1、2018年 河 北 省 唐 山 市 高 考 一 模 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1. 31 ii ( )A.2-2iB.2+2iC.-2-2iD.-2+2i 解 析 ： 直 接 利 用 复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 化 简 得 答 案 . 3 21 1 1 2 1 2 2 i i i i i ii i i .答 案 ： D.2.设 集 合 M=x|x 2-x 0.N=x| 1x 1， 则 ( )A.M
2、NB.NMC.M=ND.M N=R解 析 ： 解 x 2-x 0 得 ， x 0 或 x 1；解 1x 1得 ， x 1， 或 x 0； M=N.答 案 ： C.3.已 知 tan = 12 ， 且 (0， )， 则 sin2 =( )A. 45B. 45 C. 35D. 35解 析 ： 直 接 利 用 三 角 函 数 的 万 能 公 式 化 弦 为 且 求 解 sin2 的 值 . 由 tan = 12 ， 得 22 1222tan 4sin 2 11 t n 51 2a .答 案 ： B.4.两 个 单 位 向 量 ra， rb的 夹 角 为 120 ， 则 2 r ra b ( )A.2
3、B.3C. 2D. 3 解 析 ： 根 据 题 意 ， 向 量 ra， rb为 单 位 向 量 ， 则 1 r ra b ，又 由 向 量 ra， rb的 夹 角 为 120 ， 则 12r rga b ，则 2 2 22 4 4 3 gr r r r r ra b a a b b ，则 2 3 r ra b .答 案 ： D.5.用 两 个 1， 一 个 2， 一 个 0， 可 组 成 不 同 四 位 数 的 个 数 是 ( )A.18B.16 C.12D.9解 析 ： 根 据 题 意 ， 分 3 步 进 行 分 析 ： ， 0不 能 放 在 千 位 ， 可 以 放 在 百 位 、 十 位
4、和 个 位 ， 有 3种 情 况 ， ， 在 剩 下 的 3个 数 位 中 任 选 1 个 ， 安 排 2， 有 3 种 情 况 ， ， 最 后 2个 数 位 安 排 2个 1， 有 1 种 情 况 ，则 可 组 成 3 3=9个 不 同 四 位 数 .答 案 ： D.6.已 知 a= 233 ， b= 432 ， c=ln3， 则 ( )A.a c bB.a b c C.b c aD.b a c解 析 ： 利 用 幂 函 数 的 单 调 性 、 对 数 函 数 的 单 调 性 即 可 得 出 . a= 233 ， 43 232 4 b ， b a 1，又 c=ln3 1，则 b a c.答
5、案 ： D.7.如 图 是 根 据 南 宋 数 学 家 杨 辉 的 “ 垛 积 术 ” 设 计 的 程 序 框 图 ， 该 程 序 所 能 实 现 的 功 能 是 ( ) A.求 1+3+5+ +(2n-1)B.求 1+3+5+ +(2n+1)C.求 12+22+32+ +n2D.求 12+22+32+ +(n+1)2解 析 ： 由 已 知 中 的 程 序 语 句 可 知 ： 该 程 序 的 功 能 是 利 用 循 环 结 构 计 算 并 输 出 变 量 S 的 值 ， 模拟 程 序 的 运 行 过 程 ， 分 析 循 环 中 各 变 量 值 的 变 化 情 况 ， 可 得 答 案 .模 拟
6、程 序 的 运 行 ， 可 得n=0， a=0， S=0， i=1满 足 条 件 i n， 执 行 循 环 体 ， a=0+2 1-1=1 2， S=12， i=2满 足 条 件 i n， 执 行 循 环 体 ， a=1+2 2-1=22， S=12+22， i=3满 足 条 件 i n， 执 行 循 环 体 ， a=4+2 3-1=32， S=12+22+32， i=4观 察 规 律 可 得 ： 当 i=n时 ， 满 足 条 件 i n， 执 行 循 环 体 ， a=n2， S=12+22+32+ n2， i=n+1此 时 ， 不 满 足 条 件 i n， 退 出 循 环 ， 输 出 S的
