1、2013年 辽 宁 省 营 口 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题1.(3分 )-5的 绝 对 值 是 ( )A.-5B. 5C.D.5解 析 ： -5 的 绝 对 值 是 5， 即 |-5|=5.答 案 ： D. 2.(3分 )据 测 算 ， 我 国 每 天 因 土 地 沙 漠 化 造 成 的 经 济 损 失 约 为 1.5亿 元 ， 一 年 的 经 济 损 失 约为 54750000000元 ， 用 科 学 记 数 法 表 示 这 个 数 为 ( )A.5.475 1011B.5.475 1010C.0.5475 1011D.5475 108解 析 ： 将 54 750 000
2、000用 科 学 记 数 法 表 示 为 5.475 1010.答 案 ： B.3.(3分 )如 图 ， 下 列 水 平 放 置 的 几 何 体 中 ， 主 视 图 是 三 角 形 的 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： A、 主 视 图 为 长 方 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 主 视 图 为 三 角 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 主 视 图 为 长 方 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 主 视 图 为 长 方 形 ， 故 本 选 项 错 误 .答 案 ： B. 4.(3分 )下 列 图 形 中 ， 既 是 轴 对 称 图 形 ， 又 是 中 心 对 称 图 形
3、 的 是 ( ) A.B.C. D.解 析 ： A、 是 轴 对 称 图 形 ， 是 中 心 对 称 图 形 .故 此 选 项 正 确 ；B、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 .故 此 选 项 错 误 ；C、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 .故 此 选 项 错 误 ；D、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 .故 此 选 项 错 误 .答 案 ： A.5.(3分 )某 班 级 第 一 小 组 7 名 同 学 积 极 捐 出 自 己 的 零 花 钱 支 持 地 震 灾 区 ， 他 们 捐 款 的 数 额 分别 是
4、(单 位 ： 元 )50， 20， 50， 30， 25， 50， 55， 这 组 数 据 的 众 数 和 中 位 数 分 别 是 ( )A.50元 ， 20 元B.50元 ， 40 元C.50元 ， 50 元D.55元 ， 50 元 解 析 ： 50 出 现 了 3 次 ， 出 现 的 次 数 最 多 ， 则 众 数 是 50；把 这 组 数 据 从 小 到 大 排 列 为 ： 20， 25， 30， 50， 50， 50， 55，最 中 间 的 数 是 50， 则 中 位 数 是 50.答 案 ： C.6.(3分 )不 等 式 组 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 正 确 的 是 ( )
5、A. B.C. D.解 析 ： ， 由 得 ， x -2； 由 得 ， x 1，故 此 不 等 式 组 的 解 集 为 ： -2 x 1.在 数 轴 上 表 示 为 ：答 案 ： C.7.(3分 )炎 炎 夏 日 ， 甲 安 装 队 为 A小 区 安 装 60 台 空 调 ， 乙 安 装 队 为 B 小 区 安 装 50台 空 调 ，两 队 同 时 开 工 且 恰 好 同 时 完 工 ， 甲 队 比 乙 队 每 天 多 安 装 2台 .设 乙 队 每 天 安 装 x 台 ， 根 据 题意 ， 下 面 所 列 方 程 中 正 确 的 是 ( ) A.B.C.D.解 析 ： 设 乙 队 每 天 安
