1、2017 年 河 北 省 “ 五 个 一 名 校 联 盟 ” 高 考 二 模 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 有 且只 有 一 项 符 合 题 目 要 求 .1.已 知 i 是 虚 数 单 位 ， 若 z(1+i)=1+3i， 则 z=( )A.2+iB.2-iC.-1+iD.-1-i解 析 ： 直 接 利 用 复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 化 简 得 答 案 .答 案 ： A. 2.已 知 全 集 U=R， 集 合 A=x|2x 12 ， B=x|lo
2、g3x 1， 则 A (UB)=( )A.(-1， + )B.3， + )C.(-1， 0) (3， + )D.(-1， 0 3， + )解 析 ： 求 解 A， B 中 的 不 等 式 的 定 义 域 可 得 集 合 A， 集 合 B， 根 据 集 合 的 基 本 运 算 即 可 求 .答 案 ： D.3.已 知 命 题 p， q 是 简 单 命 题 ， 则 “ p是 假 命 题 ” 是 “ p q 是 真 命 题 ” 的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 又 不 必 要 条 件解 析 ： 根 据 复 合 命 题 的 真
3、 假 结 合 充 分 必 要 条 件 ， 判 断 即 可 .答 案 ： A.4.已 知 角 的 顶 点 与 原 点 重 合 ， 始 边 与 x 轴 正 半 轴 重 合 ， 终 边 在 直 线 y=3x 上 ， 则 sin(2+ 3 )=( )A. 3 4 310B.- 3 4 310 C. 4 3 310D.- 4 3 310 解 析 ： 根 据 定 义 求 解 sin 和 cos 的 值 ， 利 用 两 角 和 与 差 的 公 式 以 及 二 倍 角 公 式 即 可 化 简并 求 解 出 答 案 .答 案 ： A.5.设 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 1 002 4 0 x yx
4、 yx y ， 则 z=x-2y 的 最 大 值 为 ( )A.-12B.-1C.0D. 32 解 析 ： 先 画 出 满 足 约 束 条 件 的 可 行 域 ， 并 求 出 各 角 点 的 坐 标 ， 然 后 代 入 目 标 函 数 ， 即 可 求 出目 标 函 数 z=x-2y的 最 大 值 .答 案 ： D.6.设 函 数 f(x)是 定 义 在 R上 的 奇 函 数 ， 且 f(x)= 3log 1 00 x xg x x ， ， 则 g(-8)=( )A.-2B.-3C.2D.3解 析 ： 根 据 题 意 ， 设 x 0， 则 有 -x 0， 由 函 数 的 解 析 式 可 得 f(
5、x)=g(x)， f(-x)=log(-x+1)，又 由 函 数 f(x)的 奇 偶 性 ， 结 合 函 数 奇 偶 性 的 性 质 可 得 g(x)=-log(-x+1)， 计 算 g(-8)计 算 可 得 答 案 .答 案 ： A.7.在 区 间 -2， 3中 任 取 一 个 数 m， 则 使 “ 双 曲 线 2 22 1 4x ym m =1的 离 心 率 大 于 3 的 概 率是 ( )A. 710B. 310C. 15 D. 45解 析 ： 双 曲 线 2 22 1 4x ym m =1的 离 心 率 大 于 3 ， 则 2 21 41m mm 3， 解 得 -2 m -1， -1
6、m 1， 1 m 32 ， 可 得 区 间 长 度 ， 求 出 在 区 间 -2， 3上 随 机 取 一 个 实 数 m 的 区 间 长 度 ，即 可 得 出 结 论 .答 案 ： B.8.函 数 f(x)=sin x( 0)的 图 象 向 右 平 移 12 个 单 位 得 到 函 数 y=g(x)的 图 象 ， 并 且 函 数g(x)在 区 间 6 ， 3 上 单 调 递 增 ， 在 区 间 3 ， 2 上 单 调 递 减 ， 则 实 数 的 值 为 ( )A. 74B. 32 C.2D. 54解 析 ： 根 据 平 移 变 换 的 规 律 求 解 出 g(x)， 根 据 函 数 g(x)在
