1、2 0 1 7年湖南省岳阳市高考一模数学理一、选择题：本大题共1 2小题，每小题5分，共6 0分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1 .已知集合A=-2，0，2 ，2 2 3 1| 2x xB x ，则AB=( )A.0 B.2 C.0，2 D.-2，0 解析：集合A=-2，0，2 ，B= 2 2 32| 1 x xx =x|-1x3 ，AB=0，2 .答案：C.2 .已知复数z满足2z i i (i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：由2z i i ， 得 222 1 2i iiz ii i ，则1
2、 2z i ，则z在复平面内对应的点的坐标为：(-1，2 )，位于第二象限.答案：B.3 .已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“m”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：根据面面垂直的判定定理得若m则成立，即充分性成立，若则m不一定成立，即必要性不成立，故m是的充分不必要条件，答案：A4 .函数f(x)=xa满足f(2 )=4，那么函数g(x)=|loga(x+1 )|的图象大致为( ) A.B.C. D.解析：f(2 )=4，2 a=4，解得a=2 . 22 2log 1 0log 1 log 1 1 0| | x xg
3、 x x x x ， ， 当x0时，函数g(x)单调递增，且g(0 )=0；当-1x0时，函数g(x)单调递减.答案：C.5 .若变量x，y满足不等式组2 1yx yx y a ，且z=3 x-y的最大值为7，则实数a的值为( ) A.1B.7C.-1D.-7解析：作出不等式组2 1yx yx y a 所对应可行域，如图， 变形目标函数z=3 x-y可得y=3 x-z，平移直线y=3 x可知：当直线经过点A时，直线截距最小值，z取最大值，由2yx y a 解得A(a+2，2 )代值可得3 a+6 -2 =7，解得a=1，答案：A.6 .已知函数f(x)=sin(2x- 6 )(0 )的最小正周
4、期为4，则( )A.函数f(x)的图象关于点( 6，0 )对称B.函数f(x)的图象关于直线x= 6对称 C.函数f(x)的图象在( 2，)上单调递减D.函数f(x)的图象在( 2，)上单调递增解析：函数f(x)的最小正周期为4，2 42T ，即14 ，则函数 1 1sin 2 sin4 6 2 6f x x x ，则1sin sin 06 2 6 6 12f ，且16f ， 则函数f(x)的图象关于点( 6，0 )不对称，且关于直线x= 6不对称，当2 x 时，14 2 2x ，112 2 6 3x ，此时函数f(x)为增函数.答案：D. 7 .将参加数学竞赛决赛的5 0 0名同学编号为：0
5、 0 1，0 0 2，5 0 0，采用系统抽样的方法抽取一个容量为5 0的样本，且随机抽的号码为0 0 3，这5 0 0名学生分别在三个考点考试，从0 0 1到2 0 0在第一考点，从2 0 1到3 5 5在第二考点，从3 5 6到5 0 0在第三考点，则第二考点被抽中的人数为( )A.1 4B.1 5C.1 6D.1 7解析：系统抽样的分段间隔为500 1050 ，在随机抽样中，首次抽到0 0 3号，以后每隔1 0个号抽到一个人，则被抽中的人数构成以3为首项，1 0为公差的等差数列，故可分别求出在0 0 1到2 0 0中有2 0人，在2 0 1至3 5 5号中共有1 6人. 答案：C.8 .
