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    2017年浙江省湖州四中教育集团中考一模数学及答案解析.docx

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    2017年浙江省湖州四中教育集团中考一模数学及答案解析.docx

    1、2017年 浙 江 省 湖 州 四 中 教 育 集 团 中 考 一 模 数 学一 、 选 择 题 (本 题 有 10 小 题 , 每 小 题 3分 , 共 30分 )1.-5的 相 反 数 是 ( )A.-5B.5C. 15D. 15解 析 : 根 据 相 反 数 的 概 念 可 知 -5 的 相 反 数 是 5. 答 案 : B.2.下 面 几 个 几 何 体 , 主 视 图 是 圆 的 是 ( )A.B. C.D.解 析 : 分 别 判 断 A, B, C, D 的 主 视 图 , 即 可 解 答 .A、 主 视 图 为 正 方 形 , 故 错 误 ;B、 主 视 图 为 圆 , 正 确

    2、;C、 主 视 图 为 三 角 形 , 故 错 误 ;D、 主 视 图 为 长 方 形 , 故 错 误 .答 案 : B. 3.中 国 倡 导 的 “ 一 带 一 路 ” 建 设 将 促 进 我 国 与 世 界 各 国 的 互 利 合 作 , 根 据 规 划 , “ 一 带 一 路 ”地 区 覆 盖 总 人 口 约 为 4400000000 人 , 这 个 数 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( ) A.44 108B.4.4 109C.4.4 108D.4.4 1010解 析 : 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 , 其 中 1 |a| 10, n为 整

    3、数 .确 定 n 的 值 时 ,要 看 把 原 数 变 成 a 时 , 小 数 点 移 动 了 多 少 位 , n 的 绝 对 值 与 小 数 点 移 动 的 位 数 相 同 .当 原 数绝 对 值 1时 , n 是 正 数 ; 当 原 数 的 绝 对 值 1 时 , n是 负 数 .4400000 000=4.4 10 9.答 案 : B.4.如 图 是 二 次 函 数 y=ax2+bx+c的 图 象 , 下 列 结 论 错 误 的 是 ( ) A.二 次 函 数 y=ax2+bx+c 的 最 大 值 为 4B.常 数 项 c为 3C.一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c=0的 两 根

    4、之 和 为 -2D.使 y 3 成 立 的 x 的 取 值 范 围 是 x 0解 析 : 利 用 二 次 函 数 的 性 质 结 合 二 次 函 数 的 图 象 确 定 符 合 条 件 的 选 项 即 可 ;A、 观 察 图 象 知 最 高 点 为 (-1, 4), 故 最 大 值 为 4正 确 , 不 符 合 题 意 ;B、 与 y 轴 的 交 点 为 (0, 3), 故 常 数 项 为 3, 正 确 , 不 符 合 题 意 ;C、 一 元 二 次 方 程 ax 2+bx+c=0的 两 根 之 和 为 -3+1=-2, 正 确 , 不 符 合 题 意 ;D、 使 y 3成 立 的 x的 取

    5、值 范 围 是 x -2 或 y 0, 故 错 误 , 符 合 题 意 .答 案 : D.5.在 Rt ABC中 , C=90 , sinA= 35 , BC=6, 则 AB=( )A.4B.6C.8D.10解 析 : 在 直 角 三 角 形 ABC中 , 利 用 锐 角 三 角 函 数 定 义 表 示 出 sinA, 将 sinA 的 值 与 BC 的 长代 入 求 出 AB的 长 即 可 . 在 Rt ABC中 , C=90 , 3sin 5BCA AB , BC=6, 6 103sin 5BCAB A .答 案 : D6.如 图 , 河 堤 横 断 面 迎 水 坡 AB的 坡 比 是 1

