1、2017年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (新 课 标 卷 )数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.已 知 集 合 A=x|x 1， B=x|3x 1， 则 ( )A.A B=x|x 0B.A B=RC.A B=x|x 1D.A B=解 析 ： 集 合 A=x|x 1， B=x|3 x 1=x|x 0， A B=x|x 0， 故 A 正 确 ， D 错 误 ；A B=x|x 1， 故 B 和 C
2、都 错 误 .答 案 ： A2.如 图 ， 正 方 形 ABCD内 的 图 形 来 自 中 国 古 代 的 太 极 图 ， 正 方 形 内 切 圆 中 的 黑 色 部 分 和 白 色部 分 关 于 正 方 形 的 中 心 成 中 心 对 称 .在 正 方 形 内 随 机 取 一 点 ， 则 此 点 取 自 黑 色 部 分 的 概 率 是( ) A. 14B. 8C. 12D. 4解 析 ： 根 据 图 象 的 对 称 性 知 ， 黑 色 部 分 为 圆 面 积 的 一 半 ， 设 圆 的 半 径 为 1， 则 正 方 形 的 边 长为 2， 则 黑 色 部 分 的 面 积 S= 2 ， 则 对
3、 应 概 率 P= 24 8 .答 案 ： B 3.设 有 下 面 四 个 命 题 ：p1： 若 复 数 z 满 足 1z R， 则 z R；p2： 若 复 数 z 满 足 z2 R， 则 z R； p3： 若 复 数 z1， z2满 足 z1z2 R， 则 z1= 2z ；p4： 若 复 数 z R， 则 z R.其 中 的 真 命 题 为 ( )A.p1， p3B.p1， p4C.p 2， p3D.p2， p4解 析 ： 若 复 数 z满 足 1z R， 则 z R， 故 命 题 p1为 真 命 题 ；p2： 复 数 z=i满 足 z2=-1 R， 则 zR， 故 命 题 p2为 假 命
4、题 ；p3： 若 复 数 z1=i， z2=2i满 足 z1z2 R， 但 z1 2z ， 故 命 题 p3为 假 命 题 ；p 4： 若 复 数 z R， 则 z =z R， 故 命 题 p4为 真 命 题 .答 案 ： B4.记 Sn为 等 差 数 列 an的 前 n项 和 .若 a4+a5=24， S6=48， 则 an的 公 差 为 ( )A.1B.2C.4D.8解 析 ： S n为 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 ， a4+a5=24， S6=48， 1 11 3 4 246 56 482a d a da d ， 解 得 a1=-2， d=4， an的 公 差 为 4.答 案
5、 ： C5.函 数 f(x)在 (- ， + )单 调 递 减 ， 且 为 奇 函 数 .若 f(1)=-1， 则 满 足 -1 f(x-2) 1 的 x的 取 值 范 围 是 ( )A.-2， 2B.-1， 1C.0， 4D.1， 3 解 析 ： 函 数 f(x)为 奇 函 数 .若 f(1)=-1， 则 f(-1)=1，又 函 数 f(x)在 (- ， + )单 调 递 减 ， -1 f(x-2) 1， f(1) f(x-2) f(-1)， -1 x-2 1， 解 得 ： x 1， 3.答 案 ： D6.(1+ 21x )(1+x) 6展 开 式 中 x2的 系 数 为 ( ) A.15B
6、.20C.30D.35解 析 ： (1+ 21x )(1+x)6展 开 式 中 ：若 (1+ 21x )=(1+x -2)提 供 常 数 项 1， 则 (1+x)6提 供 含 有 x2的 项 ， 可 得 展 开 式 中 x2的 系 数 ：若 (1+ 21x )提 供 x-2项 ， 则 (1+x)6提 供 含 有 x4的 项 ， 可 得 展 开 式 中 x2的 系 数 ：由 (1+x)6通 项 公 式 可 得 6r rC x .可 知 r=2时 ， 可 得 展 开 式 中 x2的 系 数 为 26C =15.可 知 r=4时 ， 可 得 展 开 式 中 x 2的 系 数 为 46C =15.(1
