1、2017年 甘 肃 省 天 水 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 40 分 )1.若 x与 3互 为 相 反 数 ， 则 |x+3|等 于 ( )A.0B.1C.2D.3解 析 ： x与 3互 为 相 反 数 ， x=-3， |x+3|=|-3+3|=0.答 案 ： A 2.如 图 所 示 的 几 何 体 是 由 5 个 大 小 相 同 的 小 立 方 块 搭 成 ， 它 的 俯 视 图 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： 找 到 从 上 面 看 所 得 到 的 图 形 即 可 ， 注 意 所 有 的 看 到 的 棱
2、 都 应 表 现 在 俯 视 图 中 .答 案 ： C 3.下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.2x+y=2xyB.x 2y2=2xy2C.2x x2=2xD.4x-5x=-1 解 析 ： A、 2x+y无 法 计 算 ， 故 此 选 项 错 误 ；B、 x 2y2=2xy2， 正 确 ；C、 2x x2= 2x ， 故 此 选 项 错 误 ；D、 4x-5x=-x， 故 此 选 项 错 误 .答 案 ： B4.下 列 说 法 正 确 的 是 ( )A.不 可 能 事 件 发 生 的 概 率 为 0B.随 机 事 件 发 生 的 概 率 为 12C.概 率 很 小 的 事 件 不 可 能
3、 发 生D.投 掷 一 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 1000 次 ， 正 面 朝 上 的 次 数 一 定 是 500 次 解 析 ： A、 不 可 能 事 件 发 生 的 概 率 为 0， 故 本 选 项 正 确 ；B、 随 机 事 件 发 生 的 概 率 P 为 0 P 1， 故 本 选 项 错 误 ；C、 概 率 很 小 的 事 件 ， 不 是 不 发 生 ， 而 是 发 生 的 机 会 少 ， 故 本 选 项 错 误 ；D、 投 掷 一 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 1000次 ， 是 随 机 事 件 ， 正 面 朝 上 的 次 数 不 确 定 是 多 少 次 ， 故 本选 项 错
4、 误 .答 案 ： A5.我 国 平 均 每 平 方 千 米 的 土 地 一 年 从 太 阳 得 到 的 能 量 ， 相 当 于 燃 烧 130 000 000kg 的 煤 所 产生 的 能 量 .把 130 000 000kg 用 科 学 记 数 法 可 表 示 为 ( )A.13 10 7kgB.0.13 108kgC.1.3 107kgD.1.3 108kg解 析 ： 130 000 000kg=1.3 108kg.答 案 ： D6.在 正 方 形 网 格 中 ， ABC的 位 置 如 图 所 示 ， 则 cosB的 值 为 ( ) A. 12B. 22C. 32 D. 33解 析 ：
5、设 小 正 方 形 的 边 长 为 1， 则 AB=4 2 ， BD=4， cos B= 4 224 2 .答 案 ： B 7.关 于 8 的 叙 述 不 正 确 的 是 ( )A. 8 2 2B.面 积 是 8的 正 方 形 的 边 长 是 8C. 8 是 有 理 数D.在 数 轴 上 可 以 找 到 表 示 8 的 点解 析 ： A、 8 2 2 ， 所 以 此 选 项 叙 述 正 确 ；B、 面 积 是 8 的 正 方 形 的 边 长 是 8 ， 所 以 此 选 项 叙 述 正 确 ； C、 8 2 2 ， 它 是 无 理 数 ， 所 以 此 选 项 叙 述 不 正 确 ；D、 数 轴
6、既 可 以 表 示 有 理 数 ， 也 可 以 表 示 无 理 数 ， 所 以 在 数 轴 上 可 以 找 到 表 示 8 的 点 ； 所以 此 选 项 叙 述 正 确 .答 案 ： C8.下 列 给 出 的 函 数 中 ， 其 图 象 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( ) 函 数 y=x； 函 数 y=x 2； 函 数 y= 1x .A. B. C. D.都 不 是解 析 ： 根 据 中 心 对 称 图 形 的 定 义 可 知 函 数 是 中 心 对 称 图 形 . 答 案 ： C9.如 图 ， AB是 圆 O 的 直 径 ， 弦 CD AB， BCD=30 ， CD=4 3 ， 则
