1、2017年 江 苏 省 南 通 市 通 州 区 中 考 一 模 试 卷 数 学一 、 选 择 题 (每 题 3 分 ， 共 24分 )1.二 次 函 数 y=-2(x-1)2+3的 图 象 的 顶 点 坐 标 是 ( )A.(1， 3)B.(-1， 3)C.(1， -3)D.(-1， -3)解 析 ： 二 次 函 数 y=-2(x-1) 2+3的 图 象 的 顶 点 坐 标 为 (1， 3).答 案 ： A2.当 二 次 函 数 y=x2+4x+9取 最 小 值 时 ， x 的 值 为 ( )A.-2B.1C.2D.9解 析 ： y=x 2+4x+9=(x+2)2+5， 当 x=-2时 ， 二
2、 次 函 数 有 最 小 值 .答 案 ： A3.二 次 函 数 y=x2+2x+2 与 坐 标 轴 的 交 点 个 数 是 ( )A.0个B.1个C.2个D.3个解 析 ： =2 2-4 1 2=-4 0， 二 次 函 数 y=x2+2x+2 与 x 轴 没 有 交 点 ， 与 y 轴 有 一 个 交 点 . 二 次 函 数 y=x2+2x+2 与 坐 标 轴 的 交 点 个 数 是 1个 .答 案 ： B4.为 搞 好 环 保 ， 某 公 司 准 备 修 建 一 个 长 方 体 的 污 水 处 理 池 ， 池 底 矩 形 的 周 长 为 100m， 则 池底 的 最 大 面 积 是 ( )
3、A.600 m 2B.625 m2C.650 m2D.675 m2解 析 ： 设 矩 形 的 一 边 长 为 xm， 则 其 邻 边 为 (50-x)m， 若 面 积 为 S，则 S=x(50-x)=-x2+50 x=-(x-25)2+625. -1 0， S 有 最 大 值 .当 x=25时 ， 最 大 值 为 625.答 案 ： B5.设 A(-2， y 1)， B(1， y2)， C(2， y3)是 抛 物 线 y=-(x+1)2+a上 的 三 点 ， 则 y1， y2， y3的 大 小 关 系 为 ( )A.y1 y2 y3B.y1 y3 y2C.y3 y2 y1D.y3 y1 y2解
4、 析 ： 函 数 的 解 析 式 是 y=-(x+1)2+a， 如 图 ， 对 称 轴 是 x=-1， 点 A关 于 对 称 轴 的 点 A 是 (0， y1)，那 么 点 A 、 B、 C都 在 对 称 轴 的 右 边 ， 而 对 称 轴 右 边 y随 x的 增 大 而 减 小 ， 于 是 y1 y2 y3.答 案 ： A6.如 图 ， 直 径 为 10的 A 经 过 点 C和 点 O， 点 B 是 y 轴 右 侧 A 优 弧 上 一 点 ， OBC=30 ，则 点 C的 坐 标 为 ( ) A.(0， 5)B.(0， 5 3 )C.(0， 5 32 )D.(0， 5 33 )解 析 ： 设
5、 A 与 x 轴 另 一 个 的 交 点 为 点 D， 连 接 CD， COD=90 ， CD是 A 的 直 径 ， 即 CD=10， OBC=30 ， ODC=30 ， OC= 12 CD=5， 点 C 的 坐 标 为 ： (0， 5).答 案 ： A7.一 个 点 到 圆 的 最 小 距 离 为 6cm， 最 大 距 离 为 9cm， 则 该 圆 的 半 径 是 ( )A.1.5cmB.7.5cmC.1.5cm或 7.5cmD.3cm或 15cm解 析 ： 分 为 两 种 情 况 ： 当 点 P 在 圆 内 时 ， 最 近 点 的 距 离 为 6cm， 最 远 点 的 距 离 为 9cm，
6、 则 直 径 是 15cm， 因 而 半 径 是 7.5cm； 当 点 P 在 圆 外 时 ， 最 近 点 的 距 离 为 6cm， 最 远 点 的 距 离 为 9cm， 则 直 径 是 3cm， 因 而 半 径是 1.5cm.答 案 ： C8.如 图 ， 将 半 径 为 2cm的 圆 形 纸 片 折 叠 后 ， 圆 弧 恰 好 经 过 圆 心 O， 则 折 痕 AB的 长 为 ( )A.2cm B.3cmC.23cmD.25cm解 析 ： 作 OD AB于 D， 连 接 OA. 根 据 题 意 得 ： OD= 12 OA=1cm， 再 根 据 勾 股 定 理 得 ： AD= 3 cm， 根
7、据 垂 径 定 理 得 ： AB=2 3 cm.答 案 ： C二 、 填 空 题 (每 题 4 分 ， 共 32分 )9.如 果 抛 物 线 y=(m-1)x2的 开 口 向 上 ， 那 么 m 的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 因 为 抛 物 线 y=(m-1)x 2的 开 口 向 上 ，所 以 m-1 0， 即 m 1， 故 m 的 取 值 范 围 是 m 1.答 案 ： m 110.抛 物 线 y=ax2+3 与 x 轴 的 两 个 交 点 分 别 为 (m， 0)和 (n， 0)， 则 当 x=m+n 时 ， y 的 值 为 .解 析 ： 抛 物 线 y=ax2+3与 x轴 的 两