7、 区 间 6 ， 3 上 单 调 递 增 ， 在 区间 3 ， 2 上 单 调 递 减 可 得 x= 3 时 ， g(x)取 得 最 大 值 ， 求 解 可 得 实 数 的 值 .答 案 ： C.9.已 知 圆 C： (x-1) 2+(y-2)2=2 与 y 轴 在 第 二 象 限 所 围 区 域 的 面 积 为 S， 直 线 y=3x+b 分 圆 C的 内 部 为 两 部 分 ， 其 中 一 部 分 的 面 积 也 为 S， 则 b=( )A.-1 10B.1 10C.-1- 10D.1- 10解 析 ： 由 题 意 ， 圆 心 到 直 线 y=2x+b的 距 离 为 1， 建 立 方 程
8、， 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： A. 10.秦 九 韶 是 我 国 南 宋 时 期 的 数 学 家 ， 普 州 (现 四 川 省 安 岳 县 )人 ， 他 在 所 著 的 数 书 九 章 中 提 出 的 多 项 式 求 值 的 秦 九 韶 算 法 ， 至 今 仍 是 比 较 先 进 的 算 法 .如 图 的 程 序 框 图 给 出 了 利 用秦 九 韶 算 法 求 某 多 项 式 值 的 一 个 实 例 ， 若 输 入 x的 值 为 2， 则 输 出 的 v值 为 ( ) A.9 210-2B.9 210+2C.9 211+2D.9 211-2解 析 ： 由 题 意 ， 模 拟 程
9、序 的 运 行 ， 依 次 写 出 每 次 循 环 得 到 的 k， v 的 值 ， 当 k=-1时 ， 不 满 足条 件 k 0， 跳 出 循 环 ， 输 出 v的 值 .答 案 ： C.11.如 图 ， 网 格 纸 上 正 方 形 小 格 的 边 长 为 1， 图 中 粗 线 画 出 的 是 某 几 何 体 的 三 视 图 ， 则 该 几何 体 的 体 积 为 ( ) A. 23B. 43C. 83D.4解 析 ： 如 图 所 示 ， 由 三 视 图 可 知 该 几 何 体 为 ： 四 棱 锥 P-ABCD. 答 案 ： B. 12.若 函 数 f(x)=a(x2+ 2x )-lnx(a
10、0)有 唯 一 零 点 x0， 且 m x0 n(m， n 为 相 邻 整 数 )， 其 中自 然 对 数 e=2.71828 ， 则 m+n的 值 为 ( )A.1B.3C.5D.7解 析 ： 由 题 ， 可 将 函 数 有 零 点 的 问 题 转 化 为 方 程 x 2+ 2x = 1a lnx 有 一 个 根 ， 进 而 再 转 化 为g(x)=x2+ 2x 与 r(x)= 1a lnx 有 一 个 公 共 点 ， 然 后 研 究 两 个 函 数 的 单 调 性 ， 再 结 合 代 入 整 数 值比 较 函 数 值 的 大 小 ， 确 定 出 两 函 数 公 共 点 的 横 坐 标 的
11、取 值 范 围 ， 从 而 得 出 m， n 的 值 ， 问 题得 解 .答 案 ： C.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 ， 把 答 案 填 写 在 题 中 横 线 上 .13.已 知 F 1、 F2 为 椭 圆 2 225 9x y =1 的 两 个 焦 点 ， 过 F1 的 直 线 交 椭 圆 于 A、 B 两 点 ， 若|F2A|+|F2B|=12， 则 |AB|=_.解 析 ： 运 用 椭 圆 的 定 义 ， 可 得 三 角 形 ABF2的 周 长 为 4a=20， 再 由 周 长 ， 即 可 得 到 AB的 长 .答 案 ：
12、 8.14.已 知 点 A(1， 0)， B(1， 3 )， 点 C 在 第 二 象 限 ， 且 AOC=150 ， OC =-4OA+ OB ，则 =_.解 析 ： 根 据 向 量 的 基 本 运 算 表 示 出 C 的 坐 标 ， 利 用 三 角 函 数 的 定 义 进 行 求 解 即 可 .答 案 ： 1. 15.若 f(x)+f(1-x)=4， an=f(0)+f( 1n )+ +f( 1nn )+f(1)(n N+)， 则 数 列 an的 通 项 公 式为 _.解 析 ： 由 题 意 可 得 自 变 量 的 和 为 1时 函 数 值 的 和 为 4， 运 用 数 列 的 求 和 方