6、 装 x台 ， 则 甲 队 每 天 安 装 x+2台 ，由 题 意 得 ， 甲 队 用 的 时 间 为 ： ， 乙 队 用 的 时 间 为 ： ， 则 方 程 为 ： = .答 案 ： D. 8.(3分 )如 图 1， 在 矩 形 ABCD中 ， 动 点 E 从 点 B出 发 ， 沿 BADC方 向 运 动 至 点 C 处 停 止 ， 设点 E 运 动 的 路 程 为 x， BCE 的 面 积 为 y， 如 果 y关 于 x 的 函 数 图 象 如 图 2 所 示 ， 则 当 x=7时 ， 点 E 应 运 动 到 ( )A.点 C 处B.点 D 处C.点 B 处 D.点 A 处解 析 ： 当
7、E在 AB上 运 动 时 ， BCE的 面 积 不 断 增 大 ；当 E 在 AD 上 运 动 时 ， BC一 定 ， 高 为 AB不 变 ， 此 时 面 积 不 变 ；当 E 在 DC 上 运 动 时 ， BCE的 面 积 不 断 减 小 . 当 x=7时 ， 点 E 应 运 动 到 高 不 再 变 化 时 ， 即 点 D 处 .答 案 ： B.二 、 填 空 题9.(3分 )函 数 中 ， 自 变 量 x的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 根 据 题 意 得 ， x-5 0， 解 得 x 5.答 案 ： x 5.10.(3分 ) = . 解 析 ： 原 式 =1+2-2 =2.答 案 ：
8、 2.11.(3分 )甲 、 乙 、 丙 三 人 进 行 射 击 测 试 ， 每 人 10 次 射 击 成 绩 的 平 均 数 均 是 9.1环 ， 方 差 分别 为 ， ， ， 则 三 人 中 射 击 成 绩 最 稳 定 的 是 .解 析 ： ， ， ， 最 小 ， 三 人 中 射 击 成 绩 最 稳 定 的 是 乙 ；答 案 ： 乙 .12.(3分 )如 图 ， 直 线 AB、 CD相 交 于 点 E， DF AB.若 D=65 ， 则 AEC= . 解 析 ： DF AB， BED=180 - D， D=65 ， BED=115 ， AEC= BED=115 ，答 案 ： 115 .13
9、.(3分 )二 次 函 数 y=-x2+bx+c 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 一 次 函 数 y=bx+c 的 图 象 不 经 过 第象 限 .解 析 ： 根 据 图 象 得 ： a 0， b 0， c 0， 故 一 次 函 数 y=bx+c 的 图 象 不 经 过 第 四 象 限 . 答 案 ： 四 . 14.(3分 )一 个 圆 锥 形 零 件 ， 高 为 8cm， 底 面 圆 的 直 径 为 12cm， 则 此 圆 锥 的 侧 面 积 是cm2.解 析 ： 底 面 直 径 为 12cm， 则 底 面 周 长 =12 cm，由 勾 股 定 理 得 ， 母 线 长 =10cm， 所
10、以 侧 面 面 积 = 12 10=60 cm 2.答 案 ： 60 .15.(3分 )已 知 双 曲 线 和 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 点 C 是 y 轴 正 半 轴 上 一 点 ， 过 点 C作 AB x 轴 分 别 交 两 个 图 象 于 点 A、 B.若 CB=2CA， 则 k= . 解 析 ： 连 结 OA、 OB， 如 图 ， AB x 轴 ， 即 OC AB， 而 CB=2CA， S OBC=2S OAC， 点 A在 图 象 上 ， S OAC= 3= ， S OBC=2S OAC=3， |k|=3， 而 k 0， k=-6.答 案 ： -6.16.(3分 )按 如
11、 图 方 式 作 正 方 形 和 等 腰 直 角 三 角 形 .若 第 一 个 正 方 形 的 边 长 AB=1， 第 一 个 正 方形 与 第 一 个 等 腰 直 角 三 角 形 的 面 积 和 为 S 1， 第 二 个 正 方 形 与 第 二 个 等 腰 直 角 三 角 形 的 面 积 和为 S2， ， 则 第 n 个 正 方 形 与 第 n个 等 腰 直 角 三 角 形 的 面 积 和 Sn= . 解 析 ： 第 一 个 正 方 形 的 边 长 为 1，第 2 个 正 方 形 的 边 长 为 ( )1= ，第 3 个 正 方 形 的 边 长 为 ( )2= ， ，第 n 个 正 方 形