    6、: 3 , 堤 高 BC=10m, 则 坡 面 AB的 长 度 是 ( ) A.15mB.20 3 C.20mD.10 3 m解 析 : 在 Rt ABC中 , 已 知 了 坡 面 AB的 坡 比 以 及 铅 直 高 度 BC的 值 , 通 过 解 直 角 三 角 形 即 可求 出 斜 面 AB的 长 .在 Rt ABC中 , BC=10m, tanA=1: 3 , AC=BC tanA=10 3 m, AB= 2 2AC BC =20m.答 案 : C.7.为 调 查 某 班 学 生 每 天 使 用 零 花 钱 的 情 况 , 张 华 随 机 调 查 了 30名 同 学 , 结 果 如 表

    7、: 则 这 30名 同 学 每 天 使 用 的 零 花 钱 的 众 数 和 中 位 数 分 别 是 ( )A.4, 3B.4, 3.5C.3.5, 3.5D.3.5, 4解 析 : 4出 现 了 9次 , 它 的 次 数 最 多 , 众 数 为 4. 张 华 随 机 调 查 了 30名 同 学 , 根 据 表 格 数 据 可 以 知 道 中 位 数 =(3+4) 2=3.5, 即 中 位 数 为 3.5.答 案 : B.8.如 图 , CD 是 O的 弦 , O是 圆 心 , 把 O的 劣 弧 沿 着 CD对 折 , A 是 对 折 后 劣 弧 上 的 一 点 , CAD=100 , 则 B的

    8、 度 数 是 ( ) A.100B.80C.60D.50解 析 : 如 图 , 翻 折 ACD, 点 A 落 在 A处 , A= A=100 , 四 边 形 ACBD是 O 的 内 接 四 边 形 , A+ B=180 , B=80 .答 案 : B.9.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 点 O 为 坐 标 原 点 , 点 A、 B、 C 的 坐 标 分 别 为 A( 3 , 0)、 B(3 3 ,0)、 C(0, 5), 点 D 在 第 一 象 限 内 , 且 ADB=60 , 则 线 段 CD的 长 的 最 小 值 是 ( )A.2 3 -2B.2 5 -2C.2 7 -2 D.2

    9、10 -2解 析 : 作 圆 , 使 ADB=60 , 设 圆 心 为 P, 连 结 PA、 PB、 PC, PE AB 于 E, 如 图 所 示 : A( 3 , 0)、 B(3 3 , 0), E(2 3 , 0)又 ADB=60 , APB=120 , PE=1, PA=2PE=2, P(2 3 , 1), C(0, 5), 2 22 5 13 2 7PC ,又 PD=PA=2, 只 有 点 D在 线 段 PC上 时 , CD最 短 (点 D 在 别 的 位 置 时 构 成 CDP) CD 最 小 值 为 : 2 7 -2. 答 案 : C.10.在 数 学 活 动 课 上 , 老 师

    10、出 示 两 张 等 腰 三 角 形 纸 片 , 如 图 所 示 .图 1 的 三 角 形 边 长 分 别 为 4,4, 2; 图 2 的 三 角 形 的 腰 长 也 为 4, 底 角 等 于 图 1 中 三 角 形 的 顶 角 ; 某 学 习 小 组 将 这 两 张 纸 片 在 同 一 平 面 内 拼 成 如 图 3的 四 边 形 OABC, 连 结 AC.该 学 习 小 组 经 探 究 得 到 以 下 四 个 结 论 ,其 中 错 误 的 是 ( )A. OCB=2 ACBB. OAB+ OAC=90 C.AC=2 15D.BC=4 3解 析 : A、 OBC= AOB, OA BC, OA

    11、C= ACB. OA=OC, OAC= OCA, OCA= ACB, OCB=2 ACB, 结 论 A正 确 ;B、 OA=OB, OAB+ AOB+ OBA=180 . OAC= 12 OCB= 12 AOB, OAB= OBA, OAB+ 12 AOB=90 , 即 OAB+ OAC=90 , 结 论 B正 确 ;C、 过 点 O 作 OE AB于 点 E, 过 点 O 作 OF AC 于 点 F, 如 图 4所 示 . OA=OB, AOE= 12 AOB= OAE.在 AOE和 OAE中 , AOE OAFAEO OFAAO OA , AOE OAE(AAS), 2 2 15AF OE

