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2017年江苏省南京市高考一模数学及答案解析.docx

资源ID：1513432 资源大小：397.86KB 全文页数：17页
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2017年江苏省南京市高考一模数学及答案解析.docx

2、i a a i aa i a ii i i 复数 21 2a ii 是纯虚数 4 052 1 05a a ，解得： a=4答案： 43.已知命题 p： x R， x 2+2x+a 0 是真命题，则实数 a的取值范围是 _.解析：若命题 p： x R， x2+2x+a 0是真命题，则判别式 =4-4a 0，即 a 1.答案： (- ， 14.从长度为 2、 3、 5、 6 的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为 _.解析：从长度为 2、 3、 5、 6 的四

3、条线段中任选三条，共有 2、 3、 5； 2、 3、 6； 2、 5、 6； 3、 5、 6； 4种情况，能构成三角形的有 2、 5、 6； 3、 5、 6，共两种情况，所以 P(任取三条，能构成三角形 )= 24 = 12 答案： 125.某个容量为 100的样本的频率分布直方图如下，则在区间 4， 5)上的数据的频数为 _. 解析：根据题意，在区间 4， 5的频率为： 1-(0.05+0.1+0.15+0.4) 1=0.3，而总

4、数为 100，因此频数为 30答案： 306.在如图所示的算法流程图中，若输出的 y的值为 26，则输入的 x的值为 _. 解析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出 25 42 2 4xy x x x 的值，当输出的 y的值为 26时，显然 x 4，有 x2-2x+2=26，解得： x=-4或 x=6(舍去 )答案： -47.在平面直角坐标系 xOy中，点 F为抛物线 x 2=8y的焦点，则点 F到

5、双曲线 22 19yx 的渐近线的距离为 _.解析：抛物线 x2=8y的焦点 F(0， 2)，双曲线 22 19yx 的渐近线方程为 y= 3x，则 F 到双曲线 22 19yx 的渐近线的距离为2 22 1053 1d 答案： 105 8.已知 a， b 为实数，且 a b， a 0，则 a_ 22 bb a (填 “ ” 、 “ ” 或 “ =” )解析： a b， a 0， 222 0（） a bba b a a ， 22 ba b a 答案： 9. ABC 是直角边等于 4 的等腰

6、直角三角形， D 是斜边 BC 的中点， 1 4AM AB m AC ，向量 AM 的终点 M 在 ACD的内部 (不含边界 )，则 AM BM 的取值范围是 _.解析：以 AB为 x 轴， AC为 y轴，作图如下图，点 A(0， 0)， B(4， 0)， C(0， 4)， D(2， 2)，则 1 14 4 =AM AB m AC (4， 0)+m(0， 4)=(1， 4m)，则 M(1， 4m)又点 M 在 ACD的内部 (不含边界 )， 1 4m 3， 1 34 4 m ，则 AM BM (1， 4m)

7、 (-3， 4m)=16m2-3， -2 16m2-3 6.答案： (-2， 6)10.已知四数 a 1， a2， a3， a4依次成等比数列，且公比 q 不为 1 将此数列删去一个数后得到的数列 (按原来的顺序 )是等差数列，则正数 q 的取值集合是 _.解析：因为公比 q 不为 1，所以不能删去 a1， a4 设 an的公差为 d，则若删去 a2，则由 2a3=a1+a4得 2a1q2=a1+a1q3，即 2q2=1+q3，整理得 q2(q-1)=

8、(q-1)(q+1) 又 q 1，则可得 q2=q+1，又 q 0解得 1 52q ；若删去 a3，则由 2a2=a1+a4得 2a1q=a1+a1q3，即 2q=1+q3，整理得 q(q-1)(q+1)=q-1又 q 1，则可得 q(q+1)=1，又 q 0 解得 1 52q 综上所述， 1 52q 答案： 1 52 ， 1 52 11.已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1， F 是棱 BC的中点， M 是线段 A1F上的动点，则 MDD1与 MCC1的面积和的最小值是 _.

