1、2017年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 山 东 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 题 共 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.设 函 数 24y x 的 定 义 域 为 A， 函 数 y=ln(1-x)的 定 义 域 为 B， 则 A B=( )A.(1， 2)B.(1， 2C.(-2， 1)D.-2， 1)解 析 ： 由 4-x2 0， 解 得 ： -2 x 2， 则 函 数 24y x 的 定 义 域 -2， 2，由 对
2、数 函 数 的 定 义 域 可 知 ： 1-x 0， 解 得 ： x 1， 则 函 数 y=ln(1-x)的 定 义 域 (- ， 1)， 则 A B=-2， 1).答 案 ： D.2.已 知 a R， i是 虚 数 单 位 ， 若 z=a+3i， z z =4， 则 a=( )A.1或 -1B. 7 或 7C. 3D. 3 解 析 ： 由 3z a i ， 则 z 的 共 轭 复 数 3z a i ，由 23 3 3 4z z a i a i a ， 则 a2=1， 解 得 ： a= 1， a 的 值 为 1 或 -1.答 案 ： A.3.已 知 命 题 p： x 0， ln(x+1) 0；
3、 命 题 q： 若 a b， 则 a2 b2， 下 列 命 题 为 真 命 题 的 是( )A.p qB.p qC. p qD. p q 解 析 ： 命 题 p： x 0， ln(x+1) 0， 则 命 题 p 为 真 命 题 ， 则 p 为 假 命 题 ；取 a=-1， b=-2， a b， 但 a2 b2， 则 命 题 q是 假 命 题 ， 则 q是 真 命 题 . p q是 假 命 题 ， p q 是 真 命 题 ， p q 是 假 命 题 ， p q是 假 命 题 .答 案 ： B. 4.已 知 x， y 满 足 约 束 条 件 3 03 5 03 0 x yx yx ， 则 z=x+
4、2y 的 最 大 值 是 ( )A.0B.2C.5D.6解 析 ： 画 出 约 束 条 件 3 03 5 03 0 x yx yx 表 示 的 平 面 区 域 ， 如 图 所 示 ； 由 3 03 5 0 xx y 解 得 A(-3， 4)，此 时 直 线 1 12 2y x z 在 y 轴 上 的 截 距 最 大 ，所 以 目 标 函 数 z=x+2y的 最 大 值 为 zmax=-3+2 4=5.答 案 ： C.5.为 了 研 究 某 班 学 生 的 脚 长 x(单 位 ： 厘 米 )和 身 高 y(单 位 ： 厘 米 )的 关 系 ， 从 该 班 随 机 抽 取10 名 学 生 ， 根
5、据 测 量 数 据 的 散 点 图 可 以 看 出 y 与 x 之 间 有 线 性 相 关 关 系 ， 设 其 回 归 直 线 方程 为 y bx a ， 已 知 10 101 1225 1600 4i ii ix y b ， ， ， 该 班 某 学 生 的 脚 长 为 24， 据 此 估 计其 身 高 为 ( ) A.160B.163C.166D.170解 析 ： 由 线 性 回 归 方 程 为 4y x a ， 则 10 101 11 1225 16010 10i ii ix x y y ， ，则 数 据 的 样 本 中 心 点 (22.5， 160)，由 回 归 直 线 方 程 样 本
6、中 心 点 ， 则 4 160 4 22.5 70a y x ， 回 归 直 线 方 程 为 4 70y x ，当 x=24时 ， 4 24 70 166y ，则 估 计 其 身 高 为 166.答 案 ： C. 6.执 行 两 次 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 第 一 次 输 入 的 x 值 为 7， 第 二 次 输 入 的 x 值 为 9， 则 第一 次 ， 第 二 次 输 出 的 a 值 分 别 为 ( ) A.0， 0B.1， 1C.0， 1D.1， 0解 析 ： 当 输 入 的 x 值 为 7时 ，第 一 次 ， 不 满 足 b2 x， 也 不 满 足 x 能 被 b
7、整 数 ， 故 b=3；第 二 次 ， 满 足 b2 x， 故 输 出 a=1；当 输 入 的 x值 为 9 时 ，第 一 次 ， 不 满 足 b 2 x， 也 不 满 足 x 能 被 b 整 数 ， 故 b=3；第 二 次 ， 不 满 足 b2 x， 满 足 x 能 被 b 整 数 ， 故 输 出 a=0.答 案 ： D 7.若 a b 0， 且 ab=1， 则 下 列 不 等 式 成 立 的 是 ( )A. 21 log2aba a bb B. 2 1log2ab a b a b C. 21 log 2aba a bb D. 2 1log 2aba b a b 解 析 ： a b 0， 且
