1、2018年 内 蒙 古 兴 安 盟 高 考 一 模 试 卷 数 学 文一 、 选 择 题 (本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的 )1.若 集 合 M=x|-2 x 2， N=0， 1， 2， 则 M N 等 于 ( )A.0B.1 C.0， 1， 2D.0， 1解 析 ： M=x|-2 x 2， N=0， 1， 2， M N=0， 1.答 案 ： D2.设 i是 虚 数 单 位 ， 则 复 数 (1-i)(1+2i)=( )A.3+3iB.-1+3iC.3+i D
2、.-1+i解 析 ： 复 数 (1-i)(1+2i)=1+2-i+2i=3+i.答 案 ： C3.命 题 “ x R， 使 得 x2 1” 的 否 定 是 ( )A.x R， 都 有 x 2 1B.x R， 都 有 -1 x 1C.x R， 使 得 -1 x 1D.x R， 使 得 x2 1解 析 ： 因 为 特 称 命 题 的 否 定 是 全 称 命 题 ， 所 以 ， 命 题 “ x R， 使 得 x2 1” 的 否 定 是 ： x R， 都 有 -1 x 1.答 案 ： B 4.已 知 a=log23， b=log46， c=log49， 则 ( )A.a=b cB.a b cC.a=c
3、 bD.a c b解 析 ： 根 据 对 数 的 换 底 公 式 可 知 log 23=log49， a=c， 函 数 y=log4x， 为 增 函 数 ， log46 log49， 即 a=c b.答 案 ： C5.等 差 数 列 an中 ， an 0， a12+a72+2a1a7=4， 则 它 的 前 7 项 的 和 等 于 ( )A. 52B.5C. 72 D.7解 析 ： 等 差 数 列 an中 ， an 0， a12+a72+2a1a7=4=4， (a1+a7)2=4， a1+a7=2， S7= 72 (a1+a7)= 72 2=7.答 案 ： D6.下 列 双 曲 线 中 ， 焦
4、点 在 y 轴 上 且 渐 近 线 方 程 为 y= 2x 的 是 ( )A.x 2- 24y =1B. 24x -y2=1C. 24y -x2=1D.y 2- 24x =1解 析 ： 由 A可 得 焦 点 在 x轴 上 ， 不 符 合 条 件 ； 由 B 可 得 焦 点 在 x 轴 上 ， 不 符 合 条 件 ；由 C 可 得 焦 点 在 y 轴 上 ， 渐 近 线 方 程 为 y= 2x， 符 合 条 件 ；由 D 可 得 焦 点 在 y 轴 上 ， 渐 近 线 方 程 为 y= 12 x， 不 符 合 条 件 .答 案 ： C7.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 则 输 出
5、 s的 值 为 ( ) A. 32B. 74C. 2312D. 4924解 析 ： 模 拟 程 序 的 运 行 ， 可 得 s=1， k=0满 足 条 件 k 8， 执 行 循 环 体 ， k=2， s=1+ 12满 足 条 件 k 8， 执 行 循 环 体 ， k=4， s=1+ 1 12 4 满 足 条 件 k 8， 执 行 循 环 体 ， k=6， s=1+ 1 1 12 4 6 满 足 条 件 k 8， 执 行 循 环 体 ， k=8， s=1+ 1 1 1 1 492 4 6 8 24 不 满 足 条 件 k 8， 退 出 循 环 ， 输 出 s 的 值 为 4924 .答 案 ：
6、D8.如 图 是 某 几 何 体 的 三 视 图 ， 其 中 正 视 图 是 斜 边 长 为 2a 的 直 角 三 角 形 ， 侧 视 图 是 半 径 为 a的 半 圆 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 是 ( ) A. 36 a3B. 33 a3C. 3 a3D.2 3 a 3解 析 ： 由 三 视 图 可 知 这 是 用 轴 截 面 分 成 两 部 分 的 半 个 圆 锥 ， 正 视 图 是 斜 边 长 为 2a 的 直 角 三 角 形 ， 侧 视 图 是 半 径 为 a 的 半 圆 ， 圆 锥 是 一 个 底 面 半 径 是 a， 母 线 长 是 2a， 圆 锥 的 高 是 2 22