6、某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的外接球的体积是( ) A.1 2B.4 8C.4 3D.32 3解析：由三视图知该几何体为棱锥S-ABD，其中SC平面ABCD，此四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为2 3，外接球的半径为3所以四面体的外接球的体积 34 3 4 33 . 答案：C.9 .某一算法框图如图，输出的S值为( ) A. 32B. 32C. 3D.0解析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2 2016sin sin sin sin3 3 3S 的值， 由于sin 3n
7、y 的周期为6，且同一周期内各函数值的累加和为0，由于2 0 1 66 =3 3 6， 故2 2016sin sin sin sin3 3 3S =3 3 60 =0，答案：D.1 0 .已知圆C：(x-3 )2 +(y-4 )2 =1和两点A(-m，0 )，B(m，0 )(m0 ).若圆上存在点P使得PA PB 0，则m的取值范围是( )A.(-，4 B.(6，+)C.(4，6 )D.4，6 解析：圆C：(x-3 ) 2 +(y-4 )2 =1，圆心C(3，4 )，半径r=1；设点P(a，b)在圆C上，则AP =(a+m，b)，BP =(a-m，b)；PA PB 0(a+m)(a-m)+b2
8、 =0；即m2 =a2 +b2；2 2OP a b ，|OP|的最大值是|OC|+r=5 +1 =6，最小值是|OC|-r=5 -1 =4；m的取值范围是4，6 . 答案：D.1 1 .在平面直角坐标系xoy中，双曲线C1：2 22 2 1x ya b (a0，b0 )的渐近线与抛物线C2：y22 px(p0 )交于点O，A，B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为( )A. 32B. 5C. 3 55 D. 52解析：双曲线C1：2 22 2 1x ya b (a0，b0 )的渐近线方程为by xa，与抛物线C2：x2 =2 py联立，可得x=0或2pbx a， 取222 2pb p
9、bA a a ，设垂心H( 2p，0 )，则2 244AH bk ab a ，OAB的垂心为C2的焦点，2 24 14 b bab a a ，3 55ce a .答案：C. 1 2 .定义：如果函数f(x)在a，b上存在x1，x2 (ax1x2b)满足 1 f b f af x b a ， 2 f b f af x b a 则称函数f(x)是a，b上的“中值函数”.已知函数 3 21 13 2f x x x m 是0，m上的“中值函数”，则实数m的取值范围是( )A.( 34，1 )B. 3 34 2 ， C.(1，32 )D.( 32，+)解析：由题意可知，在区间0，m存在x1，x2 (0
10、x1x2a)，满足 22 1 0 1 13 2f m ff x f x m mm ， 3 21 13 2f x x x m ，f(x)=x 2 -x，方程2 21 13 2x x m m 在区间(0，m)有两个解.令 2 21 13 2g x x x m m ，(0 xm) 则 222 21 11 4 03 21 10 03 21 1 03 20 m mg m mg m m m m mm - 解得3 34 2m ，实数m的取值范围是3 34 2 ， .答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共2 0分. 1 3 .在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A6 0，b4，SA
11、BC2 3，则a=_.解析：A6 0，b4，1 1 32 3 sin 42 2 2ABCS bc A c ，解得：c=2，由余弦定理可得：2 2 2 2 12 cos 4 2 2 4 2 2 32a b c bc A .答案：2 3 . 1 4 .若二项式1 nx x 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为_.解析：由二项式1 nx x 展开式中只有第4项的二项式系数最大，即展开式有7项，n=6；展开式中的通项公式为 36 21 6 1 rrrrT C x ；令36 2 r =0，求得r=4， 故展开式中的常数项为 4 461 15C .答案：1 5 . 1 5 .矩形OAB
