1、2017年 江 苏 省 盐 城 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 6 个 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 18 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.-2的 绝 对 值 是 ( )A.2B.-2C. 12D. 12 解 析 ： 根 据 负 数 的 绝 对 值 等 于 它 的 相 反 数 解 答 .-2的 绝 对 值 是 2，即 |-2|=2.答 案 ： A.2.如 图 是 某 个 几 何 体 的 主 视 图 、 左 视 图 、 俯 视 图 ， 该 几 何 体 是 ( )A.圆 柱B.
2、球 C.圆 锥D.棱 锥解 析 ： 根 据 三 视 图 即 可 判 断 该 几 何 体 .由 于 主 视 图 与 左 视 图 是 三 角 形 ， 俯 视 图 是 圆 ， 故 该 几 何 体 是 圆 锥 .答 案 ： C.3.下 列 图 形 中 ， 是 轴 对 称 图 形 的 是 ( )A. B. C.D.解 析 ： 根 据 轴 对 称 图 形 的 概 念 求 解 .D的 图 形 沿 中 间 线 折 叠 ， 直 线 两 旁 的 部 分 可 重 合 ， 故 选 D.答 案 ： D.4.数 据 6， 5， 7.5， 8.6， 7， 6 的 众 数 是 ( )A.5B.6 C.7D.8解 析 ： 直
3、接 利 用 众 数 的 定 义 分 析 得 出 答 案 . 数 据 6， 5， 7.5， 8.6， 7， 6 中 ， 6 出 现 次 数 最 多 ，故 6 是 这 组 数 据 的 众 数 .答 案 ： B.5.下 列 运 算 中 ， 正 确 的 是 ( )A.7a+a=7a 2B.a2 a3=a6C.a3 a=a2D.(ab)2=ab2解 析 ： 根 据 合 并 同 类 项 法 则 、 同 底 数 幂 的 乘 法 、 除 法 法 则 、 积 的 乘 方 法 则 一 一 计 算 即 可 判 断 .A、 错 误 ， 根 据 合 并 同 类 项 法 则 ， 7a+a=8a.B、 错 误 ， 根 据
4、同 底 数 幂 的 乘 法 ， a2 a3=a5.C、 正 确 ， 根 据 同 底 数 幂 的 除 法 ， a 3 a=a2.D、 错 误 ， 根 据 积 的 乘 方 ， (ab)2=a2b2.答 案 ： C.6.如 图 ， 将 函 数 y= 12 (x-2)2+1的 图 象 沿 y 轴 向 上 平 移 得 到 一 条 新 函 数 的 图 象 ， 其 中 点 A(1，m)， B(4， n)平 移 后 的 对 应 点 分 别 为 点 A、 B.若 曲 线 段 AB扫 过 的 面 积 为 9(图 中 的 阴 影 部 分 )，则 新 图 象 的 函 数 表 达 式 是 ( ) A.y= 12 (x-
5、2)2-2B.y= 12 (x-2)2+7C.y= 12 (x-2)2-5D.y= 12 (x-2)2+4解 析 ： 函 数 y= 12 (x-2) 2+1的 图 象 过 点 A(1， m)， B(4， n)， m= 12 (1-2)2+1=1 12 ， n= 12 (4-2)2+1=3， A(1， 1 12 )， B(4， 3)，过 A 作 AC x 轴 ， 交 B B 的 延 长 线 于 点 C， 则 C(4， 1 12 )， AC=4-1=3， 曲 线 段 AB扫 过 的 面 积 为 9(图 中 的 阴 影 部 分 )， AC AA =3AA =9， AA =3，即 将 函 数 y= 1
6、2 (x-2)2+1的 图 象 沿 y 轴 向 上 平 移 3 个 单 位 长 度 得 到 一 条 新 函 数 的 图 象 ， 新 图 象 的 函 数 表 达 式 是 y= 12 (x-2) 2+4.答 案 ： D.二 、 填 空 题 (每 题 3 分 ， 满 分 30 分 ， 将 答 案 填 在 答 题 纸 上 ) 7.请 写 出 一 个 无 理 数 .解 析 ： 根 据 无 理 数 定 义 ， 随 便 找 出 一 个 无 理 数 即 可 .2 是 无 理 数 (答 案 不 唯 一 ).答 案 ： 2 (答 案 不 唯 一 ).8.分 解 因 式 a 2b-a的 结 果 为 .解 析 ： 根