    12、 OA AE , AC=2AF=2 15 , 结 论 C 正 确 ;D、 过 点 B 作 BM OA于 点 M, 过 点 O 作 ON BC 于 点 N, 如 图 5所 示 . OAB+ AOE=90 , MAB+ ABM=90 , AOE= ABM. AEO= AMB=90 , AOE ABM, AM ABAE AO , AM= 12 , OM=AO-AM= 72 . BC AO, BM AO, ON BC, 四 边 形 MBNO 为 矩 形 , BN=OM= 72 . OB=OC, ON BC, BC=2BN=7, 结 论 D错 误 .答 案 : D.二 、 填 空 题 (本 大 题 有

    13、6 小 题 , 每 小 题 4 分 , 共 24 分 )11.若 分 式 1 2x 有 意 义 , 则 x的 取 值 范 围 为 .解 析 : 根 据 分 母 不 为 零 分 式 有 意 义 , 可 得 答 案 .x-2 0.解 得 x 2.答 案 : x 2. 12.已 知 是 锐 角 , tan =2cos30 , 那 么 = 度 .解 析 : tan =2cos30 =2 32 = 3 , =60 .答 案 : 60.13.为 了 考 察 甲 、 乙 两 种 小 麦 的 长 势 , 分 别 从 中 抽 出 20 株 测 得 其 高 度 , 并 求 得 它 们 的 方 差 分别 为 S 甲

    14、 2=3.6, S 乙 2=15.8, 则 种 小 麦 的 长 势 比 较 整 齐 .解 析 : 根 据 方 差 的 定 义 判 断 .方 差 越 小 小 麦 的 长 势 越 整 齐 .因 为 S 甲 2=3.6 S 乙 2=15.8, 方 差 小 的 为 甲 , 所 以 长 势 比 较 整 齐 的 小 麦 是 甲 .答 案 : 甲 .14.如 图 , 点 G 是 ABC的 重 心 , 联 结 AG并 延 长 交 BC于 点 D, GE AB交 BC 与 E, 若 AB=6,那 么 GE= . 解 析 : 点 G 是 ABC的 重 心 , DG: AG=1: 2, DG: DA=1: 3, G

    15、E AB, EG DGBA DA , 即 136EG , EG=2.答 案 : 2.15.如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 点 C(0, 4), 射 线 CE x 轴 , 直 线 12y x b 交 线 段 OC于 点 B, 交 x 轴 于 点 A, D 是 射 线 CE 上 一 点 .若 存 在 点 D, 使 得 ABD 恰 为 等 腰 直 角 三 角 形 ,则 b 的 值 为 . 解 析 : 分 三 种 情 况 讨 论 : ABD=90 时 , 如 图 1,则 DBC+ ABO=90 , DBC= BAO,由 直 线 12y x b 交 线 段 OC于 点 B, 交 x轴

    16、 于 点 A可 知 OB=b, OA=2b, 点 C(0, 4), OC=4, BC=4-b,在 DBC和 BAO中 ,DBC BAODCB AOBBD AB , DBC BAO(AAS), BC=OA,即 4-b=2b, b= 43 ; 当 ADB=90 时 , 如 图 2,作 AF CE 于 F,同 理 证 得 BDC DAF, CD=AF=4, BC=DF, OB=b, OA=2b, BC=DF=2b-4, BC=4-b, 2b-4=4-b, b= 83 ; 当 DAB=90 时 , 如 图 3,作 DF OA 于 F, 同 理 证 得 AOB DFA, OA=DF, 2b=4, b=2

    17、;综 上 , b 的 值 为 43 或 83 或 2.答 案 : 43 或 83 或 2.16.阅 读 下 面 材 料 : 如 图 1, 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 直 线 y1=ax+b与 双 曲 线 2 ky x 交 于 A(1, 3)和 B(-3, -1)两 点 .观 察 图 象 可 知 : 当 x=-3或 1时 , y1=y2.(1)通 过 观 察 函 数 的 图 象 , 可 以 得 到 不 等 式 ax+b kx 的 解 集 .(2)参 考 观 察 函 数 的 图 象 方 法 , 解 决 问 题 : 关 于 x 的 不 等 式 x2+a- 4x 0(a 0)只 有

