1、2017年 浙 江 省 湖 州 四 中 教 育 集 团 中 考 一 模 数 学一 、 选 择 题 (本 题 有 10 小 题 ， 每 小 题 3分 ， 共 30分 )1.-5的 相 反 数 是 ( )A.-5B.5C. 15D. 15解 析 ： 根 据 相 反 数 的 概 念 可 知 -5 的 相 反 数 是 5. 答 案 ： B.2.下 面 几 个 几 何 体 ， 主 视 图 是 圆 的 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： 分 别 判 断 A， B， C， D 的 主 视 图 ， 即 可 解 答 .A、 主 视 图 为 正 方 形 ， 故 错 误 ；B、 主 视 图 为 圆 ， 正 确
2、；C、 主 视 图 为 三 角 形 ， 故 错 误 ；D、 主 视 图 为 长 方 形 ， 故 错 误 .答 案 ： B. 3.中 国 倡 导 的 “ 一 带 一 路 ” 建 设 将 促 进 我 国 与 世 界 各 国 的 互 利 合 作 ， 根 据 规 划 ， “ 一 带 一 路 ”地 区 覆 盖 总 人 口 约 为 4400000000 人 ， 这 个 数 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( ) A.44 108B.4.4 109C.4.4 108D.4.4 1010解 析 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n为 整
3、数 .确 定 n 的 值 时 ，要 看 把 原 数 变 成 a 时 ， 小 数 点 移 动 了 多 少 位 ， n 的 绝 对 值 与 小 数 点 移 动 的 位 数 相 同 .当 原 数绝 对 值 1时 ， n 是 正 数 ； 当 原 数 的 绝 对 值 1 时 ， n是 负 数 .4400000 000=4.4 10 9.答 案 ： B.4.如 图 是 二 次 函 数 y=ax2+bx+c的 图 象 ， 下 列 结 论 错 误 的 是 ( ) A.二 次 函 数 y=ax2+bx+c 的 最 大 值 为 4B.常 数 项 c为 3C.一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c=0的 两 根
4、之 和 为 -2D.使 y 3 成 立 的 x 的 取 值 范 围 是 x 0解 析 ： 利 用 二 次 函 数 的 性 质 结 合 二 次 函 数 的 图 象 确 定 符 合 条 件 的 选 项 即 可 ；A、 观 察 图 象 知 最 高 点 为 (-1， 4)， 故 最 大 值 为 4正 确 ， 不 符 合 题 意 ；B、 与 y 轴 的 交 点 为 (0， 3)， 故 常 数 项 为 3， 正 确 ， 不 符 合 题 意 ；C、 一 元 二 次 方 程 ax 2+bx+c=0的 两 根 之 和 为 -3+1=-2， 正 确 ， 不 符 合 题 意 ；D、 使 y 3成 立 的 x的 取
5、值 范 围 是 x -2 或 y 0， 故 错 误 ， 符 合 题 意 .答 案 ： D.5.在 Rt ABC中 ， C=90 ， sinA= 35 ， BC=6， 则 AB=( )A.4B.6C.8D.10解 析 ： 在 直 角 三 角 形 ABC中 ， 利 用 锐 角 三 角 函 数 定 义 表 示 出 sinA， 将 sinA 的 值 与 BC 的 长代 入 求 出 AB的 长 即 可 . 在 Rt ABC中 ， C=90 ， 3sin 5BCA AB ， BC=6， 6 103sin 5BCAB A .答 案 ： D6.如 图 ， 河 堤 横 断 面 迎 水 坡 AB的 坡 比 是 1
6、： 3 ， 堤 高 BC=10m， 则 坡 面 AB的 长 度 是 ( ) A.15mB.20 3 C.20mD.10 3 m解 析 ： 在 Rt ABC中 ， 已 知 了 坡 面 AB的 坡 比 以 及 铅 直 高 度 BC的 值 ， 通 过 解 直 角 三 角 形 即 可求 出 斜 面 AB的 长 .在 Rt ABC中 ， BC=10m， tanA=1： 3 ， AC=BC tanA=10 3 m， AB= 2 2AC BC =20m.答 案 ： C.7.为 调 查 某 班 学 生 每 天 使 用 零 花 钱 的 情 况 ， 张 华 随 机 调 查 了 30名 同 学 ， 结 果 如 表