7、 据 提 公 因 式 法 分 解 即 可 .a2b-a=a(ab-1).答 案 ： a(ab-1).9. 2016 年 12 月 30 日 ， 盐 城 市 区 内 环 高 架 快 速 路 网 二 期 工 程 全 程 全 线 通 车 ， 至 此 ， 已 通车 的 内 环 高 架 快 速 路 里 程 达 57000米 ， 用 科 学 记 数 法 表 示 数 57000为 .解 析 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10 n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n为 整 数 .确 定 n 的 值 时 ，要 看 把 原 数 变 成 a 时 ， 小 数 点 移 动 了 多 少 位
8、 ， n 的 绝 对 值 与 小 数 点 移 动 的 位 数 相 同 .当 原 数绝 对 值 1时 ， n 是 非 负 数 ； 当 原 数 的 绝 对 值 1时 ， n 是 负 数 .将 57000 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ： 5.7 104.答 案 ： 5.7 104.10.若 3x 在 实 数 范 围 内 有 意 义 ， 则 x的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 根 据 被 开 方 数 大 于 等 于 0 列 式 进 行 计 算 即 可 求 解 .根 据 题 意 得 x-3 0，解 得 x 3.答 案 ： x 3. 11.如 图 ， 是 由 大 小 完 全 相 同 的 正 六
9、 边 形 组 成 的 图 形 ， 小 军 准 备 用 红 色 、 黄 色 、 蓝 色 随 机 给每 个 正 六 边 形 分 别 涂 上 其 中 的 一 种 颜 色 ， 则 上 方 的 正 六 边 形 涂 红 色 的 概 率 是 .解 析 ： 共 有 3 种 情 况 ， 上 方 的 正 六 边 形 涂 红 色 的 情 况 只 有 1 种 ， 利 用 概 率 公 式 可 得 答 案 .上 方 的 正 六 边 形 涂 红 色 的 概 率 是 13 .答 案 ： 13 . 12.在 “ 三 角 尺 拼 角 ” 实 验 中 ， 小 明 同 学 把 一 副 三 角 尺 按 如 图 所 示 的 方 式 放
10、置 ， 则 1= . 解 析 ： 由 三 角 形 的 外 角 的 性 质 可 知 ， 1=90 +30 =120 .答 案 ： 120.13.若 方 程 x2-4x+1=0的 两 根 是 x1， x2， 则 x1(1+x2)+x2的 值 为 .解 析 ： 先 根 据 根 与 系 数 的 关 系 得 到 x1+x2=4， x1x2=1，所 以 x1(1+x2)+x2=x1+x1x2+x2=x1+x2+x1x2=4+1=5.答 案 ： 5.14.如 图 ， 将 O 沿 弦 AB 折 叠 ， 点 C 在 AmB 上 ， 点 D 在 AB 上 ， 若 ACB=70 ， 则 ADB= .解 析 ： 根
11、据 折 叠 的 性 质 和 圆 内 接 四 边 形 的 性 质 即 可 得 到 结 论 . 点 C在 AmB上 ， 点 D 在 AB上 ， 若 ACB=70 ， ADB+ ACB=180 ， ADB=110 .答 案 ： 110. 15.如 图 ， 在 边 长 为 1 的 小 正 方 形 网 格 中 ， 将 ABC 绕 某 点 旋 转 到 ABC的 位 置 ， 则 点 B运 动 的 最 短 路 径 长 为 .解 析 ： 如 图 作 线 段 AA 、 CC 的 垂 直 平 分 线 相 交 于 点 P， 点 P即 为 旋 转 中 心 ， 观 察 图 象 可 知 ， 旋 转 角 为 90 (逆 时
12、针 旋 转 )时 B 运 动 的 路 径 长 最 短 ， 2 22 3 13PB ， B 运 动 的 最 短 路 径 长 为 90 13 13180 2 g .答 案 ： 132 .16.如 图 ， 曲 线 l是 由 函 数 6y x 在 第 一 象 限 内 的 图 象 绕 坐 标 原 点 O逆 时 针 旋 转 45 得 到 的 ，过 点 A(-4 2 ， 4 2 )， B(2 2 ， 2 2 )的 直 线 与 曲 线 l 相 交 于 点 M、 N， 则 OMN 的 面 积 为 .解 析 ： A(-4 2 ， 4 2 )， B(2 2 ， 2 2 )， OA OB， 建 立 如 图 新 的 坐