8、 ab=1， 可 取 a=2， 12b . 则 2 2 2211 1 1 524 log log 2 log 1 22 2 8 2 2aba a bb ， ， ， ， 2 1log2ab a b a b .答 案 ： B.8.从 分 别 标 有 1， 2， ， 9 的 9 张 卡 片 中 不 放 回 地 随 机 抽 取 2次 ， 每 次 抽 取 1张 ， 则 抽 到 在2张 卡 片 上 的 数 奇 偶 性 不 同 的 概 率 是 ( )A. 518B. 49 C. 59D. 79解 析 ： 从 分 别 标 有 1， 2， ， 9 的 9张 卡 片 中 不 放 回 地 随 机 抽 取 2次 ，
9、共 有 29 36C 种 不 同情 况 ，且 这 些 情 况 是 等 可 能 发 生 的 ，抽 到 在 2 张 卡 片 上 的 数 奇 偶 性 不 同 的 情 况 有 1 15 4 20C C 种 ，故 抽 到 在 2张 卡 片 上 的 数 奇 偶 性 不 同 的 概 率 20 536 9P .答 案 ： C. 9.在 ABC 中 ， 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 若 ABC 为 锐 角 三 角 形 ， 且 满 足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC， 则 下 列 等 式 成 立 的 是 ( )A.a=2b B.b=2aC.A=2BD
10、.B=2A解 析 ： 在 ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 满 足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin(A+C)=sinAcosC+sinB，可 得 ： 2sinBcosC=sinAcosC， 因 为 ABC为 锐 角 三 角 形 ， 所 以 2sinB=sinA，由 正 弦 定 理 可 得 ： 2b=a.答 案 ： A.10.已 知 当 x 0， 1时 ， 函 数 y=(mx-1) 2的 图 象 与 y x m 的 图 象 有 且 只 有 一 个 交 点 ，则 正 实 数 m的 取 值
11、 范 围 是 ( )A.(0， 1 2 3 ， + )B.(0， 1 3， + )C.(0， 2 ) 2 3 ， + )D.(0， 2 3， + )解 析 ： 根 据 题 意 ， 由 于 m 为 正 数 ， y=(mx-1) 2为 二 次 函 数 ， 在 区 间 (0， 1m )为 减 函 数 ， ( 1m ，+ )为 增 函 数 ，函 数 y x m 为 增 函 数 ，分 2 种 情 况 讨 论 ： 、 当 0 m 1时 ， 有 1m 1，在 区 间 0， 1上 ， y=(mx-1) 2为 减 函 数 ， 且 其 值 域 为 (m-1)2， 1，函 数 y x m 为 增 函 数 ， 其 值
12、 域 为 m， 1+m，此 时 两 个 函 数 的 图 象 有 1个 交 点 ， 符 合 题 意 ； 、 当 m 1 时 ， 有 1m 1，y=(mx-1) 2在 区 间 (0， 1m )为 减 函 数 ， ( 1m ， 1)为 增 函 数 ，函 数 y x m 为 增 函 数 ， 其 值 域 为 m， 1+m，若 两 个 函 数 的 图 象 有 1 个 交 点 ， 则 有 (m-1)2 1+m，解 可 得 m 0 或 m 3，又 由 m为 正 数 ， 则 m 3；综 合 可 得 ： m 的 取 值 范 围 是 (0， 1 3， + ).答 案 ： B.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共
13、5小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25 分 11.已 知 (1+3x)n的 展 开 式 中 含 有 x2的 系 数 是 54， 则 n=_.解 析 ： (1+3x)n的 展 开 式 中 通 项 公 式 ： 1 3 3rr r r rr n nT C x C x . 含 有 x2的 系 数 是 54， r=2. 2 23 54nC ， 可 得 2 6nC ， 1 62n n ， n N*.解 得 n=4.答 案 ： 4.12.已 知 1 2e e， 是 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 ， 若 1 23e e 与 1 2e e 的 夹 角 为 60 ， 则 实 数 的值 是 _. 解