7、值 为 12+22+32+ n2.答 案 ： C.8.为 了 得 到 函 数 y=sin( 56 -x)的 图 象 ， 可 以 将 函 数 y=sinx的 图 象 ( ) A.向 左 平 移 6 个 单 位 长 度B.向 右 平 移 3 个 单 位 长 度C.向 右 平 移 6 个 单 位 长 度D.向 左 平 移 3 个 单 位 长 度解 析 ： 根 据 三 角 函 数 的 诱 导 公 式 ， 结 合 三 角 函 数 的 图 象 变 换 关 系 进 行 判 断 即 可 .5 5 5sin sin sin sin6 6 6 6 y x x x x ，即 可 以 将 函 数 y=sinx的 图
8、象 向 左 平 移 6 个 单 位 长 度 ， 即 可 得 到 函 数 y=sin( 56 -x)的 图 象 . 答 案 ： A.9.某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 是 ( ) A.5+4 2B.9C.6+5 2D. 53解 析 ： 由 三 视 图 还 原 原 几 何 体 ， 可 知 原 几 何 体 是 多 面 体 ， 底 面 为 边 长 是 2 的 正 方 形 ， 侧 面BCF 底 面 ABCD， 高 为 1， 侧 面 ABFE与 DCFE 为 全 等 的 直 角 梯 形 ， 侧 面 AED 为 等 腰 三 角 形 ，则 其 表 面 积
9、 可 求 .由 三 视 图 还 原 原 几 何 体 如 图 ， 原 几 何 体 是 多 面 体 ， 底 面 为 边 长 是 2 的 正 方 形 ， 侧 面 BCF 底 面 ABCD， 高 为 1，侧 面 ABFE 与 DCFE为 全 等 的 直 角 梯 形 ， 侧 面 AED为 等 腰 三 角 形 .则 其 表 面 积 2 2 2 1 21 1 12 2 22 2 1 2 2 5 42 S .答 案 ： A.10.已 知 F 为 双 曲 线 C： 2 22 2 1 x ya b (a 0， b 0)的 右 焦 点 .过 点 F 向 C 的 一 条 渐 近 线 引 垂线 .垂 足 为 A.交 另
10、 一 条 渐 近 线 于 点 B.若 |OF|=|FB|， 则 C 的 离 心 率 是 ( )A. 62 B. 2 33C. 2D.2解 析 ： 方 法 一 ： 由 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 ， 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 即 可 求 得 |AF|， 分 别 求 得|OB|， |根 据 勾 股 定 理 |OB|2=OA|2+|AB|2， 求 得 a和 b的 关 系 ， 即 可 求 得 双 曲 线 的 离 心 率 .过 F 向 另 一 条 渐 近 线 引 垂 线 ， 垂 足 为 D， 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y= ba x， 则 F(c， 0)到 渐 近
11、 线 的 距 离 2 2 bcd ba b ， 即|FA|=|FD|=b， 则 |OA|=|OD|=a， |AB|=b+c，由 OFB为 等 腰 三 角 形 ， 则 D为 OB的 中 点 ， |OB|=2a， |OB|2=OA|2+|AB|2=a2+(b+c)2. 4a2=a2+(b+c)2， 整 理 得 ： c2-bc-2b2=0， 解 得 ： c=2b，由 a2=c2-a2， 则 2a= 3 c， 2 33 ce a .方 法 二 ： 利 用 余 弦 定 理 求 得 ： |OB| 2=|OF|2+|FB|2-2|OF|FB|cos OFB=2c2+2bc， 即 可 求 得 求得 a 和 b
12、 的 关 系 ， 即 可 求 得 双 曲 线 的 离 心 率 .过 F 向 另 一 条 渐 近 线 引 垂 线 .垂 足 为 D， 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y= ba x， 则 F(c， 0)到 渐 近线 的 距 离 2 2 bcd ba b ， 即 |FA|=|FD|=b， 则 |OA|=|OD|=a， 由 OFB 为 等 腰 三 角 形 ， 则D为 OB的 中 点 ， |OB|=2a由 OFB= - OFA， cos OFB=cos( - OFA)=-cos OFA=bc ，由 余 弦 定 理 可 知 ： |OB| 2=|OF|2+|FB|2-2|OF|FB|cos OFB