12、C的四个顶点坐标依次为O(0，0 )，A( 2，0 )，B( 2，1 )，C(0，1 )，线段OA，OC及ycosx(0 x2 )的图象围成的区域为，若矩形OABC内任投一点M，则点M落在区域内的概率为_.解析：由题意：线段OA，OC及ycosx(0 x2 )的图象围成的区域面积2 20 0c |os sin 1dx x ，矩形OABC的面积12 2S .点M落在区域内的概率为：21 2 . 答案：2 .1 6 .定义在0，+)上的函数f(x)满足：当x1，2 )时， 1 32 2f x x ；x0，+)都有f(2 x)=2 f(x).设关于x的函数F(x)=f(x)-a的零点从小到大依次为x
13、1，x2，x3，xn，若a( 12，1 )，则x1 +x2 +x2 n=_.解析：当x1，2 )时， 1 32 2f x x ；x0，+)都有f(2 x)=2 f(x).当x2，4 )时，12 x1，2 )， 1 1 1 32 2 1 32 2 2 2f x f x x x ，x4，8 )时，12 x2，4 )， 1 12 2 1 3 2 62 2f x f x x x ， 同理，则a( 12，1 )，F(x)=f(x)-a在区间(2，3 )和(3，4 )上各有1个零点，分别为x1，x2，且满足x1 +x2 =23 =6，依此类推：x3 +x4 =26 =1 2，x5 +x6 =21 2 =2
14、 4，x2 n-1 +x2 n=232 n-1 .当a( 12，1 )时，x1 +x2 +x2 n-1 +x2 n=6(1 +2 +2 2 +2 n-1 )= 1 1 26 6 2 11 2n n ，答案：6(2 n-1 ).三、解答题：本大题共5小题，共7 0分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.1 7 .已知数列a n前n项和Sn满足：2 Sn+an=1 .(1 )求数列an的通项公式；(2 )设3 3 12log logn n nb a a ，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn2 .解析：(1 )根据数列的递推公式和对数的运算性质即可求出数列an的通项公式，(2 )利用裂项求和
15、即可求出数列bn的前n项和Tn，再放缩证明即可.答案：(1 )2 Sn+an=1，2 Sn+1 +an+1 =1，2 a n+1 +an+1 =an，3 an+1 =an，又2 S1 +a1 =1，1 13a ，an是以13为首项，以13为公比的等比数列，an=( 13 )n；(2 ) 3 3 12 2 2 1 12log log 1 11n n nb a a n n n nn n 1 1 1 1 1 12 1 2 1 22 2 3 1 1 nT n n n .1 8 .根据国家环保部新修订的环境空气质量标准规定：居民区PM2 .5的年平均浓度不得超过3 5微克/立方米，PM2 .5的2 4小
16、时平均浓度不得超过7 5微克/立方米.我市环保局随机抽取了一居民区2 0 1 6年2 0天PM2 .5的2 4小时平均浓度(单位：微克/立方米)的监测数据，数据统计如表：组别PM2 .5浓度(微克/立方米)频数(天)频率第一组(0，2 5 3 0 .1 5第二组(2 5，5 0 1 2 0 .6第三组(5 0，7 5 3 0 .1 5 第四组(7 5，1 0 0 2 0 .1 (1 )将这2 0天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图.求图4中a的值；求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2 .5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由.(2
17、)将频率视为概率，对于2 0 1 6年的某3天，记这3天中该居民区PM2 .5的2 4小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列和数学期望. 解析：(1 )a=0 .0 0 4 .2 0 1 6年该居民区PM2 .5的年平均浓度=1 2 .50 .1 5 +3 7 .50 .6 +6 2 .50 .1 5 +8 7 .50 .1，与3 5比较即可判断出结论.(2 )由题意可得：PM2 .5的2 4小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0 .9，X的可能取值为0，1，2，3 .P(X=k)= 33 0.1 0.9k kkC .答案：(1 )a=0 .0 0 4 .2 0 1 6年