7、： 则 这 30名 同 学 每 天 使 用 的 零 花 钱 的 众 数 和 中 位 数 分 别 是 ( )A.4， 3B.4， 3.5C.3.5， 3.5D.3.5， 4解 析 ： 4出 现 了 9次 ， 它 的 次 数 最 多 ， 众 数 为 4. 张 华 随 机 调 查 了 30名 同 学 ， 根 据 表 格 数 据 可 以 知 道 中 位 数 =(3+4) 2=3.5， 即 中 位 数 为 3.5.答 案 ： B.8.如 图 ， CD 是 O的 弦 ， O是 圆 心 ， 把 O的 劣 弧 沿 着 CD对 折 ， A 是 对 折 后 劣 弧 上 的 一 点 ， CAD=100 ， 则 B的
8、 度 数 是 ( ) A.100B.80C.60D.50解 析 ： 如 图 ， 翻 折 ACD， 点 A 落 在 A处 ， A= A=100 ， 四 边 形 ACBD是 O 的 内 接 四 边 形 ， A+ B=180 ， B=80 .答 案 ： B.9.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 O 为 坐 标 原 点 ， 点 A、 B、 C 的 坐 标 分 别 为 A( 3 ， 0)、 B(3 3 ，0)、 C(0， 5)， 点 D 在 第 一 象 限 内 ， 且 ADB=60 ， 则 线 段 CD的 长 的 最 小 值 是 ( )A.2 3 -2B.2 5 -2C.2 7 -2 D.2
9、10 -2解 析 ： 作 圆 ， 使 ADB=60 ， 设 圆 心 为 P， 连 结 PA、 PB、 PC， PE AB 于 E， 如 图 所 示 ： A( 3 ， 0)、 B(3 3 ， 0)， E(2 3 ， 0)又 ADB=60 ， APB=120 ， PE=1， PA=2PE=2， P(2 3 ， 1)， C(0， 5)， 2 22 5 13 2 7PC ，又 PD=PA=2， 只 有 点 D在 线 段 PC上 时 ， CD最 短 (点 D 在 别 的 位 置 时 构 成 CDP) CD 最 小 值 为 ： 2 7 -2. 答 案 ： C.10.在 数 学 活 动 课 上 ， 老 师
10、出 示 两 张 等 腰 三 角 形 纸 片 ， 如 图 所 示 .图 1 的 三 角 形 边 长 分 别 为 4，4， 2； 图 2 的 三 角 形 的 腰 长 也 为 4， 底 角 等 于 图 1 中 三 角 形 的 顶 角 ； 某 学 习 小 组 将 这 两 张 纸 片 在 同 一 平 面 内 拼 成 如 图 3的 四 边 形 OABC， 连 结 AC.该 学 习 小 组 经 探 究 得 到 以 下 四 个 结 论 ，其 中 错 误 的 是 ( )A. OCB=2 ACBB. OAB+ OAC=90 C.AC=2 15D.BC=4 3解 析 ： A、 OBC= AOB， OA BC， OA
11、C= ACB. OA=OC， OAC= OCA， OCA= ACB， OCB=2 ACB， 结 论 A正 确 ；B、 OA=OB， OAB+ AOB+ OBA=180 . OAC= 12 OCB= 12 AOB， OAB= OBA， OAB+ 12 AOB=90 ， 即 OAB+ OAC=90 ， 结 论 B正 确 ；C、 过 点 O 作 OE AB于 点 E， 过 点 O 作 OF AC 于 点 F， 如 图 4所 示 . OA=OB， AOE= 12 AOB= OAE.在 AOE和 OAE中 ， AOE OAFAEO OFAAO OA ， AOE OAE(AAS)， 2 2 15AF OE
