1、2018年 上 海 市 杨 浦 区 中 考 一 模 数 学一 、 选 择 题 : (本 大 题 共 6 题 , 每 题 4 分 , 满 分 24 分 )1.如 果 5x=6y, 那 么 下 列 结 论 正 确 的 是 ( )A.x: 6=y: 5B.x: 5=y: 6C.x=5, y=6D.x=6, y=5解 析 : 直 接 利 用 比 例 的 性 质 将 原 式 变 形 , 5x=6y, 6 5x y . 故 选 项 A 正 确 .答 案 : A2.下 列 条 件 中 , 一 定 能 判 断 两 个 等 腰 三 角 形 相 似 的 是 ( )A.都 含 有 一 个 40 的 内 角B.都 含
2、 有 一 个 50 的 内 角C.都 含 有 一 个 60 的 内 角D.都 含 有 一 个 70 的 内 角解 析 : 因 为 A, B, D 给 出 的 角 40 , 50 , 70 可 能 是 顶 角 也 可 能 是 底 角 , 所 以 不 对 应 ,则 不 能 判 定 两 个 等 腰 三 角 形 相 似 ; 故 A, B, D 错 误 ;C、 有 一 个 60 的 内 角 的 等 腰 三 角 形 是 等 边 三 角 形 , 所 有 的 等 边 三 角 形 相 似 , 故 C 正 确 .答 案 : C 3.如 果 ABC DEF, A、 B 分 别 对 应 D、 E, 且 AB: DE=
3、1: 2, 那 么 下 列 等 式 一 定 成 立 的 是 ( )A.BC: DE=1: 2B. ABC的 面 积 : DEF 的 面 积 =1: 2C. A的 度 数 : D 的 度 数 =1: 2D. ABC的 周 长 : DEF 的 周 长 =1: 2解 析 : A、 BC与 EF 是 对 应 边 , 所 以 , BC: DE=1: 2 不 一 定 成 立 , 故 本 选 项 错 误 ;B、 ABC的 面 积 : DEF的 面 积 =1: 4, 故 本 选 项 错 误 ;C、 A的 度 数 : D的 度 数 =1: 1, 故 本 选 项 错 误 ;D、 ABC的 周 长 : DEF的 周
4、 长 =1: 2正 确 , 故 本 选 项 正 确 .答 案 : D4.如 果 2a b (ab , 均 为 非 零 向 量 ), 那 么 下 列 结 论 错 误 的 是 ( ) A. | 2a b B. 2 0a b C. 12b a D. 2a b 解 析 : A、 正 确 .因 为 2a b (ab , 均 为 非 零 向 量 ), 所 以 a 与 b 是 方 向 相 同 的 向 量 , 即 |a b ;B、 错 误 .应 该 是 2 0a b ;C、 正 确 .由 2a b 可 得 12b a ;D、 正 确 .因 为 2a b 所 以 2a b .答 案 : B 5.如 果 二 次
5、函 数 y=ax2+bx+c(a 0)的 图 象 如 图 所 示 , 那 么 下 列 不 等 式 成 立 的 是 ( )A.a 0B.b 0C.ac 0D.bc 0. 解 析 : 抛 物 线 开 口 向 下 , a 0, 抛 物 线 的 对 称 轴 在 y 轴 的 右 侧 , x= 2ba 0, b 0, 抛 物 线 与 y 轴 的 交 点 在 x 轴 上 方 , c 0, ac 0, bc 0.答 案 : C6.如 图 , 在 ABC中 , 点 D、 E、 F 分 别 在 边 AB、 AC、 BC上 , 且 AED= B, 再 将 下 列 四 个 选项 中 的 一 个 作 为 条 件 , 不
6、 一 定 能 使 得 ADE BDF的 是 ( ) A. EA EDBD BFB. EA EDBF BDC. AD AEBD BFD. BD BABF BC .解 析 : A、 AED= B, EA EDBD BF , ADE BDF, 正 确 ;B、 AED= B, EA EDBF BD , ADE BDF, 正 确 ;C、 AED= B, AD AEBD BF , 不 是 夹 角 , 不 能 得 出 ADE BDF, 错 误 ; D、 AED= B, BD ABBF BC , ABC BDF, A= A, B= AED, AED ABC, ADE BDF, 正 确 ;答 案 : C二 、
