1、2017年 湖 南 省 岳 阳 市 中 考 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 24 分 )1. 6 的 相 反 数 是 ( )A. 6B.16C.6D. 6解 析 ： 6 的 相 反 数 是 6.答 案 ： A.2.下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.(x 3)2=x5B.( x)5= x5C.x3 x2=x6D.3x2+2x3=5x5解 析 ： A、 原 式 =x6， 故 本 选 项 错 误 ；B、 原 式 = x5， 故 本 选 项 正 确 ；C、 原 式 =x5， 故 本 选 项 错 误 ；D、 3x2与 2x3不 是 同 类
2、项 ， 不 能 合 并 ， 故 本 选 项 错 误 .答 案 ： B.3.据 国 土 资 源 部 数 据 显 示 ， 我 国 是 全 球 “ 可 燃 冰 ” 资 源 储 量 最 多 的 国 家 之 一 ， 海 、 陆 总 储 量约 为 39000000000吨 油 当 量 ， 将 39000000000用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.3.9 10 10B.3.9 109C.0.39 1011D.39 109解 析 ： 用 科 学 记 数 法 表 示 较 大 的 数 时 ， 一 般 形 式 为 a 10n， 其 中 1 |a| 10， n 为 整 数 ，39000000000=3.
3、9 1010.答 案 ： A.4.下 列 四 个 立 体 图 形 中 ， 主 视 图 、 左 视 图 、 俯 视 图 都 相 同 的 是 ( )A. B.C. D.解 析 ： 球 的 主 视 图 、 左 视 图 、 俯 视 图 都 是 圆 ， 主 视 图 、 左 视 图 、 俯 视 图 都 相 同 的 是 B.答 案 ： B.5.从 2， 0， ， 3.14， 6 这 5 个 数 中 随 机 抽 取 一 个 数 ， 抽 到 有 理 数 的 概 率 是 ( )A.15B.25C.35D.45 解 析 ： 在 2， 0， ， 3.14， 6这 5个 数 中 只 有 0、 3.14和 6 为 有 理
4、 数 ， 从 2， 0， ， 3.14， 6 这 5 个 数 中 随 机 抽 取 一 个 数 ， 抽 到 有 理 数 的 概 率 是 35.答 案 ： C.6.解 分 式 方 程 2 2 11 1xx x ， 可 知 方 程 的 解 为 ( )A.x=1B.x=3C.x=12D.无 解解 析 ： 去 分 母 得 ：2 2x=x 1， 解 得 ： x=1，检 验 ： 当 x=1时 ， x 1=0， 故 此 方 程 无 解 .答 案 ： D.7.观 察 下 列 等 式 ： 21=2， 22=4， 23=8， 24=16， 25=32， 26=64， ， 根 据 这 个 规 律 ， 则21+22+2
5、3+24+ +22017的 末 位 数 字 是 ( )A.0B.2C.4D.6解 析 ： 2 1=2， 22=4， 23=8， 24=16， 25=32， 26=64， ， 2017 4=506 1， (2+4+8+6) 506+2=10122， 21+22+23+24+ +22017的 末 位 数 字 是 2，答 案 ： B. 8.已 知 点 A在 函 数 1 1y x (x 0)的 图 象 上 ， 点 B 在 直 线 y2=kx+1+k(k为 常 数 ， 且 k 0)上 .若 A， B 两 点 关 于 原 点 对 称 ， 则 称 点 A， B 为 函 数 y1， y2图 象 上 的 一 对
6、 “ 友 好 点 ” .请 问 这 两个 函 数 图 象 上 的 “ 友 好 点 ” 对 数 的 情 况 为 ( )A.有 1对 或 2 对B.只 有 1 对C.只 有 2 对D.有 2对 或 3 对解 析 ： 设 A(a， 1-a )，由 题 意 知 ， 点 A关 于 原 点 的 对 称 点 B(a， 1-a )， )在 直 线 y 2=kx+1+k 上 ，则 1a = ak+1+k，整 理 ， 得 ： ka2 (k+1)a+1=0 ，即 (a 1)(ka 1)=0， a 1=0或 ka 1=0，则 a=1或 ka 1=0，若 k=0， 则 a=1， 此 时 方 程 只 有 1 个 实 数
