1、2017年 湖 南 省 长 沙 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 12小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 36 分 )1.下 列 实 数 中 ， 为 有 理 数 的 是 ( )A. 3B.C. 3 2D.1解 析 ： 根 据 有 理 数 是 有 限 小 数 或 无 限 循 环 小 数 ， 无 理 数 是 无 限 不 循 环 小 数 ， 可 得 答 案 .答 案 ： D. 2.下 列 计 算 正 确 的 是 ( )A. 2 3 5 B.a+2a=2a2C.x(1+y)=x+xyD.(mn2)3=mn6解 析 ： 分 别 利 用 合 并 同 类 项 法 则 以 及
2、 单 项 式 乘 以 多 项 式 和 积 的 乘 方 运 算 法 则 化 简 判 断 即 可 .答 案 ： C.3.据 国 家 旅 游 局 统 计 ， 2017年 端 午 小 长 假 全 国 各 大 景 点 共 接 待 游 客 约 为 82600000人 次 ， 数据 82600000用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.0.826 10 6B.8.26 107C.82.6 106D.8.26 108解 析 ： 将 82600000 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ： 8.26 107.答 案 ： B.4.在 下 列 图 形 中 ， 既 是 轴 对 称 图 形 ， 又 是 中 心
3、对 称 图 形 的 是 ( )A.直 角 三 角 形B.正 五 边 形C.正 方 形D.平 行 四 边 形 解 析 ： A、 既 不 是 轴 对 称 图 形 ， 也 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；B、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ；C、 既 是 轴 对 称 图 形 ， 又 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 正 确 ；D、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 .答 案 ： C.5.一 个 三 角 形 的 三 个 内 角 的 度 数 之 比
4、为 1： 2： 3， 则 这 个 三 角 形 一 定 是 ( ) A.锐 角 三 角 形B.直 角 三 角 形C.钝 角 三 角 形D.等 腰 直 角 三 角 形解 析 ： 设 三 角 形 的 三 个 内 角 的 度 数 之 比 为 x、 2x、 3x，则 x+2x+3x=180 ，解 得 ， x=30 ，则 3x=90 ， 这 个 三 角 形 一 定 是 直 角 三 角 形 .答 案 ： B.6.下 列 说 法 正 确 的 是 ( )A.检 测 某 批 次 灯 泡 的 使 用 寿 命 ， 适 宜 用 全 面 调 查 B.可 能 性 是 1%的 事 件 在 一 次 试 验 中 一 定 不 会
5、发 生C.数 据 3， 5， 4， 1， -2 的 中 位 数 是 4D.“ 367中 有 2人 同 月 同 日 初 生 ” 为 必 然 事 件解 析 ： 根 据 可 能 性 的 大 小 、 全 面 调 查 与 抽 样 调 查 的 定 义 及 中 位 数 概 念 、 必 然 事 件 、 不 可 能 事件 、 随 机 事 件 的 概 念 进 行 判 断 即 可 .答 案 ： D.7.某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 因 此 几 何 体 是 ( ) A.长 方 形B.圆 柱C.球D.正 三 棱 柱解 析 ： 从 正 面 看 ， 是 一 个 矩 形 ； 从 左 面 看 ， 是 一