12、 OA AE ， AC=2AF=2 15 ， 结 论 C 正 确 ；D、 过 点 B 作 BM OA于 点 M， 过 点 O 作 ON BC 于 点 N， 如 图 5所 示 . OAB+ AOE=90 ， MAB+ ABM=90 ， AOE= ABM. AEO= AMB=90 ， AOE ABM， AM ABAE AO ， AM= 12 ， OM=AO-AM= 72 . BC AO， BM AO， ON BC， 四 边 形 MBNO 为 矩 形 ， BN=OM= 72 . OB=OC， ON BC， BC=2BN=7， 结 论 D错 误 .答 案 ： D.二 、 填 空 题 (本 大 题 有
13、6 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 24 分 )11.若 分 式 1 2x 有 意 义 ， 则 x的 取 值 范 围 为 .解 析 ： 根 据 分 母 不 为 零 分 式 有 意 义 ， 可 得 答 案 .x-2 0.解 得 x 2.答 案 ： x 2. 12.已 知 是 锐 角 ， tan =2cos30 ， 那 么 = 度 .解 析 ： tan =2cos30 =2 32 = 3 ， =60 .答 案 ： 60.13.为 了 考 察 甲 、 乙 两 种 小 麦 的 长 势 ， 分 别 从 中 抽 出 20 株 测 得 其 高 度 ， 并 求 得 它 们 的 方 差 分别 为 S 甲
14、 2=3.6， S 乙 2=15.8， 则 种 小 麦 的 长 势 比 较 整 齐 .解 析 ： 根 据 方 差 的 定 义 判 断 .方 差 越 小 小 麦 的 长 势 越 整 齐 .因 为 S 甲 2=3.6 S 乙 2=15.8， 方 差 小 的 为 甲 ， 所 以 长 势 比 较 整 齐 的 小 麦 是 甲 .答 案 ： 甲 .14.如 图 ， 点 G 是 ABC的 重 心 ， 联 结 AG并 延 长 交 BC于 点 D， GE AB交 BC 与 E， 若 AB=6，那 么 GE= . 解 析 ： 点 G 是 ABC的 重 心 ， DG： AG=1： 2， DG： DA=1： 3， G
15、E AB， EG DGBA DA ， 即 136EG ， EG=2.答 案 ： 2.15.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 C(0， 4)， 射 线 CE x 轴 ， 直 线 12y x b 交 线 段 OC于 点 B， 交 x 轴 于 点 A， D 是 射 线 CE 上 一 点 .若 存 在 点 D， 使 得 ABD 恰 为 等 腰 直 角 三 角 形 ，则 b 的 值 为 . 解 析 ： 分 三 种 情 况 讨 论 ： ABD=90 时 ， 如 图 1，则 DBC+ ABO=90 ， DBC= BAO，由 直 线 12y x b 交 线 段 OC于 点 B， 交 x轴
16、 于 点 A可 知 OB=b， OA=2b， 点 C(0， 4)， OC=4， BC=4-b，在 DBC和 BAO中 ，DBC BAODCB AOBBD AB ， DBC BAO(AAS)， BC=OA，即 4-b=2b， b= 43 ； 当 ADB=90 时 ， 如 图 2，作 AF CE 于 F，同 理 证 得 BDC DAF， CD=AF=4， BC=DF， OB=b， OA=2b， BC=DF=2b-4， BC=4-b， 2b-4=4-b， b= 83 ； 当 DAB=90 时 ， 如 图 3，作 DF OA 于 F， 同 理 证 得 AOB DFA， OA=DF， 2b=4， b=2
17、；综 上 ， b 的 值 为 43 或 83 或 2.答 案 ： 43 或 83 或 2.16.阅 读 下 面 材 料 ： 如 图 1， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 直 线 y1=ax+b与 双 曲 线 2 ky x 交 于 A(1， 3)和 B(-3， -1)两 点 .观 察 图 象 可 知 ： 当 x=-3或 1时 ， y1=y2.(1)通 过 观 察 函 数 的 图 象 ， 可 以 得 到 不 等 式 ax+b kx 的 解 集 .(2)参 考 观 察 函 数 的 图 象 方 法 ， 解 决 问 题 ： 关 于 x 的 不 等 式 x2+a- 4x 0(a 0)只 有
