1、2018年 北 京 市 房 山 区 高 考 一 模 试 卷 数 学 文一 、 选 择 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 40分 .在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中 ， 选 出 符 合 题 目 要求 的 一 项 .1.若 集 合 M=-1， 0， 1， 2， N=y|y=2x+1， x M， 则 集 合 M N 等 于 ( )A.-1， 1B.1， 2C.-1， 1， 3， 5D.-1， 0， 1， 2解 析 ： 集 合 M=-1， 0， 1， 2， N=y|y=2x+1， x M=-1， 1， 3， 5，所 以 M N=-1， 1.答 案 ： A2.已 知 x，
2、 y 满 足 约 束 条 件 31x yy xx ， 那 么 x+3y的 最 大 值 是 ( )A.4B.6C.7D.8 解 析 ： 作 出 x， y 满 足 约 束 条 件 31x yy xx ， 表 示 的 平 面 区 域 ， 得 到 如 图 的 三 角 形 及 其 内 部 ， 由 1 3xx y ， ， 可 得 A(1， 2)， z=x+3y， 将 直 线 进 行 平 移 ， 当 l 经 过 点 A 时 ， 目 标 函 数 z达 到 最 大 值 z 最 大 值 =1+2 3=7.答 案 ： C3.下 列 函 数 中 ， 与 函 数 y=x3的 单 调 性 和 奇 偶 性 相 同 的 函
3、数 是 ( )A.y= xB.y=lnxC.y=tanxD.y=e x-e-x解 析 ： 根 据 题 意 ， 函 数 y=x3为 奇 函 数 ， 在 R 上 增 函 数 ， 据 此 分 析 选 项 ：对 于 A， y= x ， 其 定 义 域 为 0， + )， 不 关 于 原 点 对 称 ， 为 非 奇 非 偶 函 数 ， 不 符 合 题 意 ；对 于 B， y=lnx， 其 定 义 域 为 (0， + )， 不 关 于 原 点 对 称 ， 为 非 奇 非 偶 函 数 ， 不 符 合 题 意 ；对 于 C， y=tanx， 为 正 切 函 数 ， 是 奇 函 数 但 在 R上 不 是 增 函
4、 数 ， 不 符 合 题 意 ；对 于 D， y=ex-e-x， f(-x)=ex-e-x=-(e-x-ex)=-f(x)， f(x)为 奇 函 数 ， 且 f (x)=ex+e-x 2， 为 增函 数 ， 符 合 题 意 .答 案 ： D4.阶 乘 (factorial)是 基 斯 顿 -卡 曼 于 1808 年 发 明 的 运 算 符 号 ， n的 阶 乘 n!=1 2 3 n.例 如 ： 2!=1 2， 3!=1 2 3.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 .则 输 出 n!的 值 是 ( ) A.2B.6C.24D.120解 析 ： 当 k=1时 ， 满 足 进 行 循 环 的
5、 条 件 ， n=2， k=2；当 k=2时 ， 满 足 进 行 循 环 的 条 件 ， n=3， k=3； 当 k=3时 ， 满 足 进 行 循 环 的 条 件 ， n=4， k=4；当 k=4时 ， 满 足 进 行 循 环 的 条 件 ， n=5， k=5；当 k=5时 ， 不 满 足 进 行 循 环 的 条 件 ，故 输 出 的 n!=5!=120.答 案 ： D5.圆 x 2+y2=4被 直 线 y=- 3 x+b截 得 的 劣 弧 所 对 的 圆 心 角 的 大 小 为 120 ， 则 b的 值 ( )A. 2B. 2 3C.2D. 3解 析 ： 根 据 题 意 ， 圆 x 2+y2
6、=4 的 圆 心 为 (0， 0)， 半 径 r=2，若 圆 x2+y2=4被 直 线 y=- 3 x+b截 得 的 劣 弧 所 对 的 圆 心 角 的 大 小 为 120 ，则 圆 心 到 直 线 的 距 离 d= 2r =1， 即 1 3b =1， 解 可 得 b= 2.答 案 ： A6.如 图 ， 网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1， 粗 线 画 出 的 是 某 多 面 体 的 三 视 图 ， 则 该 多 面 体 的 表面 积 为 ( ) A.8+4 2B.2+2 2 4 3C.2+6 3D.2+4 2 2 3解 析 ： 由 题 意 可 知 几 何 体 的 直 观 图 如