7、+ 21x )(1+x)6展 开 式 中 x2的 系 数 为 ： 15+15=30.答 案 ： C7.某 多 面 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 其 中 正 视 图 和 左 视 图 都 由 正 方 形 和 等 腰 直 角 三 角 形 组 成 ， 正方 形 的 边 长 为 2， 俯 视 图 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 该 多 面 体 的 各 个 面 中 有 若 干 个 是 梯 形 ， 这 些 梯形 的 面 积 之 和 为 ( ) A.10B.12C.14D.16解 析 ： 由 三 视 图 可 画 出 直 观 图 ， 该 立 体 图 中 只 有 两 个 相 同 的 梯 形 的 面
8、， S 梯 形 = 12 2 (2+4)=6， 这 些 梯 形 的 面 积 之 和 为 6 2=12.答 案 ： B8.如 图 程 序 框 图 是 为 了 求 出 满 足 3n-2n 1000 的 最 小 偶 数 n， 那 么 在 和 两 个 空 白 框 中 ， 可 以分 别 填 入 ( ) A.A 1000和 n=n+1B.A 1000和 n=n+2C.A 1000和 n=n+1D.A 1000和 n=n+2解 析 ： 因 为 要 求 A 1000时 输 出 ， 且 框 图 中 在 “ 否 ” 时 输 出 ， 所 以 “ ” 内 不 能 输入 “ A 1000” ，又 要 求 n为 偶 数
9、， 且 n 的 初 始 值 为 0， 所 以 “ ” 中 n 依 次 加 2 可 保 证 其 为 偶 数 ， 所以 D 选 项 满 足 要 求 .答 案 ： D 9.已 知 曲 线 C1： y=cosx， C2： y=sin(2x+ 23 )， 则 下 面 结 论 正 确 的 是 ( ) A.把 C1上 各 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 ， 纵 坐 标 不 变 ， 再 把 得 到 的 曲 线 向 右 平 移 6 个 单位 长 度 ， 得 到 曲 线 C2B.把 C1上 各 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 ， 纵 坐 标 不 变 ， 再 把 得 到 的
10、曲 线 向 左 平 移 12 个 单位 长 度 ， 得 到 曲 线 C2C.把 C1上 各 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 12 倍 ， 纵 坐 标 不 变 ， 再 把 得 到 的 曲 线 向 右 平 移 6 个 单位 长 度 ， 得 到 曲 线 C 2D.把 C1上 各 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 12 倍 ， 纵 坐 标 不 变 ， 再 把 得 到 的 曲 线 向 左 平 移 12 个 单位 长 度 ， 得 到 曲 线 C2解 析 ： 把 C1上 各 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 12 倍 ， 纵 坐 标 不 变 ， 得 到 函 数 y=cos2x
11、 图 象 ， 再把 得 到 的 曲 线 向 右 平 移 12 个 单 位 长 度 ， 得 到 函 数2cos 2 cos 2 sin 212 6( ) ( ) 3( )y x x x 的 图 象 ， 即 曲 线 C 2.答 案 ： D10.已 知 F 为 抛 物 线 C： y2=4x的 焦 点 ， 过 F 作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线 l1， l2， 直 线 l1与 C 交 于A、 B 两 点 ， 直 线 l2与 C交 于 D、 E两 点 ， 则 |AB|+|DE|的 最 小 值 为 ( )A.16B.14C.12D.10解 析 ： 如 图 ， l 1 l2， 直 线 l1与 C 交
12、 于 A、 B 两 点 ， 直 线 l2与 C 交 于 D、 E 两 点 ，要 使 |AB|+|DE|最 小 ， 则 A 与 D， B， E 关 于 x 轴 对 称 ， 即 直 线 DE 的 斜 率 为 1，又 直 线 l2过 点 (1， 0)， 则 直 线 l2的 方 程 为 y=x-1，联 立 方 程 组 2 4 1y xy x ， ， 则 y2-4y-4=0， y1+y2=4， y1y2=-4， |DE|= 1 2211 2 32y yk =8， |AB|+|DE|的 最 小 值 为 2|DE|=16.答 案 ： A11.设 x、 y、 z 为 正 数 ， 且 2x=3y=5z， 则 (