7、填 空 题 : (本 大 题 共 12 题 , 每 题 4分 , 满 分 48 分 )7.抛 物 线 y=x2 3 的 顶 点 坐 标 是 _.解 析 : 抛 物 线 y=x 2 3, 抛 物 线 y=x2 3 的 顶 点 坐 标 是 : (0, 3),答 案 : (0, 3)8.化 简 : 1 12 32 2a b a b =_.解 析 : 1 12 32 2a b a b = 32 32a b a b = 1 42 a b 答 案 : 1 42 a b 9.点 A( 1, m)和 点 B( 2, n)都 在 抛 物 线 y=(x 3)2+2上 , 则 m与 n的 大 小 关 系 为 m_n
8、(填“ ” 或 “ ” ).解 析 : 二 次 函 数 的 解 析 式 为 y=(x 3)2+2, 该 抛 物 线 开 口 向 上 , 对 称 轴 为 x=3, 在 对 称 轴 y 的 左 侧 y 随 x 的 增 大 而 减 小 , 1 2, m n.答 案 : 10.请 写 出 一 个 开 口 向 下 , 且 与 y 轴 的 交 点 坐 标 为 (0, 4)的 抛 物 线 的 表 达 式 _.解 析 : 因 为 抛 物 线 的 开 口 向 下 ,则 可 设 a= 1,又 因 为 抛 物 线 与 y 轴 的 交 点 坐 标 为 (0, 4),则 可 设 顶 点 为 (0, 4), 所 以 此
9、时 抛 物 线 的 解 析 式 为 y= x2+4.答 案 : y= x2+411.如 图 , DE FG BC, AD: DF: FB=2: 3: 4, 如 果 EG=4, 那 么 AC=_.解 析 : DE FG BC, AE: EG: GC=AD: DF: FB=2: 3: 4, EG=4, AE= 83 , GC=163 , AC=AE+EG+GC=12,答 案 : 1212.如 图 , 在 ABCD中 , AC、 BD相 交 于 点 O, 点 E是 OA的 中 点 , 联 结 BE并 延 长 交 AD于 点 F,如 果 AEF的 面 积 是 4, 那 么 BCE的 面 积 是 _.
10、解 析 : 在 ABCD中 , AO= 12 AC, 点 E是 OA的 中 点 , AE= 13 CE, AD BC, AFE CBE, 13AF AEBC CE , S AEF=4, 2 19AEFBCES AFS BC , S BCE=36.答 案 : 3613.Rt ABC中 , C=90 , 如 果 AC=9, cosA= 13 , 那 么 AB=_.解 析 : 如 图 . 在 Rt ABC中 , C=90 , AC=9, cosA= 13ACAB , 9 13AB , AB=27.答 案 : 2714.如 果 某 人 滑 雪 时 沿 着 一 斜 坡 下 滑 了 130米 的 同 时
11、, 在 铅 垂 方 向 上 下 降 了 50米 , 那 么 该 斜坡 的 坡 度 是 1: _.解 析 : 由 题 意 得 , 水 平 距 离 = 2 2130 50 =120,则 该 斜 坡 的 坡 度 i=50: 120=1: 2.4.答 案 : 2.415.如 图 , Rt ABC中 , C=90 , M是 AB 中 点 , MH BC, 垂 足 为 点 H, CM与 AH交 于 点 O, 如 果 AB=12, 那 么 CO=_.解 析 : C=90 ,CM是 AB边 上 的 中 线 , CM= 12 AB=6, MH BC, H 是 BC 的 中 点 , AH 是 BC边 上 的 中
12、线 , AH 与 CM交 于 点 O, O 是 ABC的 重 心 , 23COCM , CO= 23 CM=4,答 案 : 416.已 知 抛 物 线 y=ax 2+2ax+c, 那 么 点 P( 3, 4)关 于 该 抛 物 线 的 对 称 轴 对 称 的 点 的 坐 标 是_.解 析 : y=ax2+2ax+c, 抛 物 线 对 称 轴 为 x= 2aa = 1, P( 3, 4)关 于 对 称 轴 对 称 的 点 的 坐 标 为 (1, 4),答 案 : (1, 4)17.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 将 点 ( b, a)称 为 点 (a, b)的 “ 关 联 点 ” (例
13、如 点 ( 2, 1)是 点 (1, 2)的 “ 关 联 点 ” ).如 果 一 个 点 和 它 的 “ 关 联 点 ” 在 同 一 象 限 内 , 那 么 这 一 点 在 第_象 限 .解 析 : 若 a, b 同 号 , 则 b, a 也 同 号 且 符 号 改 变 , 此 时 点 ( b, a), 点 (a, b)分 别 在 一 三 象 限 , 不 合 题 意 ;若 a, b 异 号 , 则 b, a也 异 号 , 此 时 点 ( b, a), 点 (a, b)都 在 第 二 或 第 四 象 限 , 符合 题 意 ;答 案 : 二 、 四18.如 图 , 在 ABC 中 , AB=AC,