7、 图 ： 是 正 方 体 列 出 为 2 的 一 部 分 ， A-BCD， 三 棱 锥 的 表 面 积 为 ： 21 1 32 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 32 2 4 .答 案 ： D7.“ a 2” 是 “ 函 数 f(x)=logax(a 0， 且 a 1)的 图 象 与 函 数 f(x)=x2-4x+4 的 图 象 的 交 点个 数 为 2 个 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 根 据 题 意 ， 当 a 2 时 ， 函 数 f(x)=log ax(a 0
8、， 且 a 1)的 图 象 与 函 数 f(x)=x2-4x+4的 图 象 如 图 ， 有 2 个 交 点 ， 则 “ a 2” 是 “ 函 数 f(x)=logax(a 0， 且 a 1)的 图 象 与 函 数 f(x)=x2-4x+4 的 图 象 的 交 点个 数 为 2 个 ” 的 充 分 条 件 ，反 之 ： 若 “ 函 数 f(x)=logax(a 0， 且 a 1)的 图 象 与 函 数 f(x)=x2-4x+4的 图 象 的 交 点 个 数为 2 个 ” ， 则 函 数 f(x)=logax 为 增 函 数 ， 则 a 1， 则 “ a 2” 是 “ 函 数 f(x)=logax
9、(a 0，且 a 1)的 图 象 与 函 数 f(x)=x2-4x+4 的 图 象 的 交 点 个 数 为 2 个 ” 的 不 必 要 条 件 ，则 a 2” 是 “ 函 数 f(x)=logax(a 0， 且 a 1)的 图 象 ，与 函 数 f(x)=x2-4x+4的 图 象 的 交 点 个 数 为 2个 的 充 分 而 不 必 要 条 件 .答 案 ： A8.若 五 位 同 学 围 成 一 圈 依 序 循 环 报 数 ， 规 定 ： 第 一 位 同 学 首 次 报 出 的 数 为 2.第 二 位 同 学首 次 报 出 的 数 也 为 2， 之 后 每 位 同 学 所 报 出 的 数 都
10、是 前 两 位 同 学 所 报 出 的 数 之 和 ； 若 报 出 的 数 为 3的 倍 数 ， 则 报 该 数 的 同 学 需 拍 手 一 次 ， 当 第 27 个 数 被 报 出 时 ， 五 位 同 学 拍 手 的 总次 数 为 ( )A.7B.6C.5D.4解 析 ： 这 个 数 列 的 变 化 规 律 是 ： 从 第 三 个 数 开 始 递 增 ， 且 是 前 两 项 之 和 ，那 么 有 1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21、 34、 55、 89、 144、 233、 377、 610、 987，分 别 除 以 3得 余 数 分 别 是 1、 1、 2、 0、 2、 2
11、、 1、 0、 1、 1、 2、 0、 2、 2、 1、 0，由 此 可 见 余 数 的 变 化 规 律 是 按 1、 1、 2、 0、 2、 2、 1、 0，循 环 周 期 是 8.在 这 一 个 周 期 内 第 四 个 数 和 第 八 个 数 都 是 3的 倍 数 ，所 以 在 三 个 周 期 内 共 有 6个 报 出 的 数 是 三 的 倍 数 ， 后 面 3个 报 出 的 数 中 余 数 是 1、 1、 2， 没 有 3 的 倍 数 ，故 第 27个 数 被 报 出 时 ， 五 位 同 学 拍 手 的 总 次 数 为 6 次 .答 案 ： B二 、 填 空 题 共 6小 题 ， 每 小
12、 题 5 分 ， 共 30 分 .9.抛 物 线 x 2=4y的 焦 点 到 双 曲 线 22 13yx 的 渐 近 线 的 距 离 为 .解 析 ： 抛 物 线 的 交 点 为 F(0， 1)， 双 曲 线 22 13yx 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 ： y= 3 x， 即3 x-y=0， F到 渐 近 线 的 距 离 为 d= 1 123 1 .答 案 ： 1210.如 果 复 数 (2+i)(1-mi)(其 中 i 是 虚 数 单 位 )是 实 数 ， 则 实 数 m= . 解 析 ： (2+i)(1-mi)=(2+m)+(1-2m)i为 实 数 ， 1-2m=0， 即 m= 1
13、2 .答 案 ： 1211.已 知 命 题 p： x (0， + )， 2x 1， 则 p 为 .解 析 ： 命 题 p“ ： x (0， + )， 2x 1” 是 全 称 命 题 ，否 定 时 将 量 词 对 任 意 的 x变 为 x， 再 将 不 等 号 变 为 即 可 .答 案 ： x 0 (10， + )， 2x 112.已 知 1 2a b ， ， 且 a 与 b 的 夹 角 为 3 ， 则 2a b = . 解 析 ： 1 2a b ， ， 且 a 与 b 的 夹 角 为 3 ， 1cos 1 2 13 2a b a b ， 2 2 22 4 4 1 16 4 13a b a b
