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2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学及答案解析.docx

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2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学及答案解析.docx

2、A. 133B. 53C. 23D. 59解析：直接利用椭圆的简单性质求解即可 . 椭圆 2 2 19 4x y ，可得 a=3， b=2，则 c= 9 4 =5，所以椭圆的离心率为： 53ca .答案： B.3.某几何体的三视图如图所示 (单位： cm)，则该几何体的体积 (单位： cm 2)是 ( ) A. 2 +1B. 2 +3C. 32 +1D. 32 +3解析：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成

3、，圆锥的底面圆的半径为 1，三棱锥的底面是底边长 2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为 3，故该几何体的体积为 21 1 1 11 2 22 3 3 23 3 12 .答案： A4.若 x、 y 满足约束条件 0 3 02 0 xx yx y ，则 z=x+2y 的取值范围是 ( )A.0， 6B.0， 4C.6， + )D.4， + ) 解析： x、 y满足约束条件 0 3 02 0 xx yx y ，表示的可行域如图：目标

4、函数 z=x+2y经过坐标原点时，函数取得最小值，经过 C时，目标函数取得最大值，由 3 02 0 x yx y 解得 C(2， 1)，目标函数的最小值为： 4目标函数的范围是 4， + ).答案： D.5.若函数 f(x)=x2+ax+b 在区间 0， 1上的最大值是 M，最小值是 m，则 M-m( )A.与 a有关，且与 b有关B.与 a有关，但与 b无关C.与 a无关，且与 b无关D.与 a无关，但与 b有关解析：结合

5、二次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下 M-m的取值与 a， b 的关系，综合可得答案 . 函数 f(x)=x2+ax+b 的图象是开口朝上且以直线 x= 2a 为对称轴的抛物线， 2a 1或 2a 0，即 a -2，或 a 0 时，函数 f(x)在区间 0， 1上单调，此时 M-m=|f(1)-f(0)|=|a|，故 M-m的值与 a有关，与 b 无关当 12 2 1a ，即 -2 a -1 时，函数 f(x)在区间 0， 2a 上递减，

6、在 2a ， 1上递增，且 f(0) f(1)，此时 M-m=f(0)-f( 2a )= 24a ，故 M-m的值与 a有关，与 b 无关当 0 12 2a ，即 -1 a 0时，函数 f(x)在区间 0， 2a 上递减，在 2a ， 1上递增，且 f(0) f(1)，此时 M-m=f(0)-f( 2a )=a- 24a ，故 M-m的值与 a有关，与 b 无关 .综上可得： M-m的值与 a有关，与 b 无关 .答案： B.6.已知等差数列 a n的公差为 d，前 n 项和为 Sn，

7、则 “ d 0” 是 “ S4+S6 2S5” 的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：根据等差数列的求和公式和 S4+S6 2S5，可以得到 d 0，根据充分必要条件的定义即可判断 . S 4+S6 2S5， 4a1+6d+6a1+15d 2(5a1+10d)， 21d 20d， d 0，故 “ d 0” 是 “ S4+S6 2S5” 充分必要条件 .答案： C7.函数 y=f(x)的导函数 y=f (x

8、)的图象如图所示，则函数 y=f(x)的图象可能是 ( ) A.B. C.D.解析：根据导数与函数单调性的关系，当 f (x) 0 时，函数 f(x)单调递减，当 f (x) 0时，函数 f(x)单调递增根据导函数 y=f (x)的图象可知： f(x)先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除 A， C，且第二个拐点 (即函数的极大值点 )在 x轴上的右侧，排除 B，故答案为

9、D. 答案： D.8.已知随机变量 i满足 P( i=1)=pi， P( i=0)=1-pi， i=1， 2.若 0 p1 p2 12 ，则 ( )A.E( 1) E( 2)， D( 1) D( 2)B.E( 1) E( 2)， D( 1) D( 2)C.E( 1) E( 2)， D( 1) D( 2)D.E( 1) E( 2)， D( 1) D( 2)解析：随机变量 i满足 P( i=1)=pi， P( i=0)=1-pi， i=1， 2，，0 p1 p2 12 ， 12 1-p2 1-p1 1，E( 1)=1 p1+0 (1-p1)=p1，E( 2)=1

10、p2+0 (1-p2)=p2，D( 1)=(1-p1)2p1+(0-p1)2(1-p1)=p1-p12，D( 2)=(1-p2)2p2+(0-p2)2(1-p2)=p2-p22，D( 1)-D( 2)=p1-p12-(p2-p22)=(p2-p1)(p1+p2-1) 0， E( 1) E( 2)， D( 1) D( 2).答案： A.9.如图，已知正四面体 D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥 )， P、 Q、 R 分别为 AB、 BC、 CA上的点， AP=PB， 2BQ CRQC RA ，分别记二面角 D-PR-Q， D-PQ-R，