13、法 ： 倒 序 相 加 求 和 ，计 算 即 可 得 到 所 求 和 .答 案 ： an=2(n+1).16.已 知 矩 形 ABEF所 在 的 平 面 与 矩 形 ABCD所 在 的 平 面 互 相 垂 直 ， AD=2， AB=3， AF= 3 32 ， M为 EF 的 中 点 ， 则 多 面 体 M-ABCD 的 外 接 球 的 表 面 积 为 _.解 析 ： 设 球 心 到 平 面 ABCD 的 距 离 为 d， 利 用 矩 形 ABEF 所 在 的 平 面 与 矩 形 ABCD 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 ， AF= 3 32 ， M 为 EF 的 中 点 ， 可 得 M 到
14、 平 面 ABCD 的 距 离 为 3 32 ， 从 而 R2=( 4 92 )2+d2=12+( 3 32 -d)2， 求 出 R2=4， 即 可 求 出 多 面 体 E-ABCD的 外 接 球 的 表 面 积 .答 案 ： 16 .三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 70分 ， 其 中 (17)-(21)题 为 必 考 题 ， (22)， (23)题 为 选 考 题 .解 答 应写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .17.在 ABC中 ， 角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 为 a， b， c， 且 2acosC-c=2b.( )求 角 A的 大 小
15、 ；( )若 c= 2 ， 角 B的 平 分 线 BD= 3 ， 求 a.解 析 ： ( )由 正 弦 定 理 、 两 角 和 的 正 弦 公 式 化 简 已 知 的 条 件 ， 求 出 cosA的 值 ， 由 A 的 范 围和 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 求 出 角 A 的 值 ；( )由 条 件 和 正 弦 定 理 求 出 sin ADB， 由 条 件 求 出 ADB， 由 内 角 和 定 理 分 别 求 出 ABC、 ACB， 结 合 条 件 和 余 弦 定 理 求 出 边 a 的 值 .答 案 ： ( )由 2acosC-c=2b及 正 弦 定 理 得 ，2sinAcosC-s
16、inC=2sinB，2sinAcosC-sinC=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC， -sinC=2cosAsinC， sinC 0， cosA=- 12 ，又 A (0， )， A= 23 ；( )在 ABD中 ， c= 2 ， 角 B的 平 分 线 BD= 3 ，由 正 弦 定 理 得 sin sinAB BDADB A ， sin ADB= 32sin 22 23AB ABD ，由 A= 23 得 ADB= 4 ， ABC=2( - 23 - 4 )= 6 ， ACB= - 23 - 6 = 6 ， AC=AB= 2由 余 弦 定 理 得 ， a 2=BC2=A
17、B2+AC2-2AB AC cosA=2+2-2 2 2 (- 12 )=6， a= 6 .18.某 校 高 一 (1)班 的 一 次 数 学 测 试 成 绩 的 茎 叶 图 和 频 率 分 布 直 方 图 都 受 到 不 同 程 度 的 污 损 ，可 见 部 分 如 图 . ( )求 分 数 在 50， 60)的 频 率 及 全 班 人 数 ；( )求 分 数 在 80， 90)之 间 的 频 数 ， 并 计 算 频 率 分 布 直 方 图 中 80， 90)间 矩 形 的 高 ；( )若 要 从 分 数 在 80， 100)之 间 的 试 卷 中 任 取 两 份 分 析 学 生 失 分 情
18、 况 ， 求 在 抽 取 的 试 卷 中 ，至 少 有 一 份 分 数 在 90， 100)之 间 的 概 率 .解 析 ： ( )先 由 频 率 分 布 直 方 图 求 出 50， 60)的 频 率 ， 结 合 茎 叶 图 中 得 分 在 50， 60)的 人 数即 可 求 得 本 次 考 试 的 总 人 数 ；( )根 据 茎 叶 图 的 数 据 ， 利 用 ( )中 的 总 人 数 减 去 50， 80)外 的 人 数 ， 即 可 得 到 50， 80)内 的 人 数 ， 从 而 可 计 算 频 率 分 布 直 方 图 中 80， 90)间 矩 形 的 高 ；( )用 列 举 法 列 举