18、该居民区PM2 .5的年平均浓度=1 2 .50 .1 5 +3 7 .50 .6 +6 2 .50 .1 5 +8 7 .50 .1 =4 2 .5 (微克/立方米)，4 2 .53 5，2 0 1 6年该居民区PM2 .5的年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民取的环境需要改进.(2 )由题意可得：PM2 .5的2 4小时平均浓度符合环境空气质量标准的概率为0 .9，X的可能取值为0，1，2，3 .P(X=k)= 33 0.1 0.9k kkC ，可得P(X=0 )=0 .0 0 1，P(X=1 )=0 .0 2 7，P(X=2 )=0 .2 4 3，P(X=3 )=0 .7 2 9
19、.X的分布列为： X 0 1 2 3P 0 .0 0 1 0 .0 2 7 0 .2 4 3 0 .7 2 9E(X)=00 .0 0 1 +10 .0 2 7 +20 .2 4 3 +30 .7 2 9 =2 .7，或E(X)=30 .9 =2 .7 .1 9 .如图，已知长方形ABCD中，AB=2 2，AD= 2，M为DC的中点，将ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM()求证：ADBM()若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E-AM-D的余弦值为55 . 解析：()根据线面垂直的性质证明BM平面ADM即可证明ADBM()建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建
20、立二面角的夹角关系，解方程即可.答案：(1 )长方形ABCD中，AB=2 2，AD= 2，M为DC的中点，AM=BM=2，BMAM.平面ADM平面ABCM，平面ADM平面ABCM=AM，BM平面ABCMBM平面ADMAD平面ADMADBM；(2 )建立如图所示的直角坐标系，设DE DB ，则平面AMD的一个法向量n =(0，1，0 )，ME MD DB =(1 -，2，1 -)，AM =(-2， 0，0 )，设平面AME的一个法向量为m =(x，y，z)，则 2 01 2 1 0m AM xm ME x y z ，取y=1，得x=0，21z ，则201 1m ， ，5cos 5m nmn m
21、n ， ，求得12， 故E为BD的中点. 2 0 .已知椭圆C：2 22 2 1x ya b (ab0 )的两个焦点为F1，F2，离心率为63，点A，B在椭圆上，F1在线段AB上，且ABF2的周长等于4 3 .(1 )求椭圆C的标准方程； (2 )过圆O：x2 +y2 =4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN与圆O交于点M，N，求PMN面积的最大值.解析：(1 )通过椭圆定义及ABF2的周长等于4 3，可知a= 3，利用63ce a ，可知2c，通过2 2b a c 可知b=1，进而可得结论；(2 )通过设P(x0，y0 )及过P点的直线为y-y0 =k(x-x0 )，并与椭圆方程联立，通
22、过令根的判别式为0，计算可知过圆O：x2 +y2 =4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直，进而计算可得结论.答案：(1 )ABF 2的周长等于4 3，且F1在边AB上，(BF1 +BF2 )+(AF1 +AF2 )= 4 3，2 a+2 a= 4 3，即a= 3，又63ce a ，2c，2 2b a c 1，椭圆C的标准方程为：2 2 13x y ； (2 )依题意，设P(x0，y0 )，设过P点的直线为y-y0 =k(x-x0 )，记b=-kx0 +y0，整理得：y=kx+b，并代入椭圆方程，得：x2 +3 k2 x2 +6 kbx+3 b2 -3 =0，令=0，得9 k2 b2 -3 b
23、2 -9 k2 b2 +9 k2 +3 =0，9 k2 -3 b2 +3 =0，即3 k2 -b2 +1 =0，又b=-kx0 +y0，3 k2 -k2 x0 2 +2 kx0 y0 -y0 2 +1 =0，=3 y0 2 +x0 2 -30，201 2 20 13yk k x ，又x 0 2 +y0 2 =4，即y0 2 =4 -x0 2， 201 2 204 1 13 xk k x ，过圆O：x2 +y2 =4上任意一点P作椭圆C的两条切线均垂直，MN为圆O的直径，当P点为(0，2 )时，PMN面积的最大，最大值为1242 =4 . 2 1 .已知函数 2 2ln 1 1ax xf x x