8、 个 交 点 分 别 为 (m， 0)和 (n， 0)， 该 抛 物 线 的 对 称 轴 方 程 为 02 2m na ， 即 m+n=0， x=m+n=0， y=0+3=3， 即 y=3.答 案 ： 311.将 二 次 函 数 y=x 2-2x+m 的 图 象 向 下 平 移 1 个 单 位 后 ， 它 的 顶 点 恰 好 落 在 x 轴 上 ， 则m= .解 析 ： y=x2-2x+m=(x-1)2+m-1， 图 象 向 下 平 移 1 个 单 位 ， 平 移 后 的 二 次 函 数 解 析 式 为 y=(x-1)2+m-2， 顶 点 恰 好 落 在 x 轴 上 ， m-2=0， 解 得
9、m=2.答 案 ： 212.抛 物 线 y=-x 2+bx+c 的 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 若 y 0， 则 x 的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 根 据 抛 物 线 的 图 象 可 知 ：抛 物 线 的 对 称 轴 为 x=-1， 已 知 一 个 交 点 为 (1， 0)，根 据 对 称 性 ， 则 另 一 交 点 为 (-3， 0)，所 以 y 0 时 ， x的 取 值 范 围 是 -3 x 1. 答 案 ： -3 x 113.如 图 ， AB 是 O的 直 径 ， CD为 弦 ， CD AB 于 E， 若 CD=6， BE=1， 则 O 的 直 径 为 . 解 析 ： 如
10、 图 ， 连 接 OD， 设 OD=x， AB 是 O的 直 径 ， 而 且 CD AB 于 E， DE=CE=6 2=3，在 Rt ODE中 ， x 2=(x-1)2+32， 解 得 x=5， 5 2=10， O 的 直 径 为 10.答 案 ： 1014.如 图 所 示 ， 点 A 是 半 圆 上 一 个 三 等 分 点 ， 点 B 是 弧 AN 的 中 点 ， 点 P 是 直 径 MN 上 一 动 点 ，若 O的 直 径 为 2， 则 AP+BP 的 最 小 值 是 . 解 析 ： 作 点 B 关 于 MN 的 对 称 点 B ， 连 接 AB 交 MN 于 点 P， 连 接 BP， 此
11、 时 AP+BP=AB 最小 ， 连 接 OB ， 如 图 所 示 . 点 B和 点 B 关 于 MN 对 称 ， PB=PB . 点 A是 半 圆 上 一 个 三 等 分 点 ， 点 B 是 AN 的 中 点 ， AON=180 3=60 ， B ON= AON 2=30 ， AOB = AON+ B ON=90 . OA=OB =1， AB = 2 . 答 案 ： 2 15.如 图 ， AB是 O 的 直 径 ， C=30 ， 则 ABD等 于 .解 析 ： 连 接 AD， AB 是 O的 直 径 ， ADB=90 ， A= C=30 ， ABD=90 - A=60 .答 案 ： 6016
12、.在 半 径 为 5cm的 圆 中 ， 两 条 平 行 弦 的 长 度 分 别 为 6cm和 8cm， 则 这 两 条 弦 之 间 的 距 离 为 .解 析 ： 圆 心 到 两 条 弦 的 距 离 分 别 为 d1= 2 215 62( ) =4cm， d2= 2 215 82( ) =3cm.故 两 条 弦 之 间 的 距 离 d=d 1-d2=1cm 或 d=d1+d2=7cm.答 案 ： 1cm或 7cm三 、 解 答 题17.计 算 ： 13 18 tan 45 32 .解 析 ： 原 式 第 一 项 利 用 绝 对 值 的 代 数 意 义 化 简 ， 第 二 项 利 用 立 方 根
13、定 义 计 算 ， 第 三 项 利 用 特殊 角 的 三 角 函 数 值 计 算 ， 最 后 一 项 利 用 负 整 数 指 数 幂 法 则 计 算 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： 原 式 = 2 -2+1-3= 2 -4. 18.已 知 二 次 函 数 y=ax2+bx+c 的 图 象 经 过 A(-1， 0)， B(3， 0)， C(0， -3)三 点 ， 求 这 个 二 次函 数 的 解 析 式 .解 析 ： 由 于 已 知 了 抛 物 线 与 x 的 两 交 点 坐 标 ， 则 可 设 交 点 式 y=a(x+1)(x-3)， 然 后 把 C 点 坐标 代 入 计 算 出 a即