7、3a a a ， 半 个 圆 锥 的 体 积 是 2 31 1 33 .2 3 6a a a 答 案 ： A 9.将 函 数 y=f(x) cosx 的 图 象 沿 x 轴 向 右 平 移 4 个 单 位 后 ， 得 到 y=2cos2x-1 的 图 象 ， 则f(x)可 能 是 ( )A.2sinxB.2cosx C.-2sinxD.-2cosx解 析 ： y=2cos2x-1=cos2x，将 y=cos2x沿 x轴 向 左 平 移 4 个 单 位 得 y=cos2(x+ 4 )=cos(2x+ 2 )=-sin2x=-2sinxcosx，由 y=f(x) cosx=-2sinxcosx得
8、f(x)=-2sinx.答 案 ： C 10. 若 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 111x yy xx ， 则 z=3x-2y的 最 小 值 为 ( )A.-1B.0C.1D.-2解 析 ： 由 约 束 条 件 111x yy xx ， 作 出 可 行 域 如 图 ， 化 目 标 函 数 z=3x-2y为 32 2zy x ， 由 图 可 知 ，当 直 线 32 2zy x ，过 A 时 ， 直 线 在 y 轴 上 的 截 距 最 大 ， z有 最 小 值 为 -2.答 案 ： D11.定 义 在 R上 的 函 数 f(x)满 足 ： f(x)+f (x) 1， f(0)=4， 则
9、 不 等 式 e xf(x) ex+3(其 中 e为 自 然 对 数 的 底 数 )的 解 集 为 ( )A.(0， + ) B.(- ， 0) (3， + )C.(- ， 0) (0， + )D.(3， + )解 析 ： 设 g(x)=exf(x)-ex， (x R)，则 g (x)=exf(x)+exf (x)-ex=exf(x)+f (x)-1， f(x)+f (x) 1， f(x)+f (x)-1 0， g (x) 0， y=g(x)在 定 义 域 上 单 调 递 增 ， e xf(x) ex+3， g(x) 3，又 g(0)=e0f(0)-e0=4-1=3， g(x) g(0)， x
10、 0.答 案 ： A12.抛 物 线 y 2=4x的 焦 点 为 F， 点 P(x， y)为 该 抛 物 线 上 的 动 点 ， 又 点 A(-1， 0)， 则 PFPA 的最 小 值 是 ( )A. 12B. 22C. 32 D. 3 33解 析 ： 由 题 意 可 知 ， 抛 物 线 的 准 线 方 程 为 x=-1， A(-1， 0)， 过 P 作 PN垂 直 直 线 x=-1于 N， 由 抛 物 线 的 定 义 可 知 PF=PN， 连 结 PA， 当 PA是 抛 物 线 的 切 线 时 ， PFPA 有 最 小 值 ， 则 APN最 大 ， 即 PAF最 大 ， 就 是 直 线 PA
11、 的 斜 率 最 大 ，设 在 PA的 方 程 为 ： y=k(x+1)， 所 以 2 14y k xy x ，解 得 ： k2x2+(2k2-4)x+k2=0，所 以 =(2k 2-4)2-4k4=0， 解 得 k= 1，所 以 NPA=45 ， PFPA =cos NPA= 22 .答 案 ： B二 、 填 空 题13.设 a=(1， 2)， b=(1， 1)， c a kb .若 b c ， 则 实 数 k 的 值 等 于 . 解 析 ： a=(1， 2)， b=(1， 1)， c a kb =(1， 2)+(k， k)=(1+k， 2+k)， b c ， b c =1+k+2+k=0，