13、 )A.2x 3y 5z B.5z 2x 3yC.3y 5z 2xD.3y 2x 5z解 析 ： x、 y、 z为 正 数 ，令 2x=3y=5z=k 1.lgk 0.则 lg lg lglg 2 lg3 lg5k k kx y z ， ， ， 3 5lg lg lg3 2 5lg 3 lg 2 lg 5k k ky x z ， ， . 3 6 6 10 10 53 9 8 2 2 32 25 5 ， ， 3 5lg 3 lg 2 lg 5 0 ， 3y 2x 5z.答 案 ： D 12.几 位 大 学 生 响 应 国 家 的 创 业 号 召 ， 开 发 了 一 款 应 用 软 件 .为 激
14、发 大 家 学 习 数 学 的 兴 趣 ， 他们 推 出 了 “ 解 数 学 题 获 取 软 件 激 活 码 ” 的 活 动 .这 款 软 件 的 激 活 码 为 下 面 数 学 问 题 的 答 案 ：已 知 数 列 1， 1， 2， 1， 2， 4， 1， 2， 4， 8， 1， 2， 4， 8， 16， ， 其 中 第 一 项 是 20， 接 下来 的 两 项 是 20， 21， 再 接 下 来 的 三 项 是 20， 21， 22， 依 此 类 推 .求 满 足 如 下 条 件 的 最 小 整 数 N：N 100且 该 数 列 的 前 N 项 和 为 2 的 整 数 幂 .那 么 该 款
15、 软 件 的 激 活 码 是 ( )A.440B.330C.220D.110解 析 ： 设 该 数 列 为 a n， 设 bn= 1 11 2 12 2 nn n n na a ， (n N+)， 则 121 1n nn i ii ib a ，由 题 意 可 设 数 列 an的 前 N 项 和 为 SN， 数 列 bn的 前 n 项 和 为 Tn， 则 Tn=21-1+22-1+2n-1=2n-n-2， 可 知 当 N 为 12n n 时 (n N+)， 数 列 an的 前 N 项 和 为 数 列 bn的 前 n 项 和 ， 即 为 2n-n-2，容 易 得 到 N 100时 ， n 14，A
16、项 ， 由 29 302 =435， 440=435+5， 可 知 S440=T29+b5=230-29-2+25-1=230， 故 A项 符 合 题 意 .B 项 ， 仿 上 可 知 25 262 =325， 可 知 S330=T25+b5=226-25-2+25-1=226+4， 显 然 不 为 2 的 整 数 幂 ，故 B 项 不 符 合 题 意 .C 项 ， 仿 上 可 知 20 212 =210， 可 知 S 220=T20+b10=221-20-2+210-1=221+210-23， 显 然 不 为 2 的 整 数幂 ， 故 C 项 不 符 合 题 意 .D项 ， 仿 上 可 知
17、14 152 =105， 可 知 S110=T14+b5=215-14-2+25-1=215+15， 显 然 不 为 2 的 整 数 幂 ，故 D 项 不 符 合 题 意 .答 案 ： A二 、 填 空 题 ： 本 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5分 ， 共 20分 .13.已 知 向 量 a， b 的 夹 角 为 60 ， |a|=2， |b |=1， 则 | 2a b |= .解 析 ： 向 量 a， b 的 夹 角 为 60 ， 且 |a|=2， |b|=1， 2 22 2 22 4 4 2 4 2 1 cos60 4 1 1( 2)a b a a b b ， | |2 2 3a
18、b .答 案 ： 2 3 .14.设 x， y满 足 约 束 条 件 2 12 10 x yx yx y ， ， 则 z=3x-2y的 最 小 值 为 .解 析 ： 由 x， y 满 足 约 束 条 件 2 12 10 x yx yx y ， ， 作 出 可 行 域 如 图 ， 由 图 可 知 ， 目 标 函 数 的 最 优 解 为 A，联 立 2 121x yx y ， 解 得 A(-1， 1). z=3x-2y 的 最 小 值 为 -3 1-2 1=-5.答 案 ： -515.已 知 双 曲 线 C： 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)的 右 顶 点 为 A， 以 A 为