14、析 ： 1 2e e， 是 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 ， 1 2 1e e ， 且 1 2 0e e ；又 1 23e e 与 1 2e e 的 夹 角 为 60 ， 1 2 1 2 1 2 1 23 3 c| | os60e e e e e e e e ，即 2 2 2 2 2 221 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 13 3 1 3 2 3 2 2e e e e e e e e e e e e ，化 简 得 2 13 3 1 1 2 ， 即 23 1 ，解 得 = 33 .答 案 ： 33 .13.由 一 个 长 方 体 和 两 个 14 圆 柱 体 构 成 的 几
15、何 体 的 三 视 图 如 图 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 _. 解 析 ： 由 长 方 体 长 为 2， 宽 为 1， 高 为 1， 则 长 方 体 的 体 积 V1=2 1 1=2，圆 柱 的 底 面 半 径 为 1， 高 为 1， 则 圆 柱 的 体 积 22 1 1 14 4V ，则 该 几 何 体 的 体 积 1 12 2 2V V V .答 案 ： 2 2 .14.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 双 曲 线 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)的 右 支 与 焦 点 为 F 的 抛 物 线x 2=2py(p 0)交 于 A， B 两 点 ，
16、若 |AF|+|BF|=4|OF|， 则 该 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 _.解 析 ： 把 x2=2py(p 0)代 入 双 曲 线 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)，可 得 ： a2y2-2pb2y+a2b2=0， 222A B pby y a ， |AF|+|BF|=4|OF|， 2 42 2A B p py y ， 222pb pa ， 22ba . 该 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 ： 22y x .答 案 ： 22y x .15.若 函 数 e xf(x)(e 2.71828 是 自 然 对 数 的 底 数 )在 f(x)的 定 义 域 上
17、单 调 递 增 ， 则 称 函 数 f(x)具 有 M性 质 .下 列 函 数 中 所 有 具 有 M 性 质 的 函 数 的 序 号 为 _. f(x)=2-x f(x)=3-x f(x)=x3 f(x)=x2+2.解 析 ： 对 于 ， f(x)=2-x， 则 2 2 xx x x eg x e f x e 为 实 数 集 上 的 增 函 数 ；对 于 ， f(x)=3-x， 则 3 3 xx x x eg x e f x e 为 实 数 集 上 的 减 函 数 ；对 于 ， f(x)=x 3， 则 g(x)=exf(x)=ex x3，g (x)=ex x3+3ex x2=ex(x3+3x
18、2)=ex x2(x+3)， 当 x -3时 ， g (x) 0， g(x)=exf(x)在 定 义 域 R上 先 减 后 增 ；对 于 ， f(x)=x2+2， 则 g(x)=exf(x)=ex(x2+2)，g (x)=ex(x2+2)+2xex=ex(x2+2x+2) 0 在 实 数 集 R 上 恒 成 立 ， g(x)=exf(x)在 定 义 域 R上 是 增 函 数 . 具 有 M 性 质 的 函 数 的 序 号 为 .答 案 ： .三 、 解 答 题16.设 函 数 sin sin6 2f x x x ， 其 中 0 3， 已 知 06f . ( )求 ；( )将 函 数 y=f(x
19、)的 图 象 上 各 点 的 横 坐 标 伸 长 为 原 来 的 2 倍 (纵 坐 标 不 变 )， 再 将 得 到 的 图象 向 左 平 移 4 个 单 位 ， 得 到 函 数 y=g(x)的 图 象 ， 求 g(x)在 34 4 ， 上 的 最 小 值 .解 析 ： ( )利 用 三 角 恒 等 变 换 化 函 数 f(x)为 正 弦 型 函 数 ， 根 据 06f 求 出 的 值 ；( )写 出 f(x)解 析 式 ， 利 用 平 移 法 则 写 出 g(x)的 解 析 式 ， 求 出 x 34 4 ， 时 g(x)的 最小 值 .答 案 ： ( )函 数 sin sin6 2f x x