12、 解 得 k= 32 .答 案 ： 3214.设 等 比 数 列 a n的 前 n项 和 为 Sn， 若 S10： S5=1： 2， 则 S15： S5= .解 析 ： 等 比 数 列 an的 前 n项 和 为 Sn， 若 S10： S5=1： 2， (S10-S5)： S5=-1： 2，由 等 比 数 列 的 性 质 得 (S15-S10)： (S10-S5)： S5=1： (-2)： 4， S15： S5=3： 4.答 案 ： 3： 415.设 1sin 4 3 ， 则 sin2 = .解 析 ： 1sin 4 3 ， 即 2 2 1sin cos2 2 3 ， 平 方 可 得 1 1 1
13、sin 22 2 9 ， 解 得 sin2 = 79 .答 案 ： 7916.在 三 棱 锥 A-BCD 中 ， 侧 棱 AB， AC， AD 两 两 垂 直 ， ABC， ACD， ADB 的 面 积 分 别 为2 3 62 2 2， ， ， 则 该 三 棱 锥 外 接 球 的 表 面 积 为 .解 析 ： 三 棱 锥 A-BCD 中 ， 侧 棱 AB、 AC、 AD两 两 垂 直 ， 补 成 长 方 体 ， 两 者 的 外 接 球 是 同 一 个 ，长 方 体 的 对 角 线 就 是 球 的 直 径 ， 侧 棱 AC、 AC、 AD 两 两 垂 直 ， ABC、 ACD、 ADB 的 面
14、积 分 别 为 2 3 62 2 2， ， ， 1 2 1 3 1 6 2 2 2 2 2 2AB AC AD AC AB AD ， ， ，2 1 3AB AC AD ， ， ， 球 的 直 径 为 ： 2 1 3 6 ， 半 径 为 62 ， 三 棱 锥 外 接 球 的 表 面 积 为 4 64 =6 .答 案 ： 6 三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .17.已 知 函 数 2 13sin cos cos 2f x x x x x R ， (1)求 函 数 f(x)的 最 大 值 和 最 小 正 周 期 ；(2)设 ABC
15、的 内 角 A， B， C的 对 边 分 别 a， b， c， 且 c=3， f(C)=0， 若 sin(A+C)=2sinA， 求a， b 的 值 .解 析 ： (1)利 用 二 倍 角 公 式 、 辅 助 角 公 式 化 简 三 角 函 数 ， 即 可 求 函 数 f(x)的 最 大 值 和 最 小 正周 期 ； (2)先 求 出 C， 再 利 用 sin(A+C)=2sinA， 结 合 正 弦 、 余 弦 定 理 ， 可 求 a， b 的 值 .答 案 ： (1) 23 1 cos 1sin 2 sin 2 12 2 ( )2 6xf x x x -1 sin(2x- 6 ) 1， -2
16、 sin(2x- 6 )-1 0， f(x)的 最 大 值 为 0，最 小 正 周 期 是 T= 22 = .(2)由 f(C)=sin(2C- 6 )-1=0， 可 得 sin(2C- 6 )=1， 0 C ， 0 2C 2 ， 1126 6 6C ，2 6 2 3C C ， ， sin(A+C)=2sinA， 由 正 弦 定 理 得 12ab .由 余 弦 定 理 得 2 2 2 2 cos 3c a b ab ， c=3， 9=a2+b2-ab ， 由 解 得 3 2 3.a b ，18.一 个 盒 子 中 装 有 形 状 大 小 相 同 的 5 张 卡 片 ， 上 面 分 别 标 有
17、数 字 1， 2， 3， 4， 5， 甲 乙 两人 分 别 从 盒 子 中 随 机 不 放 回 的 各 抽 取 一 张 .( )写 出 所 有 可 能 的 结 果 ， 并 求 出 甲 乙 所 抽 卡 片 上 的 数 字 之 和 为 偶 数 的 概 率 ；( )以 盒 子 中 剩 下 的 三 张 卡 片 上 的 数 字 作 为 边 长 来 构 造 三 角 形 ， 求 出 能 构 成 三 角 形 的 概 率 .解 析 ： ( )根 据 盒 子 中 装 有 形 状 大 小 相 同 的 5张 卡 片 ， 上 面 分 别 标 有 数 字 1， 2， 3， 4， 5，可 以 写 出 所 有 可 能 的 结