11、 D-QR-P的平面角为、、，则 ( ) A. B. C. D. 解析：解法一：如图所示，建立空间直角坐标系 .设底面 ABC的中心为 O. 不妨设 OP=3.则 O(0， 0， 0)， P(0， -3， 0)， C(0， -6， 0)， D(0， 0， 6 2 )，Q( 3 ， 2， 0)， R(-2 3 ， 0， 0)，PRuur=(-2 3 ， 3， 0)， PDuuur=(0， 3， 6 2 )， PQuuur=( 3 ， 5， 0)， QRuuur=(-3 3 ， -2， 0)，QDuuur=( 3 ， -2， 6

12、 2 ).设平面 PDR的法向量为 nr=(x， y， z)，则 00n PRn PD r uurgr uuurg ，可得 2 3 03 3 26 0 x yy z ，可得 nr=( 6 ， 2 2 ， -1)，取平面 ABC的法向量 mur=(0， 0， 1).则 cos mur， nr 115m nm n ur rgur r ，取 =arccos 115 .同理可得： =arccos 3681 . =arccos 295 . 1 2 315 95 681 . .解法二：如图所示，连接 OP， OQ， OR，过点 O 发布

13、作垂线： OE PR， OF PQ， OG QR，垂足分别为 E， F， G，连接 PE， PF， PG.设 OP=h. 则 tan =ODOE .同理可得： tan =ODOF ， tan =ODOG .由已知可得： OE OG OF. tan tan tan ，，，为锐角 . .答案： B.10.如图，已知平面四边形 ABCD， AB BC， AB=BC=AD=2， CD=3， AC与 BD交于点 O，记 I 1=OA OBuur uuurg ，I2=OB OCuuur uuurg ， I3=OC ODuuur uu

14、urg ，则 ( )A.I 1 I2 I3B.I1 I3 I2C.I3 I1 I2D.I2 I1 I3解析：根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可 . AB BC， AB=BC=AD=2， CD=3， AC=2 2 ， AOB= COD 90 ，由图象知 OA OC， OB OD， 0 OA OB OC ODuur uuur uuur uuurg g ， 0OB OCuuur uuurg ，即 I 3 I1 I2. 答案： C.二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6 分，单空

15、题每题 4 分，共 36 分 .11.我国古代数学家刘徽创立的 “ 割圆术 ” 可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了 “ 割圆术 ” ，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年， “ 割圆术 ” 的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 S6， S6= .解析：根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积

16、. 单位圆的半径为 1，则其内接正六边形 ABCDEF 中， AOB是边长为 1 的正三角形，所以正六边形 ABCDEF的面积为S=6 12 1 1 sin60 = 3 32 .答案： 3 32 .12.已知 a、 b R， (a+bi) 2=3+4i(i是虚数单位 )，则 a2+b2= ， ab= .解析： a、 b R， (a+bi)2=3+4i(i 是虚数单位 )， 3+4i=a2-b2+2abi， 3=a2-b2， 2ab=4，解得 ab=2， 21ab ， 21ab .则 a 2+b2=5.答

17、案： 5； 2.13.已知多项式 (x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则 a4= ， a5= .解析：利用二项式定理的展开式，求解 x 的系数就是两个多项式的展开式中 x与常数乘积之和， a5就是常数的乘积 .多项式 (x+1)3(x+2)2=x5+a 1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，(x+1)3中， x 的系数是： 3，常数是 1； (x+2)2中 x 的系数是 4，常数是 4.a4=3 4+1 4=16；a5=1

18、 4=4.答案： 16； 4. 14.已知 ABC， AB=AC=4， BC=2，点 D 为 AB 延长线上一点， BD=2，连结 CD，则 BDC的面积是， cos BDC= .解析：如图，取 BC 得中点 E， AB=AC=4， BC=2， BE= 12 BC=1， AE BC， 2 2 15AE AB BE ， 1 12 2 15 152ABCS BC AE V g ， BD=2， 1 1522BDC ABCS S V V ， BC=BD=2， BDC= BCD， ABE=2 BDC 在 Rt ABE中， cos 14BEABE AB ，

19、 2cos 2cos 1 14ABE BDC ， cos BDC= 104 .答案： 152 ； 104 . 15.已知向量 ar、 br满足 |ar|=1， |br|=2，则 a b a b r r r r 的最小值是，最大值是 .解析：记 AOB= ，则 0 ，如图，由余弦定理可得：5 4cosa b r r ，5 4cosa b r r ，令 5 4cosx ， 5 4cosy ，则 x 2+y2=10(x、 y 1)，其图象为一段圆弧 MN，如图，令 z=x+y，则 y=-x+z，则直线 y=-