12、的 边 长 为 ( )n-1， 第 n个 正 方 形 的 面 积 为 ： ( ) 2n-1= ，则 第 n个 等 腰 直 角 三 角 形 的 面 积 为 ： = ，故 第 n个 正 方 形 与 第 n 个 等 腰 直 角 三 角 形 的 面 积 和 Sn= + = .答 案 ： .三 、 解 答 题 17.(8分 )先 化 简 ， 再 求 值 ： ， 其 中 x=3.解 析 ： 先 把 括 号 里 面 进 行 通 分 ， 再 把 所 得 的 结 果 相 减 ， 然 后 把 除 法 转 化 成 乘 法 ， 进 行 约 分 ，再 把 x 的 值 代 入 即 可 .答 案 ：= - = = = ；当
13、 x=3时 ， 原 式 = = .18.(8分 )在 如 图 的 方 格 纸 中 ， 每 个 小 方 格 都 是 边 长 为 1个 单 位 的 正 方 形 ， ABC的 三 个 顶 点都 在 格 点 上 .(每 个 小 方 格 的 顶 点 叫 格 点 ) (1)画 出 ABC向 下 平 移 3个 单 位 后 的 A1B1C1；(2)画 出 ABC绕 点 O顺 时 针 旋 转 90 后 的 A2B2C2， 并 求 点 A旋 转 到 A2所 经 过 的 路 线 长 .解 析 ： (1)根 据 平 移 的 规 律 找 到 出 平 移 后 的 对 应 点 的 坐 标 ， 顺 次 连 接 即 可 ；(2
14、)根 据 旋 转 的 性 质 找 出 旋 转 后 各 个 对 应 点 的 坐 标 ， 顺 次 连 接 即 可 .点 A 旋 转 到 A2所 经 过 的路 线 是 半 径 为 OA， 圆 心 角 是 90度 的 扇 形 的 弧 长 .答 案 ： (1)画 出 A1B1C1；(2)画 出 A 2B2C2连 接 OA， OA2， ，点 A 旋 转 到 A2所 经 过 的 路 线 长 为 . 19.(8分 )如 图 ， ABC中 ， AB=AC， AD是 ABC 外 角 的 平 分 线 ， 已 知 BAC= ACD.(1)求 证 ： ABC CDA；(2)若 B=60 ， 求 证 ： 四 边 形 AB
15、CD是 菱 形 .解 析 ： (1)求 出 B= ACB， 根 据 三 角 形 外 角 性 质 求 出 FAC=2 ACB=2 DAC， 推 出 DAC= ACB，根 据 ASA证 明 ABC和 CDA 全 等 ；(2)推 出 AD BC， AB CD， 得 出 平 行 四 边 形 ABCD， 根 据 B=60 ， AB=AC， 得 出 等 边 ABC， 推 出 AB=BC 即 可 .答 案 ： (1) AB=AC， B= ACB， FAC= B+ ACB=2 ACB， AD 平 分 FAC， FAC=2 CAD， CAD= ACB， 在 ABC和 CDA 中 ， ， ABC CDA(ASA)
16、；(2) FAC=2 ACB， FAC=2 DAC， DAC= ACB， AD BC， BAC= ACD， AB CD， 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， B=60 ， AB=AC， ABC是 等 边 三 角 形 ， AB=BC， 平 行 四 边 形 ABCD是 菱 形 .20.(10分 )某 中 学 为 了 解 全 校 学 生 到 校 上 学 的 方 式 ， 在 全 校 随 机 抽 取 了 若 干 名 学 生 进 行 问 卷调 查 .问 卷 给 出 了 五 种 上 学 方 式 供 学 生 选 择 ， 每 人 只 能 选 一 项 ， 且 不 能 不 选 .同 时 把 调 查 得
17、到的 结 果 绘 制 成 如 图 所 示 的 条 形 统 计 图 和 扇 形 统 计 图 (均 不 完 整 ).请 根 据 图 中 提 供 的 信 息 解 答下 列 问 题 ： (1)在 这 次 调 查 中 ， 一 共 抽 取 了 多 少 名 学 生 ？(2)通 过 计 算 补 全 条 形 统 计 图 ；(3)在 扇 形 统 计 图 中 ， “ 公 交 车 ” 部 分 所 对 应 的 圆 心 角 是 多 少 度 ？(4)若 全 校 有 1600名 学 生 ， 估 计 该 校 乘 坐 私 家 车 上 学 的 学 生 约 有 多 少 名 ？解 析 ： (1)上 学 方 式 为 自 行 车 的 人
18、数 除 以 所 占 的 百 分 比 ， 即 可 得 到 调 查 的 学 生 数 ；(2)根 据 总 人 数 乘 以 步 行 的 百 分 比 求 出 步 行 的 人 数 ， 补 全 条 形 统 计 图 即 可 ；(3)求 出 “ 公 交 车 ” 所 占 的 百 分 比 ， 乘 以 360度 即 可 得 到 结 果 ；(4)求 出 “ 私 家 车 ” 上 学 的 百 分 比 ， 乘 以 总 人 数 1600即 可 得 到 结 果 .答 案 ： (1)24 30%=80(名 )，答 ： 这 次 调 查 一 共 抽 取 了 80 名 学 生 ；(2)80 20%=16(名 )， 补 全 条 形 统 计