18、 果 ， 从 而 求 出 甲 乙 所 抽 卡 片 上 的 数 字 之 和 为 偶 数 的 概 率 ； ( )确 定 剩 下 的 三 边 长 包 含 的 基 本 事 件 ， 剩 下 的 三 张 卡 片 上 的 数 字 作 为 边 长 能 构 成 三 角 形 的基 本 事 件 ， 即 可 求 出 能 构 成 三 角 形 的 概 率 .答 案 ： ( )甲 乙 两 人 分 别 从 盒 子 中 随 机 不 放 回 的 各 抽 取 一 张 ， 基 本 事 件 有 (1， 2)， (1， 3)，(1， 4)， (1， 5)， (2， 1)， (2， 3)， (2， 4)， (2， 5)， (3， 1)，
19、(3， 2)， (3， 4)， (3， 5)，(4， 1)(4， 2)， (4， 3)， (4， 5)(5， 1)， (5， 2)， (5， 3)， (5， 4)共 20个 ，设 事 件 A=“ 甲 乙 所 抽 卡 片 上 的 数 字 之 和 为 偶 数 ”则 事 件 A 包 含 的 基 本 事 件 有 (1， 3)， (1， 5)， (2， 4)， (3， 1)， (3， 5)， (4， 2)， (5， 1)，(5， 3)共 8个 ， 所 以 P(A) 8 220 5 ( )剩 下 的 三 边 长 包 含 的 基 本 事 件 为 ： (1， 2， 3)， (1， 2， 4)， (1， 2，
20、5)， (1， 3， 4)， (1，3， 5)， (1， 4， 5)， (2， 3， 4)， (2， 3， 5)， (2， 4， 5)， (3， 4， 5)共 10 个 ； (8分 )设 事 件 B=“ 剩 下 的 三 张 卡 片 上 的 数 字 作 为 边 长 能 构 成 三 角 形 “ 则 事 件 B 包 含 的 基 本 事 件 有 ： (2， 3， 4)， (2， 4， 5)， (3， 4， 5)共 3 个 ， 所 以 P(B)= 310 .19.如 图 ， 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1的 底 面 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形 ， AA1= 2 ， E， F 分 别 是
21、 BC，CC1的 中 点 . ( )证 明 ： 平 面 AEF 平 面 B1BCC1；( )求 三 棱 锥 B1-AEF的 体 积 .解 析 ： ( )推 导 出 AE BB1， AE BC， 由 此 能 证 明 平 面 AEF 平 面 B1BCC1.( )S B1EF=S 矩 形 BB1C1C-S BB1E-S EFC-S B1C1F， 三 棱 锥 B1-AEF 的 体 积 VB1-AEF=VA-B1EF， 由 此 能 求 出 结 果 .答 案 ： ( ) 直 三 棱 柱 ABC-A1B1C1的 底 面 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形 ， AA1=2， BB1 平 面 ABC， 又
22、AE平 面 ABC， AE BB1， E， F分 别 是 BC， CC1的 中 点 ， AE BC，又 BB1 BC=B， 则 AE 平 面 B1BCC1.AE平 面 AEF， 平 面 AEF 平 面 B1BCC1.答 案 ：( ) 1 1 1 11 1 1 1 2 1 2 3 22 2 1 2 1 22 2 2 2 2 4B EF BB E EFC B C FBB C CS S S S S 矩 形 ， 三 棱 锥 B1-AEF的 体 积 ： 1 1 11 1 3 2 633 3 4 4B AEF A B EF B EFV V S AE 20.已 知 椭 圆 C： 2 22 2 1x ya b
23、 (a b 0)的 离 心 率 为 22 ， 以 原 点 为 圆 心 ， 椭 圆 的 短 半 轴 长为 半 径 的 圆 与 直 线 x-y+ 2 =0相 切 .( )求 椭 圆 C 的 方 程 ；( )若 过 点 M(2， 0)的 直 线 与 椭 圆 C相 交 于 两 点 A、 B， 设 P为 椭 圆 上 一 点 ， 且 满 足 OA+OB=tOP(其中 O 为 坐 标 原 点 )， 求 整 数 t 的 最 大 值 . 解 析 ： ( )由 已 知 条 件 得 2 2 12 1 1ce ba ， ， 由 此 能 求 出 椭 圆 C 的 方 程 .( )设 AB： y=k(x-2)， A(x1，
