 6 时 ， 函 数 f(x)取 得 最 大 值 为 1 112 2 .16.已 知 a n是 等 差 数 列 ， bn是 单 调 递 增 的 等 比 数 列 ， 且 a2=b2=3， b1+b3=10， b1b3=a5.(I)求 an的 通 项 公 式 ；(II)设 ( ),( ),55nn na nc b n ， 求 数 列 cn的 前 n项 和 .解 析 ： ( )由 21 33 10bb b ， ， 解 得 1 13b
17、q ， 由 21 3 53abb a ， ， 解 得 1 12ad ， 由 此 能 求 出 an. ( )设 数 列 cn的 前 n 项 和 为 Sn， 求 出 an=2n-1， bn=b1qn-1=3n-1， 由 此 能 求 出 数 列 cn的 前 n项 和 .答 案 ： ( )设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d， 等 比 数 列 bn的 公 比 为 q， an是 等 差 数 列 ， bn是 单 调 递 增 的 等 比 数 列 ， 且 a2=b2=3， b1+b3=10， b1b3=a5. 由 21 33 10bb b ， ， 得 1 21 13 10bqb bq ， ， 解 得 1
18、 13bq ， 由 21 3 53abb a ， ， 得 11 34 9a da d ， ， 解 得1 12ad ， a n=2n-1.( )设 数 列 cn的 前 n 项 和 为 Sn，由 ( )可 知 an=2n-1， bn=b1qn-1=3n-1，当 n 5 时 ， Sn=a1+a2+ +an= 12 nn a a =n2，当 n 5 时 ，S n=a1+a2+a3+a4+a5+b6+b7+ +bn= 561 5 15 3 243 3 193252 1 2 2n n nb qa a q .综 上 ， 数 列 cn的 前 n 项 和 Sn= 2 53 193 52n nn n ， ， 17
19、.为 了 解 市 民 对 A， B 两 个 品 牌 共 享 单 车 使 用 情 况 的 满 意 程 度 ， 分 别 从 使 用 A， B 两 个 品 牌单 车 的 市 民 中 随 机 抽 取 了 100人 ， 对 这 两 个 品 牌 的 单 车 进 行 评 分 ， 满 分 60 分 .根 据 调 查 ， 得到 A 品 牌 单 车 评 分 的 频 率 分 布 直 方 图 ， 和 B品 牌 单 车 评 分 的 频 数 分 布 表 ： 根 据 用 户 的 评 分 ， 定 义 用 户 对 共 享 单 车 评 价 的 “ 满 意 度 指 数 ” 如 下 ：( )求 对 A品 牌 单 车 评 价 “ 满
20、意 度 指 数 ” 为 0 的 人 数 ；( )从 该 市 同 时 使 用 A， B 两 个 品 牌 单 车 的 用 户 中 随 机 抽 取 1人 进 行 调 查 ， 试 估 计 其 对 A品牌 单 车 评 价 的 “ 满 意 度 指 数 ” 比 对 B 品 牌 单 车 评 价 的 “ 满 意 度 指 数 ” 高 的 概 率 ；( )如 果 从 A， B 两 个 品 牌 单 车 中 选 择 一 个 出 行 ， 你 会 选 择 哪 一 个 ？ 说 明 理 由 .解 析 ： ( )由 对 A 品 牌 单 车 评 分 的 频 率 分 布 直 方 图 ， 求 出 对 A品 牌 评 价 “ 满 意 度
21、指 数 ” 为 0的 频 率 ， 由 此 能 求 出 对 A品 牌 评 价 “ 满 意 度 指 数 ” 为 0 的 人 数 .( )设 “ 对 A 品 牌 单 车 评 价 的 满 意 度 指 数 比 对 B 品 牌 单 车 评 价 的 满 意 度 指 数 高 ” 为 事 件 C， 设 “ 对 A 品 牌 单 车 评 价 的 满 意 度 指 数 为 1” 为 事 件 A1， “ 对 A 品 牌 单 车 评 价 的 满意 度 指 数 为 2” 为 事 件 A2， “ 对 B 品 牌 单 车 评 价 的 满 意 度 指 数 为 0” 为 事 件 B0， “ 对 B品 牌 单 车 评 价 的 满 意
22、度 指 数 为 1” 为 事 件 B1， 用 频 率 估 计 概 率 ， 根 据 相 互 独 立 事 件 概 率乘 法 公 式 和 互 斥 事 件 概 率 加 法 公 式 能 求 出 该 用 户 对 A 品 牌 单 车 评 价 的 “ 满 意 度 指 数 ” 比 对 B品 牌 单 车 评 价 的 “ 满 意 度 指 数 ” 高 的 概 率 .( )如 果 从 用 户 对 A、 B 两 个 品 牌 评 价 的 “ 满 意 度 指 数 ” 的 期 望 角 度 看 ， 分 别 求 出 A、 B 品 牌“ 满 意 度 指 数 ” 的 分 布 列 和 期 望 ， 由 E(X) E(Y)， 得 选 择 B