13、=2c2+2bc， 2c2+2bc=4a2， 整 理 得 ： c2-bc-2b2=0， 解 得 ： c=2b， 由 a2=c2-a2， 则 2a= 3 c， 2 33 ce a .方 法 三 ： 根 据 三 角 形 的 面 积 相 等 及 渐 近 线 方 程 求 得 A 点 坐 标 ， 利 用 直 角 三 角 形 的 性 质 ， 即 可求 得 a和 b的 关 系 ， 即 可 求 得 双 曲 线 的 离 心 率 .过 F 向 另 一 条 渐 近 线 引 垂 线 .垂 足 为 D， 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y= ba x， 则 F(c， 0)到 渐 近 线 的 距 离 2 2 bc
14、d ba b ，即 |FA|=|FD|=b， 则 |OA|=|OD|=a， 由 OFB为 等 腰 三 角 形 ， 则 D 为 OB 的 中 点 ， |OB|=2a， 根 据 三 角 形 的 面 积 相 等 ， 则 A( 2ac ， abc )， 在 Rt OAB中 ， 2a=2 2 abc ， 即 c=2b， 由 a2=c2-a2， 则 2a= 3 c， 2 33 ce a .方 法 四 ： 求 得 双 曲 线 的 渐 近 线 及 AB的 方 程 ， 联 立 即 可 求 得 A和 B 点 坐 标 ， 根 据 等 腰 三 角 形的 性 质 ， 即 可 求 得 a和 b的 值 ， 即 可 求 得
15、双 曲 线 的 离 心 率 .双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 y= ba x， 直 线 AB 的 方 程 为 ： y=ab (x-2)， by xaay x cb ， 解 得 ： 2 acabcxy ， 则 A( 2ac ， abc )， by xaay x cb ， 解 得 ： 22 22 2 a cx a babcy a b ， 则 B( 22 2a ca b ， 2 2 abca b )，由 OFB 为 等 腰 三 角 形 ， 则 D 为 OB 的 中 点 ， 则 2 22 ab abcc a b ， 整 理 得 ： a 2=3b2， 2 33 ce a .答 案 ： B
16、.11.已 知 函 数 f(x)=x 2-2xcosx， 则 下 列 关 于 f(x)的 表 述 正 确 的 是 ( )A.f(x)的 图 象 关 于 y轴 对 称B.x0 R， f(x)的 最 小 值 为 -1C.f(x)有 4个 零 点D.f(x)有 无 数 个 极 值 点解 析 ： 根 据 函 数 的 单 调 性 有 解 奇 偶 性 分 别 判 断 即 可 .对 于 A， f(x) f(-x)， 故 A 错 误 ；对 于 B， 问 题 转 化 为 x 2+1=2xcosx 有 解 ，即 x+ 1x =2cosx有 解 ，(x+ 1x )min=2， 当 x=1时 ， 2cos1 2，故
17、方 程 无 解 ，故 B 错 误 ；对 于 C， 问 题 等 价 于 x=2cosx有 3个 解 ，而 方 程 只 有 2 个 解 ，故 C 错 误 ；对 于 D， f (x)=2x-2(cosx-xsinx)=2x(1+sinx)-2cosx，结 合 题 意 2x(1+sinx)-2cosx=0有 无 数 解 ，即 cos1 sin xx x 有 无 穷 解 ，而 cos tan1 sin 4 2 x xx . 答 案 ： D.12.已 知 P， A， B， C 是 半 径 为 2的 球 面 上 的 点 ， PA=PB=PC=2， ABC=90 ， 点 B 在 AC 上 的射 影 为 D，
18、则 三 棱 锥 P-ABD 体 积 的 最 大 值 是 ( )A. 3 34B. 3 38C. 12 D. 34解 析 ： 由 题 意 画 出 图 形 ， 求 出 三 棱 锥 的 高 ， 利 用 导 数 求 出 底 面 三 角 形 ABD的 最 大 值 ， 则 三 棱锥 P-ABD 体 积 的 最 大 值 可 求 .如 图 所 示 ：由 题 意 ， PA=PB=PC=2， ABC=90 ， 可 知 P在 平 面 ABC上 的 射 影 G为 ABC的 外 心 ， 即 AC中 点 ，则 球 的 球 心 在 PG的 延 长 线 上 ， 设 PG=h， 则 OG=2-h， OB2-OG2=PB2-PG