19、 图 ， 如 图 所 示 ； (3)根 据 题 意 得 ： 360 =117 ，答 ： 在 扇 形 统 计 图 中 ， “ 公 交 车 ” 部 分 所 对 应 的 圆 心 角 为 117 ； (4)根 据 题 意 得 ： 1600 =200(名 )，答 ： 估 计 该 校 乘 坐 私 家 车 上 学 的 学 生 约 有 200 名 .21.(10分 )小 丽 和 小 华 想 利 用 摸 球 游 戏 决 定 谁 去 参 加 市 里 举 办 的 书 法 比 赛 ， 游 戏 规 则 是 ： 在一 个 不 透 明 的 袋 子 里 装 有 除 数 字 外 完 全 相 同 的 4个 小 球 ， 上 面 分
20、 别 标 有 数 字 2， 3， 4， 5.一人 先 从 袋 中 随 机 摸 出 一 个 小 球 ， 另 一 人 再 从 袋 中 剩 下 的 3个 小 球 中 随 机 摸 出 一 个 小 球 .若 摸出 的 两 个 小 球 上 的 数 字 和 为 偶 数 ， 则 小 丽 去 参 赛 ； 否 则 小 华 去 参 赛 .(1)用 列 表 法 或 画 树 状 图 法 ， 求 小 丽 参 赛 的 概 率 .(2)你 认 为 这 个 游 戏 公 平 吗 ？ 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)列 表 或 树 状 图 得 出 所 有 等 可 能 的 情 况 数 ， 找 出 数 字 之 和 为 偶 数
21、的 情 况 数 ， 求 出 小丽 去 参 赛 的 概 率 ；(2)由 小 丽 参 赛 的 概 率 求 出 小 华 参 赛 的 概 率 ， 比 较 即 可 得 到 游 戏 公 平 与 否 . 答 案 ： (1)法 1： 根 据 题 意 列 表 得 ：由 表 可 知 所 有 可 能 结 果 共 有 12种 ， 且 每 种 结 果 发 生 的 可 能 性 相 同 ， 其 中 摸 出 的 两 个 小 球 上的 数 字 和 为 偶 数 的 结 果 有 4 种 ， 分 别 是 (2， 4)、 (3， 5)、 (4， 2)、 (5， 3)，所 以 小 丽 参 赛 的 概 率 为 = ；法 2： 根 据 题
22、意 画 树 状 图 如 下 ： 由 树 状 图 可 知 所 有 可 能 结 果 共 有 12种 ， 且 每 种 结 果 发 生 的 可 能 性 相 同 ， 其 中 摸 出 的 两 个 小球 上 的 数 字 和 为 偶 数 的 结 果 有 4 种 ， 分 别 是 (2， 4)、 (3， 5)、 (4， 2)、 (5， 3)，所 以 小 丽 参 赛 的 概 率 为 = ；(2)游 戏 不 公 平 ， 理 由 为 ： 小 丽 参 赛 的 概 率 为 ， 小 华 参 赛 的 概 率 为 1- = ， ， 这 个 游 戏 不 公 平 . 22.(8分 )如 图 ， 某 人 在 山 坡 坡 脚 C处 测
23、得 一 座 建 筑 物 顶 点 A 的 仰 角 为 60 ， 沿 山 坡 向 上 走到 P 处 再 测 得 该 建 筑 物 顶 点 A的 仰 角 为 45 .已 知 BC=90米 ， 且 B、 C、 D 在 同 一 条 直 线 上 ，山 坡 坡 度 为 (即 tan PCD= ). (1)求 该 建 筑 物 的 高 度 (即 AB 的 长 ).(2)求 此 人 所 在 位 置 点 P 的 铅 直 高 度 .(测 倾 器 的 高 度 忽 略 不 计 ， 结 果 保 留 根 号 形 式 )解 析 ： (1)过 点 P 作 PE BD 于 E， PF AB 于 F， 在 Rt ABC中 ， 求 出
24、AB的 长 度 即 可 ；(2)设 PE=x米 ， 则 BF=PE=x 米 ， 根 据 山 坡 坡 度 为 ， 用 x 表 示 CE 的 长 度 ， 然 后 根 据 AF=PF列 出 等 量 关 系 式 ， 求 出 x 的 值 即 可 .答 案 ： (1)过 点 P 作 PE BD 于 E， PF AB 于 F， 又 AB BC于 B， 四 边 形 BEPF 是 矩 形 ， PE=BF， PF=BE， 在 Rt ABC中 ， BC=90米 ， ACB=60 ， AB=BC tan60 =90 (米 )，故 建 筑 物 的 高 度 为 90 米 ；(2)设 PE=x米 ， 则 BF=PE=x米