7、S 阴 影 =( )A.2 B. 83 C. 43 D. 38 解 析 ： 如 图 ， 假 设 线 段 CD、 AB交 于 点 E， AB 是 O的 直 径 ， 弦 CD AB， CE=ED=2 3 ，又 BCD=30 ， DOE=2 BCD=60 ， ODE=30 ， OE=DE cot60 = 32 3 3 =2， OD=2OE=4， S 阴 影 =S 扇 形 ODB-S DOE+S BEC= 260 1 1 8 82 3 2 3360 2 2 3 3OD OE DE BE CE .答 案 ： B10.如 图 ， 在 等 腰 ABC中 ， AB=AC=4cm， B=30 ， 点 P从 点
8、B 出 发 ， 以 3 cm/s的 速 度 沿BC 方 向 运 动 到 点 C 停 止 ， 同 时 点 Q 从 点 B 出 发 ， 以 1cm/s 的 速 度 沿 BA-AC 方 向 运 动 到 点 C停 止 ， 若 BPQ的 面 积 为 y(cm 2)， 运 动 时 间 为 x(s)， 则 下 列 最 能 反 映 y 与 x之 间 函 数 关 系 的图 象 是 ( ) A.B.C. D.解 析 ： 作 AH BC于 H， AB=AC=4cm， BH=CH， B=30 ， AH= 12 AB=2， BH= 3 2 3AH ， BC=2BH=4 3 ， 点 P运 动 的 速 度 为 3 cm/s
9、， Q点 运 动 的 速 度 为 1cm/s， 点 P从 B点 运 动 到 C 需 4s， Q 点 运 动 到 C需 8s， 当 0 x 4时 ， 作 QD BC于 D， 如 图 ， BQ=x， BP= 3 x， 在 Rt BDQ中 ， DQ= 1 12 2BQ x， y= 21 1 332 2 4x x x ，当 4 x 8时 ， 作 QD BC于 D， 如 图 2， CQ=8-x， BP=4 3 ，在 Rt BDQ中 ， DQ= 1 12 2CQ (8-x)， y= 1 1 8 4 3 3 8 32 2 x x ， 综 上 所 述 ， y= 23 0 44 3 8 3 4 8( )( )x
10、 xx x ， 答 案 ： D二 、 填 空 题 (本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 32 分 )11.若 式 子 2xx 有 意 义 ， 则 x的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 根 据 题 意 ， 得 x+2 0， 且 x 0， 解 得 x -2 且 x 0.答 案 ： x -2且 x 0 12.分 解 因 式 ： x3-x= .解 析 ： x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1).答 案 ： x(x+1)(x-1)13.定 义 一 种 新 的 运 算 ： x*y= 2x yx ， 如 ： 3*1= 3 2 1 53 3 ， 则 (2*3)*2= .解
11、析 ： 根 据 题 中 的 新 定 义 得 ： (2*3)*2=( 2 2 32 )*2=4*2= 4 44 =2.答 案 ： 214.如 图 所 示 ， 在 矩 形 ABCD中 ， DAC=65 ， 点 E 是 CD 上 一 点 ， BE 交 AC于 点 F， 将 BCE沿 BE 折 叠 ， 点 C 恰 好 落 在 AB边 上 的 点 C 处 ， 则 AFC = . 解 析 ： 矩 形 ABCD， DAC=65 ， ACD=90 - DAC=90 -65 =25 ， BCE沿 BE 折 叠 ， 点 C恰 好 落 在 AB边 上 的 点 C 处 ， 四 边 形 BCEC 是 正 方 形 ， B