14、a b ， 2 13a b .答 案 ： 1313.已 知 函 数 f(x)同 时 满 足 以 下 条 件 ： 周 期 为 ； 值 域 为 0， 1； f(x)-f(-x)=0.试写 出 一 个 满 足 条 件 的 函 数 解 析 式 f(x)= .解 析 ： f(x)=|sinx|满 足 ： 周 期 为 ； 值 域 为 0， 1； f(x)-f(-x)=0.答 案 ： |sinx| 14.设 函 数 f(x)= 2 01 0 1.2 xx a xx ， ， 则 f( 12 )= ； 若 f(x)有 最 小 值 ， 且 无 最 大 值 ， 则 实 数 a的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 设
15、 函 数 f(x)= 2 01 0 1.2 xx a xx ， ， 121 1 22 2 2f ； 当 -2 x 0 时 ， f(x)=x+a -2+a， a)， 当 0 x 1时 ， f(x)= 12 1 12(x ， ，由 f(x)有 最 小 值 ， 且 无 最 大 值 ， 可 得 a 1， 且 a-2 12 ， 解 得 1 a 52 .答 案 ： 22 ； (1， 52 .三 、 解 答 题 共 6小 题 ， 共 80 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 演 算 步 骤 或 证 明 过 程 .15.已 知 数 列 a n是 等 差 数 列 ， a3+a8=37， a7=23.(
16、 )求 数 列 an的 通 项 公 式 ；( )设 bn=an+2n， 求 数 列 bn的 前 n项 和 Sn.解 析 ： ( )直 接 利 用 已 知 条 件 求 出 数 列 的 通 项 公 式 ；( )利 用 等 差 和 等 比 数 列 的 通 项 公 式 求 和 .答 案 ： ( )由 等 差 数 列 an中 设 首 项 为 a1， 公 差 为 d，由 于 ： a 3+a8=37， a7=23.则 ： 3 87 3723a aa ， 解 得 a1=5， 所 以 32 5 310 1d .所 以 an=3n+2.( )bn=an+2n=3n+2+2n，由 ( )知 ， 12 2 15 3
17、2 7 3 2 22 2 1 2n nn n n n nS .16.在 ABC中 ， 内 角 A， B， C的 对 分 别 为 a， b， c， 且 cos2B+cosB=0.(1)求 角 B 的 值 ；(2)求 b= 7 ， a+c=5， 求 ABC的 面 积 .解 析 ： (1)首 先 利 用 三 角 函 数 关 系 式 的 恒 等 变 换 求 出 ： (2cosB-1)(cosB+1)=0， 进 一 步 利 用 特殊 值 求 出 B的 度 数 . (2)直 接 利 用 (1)的 结 论 和 余 弦 定 理 求 出 ac 的 值 ， 最 后 求 出 三 角 形 的 面 积 .答 案 ： (
18、1) ABC中 ， 内 角 A， B， C的 对 分 别 为 a， b， c， 且 cos2B+cosB=0.则 ： 2cos2B+cosB+1=0， 整 理 得 ： (2cosB-1)(cosB+1)=0，解 得 ： cosB= 12 (-1舍 去 ).则 ： B= 3 .(2)利 用 余 弦 定 理 ： b2=a2+c2-2accosB，由 于 ： b= 7 ， a+c=5， 解 得 ： ac=6.所 以 ： S ABC= 1 3 3sin2 2ac B .17.2017 年 冬 ， 北 京 雾 霾 天 数 明 显 减 少 .据 环 保 局 统 计 三 个 月 的 空 气 质 量 ， 达
19、到 优 良 的 天 数超 过 70天 ， 重 度 污 染 的 天 数 仅 有 4 天 .主 要 原 因 是 政 府 对 治 理 雾 霾 采 取 了 有 效 措 施 ， 如 减少 机 动 车 尾 气 排 放 ； 实 施 了 煤 改 电 或 煤 改 气 工 程 ； 关 停 了 大 量 的 排 污 企 业 ； 部 分 企 业季 节 性 的 停 产 .为 了 解 农 村 地 区 实 施 煤 改 气 工 程 后 天 燃 气 使 用 情 况 ， 从 某 乡 镇 随 机 抽 取 100户 ， 进 行 月 均 用 气 量 调 查 ， 得 到 的 用 气 量 数 据 (单 位 ： 千 立 方 米 )均 在 区