13、 标 系 (OB为 x 轴 ， OA为 y 轴 ). 在 新 的 坐 标 系 中 ， A(0， 8)， B(4， 0)， 直 线 AB 解 析 式 为 y =-2x +8，由 2 86y xy x ， 解 得 16xy 或 32xy ， M(1.6)， N(3， 2)， 4 6 41 12 2 2 8OMN OBM OBNS S S V V V .答 案 ： 8.三 、 解 答 题 (本 大 题 共 11小 题 ， 共 102分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .) 17.计 算 ： 1 04 22 01 17 .解 析 ： 首 先 计 算 开 方
14、 ， 乘 方 、 然 后 计 算 乘 法 ， 最 后 从 左 向 右 依 次 计 算 ， 求 出 算 式 的 值 是 多 少即 可 .答 案 ： 原 式 =2+2-1=3.18.解 不 等 式 组 ： 3 1 14 4 2x xx x .解 析 ： 分 别 求 出 每 一 个 不 等 式 的 解 集 ， 根 据 口 诀 ： 同 大 取 大 、 同 小 取 小 、 大 小 小 大 中 间 找 、大 大 小 小 无 解 了 确 定 不 等 式 组 的 解 集 .答 案 ： 解 不 等 式 3x-1 x+1， 得 ： x 1，解 不 等 式 x+4 4x-2， 得 ： x 2， 不 等 式 组 的
15、解 集 为 x 2.19.先 化 简 ， 再 求 值 ： 3 522 2x xx x ， 其 中 x=3+ 3 .解 析 ： 原 式 括 号 中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 减 法 法 则 计 算 ， 约 分 得 到 最 简 结 果 ， 把 x的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 . 答 案 ： 原 式 2 23 4 5 3 9 3 2 12 2 2 2 2 2 3 3 3x x x x x xx x x x x x x x x g ，当 x=3+ 3 时 ， 原 式 1 13 3 333 3 .20.为 了 编 撰 祖 国 的 优 秀 传 统 文 化 ， 某 校
16、 组 织 了 一 次 “ 诗 词 大 会 ” ， 小 明 和 小 丽 同 时 参 加 ， 其中 ， 有 一 道 必 答 题 是 ： 从 如 图 所 示 的 九 宫 格 中 选 取 七 个 字 组 成 一 句 唐 诗 ， 其 答 案 为 “ 山 重 水复 疑 无 路 ” . (1)小 明 回 答 该 问 题 时 ， 对 第 二 个 字 是 选 “ 重 ” 还 是 选 “ 穷 ” 难 以 抉 择 ， 若 随 机 选 择 其 中 一个 ， 则 小 明 回 答 正 确 的 概 率 是 .解 析 ： (1)利 用 概 率 公 式 直 接 计 算 即 可 .答 案 ： (1) 对 第 二 个 字 是 选
17、“ 重 ” 还 是 选 “ 穷 ” 难 以 抉 择 ， 若 随 机 选 择 其 中 一 个 正 确 的 概 率 = 12 .故 答 案 为 ： 12 .(2)小 丽 回 答 该 问 题 时 ， 对 第 二 个 字 是 选 “ 重 ” 还 是 选 “ 穷 ” 、 第 四 个 字 是 选 “ 富 ” 还 是 选 “ 复 ”都 难 以 抉 择 ， 若 分 别 随 机 选 择 ， 请 用 列 表 或 画 树 状 图 的 方 法 求 小 丽 回 答 正 确 的 概 率 .解 析 ： (2)画 出 树 状 图 得 到 所 有 可 能 的 结 果 ， 再 找 到 回 答 正 确 的 数 目 即 可 求 出
18、小 丽 回 答 正 确的 概 率 . 答 案 ： (2)画 树 形 图 得 ：由 树 状 图 可 知 共 有 4种 可 能 结 果 ， 其 中 正 确 的 有 1 种 ，所 以 小 丽 回 答 正 确 的 概 率 = 14 .21.“ 大 美 湿 地 ， 水 韵 盐 城 ” .某 校 数 学 兴 趣 小 组 就 “ 最 想 去 的 盐 城 市 旅 游 景 点 ” 随 机 调 查 了本 校 部 分 学 生 ， 要 求 每 位 同 学 选 择 且 只 能 选 择 一 个 最 想 去 的 景 点 ， 下 面 是 根 据 调 查 结 果 进 行 数 据 整 理 后 绘 制 出 的 不 完 整 的 统