19、2， 即 4-(2-h)2=4-h2， 解 得 h=1.则 AG=CG= 3 ， 过 B 作 BD AC 于 D， 设 AD=x， 则 CD=2 3 -x，再 设 BD=y， 由 BDC ADB， 可 得 2 3 y x xy ， 32 y x x ， 则 4 332 21 12 xy x x ，令 f(x)=-x 4+2 3 x3， 则 f (x)=-4x3+6 3 x2，由 f (x)=0， 可 得 x= 3 32 ， 当 x= 3 32 时 ， f(x)max= 24316 ， ABD面 积 的 最 大 值 为 1 9 3 9 32 4 8 ，则 三 棱 锥 P-ABD体 积 的 最 大
20、 值 是 1 9 3 3 33 8 1 8 . 答 案 ： B.二 、 填 空 题 ： 本 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 20分 .13.设 x， y满 足 约 束 条 件 02 3 02 1 0 x yx yx y ， 则 z=2x+3y的 最 小 值 是 .解 析 ： 画 出 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 ， 结 合 图 形 求 得 最 优 解 ， 计 算 目 标 函 数 的 最 小 值 .画 出 不 等 式 组 02 3 02 1 0 x yx yx y 表 示 的 平 面 区 域 ， 如 图 所 示 ： 由 图 形 知 ， 当 目 标 函 数 z=2x
21、+3y过 点 A时 ， z 取 得 最 小 值 ；由 02 1 0 x yx y ， 求 得 A(-1， -1)； z=2x+3y的 最 小 值 是 2 (-1)+3 (-1)=-5.答 案 ： -5.14.(2x-1) 6的 展 开 式 中 ， 二 项 式 系 数 最 大 的 项 的 系 数 是 .(用 数 字 作 答 )解 析 ： 根 据 展 开 式 中 二 项 式 系 数 最 大 的 项 是 T4， 由 此 求 出 它 的 系 数 .(2x-1)6的 展 开 式 中 ， 二 项 式 系 数 最 大 的 项 是T4= 36C (2x)3 (-1)3=-160 x3，其 系 数 为 -160
22、.答 案 ： -160.15.已 知 P 为 抛 物 线 y 2=x 上 异 于 原 点 O 的 点 .PQ x 轴 ， 垂 足 为 Q， 过 PQ 的 中 点 作 x 轴 的 平行 线 交 抛 物 线 于 点 M， 直 线 QM交 y轴 于 点 N.则 PQNO .解 析 ： 如 图 ， 设 P(t2， t)， 则 Q(t2， 0)， PQ中 点 H(t2， 2t ).M( 24t ， 2t )， 直 线 MQ 的 方 程 为 ： 22 224 0 y x tt tt ，令 x=0， 可 得 yN= 23t ， 则 32 23 tPQ tNO .答 案 ： 32 . 16.在 ABC 中 ，
23、 角 A， B， C的 对 边 分 别 为 a， b， c， AB 边 上 的 高 为 h， 若 c=2h， 则 a bb a 的取 值 范 围 是 .解 析 ： 如 图 所 示 ：2 2 aa ba bb ab ，根 据 三 角 形 面 积 公 式 及 余 弦 定 理 可 得 ： sin1 12 2 ab ACB ch， c 2=a2+b2-2abcos ACB， sin chab ACB ， a2+b2=c2+2abcos ACB， 2 2 cos sin 2 cossinsin ch ACBc c ACB h ACBACBchACBa bb a h ，又 c=2h， 2 sin 2 co
24、s h ACa bb a B h ACBh 2 sin cos 2 2 sin 4 ACB ACB ACB ； 2 sin2 242 2 ACB ， 2 22 a bb a ， 2 22 a bb a ， a bb a 的 取 值 范 围 是 2， 2 2 .答 案 ： 2， 2 2 .三 、 解 答 题 ： 共 70 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .第 17 21题 为 必 考 题 ，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 .第 (22)、 (23)题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 作 答 .(一 )必 考 题 ： 共 6