6、个 矩 形 ； 从 上 面 看 ， 是 圆 ， 这 样 的 几 何 体 是圆 柱 .答 案 ： B.8.抛 物 线 y=2(x-3) 2+4顶 点 坐 标 是 ( )A.(3， 4)B.(-3， 4)C.(3， -4)D.(2， 4)解 析 ： y=2(x-3)2+4 是 抛 物 线 的 顶 点 式 ，根 据 顶 点 式 的 坐 标 特 点 可 知 ， 顶 点 坐 标 为 (3， 4).答 案 ： A. 9.如 图 ， 已 知 直 线 a b， 直 线 c 分 别 与 a， b 相 交 ， 1=110 ， 则 2的 度 数 为 ( )A.60B.70C.80D.110解 析 ： 直 线 a b
7、， 3= 1=110 ， 2=180 -110 =70 .答 案 ： B.10.如 图 ， 菱 形 ABCD的 对 角 线 AC， BD 的 长 分 别 为 6cm， 8cm， 则 这 个 菱 形 的 周 长 为 ( ) A.5cmB.10cmC.14cmD.20cm解 析 ： 根 据 菱 形 的 对 角 线 互 相 垂 直 平 分 可 得 AC BD， OA= 12 AC， OB=12 BD， 再 利 用 勾 股 定 理列 式 求 出 AB， 然 后 根 据 菱 形 的 四 条 边 都 相 等 列 式 计 算 即 可 得 解 .答 案 ： D.11.中 国 古 代 数 学 著 作 算 法 统
8、 宗 中 有 这 样 一 段 记 载 ： “ 三 百 七 十 八 里 关 ， 初 日 健 步 不 为 难 ，次 日 脚 痛 减 一 半 ， 六 朝 才 得 到 其 关 .” 其 大 意 是 ， 有 人 要 去 某 关 口 ， 路 程 为 378里 ， 第 一 天健 步 行 走 ， 从 第 二 天 起 ， 由 于 脚 痛 ， 每 天 走 的 路 程 都 为 前 一 天 的 一 半 ， 一 共 走 了 六 天 才 到 达目 的 地 ， 则 此 人 第 六 天 走 的 路 程 为 ( ) A.24里 B.12里C.6里D.3里解 析 ： 设 第 一 天 走 了 x 里 ， 则 第 二 天 走 了 1
9、2 x里 ， 第 三 天 走 了 12 12 x 第 六 天 走 了 ( 12 )5x里 ， 根 据 路 程 为 378里 列 出 方 程 并 解 答 .答 案 ： C.12.如 图 ， 将 正 方 形 ABCD折 叠 ， 使 顶 点 A 与 CD 边 上 的 一 点 H重 合 (H 不 与 端 点 C， D 重 合 )，折 痕 交 AD于 点 E， 交 BC于 点 F， 边 AB 折 叠 后 与 边 BC 交 于 点 G.设 正 方 形 ABCD的 周 长 为 m， CHG的 周 长 为 n， 则 nm 的 值 为 ( ) A. 22B. 12C. 5 12D.随 H点 位 置 的 变 化
10、而 变 化解 析 ： 设 CH=x， DE=y， 则 DH= 4m -x， EH= 4m -y， 然 后 利 用 正 方 形 的 性 质 和 折 叠 可 以 证 明 DEH CHG， 利 用 相 似 三 角 形 的 对 应 边 成 比 例 可 以 把 CG， HG分 别 用 x， y分 别 表 示 ， CHG的 周 长 也 用 x， y表 示 ， 然 后 在 Rt DEH中 根 据 勾 股 定 理 可 以 得 到 2m x-x 2= 2m y， 进 而 求 出 CHG的 周 长 .答 案 ： B.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 18 分 )13
11、.分 解 因 式 ： 2a2+4a+2=_.解 析 ： 原 式 提 取 2， 再 利 用 完 全 平 方 公 式 分 解 即 可 .答 案 ： 2(a+1) 2.14.方 程 组 13 3x yx y 的 解 是 _. 解 析 ： 根 据 加 减 消 元 法 ， 可 得 答 案 .答 案 ： 10 xy .15.如 图 ， AB为 O 的 直 径 ， 弦 CD AB于 点 E， 已 知 CD=6， EB=1， 则 O 的 半 径 为 _.解 析 ： 连 接 OC， 由 垂 径 定 理 知 ， 点 E 是 CD 的 中 点 ， AE= 12 CD， 在 直 角 OCE 中 ， 利 用 勾 股 定