    18、 一 个 整 数 解 , 则 a 的 取 值 范 围 .解 析 : (1)根 据 图 象 中 两 个 交 点 的 坐 标 可 以 得 出 不 等 式 的 解 集 .不 等 式 ax+b kx的 解 集 为 : x 1或 -3 x 0;(2)根 据 不 等 式 确 定 两 个 函 数 : y= 4x 和 y=x2+a, 画 图 象 观 察 得 出 结 论 .x2+a- 4x 0,x 2+a 4x ,画 函 数 y= 4x 和 y=x2的 图 象 , 关 于 x 的 不 等 式 x2+a- 4x 0(a 0)只 有 一 个 整 数 解 , 整 数 解 为 x=1,当 x=1时 , x2+a- 4x

    19、 =0,a=3, 0 a 3.答 案 : (1)x 1或 -3 x 0; (2)0 a 3.三 、 解 答 题 (本 大 题 共 8 小 题 , 共 66 分 .)17.计 算 : ( -2016) 0+|1- 2 |+2-1-2sin45 .解 析 : 本 题 涉 及 零 指 数 幂 、 绝 对 值 、 负 整 数 指 数 幂 、 二 次 根 式 化 简 、 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 4个 考 点 .在 计 算 时 , 需 要 针 对 每 个 考 点 分 别 进 行 计 算 , 然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计 算 结果 .答 案 : ( -2016)0+|1

    20、- 2 |+2-1-2sin45 =1+ 2 -1+ 12 -2 22=1+ 2 -1+ 12 - 2= 12 .18.解 方 程 : 2 1 01x x .解 析 : 分 式 方 程 去 分 母 转 化 为 整 式 方 程 , 求 出 整 式 方 程 的 解 得 到 x 的 值 , 经 检 验 即 可 得 到 分式 方 程 的 解 .答 案 : 去 分 母 得 : 2+2x-x=0,解 得 : x=-2, 经 检 验 x=-2是 分 式 方 程 的 解 .19.如 图 , 在 ABC中 , AB=CB, ABC=90 , D 为 AB 延 长 线 上 一 点 , 点 E在 BC边 上 , 且

    21、 BE=BD,连 结 AE、 DE、 DC.(1)求 证 : ABE CBD. 解 析 : (1)利 用 SAS 即 可 得 证 .答 案 : (1)证 明 : 在 ABE和 CBD中 ,90AB CBABC CBDBE BD , ABE CBD(SAS).(2)若 CAE=30 , 求 BDC的 度 数 .解 析 : (2)由 全 等 三 角 形 对 应 角 相 等 得 到 AEB= CDB, 利 用 外 角 的 性 质 求 出 AEB的 度 数 ,即 可 确 定 出 BDC的 度 数 .答 案 : (2) 在 ABC中 , AB=CB, ABC=90 , BAC= ACB=45 , 由 得

    22、 : ABE CBD, AEB= BDC, AEB为 AEC的 外 角 , AEB= ACB+ CAE=30 +45 =75 , 则 BDC=75 .20.2015年 1 月 , 市 教 育 局 在 全 市 中 小 学 中 选 取 了 63所 学 校 从 学 生 的 思 想 品 德 、 学 业 水 平 、学 业 负 担 、 身 心 发 展 和 兴 趣 特 长 五 个 维 度 进 行 了 综 合 评 价 .评 价 小 组 在 选 取 的 某 中 学 七 年 级全 体 学 生 中 随 机 抽 取 了 若 干 名 学 生 进 行 问 卷 调 查 , 了 解 他 们 每 天 在 课 外 用 于 学 习