20、 x = sin cos cos sin sin6 6 2x x x = 3 3sin cos2 2x x = 3 sin 3x ， 又 3 sin 06 6 3f ， 6 3 k ， k Z，解 得 =6k+2，又 0 3， =2；( )由 ( )知 ， 3 sin 2 3f x x ，将 函 数 y=f(x)的 图 象 上 各 点 的 横 坐 标 伸 长 为 原 来 的 2 倍 (纵 坐 标 不 变 )， 得 到 函 数3 sin 3y x 的 图 象 ； 再 将 得 到 的 图 象 向 左 平 移 4 个 单 位 ， 得 到 3 sin 4 3y x 的 图 象 ， 函 数 3 sin
21、12y g x x ；当 34 4x ， 时 ， 212 3 3x ， ， 3sin 11 2 2 x ， ， 当 x=- 4 时 ， g(x)取 得 最 小 值 是 3 332 2 . 17.如 图 ， 几 何 体 是 圆 柱 的 一 部 分 ， 它 是 由 矩 形 ABCD(及 其 内 部 )以 AB 边 所 在 直 线 为 旋 转 轴旋 转 120 得 到 的 ， G 是 DF 的 中 点 .( )设 P 是 CE上 的 一 点 ， 且 AP BE， 求 CBP 的 大 小 ；( )当 AB=3， AD=2 时 ， 求 二 面 角 E-AG-C 的 大 小 . 解 析 ： ( )由 已
22、知 利 用 线 面 垂 直 的 判 定 可 得 BE 平 面 ABP， 得 到 BE BP， 结 合 EBC=120 求 得 CBP=30 ；( )法 一 、 取 EC的 中 点 H， 连 接 EH， GH， CH， 可 得 四 边 形 BEGH为 菱 形 ， 取 AG中 点 M， 连接 EM， CM， EC， 得 到 EM AG， CM AG， 说 明 EMC为 所 求 二 面 角 的 平 面 角 .求 解 三 角 形 得 二面 角 E-AG-C的 大 小 .法 二 、 以 B 为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 BE， BP， BA 所 在 直 线 为 x， y， z 轴 建 立 空 间
23、直 角 坐 标 系 .求 出 A， E， G， C的 坐 标 ， 进 一 步 求 出 平 面 AEG 与 平 面 ACG的 一 个 法 向 量 ， 由 两 法 向 量 所 成角 的 余 弦 值 可 得 二 面 角 E-AG-C的 大 小 .答 案 ： ( ) AP BE， AB BE， 且 AB， AP?平 面 ABP， AB AP=A， BE 平 面 ABP， 又 BP?平 面 ABP， BE BP， 又 EBC=120 ，因 此 CBP=30 ；( )解 法 一 、 取 EC 的 中 点 H， 连 接 EH， GH， CH， EBC=120 ， 四 边 形 BECH为 菱 形 ， 2 23
24、 2 13AE GE AC GC .取 AG 中 点 M， 连 接 EM， CM， EC， 则 EM AG， CM AG， EMC为 所 求 二 面 角 的 平 面 角 .又 AM=1， 13 1 2 3EM CM .在 BEC中 ， 由 于 EBC=120 ，由 余 弦 定 理 得 ： EC2=22+22-2 2 2 cos120 =12， 2 3EC ， 因 此 EMC为 等 边 三 角 形 ，故 所 求 的 角 为 60 .解 法 二 、 以 B 为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 BE， BP， BA所 在 直 线 为 x， y， z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 . 由 题
25、 意 得 ： A(0， 0， 3)， E(2， 0， 0)， G(1， 3 ， 3)， C(-1， 3 ， 0)，故 2 0 3 1 3 0 2 0 3AE AG CG ， ， ， ， ， ， ， ， .设 1 1 1m x y z ， ， 为 平 面 AEG的 一 个 法 向 量 ，由 00m AEm AG ， 得 1 11 12 3 03 0 x zx y ， 取 z 1=2， 得 3 3 2m ， ， ；设 2 2 2n x y z ， ， 为 平 面 ACG 的 一 个 法 向 量 ，由 00n AGn CG ， 可 得 2 22 23 02 3 0 x yx z ， 取 z2=-2，