18、 一 个 整 数 解 ， 则 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)根 据 图 象 中 两 个 交 点 的 坐 标 可 以 得 出 不 等 式 的 解 集 .不 等 式 ax+b kx的 解 集 为 ： x 1或 -3 x 0；(2)根 据 不 等 式 确 定 两 个 函 数 ： y= 4x 和 y=x2+a， 画 图 象 观 察 得 出 结 论 .x2+a- 4x 0，x 2+a 4x ，画 函 数 y= 4x 和 y=x2的 图 象 ， 关 于 x 的 不 等 式 x2+a- 4x 0(a 0)只 有 一 个 整 数 解 ， 整 数 解 为 x=1，当 x=1时 ， x2+a- 4x
19、 =0，a=3， 0 a 3.答 案 ： (1)x 1或 -3 x 0； (2)0 a 3.三 、 解 答 题 (本 大 题 共 8 小 题 ， 共 66 分 .)17.计 算 ： ( -2016) 0+|1- 2 |+2-1-2sin45 .解 析 ： 本 题 涉 及 零 指 数 幂 、 绝 对 值 、 负 整 数 指 数 幂 、 二 次 根 式 化 简 、 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 4个 考 点 .在 计 算 时 ， 需 要 针 对 每 个 考 点 分 别 进 行 计 算 ， 然 后 根 据 实 数 的 运 算 法 则 求 得 计 算 结果 .答 案 ： ( -2016)0+|1
20、- 2 |+2-1-2sin45 =1+ 2 -1+ 12 -2 22=1+ 2 -1+ 12 - 2= 12 .18.解 方 程 ： 2 1 01x x .解 析 ： 分 式 方 程 去 分 母 转 化 为 整 式 方 程 ， 求 出 整 式 方 程 的 解 得 到 x 的 值 ， 经 检 验 即 可 得 到 分式 方 程 的 解 .答 案 ： 去 分 母 得 ： 2+2x-x=0，解 得 ： x=-2， 经 检 验 x=-2是 分 式 方 程 的 解 .19.如 图 ， 在 ABC中 ， AB=CB， ABC=90 ， D 为 AB 延 长 线 上 一 点 ， 点 E在 BC边 上 ， 且
21、 BE=BD，连 结 AE、 DE、 DC.(1)求 证 ： ABE CBD. 解 析 ： (1)利 用 SAS 即 可 得 证 .答 案 ： (1)证 明 ： 在 ABE和 CBD中 ，90AB CBABC CBDBE BD ， ABE CBD(SAS).(2)若 CAE=30 ， 求 BDC的 度 数 .解 析 ： (2)由 全 等 三 角 形 对 应 角 相 等 得 到 AEB= CDB， 利 用 外 角 的 性 质 求 出 AEB的 度 数 ，即 可 确 定 出 BDC的 度 数 .答 案 ： (2) 在 ABC中 ， AB=CB， ABC=90 ， BAC= ACB=45 ， 由 得
22、 ： ABE CBD， AEB= BDC， AEB为 AEC的 外 角 ， AEB= ACB+ CAE=30 +45 =75 ， 则 BDC=75 .20.2015年 1 月 ， 市 教 育 局 在 全 市 中 小 学 中 选 取 了 63所 学 校 从 学 生 的 思 想 品 德 、 学 业 水 平 、学 业 负 担 、 身 心 发 展 和 兴 趣 特 长 五 个 维 度 进 行 了 综 合 评 价 .评 价 小 组 在 选 取 的 某 中 学 七 年 级全 体 学 生 中 随 机 抽 取 了 若 干 名 学 生 进 行 问 卷 调 查 ， 了 解 他 们 每 天 在 课 外 用 于 学 习