14、可 .答 案 ： 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=a(x+1)(x-3)，把 C(0， -3)代 入 得 a 1 (-3)=-3， 解 得 a=1，所 以 这 个 二 次 函 数 的 解 析 式 为 y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.19.已 知 ： 如 图 ， AB是 O 的 弦 ， 半 径 OC、 OD 分 别 交 AB 于 点 E、 F， 且 OE=OF. 求 证 ： AE=BF.解 析 ： 如 图 ， 过 点 O 作 OM AB 于 点 M.根 据 垂 径 定 理 得 到 AM=BM.然 后 利 用 等 腰 三 角 形 “ 三 线合 一 ” 的 性 质 推 知 EM=F
15、M， 故 AE=BE.答 案 ： 如 图 ， 过 点 O作 OM AB于 点 M， 则 AM=BM.又 OE=OF EM=FM， AE=BF. 20.如 图 ， C=90 ， 以 AC 为 半 径 的 圆 C 与 AB 相 交 于 点 D.若 AC=3， CB=4， 求 BD长 .解 析 ： 根 据 勾 股 定 理 求 得 AB 的 长 ， 再 点 C作 CE AB于 点 E， 由 垂 径 定 理 得 出 AE， 即 可 得 出BD的 长 .答 案 ： 在 三 角 形 ABC中 ， ACB=90 ， AC=3， BC=4， AB= 2 2 2 23 4AC BC =5， 点 C 作 CE AB
16、于 点 E， 则 AD=2AE， CAE= CAB， AEC= ACB=90 ， ACE ABC， AC AEAB AC ， AC2=AE AB， 即 32=AE 5， AE=1.8， AD=2AE=2 1.8=3.6， BD=AB-AD=5-3.6=1.4. 21.如 图 ， AB 是 O 的 直 径 ， 弦 CD AB 于 点 E， 且 CD=24， 点 M 在 O 上 ， MD 经 过 圆 心 O，联 结 MB.(1)若 BE=8， 求 O 的 半 径 ；(2)若 DMB= D， 求 线 段 OE 的 长 .解 析 ： (1)根 据 垂 径 定 理 求 出 DE 的 长 ， 设 出 半
17、径 ， 根 据 勾 股 定 理 ， 列 出 方 程 求 出 半 径 ； (2)根 据 OM=OB， 证 出 M= B， 根 据 M= D， 求 出 D 的 度 数 ， 根 据 锐 角 三 角 函 数 求 出 OE的 长 .答 案 ： (1)设 O的 半 径 为 x， 则 OE=x-8， CD=24， 由 垂 径 定 理 得 ， DE=12，在 Rt ODE中 ， OD2=DE2+OE2， x2=(x-8)2+122， 解 得 ： x=13.(2) OM=OB， M= B， DOE=2 M，又 M= D， D=30 ， 在 Rt OED 中 ， DE=12， D=30 ， OE=4 3 .22.
18、已 知 二 次 函 数 y=-2x 2+4x+6.(1)求 出 该 函 数 图 象 的 顶 点 坐 标 ， 图 象 与 x 轴 的 交 点 坐 标 .(2)当 x 在 什 么 范 围 内 时 ， y 随 x 的 增 大 而 增 大 ？(3)当 x 在 什 么 范 围 内 时 ， y 6？解 析 ： (1)利 用 配 方 法 把 二 次 函 数 y=x2-2x-3 化 为 顶 点 式 ， 即 可 得 出 其 对 称 轴 方 程 及 顶 点 坐标 ； 根 据 x、 y 轴 上 点 的 坐 标 特 点 分 别 另 y=0求 出 x 的 值 ， 令 x=0 求 出 y 的 值 即 可 .(2)根 据
19、开 口 方 向 和 对 称 轴 即 可 确 定 其 增 减 性 ；(3)令 y=0 求 得 x 的 值 并 结 合 开 口 方 向 确 定 答 案 即 可 .答 案 ： (1) y=-2x 2+4x+6=-2(x-1)2+8， 对 称 轴 是 x=1， 顶 点 坐 标 是 (1， 8)；令 y=0， 则 -2x2+4x+6=0， 解 得 x1=-1， x2=3； 图 象 与 x轴 交 点 坐 标 是 (-1， 0)、 (3， 0).(2) 对 称 轴 为 ： x=1， 开 口 向 下 ， 当 x 1 时 ， y 随 x 的 增 大 而 增 大 ；(3)令 y=-2x2+4x+6=6， 解 得