19、 出 所 有 的 基 本 事 件 ， 找 出 符 合 题 意 得 基 本 事 件 个 数 ， 利 用 古 典 概 型 概 率 计算 公 式 即 可 求 出 结 果 .答 案 ： ( )分 数 在 50， 60)的 频 率 为 0.008 10=0.08，由 茎 叶 图 知 ：分 数 在 50， 60)之 间 的 频 数 为 2， 全 班 人 数 为 20.08 =25.( )分 数 在 80， 90)之 间 的 频 数 为 25-22=3；频 率 分 布 直 方 图 中 80， 90)间 的 矩 形 的 高 为 325 10=0.012.( )将 80， 90)之 间 的 3个 分 数 编 号
20、 为 a1， a2， a3， 90， 100)之 间 的 2个 分 数 编 号 为 b1， b2，在 80， 100)之 间 的 试 卷 中 任 取 两 份 的 基 本 事 件 为 ：(a 1， a2)， (a1， a3)， (a1， b1)， (a1， b2)， (a2， a3)， (a2， b1)， (a2， b2)， (a3， b1)， (a3， b2)，(b1， b2)共 10 个 ，其 中 ， 至 少 有 一 个 在 90， 100)之 间 的 基 本 事 件 有 7 个 ，故 至 少 有 一 份 分 数 在 90， 100)之 间 的 概 率 是 710 =0.7.19.如 图 ，
21、 在 三 棱 锥 A-BCD 中 ， ABD为 边 长 等 于 2 正 三 角 形 ， CD=CB=1. ADC 与 ABC是有 公 共 斜 边 AC 的 全 等 的 直 角 三 角 形 . ( )求 证 ： AC BD；( )求 D 点 到 平 面 ABC的 距 离 .解 析 ： ( )取 BD中 点 M， 连 AM、 CM， 证 明 BD 面 ACM， 即 可 证 明 AC BD；( )证 明 面 ABCE 面 DEC， 过 D 作 DF EC， 交 EC于 F， DF即 为 D点 到 平 面 ABC的 距 离 .答 案 ： ( )证 明 ： 取 BD 中 点 M， 连 AM、 CM AD
22、=AB AM BD，又 DC=CB， CM BD， CM AM=M， BD 面 ACM， AC面 ACM， BD AC.( )过 A 作 AE BC， AE=BC， 连 接 EC、 ED， 则 AB EC， AB=EC BC AB， BC EC，又 BC DC， EC DC=C， BC 面 DEC BC面 ABCE， 面 ABCE 面 DEC过 D 作 DF EC， 交 EC于 F， DF即 为 所 求 ，在 DEC中 ， DE=DC=1， EC= 2 ， DF= 22 . 20.已 知 抛 物 线 C： y2=4x的 焦 点 为 F， 过 F 的 直 线 l交 C于 A， B 两 点 ， M
23、 为 线 段 AB的 中 点 ，O为 坐 标 原 点 .AO、 BO的 延 长 线 与 直 线 x=-4分 别 交 于 P、 Q 两 点 .( )求 动 点 M 的 轨 迹 方 程 ；( )连 接 OM， 求 OPQ与 BOM的 面 积 比 . 解 析 ： (1)先 根 据 抛 物 线 方 程 求 得 焦 点 坐 标 ， 进 而 设 出 过 焦 点 弦 的 直 线 方 程 ， 与 抛 物 线 方 程联 立 消 去 y， 根 据 韦 达 定 理 表 示 出 x1+x2， 进 而 根 据 直 线 方 程 求 得 y1+y2， 进 而 求 得 焦 点 弦 的中 点 的 坐 标 的 表 达 式 ， 消
24、 去 参 数 k， 则 焦 点 弦 的 中 点 轨 迹 方 程 可 得 .(2)求 出 P， Q 的 坐 标 ， 可 得 面 积 ， 即 可 求 OPQ与 BOM 的 面 积 比 .答 案 ： ( )设 A (x1， y1)， B(x2， y2)， 由 题 知 抛 物 线 焦 点 为 (1， 0)设 焦 点 弦 方 程 为 y=k(x-1)代 入 抛 物 线 方 程 得 所 以 k2x2-(2k2+4)x+k2=0由 韦 达 定 理 ： x 1+x2=2+ 24k所 以 中 点 M横 坐 标 ： x=1+ 22k代 入 直 线 方 程 ， 中 点 M纵 坐 标 ： y=k(x-1)= 2k .