19、计 图 ：请 根 据 图 中 提 供 的 信 息 ， 解 答 下 列 问 题 ：(1)求 被 调 查 的 学 生 总 人 数 . 解 析 ： (1)用 最 想 去 A 景 点 的 人 数 除 以 它 所 占 的 百 分 比 即 可 得 到 被 调 查 的 学 生 总 人 数 .答 案 ： (1)被 调 查 的 学 生 总 人 数 为 8 20%=40(人 ).(2)补 全 条 形 统 计 图 ， 并 求 扇 形 统 计 图 中 表 示 “ 最 想 去 景 点 D” 的 扇 形 圆 心 角 的 度 数 .解 析 ： (2)先 计 算 出 最 想 去 D 景 点 的 人 数 ， 再 补 全 条 形
20、 统 计 图 ， 然 后 用 360 乘 以 最 想 去 D景 点 的 人 数 所 占 的 百 分 比 即 可 得 到 扇 形 统 计 图 中 表 示 “ 最 想 去 景 点 D” 的 扇 形 圆 心 角 的 度 数 .答 案 ： (2)最 想 去 D 景 点 的 人 数 为 40-8-14-4-6=8(人 )，补 全 条 形 统 计 图 为 ： 扇 形 统 计 图 中 表 示 “ 最 想 去 景 点 D” 的 扇 形 圆 心 角 的 度 数 为 840 360 =72 .(3)若 该 校 共 有 800 名 学 生 ， 请 估 计 “ 最 想 去 景 点 B“ 的 学 生 人 数 .解 析
21、： (3)用 800乘 以 样 本 中 最 想 去 A 景 点 的 人 数 所 占 的 百 分 比 即 可 .答 案 ： (3)800 1440 =280，所 以 估 计 “ 最 想 去 景 点 B“ 的 学 生 人 数 为 280人 .22.如 图 ， 矩 形 ABCD中 ， ABD、 CDB的 平 分 线 BE、 DF分 别 交 边 AD、 BC 于 点 E、 F. (1)求 证 ： 四 边 形 BEDF是 平 行 四 边 形 .解 析 ： (1)由 矩 形 可 得 ABD= CDB， 结 合 BE 平 分 ABD、 DF平 分 BDC 得 EBD= FDB， 即可 知 BE DF， 根
22、据 AD BC即 可 得 证 .答 案 ： (1) 四 边 形 ABCD是 矩 形 ， AB DC、 AD BC， ABD= CDB， BE 平 分 ABD、 DF平 分 BDC， EBD= 12 ABD， FDB= 12 BDC， EBD= FDB， BE DF，又 AD BC， 四 边 形 BEDF 是 平 行 四 边 形 . (2)当 ABE为 多 少 度 时 ， 四 边 形 BEDF是 菱 形 ？ 请 说 明 理 由 .解 析 ： (2)当 ABE=30 时 ， 四 边 形 BEDF 是 菱 形 ， 由 角 平 分 线 知 ABD=2 ABE=60 、 EBD= ABE=30 ， 结
23、合 A=90 可 得 EDB= EBD=30 ， 即 EB=ED， 即 可 得 证 .答 案 ： (2)当 ABE=30 时 ， 四 边 形 BEDF是 菱 形 ， BE 平 分 ABD， ABD=2 ABE=60 ， EBD= ABE=30 ， 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， A=90 ， EDB=90 - ABD=30 ， EDB= EBD=30 ， EB=ED，又 四 边 形 BEDF是 平 行 四 边 形 ， 四 边 形 BEDF 是 菱 形 . 23.某 商 店 在 2014年 至 2016年 期 间 销 售 一 种 礼 盒 .2014年 ， 该 商 店 用 3500 元 购
24、进 了 这 种 礼盒 并 且 全 部 售 完 ； 2016 年 ， 这 种 礼 盒 的 进 价 比 2014 年 下 降 了 11 元 /盒 ， 该 商 店 用 2400 元购 进 了 与 2014 年 相 同 数 量 的 礼 盒 也 全 部 售 完 ， 礼 盒 的 售 价 均 为 60元 /盒 .(1)2014年 这 种 礼 盒 的 进 价 是 多 少 元 /盒 ？解 析 ： (1)设 2014年 这 种 礼 盒 的 进 价 为 x 元 /盒 ， 则 2016年 这 种 礼 盒 的 进 价 为 (x-11)元 /盒 ，根 据 2014 年 花 3500元 与 2016 年 花 2400元 购