7、根 ， 即 两 个 函 数 图 象 上 的 “ 友 好 点 ” 只 有 1 对 ；若 k 0， 则 1a k ， 此 时 方 程 有 2个 实 数 根 ， 即 两 个 函 数 图 象 上 的 “ 友 好 点 ” 有 2 对 ，综 上 ， 这 两 个 函 数 图 象 上 的 “ 友 好 点 ” 对 数 情 况 为 1对 或 2 对 .答 案 ： A. 二 、 填 空 题 (本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 32 分 )9.函 数 17y x 中 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 _.解 析 ： 函 数 17y x 中 自 变 量 x 的 范 围 是 x 7.答 案
8、 ： x 710.因 式 分 解 ： x 2 6x+9=_.解 析 ： x2 6x+9=(x 3)2.答 案 ： (x 3)211.在 环 保 整 治 行 动 中 ， 某 市 环 保 局 对 辖 区 内 的 单 位 进 行 了 抽 样 调 查 ， 他 们 的 综 合 得 分 如 下 ：95， 85， 83， 95， 92， 90， 96， 则 这 组 数 据 的 中 位 数 是 _， 众 数 是 _.解 析 ： 这 组 数 据 从 小 到 大 排 列 为 ： 83， 85， 90， 92， 95， 95， 96.则 中 位 数 是 ： 92；众 数 是 95.答 案 ： 92， 95.12.如
9、 图 ， 点 P 是 NOM的 边 OM上 一 点 ， PD ON 于 点 D， OPD=30 ， PQ ON， 则 MPQ的度 数 是 _. 解 析 ： PD ON于 点 D， OPD=30 ， Rt OPD中 ， O=60 ，又 PQ ON， MPQ= O=60 .答 案 ： 60 .13.不 等 式 组 3 03 1 2 9x x x 的 解 集 是 _.解 析 ： 3 03 1 2 9x x x 解 不 等 式 得 ： x 3，解 不 等 式 得 ： x 3， 不 等 式 组 的 解 集 为 x 3.答 案 ： x 3.14.在 ABC 中 BC=2， AB=2 3， AC=b， 且
10、关 于 x 的 方 程 x2 4x+b=0有 两 个 相 等 的 实 数 根 ，则 AC 边 上 的 中 线 长 为 _.解 析 ： 关 于 x的 方 程 x2 4x+b=0有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， =16 4b=0， AC=b=4， BC=2， AB=2 3， BC 2+AB2=AC2， ABC是 直 角 三 角 形 ， AC 是 斜 边 ， AC 边 上 的 中 线 长 =12 AC=2.答 案 ： 2.15.我 国 魏 晋 时 期 的 数 学 家 刘 徽 创 立 了 “ 割 圆 术 ” ， 认 为 圆 内 接 正 多 边 形 边 数 无 限 增 加 时 ，周 长 就 越 接
11、 近 圆 周 长 ， 由 此 求 得 了 圆 周 率 的 近 似 值 ， 设 半 径 为 r 的 圆 内 接 正 n 边 形 的 周 长为 L， 圆 的 直 径 为 d， 如 图 所 示 ， 当 n=6时 ， 62L rd r =3， 那 么 当 n=12时 ， Ld =_.(结果 精 确 到 0.01， 参 考 数 据 ： sin15 =cos75 0.259) 解 析 ： 如 图 ， 圆 的 内 接 正 十 二 边 形 被 半 径 分 成 如 图 所 示 的 十 二 个 等 腰 三 角 形 ， 其 顶 角 为 30 ，即 O=30 ， ABO= A=75 ，作 BC AO 于 点 C， 则