25、即 中 点 M 为 (1+ 22k ， 2k )消 参 数 k， 得 其 方 程为 ： y2=2x-2，当 线 段 PQ 的 斜 率 不 存 在 时 ， 线 段 PQ 中 点 为 焦 点 F(1， 0)， 满 足 此 式 ，故 动 点 M 的 轨 迹 方 程 为 ： y 2=2x-2( )设 AB： ky=x-1， 代 入 y2=4x， 得 y2-4ky-4=0，y1+y2=4k， y1 y2=-4，联 立 ， 得 P(-4， - 116y )， 同 理 Q(-4， - 216y )，|PQ|=4|y 1-y2|， S OPQ=8|y1-y2|，又 S OMB= 14 |y1-y2|， 故 O
26、PQ与 BOM的 面 积 比 为 32.21.已 知 函 数 f(x)=ax2+bx-lnx(a， b R)( )设 a 0， 求 f(x)的 单 调 区 间( )设 a 0， 且 对 于 任 意 x 0， f(x) f(1).试 比 较 lna与 -2b的 大 小 .解 析 ： ( )由 函 数 的 解 析 式 知 ， 可 先 求 出 函 数 f(x)=ax 2+bx-lnx 的 导 函 数 ， 再 根 据 a 0， 分a=0， a 0两 类 讨 论 函 数 的 单 调 区 间 即 可 ；( )由 题 意 当 a 0 时 ， 2 84b b aa 是 函 数 的 唯 一 极 小 值 点 ，
27、再 结 合 对 于 任 意 x 0， f(x) f(1).可 得 出 2 84b b aa =1化 简 出 a， b的 关 系 ， 再 要 研 究 的 结 论 比 较 lna与 -2b的 大小 构 造 函 数 g(x)=2-4x+lnx， 利 用 函 数 的 最 值 建 立 不 等 式 即 可 比 较 大 小 .答 案 ： ( )由 f(x)=ax 2+bx-lnx(a， b R)知 f (x)=2ax+b- 1x又 a 0，故 当 a=0时 ， f (x)= 1bxx 若 b 0 时 ， 由 x 0得 ， f (x) 0恒 成 立 ， 故 函 数 的 单 调 递 减 区 间 是 (0， +
28、)； 若 b 0，令 f (x) 0 可 得 x 1b ， 即 函 数 在 (0， 1b )上 是 减 函 数 ， 在 ( 1b ， + )上 是 增 函 数 ，所 以 函 数 的 单 调 递 减 区 间 是 (0， 1b )， 单 调 递 增 区 间 是 ( 1b ， + )，当 a 0 时 ， 令 f (x)=0， 得 2ax2+bx-1=0由 于 =b 2+8a 0， 故 有 x2= 2 84b b aa ， x1= 2 84b b aa 显 然 有 x1 0， x2 0，故 在 区 间 (0， 2 84b b aa )上 ， 导 数 小 于 0， 函 数 是 减 函 数 ；在 区 间
29、( 2 84b b aa ， + )上 ， 导 数 大 于 0， 函 数 是 增 函 数综 上 ， 当 a=0， b 0 时 ， 函 数 的 单 调 递 减 区 间 是 (0， + )； 当 a=0， b 0 时 ， 函 数 的 单 调 递减 区 间 是 (0， 1b )， 单 调 递 增 区 间 是 ( 1b ， + )； 当 a 0， 函 数 的 单 调 递 减 区 间 是 (0，2 84b b aa )， 单 调 递 增 区 间 是 ( 2 84b b aa ， + )( )由 题 意 ， 函 数 f(x)在 x=1处 取 到 最 小 值 ，由 (1)知 ， 2 84b b aa 是 函