14、 将 ABC绕 点 A 旋 转 , 当 点 B 与 点 C 重 合 时 , 点 C 落 在 点 D处 , 如 果 sinB= 23 , BC=6, 那 么 BC 的 中 点 M 和 CD的 中 点 N的 距 离 是 _. 解 析 : 如 图 所 示 , 连 接 BD, AM, AB=AC, M是 BC的 中 点 , BC=6, AM BC, sinB= 23 , BM=3, Rt ABM中 , 由 勾 股 定 理 可 得 : AM= 6 55 , AB= 9 55 =AC, ACB= ACD, BC=DC, BD AC, BH=DH, 12 BC AM= 12 AC BH, BH= BC AM
15、AC =4, BD=2BH=8,又 M是 BC的 中 点 , N 是 CD 的 中 点 , MN= 12 BD=4,答 案 : 4三 、 解 答 题 : (本 大 题 共 7 题 , 满 分 78分 )19.计 算 : cos 45 tan 45 sin 60 cot 60cot 45 2sin 30 .解 析 : 直 接 将 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 代 入 求 出 答 案 .答 案 : 原 式 = 2 3 312 2 311 2 2 = 2 12 22= 2 14 .20.已 知 : 如 图 , Rt ABC 中 , ACB=90 , sinB= 35 , 点 D、 E 分 别
16、在 边 AB、 BC 上 , 且 AD:DB=2: 3, DE BC.(1)求 DCE的 正 切 值 ;(2)如 果 设 AB aCD b , , 试 用 ab 、 表 示 AC . 解 析 : (1)设 AC=3a, AB=5a.则 BC=4a.想 办 法 求 出 DE、 CE, 根 据 tan DCE= DECE 即 可 解 决 问题 ;(2)根 据 AC AD DC , 只 要 求 出 AD DC 、 即 可 解 决 问 题 ;答 案 : (1) ACB=90 , sinB= 35 , 35ACAB , 设 AC=3a, AB=5a.则 BC=4a. AD: DB=2: 3, AD=2a
17、, DB=3a. ACB=90 即 AC BC, 又 DE BC, AC DE. DE BD CE ADAC AB CB AB , . 3 23 5 4 5DE a CE aa a a a , . DE= 95 a, CE= 85 a, DE BC, tan DCE= 98DECE .(2) AD: DB=2: 3, AD: AB=2: 5, AB aCD b , , 25AD aDC b , , AC AD DC , 25AC a b .21.甲 、 乙 两 人 分 别 站 在 相 距 6 米 的 A、 B 两 点 练 习 打 羽 毛 球 , 已 知 羽 毛 球 飞 行 的 路 线 为 抛
18、物线 的 一 部 分 , 甲 在 离 地 面 1米 的 C处 发 出 一 球 , 乙 在 离 地 面 1.5米 的 D 处 成 功 击 球 , 球 飞 行过 程 中 的 最 高 点 H与 甲 的 水 平 距 离 AE 为 4米 , 现 以 A 为 原 点 , 直 线 AB 为 x 轴 , 建 立 平 面 直角 坐 标 系 (如 图 所 示 ).求 羽 毛 球 飞 行 的 路 线 所 在 的 抛 物 线 的 表 达 式 及 飞 行 的 最 高 高 度 . 解 析 : 首 先 利 用 函 数 对 称 轴 以 及 图 象 上 点 的 坐 标 , 进 而 求 出 解 析 式 , 进 而 得 出 答 案
19、 .答 案 : 由 题 意 得 : C(0, 1), D(6, 1.5), 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=4,设 抛 物 线 的 表 达 式 为 : y=ax2+bx+1(a 0),则 据 题 意 得 : 421.5 36 6 1ba a b ,解 得 : 12413ab , 羽 毛 球 飞 行 的 路 线 所 在 的 抛 物 线 的 表 达 式 为 : 21 1 124 3y x x , 21 5424 3y x , 飞 行 的 最 高 高 度 为 : 53 米 .22.如 图 是 某 路 灯 在 铅 垂 面 内 的 示 意 图 , 灯 柱 BC的 高 为 10米 , 灯 柱