26、 得 3 - 3 - 2n ， ， . 1cos 2m nmn m n ， . 二 面 角 E-AG-C的 大 小 为 60 .18.在 心 理 学 研 究 中 ， 常 采 用 对 比 试 验 的 方 法 评 价 不 同 心 理 暗 示 对 人 的 影 响 ， 具 体 方 法 如 下 ： 将 参 加 试 验 的 志 愿 者 随 机 分 成 两 组 ， 一 组 接 受 甲 种 心 理 暗 示 ， 另 一 组 接 受 乙 种 心 理 暗 示 ， 通过 对 比 这 两 组 志 愿 者 接 受 心 理 暗 示 后 的 结 果 来 评 价 两 种 心 理 暗 示 的 作 用 ， 现 有 6名 男 志 愿
27、 者A1， A2， A3， A4， A5， A6和 4 名 女 志 愿 者 B1， B2， B3， B4， 从 中 随 机 抽 取 5 人 接 受 甲 种 心 理 暗 示 ，另 5 人 接 受 乙 种 心 理 暗 示 .( )求 接 受 甲 种 心 理 暗 示 的 志 愿 者 中 包 含 A1但 不 包 含 B1的 概 率 .( )用 X 表 示 接 受 乙 种 心 理 暗 示 的 女 志 愿 者 人 数 ， 求 X 的 分 布 列 与 数 学 期 望 EX.解 析 ： (1)利 用 组 合 数 公 式 计 算 概 率 ；(2)使 用 超 几 何 分 布 的 概 率 公 式 计 算 概 率 ，
28、 得 出 分 布 列 ， 再 计 算 数 学 期 望 .答 案 ： (I)记 接 受 甲 种 心 理 暗 示 的 志 愿 者 中 包 含 A 1但 不 包 含 B1的 事 件 为 M，则 48510 518CP M C .(II)X的 可 能 取 值 为 ： 0， 1， 2， 3， 4， 56510 10 42CP X C ， 4 16 4510 51 21C CP X C ， 3 26 4510 102 21C CP X C ， 2 36 4510 53 21C CP X C ， 1 4 56 4 10 14 42P X C C C . X 的 分 布 列 为X 0 1 2 3 4P 142
29、 521 1021 521 142 X的 数 学 期 望 1 5 10 5 10 1 2 3 4 242 21 21 21 42EX .19.已 知 xn是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ， 且 x1+x2=3， x3-x2=2.( )求 数 列 xn的 通 项 公 式 ；( )如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 依 次 连 接 点 P1(x1， 1)， P2(x2， 2) Pn+1(xn+1， n+1)得到 折 线 P1 P2 Pn+1， 求 由 该 折 线 与 直 线 y=0， x=x1， x=xn+1所 围 成 的 区 域 的 面 积 Tn. 解 析
30、： (I)列 方 程 组 求 出 首 项 和 公 比 即 可 得 出 通 项 公 式 ；(II)从 各 点 向 x轴 作 垂 线 ， 求 出 梯 形 的 面 积 的 通 项 公 式 ， 利 用 错 位 相 减 法 求 和 即 可 .【 解 答 】 解 ： (I)设 数 列 xn的 公 比 为 q， 则 q 0，由 题 意 得 1 121 1 3 2x x qx q x q ，两 式 相 比 得 ： 21 32qq q ， 解 得 q=2或 13q (舍 )， x 1=1， xn=2n-1.(II)过 P1， P2， P3， ， Pn向 x轴 作 垂 线 ， 垂 足 为 Q1， Q2， Q3，
31、， Qn，记 梯 形 PnPn+1Qn+1Qn的 面 积 为 bn，则 1 21 2 2 1 22 n nn n nb n ， Tn=3 2-1+5 20+7 21+ +(2n+1) 2n-2， 2Tn=3 20+5 21+7 22+ +(2n+1) 2n-1， - 得 ： -Tn=32+(2+22+ +2n-1)-(2n+1) 2n-1= 1 1 12 1 23 12 1 2 1 2 22 1 2 2n n nn n . 2 1 2 12 nn nT .20.已 知 函 数 f(x)=x 2+2cosx， g(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)， 其 中 e 2.17828 是 自