12、 ABC=15 ， AO=BO=r， BC=12 r， 1 32OC r ， AC=(1 1 32 )r， Rt ABC中 ， cos ACA AB ，即 0.259= 11 32 rAB ， AB 0.517r， L=12 0.517r=6.207r，又 d=2r， 6.2072L rd r 3.10，答 案 ： 3.1016.如 图 ， O为 等 腰 ABC的 外 接 圆 ， 直 径 AB=12， P为 弧 BC上 任 意 一 点 (不 与 B， C重 合 )，直 线 CP交 AB延 长 线 于 点 Q， O在 点 P 处 切 线 PD交 BQ于 点 D， 下 列 结 论 正 确 的 是
13、_.(写出 所 有 正 确 结 论 的 序 号 ) 若 PAB=30 ， 则 弧 BP的 长 为 ； 若 PD BC， 则 AP平 分 CAB； 若 PB=BD， 则 PD=6 3； 无 论 点 P 在 弧 BC上 的 位 置 如 何 变 化 ， CP CQ为 定 值 . 解 析 ： 如 图 ， 连 接 OP， AO=OP， PAB=30 ， POB=60 ， AB=12， OB=6， 弧 BP的 长 为 60 6180 =2 ， 故 错 误 ； PD 是 O的 切 线 ， OP PD， PD BC， OP BC， CP BP ， PAC= PAB， AP 平 分 CAB， 故 正 确 ；若
14、PB=BD， 则 BPD= BDP， OP PD， BPD+ BPO= BDP+ BOP， BOP= BPO， BP=BO=PO=6， 即 BOP是 等 边 三 角 形 ， 3 6 3PD OP ， 故 正 确 ； AC=BC， BAC= ABC，又 ABC= APC， APC=BAC，又 ACP= QCA， ACP QCA， CP CACA CQ ， 即 CP CQ=CA 2(定 值 )， 故 正 确 .答 案 ： .三 、 解 答 题 (本 大 题 共 8 小 题 ， 共 64 分 )17.计 算 ： 10 12sin60 3 3 2 2| | .解 析 ： 根 据 特 殊 角 的 三 角
15、 函 数 值 、 零 指 数 幂 的 运 算 法 则 、 负 整 数 指 数 幂 的 运 算 法 则 、 绝 对 值的 性 质 进 行 化 简 ， 计 算 即 可 .答 案 ： 原 式 = 32 3 3 1 22 =2. 18.求 证 ： 对 角 线 互 相 垂 直 的 平 行 四 边 形 是 菱 形 .小 红 同 学 根 据 题 意 画 出 了 图 形 ， 并 写 出 了 已 知 和 求 证 的 一 部 分 ， 请 你 补 全 已 知 和 求 证 ， 并 写出 证 明 过 程 .已 知 ： 如 图 ， 在 ABCD中 ， 对 角 线 AC， BD 交 于 点 O， _.求 证 ： _.解 析
16、 ： 由 命 题 的 题 设 和 结 论 可 填 出 答 案 ， 由 平 行 四 边 形 的 性 质 可 证 得 AC为 线 段 BD的 垂 直 平 分 线 ， 可 求 得 AB=AD， 可 得 四 边 形 ABCD是 菱 形 .答 案 ： 已 知 ： 如 图 ， 在 ABCD中 ， 对 角 线 AC， BD交 于 点 O， AC BD，求 证 ： 四 边 形 ABCD 是 菱 形 .证 明 ： 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形 ， BO=DO， AC BD， AC 垂 直 平 分 BD， AB=AD， 四 边 形 ABCD 为 菱 形 .故 答 案 为 ： AC BD； 四 边
17、形 ABCD 是 菱 形 .19.如 图 ， 直 线 y=x+b 与 双 曲 线 ky x (k为 常 数 ， k 0)在 第 一 象 限 内 交 于 点 A(1， 2)， 且 与 x轴 、 y 轴 分 别 交 于 B， C两 点 .(1)求 直 线 和 双 曲 线 的 解 析 式 ；(2)点 P 在 x 轴 上 ， 且 BCP的 面 积 等 于 2， 求 P点 的 坐 标 .解 析 ： (1)把 A(1， 2)代 入 双 曲 线 以 及 直 线 y=x+b， 分 别 可 得 k， b 的 值 ；(2)先 根 据 直 线 解 析 式 得 到 BO=CO=1， 再 根 据 BCP的 面 积 等