20、BC 与 灯 杆 AB的 夹 角 为120 .路 灯 采 用 锥 形 灯 罩 , 在 地 面 上 的 照 射 区 域 DE的 长 为 13.3 米 , 从 D、 E 两 处 测 得 路 灯A的 仰 角 分 别 为 和 45 , 且 tan =6.求 灯 杆 AB的 长 度 . 解 析 : 过 点 A 作 AF CE, 交 CE于 点 F, 过 点 B 作 BG AF, 交 AF 于 点 G, 则 FG=BC=10.设 AF=x知 EF=AF=x、 tan 6AF xDF ADF , 由 DE=13.3求 得 x=11.4, 据 此 知 AG=AF GF=1.4, 再求 得 ABG= ABC C
21、BG=30 可 得 AB=2AG=2.8.答 案 : 过 点 A 作 AF CE, 交 CE于 点 F, 过 点 B 作 BG AF, 交 AF 于 点 G, 则 FG=BC=10. 由 题 意 得 ADE= , E=45 .设 AF=x. E=45 , EF=AF=x.在 Rt ADF中 , tan ADF= AFDF , tan tan 6AF x xDF ADF , DE=13.3, x+ 6x =13.3. x=11.4. AG=AF GF=11.4 10=1.4. ABC=120 , ABG= ABC CBG=120 90 =30 . AB=2AG=2.8,答 : 灯 杆 AB的 长
22、 度 为 2.8米 .23.已 知 : 梯 形 ABCD 中 , AD BC, AD=AB, 对 角 线 AC、 BD 交 于 点 E, 点 F 在 边 BC 上 , 且 BEF= BAC.(1)求 证 : AED CFE;(2)当 EF DC 时 , 求 证 : AE=DE. 解 析 : (1)首 先 根 据 已 知 得 出 ABD= FEC, 以 及 DAE= ECF, 进 而 求 出 AED CFE,(2)根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 得 出 AEB DEC, 再 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 解 答 即 可 .答 案 : 证 明 : (1) BEC= BAC+ AB
23、D, BEC= BEF+ FEC,又 BEF= BAC, ABD= FEC, AD=AB, ABD= ADB, FEC= ADB, AD BC, DAE= ECF, AED CFE;(2) EF DC, FEC= ECD, ABD= FEC, ABD= ECD, AEB= DEC. AEB DEC, AE BEDE CE , AD BC, AE DECE BE , AE AE BE DEDE CE CE BE .即 AE2=DE2, AE=DE.24.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 抛 物 线 y= x2+2mx m2 m+1交 y轴 于 点 为 A, 顶 点 为 D, 对称
24、轴 与 x 轴 交 于 点 H.(1)求 顶 点 D 的 坐 标 (用 含 m 的 代 数 式 表 示 );(2)当 抛 物 线 过 点 (1, 2), 且 不 经 过 第 一 象 限 时 , 平 移 此 抛 物 线 到 抛 物 线 y= x 2+2x 的 位置 , 求 平 移 的 方 向 和 距 离 ;(3)当 抛 物 线 顶 点 D 在 第 二 象 限 时 , 如 果 ADH= AHO, 求 m 的 值 . 解 析 : (1)利 用 配 方 法 将 函 数 关 系 式 变 形 为 y= (x m)2 m+1, 从 而 可 得 到 点 D 的 坐 标 ;(2)将 点 (1, 2)代 入 抛
25、物 线 的 解 析 式 可 求 得 m 的 值 , 然 后 求 得 平 移 前 后 的 抛 物 线 的 顶 点 坐标 , 从 而 可 得 到 抛 物 线 平 移 的 方 向 和 距 离 ;(3)分 为 点 A 在 y轴 的 正 半 轴 上 和 负 半 轴 上 两 种 情 况 画 出 图 形 , 然 后 过 点 A作 AG DH, 垂 足为 G, 由 ADH= AHO可 得 到 AG AODG HO , 然 后 依 据 比 例 关 系 列 出 关 于 m的 方 程 求 解 即 可 .答 案 : (1) y= x2+2mx m2 m+1= (x m)2 m+1, 顶 点 D(m, 1 m). (2