25、0 分 .17.已 知 数 列 a n为 单 调 递 增 数 列 ， Sn为 其 前 n 项 和 ， 2Sn=an2+n.( )求 an的 通 项 公 式 .解 析 ： ( )根 据 数 列 的 递 推 公 式 可 得 an是 以 1 为 首 项 ， 1 为 公 差 的 等 差 数 列 ， 即 可 求 出 通项 公 式 .答 案 ： ( )当 n=1时 ， 2S1=2a1=a12+1， (a1-1)2=0， 即 a1=1，又 a n为 单 调 递 增 数 列 ， 所 以 an 1.由 2Sn=an2+n得 2Sn+1=an+12+n+1， 所 以 2Sn+1-2Sn=an+12-an2+1，整
26、 理 得 2an+1=an+12-an2+1， an2=(an+1-1)2. an=an+1-1，即 an+1-an=1， an是 以 1 为 首 项 ， 1 为 公 差 的 等 差 数 列 ， 所 以 an=n.( )若 21 12 g gnn n n nab a a ， T n为 数 列 bn的 前 n 项 和 ， 证 明 ： Tn 12 .解 析 ： ( )根 据 裂 项 求 和 和 放 缩 法 即 可 证 明 .答 案 ： ( )证 明 ： 21 1 11 2 1 12 2 1 2 1 2 g g g g g gnn n n n nn na nb a a n n n n ， 1 2 2
27、 3 1 11 1 1 1 1 1 11 11 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 1 22 2 g g g n n n nT n n n.18.某 水 产 品 经 销 商 销 售 某 种 鲜 鱼 ， 售 价 为 每 公 斤 20元 ， 成 本 为 每 公 斤 15元 .销 售 宗 旨 是 当 天 进 货 当 天 销 售 .如 果 当 天 卖 不 出 去 ， 未 售 出 的 全 部 降 价 处 理 完 ， 平 均 每 公 斤 损 失 3 元 .根 据以 往 的 销 售 情 况 ， 按 50， 150)， 150， 250)， 250， 350)， 350， 450)， 450， 550进
28、行分 组 ， 得 到 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图 . ( )求 未 来 连 续 三 天 内 ， 该 经 销 商 有 连 续 两 天 该 种 鲜 鱼 的 日 销 售 量 不 低 于 350公 斤 ， 而 另 一天 日 销 售 量 低 于 350公 斤 的 概 率 .解 析 ： ( )由 频 率 分 布 直 方 图 可 知 日 销 售 量 不 低 于 350 公 斤 的 概 率 为 0.4， 由 此 能 求 出 未 来连 续 三 天 内 ， 有 连 续 两 天 的 日 销 售 量 不 低 于 350公 斤 ， 而 另 一 天 日 销 售 量 低 于 350公 斤 的 概率 .答
29、 案 ： ( )由 频 率 分 布 直 方 图 可 知 ，日 销 售 量 不 低 于 350公 斤 的 概 率 为 (0.0025+0.0015) 100=0.4，则 未 来 连 续 三 天 内 ， 有 连 续 两 天 的 日 销 售 量 不 低 于 350公 斤 ，而 另 一 天 日 销 售 量 低 于 350公 斤 的 概 率 P=0.4 0.4 (1-0.4)+(1-0.4) 0.4 0.4=0.192.( )在 频 率 分 布 直 方 图 的 需 求 量 分 组 中 ， 以 各 组 区 间 的 中 点 值 代 表 该 组 的 各 个 值 .(i)求 日 需 求 量 X 的 分 布 列
30、.(ii)该 经 销 商 计 划 每 日 进 货 300公 斤 或 400公 斤 ， 以 每 日 利 润 Y 的 数 学 期 望 值 为 决 策 依 据 ， 他 应 该 选 择 每 日 进 货 300公 斤 还 是 400公 斤 ？解 析 ： ( )( )X可 取 100， 200， 300， 400， 500， 分 别 求 出 相 应 概 率 ， 由 此 能 求 出 X 的 分布 列 .( )当 每 日 进 货 300公 斤 时 ， 利 润 Y1可 取 -100， 700， 1500， 求 出 Y1的 分 布 列 和 利 润 的 期 望值 E(Y1)； 当 每 日 进 货 400 公 斤 时