12、 理 即 可 得 到 关 于 半 径 的 方 程 ， 求 得 圆 半 径 即 可 .答 案 ： 5.16.如 图 ， ABO三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 A(2， 4)， B(6， 0)， O(0， 0)， 以 原 点 O 为 位 似 中 心 ，把 这 个 三 角 形 缩 小 为 原 来 的 12 ， 可 以 得 到 A B O， 已 知 点 B 的 坐 标 是 (3， 0)， 则 点 A的 坐 标 是 _. 解 析 ： 根 据 位 似 变 换 的 性 质 进 行 计 算 即 可 .答 案 ： (1， 2).17.甲 、 乙 两 名 同 学 进 行 跳 高 测 试 ， 每 人 10次
13、 跳 高 的 平 均 成 绩 恰 好 是 1.6米 ， 方 差 分 别 是 S甲 2=1.2， S 乙 2=0.5， 则 在 本 次 测 试 中 ， _同 学 的 成 绩 更 稳 定 (填 “ 甲 ” 或 “ 乙 ” )解 析 ： 根 据 方 差 的 意 义 可 作 出 判 断 .方 差 是 用 来 衡 量 一 组 数 据 波 动 大 小 的 量 ， 方 差 越 小 ， 表明 这 组 数 据 分 布 比 较 集 中 ， 各 数 据 偏 离 平 均 数 越 小 ， 即 波 动 越 小 ， 数 据 越 稳 定 .答 案 ： 乙 .18.如 图 ， 点 M 是 函 数 y= 3x与 y= kx 的
14、图 象 在 第 一 象 限 内 的 交 点 ， OM=4， 则 k 的 值 为 _. 解 析 ： 作 MN x 轴 于 N， 得 出 M(x， 3 x)， 在 Rt OMN 中 ， 由 勾 股 定 理 得 出 方 程 ， 解 方 程求 出 x=2， 得 出 M(2， 2 3)， 即 可 求 出 k 的 值 .答 案 ： 4 3 . 三 、 解 答 题 (本 大 题 共 8 小 题 ， 共 66 分 )19.计 算 ： |-3|+( -2017)0-2sin30 +(13 )-1.解 析 ： 原 式 利 用 绝 对 值 的 代 数 意 义 ， 零 指 数 幂 、 负 整 数 指 数 幂 法 则
15、， 以 及 特 殊 角 的 三 角 函 数值 计 算 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： 原 式 =3+1-1+3=6.20.解 不 等 式 组 2 95 1 3 1x xx x ， 并 把 它 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 .解 析 ： 分 别 求 出 每 一 个 不 等 式 的 解 集 ， 根 据 口 诀 ： 同 大 取 大 、 同 小 取 小 、 大 小 小 大 中 间 找 、 大 大 小 小 无 解 了 确 定 不 等 式 组 的 解 集 .答 案 ： 解 不 等 式 2x -9-x， 得 ： x -3，解 不 等 式 5x-1 3(x+1)， 得 ： x 2，则 不
16、等 式 组 的 解 集 为 x 2，将 解 集 表 示 在 数 轴 上 如 下 ：21.为 了 传 承 中 华 优 秀 传 统 文 化 ， 市 教 育 局 决 定 开 展 “ 经 典 诵 读 进 校 园 ” 活 动 ， 某 校 团 委 组 织 八 年 级 100名 学 生 进 行 “ 经 典 诵 读 ” 选 拔 赛 ， 赛 后 对 全 体 参 赛 学 生 的 成 绩 进 行 整 理 ， 得 到下 列 不 完 整 的 统 计 图 表 .请 根 据 所 给 信 息 ， 解 答 以 下 问 题 ：(1)表 中 a=_， b=_；(2)请 计 算 扇 形 统 计 图 中 B 组 对 应 扇 形 的 圆
17、 心 角 的 度 数 ；(3)已 知 有 四 名 同 学 均 取 得 98分 的 最 好 成 绩 ， 其 中 包 括 来 自 同 一 班 级 的 甲 、 乙 两 名 同 学 ， 学 校 将 从 这 四 名 同 学 中 随 机 选 出 两 名 参 加 市 级 比 赛 ， 请 用 列 表 法 或 画 树 状 图 法 求 甲 、 乙 两 名 同学 都 被 选 中 的 概 率 .解 析 ： (1)首 先 根 据 A 组 频 数 及 其 频 率 可 得 总 人 数 ， 再 利 用 频 数 、 频 率 之 间 的 关 系 求 得 a、 b；(2)B组 的 频 率 乘 以 360 即 可 求 得 答 案 ；