19、圆 心 ， b 为 半 径 作 圆 A，圆 A 与 双 曲 线 C的 一 条 渐 近 线 交 于 M、 N 两 点 .若 MAN=60 ， 则 C的 离 心 率 为 .解 析 ： 双 曲 线 C： 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)的 右 顶 点 为 A(a， 0)， 以 A 为 圆 心 ， b为 半 径 做 圆 A， 圆 A 与 双 曲 线 C 的 一 条 渐 近 线 交 于 M、 N两 点 .若 MAN=60 ， 可 得 A 到 渐 近 线 bx+ay=0的 距 离 为 ： bcos30 = 32 b，可 得 ： 2 2 32aba b b， 即 32ac ， 可 得 离
20、心 率 为 ： e= 2 33 .答 案 ： 2 3316.如 图 ， 圆 形 纸 片 的 圆 心 为 O， 半 径 为 5cm， 该 纸 片 上 的 等 边 三 角 形 ABC的 中 心 为 O.D、 E、F为 圆 O 上 的 点 ， DBC， ECA， FAB 分 别 是 以 BC， CA， AB为 底 边 的 等 腰 三 角 形 .沿 虚 线 剪 开 后 ， 分 别 以 BC， CA， AB为 折 痕 折 起 DBC， ECA， FAB， 使 得 D、 E、 F重 合 ， 得 到 三棱 锥 .当 ABC的 边 长 变 化 时 ， 所 得 三 棱 锥 体 积 (单 位 ： cm3)的 最
21、大 值 为 . 解 析 ： 由 题 意 ， 连 接 OD， 交 BC于 点 G， 由 题 意 得 OD BC， OG= 36 BC，即 OG 的 长 度 与 BC 的 长 度 成 正 比 ，设 OG=x， 则 BC=2 3 x， DG=5-x， 三 棱 锥 的 高 2 2 225 10 25 10h DG OG x x x x ，S ABC= 212 3 3 3 32x x ，则 V= 2 4 51 3 25 10 3 25 103 ABCS h x x x x ，令 f(x)=25x4-10 x5， x (0， 52 )， f (x)=100 x3-50 x4，令 f (x) 0， 即 x
22、4-2x3 0， 解 得 x 2，则 f(x) f(2)=80， V 3 80 4 15 cm3， 体 积 最 大 值 为 4 15 cm3.答 案 ： 4 15cm3三 、 解 答 题 ： 共 70 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .第 17 21题 为 必 考 题 ，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答 .第 22、 23 题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据 要 求 作 答 .17. ABC的 内 角 A， B， C的 对 边 分 别 为 a， b， c， 已 知 ABC的 面 积 为 23sina A . (1)求 sinBsi
23、nC； (2)若 6cosBcosC=1， a=3， 求 ABC的 周 长 .解 析 ： (1)根 据 三 角 形 面 积 公 式 和 正 弦 定 理 可 得 答 案 ，(2)根 据 两 角 余 弦 公 式 可 得 cosA= 12 ， 即 可 求 出 A= 3 ， 再 根 据 正 弦 定 理 可 得 bc=8， 根 据 余弦 定 理 即 可 求 出 b+c， 问 题 得 以 解 决 .答 案 ： (1)由 三 角 形 的 面 积 公 式 可 得 21 sin2 3sinABC aS ac B A ， 3csinBsinA=2a，由 正 弦 定 理 可 得 3sinCsinBsinA=2sin
24、A， sinA 0， sinBsinC= 23 ；(2) 6cosBcosC=1， cosBcosC= 16 ， cosBcosC-sinBsinC= 1 2 16 3 2 ， cos(B+C)=- 12 ， cosA= 12 ， 0 A ， A= 3 ， 32 2 3sin sin sin 32a b c RA B C ， sinBsinC= 2 22 2 12 32 3b c bc bcR R ， bc=8， a 2=b2+c2-2bccosA， b2+c2-bc=9， (b+c)2=9+3cb=9+24=33， b+c= 33 ， 周 长 a+b+c=3+ 33 .18.如 图 ， 在