12、EC=45 ，由 三 角 形 的 外 角 性 质 ， BFC= BEC+ ACD=45 +25 =70 ，由 翻 折 的 性 质 得 ， BFC = BFC=70 ， AFC =180 - BFC- BFC =180 -70 -70 =40 .答 案 ： 4015.观 察 下 列 的 “ 蜂 窝 图 ” 则 第 n个 图 案 中 的 “ ” 的 个 数 是 .(用 含 有 n 的 代 数 式表 示 ) 解 析 ： 由 题 意 可 知 ： 每 1个 都 比 前 一 个 多 出 了 3个 “ ” ， 第 n个 图 案 中 共 有 “ ” 为 ： 4+3(n-1)=3n+1.答 案 ： 3n+116
13、.如 图 ， 路 灯 距 离 地 面 8 米 ， 身 高 1.6 米 的 小 明 站 在 距 离 灯 的 底 部 (点 O)20米 的 A 处 ， 则小 明 的 影 子 AM 长 为 米 . 解 析 ： 根 据 题 意 ， 易 得 MBA MCO，根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 可 知 AB AMOC OA AM ， 即 1.68 20AMAM ， 解 得 AM=5m.则 小 明 的影 长 为 5 米 .答 案 ： 517.如 图 所 示 ， 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 4， E 是 边 BC 上 的 一 点 ， 且 BE=1， P是 对 角 线 AC上 的一 动 点 ， 连
14、 接 PB、 PE， 当 点 P在 AC上 运 动 时 ， PBE周 长 的 最 小 值 是 . 解 析 ： 连 接 DE 于 AC 交 于 点 P ， 连 接 BP ， 则 此 时 BP E 的 周 长 就 是 PBE周 长 的 最 小值 ， BE=1， BC=CD=4， CE=3， DE=5， BP +P E=DE=5， PBE周 长 的 最 小 值 是 5+1=6.答 案 ： 618.如 图 是 抛 物 线 y 1=ax2+bx+c(a 0)的 图 象 的 一 部 分 ， 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 是 A(1， 3)， 与 x轴 的 一 个 交 点 是 B(4， 0)， 直 线 y
15、2=mx+n(m 0)与 抛 物 线 交 于 A， B两 点 ， 下 列 结 论 ： abc 0； 方 程 ax2+bx+c=3 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ； 抛 物 线 与 x轴 的 另 一 个 交 点 是 (-1，0)； 当 1 x 4 时 ， 有 y2 y1； x(ax+b) a+b， 其 中 正 确 的 结 论 是 .(只 填 写序 号 ) 解 析 ： 由 图 象 可 知 ： a 0， b 0， c 0， 故 abc 0， 故 错 误 .观 察 图 象 可 知 ， 抛 物 线 与 直 线 y=3只 有 一 个 交 点 ， 故 方 程 ax2+bx+c=3有 两 个 相 等 的
16、 实 数 根 ，故 正 确 .根 据 对 称 性 可 知 抛 物 线 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 是 (-2， 0)， 故 错 误 ，观 察 图 象 可 知 ， 当 1 x 4 时 ， 有 y2 y1， 故 错 误 ，因 为 x=1时 ， y1有 最 大 值 ， 所 以 ax2+bx+c a+b+c， 即 x(ax+b) a+b， 故 正 确 ， 所 以 正 确 .答 案 ： 三 、 解 答 题 (本 大 题 共 3 小 题 ， 共 28 分 ) 19.计 算 ： (1)计 算 ： 2 04 11 12 sin 60 52 ；(2)先 化 简 ， 再 求 值 ： 21 2 11 2 2
17、x xx x ， 其 中 x= 3 -1.解 析 ： (1)根 据 实 数 的 运 算 法 则 计 算 即 可 ；(2)原 式 利 用 除 法 法 则 变 形 ， 约 分 得 到 最 简 结 果 ， 把 x 的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 .答 案 ： (1) 2 04 1 31 12 sin 60 5 1 2 3 4 1 52 2 ；(2) 2 21 2 1 2 1 2 11 2 2 2 11x x x xx x x xx ， 当 x= 3 -1时 ， 原 式 = 33 .20.一 艘 轮 船 位 于 灯 塔 P南 偏 西 60 方 向 的 A处 ， 它 向 东 航 行 20海