23、 的 时 间 ， 并绘 制 成 如 下 不 完 整 的 统 计 图 . 根 据 上 述 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：(1)本 次 抽 取 的 学 生 人 数 是 ； 扇 形 统 计 图 中 的 圆 心 角 等 于 ； 补 全 统 计 直 方 图 .解 析 ： (1)根 据 题 意 列 式 求 值 ， 根 据 相 应 数 据 画 图 即 可 .答 案 ： (1)6 20%=30， (30-3-7-6-2) 30 360=12 30 26=144 ，答 ： 本 次 抽 取 的 学 生 人 数 是 30人 ； 扇 形 统 计 图 中 的 圆 心 角 等 于 144 ；故 答 案 为 ： 3
24、0， 144 .补 全 统 计 图 如 图 所 示 ： (2)被 抽 取 的 学 生 还 要 进 行 一 次 50米 跑 测 试 ， 每 5 人 一 组 进 行 .在 随 机 分 组 时 ， 小 红 、 小 花两 名 女 生 被 分 到 同 一 个 小 组 ， 请 用 列 表 法 或 画 树 状 图 求 出 她 俩 在 抽 道 次 时 抽 在 相 邻 两 道 的 概率 .解 析 ： (2)根 据 题 意 列 表 ， 然 后 根 据 表 中 数 据 求 出 概 率 即 可 .答 案 ： (2)根 据 题 意 列 表 如 下 ：设 竖 列 为 小 红 抽 取 的 跑 道 ， 横 排 为 小 花 抽
25、 取 的 跑 道 ， 记 小 红 和 小 花 抽 在 相 邻 两 道 这 个 事 件 为 A， 8 220 5P A .21.如 图 ， AB为 O 的 直 径 ， C 是 O上 一 点 ， 过 点 C 的 直 线 交 AB的 延 长 线 于 点 D， AE DC，垂 足 为 E， F 是 AE 与 O的 交 点 ， AC 平 分 BAE. (1)求 证 ： DE是 O 的 切 线 .解 析 ： (1)连 接 OC， 先 证 明 OAC= OCA， 进 而 得 到 OC AE， 于 是 得 到 OC CD， 进 而 证 明 DE是 O的 切 线 .答 案 ： (1)证 明 ： 连 接 OC，
26、OA=OC， OAC= OCA， AC 平 分 BAE， OAC= CAE， OCA= CAE， OC AE， OCD= E， AE DE， E=90 ， OCD=90 ， OC CD， 点 C在 圆 O 上 ， OC为 圆 O 的 半 径 ， CD 是 圆 O的 切 线 .(2)若 AE=6， D=30 ， 求 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 . 解 析 ： (2)分 别 求 出 OCD的 面 积 和 扇 形 OBC的 面 积 ， 利 用 S 阴 影 =S COD-S 扇 形 OBC即 可 得 到 答 案 .答 案 ： (2)在 Rt AED中 ， D=30 ， AE=6， AD=2AE
27、=12，在 Rt OCD中 ， D=30 ， DO=2OC=DB+OB=DB+OC， DB=OB=OC=13 AD=4， DO=8， 2 2 2 24 4 38CD DO OC ， 4 4 82 23 3OCD CD OCS V g ， D=30 ， OCD=90 ， DOC=60 ， 216 83OBCS OC 扇 形 ， S 阴 影 =S COD-S 扇 形 OBC， 3 88 3S 阴 影 ， 阴 影 部 分 的 面 积 为 8 3 83 .22.某 体 育 用 品 商 店 试 销 一 款 成 本 为 50元 的 排 球 ， 规 定 试 销 期 间 单 价 不 低 于 成 本 价 ， 且
28、 获 利不 得 高 于 40%.经 试 销 发 现 ， 销 售 量 y(个 )与 销 售 单 价 x(元 )之 间 满 足 如 图 所 示 的 一 次 函 数 关系 . (1)试 确 定 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 .解 析 ： (1)利 用 待 定 系 数 法 将 图 中 点 的 坐 标 求 出 一 次 函 数 解 析 式 即 可 .答 案 ： (1)设 y=kx+b， 根 据 题 意 得 ：55 6560 60k bk b ，解 得 ： k=-1， b=120.所 求 一 次 函 数 的 表 达 式 为 y=-x+120.(2)若 该 体 育 用 品 商 店 试 销 的 这