18、(3)列 树 形 图 后 即 可 将 所 有 情 况 全 部 列 举 出 来 ， 从 而 求 得 恰 好 抽 中 者 两 人 的 概 率 .答 案 ： (1)本 次 调 查 的 总 人 数 为 17 0.17=100(人 )，则 a= 30100=0.3， b=100 0.45=45(人 )；(2)360 0.3=108 ，答 ： 扇 形 统 计 图 中 B组 对 应 扇 形 的 圆 心 角 为 108 ；(3)将 同 一 班 级 的 甲 、 乙 学 生 记 为 A、 B， 另 外 两 学 生 记 为 C、 D，列 树 形 图 得 ： 共 有 12 种 等 可 能 的 情 况 ， 甲 、 乙
19、两 名 同 学 都 被 选 中 的 情 况 有 2 种 ， 甲 、 乙 两 名 同 学 都 被 选 中 的 概 率 为 2 112 6 .22.为 了 维 护 国 家 主 权 和 海 洋 权 利 ， 海 监 部 门 对 我 国 领 海 实 现 了 常 态 化 巡 航 管 理 ， 如 图 ， 正在 执 行 巡 航 任 务 的 海 监 船 以 每 小 时 50海 里 的 速 度 向 正 东 方 航 行 ， 在 A 处 测 得 灯 塔 P 在 北 偏东 60 方 向 上 ， 继 续 航 行 1 小 时 到 达 B处 ， 此 时 测 得 灯 塔 P 在 北 偏 东 30 方 向 上 . (1)求 AP
20、B的 度 数 ；(2)已 知 在 灯 塔 P 的 周 围 25 海 里 内 有 暗 礁 ， 问 海 监 船 继 续 向 正 东 方 向 航 行 是 否 安 全 ？解 析 ： (1)在 ABP中 ， 求 出 PAB、 PBA 的 度 数 即 可 解 决 问 题 ；(2)作 PH AB 于 H.求 出 PH的 值 即 可 判 定 .答 案 ： (1) PAB=30 ， ABP=120 ， APB=180 - PAB- ABP=30 .(2)作 PH AB 于 H. BAP= BPA=30 ， BA=BP=50，在 Rt PBH中 ， PH=PB sin60 =50 32 =25 3， 25 3 2
21、5， 海 监 船 继 续 向 正 东 方 向 航 行 是 安 全 的 .23.如 图 ， AB与 O 相 切 于 点 C， OA， OB分 别 交 O 于 点 D， E， CD CE . (1)求 证 ： OA=OB；(2)已 知 AB=4 3， OA=4， 求 阴 影 部 分 的 面 积 .解 析 ： (1)连 接 OC， 由 切 线 的 性 质 可 知 ACO=90 ， 由 于 CD CE ， 所 以 AOC= BOC， 从而 可 证 明 A= B， 从 而 可 知 OA=OB；(2)由 (1)可 知 ： AOB 是 等 腰 三 角 形 ， 所 以 AC=2 3 ， 从 可 求 出 扇 形
22、 OCE 的 面 积 以 及 OCB的 面 积 . 答 案 ： (1)连 接 OC， AB 与 O相 切 于 点 C ACO=90 ，由 于 CD CE ， AOC= BOC， A= B OA=OB， (2)由 (1)可 知 ： OAB是 等 腰 三 角 形 ， BC= 12 AB=2 3， sin COB= 32BCOB ， COB=60 ， B=30 ， OC= 12 OB=2， 扇 形 OCE的 面 积 为 ： 60 4 2360 3 ， OCB的 面 积 为 ： 1 2 3 2 2 32 S 阴 影 = 22 3 3 .24.自 从 湖 南 与 欧 洲 的 “ 湘 欧 快 线 ” 开
23、通 后 ， 我 省 与 欧 洲 各 国 经 贸 往 来 日 益 频 繁 ， 某 欧 洲 客商 准 备 在 湖 南 采 购 一 批 特 色 商 品 ， 经 调 查 ， 用 16000 元 采 购 A型 商 品 的 件 数 是 用 7500 元 采购 B 型 商 品 的 件 数 的 2 倍 ， 一 件 A型 商 品 的 进 价 比 一 件 B型 商 品 的 进 价 多 10元 .(1)求 一 件 A， B型 商 品 的 进 价 分 别 为 多 少 元 ？(2)若 该 欧 洲 客 商 购 进 A， B 型 商 品 共 250件 进 行 试 销 ， 其 中 A型 商 品 的 件 数 不 大 于 B 型