24、 y1)， B(x2， y2)， P(x， y)， 由 2 2 21.2y k xx y ， 得 (1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0，由 此 利 用 根 的 判 别 式 和 韦 达 定 理 结 合 已 知 条 件 能 求 出 t 的 最 大 整 数 值 .答 案 ： ( )由 题 知 22ce a ， 2 2 22 2 2 12c a be a a 即 a 2=2b2.又 b= 21 1 =1， a2=2， b2=1. 椭 圆 C 的 方 程 为 2 2 12x y ( )由 题 意 知 直 线 AB的 斜 率 存 在 .设 AB： y=k(x-2)， A(x 1， y1)， B(x
25、2， y2)， P(x， y)，由 2 2 21.2y k xx y ， 得 (1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0. =64k4-4(2k2+1)(8k2-2) 0， 2 22 1 2 1 22 21 8 8 22 1 2 1 2k kk x x x xk k ， ， ， OA OB tOP ， (x1+x2， y1+y2)=t(x， y)， 21 2 1 2 1 22 28 1 441 2 1 2x x y yk kx y k x x kt t tt k t k ， 点 P在 椭 圆 上 ， 2 22 2 2 22 222 28 42 2 16 1 21 2 21 2k k k t
26、kt kt k ， （ ） ，22 2 216 16 16 411 2 2 22kt k k ， 则 -2 t 2， t 的 最 大 整 数 值 为 1.21.已 知 实 数 a 0 函 数 f(x)=ex-ax-1(e为 自 然 对 数 的 底 数 ).( )求 函 数 f(x)的 单 调 区 间 及 最 小 值 ；( )若 f(x) 0对 任 意 的 x R 恒 成 立 ， 求 实 数 a 的 值 ；( ) 证 明 ： *12 4 8 2ln 1 ln 1 ln 1( ) ( ) ( ) ln 1 12 3 3 5 5 9 2 1 1 ( )2nn n n N 解 析 ： ( )求 出 f
27、 (x)， 解 不 等 式 f (x) 0， f (x) 0 可 函 数 的 单 调 区 间 ， 利 用 函 数 的单 调 性 和 导 数 之 间 的 关 系 ， 即 可 求 函 数 f(x)的 最 小 值 ；( )要 使 f(x) 0 对 任 意 的 x R 恒 成 立 ， 则 只 需 求 出 f(x)的 最 小 值 即 可 得 到 结 论 .(III) 利 用 ln(1+x) x ， x (0 ， 1) ， 可 得 11 12 2 1 1ln 1 2 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1n n n nn n n n ， 即 可 证 明 .答 案 ： ( ) f (x)=e x-a，
28、当 a 0 时 ， 若 x (lna， + )， f (x) 0， 得 函 数 f(x)在 (lna， + )上 是 增 函 数 ；若 x (- ， lna)， f (x) 0， 得 函 数 f(x)在 (- ， lna)上 是 减 函 数 .则 当 a 0 时 ， 函 数 f (x) 的 单 调 递 增 区 间 是 (lna， + )， 单 调 递 减 区 间 是 (- ， lna).即 f(x)在 x=lna处 取 得 极 小 值 且 为 最 小 值 ，最 小 值 为 f(lna)=e lna-alna-1=a-alna-1. ( )若 f(x) 0对 任 意 的 x R 恒 成 立 ，等