20、间 (0， 5内 ， 将 数 据按 区 间 列 表 如 下 ： ( )求 表 中 x， m 的 值 ；( )若 同 组 中 的 每 个 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 代 替 ， 估 计 该 乡 镇 每 户 月 平 均 用 气 量 ；( )从 用 气 量 高 于 3千 立 方 米 的 用 户 中 任 选 2户 ， 进 行 燃 气 使 用 的 满 意 度 调 查 ， 求 这 2 户 用气 量 处 于 不 同 区 间 的 概 率 .解 析 ： ( )由 频 率 分 布 表 能 求 出 表 中 x， m 的 值 .( )由 频 率 分 布 表 能 估 计 该 乡 镇 每 户 月 平 均
21、用 气 量 .( )设 (3， 4组 内 数 据 为 a， b， c， d(4， 5组 内 数 据 为 ： e， f， 从 月 均 用 气 量 高 于 3 千 立方 米 的 中 随 机 抽 取 2户 ， 利 用 列 举 法 能 求 出 这 2户 用 气 量 处 于 不 同 区 间 的 概 率 .答 案 ： ( )由 频 率 分 布 表 得 ： x=100-75=25， m= 25100 =0.25.( )由 频 率 分 布 表 估 计 该 乡 镇 每 户 月 平 均 用 气 量 为 ： 1100 (0.5 14+1.5 25+2.5 55+3.5 4+4.5 2)=2.05. ( )设 (3，
22、 4组 内 数 据 为 a， b， c， d(4， 5组 内 数 据 为 ： e， f，从 月 均 用 气 量 高 于 3千 立 方 米 的 中 随 机 抽 取 2户 的 基 本 事 件 空 间 为 =(a， b)， (a， c)， (a，d)， (a， e)， (a， f)， (b， c)， (b， d)， (b， e)， (b， f)， (c， d)， (c， e)， (c， f)， (d，e)， (d， f)， (e， f)， 共 有 15 种 情 况 ， 设 随 机 抽 取 2户 不 在 同 一 组 为 事 件 A， 则 A 中 共 有 ：(a， e)， (a， f)， (b， e)，
23、 (b， f)， (c， e)， (c， f)， (d， e)， (d， f)共 有 8 种 情 况 ， 这 2户 用 气 量 处 于 不 同 区 间 的 概 率 P(A)= 815 .18.如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD中 ， PAD是 以 AD 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， PD=CD= 2 ， PC=2，BC平 行 且 等 于 12 AD， CD AD. ( )若 E 为 PD 中 点 ， 求 证 ： CE 平 面 PAB；( )求 证 ： CD 平 面 PAD；( )求 四 棱 锥 P-ABCD的 体 积 .解 析 ： ( )取 PA 的 中 点 F， 连 接
24、EF， BF， 由 三 角 形 中 位 线 定 理 可 得 BCEF为 平 行 四 边 形 ， 得到 CE BF， 再 由 线 面 平 行 的 判 定 可 得 CE 平 面 PAB；( )由 已 知 结 合 勾 股 定 理 可 得 CD PD， 又 CD AD， 利 用 线 面 垂 直 的 判 定 可 得 CD 平 面 PAD；( )由 ( )知 ， 平 面 PAD 平 面 ABCD， 在 等 腰 直 角 三 角 形 PAD 中 ， 取 AD的 中 点 O， 可 得 PO AD.进 一 步 得 到 PO 平 面 ABCD， 则 PO 为 四 棱 锥 P-ABCD的 高 ， 再 由 棱 锥 体
25、积 公 式 求 四 棱 锥P-ABCD的 体 积 .答 案 ： ( )取 PA的 中 点 F， 连 接 EF， BF， 在 APD中 ， E F 分 别 为 PA， PD 的 中 点 ， EF 12 AD 且 EF= 12 AD， BC 12 AD且 BC= 12 AD， EF BC 且 EF=BC， 四 边 形 FECB 为 平 行 四 边 形 ， FB CE. CE平 面 PAB， BF平 面 PAB， CE 平 面 PAB；( ) PD=CD= 2 ， PC=2， PD2+DC2=PC2， 则 PD DC，又 CD AD， 而 PD AD=D， CD 平 面 PAD；( )由 ( )知
26、， CD 平 面 PAD，而 CD平 面 ABCD， 则 平 面 PAD 平 面 ABCD，在 等 腰 直 角 三 角 形 PAD中 ， 取 AD 的 中 点 O， PO AD. 平 面 PAD 平 面 ABCD=AD， PO 平 面 ABCD， PO 为 四 棱 锥 P-ABCD的 高 ， 则 VP-ABCD= 1 1 1 2 1 2 23 3 2 2ABCDS PO .19.已 知 椭 圆 C： 2 22 2x ya b =1(a b 0)过 点 (0， -1)， 离 心 率 e= 22 .( )求 椭 圆 C 的 方 程 ；( )过 点 F(1， 0)作 斜 率 为 k(k 0)的 直