24、 x .(1 )当a=1时，求函数f(x)在x=e-1处的切线方程；(2 )当23a2时，讨论函数f(x)的单调性；(3 )若x0，求函数 111 1x xg x xx 的最大值.解析：(1 )求出函数的导数，计算f(e-1 )，f(e-1 )的值，求出切线方程即可；(2 )求出函数的导数，根据a的范围求出函数的单调区间即可；(3 )令(x)=lng(x)，根据(x)在(0，+)上的最大值等于其在(0，1 )上的最大值，求出(x)的最大值，从而求出g(x)的最大值即可. 答案：(1 )a=1时，函数 ln 1 1 xf x x x ， 2 21 11 1 1 xf x x x x ， 211
25、ef e e ，又f(e-1 )= 1e，a=1时，函数f(x)在x=e-1处的切线方程是： 21 1 1ey x ee e ；(2 )由题意得：函数f(x)的定义域是(-1，+)，且 32 31x x af x x ，32 a2时，则2 a-30，若-1x0或x2 a-3，则f(x)0，若0 x2 a-3，则f(x)0，f(x)在区间(-1，0 )(2 a-3，+)递增，在(0，2 a-3 )递减；(3 )显然g(x)=g( 1x )，令(x)=lng(x)，因此(x)在(0，+)上的最大值等于其在(0，1 )上的最大值， 21 1 11 ln 1 ln 11x x x xx x x ，设
26、21 1 11 ln 1 ln 11h x x x xx x x ， 22 223 22 1 ln 1 11 x xx x xh x x x ， 由(2 )得，当a=2时，f(x)在区间(0，1 递减，则 2 22ln 1 0 0 01x xf x x f h xx ， ，故函数h(x)在区间(0，1 递减，于是h(x)h(1 )=0，从而函数(x)在区间(0，1 递增，进而(x)(1 )=2 ln2，(x)=lng(x)，函数g(x)的最大值是4 .请考生在第2 2、2 3两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2 B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑.选修4 -4：
27、参数方程与极坐标系2 2 .已知曲线C的极坐标方程为=6 sin，以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立直 角坐标系，直线l的参数方程为11x aty t (t为参数).(1 )求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；(2 )直线l与曲线C交于B，D两点，当|BD|取到最小值时，求a的值.解析：(1 )曲线C的极坐标方程为=6 sin，即2 =6sin，利用互化公式可得直角坐标方程.直线l的参数方程为11x aty t (t为参数)，消去参数t可得普通方程.(2 )由直线l经过定点P(-1，1 )，此点在圆的内部，因此当CPl时，|BD|取到最小值，利用k CPkl=-1，解得kl，即可得
28、出.答案：(1 )曲线C的极坐标方程为=6 sin，即2 =6sin，化为直角坐标方程：x2 +y2 =6 y，配方为：x2 +(y-3 )2 =9，圆心C(0，3 )，半径r=3 .直线l的参数方程为11x aty t (t为参数)，消去参数t可得：x-ay+a+1 =0 .(2 )由直线l经过定点P(-1，1 )，此点在圆的内部，因此当CPl时，|BD|取到最小值，则1 3 11 0CP l lk k k ，解得12lk .1 12a ，解得a=-2 .2 3 .已知函数f(x)=|2 x-a|+a. (1 )若不等式f(x)6的解集为x|-2x3 ，求实数a的值；(2 )在(1 )的条件
29、下，若存在实数n使f(n)m-f(-n)成立，求实数m的取值范围.解析：(1 )通过讨论x的范围，求得a-3x3 .再根据不等式的解集为x|-2x3 ，可得a-3 =-2，从而求得实数a的值.(2 )在(1 )的条件下，f(n)=|2 n-1 |+1，即f(n)+f(-n)m，即|2 n-1 |+|2 n+1 |+2m.求得|2 n-1 |+|2 n+1 |的最小值为2，可得m的范围.答案：(1 )函数f(x)=|2 x-a|+a，故不等式f(x)6， 即6 06 2 6aa x a a ，求得a-3x3 .再根据不等式的解集为x|-2x3 ，可得a-3 =-2，实数a=1 .(2 )在(1 )的条件下，f(x)=|2 x-1 |+1，f(n)=|2 n-1 |+1，存在实数n使f(n)m-f(-n)成立，即f(n)+f(-n)m，即|2 n-1 |+|2 n+1 |+2m.由于|2 n-1 |+|2 n+1 |(2 n-1 )-(2 n+1 )|=2，|2 n-1 |+|2 n+1 |的最小值为2，m4，故实数m的取值范围是4，+).