18、于 2， 即 可 得 到 P 的 坐 标 .答 案 ： (1)把 A(1， 2)代 入 双 曲 线 ky x ， 可 得 k=2， 双 曲 线 的 解 析 式 为 2y x ；把 A(1， 2)代 入 直 线 y=x+b， 可 得 b=1， 直 线 的 解 析 式 为 y=x+1；(2)设 P 点 的 坐 标 为 (x， 0)，在 y=x+1 中 ， 令 y=0， 则 x= 1； 令 x=0， 则 y=1， B( 1， 0)， C(0， 1)， 即 BO=1=CO， BCP的 面 积 等 于 2， 12 BP CO=2， 即 12 |x ( 1)| 1=2，解 得 x=3或 5， P 点 的
19、坐 标 为 (3， 0)或 ( 5， 0). 20.我 市 某 校 组 织 爱 心 捐 书 活 动 ， 准 备 将 一 批 捐 赠 的 书 打 包 寄 往 贫 困 地 区 ， 其 中 每 包 书 的 数目 相 等 .第 一 次 他 们 领 来 这 批 书 的 23 ， 结 果 打 了 16个 包 还 多 40本 ； 第 二 次 他 们 把 剩 下 的 书全 部 取 来 ， 连 同 第 一 次 打 包 剩 下 的 书 一 起 ， 刚 好 又 打 了 9个 包 ， 那 么 这 批 书 共 有 多 少 本 ？解 析 ： 设 这 批 书 共 有 3x本 ， 根 据 每 包 书 的 数 目 相 等 .即
20、 可 得 出 关 于 x 的 一 元 一 次 方 程 ， 解 之即 可 得 出 结 论 .答 案 ： 设 这 批 书 共 有 3x 本 ，根 据 题 意 得 ： 2 40 4016 9x x ，解 得 ： x=500， 3x=1500.答 ： 这 批 书 共 有 500本 .21.为 了 加 强 学 生 课 外 阅 读 ， 开 阔 视 野 ， 某 校 开 展 了 “ 书 香 校 园 ， 从 我 做 起 ” 的 主 题 活 动 ， 学 校 随 机 抽 取 了 部 分 学 生 ， 对 他 们 一 周 的 课 外 阅 读 时 间 进 行 调 查 ， 绘 制 出 频 数 分 布 表 和 频 数分 布
21、直 方 图 的 一 部 分 如 下 ：课 外 阅 读 时 间 (单 位 ：小 时 ) 频 数 (人 数 ) 频 率0 t 2 2 0.042 t 4 3 0.064 t 6 15 0.306 t 8 a 0.50t 8 5 b请 根 据 图 表 信 息 回 答 下 列 问 题 ：(1)频 数 分 布 表 中 的 a=_， b=_；(2)将 频 数 分 布 直 方 图 补 充 完 整 ；(3)学 校 将 每 周 课 外 阅 读 时 间 在 8 小 时 以 上 的 学 生 评 为 “ 阅 读 之 星 ” ， 请 你 估 计 该 校 2000名 学 生 中 评 为 “ 阅 读 之 星 ” 的 有 多
22、 少 人 ？ 解 析 ： (1)由 阅 读 时 间 为 0 t 2 的 频 数 除 以 频 率 求 出 总 人 数 ， 确 定 出 a 与 b 的 值 即 可 ；(2)补 全 条 形 统 计 图 即 可 ；(3)由 阅 读 时 间 在 8 小 时 以 上 的 百 分 比 乘 以 2000即 可 得 到 结 果 .答 案 ： (1)根 据 题 意 得 ： 2 0.04=50(人 )，则 a=50 (2+3+15+5)=25； b=5 50=0.10；故 答 案 为 ： 25； 0.10；(2)阅 读 时 间 为 6 t 8 的 学 生 有 25 人 ， 补 全 条 形 统 计 图 ， 如 图 所
23、 示 ： (3)根 据 题 意 得 ： 2000 0.10=200(人 )，则 该 校 2000名 学 生 中 评 为 “ 阅 读 之 星 ” 的 有 200人 .22.某 太 阳 能 热 水 器 的 横 截 面 示 意 图 如 图 所 示 ， 已 知 真 空 热 水 管 AB与 支 架 CD 所 在 直 线 相 交于 点 O， 且 OB=OD， 支 架 CD 与 水 平 线 AE垂 直 ， BAC= CDE=30 ， DE=80cm， AC=165cm.(1)求 支 架 CD 的 长 ；(2)求 真 空 热 水 管 AB的 长 .(结 果 保 留 根 号 ) 解 析 ： (1)在 Rt CD