18、里 到 达 灯 塔 P南 偏 西 45方 向 上 的 B处 ， 若 轮 船 继 续 沿 正 东 方 向 航 行 ， 求 轮 船 航 行 途 中 与 灯 塔 P 的 最 短 距 离 .(结 果 保留 根 号 ) 解 析 ： 利 用 题 意 得 到 AC PC， APC=60 ， BPC=45 ， AP=20， 如 图 ， 在 Rt APC中 ， 利用 余 弦 的 定 义 计 算 出 PC=10， 利 用 勾 股 定 理 计 算 出 AC=10 3 ， 再 判 断 PBC为 等 腰 直 角 三 角形 得 到 BC=PC=10， 然 后 计 算 AC-BC即 可 .答 案 ： 如 图 ， AC PC
19、， APC=60 ， BPC=45 ， AP=200， 在 Rt APC中 ， cos APC= PCAP ， PC=20 cos60 =10， AC= 2 220 10 10 3 ，在 PBC中 ， BPC=45 ， PBC为 等 腰 直 角 三 角 形 ， BC=PC=10， AB=AC-BC=10 3 -10(海 里 ).答 ： 轮 船 航 行 途 中 与 灯 塔 P 的 最 短 距 离 是 (10 3 -10)海 里 .21.八 年 级 一 班 开 展 了 “ 读 一 本 好 书 ” 的 活 动 ， 班 委 会 对 学 生 阅 读 书 籍 的 情 况 进 行 了 问 卷 调查 ， 问
20、卷 设 置 了 “ 小 说 ” “ 戏 剧 ” “ 散 文 ” “ 其 他 ” 四 个 类 型 ， 每 位 同 学 仅 选 一 项 ， 根 据 调 查结 果 绘 制 了 不 完 整 的 频 数 分 布 表 和 扇 形 统 计 图 . 根 据 图 表 提 供 的 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：(1)八 年 级 一 班 有 多 少 名 学 生 ？(2)请 补 全 频 数 分 布 表 ， 并 求 出 扇 形 统 计 图 中 “ 其 他 ” 类 所 占 的 百 分 比 ；(3)在 调 查 问 卷 中 ， 甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 位 同 学 选 择 了 “ 戏 剧 ” 类 ， 现 从 以
21、 上 四 位 同 学 中 任 意选 出 2名 同 学 参 加 学 校 的 戏 剧 兴 趣 小 组 ， 请 用 画 树 状 图 或 列 表 法 的 方 法 ， 求 选 取 的 2 人 恰 好是 乙 和 丙 的 概 率 .解 析 (1)用 散 文 的 频 数 除 以 其 频 率 即 可 求 得 样 本 总 数 ；(2)根 据 其 他 类 的 频 数 和 总 人 数 求 得 其 百 分 比 即 可 ；(3)画 树 状 图 得 出 所 有 等 可 能 的 情 况 数 ， 找 出 恰 好 是 丙 与 乙 的 情 况 ， 即 可 确 定 出 所 求 概 率 .答 案 ： (1) 喜 欢 散 文 的 有 1
22、0人 ， 频 率 为 0.25， 总 人 数 =10 0.25=40(人 ).(2)在 扇 形 统 计 图 中 ， “ 其 他 ” 类 所 占 的 百 分 比 为 640 100%=15%.(3)画 树 状 图 ， 如 图 所 示 ： 所 有 等 可 能 的 情 况 有 12 种 ， 其 中 恰 好 是 丙 与 乙 的 情 况 有 2 种 ， P(丙 和 乙 )= 2 112 6 .四 、 解 答 题 (共 50 分 )22.如 图 所 示 ， 一 次 函 数 y=kx+b 与 反 比 例 函 数 y=mx 的 图 象 交 于 A(2， 4)， B(-4， n)两 点 . (1)分 别 求 出
23、 一 次 函 数 与 反 比 例 函 数 的 表 达 式 ；(2)过 点 B 作 BC x 轴 ， 垂 足 为 点 C， 连 接 AC， 求 ACB 的 面 积 .解 析 ： (1)将 点 A 坐 标 代 入y= mx 可 得 反 比 例 函 数 解 析 式 ， 据 此 求 得 点 B 坐 标 ， 根 据 A、 B 两 点 坐 标 可 得 直 线 解 析 式 ；(2)根 据 点 B 坐 标 可 得 底 边 BC=2， 由 A、 B 两 点 的 横 坐 标 可 得 BC边 上 的 高 ， 据 此 可 得 .答 案 ： (1)将 点 A(2， 4)代 入 y=mx ， 得 ： m=8， 则 反 比