31、 ， 利 润 Y2可 取 -400， 400， 1200， 2000， 求 出 Y2的 分 布 列和 利 润 的 期 望 值 E(Y2)， 由 此 能 求 出 该 经 销 商 应 该 选 择 每 日 进 货 400公 斤 .答 案 ： ( )( )X可 取 100， 200， 300， 400， 500，P(X=100)=0.0010 10=0.1； P(X=200)=0.0020 10=0.2；P(X=300)=0.0030 10=0.3； P(X=400)=0.0025 10=0.25；P(X=500)=0.0015 10=0.15；所 以 X的 分 布 列 为 ： ( )当 每 日 进
32、货 300公 斤 时 ， 利 润 Y1可 取 -100， 700， 1500，此 时 Y1的 分 布 列 为 ： 此 时 利 润 的 期 望 值 E(Y1)=-100 0.1+700 0.2+1500 0.7=1180；当 每 日 进 货 400公 斤 时 ， 利 润 Y2可 取 -400， 400， 1200， 2000，此 时 Y2的 分 布 列 为 ：此 时 利 润 的 期 望 值 E(Y 2)=-400 0.1+400 0.2+1200 0.3+2000 0.4=1200；因 为 E(Y1) E(Y2)，所 以 该 经 销 商 应 该 选 择 每 日 进 货 400公 斤 .19.如
33、图 ， 在 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， 平 面 A1B1C 平 面 AA1C1C， BAC=90 . ( )证 明 ： AC CA1.解 析 ： ( )过 点 B1作 A1C 的 垂 线 ， 推 导 出 B1O 平 面 AA1C1C， 从 而 B1O AC.由 BAC=90 ，AB A1B1， 得 A1B1 AC.从 而 AC 平 面 A1B1C.由 此 能 证 明 AC CA1.答 案 ： ( )证 明 ： 过 点 B1作 A1C 的 垂 线 ， 垂 足 为 O，由 平 面 A 1B1C 平 面 AA1C1C， 平 面 A1B1C 平 面 AA1C1C=A1C，得 B1O 平 面
34、 AA1C1C，又 AC平 面 AA1C1C， 得 B1O AC.由 BAC=90 ， AB A1B1， 得 A1B1 AC.又 B1O A1B1=B1， 得 AC 平 面 A1B1C. 又 CA1平 面 A1B1C， 得 AC CA1.( )若 A1B1C 是 正 三 角 形 ， AB=2AC=2， 求 二 面 角 A1-AB-C的 大 小 .解 析 ： ( )以 C 为 坐 标 原 点 ， uurCA的 方 向 为 x 轴 正 方 向 ， |uurCA|为 单 位 长 ， 建 立 空 间 直 角 坐标 系 C-xyz.利 用 向 量 法 能 求 出 二 面 角 A1-AB-C 的 大 小
35、.答 案 ： ( )以 C 为 坐 标 原 点 ， uurCA的 方 向 为 x 轴 正 方 向 ， |uurCA|为 单 位 长 ， 建 立 空 间 直 角 坐标 系 C-xyz. 由 已 知 可 得 A(1， 0， 0)， A1(0， 2， 0)， B1(0， 1， 3 ).所 以 uurCA=(1， 0， 0)， 1uuurAA =(-1， 2， 0)， uuurAB= 1 1uuurAB =(0， -1， 3 ).设 n=(x， y， z)是 平 面 A1AB 的 法 向 量 ， 则1 00 gguuuruuurn AAn AB ， 即 032 0 x yy z可 取 rn=(2 3
36、， 3 ， 1).设 urm=(x， y， z)是 平 面 ABC 的 法 向 量 ， 则00 urur uuurguurgm ABCAm ， 即 3 00 zxy ，可 取 urm=(0， 3 ， 1).则 cos rn， urm 12 r urrggurn mn m .又 因 为 二 面 角 A 1-AB-C 为 锐 二 面 角 ，所 以 二 面 角 A1-AB-C的 大 小 为 3 . 20.已 知 椭 圆 ： 2 22 2 1 x ya b (a b 0)的 左 焦 点 为 F， 上 顶 点 为 A， 长 轴 长 为 2 6 ， B 为直 线 l： x=-3上 的 动 点 ， M(m，