    23、 的 时 间 , 并绘 制 成 如 下 不 完 整 的 统 计 图 . 根 据 上 述 信 息 , 解 答 下 列 问 题 :(1)本 次 抽 取 的 学 生 人 数 是 ; 扇 形 统 计 图 中 的 圆 心 角 等 于 ; 补 全 统 计 直 方 图 .解 析 : (1)根 据 题 意 列 式 求 值 , 根 据 相 应 数 据 画 图 即 可 .答 案 : (1)6 20%=30, (30-3-7-6-2) 30 360=12 30 26=144 ,答 : 本 次 抽 取 的 学 生 人 数 是 30人 ; 扇 形 统 计 图 中 的 圆 心 角 等 于 144 ;故 答 案 为 : 3

    24、0, 144 .补 全 统 计 图 如 图 所 示 : (2)被 抽 取 的 学 生 还 要 进 行 一 次 50米 跑 测 试 , 每 5 人 一 组 进 行 .在 随 机 分 组 时 , 小 红 、 小 花两 名 女 生 被 分 到 同 一 个 小 组 , 请 用 列 表 法 或 画 树 状 图 求 出 她 俩 在 抽 道 次 时 抽 在 相 邻 两 道 的 概率 .解 析 : (2)根 据 题 意 列 表 , 然 后 根 据 表 中 数 据 求 出 概 率 即 可 .答 案 : (2)根 据 题 意 列 表 如 下 :设 竖 列 为 小 红 抽 取 的 跑 道 , 横 排 为 小 花 抽

    25、 取 的 跑 道 , 记 小 红 和 小 花 抽 在 相 邻 两 道 这 个 事 件 为 A, 8 220 5P A .21.如 图 , AB为 O 的 直 径 , C 是 O上 一 点 , 过 点 C 的 直 线 交 AB的 延 长 线 于 点 D, AE DC,垂 足 为 E, F 是 AE 与 O的 交 点 , AC 平 分 BAE. (1)求 证 : DE是 O 的 切 线 .解 析 : (1)连 接 OC, 先 证 明 OAC= OCA, 进 而 得 到 OC AE, 于 是 得 到 OC CD, 进 而 证 明 DE是 O的 切 线 .答 案 : (1)证 明 : 连 接 OC,

    26、OA=OC, OAC= OCA, AC 平 分 BAE, OAC= CAE, OCA= CAE, OC AE, OCD= E, AE DE, E=90 , OCD=90 , OC CD, 点 C在 圆 O 上 , OC为 圆 O 的 半 径 , CD 是 圆 O的 切 线 .(2)若 AE=6, D=30 , 求 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 . 解 析 : (2)分 别 求 出 OCD的 面 积 和 扇 形 OBC的 面 积 , 利 用 S 阴 影 =S COD-S 扇 形 OBC即 可 得 到 答 案 .答 案 : (2)在 Rt AED中 , D=30 , AE=6, AD=2AE

    27、=12,在 Rt OCD中 , D=30 , DO=2OC=DB+OB=DB+OC, DB=OB=OC=13 AD=4, DO=8, 2 2 2 24 4 38CD DO OC , 4 4 82 23 3OCD CD OCS V g , D=30 , OCD=90 , DOC=60 , 216 83OBCS OC 扇 形 , S 阴 影 =S COD-S 扇 形 OBC, 3 88 3S 阴 影 , 阴 影 部 分 的 面 积 为 8 3 83 .22.某 体 育 用 品 商 店 试 销 一 款 成 本 为 50元 的 排 球 , 规 定 试 销 期 间 单 价 不 低 于 成 本 价 , 且

    28、 获 利不 得 高 于 40%.经 试 销 发 现 , 销 售 量 y(个 )与 销 售 单 价 x(元 )之 间 满 足 如 图 所 示 的 一 次 函 数 关系 . (1)试 确 定 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 .解 析 : (1)利 用 待 定 系 数 法 将 图 中 点 的 坐 标 求 出 一 次 函 数 解 析 式 即 可 .答 案 : (1)设 y=kx+b, 根 据 题 意 得 :55 6560 60k bk b ,解 得 : k=-1, b=120.所 求 一 次 函 数 的 表 达 式 为 y=-x+120.(2)若 该 体 育 用 品 商 店 试 销 的 这