24、 例 函 数 解 析 式 为 y= 8x ，当 x=-4时 ， y=-2， 则 点 B(-4， -2)，将 点 A(2， 4)、 B(-4， -2)代 入 y=kx+b， 得 ： 2 44 2k bk b ， ， 解 得 ： 12kb ，则 一 次 函 数 解 析 式 为 y=x+2. (2)由 题 意 知 BC=2， 则 ACB 的 面 积 = 12 2 6=6.23.如 图 ， ABD是 O 的 内 接 三 角 形 ， E 是 弦 BD的 中 点 ， 点 C 是 O 外 一 点 且 DBC= A，连 接 OE延 长 与 圆 相 交 于 点 F， 与 BC相 交 于 点 C. (1)求 证
25、： BC是 O 的 切 线 ；(2)若 O 的 半 径 为 6， BC=8， 求 弦 BD 的 长 . 解 析 ： (1)连 接 OB， 由 垂 径 定 理 的 推 论 得 出 BE=DE， OE BD， 12BF DF BD ， 由 圆 周 角定 理 得 出 BOE= A， 证 出 OBE+ DBC=90 ， 得 出 OBC=90 即 可 ；(2)由 勾 股 定 理 求 出 OC， 由 OBC 的 面 积 求 出 BE， 即 可 得 出 弦 BD 的 长 .答 案 ： (1)连 接 OB， 如 图 所 示 ： E 是 弦 BD的 中 点 ， BE=DE， OE BD， 12BF DF BD
26、， BOE= A， OBE+ BOE=90 ， DBC= A， BOE= DBC， OBE+ DBC=90 ， OBC=90 ，即 BC OB， BC是 O 的 切 线 ；(2) OB=6， BC=8， BC OB， OC= 2 2OB BC =10， OBC的 面 积 = 12 OC BE= 12 OB BC， BE= 6 8 4.810OB BCOC ， BD=2BE=9.6， 即 弦 BD 的 长 为 9.6.24.天 水 某 公 交 公 司 将 淘 汰 某 一 条 线 路 上 “ 冒 黑 烟 ” 较 严 重 的 公 交 车 ， 计 划 购 买 A 型 和 B 型 两 行 环 保 节 能
27、 公 交 车 共 10 辆 ， 若 购 买 A 型 公 交 车 1 辆 ， B 型 公 交 车 2 辆 ， 共 需 400 万 元 ；若 购 买 A 型 公 交 车 2辆 ， B 型 公 交 车 1辆 ， 共 需 350万 元 .(1)求 购 买 A 型 和 B 型 公 交 车 每 辆 各 需 多 少 万 元 ？(2)预 计 在 该 条 线 路 上 A型 和 B 型 公 交 车 每 辆 年 均 载 客 量 分 别 为 60 万 人 次 和 100万 人 次 .若该 公 司 购 买 A型 和 B型 公 交 车 的 总 费 用 不 超 过 1220 万 元 ， 且 确 保 这 10 辆 公 交 车
28、 在 该 线 路 的年 均 载 客 量 总 和 不 少 于 650 万 人 次 ， 则 该 公 司 有 哪 几 种 购 车 方 案 ？ 哪 种 购 车 方 案 总 费 用 最少 ？ 最 少 总 费 用 是 多 少 ？解 析 ： (1)设 购 买 A 型 公 交 车 每 辆 需 x 万 元 ， 购 买 B 型 公 交 车 每 辆 需 y 万 元 ， 根 据 “ A 型 公交 车 1 辆 ， B 型 公 交 车 2 辆 ， 共 需 400 万 元 ； A 型 公 交 车 2 辆 ， B 型 公 交 车 1 辆 ， 共 需 350万 元 ” 列 出 方 程 组 解 决 问 题 ；(2)设 购 买 A
29、 型 公 交 车 a辆 ， 则 B 型 公 交 车 (10-a)辆 ， 由 “ 购 买 A 型 和 B 型 公 交 车 的 总 费 用不 超 过 1220万 元 ” 和 “ 10 辆 公 交 车 在 该 线 路 的 年 均 载 客 总 和 不 少 于 650万 人 次 ” 列 出 不 等式 组 探 讨 得 出 答 案 即 可 . 答 案 ： (1)设 购 买 A 型 公 交 车 每 辆 需 x 万 元 ， 购 买 B 型 公 交 车 每 辆 需 y 万 元 ，由 题 意 得 2 4002 350 x yx y ， 解 得 100150 xy ，答 ： 购 买 A型 公 交 车 每 辆 需 10