24、 的 件数 ， 且 不 小 于 80 件 .已 知 A 型 商 品 的 售 价 为 240元 /件 ， B 型 商 品 的 售 价 为 220元 /件 ， 且 全部 售 出 .设 购 进 A型 商 品 m 件 ， 求 该 客 商 销 售 这 批 商 品 的 利 润 v与 m 之 间 的 函 数 关 系 式 ， 并写 出 m的 取 值 范 围 ； (3)在 (2)的 条 件 下 ， 欧 洲 客 商 决 定 在 试 销 活 动 中 每 售 出 一 件 A 型 商 品 ， 就 从 一 件 A型 商 品 的利 润 中 捐 献 慈 善 资 金 a 元 ， 求 该 客 商 售 完 所 有 商 品 并 捐
25、献 慈 善 资 金 后 获 得 的 最 大 收 益 .解 析 ： (1)设 一 件 B 型 商 品 的 进 价 为 x 元 ， 则 一 件 A 型 商 品 的 进 价 为 (x+10)元 .根 据 16000元 采 购 A 型 商 品 的 件 数 是 用 7500 元 采 购 B 型 商 品 的 件 数 的 2 倍 ， 列 出 方 程 即 可 解 决 问 题 ；(2)根 据 总 利 润 =两 种 商 品 的 利 润 之 和 ， 列 出 式 子 即 可 解 决 问 题 ；(3)设 利 润 为 w元 .则 w=(80-a)m+70(250-m)=(10-a)m+17500， 分 三 种 情 形 讨
26、 论 即 可 解 决 问 题 . 答 案 ： (1)设 一 件 B 型 商 品 的 进 价 为 x 元 ， 则 一 件 A 型 商 品 的 进 价 为 (x+10)元 .由 题 意 ： 16000 7500 210 x x ，解 得 x=150，经 检 验 x=150 是 分 式 方 程 的 解 ，答 ： 一 件 B型 商 品 的 进 价 为 150元 ， 则 一 件 A 型 商 品 的 进 价 为 160元 .(2)因 为 客 商 购 进 A 型 商 品 m 件 ， 所 以 客 商 购 进 B 型 商 品 (250-m)件 .由 题 意 ： v=80m+70(250-a)=10m+17500
27、， 80 m 250-m， 80 m 125，(3)设 利 润 为 w 元 .则 w=(80-a)m+70(250-m)=(10-a)m+17500， 当 10-a 0 时 ， w随 m的 增 大 而 增 大 ， 所 以 m=125时 ， 最 大 利 润 为 (18750-125a)元 . 当 10-a=0时 ， 最 大 利 润 为 17500 元 . 当 10-a 0 时 ， w随 m的 增 大 而 减 小 ， 所 以 m=80时 ， 最 大 利 润 为 (18300-80a)元 .25.若 三 个 非 零 实 数 x， y， z满 足 ： 只 要 其 中 一 个 数 的 倒 数 等 于 另
28、 外 两 个 数 的 倒 数 的 和 ， 则称 这 三 个 实 数 x， y， z 构 成 “ 和 谐 三 组 数 ” .(1)实 数 1， 2， 3 可 以 构 成 “ 和 谐 三 组 数 ” 吗 ？ 请 说 明 理 由 ；(2)若 M(t， y1)， N(t+1， y2)， R(t+3， y3)三 点 均 在 函 数 kx (k 为 常 数 ， k 0)的 图 象 上 ， 且 这三 点 的 纵 坐 标 y 1， y2， y3构 成 “ 和 谐 三 组 数 ” ， 求 实 数 t 的 值 ；(3)若 直 线 y=2bx+2c(bc 0)与 x轴 交 于 点 A(x1， 0)， 与 抛 物 线
29、 y=ax2+3bx+3c(a 0)交 于 B(x2，y2)， C(x3， y3)两 点 . 求 证 ： A， B， C 三 点 的 横 坐 标 x1， x2， x3构 成 “ 和 谐 三 组 数 ” ； 若 a 2b 3c， x2=1， 求 点 P( ca ， ba )与 原 点 O的 距 离 OP的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)由 和 谐 三 组 数 的 定 义 进 行 验 证 即 可 ；(2)把 M、 N、 R 三 点 的 坐 标 分 别 代 入 反 比 例 函 数 解 析 式 ， 可 用 t和 k分 别 表 示 出 y 1、 y2、 y3，再 由 和 谐 三 组 数 的 定 义