    29、 款 排 球 所 获 得 的 利 润 Q元 , 试 写 出 利 润 Q(元 )与 销 售 单 价 x(元 )之 间 的 函 数 关 系 式 ; 当 试 销 单 价 定 为 多 少 元 时 , 该 商 店 可 获 最 大 利 润 ? 最 大 利 润 是 多 少 元 ?解 析 : (2)根 据 利 润 =(售 价 -成 本 ) 销 售 量 列 出 函 数 关 系 式 .答 案 : (2)利 润 Q 与 销 售 单 价 x 之 间 的 函 数 关 系 式 为 : Q=(x-50)(-x+120)=-x 2+170 x-6000;Q=-x2+170 x-6000=-(x-85)2+1225; 成 本

    30、为 50元 的 排 球 , 规 定 试 销 期 间 单 价 不 低 于 成 本 价 , 且 获 利 不 得 高 于 40%. 50 x 70, 当 试 销 单 价 定 为 70元 时 , 该 商 店 可 获 最 大 利 润 , 最 大 利 润 是 1000元 .(3)若 该 商 店 试 销 这 款 排 球 所 获 得 的 利 润 不 低 于 600 元 , 请 确 定 销 售 单 价 x 的 取 值 范 围 .解 析 : (3)令 函 数 关 系 式 Q 600, 解 得 x的 范 围 , 利 用 “ 获 利 不 得 高 于 40%” 求 得 x 的 最 大值 , 得 出 销 售 单 价 x的

    31、 范 围 .答 案 : (3)依 题 意 得 : -x 2+170 x-6000 600,解 得 : 60 x 110, 获 利 不 得 高 于 40%, 最 高 价 格 为 50(1+40%)=70,故 60 x 70 的 整 数 .23.如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 直 线 y=kx+b 经 过 点 A(2, 0), B(0, 1), 动 点 P 是 x 轴 正半 轴 上 的 动 点 , 过 点 P 作 PC x 轴 , 交 直 线 AB 于 点 C, 以 OA, AC 为 边 构 造 ?OACD, 设 点 P的 横 坐 标 为 m. (1)求 直 线 AB 的 函

    32、数 表 达 式 .解 析 : (1)把 点 A(2, 0), B(0, 1)代 入 直 线 y=kx+b 解 方 程 可 得 .答 案 : (1)把 A(2, 0), B(O, 1)代 入 y=kx+b,可 得 0 21 k bb , 解 得 21 1kb , 直 线 AB 的 函 数 表 达 式 为 y= 12 x+1.(2)若 四 边 形 OACD恰 是 菱 形 , 请 求 出 m的 值 .解 析 : (2)根 据 菱 形 的 性 质 得 到 AC=2, 由 点 C(m, 12 m+1)得 到 AP=|2-m|, CP= 12 m+1, 利 用 勾 股 定 理 列 方 程 可 得 .答 案

    33、 : (2) Y OACD是 菱 形 , AC=OA=2, PC x 轴 , 交 直 线 AB 于 点 C, C(m, 12 m+1), (2-m) 2+( 12 m+1)2=22,解 得 m1=10 45 5 , m2=10 45 5 .(3)在 (2)的 条 件 下 , y轴 的 正 半 轴 上 是 否 存 在 点 Q, 连 结 CQ, 使 得 OQC+ ODC=180 .若 存在 , 直 接 写 出 所 有 符 合 条 件 的 点 Q的 坐 标 , 若 不 存 在 , 则 说 明 理 由 .解 析 : (3)当 点 D 在 第 二 象 限 时 , 由 四 边 形 OACD是 菱 形 ,

    34、得 到 对 角 相 等 , D= OAC, 由 于点 Q 在 y轴 上 , 所 以 四 边 形 ACQO的 对 角 互 补 , 得 到 CQ AC, 求 得 直 线 CQ 的 解 析 式 , 求 出 Q点 的 坐 标 ; 当 点 D 在 第 四 象 限 时 , 则 可 得 到 OQC= OAQ, 设 CQ 交 x 轴 于 点 M, 则 可 证 得 OQM OAB, 可 设 Q(0, t), 结 合 C 点 坐 标 可 表 示 出 直 线 CQ 的 解 析 式 , 可 用 t 表 示 出 M 的坐 标 , 再 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 可 得 到 关 于 t 的 方 程 , 可 求