23、 品 牌 的 单 车 出 行 .答 案 ： ( )由 对 A 品 牌 单 车 评 分 的 频 率 分 布 直 方 图 ， 得 ：对 A 品 牌 评 价 “ 满 意 度 指 数 ” 为 0的 频 率 为 (0.003+0.005+0.012) 10=0.2， 对 A品 牌 评 价 “ 满 意 度 指 数 ” 为 0 的 人 数 为 100 0.2=20 人 .( )设 “ 对 A 品 牌 单 车 评 价 的 满 意 度 指 数 比 对 B 品 牌 单 车 评 价 的 满 意 度 指 数 高 ” 为事 件 C，设 “ 对 A 品 牌 单 车 评 价 的 满 意 度 指 数 为 1” 为 事 件 A
24、 1，“ 对 A品 牌 单 车 评 价 的 满 意 度 指 数 为 2” 为 事 件 A2，“ 对 B品 牌 单 车 评 价 的 满 意 度 指 数 为 0” 为 事 件 B0，“ 对 B品 牌 单 车 评 价 的 满 意 度 指 数 为 1” 为 事 件 B1，用 频 率 估 计 概 率 得 ：P(A1)=0.4， P(A2)=0.4， P(B0)=1 3 6100 =0.1， P(B1)=14 40100 =0.55， 事 件 A i与 Bj相 互 独 立 ， 其 中 i， 2， j=0， 1， P(C)=P(A1B0+A2B0+A2B1)=0.4 0.1+0.4 0.1+0.4 0.55
25、=0.3. 该 用 户 对 A品 牌 单 车 评 价 的 “ 满 意 度 指 数 ” 比 对 B 品 牌 单 车 评 价 的 “ 满 意 度 指 数 ” 高 的 概率 为 0.3.( )如 果 从 用 户 对 A、 B 两 个 品 牌 评 价 的 “ 满 意 度 指 数 ” 的 期 望 角 度 看 ，A品 牌 “ 满 意 度 指 数 ” X 的 分 布 列 为 ：B品 牌 “ 满 意 度 指 数 ” Y 的 分 布 列 为 ： E(X)=0 0.2+1 0.4+2 0.4=1.2，E(Y)=0 0.1+1 0.55+2 0.35=1.25，E(X) E(Y)， 会 选 择 B品 牌 的 单 车
26、 出 行 .18.如 图 ， 在 三 棱 锥 S-ABC 中 ， SA 底 面 ABC， AB BC， 又 SA=AB=1， SB=BC.( )求 证 ： 平 面 SBC 平 面 SAB； ( )如 果 DE垂 直 平 分 SC， 且 分 别 交 AC、 SC于 D、 E.求 证 ： SC 平 面 BDE；( )在 第 ( )问 的 条 件 下 ， 求 三 棱 锥 E-BCD的 体 积 .解 析 ： ( )由 SA 底 面 ABC， 得 SA BC， 结 合 AB BC， 可 得 BC 平 面 SAB， 进 一 步 得 到 平面 SBC 平 面 SAB；( )由 ( )知 ， 三 角 形 SB
27、C为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 结 合 已 知 可 得 SC=2， 再 由 E为 SC 的 中 点 ，可 得 BE SC.又 DE SC， 由 线 面 垂 直 的 判 定 可 得 SC 平 面 BDE；( )由 ( )知 ， SC 平 面 BDE， 则 SC BD， 又 SA 底 面 ABC， 得 SA BD， 可 得 BD 平 面 SAC，即 BD AC， 然 后 利 用 等 积 法 求 三 棱 锥 E-BCD的 体 积 .答 案 ： ( ) SA 底 面 ABC， BC平 面 ABC， SA BC，又 AB BC， SA AB=A， BC 平 面 SAB， 则 平 面 SBC 平 面
28、 SAB；( )由 ( )知 ， 三 角 形 SBC为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 又 SB=BC= 2 ， SC=2，又 E 为 SC 的 中 点 ， BE SC.又 DE SC， DE BE=E， SC 平 面 BDE；( )由 ( )知 ， SC 平 面 BDE， 又 BD平 面 SAC， SC BD，又 SA 底 面 ABC， BD平 面 ABC， SA BD，又 SA SC=S， BD 平 面 SAC， BD AC， 6 2 3 33 3 3BD CD DE ， ， .V E-BCD=VB-CDE= 1 1 6 1 3 2 13 3 3 2 3 18CDES BD . 三 棱 锥