24、E中 ， 根 据 CDE=30 ， DE=80cm， 求 出 支 架 CD的 长 是 多 少 即 可 .(2)首 先 在 Rt OAC中 ， 根 据 BAC=30 ， AC=165cm， 求 出 OC 的 长 是 多 少 ， 进 而 求 出 OD 的长 是 多 少 ； 然 后 求 出 OA 的 长 是 多 少 ， 即 可 求 出 真 空 热 水 管 AB的 长 是 多 少 .答 案 ： (1)在 Rt CDE中 ， CDE=30 ， DE=80cm， 380 cos30 80 40 32CD (cm).(2)在 Rt OAC 中 ， BAC=30 ， AC=165cm， 3tan30 165
25、55 33OC AC (cm)， 55 3 40 3 15 3OD OC CD (cm)， 55 3 2 15 3 95 3AB AO OB AO OD (cm). 23.问 题 背 景 ： 已 知 EDF的 顶 点 D 在 ABC的 边 AB 所 在 直 线 上 (不 与 A， B重 合 )， DE交 AC所 在 直 线 于 点 M， DF交 BC所 在 直 线 于 点 N， 记 ADM的 面 积 为 S1， BND的 面 积 为 S2.(1)初 步 尝 试 ： 如 图 ， 当 ABC 是 等 边 三 角 形 ， AB=6， EDF= A， 且 DE BC， AD=2时 ，则 S1 S2=_
26、；(2)类 比 探 究 ： 在 (1)的 条 件 下 ， 先 将 点 D 沿 AB 平 移 ， 使 AD=4， 再 将 EDF 绕 点 D 旋 转 至 如图 所 示 位 置 ， 求 S1 S2的 值 ；(3)延 伸 拓 展 ： 当 ABC是 等 腰 三 角 形 时 ， 设 B= A= EDF= .( )如 图 ， 当 点 D 在 线 段 AB 上 运 动 时 ， 设 AD=a， BD=b， 求 S 1 S2的 表 达 式 (结 果 用 a， b和 的 三 角 函 数 表 示 ).( )如 图 ， 当 点 D 在 BA 的 延 长 线 上 运 动 时 ， 设 AD=a， BD=b， 直 接 写
27、出 S1 S2的 表 达 式 ，不 必 写 出 解 答 过 程 . 解 析 ： (1) 首 先 证 明 ADM ， BDN 都 是 等 边 三 角 形 ， 可 得 221 23 32 3 4 4 34 4S S ， ， 由 此 即 可 解 决 问 题 ；(2)如 图 2 中 ， 设 AM=x， BN=y.首 先 证 明 AMD BDN， 可 得 =AM ADBD BN ， 推 出 42x y ， 推出 xy=8 ， 由 1 21 1 3sin60 3 sin602 2 2S AD AM x S DB y ， ， 可 得1 2 3 33 122 2S S x y xy ；(3) 如 图 3 中
28、， 设 AM=x ， BN=y ， 同 法 可 证 AMD BDN ， 可 得 xy=ab ， 由1 1 1sin sin2 2S AD AM ax ， 2 1 1sin sin2 2S DB BN by ， 可 得 2 2 1 2 1 sin4S S ab .( )结 论 不 变 ， 证 明 方 法 类 似 ；答 案 ： (1)如 图 1 中 ， ABC是 等 边 三 角 形 ， AB=CB=AC=6， A= B=60 ， DE BC， EDF=60 ， BND= EDF=60 ， BDN= ADM=60 ， ADM， BDN都 是 等 边 三 角 形 ， 221 23 32 3 4 4 3
29、4 4S S ， ， S1 S2=12，故 答 案 为 12.(2)如 图 2 中 ， 设 AM=x， BN=y. MDB= MDN+ NDB= A+ AMD， MDN= A， AMD= NDB， A= B， AMD BDN， =AM ADBD BN ， 42x y ， xy=8， 1 21 1 3sin60 3 sin602 2 2S AD AM x S DB y ， ， 1 2 3 33 122 2S S x y xy . (3) 如 图 3 中 ， 设 AM=x， BN=y，同 法 可 证 AMD BDN， 可 得 xy=ab， 1 1 1sin sin2 2S AD AM ax ， 2