    35、 得 Q 点 坐 标 . 答 案 : (3)当 点 D 在 第 二 象 限 时 , 由 (2)求 得 m1=10 45 5 , m2=10 45 5 , 且 C 点 在 直 线 AB上 , C 点 坐 标 为 (10 45 5 , 2 55 ), Y OACD是 菱 形 , D= OAC,要 使 OQC+ ODC=180 , 即 ; OQC+ OAC=180 , 四 边 形 QOAC 的 对 角 互 补 , QOA+ QCA=180 , QOA=90 , QCA=90 , QC AB,设 Q(0, n), 直 线 QC 的 解 析 式 为 y=2x+n,把 C 点 坐 标 分 别 代 入 y=

    36、2x+n,可 得 2 10 425 55 5 n 或 2 10 54255 5 n ,解 得 n=-4+2 5 或 n=-4-2 5 (舍 去 ), 点 Q的 坐 标 为 (0, -4+2 5 );当 点 D在 第 四 象 限 时 , 如 图 , 此 时 可 知 C点 坐 标 为 (10 45 5 , 255 ),设 Q(0, t), OQC+ ODC=180 , ODC= OAC, OQC= OAB, OQM OAB, 12OM OBOQ OA , OQ=2OM, 直 线 CQ 的 解 析 式 为 y=-2x+t,把 C 点 坐 标 代 入 可 得 2 105 425 5 5 t , 解 得

    37、 t=4+ 6 55 ,此 时 Q点 坐 标 为 (0, 4+ 6 55 );综 上 可 知 存 在 满 足 条 件 的 点 Q, 其 坐 标 为 (0, -4+2 5 )或 (0, 4+ 6 55 ).24.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 抛 物 线 y=x 2+(k-1)x-k与 直 线 y=kx+1 交 于 A, B 两 点 , 点 A 在 点 B的 左 侧 . (1)如 图 1, 当 k=1时 , 直 接 写 出 A, B两 点 的 坐 标 .解 析 : (1)当 k=1时 , 联 立 抛 物 线 与 直 线 的 解 析 式 , 解 方 程 求 得 点 A、 B的 坐 标 .答

    38、 案 : (1)当 k=1时 , 抛 物 线 解 析 式 为 y=x2-1, 直 线 解 析 式 为 y=x+1.联 立 两 个 解 析 式 , 得 : x2-1=x+1,解 得 : x=-1或 x=2,当 x=-1时 , y=x+1=0; 当 x=2时 , y=x+1=3, A(-1, 0), B(2, 3).(2)在 (1)的 条 件 下 , 点 P 为 抛 物 线 上 的 一 个 动 点 , 且 在 直 线 AB 下 方 , 试 求 出 ABP面 积 的最 大 值 及 此 时 点 P 的 坐 标 .解 析 : (2)方 法 一 : 如 答 图 2, 作 辅 助 线 , 求 出 ABP面

    39、积 的 表 达 式 , 然 后 利 用 二 次 函 数 的 性质 求 出 最 大 值 及 点 P的 坐 标 .方 法 二 : 利 用 面 积 公 式 求 出 P点 坐 标 . 答 案 : (2)方 法 一 : 设 P(x, x2-1).如 答 图 2 所 示 , 过 点 P 作 PF y 轴 , 交 直 线 AB 于 点 F, 则 F(x, x+1). PF=yF-yP=(x+1)-(x2-1)=-x2+x+2. 1 1 1 32 2 2 2ABP PFA PFB F A B F B AS S S PF x x PF x x PF x x PF V V V , 223 3 212 2 2 72