37、 0)， AM BM.当 AB l时 ， M 与 F 重 合 .( )若 椭 圆 的 方 程 .解 析 ： ( )依 题 意 得 A(0， b)， F(-c， 0)， 当 AB l 时 ， B(-3， b)， 由 AF BF， 得 13 gb bc c ，结 合 b 2+c2=6.求 得 b， c 的 值 ， 则 椭 圆 方 程 可 求 .答 案 ： ( )依 题 意 得 A(0， b)， F(-c， 0)， 当 AB l时 ， B(-3， b)，由 AF BF， 得 13 g gAF BF b bk k c c ， 又 b2+c2=6.解 得 c=2， b= 2 . 椭 圆 的 方 程 为
38、2 2 16 2 x y .( )若 直 线 BM 交 椭 圆 于 P， Q 两 点 ， 若 AP AQ， 求 m 的 值 . 解 析 ： ( )由 ( )得 A(0， 2 )， 依 题 意 ， 显 然 m 0， 2AMk m ， 则 直 线 BM的 方 程可 求 ， 联 立 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 ， 结 合 根 与 系 数 的 关 系 可 得 |PM| |QM|， 再 求 得 |AM|2=2+m2，由 AP AQ 得 |AM|2=|PM| |QM|， 由 此 列 式 求 得 m值 .答 案 ： ( )由 ( )得 A(0， 2 )， 依 题 意 ， 显 然 m 0， 2AMk
39、m ，又 AM BM， 2BM mk ， 则 直 线 BM的 方 程 为 2 my x m ，设 P(x 1， y1)， Q(x2， y2).联 立 2 22 16 2 my x mx y ， 得 (2+3m2)x2-6m3x+3m4-12=0，x 1+x2= 3 262 3mm ， x1x2= 4 23 122 3m m .|PM| |QM|=(1+ 22m )|(x1-m)(x2-m)|=(1+ 22m )|x1x2-m(x1+x2)+m2| =(1+ 22m ) 2 22 122 3m m 2 222 62 3 m mm ，|AM|2=2+m2，由 AP AQ 得 ， |AM|2=|PM
40、| |QM|， 2 26 12 3 m m ， 解 得 m= 1.21.已 知 函 数 f(x)=e x-1， g(x)=lnx+a.( )设 F(x)=xf(x)， 求 F(x)的 最 小 值 .解 析 ： ( )由 已 知 可 得 F (x)=(x+1)ex-1， 由 此 可 得 函 数 单 调 性 ， 得 到 x=-1时 ， F(x)取 得最 小 值 F(-1)= 21e .答 案 ： ( )F(x)=xf(x)=xex-1，F (x)=(x+1)e x-1，当 x -1 时 ， F (x) 0， F(x)单 调 递 减 ；当 x -1 时 ， F (x) 0， F(x)单 调 递 增
41、，故 x=-1时 ， F(x)取 得 最 小 值 F(-1)= 21e .( )证 明 ： 当 a 1 时 ， 总 存 在 两 条 直 线 与 曲 线 y=f(x)与 y=g(x)都 相 切 .解 析 ： ( )分 别 求 出 f(x)在 点 (t， et-1)处 的 切 线 方 程 与 g(x)在 点 (m， lnm+a)处 的 切 线 方 程 ，由 题 意 可 得 1 111 ln 1 t te mt e m a ， 即 (t-1)e t-1-t+a=0.构 造 函 数 h(t)=(t-1)et-1-t+a，利 用 导 数 研 究 其 单 调 性 ， 结 合 函 数 零 点 的 判 定 可
42、 得 函 数 y=h(t)在 (a-1， 1)和 (1， 3-a)内 各有 一 个 零 点 ， 即 当 a 1 时 ， 存 在 两 条 直 线 与 曲 线 f(x)与 g(x)都 相 切 .答 案 ： ( )证 明 ： f (x)=ex-1， f(x)=ex-1 在 点 (t， et-1)处 的 切 线 为 y=et-1x+(1-t)et-1； g (x)= 1x ， g(x)=lnx+a 在 点 (m， lnm+a)处 的 切 线 为 y= 1m x+lnm+a-1， 由 题 意 可 得 1 111 ln 1 t te mt e m a ， 则 (t-1)et-1-t+a=0.令 h(t)=