25、 进 的 礼 盒 数 量 相 同 ， 即 可 得 出 关 于 x的 分 式 方程 ， 解 之 经 检 验 后 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1)设 2014年 这 种 礼 盒 的 进 价 为 x元 /盒 ， 则 2016年 这 种 礼 盒 的 进 价 为 (x-11)元 /盒 ， 根 据 题 意 得 ： 3500 240011x x ，解 得 ： x=35，经 检 验 ， x=35是 原 方 程 的 解 .答 ： 2014年 这 种 礼 盒 的 进 价 是 35元 /盒 .(2)若 该 商 店 每 年 销 售 这 种 礼 盒 所 获 利 润 的 年 增 长 率 相 同 ， 问 年 增
26、 长 率 是 多 少 ？解 析 ： (2)设 年 增 长 率 为 a， 根 据 数 量 =总 价 单 价 求 出 2014年 的 购 进 数 量 ， 再 根 据 2014 年的 销 售 利 润 (1+增 长 率 )2=2016 年 的 销 售 利 润 ， 即 可 得 出 关 于 m 的 一 元 二 次 方 程 ， 解 之 即可 得 出 结 论 .答 案 ： (2)设 年 增 长 率 为 a，2014年 的 销 售 数 量 为 3500 35=100(盒 ).根 据 题 意 得 ： (60-35) 100(1+a) 2=(60-35+11) 100，解 得 ： a=0.2=20%或 a=-2.2
27、(不 合 题 意 ， 舍 去 ).答 ： 年 增 长 率 为 20%.24.如 图 ， ABC 是 一 块 直 角 三 角 板 ， 且 C=90 ， A=30 ， 现 将 圆 心 为 点 O 的 圆 形 纸 片放 置 在 三 角 板 内 部 . (1)如 图 ， 当 圆 形 纸 片 与 两 直 角 边 AC、 BC 都 相 切 时 ， 试 用 直 尺 与 圆 规 作 出 射 线 CO.(不 写作 法 与 证 明 ， 保 留 作 图 痕 迹 )解 析 ： (1)作 ACB的 平 分 线 得 出 圆 的 一 条 弦 ， 再 作 此 弦 的 中 垂 线 可 得 圆 心 O， 作 射 线 CO即可 .
28、答 案 ： (1)如 图 所 示 ， 射 线 OC 即 为 所 求 . (2)如 图 ， 将 圆 形 纸 片 沿 着 三 角 板 的 内 部 边 缘 滚 动 1 周 ， 回 到 起 点 位 置 时 停 止 ， 若 BC=9，圆 形 纸 片 的 半 径 为 2， 求 圆 心 O 运 动 的 路 径 长 .解 析 ： (2)添 加 如 图 所 示 辅 助 线 ， 圆 心 O 的 运 动 路 径 长 为 C OO1O2， 先 求 出 ABC的 三 边 长 度 ，得 出 其 周 长 ， 证 四 边 形 OEDO1、 四 边 形 O1O2HG、 四 边 形 OO2IF均 为 矩 形 、 四 边 形 OE
29、CF为 正 方形 ， 得 出 OO1O2=60 = ABC、 O1OO2=90 ， 从 而 知 OO1O2 CBA， 利 用 相 似 三 角 形 的 性质 即 可 得 出 答 案 .答 案 ： (2)如 图 ， 圆 心 O 的 运 动 路 径 长 为 C OO1O2. 过 点 O1作 O1D BC、 O1F AC、 O1G AB， 垂 足 分 别 为 点 D、 F、 G，过 点 O作 OE BC， 垂 足 为 点 E， 连 接 O2B，过 点 O2作 O2H AB， O2I AC， 垂 足 分 别 为 点 H、 I，在 Rt ABC中 ， ACB=90 、 A=30 ， 9 9tan30 33
30、3BCAC ， AB=2BC=18， ABC=60 ， 39 9 18 27 9 3ABCC V ， O 1D BC、 O1G AB， D、 G为 切 点 ， BD=BG，在 Rt O1BD和 Rt O1BG 中 ， 1 1BD BGOB OB ， O 1BD O1BG(HL)， O1BG= O1BD=30 ，在 Rt O1BD中 ， O1DB=90 ， O1BD=30 ， 1 2 2tan3 3330ODBD ， 1 9 2 2 7 323OO ， O1D=OE=2， O1D BC， OE BC， O1D OE， 且 O1D=OE， 四 边 形 OEDO1为 平 行 四 边 形 ， OED=