25、， 在 Rt PCE中 ， tan PCD= = ， CE=2x， 在 Rt PAF中 ， APF=45 ， AF=AB-BF=90 -x， PF=BE=BC+CE=90+2x，又 AF=PF， 90 -x=90+2x， 解 得 ： x=30 -30，答 ： 人 所 在 的 位 置 点 P 的 铅 直 高 度 为 ( )米 .23.(10分 )如 图 ， 点 C 是 以 AB为 直 径 的 O上 的 一 点 ， AD与 过 点 C的 切 线 互 相 垂 直 ， 垂 足为 点 D. (1)求 证 ： AC平 分 BAD；(2)若 CD=1， AC= ， 求 O 的 半 径 长 .解 析 ： (1
26、)连 接 OC.先 由 OA=OC， 可 得 ACO= CAO， 再 由 切 线 的 性 质 得 出 OC CD， 根 据 垂 直于 同 一 直 线 的 两 直 线 平 行 得 到 AD CO， 由 平 行 线 的 性 质 得 DAC= ACO， 等 量 代 换 后 可 得 DAC= CAO， 即 AC平 分 BAD；(2)解 法 一 ： 如 图 2 ， 过 点 O 作 OE AC于 E.先 在 Rt ADC 中 ， 由 勾 股 定 理 求 出 AD=3， 由垂 径 定 理 求 出 AE= ， 再 根 据 两 角 对 应 相 等 的 两 三 角 形 相 似 证 明 AEO ADC， 由 相 似
27、 三角 形 对 应 边 成 比 例 得 到 ， 求 出 AO= ， 即 O 的 半 径 为 ； 解 法 二 ： 如 图 2 ， 连 接BC.先 在 Rt ADC 中 ， 由 勾 股 定 理 求 出 AD=3， 再 根 据 两 角 对 应 相 等 的 两 三 角 形 相 似 证 明 ABC ACD， 由 相 似 三 角 形 对 应 边 成 比 例 得 到 ， 求 出 AB= ， 则 O 的 半 径 为 . 答 案 ： (1)连 接 OC. OA=OC， ACO= CAO. CD切 O 于 C， OC CD，又 AD CD， AD CO， DAC= ACO， DAC= CAO， 即 AC 平 分
28、BAD； (2)解 法 一 ： 如 图 2 ， 过 点 O作 OE AC于 E. 在 Rt ADC中 ， AD= = =3， OE AC， AE= AC= . CAO= DAC， AEO= ADC=90 ， AEO ADC， ， 即 ， AO= ， 即 O 的 半 径 为 .解 法 二 ： 如 图 2 ， 连 接 BC. 在 Rt ADC中 ， AD= = =3. AB 是 O直 径 ， ACB=90 ， CAB= DAC， ACB= ADC=90 ， ABC ACD， ， 即 ， AB= ， = ，即 O的 半 径 为 .24.(12分 )为 了 落 实 国 务 院 的 指 示 精 神 ，
29、某 地 方 政 府 出 台 了 一 系 列 “ 三 农 ” 优 惠 政 策 ， 使 农民 收 入 大 幅 度 增 加 .某 农 户 生 产 经 销 一 种 农 产 品 ， 已 知 这 种 产 品 的 成 本 价 为 每 千 克 20 元 ， 市场 调 查 发 现 ， 该 产 品 每 天 的 销 售 量 y(千 克 )与 销 售 价 x(元 /千 克 )有 如 下 关 系 ： y=-2x+80.设这 种 产 品 每 天 的 销 售 利 润 为 w元 . (1)求 w 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 .(2)该 产 品 销 售 价 定 为 每 千 克 多 少 元 时 ， 每 天 的 销 售
30、 利 润 最 大 ？ 最 大 利 润 是 多 少 元 ？(3)如 果 物 价 部 门 规 定 这 种 产 品 的 销 售 价 不 高 于 每 千 克 28元 ， 该 农 户 想 要 每 天 获 得 150 元 的销 售 利 润 ， 销 售 价 应 定 为 每 千 克 多 少 元 ？解 析 ： (1)根 据 销 售 额 =销 售 量 销 售 单 价 ， 列 出 函 数 关 系 式 ；(2)用 配 方 法 将 (2)的 函 数 关 系 式 变 形 ， 利 用 二 次 函 数 的 性 质 求 最 大 值 ；(3)把 y=150 代 入 (2)的 函 数 关 系 式 中 ， 解 一 元 二 次 方 程