43、(t-1)et-1-t+a， 则 h (t)=tet-1-1， 由 (1)得 t -1 时 ， h (t)单 调 递 减 ， 且 h (t) 0；当 t -1 时 ， h (t)单 调 递 增 ， 又 h (1)=0， t 1 时 ， h (t) 0， 当 t 1 时 ， h (t) 0， h(t)单 调 递 减 ；当 t 1 时 ， h (t) 0， h(t)单 调 递 增 .由 (1)得 h(a-1)=(a-2)ea-2+1 1e +1 0，又 h(3-a)=(2-a)e 2-a+2a-3 (2-a)(3-a)+2a-3=(a- 32 )2+ 34 0，h(1)=a-1 0， 函 数 y=
44、h(t)在 (a-1， 1)和 (1， 3-a)内 各 有 一 个 零 点 ，故 当 a 1 时 ， 存 在 两 条 直 线 与 曲 线 f(x)与 g(x)都 相 切 .(二 )选 考 题 ： 共 10分 .请 考 生 在 (22)、 (23)题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一题 记 分 .选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 22.在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 圆 C 1： (x-1)2+y2=1， 圆 C2： (x-3)2+y2=9.以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标
45、 系 .( )求 C1， C2的 极 坐 标 方 程 .解 析 ： ( )由 x= cos ， y= sin ， 能 求 出 C1， C2的 极 坐 标 方 程 .答 案 ： ( ) 圆 C1： (x-1)2+y2=1， x2+y2-2x=0，由 x= cos ， y= sin ， 可 得 ：C 1： 2cos2 + 2sin2 -2 cos =0， C1的 极 坐 标 方 程 为 ： =2cos ； 圆 C2： (x-3)2+y2=9. C2： 2cos2 + 2sin2 -6 cos +9=9， C2的 极 坐 标 方 程 =6cos .( )设 曲 线 C 3： cossin x ty
46、t (t为 参 数 且 t 0)， C3与 圆 C1， C2分 别 交 于 A， B， 求 2V ABCS 的最 大 值 .解 析 ： ( )依 题 意 得 |AB|=6cos -2cos =4cos ， 2 2 ， C2(3， 0)到 直 线 AB的 距离 d=3|sin |， 由 此 能 求 出 2V ABCS 的 最 大 值 .答 案 ： ( )依 题 意 得 |AB|=6cos -2cos =4cos ， 2 2 ，C 2(3， 0)到 直 线 AB 的 距 离 d=3|sin |， 2V ABCS = 12 d |AB|=3|sin2 |， 故 当 = 4 时 ， S ABC2取 得
47、 最 大 值 3.选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 23.设 函 数 f(x)=|x+1|-|x|的 最 大 值 为 m.( )求 m 的 值 .解 析 ： ( )根 据 绝 对 值 不 等 式 ： |x+1|-|x| |x+1-x|即 可 求 出 f(x)的 最 大 值 为 1， 即 得 出m=1.答 案 ： ( )|x+1|-|x| |x+1-x|=1， f(x)的 最 大 值 为 1， m=1. ( )若 正 实 数 a， b 满 足 a+b=m， 求 2 21 1 a bb a 的 最 小 值 .解 析 ： ( )m=1， 从 而 得 出 a+b=1， 从 而 2 2 2 21 1 11 31 1 1 a ba b a bb a b a ，然 后 根 据 基 本 不 等 式 即 可 得 出 2 2 21 1 1 13 3 a ba bb a ， 从 而 求 得 最 小 值 为 13 .答 案 ： ( )由 (1)可 知 ， a+b=1， 2 2 2 21 1 11 31 1 1 a ba b a bb a b a 2 2 22 2 2 21 1 1 13 3 3 31 1 21 1 a a b b a b ab a b a bb a ，当 且 仅 当 a=b= 12 时 取 等 号 ，即 2 21 1 a bb a 的 最 小 值 为 13 .