31、90 ， 四 边 形 OEDO1为 矩 形 ，同 理 四 边 形 O 1O2HG、 四 边 形 OO2IF、 四 边 形 OECF为 矩 形 ，又 OE=OF， 四 边 形 OECF 为 正 方 形 ， O1GH= CDO1=90 ， ABC=60 ， GO1D=120 ，又 FO1D= O2O1G=90 ， OO1O2=360 -90 -90 =60 = ABC，同 理 ， O 1OO2=90 ， OO1O2 CBA， 1 2 1 2OOOABCC OOC BCVV ， 即 1 2 7 2927 339OOOC V ， 1 2 15 3OOOC V ， 即 圆 心 O 运 动 的 路 径 长
32、 为 15+ 3 .25.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， Rt ABC 的 斜 边 AB 在 y 轴 上 ， 边 AC 与 x 轴 交 于 点 D， AE平 分 BAC 交 边 BC于 点 E， 经 过 点 A、 D、 E 的 圆 的 圆 心 F 恰 好 在 y 轴 上 ， F 与 y 轴 相 交 于另 一 点 G. (1)求 证 ： BC是 F 的 切 线 .解 析 ： (1)连 接 EF， 根 据 角 平 分 线 的 定 义 、 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 到 FEA= EAC， 得 到 FEAC， 根 据 平 行 线 的 性 质 得 到 FEB= C=90 ，
33、 证 明 结 论 .答 案 ： (1)连 接 EF， AE 平 分 BAC， FAE= CAE， FA=FE， FAE= FEA， FEA= EAC， FE AC， FEB= C=90 ， 即 BC是 F 的 切 线 .(2)若 点 A、 D 的 坐 标 分 别 为 A(0， -1)， D(2， 0)， 求 F 的 半 径 .解 析 ： (2)连 接 FD， 设 F 的 半 径 为 r， 根 据 勾 股 定 理 列 出 方 程 ， 解 方 程 即 可 .答 案 ： (2)连 接 FD， 设 F的 半 径 为 r，则 r2=(r-1)2+22，解 得 ， r= 52 ， 即 F 的 半 径 为
34、52 .(3)试 探 究 线 段 AG、 AD、 CD 三 者 之 间 满 足 的 等 量 关 系 ， 并 证 明 你 的 结 论 .解 析 ： (3)作 FR AD于 R， 得 到 四 边 形 RCEF 是 矩 形 ， 得 到 EF=RC=RD+CD， 根 据 垂 径 定 理 解 答即 可 .答 案 ： (3)AG=AD+2CD.证 明 ： 作 FR AD于 R， 则 FRC=90 ， 又 FEC= C=90 ， 四 边 形 RCEF 是 矩 形 ， EF=RC=RD+CD， FR AD， AR=RD， EF=RD+CD= 12 AD+CD， AG=2FE=AD+2CD.26.探 索 问 题
35、 并 应 用 .【 探 索 发 现 】如 图 ， 是 一 张 直 角 三 角 形 纸 片 ， B=90 ， 小 明 想 从 中 剪 出 一 个 以 B 为 内 角 且 面 积 最 大 的 矩 形 ， 经 过 多 次 操 作 发 现 ， 当 沿 着 中 位 线 DE、 EF剪 下 时 ， 所 得 的 矩 形 的 面 积 最 大 ， 随 后 ，他 通 过 证 明 验 证 了 其 正 确 性 ， 并 得 出 ： 矩 形 的 最 大 面 积 与 原 三 角 形 面 积 的 比 值 为 .解 析 ： 【 探 索 发 现 】 ： 由 中 位 线 知 EF= 12 BC， ED= 12 AB， 由 12FE
36、DBABCS EF DES AB BCV gg矩 形 可 得 .答 案 ： 【 探 索 发 现 】 EF、 ED 为 ABC中 位 线 ， ED AB， EF BC， EF= 12 BC， ED= 12 AB，又 B=90 ， 四 边 形 FEDB 是 矩 形 ， 则 1 1 12 21 1 22 2FEDBABC BC ABS EF DES AB BC AB BC V ggg g矩 形 ，故 答 案 为 ： 12 .【 拓 展 应 用 】 如 图 ， 在 ABC中 ， BC=a， BC边 上 的 高 AD=h， 矩 形 PQMN的 顶 点 P、 N 分 别 在 边 AB、 AC上 ，顶 点