30、0万 元 ， 购 买 B 型 公 交 车 每 辆 需 150万 元 . (2)设 购 买 A 型 公 交 车 a 辆 ， 则 B 型 公 交 车 (10-a)辆 ，由 题 意 得 100 150 10 122060 100 10 650a aa a ， 解 得 ： 28 355 4a ，因 为 a是 整 数 ， 所 以 a=6， 7， 8； 则 (10-a)=4， 3， 2；三 种 方 案 ： 购 买 A 型 公 交 车 6辆 ， 则 B型 公 交 车 4 辆 ： 100 6+150 4=1200万 元 ； 购 买 A 型 公 交 车 7辆 ， 则 B型 公 交 车 3 辆 ： 100 7+1
31、50 3=1150万 元 ； 购 买 A 型 公 交 车 8辆 ， 则 B型 公 交 车 2 辆 ： 100 8+150 2=1100万 元 ；购 买 A型 公 交 车 8 辆 ， 则 B 型 公 交 车 2辆 费 用 最 少 ， 最 少 总 费 用 为 1100万 元 .25. ABC和 DEF是 两 个 全 等 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， BAC= EDF=90 ， DEF 的 顶 点 E 与 ABC的 斜 边 BC 的 中 点 重 合 ， 将 DEF绕 点 E旋 转 ， 旋 转 过 程 中 ， 线 段 DE与 线 段 AB相 交 于 点 P， 线 段 EF与 射 线 CA相 交
32、于 点 Q.(1)如 图 ， 当 点 Q 在 线 段 AC上 ， 且 AP=AQ时 ， 求 证 ： BPE CQE；(2)如 图 ， 当 点 Q 在 线 段 CA 的 延 长 线 上 时 ， 求 证 ： BPE CEQ； 并 求 当 BP=2， CQ=9时 BC的 长 .解 析 ： (1)由 ABC 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 易 得 B= C=45 ， AB=AC， 又 由 AP=AQ， E 是 BC的中 点 ， 利 用 SAS， 可 证 得 ： BPE CQE；(2)由 ABC和 DEF是 两 个 全 等 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 易 得 B= C= DEF=45 ， 然
33、 后 利 用 三角 形 的 外 角 的 性 质 ， 即 可 得 BEP= EQC， 则 可 证 得 ： BPE CEQ； 根 据 相 似 三 角 形 的 对应 边 成 比 例 ， 即 可 求 得 BE的 长 ， 即 可 得 BC的 长 ，答 案 ： (1) ABC是 等 腰 直 角 三 角 形 ， B= C=45 ， AB=AC， AP=AQ， BP=CQ， E 是 BC 的 中 点 ， BE=CE，在 BPE和 CQE中 ， BE CEB CBP CQ ， ， BPE CQE(SAS). (2)连 接 PQ， ABC和 DEF是 两 个 全 等 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， B= C=
34、 DEF=45 ， BEQ= EQC+ C，即 BEP+ DEF= EQC+ C， BEP+45 = EQC+45 ， BEP= EQC， BPE CEQ， BP BECE CQ ， BP=2， CQ=9， BE=CE， BE 2=18， BE=CE=3 2 ， BC=6 2 .26.如 图 所 示 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 xOy 中 ， 抛 物 线 y=ax2-2ax-3a(a 0)与 x 轴 交 于 A， B两 点 (点 A 在 点 B 的 左 侧 )， 经 过 点 A的 直 线 l： y=kx+b 与 y 轴 负 半 轴 交 于 点 C， 与 抛 物 线 的另 一 个 交