30、 数 的 唯 一 极 小 值 点 故 2 84b b aa =1整 理 得 2a+b=1， 即 b=1-2a令 g(x)=2-4x+lnx， 则 g (x)=1 4xx令 g (x)=1 4xx =0 得 x= 14当 0 x 14 时 ， g (x) 0， 函 数 单 调 递 增 ； 当 14 x + 时 ， g (x) 0， 函 数 单 调 递 减因 为 g(x) g( 14 )=1-ln4 0故 g(a) 0， 即 2-4a+lna=2b+lna 0， 即 lna -2b.选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程 22.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 曲 线 C的 参 数
31、 方 程 为 5cossinxy ( 为 参 数 ).以 坐 标 原 点 O为 极 点 ， x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 cos( + 4 )= 2 .l与 C交于 A、 B 两 点 .( )求 曲 线 C 的 普 通 方 程 及 直 线 l的 直 角 坐 标 方 程 ；( )设 点 P(0， -2)， 求 |PA|+|PB|的 值 .解 析 ： ( )利 用 三 种 方 程 互 化 方 法 ， 曲 线 C的 普 通 方 程 及 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 ；( )点 P(0， -2)在 l 上 ， l 的 参
32、数 方 程 为 22 22 2x ty t (t 为 参 数 )， 代 入 15 x 2+y2=1 整 理得 ， 3t2-10 2 t+15=0， 即 可 求 |PA|+|PB|的 值 .答 案 ： ( )曲 线 C 的 参 数 方 程 为 5cossinxy ( 为 参 数 )， 普 通 方 程 为 C： 15 x2+y2=1；直 线 l的 极 坐 标 方 程 为 cos( + 4 )= 2 ， 即 cos - sin =2， l： y=x-2. ( )点 P(0， -2)在 l上 ， l 的 参 数 方 程 为 22 22 2x ty t (t为 参 数 )代 入 15 x2+y2=1整
33、理 得 ， 3t2-10 2 t+15=0，由 题 意 可 得 |PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=10 23 .选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 23.已 知 关 于 x 的 不 等 式 |x-3|+|x-m| 2m 的 解 集 为 R.( )求 m 的 最 大 值 ；( )已 知 a 0， b 0， c 0， 且 a+b+c=m， 求 4a 2+9b2+c2的 最 小 值 及 此 时 a， b， c 的 值 .解 析 ： ( )利 用 |x-3|+|x-m| |(x-3)-(x-m)|=|m-3|， 对 x 与 m 的 范 围 讨 论 即 可 .( )构 造 柯 西
34、 不 等 式 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： ( ) |x-3|+|x-m| |(x-3)-(x-m)|=|m-3|当 3 x m， 或 m x 3时 取 等 号 ，令 |m-3| 2m， m-3 2m， 或 m-3 -2m.解 得 ： m -3， 或 m 1 m 的 最 大 值 为 1；( )由 ( )a+b+c=1.由 柯 西 不 等 式 ： ( 1 14 9 +1)( 4a 2+9b2+c2) (a+b+c)2=1， 4a2+9b2+c2 3649 ， 等 号 当 且 仅 当 4a=9b=c， 且 a+b+c=1时 成 立 .即 当 且 仅 当 a= 949 ， b= 449 ， c= 3649 时 ， 4a2+9b2+c2的 最 小 值 为 3649 .