29、 款 排 球 所 获 得 的 利 润 Q元 ， 试 写 出 利 润 Q(元 )与 销 售 单 价 x(元 )之 间 的 函 数 关 系 式 ； 当 试 销 单 价 定 为 多 少 元 时 ， 该 商 店 可 获 最 大 利 润 ？ 最 大 利 润 是 多 少 元 ？解 析 ： (2)根 据 利 润 =(售 价 -成 本 ) 销 售 量 列 出 函 数 关 系 式 .答 案 ： (2)利 润 Q 与 销 售 单 价 x 之 间 的 函 数 关 系 式 为 ： Q=(x-50)(-x+120)=-x 2+170 x-6000；Q=-x2+170 x-6000=-(x-85)2+1225； 成 本
30、为 50元 的 排 球 ， 规 定 试 销 期 间 单 价 不 低 于 成 本 价 ， 且 获 利 不 得 高 于 40%. 50 x 70， 当 试 销 单 价 定 为 70元 时 ， 该 商 店 可 获 最 大 利 润 ， 最 大 利 润 是 1000元 .(3)若 该 商 店 试 销 这 款 排 球 所 获 得 的 利 润 不 低 于 600 元 ， 请 确 定 销 售 单 价 x 的 取 值 范 围 .解 析 ： (3)令 函 数 关 系 式 Q 600， 解 得 x的 范 围 ， 利 用 “ 获 利 不 得 高 于 40%” 求 得 x 的 最 大值 ， 得 出 销 售 单 价 x的
31、 范 围 .答 案 ： (3)依 题 意 得 ： -x 2+170 x-6000 600，解 得 ： 60 x 110， 获 利 不 得 高 于 40%， 最 高 价 格 为 50(1+40%)=70，故 60 x 70 的 整 数 .23.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 直 线 y=kx+b 经 过 点 A(2， 0)， B(0， 1)， 动 点 P 是 x 轴 正半 轴 上 的 动 点 ， 过 点 P 作 PC x 轴 ， 交 直 线 AB 于 点 C， 以 OA， AC 为 边 构 造 ?OACD， 设 点 P的 横 坐 标 为 m. (1)求 直 线 AB 的 函
32、数 表 达 式 .解 析 ： (1)把 点 A(2， 0)， B(0， 1)代 入 直 线 y=kx+b 解 方 程 可 得 .答 案 ： (1)把 A(2， 0)， B(O， 1)代 入 y=kx+b，可 得 0 21 k bb ， 解 得 21 1kb ， 直 线 AB 的 函 数 表 达 式 为 y= 12 x+1.(2)若 四 边 形 OACD恰 是 菱 形 ， 请 求 出 m的 值 .解 析 ： (2)根 据 菱 形 的 性 质 得 到 AC=2， 由 点 C(m， 12 m+1)得 到 AP=|2-m|， CP= 12 m+1， 利 用 勾 股 定 理 列 方 程 可 得 .答 案
33、 ： (2) Y OACD是 菱 形 ， AC=OA=2， PC x 轴 ， 交 直 线 AB 于 点 C， C(m， 12 m+1)， (2-m) 2+( 12 m+1)2=22，解 得 m1=10 45 5 ， m2=10 45 5 .(3)在 (2)的 条 件 下 ， y轴 的 正 半 轴 上 是 否 存 在 点 Q， 连 结 CQ， 使 得 OQC+ ODC=180 .若 存在 ， 直 接 写 出 所 有 符 合 条 件 的 点 Q的 坐 标 ， 若 不 存 在 ， 则 说 明 理 由 .解 析 ： (3)当 点 D 在 第 二 象 限 时 ， 由 四 边 形 OACD是 菱 形 ，
34、得 到 对 角 相 等 ， D= OAC， 由 于点 Q 在 y轴 上 ， 所 以 四 边 形 ACQO的 对 角 互 补 ， 得 到 CQ AC， 求 得 直 线 CQ 的 解 析 式 ， 求 出 Q点 的 坐 标 ； 当 点 D 在 第 四 象 限 时 ， 则 可 得 到 OQC= OAQ， 设 CQ 交 x 轴 于 点 M， 则 可 证 得 OQM OAB， 可 设 Q(0， t)， 结 合 C 点 坐 标 可 表 示 出 直 线 CQ 的 解 析 式 ， 可 用 t 表 示 出 M 的坐 标 ， 再 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 可 得 到 关 于 t 的 方 程 ， 可 求