32、然 对 数 的底 数 .( )求 曲 线 y=f(x)在 点 ( ， f( )处 的 切 线 方 程 ；( )令 h(x)=g(x)-af(x)(a R)， 讨 论 h(x)的 单 调 性 并 判 断 有 无 极 值 ， 有 极 值 时 求 出 极 值 .解 析 ： (I)f( )= 2-2.f (x)=2x-2sinx， 可 得 f ( )=2 即 为 切 线 的 斜 率 ， 利 用 点 斜 式即 可 得 出 切 线 方 程 .(II)h(x)=g(x)-a f(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx) ， 可 得 h (x)=2(x-sinx)(e x-a)=2(
33、x-sinx)(ex-elna).令 u(x)=x-sinx， 则 u (x)=1-cosx 0， 可 得 函数 u(x)在 R上 单 调 递 增 .由 u(0)=0， 可 得 x 0 时 ， u(x) 0； x 0 时 ， u(x) 0.对 a 分 类 讨 论 ： a 0 时 ， 0 a 1 时 ， 当 a=1 时 ， a 1 时 ， 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 极值 即 可 得 出 .答 案 ： (I)f( )= 2-2.f (x)=2x-2sinx， f ( )=2 . 曲 线 y=f(x)在 点 ( ， f( )处 的 切 线 方 程 为 ： y-( 2-2)=2
34、(x- ).化 为 ： 2 x-y- 2-2=0.(II)h(x)=g (x)-a f(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx)h (x)=ex(cosx-sinx+2x-2)+ex(-sinx-cosx+2)-a(2x-2sinx)=2(x-sinx)(ex-a)=2(x-sinx)(ex-elna).令 u(x)=x-sinx， 则 u (x)=1-cosx 0， 函 数 u(x)在 R上 单 调 递 增 . u(0)=0， x 0 时 ， u(x) 0； x 0时 ， u(x) 0.(1)a 0 时 ， ex-a 0， x 0 时 ， h (x) 0， 函 数
35、h(x)在 (0， + )单 调 递 增 ；x 0 时 ， h (x) 0， 函 数 h(x)在 (- ， 0)单 调 递 减 . x=0时 ， 函 数 h(x)取 得 极 小 值 ， h(0)=-1-2a.(2)a 0 时 ， 令 h (x)=2(x-sinx)(e x-elna)=0.解 得 x1=lna， x2=0. 0 a 1时 ， x (- ， lna)时 ， ex-elna 0， h (x) 0， 函 数 h(x)单 调 递 增 ；x (lna， 0)时 ， ex-elna 0， h (x) 0， 函 数 h(x)单 调 递 减 ；x (0， + )时 ， ex-elna 0， h
36、 (x) 0， 函 数 h(x)单 调 递 增 . 当 x=0时 ， 函 数 h(x)取 得 极 小 值 ， h(0)=-2a-1.当 x=lna 时 ， 函 数 h(x)取 得 极 大 值 ， h(lna)=-aln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2. 当 a=1时 ， lna=0， x R 时 ， h (x) 0， 函 数 h(x)在 R 上 单 调 递 增 . 1 a时 ， lna 0， x (- ， 0)时 ， e x-elna 0， h (x) 0， 函 数 h(x)单 调 递 增 ；x (0， lna)时 ， ex-elna 0， h (x) 0， 函 数 h(
37、x)单 调 递 减 ；x (lna， + )时 ， ex-elna 0， h (x) 0， 函 数 h(x)单 调 递 增 . 当 x=0时 ， 函 数 h(x)取 得 极 大 值 ， h(0)=-2a-1. 当 x=lna 时 ， 函 数 h(x)取 得 极 小 值 ， h(lna)=-aln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2.综 上 所 述 ： a 0 时 ， 函 数 h(x)在 (0， + )单 调 递 增 ； x 0 时 ， 函 数 h(x)在 (- ， 0)单 调 递减 .x=0时 ， 函 数 h(x)取 得 极 小 值 ， h(0)=-1-2a.0 a 1 时
38、， 函 数 h(x)在 x (- ， lna)是 单 调 递 增 ； 函 数 h(x)在 x (lna， 0)上 单 调 递 减 .当 x=0 时 ， 函 数 h(x)取 得 极 小 值 ， h(0)=-2a-1.当 x=lna 时 ， 函 数 h(x)取 得 极 大 值 ，h(lna)=-aln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2.当 a=1时 ， lna=0， 函 数 h(x)在 R上 单 调 递 增 .a 1 时 ， 函 数 h(x)在 (- ， 0)， (lna， + )上 单 调 递 增 ； 函 数 h(x)在 (0， lna)上 单 调 递 减 .当 x=0 时