31、 求 x， 根 据 x的 取 值 范 围 求 x的 值 .答 案 ： (1)由 题 意 得 出 ： w=(x-20) y=(x-20)(-2x+80)=-2x 2+120 x-1600，故 w 与 x 的 函 数 关 系 式 为 ： w=-2x2+120 x-1600；(2)w=-2x2+120 x-1600=-2(x-30)2+200， -2 0， 当 x=30时 ， w 有 最 大 值 .w最 大 值 为 200.答 ： 该 产 品 销 售 价 定 为 每 千 克 30 元 时 ， 每 天 销 售 利 润 最 大 ， 最 大 销 售 利 润 200 元 .(3)当 w=150 时 ， 可
32、得 方 程 -2(x-30)2+200=150.解 得 x1=25， x2=35. 35 28， x2=35 不 符 合 题 意 ， 应 舍 去 .答 ： 该 农 户 想 要 每 天 获 得 150元 的 销 售 利 润 ， 销 售 价 应 定 为 每 千 克 25元 .25.(14分 )如 图 1， ABC为 等 腰 直 角 三 角 形 ， ACB=90 ， F是 AC边 上 的 一 个 动 点 (点 F与 A、 C 不 重 合 )， 以 CF 为 一 边 在 等 腰 直 角 三 角 形 外 作 正 方 形 CDEF， 连 接 BF、 AD. (1) 猜 想 图 1 中 线 段 BF、 AD
33、的 数 量 关 系 及 所 在 直 线 的 位 置 关 系 ， 直 接 写 出 结 论 ； 将 图 1 中 的 正 方 形 CDEF， 绕 着 点 C按 顺 时 针 (或 逆 时 针 )方 向 旋 转 任 意 角 度 ， 得 到 如 图 2、图 3 的 情 形 .图 2 中 BF 交 AC 于 点 H， 交 AD于 点 O， 请 你 判 断 中 得 到 的 结 论 是 否 仍 然 成 立 ，并 选 取 图 2证 明 你 的 判 断 .(2)将 原 题 中 的 等 腰 直 角 三 角 形 ABC改 为 直 角 三 角 形 ABC， ACB=90 ， 正 方 形 CDEF改 为 矩形 CDEF，
34、如 图 4， 且 AC=4， BC=3， CD= ， CF=1， BF 交 AC 于 点 H， 交 AD于 点 O， 连 接 BD、AF， 求 BD 2+AF2的 值 .解 析 ： (1) 证 BCF ACD推 出 CAD= FBC， BF=AD， 即 可 得 出 结 论 ； 证 BCF ACD推 出 CAD= FBC， BF=AD， 即 可 得 出 结 论 ；(2)连 接 FD， 根 据 (1)得 出 BO AD， 根 据 勾 股 定 理 得 出 BD2=OB2+OD2， AF2=OA2+OF2， AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2， 推 出 BD2+AF2=AB2+DF2， 即
35、 可 求 出 答 案 .答 案 ： (1) BF=AD， BF AD； BF=AD， BF AD仍 然 成 立 ，证 明 ： ABC是 等 腰 直 角 三 角 形 ， ACB=90 ， AC=BC， 四 边 形 CDEF 是 正 方 形 ， CD=CF， FCD=90 ， ACB+ ACF= FCD+ ACF，即 BCF= ACD，在 BCF和 ACD中 ， ， BCF ACD(SAS)， BF=AD， CBF= CAD， 又 BHC= AHO， CBH+ BHC=90 ， CAD+ AHO=90 ， AOH=90 ， BF AD；(2)连 接 DF， 四 边 形 CDEF 是 矩 形 ， F
36、CD=90 ，又 ACB=90 ， ACB= FCD ACB+ ACF= FCD+ ACF， 即 BCF= ACD， AC=4， BC=3， CD= ， CF=1， ， BCF ACD， CBF= CAD，又 BHC= AHO， CBH+ BHC=90 CAD+ AHO=90 ， AOH=90 ， BF AD， BOD= AOB=90 ， BD2=OB2+OD2， AF2=OA2+OF2， AB2=OA2+OB2， DF2=OF2+OD2， BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2， 在 Rt ABC中 ， ACB=90 ， AC=4， BC=3， AB2=AC2+BC2