30、 1 1sin sin2 2S DB BN by ， 2 21 2 1 sin4S S ab . 如 图 4 中 ， 设 AM=x， BN=y，同 法 可 证 AMD BDN， 可 得 xy=ab， 1 1 1sin sin2 2S AD AM ax ， 2 1 1sin sin2 2S DB BN by ， 2 21 2 1 sin4S S ab . 24.如 图 ， 抛 物 线 y=23 x2+bx+c经 过 点 B(3， 0)， C(0， 2)， 直 线 l： 2 2- -3 3y x 交 y轴 于点 E， 且 与 抛 物 线 交 于 A， D 两 点 ， P 为 抛 物 线 上 一 动
31、 点 (不 与 A， D重 合 ).(1)求 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2)当 点 P 在 直 线 l下 方 时 ， 过 点 P作 PM x 轴 交 l于 点 M， PN y 轴 交 l于 点 N， 求 PM+PN的 最 大 值 .(3)设 F 为 直 线 l上 的 点 ， 以 E， C， P， F为 顶 点 的 四 边 形 能 否 构 成 平 行 四 边 形 ？ 若 能 ， 求 出点 F 的 坐 标 ； 若 不 能 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ： (1)把 B(3， 0)， C(0， 2)代 入 y=23 x2+bx+c 解 方 程 组 即 可 得 到 结 论 ；(2)设 P(
32、m， 2 42 - -23 3m m )， 得 到 N(m， 2 23 3m )， M( m2+2m+2， 2 42 - -23 3m m )， 根 据二 次 函 数 的 性 质 即 可 得 到 结 论 ；(3)求 得 E(0， 23 )， 得 到 CE=43 ， 设 P(m， 2 42 - -23 3m m )， 以 CE为 边 ， 根 据 CE=PF，列 方 程 得 到 m=1， m=0(舍 去 )， 以 CE为 对 角 线 ， 连 接 PF交 CE于 G， CG=GE， PG=FG， 得 到G(0， 43 )， 设 P(m， 2 42 - -23 3m m )， 则 F( m， 2 23
33、 3m )， 列 方 程 得 到 此 方 程 无 实 数 根 ，于 是 得 到 结 论 .答 案 ： (1)把 B(3， 0)， C(0， 2)代 入 y=23 x 2+bx+c 得 ， 22 3 3 03 2 b cc ， 432bc 抛 物 线 的 解 析 式 为 ： 22 -4 -23 3y x x ；(2)设 P(m， 2 42 - -23 3m m )， PM x 轴 ， PN y 轴 ， M， N在 直 线 AD上 ， N(m， 2 23 3m )， M( m 2+2m+2， 2 42 - -23 3m m )，PM+PN= 22 2 24 52 2 2 1 15- 2 2- -
34、- - 2 - - -3 3 3 3 3 3 3 3 2 45 10 5m m m m m m m m m ， 当 m=12 时 ， PM+PN 的 最 大 值 是 154 ；(3)能 ，理 由 ： 2 2- -3 3y x 交 y 轴 于 点 E， E(0， 23 )， CE=43 ，设 P(m， 2 42 - -23 3m m )， 以 E， C， P， F 为 顶 点 的 四 边 形 能 构 成 平 行 四 边 形 ， 以 CE为 边 ， CE PF， CE=PF， F(m， 2 23 3m )， 22 2 2- - - 23 3 43 343m m m ， m=1， m=0(舍 去 )， 以 CE为 对 角 线 ， 连 接 PF 交 CE 于 G， CG=GE， PG=FG， G(0， 43 )，设 P(m， 2 42 - -23 3m m )， 则 F( m， 2 23 3m )， 21 2 2 2- -2 - -2 3 3 3 3 34 4m m m ， 0， 此 方 程 无 实 数 根 ，综 上 所 述 ， 当 m=1时 ， 以 E， C， P， F 为 顶 点 的 四 边 形 能 构 成 平 行 四 边 形 .