35、 得 Q 点 坐 标 . 答 案 ： (3)当 点 D 在 第 二 象 限 时 ， 由 (2)求 得 m1=10 45 5 ， m2=10 45 5 ， 且 C 点 在 直 线 AB上 ， C 点 坐 标 为 (10 45 5 ， 2 55 )， Y OACD是 菱 形 ， D= OAC，要 使 OQC+ ODC=180 ， 即 ； OQC+ OAC=180 ， 四 边 形 QOAC 的 对 角 互 补 ， QOA+ QCA=180 ， QOA=90 ， QCA=90 ， QC AB，设 Q(0， n)， 直 线 QC 的 解 析 式 为 y=2x+n，把 C 点 坐 标 分 别 代 入 y=
36、2x+n，可 得 2 10 425 55 5 n 或 2 10 54255 5 n ，解 得 n=-4+2 5 或 n=-4-2 5 (舍 去 )， 点 Q的 坐 标 为 (0， -4+2 5 )；当 点 D在 第 四 象 限 时 ， 如 图 ， 此 时 可 知 C点 坐 标 为 (10 45 5 ， 255 )，设 Q(0， t)， OQC+ ODC=180 ， ODC= OAC， OQC= OAB， OQM OAB， 12OM OBOQ OA ， OQ=2OM， 直 线 CQ 的 解 析 式 为 y=-2x+t，把 C 点 坐 标 代 入 可 得 2 105 425 5 5 t ， 解 得
37、 t=4+ 6 55 ，此 时 Q点 坐 标 为 (0， 4+ 6 55 )；综 上 可 知 存 在 满 足 条 件 的 点 Q， 其 坐 标 为 (0， -4+2 5 )或 (0， 4+ 6 55 ).24.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 抛 物 线 y=x 2+(k-1)x-k与 直 线 y=kx+1 交 于 A， B 两 点 ， 点 A 在 点 B的 左 侧 . (1)如 图 1， 当 k=1时 ， 直 接 写 出 A， B两 点 的 坐 标 .解 析 ： (1)当 k=1时 ， 联 立 抛 物 线 与 直 线 的 解 析 式 ， 解 方 程 求 得 点 A、 B的 坐 标 .答
38、 案 ： (1)当 k=1时 ， 抛 物 线 解 析 式 为 y=x2-1， 直 线 解 析 式 为 y=x+1.联 立 两 个 解 析 式 ， 得 ： x2-1=x+1，解 得 ： x=-1或 x=2，当 x=-1时 ， y=x+1=0； 当 x=2时 ， y=x+1=3， A(-1， 0)， B(2， 3).(2)在 (1)的 条 件 下 ， 点 P 为 抛 物 线 上 的 一 个 动 点 ， 且 在 直 线 AB 下 方 ， 试 求 出 ABP面 积 的最 大 值 及 此 时 点 P 的 坐 标 .解 析 ： (2)方 法 一 ： 如 答 图 2， 作 辅 助 线 ， 求 出 ABP面
39、积 的 表 达 式 ， 然 后 利 用 二 次 函 数 的 性质 求 出 最 大 值 及 点 P的 坐 标 .方 法 二 ： 利 用 面 积 公 式 求 出 P点 坐 标 . 答 案 ： (2)方 法 一 ： 设 P(x， x2-1).如 答 图 2 所 示 ， 过 点 P 作 PF y 轴 ， 交 直 线 AB 于 点 F， 则 F(x， x+1). PF=yF-yP=(x+1)-(x2-1)=-x2+x+2. 1 1 1 32 2 2 2ABP PFA PFB F A B F B AS S S PF x x PF x x PF x x PF V V V ， 223 3 212 2 2 72