35、 点 为 D， 且 CD=4AC. (1)求 A、 B两 点 的 坐 标 及 抛 物 线 的 对 称 轴 ；(2)求 直 线 l 的 函 数 表 达 式 (其 中 k、 b 用 含 a 的 式 子 表 示 )；(3)点 E 是 直 线 l 上 方 的 抛 物 线 上 的 动 点 ， 若 ACE的 面 积 的 最 大 值 为 54 ， 求 a的 值 ；(4)设 P 是 抛 物 线 对 称 轴 上 的 一 点 ， 点 Q 在 抛 物 线 上 ， 以 点 A、 D、 P、 Q 为 顶 点 的 四 边 形 能 否成 为 矩 形 ？ 若 能 ， 求 出 点 P 的 坐 标 ； 若 不 能 ， 请 说 明
36、 理 由 .解 析 ： (1)解 方 程 即 可 得 到 结 论 ；(2)根 据 直 线 l： y=kx+b 过 A(-1， 0)， 得 到 直 线 l： y=kx+k， 解 方 程 得 到 点 D 的 横 坐 标 为 4，求 得 k=a， 得 到 直 线 l 的 函 数 表 达 式 为 y=ax+a；(3)过 E作 EF y轴 交 直 线 l于 F， 设 E(x， ax 2-2ax-3a)， 得 到 F(x， ax+a)， 求 出 EF=ax2-3ax-4a，根 据 三 角 形 的 面 积 公 式 列 方 程 即 可 得 到 结 论 ；(4)令 ax2-2ax-3a=ax+a， 即 ax2-
37、3ax-4a=0， 得 到 D(4， 5a)， 设 P(1， m)， 若 AD是 矩 形 ADPQ 的 一 条 边 ， 若 AD 是 矩 形 APDQ的 对 角 线 ， 列 方 程 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： (1)当 y=0时 ， ax2-2ax-3a=0， 解 得 ： x1=-1， x2=3， A(-1， 0)， B(3， 0)，对 称 轴 为 直 线 x= 1 32 =1；(2) 直 线 l： y=kx+b过 A(-1， 0)， 0=-k+b， 即 k=b， 直 线 l： y=kx+k， 抛 物 线 与 直 线 l 交 于 点 A， D， ax2-2ax-3a=kx+k，即 a
38、x2-(2a+k)x-3a-k=0， CD=4AC， 点 D 的 横 坐 标 为 4， -3-ka =-1 4， k=a， 直 线 l的 函 数 表 达 式 为 y=ax+a；(3)过 E 作 EF y 轴 交 直 线 l 于 F， 设 E(x， ax2-2ax-3a)，则 F(x， ax+a)， EF=ax2-2ax-3a-ax-a=ax2-3ax-4a， S ACE=S AFE-S CEF= 22 2 21 1 1 3 253 4 1 12 3 4 3 42 2 2 2 8ax ax a x ax ax a x ax ax a a x a ， ACE的 面 积 的 最 大 值 =- 258
39、 a， ACE的 面 积 的 最 大 值 为 54 ， - 25 58 4a ， 解 得 a=- 25 ；(4)以 点 A、 D、 P、 Q为 顶 点 的 四 边 形 能 成 为 矩 形 ， 令 ax2-2ax-3a=ax+a， 即 ax2-3ax-4a=0， 解 得 ： x1=1， x2=4， D(4， 5a)， 抛 物 线 的 对 称 轴 为 直 线 x=1，设 P(1， m)， 若 AD是 矩 形 ADPQ的 一 条 边 ， 则 易 得 Q(-4， 21a)， m=21a+5a=26a， 则 P(1， 26a)， 四 边 形 ADPQ 是 矩 形 ， ADP=90 ， AD2+PD2=A
40、P2， 52+(5a)2+32+(26-5a)2=22+(26a)2， 即 a2= 17 ， a 0， a=- 77 ， P(1， - 26 77 )； 若 AD是 矩 形 APDQ的 对 角 线 ， 则 易 得 Q(2， -3a)， m=5a-(-3a)=8a， 则 P(1， 8a)， 四 边 形 APDQ 是 矩 形 ， APD=90 ， AP2+PD2=AD2， (-1-1)2+(8a)2+(1-4)+(8a-5a)2=52+(5a)2， 即 a2= 14 ， a 0， a=- 12 ， P(1， -4)，综 上 所 述 ， 点 A、 D、 P、 Q 为 顶 点 的 四 边 形 能 成 为 矩 形 ， 点 P(1， - 26 77 )或 (1， -4).