9、解析：由题意，就是求 M到 DD1与 CC1距离和的最小值，由于 A1F 在平面 ABCD上的射影为 AF，故问题转化为正方形 ABCD 中， AF上的点到 D， C 距离和的最小值，设出 D 关于 AF的对称点D，则 DD = 4 55 ， cos CDD = 15 16 4 5 1 651 2 15 5 55CD ， MDD 1与 MCC1的面积和的最小值是 1 65 652 5 10 .答案： 6510 12.已知函数 f(x)=-x2+ax+b(a， b R)的

10、值域为 (- ， 0，若关于 x的不等式 f(x) c-1 的解集为 (m-4， m+1)，则实数 c的值为 _.解析：函数 f(x)=-x 2+ax+b(a， b R)的值域为 (- ， 0， =0， a2+4b=0， 24ab 关于 x 的不等式 f(x) c-1的解集为 (m-4， m+1)，方程 f(x)=c-1的两根分别为： m-4， m+1，即方程： 22 14ax ax c 两根分别为： m-4， m+1，方程： 22 14ax ax c 根为：12 ax c ，两根之差

11、为： 2 1 1 4（）（）c m m ，214c 答案： 214 13.若对任意的 x D，均有 f 1(x) f(x) f2(x)成立，则称函数 f(x)为函数 f1(x)到函数 f2(x)在区间 D 上的 “ 折中函数 ” 已知函数 f(x)=(k-1)x-1， g(x)=0， h(x)=(x+1)lnx，且 f(x)是 g(x)到 h(x)在区间 1， 2e上的 “ 折中函数 ” ，则实数 k 的值构成的集合是 _.解析：根据题意，可得 0 (k-1)x-1 (x+1)l

12、nx在 x 1， 2e上恒成立当 x 1， 2e时，函数 f(x)=(k-1)x-1的图象为一条线段，于是， 1 02 0ff e ，解得 k 2另一方面， 1 ln 11 x xk x 在 x 1， 2e上恒成立令 1 ln 1 ln 1ln x x xm x xx x x ，则 2ln x xm x x 由于 1 x 2e，所以 1ln 1 0 x x x ，于是函数 x-lnx为增函数，从而 x-lnx 1-ln1 0，所以 m (x) 0，则函数 m(x)为 1， 2e上的增函数所以 k-1

13、m(x) min=m(1)=1，即 k 2综上， k=2答案： 214.若实数 x， y满足 4 2x y x y ，则 x 的取值范围是 _.解析：方法一：【几何法】当 x=0时，解得 y=0，符合题意，当 x 0 时，解答如下：令 0，t y x ，原方程可化为： 22 2xt x t ，记函数 2 2（） xf t t ， 2（）g t x t ， t 0， x ，这两个函数都是关于 t 的函数，其中 x为参数，f(t)的图象为直线，且斜

14、率为定值 -2，g(t)的图象为四分之一圆，半径为为 x ，问题等价为，在第一象限 f(t)， g(t)两图象有公共点，当直线与圆相切时，由 d=r解得 x=20，当直线过的点 A(0， 2x )在圆上的点 (0， x )处时，即 2= xx ，解得 x=4，因此，要使直线与圆有公共点， x 4， 20，综合以上分析得， x 4， 20 0方法二：【代数法】令 0，t y x ，原方程可化为： 24 2x t

15、 x t ，因为 x-y=x-t2 0，所以 x t2 0，两边平方并整理得， 20t2-8xt+x2-4x=0(*)，这是一个关于 t的一元二次方程，则方程 (*)有两个正根 (含相等 )， 2 221 2 64 80 4 01 4 020 x x xt t x x ，解得， x 4， 20 0特别地，当 x=0时， y=0，符合题意答案： 4， 20 0 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分 .请在答题卡指定区域内作答，解答时应写