29、 E-BCD的 体 积 为 218 .19.已 知 函 数 f(x)=x(lnx-1)+lnx+1.( )求 曲 线 y=f(x)在 点 (1， f(1)处 的 切 线 方 程 ；( )若 不 等 式 x2+x(m-f(x)+1 0恒 成 立 ， 求 实 数 m的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )求 出 函 数 的 导 数 ， 计 算 f (1)， f(1)的 值 ， 求 出 切 线 方 程 即 可 ；( )求 出 函 数 的 导 数 ， 问 题 等 价 于 m lnx-x， 令 g(x)=lnx-x， 根 据 函 数 的 单 调 性 求 出 m 的范 围 即 可 .答 案 ： ( ) f
30、 (x)=lnx+ 1x ， 故 f (1)=1， 又 f(1)=0，故 切 线 方 程 是 y=x-1， 即 x-y-1=0； ( )由 ( )知 f (x)=lnx+ 1x ，故 不 等 式 x2+x(m-f (x)+1 0 可 化 为 ： x2+mx-xlnx 0， 而 x 0，故 上 式 等 价 于 m lnx-x，令 g(x)=lnx-x， 则 g (x)=1 xx ，当 g (x)=0 时 ， x=1，则 x， g (x)， g(x)的 变 化 如 下 ： 故 x=1是 g(x)的 最 大 值 点 ， 即 g(x) g(1)=-1， 故 m -1，综 上 ， 实 数 m 的 范 围
31、 是 -1， + ).20.已 知 椭 圆 E： 2 22 2x ya b =1(a b 0)， 两 点 P1(0， 3 )， P2(1， - 32 )在 椭 圆 上 .( )求 椭 圆 E 的 方 程 及 焦 点 坐 标 ；( )设 直 线 l不 经 过 点 P1(0， 3 )且 与 椭 圆 E相 交 于 M， N 两 点 ， 直 线 P 1M 与 直 线 P1N的 斜率 分 别 为 k1， k2， 若 k1+k2=- 3 .求 证 ： 直 线 l 恒 过 某 定 点 .解 析 ： ( )将 两 点 代 入 即 可 求 得 a和 b的 值 ， 求 得 椭 圆 方 程 及 焦 点 坐 标 ；(
32、 )分 类 讨 论 ， 当 直 线 l 的 斜 率 存 在 时 ， 设 直 线 l 的 方 程 ， 代 入 椭 圆 方 程 ， 利 用 韦 达 定 理 及直 线 的 斜 率 公 式 ， 即 可 求 得 m=-2k- 3 ， 即 可 证 明 直 线 l恒 过 定 点 . 答 案 ： ( )由 题 意 可 知 ： b= 3 ， 由 P2(1， - 32 )在 椭 圆 上 ， 代 入 ， 解 得 a=2， c2=a2-c2=3， 椭 圆 E 的 方 程 ： 2 24 3x y =1， 则 焦 点 坐 标 F1(-1， 0)， F2(1， 0)；( ) 当 直 线 l斜 率 不 存 在 时 ， 设 l
33、 的 方 程 ： x=t(t 0)， M(t， yM)， N(t， -yM)，则 1 2 3 3 3M My yk k t t ， 解 得 t=2，此 时 直 线 过 椭 圆 E 的 右 顶 点 ， 不 存 两 个 交 点 ， 所 以 这 种 情 况 不 成 立 ， 当 直 线 l斜 率 存 在 时 ， 设 l： y=kx+m， (m 3 )， 设 M(x 1， y1)， N(x2， y2)，由 题 意 可 知 ： k 0， m - 3 ，联 立 2 23 4 12y kx mx y ， ， 整 理 得 ： (3+4k2)x+8kmx+4m2-12=0，21 2 1 22 28 4 123 4
34、 3 4km mx x x xk k ， ， (m 3 )， x 1 0， x2 0，则 2 1 2 1 2 11 21 2 1 2 1 23 33 3 x kx m x x kx m xy yk k x x x x 21 2 1 2 21 2 282 3 2 33 42 3 4 12 33 4kmkx x m x x kkk m mx x mk ， 2 3 33km ， 整 理 得 m=-2k- 3 ， 此 时 =-192 3 k， 存 在 k使 得 0， 直 线 l 的 方 程 为 ： 2 3 2 3y kx k k x ， 当 x=2， y=- 3 ， 直 线 l 恒 过 定 点 (2， - 3 ).