30、 可 得 到 关 于 t 的 方 程 ， 可 求 得 t 的 值 ；(3) 由 直 线 解 析 式 可 求 得 x1=-cb， 联 立 直 线 和 抛 物 线 解 析 式 消 去 y， 利 用 一 元 二 次 方 程 根与 系 数 的 关 系 可 求 得 x2+x3=- ba ， x2x3= ca ， 再 利 用 和 谐 三 数 组 的 定 义 证 明 即 可 ； 由 条 件 可得 到 a+b+c=0， 可 得 c=-(a+b)， 由 a 2b 3c 可 求 得 ba 的 取 值 范 围 ， 令 m= ba ， 利 用 两 点 间距 离 公 式 可 得 到 OP 2关 于 m 的 二 次 函
31、数 ， 利 用 二 次 函 数 的 性 质 可 求 得 OP2的 取 值 范 围 ， 从 而可 求 得 OP 的 取 值 范 围 .答 案 ： (1)不 能 ， 理 由 如 下 ： 1、 2、 3的 倒 数 分 别 为 1、 12 、 13 ， 12 +13 1， 1+12 13 ， 1+13 12 实 数 1， 2， 3不 可 以 构 成 “ 和 谐 三 组 数 ” ；(2) M(t， y 1)， N(t+1， y2)， R(t+3， y3)三 点 均 在 函 数 kx (k为 常 数 ， k 0)的 图 象 上 ， y1、 y2、 y3均 不 为 0， 且 y1= kt ， y2= 1kt
32、 ， y3= 3kt ， 11 ty k ， 21 1ty k ， 31 3ty k ， y1， y2， y3构 成 “ 和 谐 三 组 数 ” ， 有 以 下 三 种 情 况 ：当 1 2 31 1 1y y y 时 ， 则 1 3t t tk k k ， 即 t=t+1+t+3， 解 得 t=-4；当 32 11 1 1y y y 时 ， 则 1 3t t tk k k ， 即 t+1=t+t+3， 解 得 t=-2； 当 3 1 21 1 1y y y 时 ， 则 3 1t t tk k k ， 即 t+3=t+t+1， 解 得 t=2； t 的 值 为 -4、 -2 或 2；(3) a
33、、 b、 c均 不 为 0， x1， x2， x3都 不 为 0， 直 线 y=2bx+2c(bc 0)与 x轴 交 于 点 A(x1， 0)， 0=2bx 1+2c， 解 得 x1=- cb ，联 立 直 线 与 抛 物 线 解 析 式 ， 消 去 y可 得 2bx+2c=ax2+3bx+3c， 即 ax2+bx+c=0， 直 线 与 抛 物 线 交 与 B(x2， y2)， C(x3， y3)两 点 ， x2、 x3是 方 程 ax2+bx+c=0的 两 根 ， x2+x3=- ba ， x2x3= ca ， 2 32 3 2 3 11 1 1bx x bacx x x x c xa ，
34、x 1， x2， x3构 成 “ 和 谐 三 组 数 ” ； x2=1， a+b+c=0， c=-a-b， a 2b 3c， a 2b 3(-a-b)， 且 a 0， 整 理 可 得 25 3a bb a ， 解 得 5 13 2ba ， P( ca ， ba ) OP 2=( ca )2+( ba )2=( a ba )2+( ba )2=2(ba )2+2 ba +1=2( ba + 12 )2+ 12 ， 令 m= ba ， 则 -53 m 12 且 m 0， 且 OP2=2(m+ 12 )2+ 12 ， 2 0， 当 - 53 m - 12 时 ， OP2随 m 的 增 大 而 减 小
35、 ， 当 m=-53 时 ， OP2有 最 大 值 2650 ， 当 m=- 12 时 ，OP2有 最 小 值 12 ，当 - 12 m 12 时 ， OP 2随 m 的 增 大 而 增 大 ， 当 m=- 12 时 ， OP2有 最 小 值 12 ， 当 m= 12 时 ， OP2有 最 大 值 52 ， 12 OP2 52 且 OP2 1， P 到 原 点 的 距 离 为 非 负 数 ， 22 OP 102 且 OP 1.26.如 图 ， 抛 物 线 y=mx 2-16mx+48m(m 0)与 x 轴 交 于 A， B 两 点 (点 B在 点 A 左 侧 )， 与 y 轴 交于 点 C，