37、Q、 M 在 边 BC 上 ， 则 矩 形 PQMN面 积 的 最 大 值 为 .(用 含 a， h 的 代 数 式 表 示 )解 析 ： 【 拓 展 应 用 】 ： 由 APN ABC 知 PN AEBC AD ， 可 得 aPN a PQh ， 设 PQ=x， 由22 4PQMN a h ahS PQ PN xh g矩 形 ， 据 此 可 得 .答 案 ： 【 拓 展 应 用 】 PN BC， APN ABC， PN AEBC AD ， 即 PN h PQa h ， aPN a PQh ，设 PQ=x，则 22 2 4PQMN a a a h ahS PQ PN x a x x ax xh
38、 h h g矩 形 ， 当 2hPQ 时 ， S 矩 形 PQMN最 大 值 为 4ah .故 答 案 为 ： 4ah .【 灵 活 应 用 】如 图 ， 有 一 块 “ 缺 角 矩 形 ” ABCDE， AB=32， BC=40， AE=20， CD=16， 小 明 从 中 剪 出 了 一 个 面 积 最 大 的 矩 形 ( B为 所 剪 出 矩 形 的 内 角 )， 求 该 矩 形 的 面 积 .解 析 ：【 灵 活 应 用 】 ： 添 加 如 图 1 辅 助 线 ， 取 BF 中 点 I， FG的 中 点 K， 由 矩 形 性 质 知 AE=EH=20、CD=DH=16， 分 别 证 A
39、EF HED、 CDG HDE得 AF=DH=16、 CG=HE=20， 从 而 判 断 出 中 位线 IK 的 两 端 点 在 线 段 AB和 DE上 ， 利 用 【 探 索 发 现 】 结 论 解 答 即 可 .答 案 ： 【 灵 活 应 用 】如 图 1， 延 长 BA、 DE交 于 点 F， 延 长 BC、 ED交 于 点 G， 延 长 AE、 CD 交 于 点 H， 取 BF中 点 I，FG的 中 点 K， 由 题 意 知 四 边 形 ABCH是 矩 形 ， AB=32， BC=40， AE=20， CD=16， EH=20、 DH=16， AE=EH、 CD=DH，在 AEF和 H
40、ED中 ，FAE DHEAE AHAEF HED ， AEF HED(ASA)， AF=DH=16，同 理 CDG HDE， CG=HE=20， 242AB AFBI ， BI=24 32， 中 位 线 IK的 两 端 点 在 线 段 AB 和 DE 上 ，过 点 K作 KL BC于 点 L，由 【 探 索 发 现 】 知 矩 形 的 最 大 面 积 为 12 BG BF= 12 (40+20) (32+16)=720，答 ： 该 矩 形 的 面 积 为 720.【 实 际 应 用 】如 图 ， 现 有 一 块 四 边 形 的 木 板 余 料 ABCD， 经 测 量 AB=50cm， BC=1
41、08cm， CD=60cm， 且tanB=tanC= ， 木 匠 徐 师 傅 从 这 块 余 料 中 裁 出 了 顶 点 M、 N 在 边 BC上 且 面 积 最 大 的 矩 形PQMN， 求 该 矩 形 的 面 积 .解 析 ： 【 实 际 应 用 】 ： 延 长 BA、 CD交 于 点 E， 过 点 E作 EH BC 于 点 H， 由 tanB=tanC知 EB=EC、BH=CH=54， EH= 43 BH=72， 继 而 求 得 BE=CE=90， 可 判 断 中 位 线 PQ的 两 端 点 在 线 段 AB、 CD上 ， 利 用 【 拓 展 应 用 】 结 论 解 答 可 得 .答 案
42、 ： 【 实 际 应 用 】如 图 2， 延 长 BA、 CD交 于 点 E， 过 点 E作 EH BC于 点 H， tanB=tanC= 43 ， B= C， EB=EC， BC=108cm， 且 EH BC， BH=CH= 12 BC=54cm， 4tan 3EHB BH ， 4 4 54 723 3EH BH cm，在 Rt BHE中 ， 2 2 90BE EH BH cm， AB=50cm， AE=40cm， BE 的 中 点 Q 在 线 段 AB上 ， CD=60cm， ED=30cm， CE 的 中 点 P 在 线 段 CD上 ， 中 位 线 PQ的 两 端 点 在 线 段 AB、