20、x+z 过 M、 N 时 z 最小为 zmin=1+3=3+1=4，当直线 y=-x+z 与圆弧 MN相切时 z最大，由平面几何知识易知 zmax即为原点到切线的距离的 2 倍，也就是圆弧 MN 所在圆的半径的 2 倍，所以 z max 2 510 2 .综上所述， a b a b r r r r 的最小值是 4，最大值是 2 5.答案： 4； 2 5.16.从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1人，普通队员 2 人组成 4

21、人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法 .(用数字作答 )解析：第一类，先选 1 女 3 男，有 3 16 2 40C C 种，这 4 人选 2 人作为队长和副队有 24 12A 种，故有 40 12=480种，第二类，先选 2 女 2 男，有 2 26 2 15C C 种，这 4 人选 2 人作为队长和副队有 24 12A 种，故有 15 12=180 种，根据分类计数原理共有 480+180=660种 .答

22、案： 660.17.已知 a R，函数 f(x)=|x+ 4x -a|+a在区间 1， 4上的最大值是 5，则 a的取值范围是 .解析：由题可知 |x+ 4x -a|+a 5，即 |x+ 4x -a| 5-a，所以 a 5，又因为 |x+ 4x -a| 5-a，所以 a-5 x+ 4x -a 5-a，所以 2a-5 x+ 4x 5，又因为 1 x 4， 4 x+ 4x 5，所以 2a-5 4，解得 a 92 .答案： (- ， 92 .三、解答题 (共 5 小题，满分 74 分 )18.已知函数

23、 f(x)=sin 2x-cos2x-2 3 sinx cosx(x R).( )求 f( 23 )的值 .( )求 f(x)的最小正周期及单调递增区间 .解析： ( )利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，代入可得： f( 23 )的值 .( )根据正弦型函数的图象和性质，可得 f(x)的最小正周期及单调递增区间 .答案： ( ) 函数 f(x)=sin 2x-cos2x-2 3 sinxcosx= 3 sin2x-cos2x=2sin(2x+

24、 76 )f( 23 )=2sin( 2 72 3 6 )=2sin52 =2.( ) =2，故 T= ，即 f(x)的最小正周期为，由 2x+ 76 2 +2k ， 2 +2k ， k Z 得：x 56 +k ， 3 +k ， k Z，故 f(x)的单调递增区间为 56 +k ， 3 +k 或写成 k + 6 ， k + 23 ， k Z. 19.如图，已知四棱锥 P-ABCD， PAD是以 AD为斜边的等腰直角三角形， BC AD， CD AD，PC=AD=2DC=2CB， E 为 PD的中点 .( )证明：

25、 CE 平面 PAB.( )求直线 CE 与平面 PBC所成角的正弦值 .解析： ( )证明：取 AD的中点 F，连结 EF， CF，推导出 EF PA， CF AB，从而平面 EFC平面 ABP，由此能证明 EC 平面 PAB. ( )连结 BF，过 F 作 FM PB 于 M，连结 PF，推导出四边形 BCDF 为矩形，从而 BF AD，进而 AD 平面 PBF，由 AD BC，得 BC PB，再求出 BC MF，由此能求出 sin .答案： ( )取 AD的中

26、点 F，连结 EF， CF， E 为 PD 的中点， EF PA，在四边形 ABCD 中， BC AD， AD=2DC=2CB， F为中点， CF AB，平面 EFC 平面 ABP， EC平面 EFC， EC 平面 PAB.( )连结 BF，过 F 作 FM PB于 M，连结 PF， PA=PD， PF AD，推导出四边形 BCDF 为矩形， BF AD， AD 平面 PBF，又 AD BC， BC 平面 PBF， BC PB，设 DC=CB=1，则 AD=PC=2， PB= 2 ， BF=PF=1， MF= 12 ，又 BC

27、平面 PBF， BC MF， MF 平面 PBC，即点 F到平面 PBC的距离为 12 ， E 为 PD 的中点， E 天平面 PBC的距离为 14 ，在 PCD中， PC=2， CD=1， PD= 2 ，由余弦定理得 CE= 2 ，设直线 CE 与平面 PBC所成角为，则 14 2sin 8CE . 20.已知函数 f(x)=(x- 2 1x )e-x(x 12 ).(1)求 f(x)的导函数 .(2)求 f(x)在区间 12 ， + )上的取值范围 .解析： (1)求出 f(x)的导数，