16、出文字说明、证明过程或演算步骤 .15.如图，在平面直角坐标系 xOy上，点 A(1， 0)，点 B 在单位圆上， AOB= (0 )(1)若点 B 3 4( )5 5，，求 tan( + 4 )的值；(2)若 OA OB OC ， 1813OB OC ，求 cos( 3 - ) 解析： (1)利用三角函数的定义及其和差公式即可得出；(2)利用向量的坐标运算、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、和差公式即

17、可得出答案： (1)由点 B 3 4( )5 5，， sin = 45 ， cos 35 ， tan = 43 4 1tan tan 13tan 4 71 tan tan44 4 1 3（）；(2) OA OB OC ， OC =(1+cos ， sin )1813OB OC ， (cos ， sin ) (1+cos ， sin )=cos +cos2 +sin2 =cos +1=1813 ，解得 cos = 513 ， 0 ， 2 12sin 1 cos 13 1 5 3 12 5 12 3cos cos cos sin sin3 3 3 2 13 2 13 26（）

18、 16.如图，六面体 ABCDE 中，面 DBC 面 ABC， AE 面 ABC(1)求证： AE 面 DBC；(2)若 AB BC， BD CD，求证： AD DC 解析： (1)过点 D 作 DO BC， O 为垂足，由已知得 DO 面 ABC，由此能证明 AE 面 DBC(2)由已知得 DO AB， AB 面 DBC，从而 AB DC，由此能证明 AD DC答案： (1)过点 D 作 DO BC， O 为垂足因为面 DBC 面 ABC，又面 DBC 面 ABC=BC， DO面 DBC，所以

19、DO 面 ABC又 AE 面 ABC，则 AE DO又 AE面 DBC， DO面 DBC，故 AE 面 DBC(2)由 (1)知 DO 面 ABC， AB面 ABC，所以 DO AB又 AB BC，且 DO BC=O， DO， BC平面 DBC，则 AB 面 DBC因为 DC面 DBC，所以 AB DC又 BD CD， AB DB=B， AB， DB面 ABD，则 DC 面 ABD又 AD面 ABD，故可得 AD DC17.如图，某城市有一条公路正西方 AO 通过市中心 O 后转向北偏东角方向的 OB，位于该

20、市的某大学 M 与市中心 O 的距离 3 13OM km，且 AOM= ，现要修筑一条铁路 L， L 在OA上设一站 A，在 OB上设一站 B，铁路在 AB 部分为直线段，且经过大学 M，其中 tan =2，3cos 13 ， AO=15km(1)求大学 M 在站 A 的距离 AM；(2)求铁路 AB 段的长 AB 解析： (1)在 AOM中，利用已知及余弦定理即可解得 AM的值；(2)由 3cos 13 ，且为锐角，可求 sin ，由正弦

21、定理可得 sin MAO，结合 tan =2，可求 sin ， cos ， sin ABO， sin AOB，结合 AO=15，由正弦定理即可解得 AB的值答案： (1)在 AOM中， A0=15， AOM= ，且 3cos 13 ， 3 13OM ，由余弦定理可得： AM 2=OA2+OM2-2OA OM cos AOM= 2 2 33 13 15 2 3 13 15 7213（）所以可得： 6 2AM ，大学 M在站 A 的距离 AM 为 6 2 km(2) 3cos 13 ，且为锐角， 2sin

22、 13 ，在 AOM中，由正弦定理可得： sin sinAM OMMAO ，即 6 2 3 132 sin13 MAO ， 2sin 2MAO ， 4MAO ， ABO= - 4 ， tan =2， 2sin 5 ， 1cos 5 ， 1sin sin 4 10（）ABO ，又 AOB= - ， sin AOB=sin( - )= 25 在 AOB中， AO=15，由正弦定理可得： sin sinAB AOAOB ABO ，即 152 15 10AB ，解得 30 2AB ，即铁路 AB段的长 AB为 30 2 km 18.设椭圆