29、 价 为 f(x)min 0，由 ( )知 ， f(x)min=a-alna-1，设 g(a)=a-alna-1，则 g (a)=1-lna-1=-lna，由 g (a)=0 得 a=1，由 g (x) 0 得 ， 0 x 1， 此 时 函 数 单 调 递 增 ，由 g (x) 0 得 ， x 1， 此 时 函 数 单 调 递 减 ， g(a)在 a=1处 取 得 最 大 值 ， 即 g(1)=0， 因 此 g(a) 0 的 解 为 a=1.(III) ln(1+x) x， x (0， 1). 11 12 2 1 1ln 1 2 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1n n n nn n
30、 n n ， 1( ) ( ) (2 4 8 2ln 1 ln 1 ln 1 ln 12 3 3 5 5 9 2 1 2 1) nn n 2 11 1 1 1 1 1 1 12 2 12 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1n n n 22. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 以 原 点 O 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 已 知曲 线 C的 极 坐 标 方 程 为 ： sin2 =cos .(1)求 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 ；(2)若 直 线 L 的 参 数 方 程 为 22 222x ty t ， (
31、t 为 参 数 )， 直 线 L 与 曲 线 C 相 交 于 A、 B 两 点 ，求 |AB|.解 析 ： (1)利 用 公 式 cossinxy ， 化 简 2sin2 = cos ， 得 到 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 ； (2)把 直 线 的 参 数 方 程 代 入 曲 线 C 的 普 通 方 程 中 ， 得 到 方 程 t2+ 2 t-4=0； 由 根 与 系 数 的 关系 得 t1+t2， t1t2， 求 出 |AB|=|t1-t2|. 答 案 ： (1)把 cossinxy ， 代 入 2sin2 = cos 中 ， 化 简 ， 得 y2=x， 曲 线 C 的 直 角
32、坐标 方 程 为 y2=x；(2)把 22 222x ty t ， 代 入 曲 线 C 的 普 通 方 程 y2=x中 ，整 理 得 ， t 2+2t-4=0， 且 0总 成 立 ；设 A、 B 两 点 对 应 的 参 数 分 别 为 t1、 t2， 21 2 1 2 1 22 4 2 4 4 3 2t t t t AB t t ， ， 23.设 函 数 f(x)=|x+1|+|x-4|-a.(1)当 a=1 时 ， 求 函 数 f(x)的 最 小 值 ；(2)若 f(x) 4a +1对 任 意 的 实 数 x 恒 成 立 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)当 a=1
33、时 ， 利 用 绝 对 值 不 等 式 的 性 质 即 可 求 得 最 小 值 ； (2) 4 4 41 1 42 1 4f x x x a aa a a ， ， 对 a 进 行 分 类 讨 论 可 求 a的 取 值 范 围 .答 案 ： (1)当 a=1时 ， f(x)=|x+1|+|x-4|-1 |(x+1)-(x-4)|-1=5-1=4.所 以 函 数 f(x)的 最 小 值 为 4.(2)f(x) 4a +1 对 任 意 的 实 数 x 恒 成 立 41 4 1x x a a 对 任 意 的 实 数 x 恒 成 立4 4a a 对 任 意 实 数 x 恒 成 立 .当 a 0 时 ， 上 式 显 然 成 立 ； 当 a 0 时 ， 4 42 4a aa a ， 当 且 仅 当 a= 4a 即 a=2 时 上 式 取 等 号 ， 此 时 a+ 4a 4 成立 .综 上 ， 实 数 a 的 取 值 范 围 为 (- ， 0) 2.