37、=32+42=25， 在 Rt FCD中 ， FCD=90 ， CD= ， CF=1， ， BD 2+AF2= = .26.(14分 )如 图 ， 抛 物 线 与 x轴 交 于 A(1， 0)、 B(-3， 0)两 点 ， 与 y 轴 交 于 点 C(0， 3)， 设抛 物 线 的 顶 点 为 D. (1)求 该 抛 物 线 的 解 析 式 与 顶 点 D 的 坐 标 .(2)试 判 断 BCD的 形 状 ， 并 说 明 理 由 .(3)探 究 坐 标 轴 上 是 否 存 在 点 P， 使 得 以 P、 A、 C 为 顶 点 的 三 角 形 与 BCD相 似 ？ 若 存 在 ， 请直 接 写
38、出 点 P 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)利 用 待 定 系 数 法 即 可 求 得 函 数 的 解 析 式 ；(2)利 用 勾 股 定 理 求 得 BCD的 三 边 的 长 ， 然 后 根 据 勾 股 定 理 的 逆 定 理 即 可 作 出 判 断 ；(3)分 p 在 x 轴 和 y 轴 两 种 情 况 讨 论 ， 舍 出 P 的 坐 标 ， 根 据 相 似 三 角 形 的 对 应 边 的 比 相 等 即可 求 解 .答 案 ： (1)设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=ax 2+bx+c由 抛 物 线 与 y 轴 交 于 点 C(0， 3)
39、， 可 知 c=3.即 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=ax2+bx+3.把 点 A(1， 0)、 点 B(-3， 0)代 入 ， 得 解 得 a=-1， b=-2， 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=-x2-2x+3. y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4 顶 点 D 的 坐 标 为 (-1， 4)；(2) BCD是 直 角 三 角 形 .理 由 如 下 ： 解 法 一 ： 过 点 D 分 别 作 x 轴 、 y轴 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 E、 F. 在 Rt BOC中 ， OB=3， OC=3， BC2=OB2+OC2=18在 Rt CDF中 ， DF=1， CF=O
40、F-OC=4-3=1， CD2=DF2+CF2=2，在 Rt BDE中 ， DE=4， BE=OB-OE=3-1=2， BD2=DE2+BE2=20， BC2+CD2=BD2， BCD 为 直 角 三 角 形 .解 法 二 ： 过 点 D作 DF y轴 于 点 F.在 Rt BOC中 ， OB=3， OC=3， OB=OC， OCB=45 ， 在 Rt CDF中 ， DF=1， CF=OF-OC=4-3=1， DF=CF， DCF=45 ， BCD=180 - DCF- OCB=90 ， BCD为 直 角 三 角 形 .(3) BCD的 三 边 ， = = ， 又 = ， 故 当 P是 原 点
41、 O时 ， ACP DBC； 当 AC是 直 角 边 时 ， 若 AC 与 CD 是 对 应 边 ， 设 P 的 坐 标 是 (0， a)， 则 PC=3-a， = ，即 = ， 解 得 ： a=-9， 则 P 的 坐 标 是 (0， -9)， 三 角 形 ACP不 是 直 角 三 角 形 ， 则 ACP CBD不 成 立 ； 当 AC是 直 角 边 ， 若 AC与 BC是 对 应 边 时 ， 设 P 的 坐 标 是 (0， b)， 则 PC=3-b， 则 = ，即 = ， 解 得 ： b=- ， 故 P 是 (0， - )时 ， 则 ACP CBD一 定 成 立 ； 当 P在 x轴 上 时 ， AC 是 直 角 边 ， P 一 定 在 B 的 左 侧 ， 设 P 的 坐 标 是 (d， 0).则 AP=1-d， 当 AC与 CD 是 对 应 边 时 ， = ， 即 = ， 解 得 ： d=1-3 ， 此 时 ，两 个 三 角 形 不 相 似 ； 当 P在 x轴 上 时 ， AC 是 直 角 边 ， P 一 定 在 B 的 左 侧 ， 设 P 的 坐 标 是 (e， 0).则 AP=1-e， 当 AC与 DC 是 对 应 边 时 ， = ， 即 = ， 解 得 ： e=-9， 符 合 条 件 .总 之 ， 符 合 条 件 的 点 P 的 坐 标 为 ： .