23、 C： 2 22 2 1x ya b (a b 0)的离心率 32e ，直线 y=x+ 2 与以原点为圆心、椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 O相切 (1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 12x 与椭圆 C交于不同的两点 M， N，以线段 MN为直径作圆 D，若圆 D 与 y轴相交于不同的两点 A， B，求 ABD的面积；(3)如图， A 1， A2， B1， B2是椭圆 C 的顶点， P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点，直线 B2P 交

24、x轴于点 F，直线 A1B2交 A2P于点 E，设 A2P 的斜率为 k， EF的斜率为 m，求证： 2m-k为定值解析： (1)由于直线 y=x+ 2 与以原点为圆心、椭圆 C的短半轴长为半径的圆 O 相切，可得0 22 b ，解得 b 又离心率 32 ce a ， b2=a2-c2，联立解得即可得出 (2)把 12x 代入椭圆方程可得： 2 11 16y ，可得 D 的方程为： 2 21 152 16x y 令x=0，解得 y，可得 |AB

25、|，利用 1 2ABDS AB OD 即可得出 (3)由 (1)知： A 1(-2， 0)， A2(2， 0)， B2(0， 1)，可得直线 A1B2AD的方程，设直线 A2P 的方程为 y=k(x-2)， k 0，且 k 12 ，联立解得 E 设 P(x1， y1)，与椭圆方程联立可得(4k2+1)x2-16k2x+16k2-4=0 解得 P 设 F(x2， 0)，则由 P， B2， F 三点共线得， kB2P kB2F 可得 F 即可证明 2m-k为定值答案： (1) 直线 y=x+ 2 与

26、以原点为圆心、椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 O相切， 0 22 b ，化为 b=1 离心率 32 ce a ， b 2=a2-c2=1，联立解得 a=2， c= 3 椭圆 C 的方程为 2 2 14x y ；(2)解：把 12x 代入椭圆方程可得： 2 11 16y ，解得 154y D的方程为： 2 21 152 16x y 令 x=0，解得 114y ， 112AB ， 1 1 11 1 112 2 2 2 8ABDS AB OD (3)证明：由 (1)知： A1(-2， 0)， A

27、2(2， 0)， B2(0， 1)，直线 A1B2的方程为 y 12 x+1，由题意，直线 A2P 的方程为 y=k(x-2)， k 0，且 k 12 ，由 1 12 2y xy k x ，解得 4 2 42 1( 2 )1，k kE k k 设 P(x1， y1)，则由 2 2 214y k xx y ，得 (4k2+1)x2-16k2x+16k2-4=0 21 216 42 4 1kx k ， 21 28 24 1kx k ， 1 1 242 4 1（） ky k x k 22 28 2 44 1 4 )1( ，k kP k k 设 F(x 2， 0

28、)，则由 P， B2， F 三点共线得， kB2P kB2F即 22 224 1 0 14 18 2 004 1kkk xk ， 2 4 22 1kx k ， F( 4 22 1kk ， 0) EF 的斜率 4 0 2 12 14 2 4 2 42 1 2 1k kkm k kk k 2 1 12 2 2km k k 为定值 19.已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn+n=2an(n N*)(1)证明：数列 an+1为等比数列，并求数列 an的通项公式；(2)若 bn=(2n+1)an+2n+1，数列

29、 bn的前 n项和为 Tn 求满足不等式 2 20102 1nTn 的 n的最小值解析： (1)利用递推式，再写一式，两式相减，可得数列 an+1为等比数列，从而可求数列 an的通项公式；(2)求出数列 b n的前 n 项和为 Tn，代入可求满足不等式 2 20102 1nTn 的 n的最小值答案： (1)证明：当 n=1 时， 2a1=a1+1， a1=1 2an=Sn+n， n N*， 2an-1=Sn-1+n-1， n 2，两式相减得