20、： x=0或 x=2， 开 口 向 下 ， 当 x 0 或 x 2 时 y 6.23.如 图 ， 直 线 AB分 别 交 y轴 、 x轴 于 A、 B两 点 ， OA=2， tan ABO= 12 ， 抛 物 线 y=-x 2+bx+c过 A、 B 两 点 . (1)求 直 线 AB 和 这 个 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2)设 抛 物 线 的 顶 点 为 D， 求 ABD的 面 积 ；(3)作 垂 直 x轴 的 直 线 x=t， 在 第 一 象 限 交 直 线 AB 于 M， 交 这 个 抛 物 线 于 N.求 当 t 取 何 值 时 ，MN的 长 度 l有 最 大 值 ？ 最 大 值
21、 是 多 少 ？解 析 ： (1)求 出 OB， 把 A、 B 的 坐 标 代 入 y=-x2+bx+c 和 y=kx+e求 出 即 可 ；(2)求 出 D 的 坐 标 ， 再 根 据 面 积 公 式 求 出 即 可 ；(3)求 出 M、 N 的 坐 标 ， 求 出 MN的 值 ， 再 化 成 顶 点 式 ， 即 可 求 出 答 案 .答 案 ： (1) 在 Rt AOB 中 ， tan ABO= AOBO ， OA=2， 即 2 12BO ， 0B=4， A(0， 2)， B(4， 0)，把 A、 B 的 坐 标 代 入 y=-x 2+bx+c 得 ： 216 4 0c b c ， ，解 得
22、 ： b= 72 ， 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=-x2+ 72 x+2，设 直 线 AB 的 解 析 式 为 y=kx+e， 把 A、 B的 坐 标 代 入 得 ： 24 0ck c ， ，解 得 ： k=- 12 ， e=2， 所 以 直 线 AB的 解 析 式 是 y=- 12 x+2；(2)过 点 D 作 DE y 轴 于 点 E， 由 (1)抛 物 线 解 析 式 为 22 7 7 8122 4 16y x x x ， 即 D 的 坐 标 为 ( 74 ， 8116)，则 ED= 74 ， EO=8116， AE=EO-OA= 4916 ，S ABD=S 梯 形 DEOB-S
23、 DEA-S AOB= 1 7 81 1 7 49 1 634 4 22 4 16 2 4 16 2 8 ；(3)由 题 可 知 ， M、 N横 坐 标 均 为 t. M 在 直 线 AB： y=- 12 x+2上 ， M(t， - 12 t+2)， N 在 抛 物 线 y=-x2+ 72 x+2 上 ， M(t， -t2+ 72 t+2)， 作 垂 直 x轴 的 直 线 x=t， 在 第 一 象 限 交 直 线 AB于 M， 交 这 个 抛 物 线 于 N， MN=-t2+ 72 t+2-(- 2t +2)=-t2+4t=-(t-2)2+4，其 中 0 t 4， 当 t=2时 ， MN 最
24、大 =4，所 以 当 t=2时 ， MN 的 长 度 l 有 最 大 值 ， 最 大 值 是 4.24.某 衬 衣 店 将 进 价 为 30元 的 一 种 衬 衣 以 40元 售 出 ， 平 均 每 月 能 售 出 600件 ， 调 查 表 明 ：这 种 衬 衣 售 价 每 上 涨 1 元 ， 其 销 售 量 将 减 少 10 件 .(1)写 出 月 销 售 利 润 y(单 位 ： 元 )与 售 价 x(单 位 ： 元 /件 )之 间 的 函 数 解 析 式 .(2)当 销 售 价 定 为 45元 时 ， 计 算 月 销 售 量 和 销 售 利 润 . (3)衬 衣 店 想 在 月 销 售 量
25、 不 少 于 300件 的 情 况 下 ， 使 月 销 售 利 润 达 到 10000 元 ， 销 售 价 应 定为 多 少 ？(4)当 销 售 价 定 为 多 少 元 时 会 获 得 最 大 利 润 ？ 求 出 最 大 利 润 .解 析 ： (1)利 用 已 知 表 示 出 每 件的 利 润 以 及 销 量 进 而 表 示 出 总 利 润 即 可 ；(2)将 x=45代 入 求 出 即 可 ；(3)当 y=10000 时 ， 代 入 求 出 即 可 ；(4)利 用 配 方 法 求 出 二 次 函 数 最 值 即 可 得 出 答 案 .答 案 ： (1)由 题 意 可 得 ： y=(x-30)
26、600-10(x-40)=-10 x2+1300 x-30000；(2)当 x=45时 ， 600-10(x-40)=550(件 )， y=-10 45 2+1300 45-30000=8250(元 )；(3)当 y=10000 时 ， 10000=-10 x2+1300 x-30000， 解 得 ： x1=50， x2=80，当 x=80时 ， 600-10(80-40)=200 300(不 合 题 意 舍 去 )故 销 售 价 应 定 为 ： 50元 ；(4)y=-10 x2+1300 x-30000=-10(x-65)2+12250，故 当 x=65(元 )， 最 大 利 润 为 12250元 .