26、) 抛 物 线 y= x2+2mx m2 m+1过 点 (1, 2), 2= 1+2m m2 m+1.整 理 得 : m2 m 2=0. m= 1(舍 )或 m=2.当 m=2时 , 抛 物 线 的 顶 点 是 (2, 1), 向 左 平 移 了 1个 单 位 , 向 上 平 移 了 2个 单 位 .(3) 顶 点 D 在 第 二 象 限 , m 0.当 点 A在 y轴 的 正 半 轴 上 ,如 图 (1)作 AG DH 于 点 G, A(0, m2 m+1), D(m, m+1), H(m, 0), G(m, m2 m+1) ADH= AHO, tan ADH=tan AHO, AG AOD
27、G HO . 22 11 1m m mmm m m .整 理 得 : m 2+m=0. m= 1 或 m=0(舍 ).当 点 A在 y轴 的 负 半 轴 上 , 如 图 (2).作 AG DH 于 点 G, A(0, m 2 m+1), D(m, m+1), H(m, 0), G(m, m2 m+1) ADH= AHO, tan ADH=tan AHO, AG AODG HO . 22 11 1m m mmm m m .整 理 得 : m2+m 2=0. m= 2 或 m=1(舍 ).综 上 所 述 , m 的 值 为 1 或 2.25.已 知 : 矩 形 ABCD中 , AB=4, BC=3
28、, 点 M、 N 分 别 在 边 AB、 CD上 , 直 线 MN交 矩 形 对 角 线AC于 点 E, 将 AME沿 直 线 MN翻 折 , 点 A 落 在 点 P 处 , 且 点 P在 射 线 CB上 .(1)如 图 1, 当 EP BC时 , 求 CN 的 长 ;(2)如 图 2, 当 EP AC时 , 求 AM 的 长 ; (3)请 写 出 线 段 CP 的 长 的 取 值 范 围 , 及 当 CP的 长 最 大 时 MN 的 长 .解 析 : (1)先 由 折 叠 得 出 AEM= PEM, AE=PE, 再 判 断 出 AB EP, 进 而 判 断 出 CN=CE, 最 后用 锐
29、角 三 角 函 数 即 可 得 出 结 论 ;(2)先 由 锐 角 三 角 函 数 求 出 AE, CE, 再 用 勾 股 定 理 求 出 PC, 最 后 勾 股 定 理 建 立 方 程 即 可 得出 结 论 ;(3)先 确 定 出 PC最 大 和 最 小 时 的 位 置 , 即 可 得 出 PC 的 范 围 , 最 后 用 折 叠 的 性 质 和 勾 股 定 理 即 可 得 出 结 论 .答 案 : (1) AME沿 直 线 MN翻 折 , 点 A 落 在 点 P 处 , AME PME. AEM= PEM, AE=PE. ABCD是 矩 形 , AB BC. EP BC, AB EP. A
30、ME= PEM. AEM= AME. AM=AE, ABCD是 矩 形 , AB DC. AM AECN CE . CN=CE,设 CN=CE=x. ABCD是 矩 形 , AB=4, BC=3, AC=5. PE=AE=5 x. EP BC, 4 5 4sin 5 5EP xACBCE x , x= 259 ,即 CN= 259(2) AME沿 直 线 MN翻 折 , 点 A落 在 点 P处 , AME PME. AE=PE, AM=PM. EP AC, 4tan 3EP ACBCE . 43AECE . AC=5, AE= 207 , CE=157 . PE= 207 , EP AC, P
31、C= 2 2 257PE EC . PB=PC BC= 47 , 在 Rt PMB中 , PM2=PB2+MB2, AM=PM. AM2=( 47 )2+(4 AM)2. AM=10049 ;(3) 四 边 形 ABCD是 矩 形 , ABC=90 ,在 Rt ABC中 , AB=4, BC=3, 根 据 勾 股 定 理 得 , AC=5,由 折 叠 知 , AE=PE,由 三 角 形 的 三 边 关 系 得 , PE+CE PC, AC PC, PC 5, 点 E是 AC中 点 时 , PC最 小 为 0, 当 点 E 和 点 C 重 合 时 , PC最 大 为 AC=5, 0 CP 5,如 图 , 当 点 C, N, E重 合 时 , PC=BC+BP=5, BP=2,由 折 叠 知 , PM=AM, 在 Rt PBM中 , PM=4 BM, 根 据 勾 股 定 理 得 , PM2 BM2=BP2, (4 BM)2 BM2=4, BM= 32 ,在 Rt BCM中 , 根 据 勾 股 定 理 得 , MN= 2 2 3 52BCBM .当 CP 最 大 时 MN= 3 52 ,