39、， 函 数 h(x)取 得 极 大 值 ， h(0)=-2a-1.当 x=lna 时 ， 函 数 h(x)取 得 极 小 值 ，h(lna)=-aln 2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2.21.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 椭 圆 E： 2 22 2 1x ya b (a b 0)的 离 心 率 为 22 ， 焦 距为 2.( )求 椭 圆 E 的 方 程 ；( )如 图 ， 动 直 线 l： 1 32y k x 交 椭 圆 E于 A， B 两 点 ， C 是 椭 圆 E上 的 一 点 ， 直 线 OC的 斜 率 为 k2， 且 1 2 24k k
40、 ， M 是 线 段 OC 延 长 线 上 一 点 ， 且 |MC|： |AB|=2： 3， M的 半 径 为 |MC|， OS， OT是 M的 两 条 切 线 ， 切 点 分 别 为 S， T， 求 SOT的 最 大 值 ， 并 求 取 得 最 大 值时 直 线 l 的 斜 率 .解 析 ： ( )由 题 意 得 关 于 a， b， c的 方 程 组 ， 求 解 方 程 组 得 a， b 的 值 ， 则 椭 圆 方 程 可 求 ； ( )设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 联 立 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 ， 利 用 根 与 系 数 的 关 系 求 得 A， B 的横
41、坐 标 的 和 与 积 ， 由 弦 长 公 式 求 得 |AB| ， 由 题 意 可 知 圆 M 的 半 径 r ， 则2 21 1211 1 82 2 23 3 1 2k kr AB k .由 题 意 设 知 2 124k k .得 到 直 线 OC 的 方 程 ， 与 椭 圆 方程 联 立 ， 求 得 C 点 坐 标 ， 可 得 |OC|， 由 题 意 可 知 ， 1sin 2 1SOT r OCr OC r .转 化 为 关 于 k1的 函 数 ， 换 元 后 利 用 配 方 法 求 得 SOT 的 最 大 值 为 3 ， 取 得 最 大 值 时 直 线 l 的 斜率 为 1 22k .
42、答 案 ： ( )由 题 意 知 ， 2 2 2222 2caca b c ， 解 得 a= 2 ， b=1. 椭 圆 E 的 方 程 为 2 2 12x y ； ( )设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联 立 2 21 12 32x yy k x ， 得 2 21 14 2 4 3 1 0k x k x .由 题 意 得 =64k12+8 0. 11 2 1 22 21 12 3 12 1 2 2 1kx x x xk k ， . 2 21 121 1 2 211 1 81 2 1 2k kAB k x x k . 由 题 意 可 知 圆 M的 半 径 r为2 21 1211 1
43、 82 2 23 3 1 2k kr AB k .由 题 意 设 知 ， 1 2 24k k ， 2 124k k .因 此 直 线 OC的 方 程 为 124y xk .联 立 2 2 1 12 24x yy xk ， 得 22 21 2 21 18 11 4 1 4kx yk k ， . 因 此 ， 22 2 1211 81 4kOC x y k .由 题 意 可 知 ， 1sin 2 1SOT r OCr OC r .而 212 21 12 2 2 21 1 1 1211 81 4 1 23 241 1 8 1 4 12 23 1 2kOC k kr k k k kk .令 t=1+2k 12， 则 t 1， 1t (0， 1)，因 此 ， 2 223 3 1 3 1 12 2 21 12 1 1 1 92 2 4OC tr t t t t t .当 且 仅 当 1 12t ， 即 t=2时 等 式 成 立 ， 此 时 1 22k . 1sin 2 2SOT ， 因 此 2 6SOT . SOT的 最 大 值 为 3 . 综 上 所 述 ： SOT的 最 大 值 为 3 ， 取 得 最 大 值 时 直 线 l 的 斜 率 为 1 22k .