    40、 8ABPS x x x V当 x= 12 时 , y P=x2-1= 34 . ABP面 积 最 大 值 为 278 , 此 时 点 P坐 标 为 ( 12 , 34 ).方 法 二 : 过 点 P作 x轴 垂 线 , 叫 直 线 AB于 F,设 P(t, t2-1), 则 F(t, t+1) S ABP= 12 (FY-PY)(BX-AX), S ABP= 12 (t+1-t2+1)(2+1), 23 32 2 3ABPS t t V ,当 t= 12 时 , S ABP有 最 大 值 , S ABP= 278 .(3)如 图 2, 抛 物 线 y=x2+(k-1)x-k(k 0)与 x

    41、轴 交 于 点 C、 D 两 点 (点 C 在 点 D 的 左 侧 ), 在直 线 y=kx+1 上 是 否 存 在 唯 一 一 点 Q, 使 得 OQC=90 ? 若 存 在 , 请 求 出 此 时 k 的 值 ; 若 不存 在 , 请 说 明 理 由 .解 析 : (3)方 法 一 : “ 存 在 唯 一 一 点 Q, 使 得 OQC=90 ” 的 含 义 是 , 以 OC 为 直 径 的 圆 与 直线 AB 相 切 于 点 Q, 由 圆 周 角 定 理 可 知 , 此 时 OQC=90 且 点 Q为 唯 一 .以 此 为 基 础 , 构 造 相似 三 角 形 , 利 用 比 例 式 列

    42、出 方 程 , 求 得 k 的 值 .需 要 另 外 注 意 一 点 是 考 虑 直 线 AB是 否 与 抛 物 线 交 于 C 点 , 此 时 亦 存 在 唯 一 一 点 Q, 使 得 OQC=90 .方 法 二 : 列 出 定 点 O坐 标 , 用 参 数 表 示 C, Q 点 坐 标 , 利 用 黄 金 法 则 二 求 出 k 的 值 .答 案 : (3)方 法 一 : 设 直 线 AB: y=kx+1与 x轴 、 y 轴 分 别 交 于 点 E、 F,则 E( 1k , 0), F(0, 1), OE= 1k , OF=1.在 Rt EOF中 , 由 勾 股 定 理 得 : 2 21

    43、11 kEF k k . 令 y=x2+(k-1)x-k=0, 即 (x+k)(x-1)=0, 解 得 : x=-k或 x=1. C(-k, 0), OC=k. 、 假 设 存 在 唯 一 一 点 Q, 使 得 OQC=90 , 如 答 图 3 所 示 ,则 以 OC为 直 径 的 圆 与 直 线 AB相 切 于 点 Q, 根 据 圆 周 角 定 理 , 此 时 OQC=90 . 设 点 N为 OC中 点 , 连 接 NQ, 则 NQ EF, NQ=CN=ON= 2k . EN=OE-ON= 1 2kk . NEQ= FEO, EQN= EOF=90 , EQN EOF, NQ ENOF EF

    44、 , 即 : 21 221 1 kk k kk ,解 得 : k= 255 , k 0, k= 2 55 . 存 在 唯 一 一 点 Q, 使 得 OQC=90 , 此 时 k= 2 55 . 、 若 直 线 AB 过 点 C 时 , 此 时 直 线 与 圆 的 交 点 只 有 另 一 点 Q 点 , 故 亦 存 在 唯 一 一 点 Q, 使得 OQC=90 ,将 C(-k, 0)代 入 y=kx+1中 ,可 得 k=1, k=-1(舍 去 ),故 存 在 唯 一 一 点 Q, 使 得 OQC=90 , 此 时 k=1. 综 上 所 述 , k= 2 55 或 1 时 , 存 在 唯 一 一 点 Q, 使 得 OQC=90 .方 法 二 : y=x2+(k-1)x-k, y=(x+k)(x-1), 当 y=0时 , x1=-k, x2=1, C(-k, 0), D(1, 0),点 Q 在 y=kx+1 上 , 设 Q(t, kt+1), O(0, 0), OQC=90 , CQ OQ, KCQ KOQ=-1, 1 1 1kt ktt t k , (k2+1)t2+3kt+1=0有 唯 一 解 , =(3k) 2-4(k2+1)=0, k1= 2 55 , k2= 255 (k 0故 舍 去 ), k= 2 55 .


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