25、四 棱 锥 P-ABCD 中 ， AB CD， 且 BAP= CDP=90 . (1)证 明 ： 平 面 PAB 平 面 PAD；(2)若 PA=PD=AB=DC， APD=90 ， 求 二 面 角 A-PB-C的 余 弦 值 .解 析 ： (1)推 导 出 AB PA， CD PD， 从 而 AB PD， 进 而 AB 平 面 PAD， 由 此 能 证 明 平 面 PAB 平 面 PAD.(2)由 已 知 可 得 四 边 形 ABCD为 平 行 四 边 形 ， 由 (1)知 AB 平 面 PAD， 得 到 AB AD， 则 四 边 形ABCD为 矩 形 ， 设 PA=AB=2a， 则 AD=
26、22a.取 AD中 点 O， BC中 点 E， 连 接 PO、 OE， 以 O为 坐 标原 点 ， 分 别 以 OA、 OE、 OP 所 在 直 线 为 x、 y、 z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 求 出 平 面 PBC 的 一个 法 向 量 ， 再 证 明 PD 平 面 PAB， 得 PD 为 平 面 PAB 的 一 个 法 向 量 ， 由 两 法 向 量 所 成 角 的 余弦 值 可 得 二 面 角 A-PB-C 的 余 弦 值 . 答 案 ： (1) 在 四 棱 锥 P-ABCD中 ， BAP= CDP=90 ， AB PA， CD PD，又 AB CD， AB PD，
27、PA PD=P， AB 平 面 PAD， AB平 面 PAB， 平 面 PAB 平 面 PAD.(2) AB CD， AB=CD， 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形 ，由 (1)知 AB 平 面 PAD， AB AD， 则 四 边 形 ABCD为 矩 形 ，在 APD中 ， 由 PA=PD， APD=90 ， 可 得 PAD为 等 腰 直 角 三 角 形 ，设 PA=AB=2a， 则 AD=2 2 a.取 AD 中 点 O， BC 中 点 E， 连 接 PO、 OE， 以 O为 坐 标 原 点 ， 分 别 以 OA、 OE、 OP 所 在 直 线 为 x、y、 z 轴 建 立 空
28、间 直 角 坐 标 系 ， 则 ： D(- 2 a， 0， 0)， B( 2 a， 2a， 0)， P(0， 0， 2 a)， C(- 2 a， 2a， 0).2( )0 2PD a a ， ， ， ( 2 )2 2PB a a a ， ， ， 2( )2 0 0BC a ， ， .设 平 面 PBC的 一 个 法 向 量 为 n=(x， y， z)，由 00n PBn BC ， 得 2 2 2 02 2 0ax ay azax ， 取 y=1， 得 2)1(0n ， ， . AB 平 面 PAD， AD平 面 PAD， AB AD，又 PD PA， PA AB=A， PD 平 面 PAB，
29、则 PD为 平 面 PAB的 一 个 法 向 量 ， 2( )0 2PD a a ， ， . 2 3cos 32 3PD n aPDn aPD n ， .由 图 可 知 ， 二 面 角 A-PB-C为 钝 角 ， 二 面 角 A-PB-C的 余 弦 值 为 - 33 .19.为 了 监 控 某 种 零 件 的 一 条 生 产 线 的 生 产 过 程 ， 检 验 员 每 天 从 该 生 产 线 上 随 机 抽 取 16个 零件 ， 并 测 量 其 尺 寸 (单 位 ： cm).根 据 长 期 生 产 经 验 ， 可 以 认 为 这 条 生 产 线 正 常 状 态 下 生 产 的 零 件 的 尺
30、寸 服 从 正 态 分 布 N( ， 2).(1)假 设 生 产 状 态 正 常 ， 记 X表 示 一 天 内 抽 取 的 16 个 零 件 中 其 尺 寸 在 ( -3 ， +3 )之 外的 零 件 数 ， 求 P(X 1)及 X 的 数 学 期 望 ；(2)一 天 内 抽 检 零 件 中 ， 如 果 出 现 了 尺 寸 在 ( -3 ， +3 )之 外 的 零 件 ， 就 认 为 这 条 生 产线 在 这 一 天 的 生 产 过 程 可 能 出 现 了 异 常 情 况 ， 需 对 当 天 的 生 产 过 程 进 行 检 查 .( )试 说 明 上 述 监 控 生 产 过 程 方 法 的 合
31、 理 性 ；( )下 面 是 检 验 员 在 一 天 内 抽 取 的 16 个 零 件 的 尺 寸 ： 经 计 算 得 1611 9.9716 iix x ， 16 162 221 11 1 16 0.21216 16i ii is x x x x ， 其中 xi为 抽 取 的 第 i个 零 件 的 尺 寸 ， i=1， 2， ， 16.用 样 本 平 均 数 x作 为 的 估 计 值 ， 用样 本 标 准 差 s 作 为 的 估 计 值 ， 利 用 估 计 值 判 断 是 否 需 对 当 天 的 生 产 过 程 进 行 检 查 ？ 剔除 ( 3 ， 3 )之 外 的 数 据 ， 用 剩 下