30、an=2an-1+1， n 2，即 an+1=2(an-1+1)， n 2，数列 an+1为以 2为首项， 2 为公比的等比数列， an+1=2n， an=2n-1， n N*；(2)解： b n=(2n+1)an+2n+1=(2n+1) 2n， Tn=3 2+5 22+ +(2n+1) 2n， 2Tn=3 22+5 23+ +(2n+1) 2n+1，两式相减可得 -Tn=3 2+2 22+2 23+ +2 2n-(2n+1) 2n+1， Tn=(2n-1) 2n+1+2 2 20102 1nTn 可化为 2n+1 2010 2 10=1024，

31、211=2048 满足不等式 2 20102 1nTn 的 n 的最小值为 10 20.已知函数 21 ln2（）f x ax x ， g(x)=-bx，其中 a， b R，设 h(x)=f(x)-g(x)，(1)若 f(x)在 22x 处取得极值，且 f (1)=g(-1)-2 求函数 h(x)的单调区间；(2)若 a=0 时，函数 h(x)有两个不同的零点 x1， x2 求 b的取值范围；求证： 1 22 1x xe 解析： (1)根据极值点处的导数为零，结合 f(1)

32、=g(-1)-2列出关于 a， b 的方程组，求出 a，b，然后再利用导数研究导数研究单调区间；(2) 将 a=0代入，研究极值的符号，即可求出求 b 的取值范围，结合的结论，通过适当的变形，利用放缩法和基本不等式即可证明答案： (1)由已知得 1f x ax x ， (x 0)，所以 2 2 2 02 2 f a ，所以 a=-2由 f (1)=g(-1)-2，得 a+1=b-2，所以 b=1所以 h(x)=-x 2+l

33、nx+x， (x 0)则 12 11 22 1 x xh x x x x ， (x 0)，由 h (x) 0 得 0 x 1， h (x) 0 得 x 1所以 h(x)的减区间为 (1， + )，增区间为 (0， 1)(2) 由已知 h(x)=lnx+bx， (x 0)所以 1h x bx ， (x 0)，当 b 0 时，显然 h (x) 0 恒成立，此时函数 h(x)在定义域内递增， h(x)至多有一个零点，不合题意当 b 0时，令 h (x)=0得 1 0 x b ，令 h (x) 0得 10 x b ；

34、令 h (x) 0得 1x b 所以 h(x)极大 = 1 1 0（）（） h ln bb ，解得 1 0 be 且 x 0 时， lnx 0， x + 时， lnx 0所以当 b ( 1e ， 0)时， h(x)有两个零点证明：由题意得 1 12 2ln 0ln 0 x bxx bx ，即 12 12 bxbxe xe x ，得 1 2 1 2b x xe x x 因为 x1， x2 0，所以 -b(x1+x2) 0，所以 1 2 1 2b x xe x x 1，因为 10 b e ，所以 e -b 1，所以 1 2 1 22

35、2 21 2 b x x x xx x e e e ，所以 1 22 1x xe 选做题 (选修 4-2：矩阵与变换 )21.已知点 P(a， b)，先对它作矩阵 1 32 2 3 12 2M 对应的变换，再作 2 0 0 2N 对应的变换，得到的点的坐标为 (8， 4 3 )，求实数 a， b的值解析：利用矩阵的乘法，求出 MN， (NM)-1，利用变换得到的点的坐标为 (8， 4 3 )，即可求实数 a， b 的值答案：依题意， 1 3

36、2 0 1 32 2 0 2 3 1 3 12 2NM ，由逆矩阵公式得， 1 1 34 43 14 4（）NM ，所以 1 3 8 54 4 4 3 33 14 4 ，即有 a=5， b= 3 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 x轴的正半轴重合，若直线 l 的极坐标方程为 sin 2 24（）p (1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标系方程；(2)已知 P 为椭圆 C： 2

37、2 13 9 x y 上一点，求 P 到直线 l 的距离的最小值解析： (1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标系方程即可；(2)设 3 cos 3sin（，）P ，利用点到直线的距离公式表示出 P 到直线 l 的距离 d，利用余弦函数的值域确定出最小值即可答案： (1)直线 l 的极坐标方程为 sin 2 24（）p ，整理得： 2 2sin cos cos sin sin cos 2 24 4 2 2（），即 sin