43、 CD 上 ，由 【 拓 展 应 用 】 知 ， 矩 形 PQMN的 最 大 面 积 为 14 BC EH=1944cm2，答 ： 该 矩 形 的 面 积 为 1944cm2.27.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 直 线 2 21y x 与 x 轴 交 于 点 A， 与 y 轴 交 于 点 C， 抛 物线 212y x bx c 经 过 A、 C 两 点 ， 与 x 轴 的 另 一 交 点 为 点 B. (1)求 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 .解 析 ： (1)根 据 题 意 得 到 A(-4， 0)， C(0， 2)代 入 212y x bx c ， 于 是 得
44、到 结 论 .答 案 ： (1)根 据 题 意 得 A(-4， 0)， C(0， 2)， 抛 物 线 212y x bx c 经 过 A、 C 两 点 ， 0 62 12 1 4b cc ， 22 3bc ， 2 21 32 2y x x .(2)点 D 为 直 线 AC 上 方 抛 物 线 上 一 动 点 . 连 接 BC、 CD， 设 直 线 BD交 线 段 AC于 点 E， CDE的 面 积 为 S 1， BCE的 面 积 为 S2， 求 12SS的 最 大 值 . 过 点 D 作 DF AC， 垂 足 为 点 F， 连 接 CD， 是 否 存 在 点 D， 使 得 CDF中 的 某 个
45、 角 恰 好 等 于 BAC的 2倍 ？ 若 存 在 ， 求 点 D 的 横 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (2) 如 图 ， 令 y=0， 解 方 程 得 到 x1=-4， x2=1， 求 得 B(1， 0)， 过 D 作 DM x 轴 于 M，过 B 作 BN x 轴 交 于 AC 于 N， 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 即 可 得 到 结 论 . 根 据 勾 股 定 理 的 逆 定 理 得 到 ABC是 以 ACB为 直 角 的 直 角 三 角 形 ， 取 AB 的 中 点 P， 求 得P( 32 ， 0)， 得 到 PA=PC=PB= 52
46、 ， 过 D 作 x 轴 的 平 行 线 交 y轴 于 R， 交 AC的 延 线 于 G， 情 况一 ： 如 图 ， DCF=2 BAC= DGC+ CDG， 情 况 二 ， FDC=2 BAC， 解 直 角 三 角 形 即 可 得 到 结论 .答 案 ： (2) 如 图 ， 令 y=0， 21 32 2 2 0 x x ， x1=-4， x2=1， B(1， 0)，过 D 作 DM x 轴 于 M， 过 B 作 BN x 轴 交 于 AC 于 N， DM BN， DME BNE， 12S DE DMS BE BN ，设 D(a， 21 32 22a a )， M(a， 12 a+2)， B(
47、1.0)， N(1， 52 )， 2 212 12 2 1 425 5 52a aS DM aS BN ； 当 a=2时 ， 12SS 的 最 大 值 是 45 . A(-4， 0)， B(1， 0)， C(0， 2)， AC=2 5 ， BC= 5 ， AB=5， AC2+BC2=AB2， ABC是 以 ACB 为 直 角 的 直 角 三 角 形 ， 取 AB的 中 点 P， P( 32 ， 0)， PA=PC=PB= 52 ， CPO=2 BAC， tan CPO=tan(2 BAC)= 43 ，过 D 作 x 轴 的 平 行 线 交 y轴 于 R， 交 AC的 延 长 线 于 G， 情
48、况 一 ： 如 图 ， DCF=2 BAC= DGC+ CDG， CDG= BAC， tan CDG=tan BAC= 12 ，即 12RCDR ，令 D(a， 21 32 22a a )， DR=-a， 21 32 2RC a a ， 21 3 12 2 2a aa ， a1=0(舍 去 )， a2=-2， xD=-2.情 况 二 ， FDC=2 BAC， tan FDC= 43 ，设 FC=4k， DF=3k， DC=5k， tan 123kDGC FG ， FG=6k， CG=2k， DG=3 5 k， RC= 2 55 k， RG= 4 55 k，4 53 5 115 55DR k k k ， 5511 5 1 32 5 2 2kDR aRC a ak ， a1=0(舍 去 )， a2= 2911 ， xD= 2911 .综 上 所 述 ， 点 D的 横 坐 标 为 -2或 2911 .