28、注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求 .(2)求出 f(x)的导数，求得极值点，讨论当 12 x 1 时，当 1 x 52 时，当 x 52 时， f(x)的单调性，判断 f(x) 0，计算 f( 12 )， f(1)， f( 52 )，即可得到所求取值范围 .答案： (1)函数 f(x)=(x- 2 1x )e -x(x 12)，导数 f (x) 1 2 1 2 2 112 x xx e x x e g g 2 2 21 1 12 1 2 1x xxx e x ex x

29、 .(2)由 f(x)的导数 f (x) 21 1 2 1 xx ex ，可得 f (x)=0 时， x=1或 52 ，当 12 x 1 时， f (x) 0， f(x)递减；当 1 x 52 时， f (x) 0， f(x)递增；当 x 52 时， f (x) 0， f(x)递减，且 x 2 1x x2 2x-1 (x-1)2 0，则 f(x) 0.由 121 12 2f e ， f(1)=0， 521252f e ，即有 f(x)的最大值为 1212e ，最小值为 f(1)=0.则 f(x)在区间 12 ， + )上的取值范围

30、是 0， 1212e . 21.如图，已知抛物线 x2=y，点 A( 12 ， 14 )， B( 32 ， 94 )，抛物线上的点 P(x， y)( 1 32 2x )，过点 B作直线 AP的垂线，垂足为 Q.( )求直线 AP 斜率的取值范围 .( )求 |PA| |PQ|的最大值 .解析： ( )通过点 P在抛物线上可设 P(x， x 2)，利用斜率公式结合 1 32 2x 可得结论 .( )通过 (I)知 P(x， x2)， 1 32 2x ，设直线 AP 的斜率为

31、 k，联立直线 AP、 BP方程可知Q 点坐标，进而可用 k 表示出 PQuuur、 PAuur，计算可知 |PA| |PQ|=(1+k)3(1-k)，通过令f(x)=(1+x)3(1-x)， -1 x 1，求导结合单调性可得结论 .答案： ( )由题可知 P(x， x 2)， 1 32 2x ，所以 2 1 141 22AP xk xx (-1， 1)，故直线 AP 斜率的取值范围是： (-1， 1).( )由 (I)知 P(x， x 2)， 1 32 2x ，所以 PAuur=( 12 -

32、x， 14 -x2)，设直线 AP 的斜率为 k，则 AP： 1 12 4y kx k ， BP： 941 32y xk k ，联立直线 AP、 BP方程可知 Q( 223 42 2k kk ， 2 29 8 14 4k kk )，故 PQuuur=( 2 321 1k k kk ， 4 3 221k k k kk )，又因为 PAuur=(-1-k， -k 2-k)，故 -|PA| |PQ| 3 32 32 21 1 1 1 1 11 1k k k k kPA PQ k kk k uur uuurg ，所以 |PA| |PQ|=(1+k)3(1-k)，令 f(

33、x)=(1+x)3(1-x)， -1 x 1，则 f (x)=(1+x) 2(2-4x)=-2(1+x)2(2x-1)，由于当 -1 x 12 时 f (x) 0，当 12 x 1 时 f (x) 0，故 f(x)max=f( 12 )= 2716 ，即 |PA| |PQ|的最大值为 2716 .22.已知数列 x n满足： x1=1， xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n N*)，证明：当 n N*时 .( )0 xn+1 xn.( ) 112 2n nn n x xx x .( ) 1 21 12 2nn nx .解析： ( )用数学归纳

34、法即可证明 .( )构造函数，利用导数判断函数的单调性，把数列问题转化为函数问题，即可证明 .( )由 1 122n n n nx x x x n 得 1 01221 12 1nn xx ，继续放缩即可证明答案： ( )用数学归纳法证明： x n 0，当 n=1时， x1=1 0，成立，假设当 n=k时成立，则 xk 0，那么 n=k+1时，若 xk+1 0，则 0 xk=xk+1+ln(1+xk+1) 0，矛盾，故 xn+1 0，因此 xn 0，

35、 (n N*) xn=xn+1+ln(1+xn+1) xn+1，因此 0 x n+1 xn(n N*).( )由 xn=xn+1+ln(1+xn+1)得 xnxn+1-4xn+1+2xn=xn+12-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)，记函数 f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)， x 0 f (x) 22 1 01x x ln xx ， f(x)在 (0， + )上单调递增， f(x) f(0)=0，因此 xn+12-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1) 0，故 112 2n nn n x xx x .( ) xn=xn+1+ln(1+xn+1) xn+1+xn+1=2xn+1， 112n nx ，由 1 122n n n nx x x x 得 1 01221 12 1nn xx ， 1 21 11 1 11 1 12 2 22 2 2n nn nx x x ， 212n nx ，综上所述 1 21 12 2nn nx .

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