40、 8ABPS x x x V当 x= 12 时 ， y P=x2-1= 34 . ABP面 积 最 大 值 为 278 ， 此 时 点 P坐 标 为 ( 12 ， 34 ).方 法 二 ： 过 点 P作 x轴 垂 线 ， 叫 直 线 AB于 F，设 P(t， t2-1)， 则 F(t， t+1) S ABP= 12 (FY-PY)(BX-AX)， S ABP= 12 (t+1-t2+1)(2+1)， 23 32 2 3ABPS t t V ，当 t= 12 时 ， S ABP有 最 大 值 ， S ABP= 278 .(3)如 图 2， 抛 物 线 y=x2+(k-1)x-k(k 0)与 x
41、轴 交 于 点 C、 D 两 点 (点 C 在 点 D 的 左 侧 )， 在直 线 y=kx+1 上 是 否 存 在 唯 一 一 点 Q， 使 得 OQC=90 ？ 若 存 在 ， 请 求 出 此 时 k 的 值 ； 若 不存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (3)方 法 一 ： “ 存 在 唯 一 一 点 Q， 使 得 OQC=90 ” 的 含 义 是 ， 以 OC 为 直 径 的 圆 与 直线 AB 相 切 于 点 Q， 由 圆 周 角 定 理 可 知 ， 此 时 OQC=90 且 点 Q为 唯 一 .以 此 为 基 础 ， 构 造 相似 三 角 形 ， 利 用 比 例 式 列
42、出 方 程 ， 求 得 k 的 值 .需 要 另 外 注 意 一 点 是 考 虑 直 线 AB是 否 与 抛 物 线 交 于 C 点 ， 此 时 亦 存 在 唯 一 一 点 Q， 使 得 OQC=90 .方 法 二 ： 列 出 定 点 O坐 标 ， 用 参 数 表 示 C， Q 点 坐 标 ， 利 用 黄 金 法 则 二 求 出 k 的 值 .答 案 ： (3)方 法 一 ： 设 直 线 AB： y=kx+1与 x轴 、 y 轴 分 别 交 于 点 E、 F，则 E( 1k ， 0)， F(0， 1)， OE= 1k ， OF=1.在 Rt EOF中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： 2 21
43、11 kEF k k . 令 y=x2+(k-1)x-k=0， 即 (x+k)(x-1)=0， 解 得 ： x=-k或 x=1. C(-k， 0)， OC=k. 、 假 设 存 在 唯 一 一 点 Q， 使 得 OQC=90 ， 如 答 图 3 所 示 ，则 以 OC为 直 径 的 圆 与 直 线 AB相 切 于 点 Q， 根 据 圆 周 角 定 理 ， 此 时 OQC=90 . 设 点 N为 OC中 点 ， 连 接 NQ， 则 NQ EF， NQ=CN=ON= 2k . EN=OE-ON= 1 2kk . NEQ= FEO， EQN= EOF=90 ， EQN EOF， NQ ENOF EF
44、 ， 即 ： 21 221 1 kk k kk ，解 得 ： k= 255 ， k 0， k= 2 55 . 存 在 唯 一 一 点 Q， 使 得 OQC=90 ， 此 时 k= 2 55 . 、 若 直 线 AB 过 点 C 时 ， 此 时 直 线 与 圆 的 交 点 只 有 另 一 点 Q 点 ， 故 亦 存 在 唯 一 一 点 Q， 使得 OQC=90 ，将 C(-k， 0)代 入 y=kx+1中 ，可 得 k=1， k=-1(舍 去 )，故 存 在 唯 一 一 点 Q， 使 得 OQC=90 ， 此 时 k=1. 综 上 所 述 ， k= 2 55 或 1 时 ， 存 在 唯 一 一 点 Q， 使 得 OQC=90 .方 法 二 ： y=x2+(k-1)x-k， y=(x+k)(x-1)， 当 y=0时 ， x1=-k， x2=1， C(-k， 0)， D(1， 0)，点 Q 在 y=kx+1 上 ， 设 Q(t， kt+1)， O(0， 0)， OQC=90 ， CQ OQ， KCQ KOQ=-1， 1 1 1kt ktt t k ， (k2+1)t2+3kt+1=0有 唯 一 解 ， =(3k) 2-4(k2+1)=0， k1= 2 55 ， k2= 255 (k 0故 舍 去 )， k= 2 55 .