36、点 D 是 抛 物 线 上 的 一 个 动 点 ， 且 位 于 第 四 象 限 ， 连 接 OD、 BD、 AC、 AD， 延 长 AD 交y轴 于 点 E. (1)若 OAC为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 求 m 的 值 ；(2)若 对 任 意 m 0， C、 E两 点 总 关 于 原 点 对 称 ， 求 点 D 的 坐 标 (用 含 m 的 式 子 表 示 )；(3)当 点 D 运 动 到 某 一 位 置 时 ， 恰 好 使 得 ODB= OAD， 且 点 D 为 线 段 AE 的 中 点 ， 此 时 对 于该 抛 物 线 上 任 意 一 点 P(x0， y0)总 有 n+16 -4
37、3my02-12 3y0-50成 立 ， 求 实 数 n 的 最 小 值 .解 析 ： (1)根 据 y=mx2-16mx+48m， 可 得 A(12， 0)， C(0， 48m)， 再 根 据 OA=OC， 即 可 得 到 12=48m，进 而 得 出 m的 值 ；(2)根 据 C、 E 两 点 总 关 于 原 点 对 称 ， 得 到 E(0， -48m)， 根 据 E(0， -48m)， A(12， 0)可 得 直线 AE 的 解 析 式 ， 最 后 解 方 程 组 即 可 得 到 直 线 AE与 抛 物 线 的 交 点 D的 坐 标 ；(3)根 据 ODB OAD， 可 得 OD=4 3
38、 ， 进 而 得 到 D(6， -2 3)， 代 入 抛 物 线 y=mx 2-16mx+48m，可 得 抛 物 线 解 析 式 ， 再 根 据 点 P(x0， y0)为 抛 物 线 上 任 意 一 点 ， 即 可 得 出 y0 - 8 33 ， 令 t=-2(y0+3 3)2+4， 可 得 t最 大 值 =-2(-8 33 +3 3)2+4=103 ， 再 根 据 n+ 16 103 ， 可 得 实 数n的 最 小 值 为 196 .答 案 ： (1)令 y=mx2-16mx+48m=m(x-4)(x-12)=0， 则 x1=12， x2=4， A(12， 0)， 即 OA=12，又 C(0
39、， 48m)， 当 OAC为 等 腰 直 角 三 角 形 时 ， OA=OC，即 12=48m， m= 14 ；(2)由 (1)可 知 点 C(0， 48m)， 对 任 意 m 0， C、 E 两 点 总 关 于 原 点 对 称 ， 必 有 E(0， -48m)，设 直 线 AE 的 解 析 式 为 y=kx+b，将 E(0， -48m)， A(12， 0)代 入 ， 可 得 12 048k bb m ， 解 得 448k mb m ， 直 线 AE 的 解 析 式 为 y=4mx-48m， 点 D为 直 线 AE与 抛 物 线 的 交 点 ， 解 方 程 组 4 124 48y m x xy
40、 mx m ， 可 得 816xy m 或 120 xy (点 A 舍 去 )，即 点 D的 坐 标 为 (8， -16m)；(3)当 ODB= OAD， DOB= AOD时 ， ODB OAD， OD 2=OA OB=4 12=48， OD=4 3，又 点 D 为 线 段 AE 的 中 点 ， AE=2OD=8 3，又 OA=12， OE= 2 2AE AO =4 3， D(6， -2 3)，把 D(6， -2 3)代 入 抛 物 线 y=mx 2-16mx+48m， 可 得 -2 3=36m-96m+48m，解 得 m= 36 ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 y= 36 (x-4)(x-12)， 即 y= 36 (x-8)2-8 33 ， 点 P(x0， y0)为 抛 物 线 上 任 意 一 点 ， y0 -8 33 ，令 t=-4 3my 02-12 3y0-50=-2y02-12 3y0-50=-2(y0+3 3)2+4，则 当 y0 -8 33 时 ， t最 大 值 =-2(-8 33 +3 3)2+4=103 ，若 要 使 n+ 16 -4 3my02-12 3y0-50成 立 ， 则 n+16 103 ， n 3 16 ， 实 数 n 的 最 小 值 为 196 .