38、 - cos =4，则直角坐标系中的方程为 y-x=4，即 x-y+4=0；(2)设 3 cos 3sin（，）P ，点 P 到直线 l 的距离2 3co (s 43cos 3sin 4 2 3 43 2 2 62|2 )2|d ，则 P 到直线 l 的距离的最小值为 2 2 6 【必做题】第 23题、第 24 题，每题 10分，共计 20分 .23.抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1， 2， 3， 4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数

39、字分别为 x， y 设为随机变量，若 xy 为整数，则 =0；若 xy 为小于 1的分数，则 =-1；若 xy 为大于 1的分数，则 =1(1)求概率 P( =0)；(2)求的分布列，并求其数学期望 E( )解析： (1)数对 (x， y)共有 16种，利用列举法求出使 xy 为整数的种数，由此能求出概率 P( =0)(2)随机变量的所有取值为 -1， 0， 1，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和

40、数学期望答案： (1)依题意，数对 (x， y)共有 16种，其中使 xy 为整数的有以下 8 种：(1， 1)， (2， 2)， (3， 3)， (4， 4)， (2， 1)， (3， 1)， (4， 1)， (4， 2)，所以 8 10 16) 2( P ；(2)随机变量的所有取值为 -1， 0， 1， =-1有以下 6种： (1， 2)， (1， 3)， (1， 4)， (2， 3)， (2， 4)， (3， 4)，故 6 3-1 16) 8( P ， =1 有以下 2 种： (3， 2)， (4， 3)，故

41、2 11 16) 8( P ， 3 1 10 1 8 8 2（）P ，的分布列为： -1 0 1P 38 12 18 的数学期望为 3 1 1 11 0 18 2 8( ) 4 E 24.已知 (x+2) n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2 +an(x-1)n(n N*)(1)求 a0及 1 nn iiS a ；(2)试比较 Sn与 (n-2)3n+2n2的大小，并说明理由解析： (1)令 x=1，则 a 0 3n，再令 x=2，则 0 4 n nii a ，可得 1 nn iiS a 的值 (2)要比较 Sn与 (

42、n-2)3n+2n2的大小，只要比较 4n与 (n-1)3n+2n2的大小检验可得当 n=1或 4或 5 时， 4n (n-1)3n+2n2，当 n=2或 3 时， 4n (n-1)3n+2n2 猜测当 n 4 时， 4n (n-1)3n+2n2，再用下面用数学归纳法、放缩法证明结论答案： (1)令 x=1，则 a0 3n，令 x=2，则 0 4 n nii a ，所以 1 4 3 n n nn iiS a (2)要比较 S n与 (n-2)3n+2n2的大小，只要比较 4n与 (n-1

43、)3n+2n2的大小当 n=1时， 4n (n-1)3n+2n2，当 n=2或 3时， 4n (n-1)3n+2n2，当 n=4或 5 时， 4n (n-1)3n+2n2猜想：当 n 4 时， 4n (n-1)3n+2n2 下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，当 n=4时，结论成立假设当 n=k(k 4， k N*)时结论成立，即 4k (k-1)3k+2k2，两边同乘以 4，得 4k+1 4(k-1)3k+2k2=k3k+1+2(k+1)2+(k-4)3k+6k2-4k-2，而 (k-4)3 k+6k2-4k-2=(k-4)3k+6(k2-k-2)+2k+10=(k-4)3k+6(k-2)(k+1)+2k+10 0，所以 4k+1 (k+1)-13k+1+2(k+1)2，即 n=k+1 时结论也成立由可知，当 n 4 时， 4n (n-1)3n+2n2成立综上所述，当 n=1时， Sn (n-2)3n+2n2；当 n=2或 3时， 4n (n-1)3n+2n2， Sn (n-2)3n+2n2；当 n 4 时， Sn (n-2)3n+2n2

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