27、线 l， l与 椭 圆 C 交 于 M， N 两 点 ， 若 线 段 MN 的 垂 直平 分 线 交 x轴 于 点 P， 求 证 ： |MN|=2 2 |PF|.解 析 ： ( )运 用 椭 圆 的 离 心 率 公 式 和 基 本 量 a， b， c 的 关 系 ， 解 方 程 可 得 a， 即 可 得 到 所 求椭 圆 方 程 ；( )设 直 线 l 的 方 程 为 y=k(x-1)， 代 入 椭 圆 方 程 ， 运 用 韦 达 定 理 和 中 点 坐 标 公 式 ， 由 两 直 线 垂 直 的 条 件 ： 斜 率 之 积 为 -1， 以 及 垂 直 平 分 线 的 性 质 ， 化 简 即
28、可 得 证 .答 案 ： ( )椭 圆 C： 2 22 2x ya b =1(a b 0)过 点 (0， -1)， 离 心 率 e= 22 ，可 得 b=1， e= 22ca ， a2-b2=c2， 解 得 a= 2 ， b=1， 所 以 椭 圆 C的 方 程 为 22x +y2=1；( )设 直 线 l 的 方 程 为 y=k(x-1)， 代 入 椭 圆 方 程 22x +y 2=1， 得 (1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0， 由 =16k4-4(1+2k2)(2k2-2) 0，可 得 k 0， 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， 线 段 MN 中 点 Q(x0， y0
29、)，那 么 x1+x2= 2 241 2kk ， x1x2= 2 221 22k k ， 21 20 222 1 2x x kx k ， y0=k(x0-1)= 21 2kk ，设 P(p， 0)， 根 据 题 意 PQ MN， 所 以 20 0 2 2 11 221 2 kky x p k kpk ， 得 p= 2 21 2k k ，所 以 |PF|= 2 22 211 1 2 1 2k kk k ， 2 22 222 2 1 2 1 2 2 2 22 2 14 8 81 4 1 1 2 1 2 1 2 kk kMN k x x x x k k k k ，可 得 |MN|=2 2 |PF|.
30、20.已 知 函 数 f(x)=(2x+1)lnx- 12 x2-2x， l为 曲 线 C： y=f(x)在 点 (1， f(1)处 的 切 线 .( )求 l 的 方 程 ；( )求 f(x)的 单 调 区 间 ；( )设 g(x)=f (x)+x-a， 若 关 于 x 的 不 等 式 g(x) 0 有 解 ， 求 实 数 a的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )求 出 函 数 的 导 数 ， 计 算 f(1)， f (1)， 求 出 切 线 方 程 即 可 ；( )求 出 函 数 的 导 数 ， 解 关 于 导 函 数 的 不 等 式 ， 求 出 函 数 的 单 调 区 间 即 可 ；(
31、 )求 出 函 数 的 导 数 ， 根 据 函 数 的 单 调 性 求 出 g(x)的 最 小 值 ， 得 到 关 于 a 的 不 等 式 ， 解 出 即 可 .答 案 ： ( )f (x)=2lnx+ 1x -x.所 以 f(1)= 52 ， 切 点 为 (1， -52)， f (1)=0， 所 以 l 的 方程 为 y= 52 ；( )定 义 域 为 x|x 0， f (x)=2lnx+ 1x -x，设 g(x)=2lnx+ 1x -x， g (x)= 221xx 0恒 成 立 ，所 以 g(x)在 (0， + )上 是 减 函 数 ， 且 g(1)=0，则 当 x (0， 1)时 ， g
32、(x) 0， 即 f (x) 0， 则 当 x (1， + )时 ， g(x) 0， 即 f (x) 0，所 以 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 (0， 1)， f(x)的 单 调 递 减 区 间 (1， + ). ( )因 为 g(x)=2lnx+ 1x -a， g (x)= 2 22 1 2 1xx x x ，当 x (0， 12 )时 ， g (x) 0， 当 x ( 12 ， + )时 ， g (x) 0， 所 以 g(x)在 (0， + )上 的 最 小 值 为 1 12ln2 2g +2-a=2-2ln2-a，所 以 若 关 于 x 的 不 等 式 g(x) 0 有 解 ， 则 2-2ln2-a 0， 即 a 2-2ln2.