32、的 数 据 估 计 和 (精 确 到 0.01).附 ： 若 随 机 变量 Z服 从 正 态 分 布 N( ， 2)， 则 P( -3 Z +3 )=0.9974， 0.997416 0.9592， 0.008 0.09.解 析 ： (1)通 过 P(X=0)可 求 出 P(X 1)=1-P(X=0)=0.0408， 利 用 二 项 分 布 的 期 望 公 式 计 算 可得 结 论 ；(2)( )由 (1)及 知 落 在 ( -3 ， +3 )之 外 为 小 概 率 事 件 可 知 该 监 控 生 产 过 程 方 法 合 理 ；( )通 过 样 本 平 均 数 x、 样 本 标 准 差 s估
33、计 、 可 知 ( 3 ， 3 )=(9.334， 10.606)，进 而 需 剔 除 ( 3 ， 3 )之 外 的 数 据 9.22， 利 用 公 式 计 算 即 得 结 论 .答 案 ： (1)由 题 可 知 尺 寸 落 在 ( -3 ， +3 )之 内 的 概 率 为 0.9974，则 落 在 ( -3 ， +3 )之 外 的 概 率 为 1-0.9974=0.0026， 因 为 P(X=0)= 016C (1-0.9974)0 0.997416 0.9592，所 以 P(X 1)=1-P(X=0)=0.0408，又 因 为 X B(16， 0.0026)，所 以 E(X)=16 0.0
34、026=0.0416；(2)( )由 (1)知 尺 寸 落 在 ( -3 ， +3 )之 外 的 概 率 为 0.0026，由 正 态 分 布 知 尺 寸 落 在 ( -3 ， +3 )之 外 为 小 概 率 事 件 ，因 此 上 述 监 控 生 产 过 程 方 法 合 理 ；( )因 为 用 样 本 平 均 数 x作 为 的 估 计 值 ， 用 样 本 标 准 差 s 作 为 的 估 计 值 ， 且 1611 9.9716 iix x ， 16 162 221 11 1 16 0.21216 16i ii is x x x x ，所 以 3 =9.97-3 0.212=9.334， 3 =9
35、.97+3 0.212=10.606，所 以 9.22( 3 ， 3 )=(9.334， 10.606)，因 此 需 要 对 当 天 的 生 产 过 程 进 行 检 查 ， 剔 除 ( 3 ， 3 )之 外 的 数 据 9.22，则 剩 下 的 数 据 估 计 = 9.97 16 9.22 10.0215 ，将 剔 除 掉 9.22 后 剩 下 的 15个 数 据 ， 利 用 方 差 的 计 算 公 式 代 入 计 算 可 知 2 0.008， 所 以 0.09.20.已 知 椭 圆 C： 2 22 2 1x ya b (a b 0)， 四 点 P1(1， 1)， P2(0， 1)， P3(-
36、1， 32 )， P4(1， 32 )中 恰 有 三 点 在 椭 圆 C上 .(1)求 C 的 方 程 ；(2)设 直 线 l 不 经 过 P2 点 且 与 C相 交 于 A， B 两 点 .若 直 线 P 2A 与 直 线 P2B 的 斜 率 的 和 为 -1，证 明 ： l 过 定 点 .解 析 ： (1)根 据 椭 圆 的 对 称 性 ， 得 到 P2(0， 1)， P3(-1， 32 )， P4(1， 32 )三 点 在 椭 圆 C 上 .把 P2(0， 1)， P3(-1， 32 )代 入 椭 圆 C， 求 出 a2=4， b2=1， 由 此 能 求 出 椭 圆 C的 方 程 .(2
37、)当 斜 率 不 存 在 时 ， 不 满 足 ； 当 斜 率 存 在 时 ， 设 l： y=kx+b， (b 1)， 联 立 2 24 4 0y kx bx y ， ，得 (1+4k 2)x2+8kbx+4b2-4=0， 由 此 利 用 根 的 判 别 式 、 韦 达 定 理 、 直 线 方 程 ， 结 合 已 知 条 件 能证 明 直 线 l过 定 点 (2， -1).答 案 ： (1)根 据 椭 圆 的 对 称 性 ， P3(-1， 32 )， P4(1， 32 )两 点 必 在 椭 圆 C 上 ，又 P4的 横 坐 标 为 1， 椭 圆 必 不 过 P1(1， 1)， P 2(0， 1)
38、， P3(-1， 32 )， P4(1， 32 )三 点 在 椭 圆 C上 .把 P2(0， 1)， P3(-1， 32 )代 入 椭 圆 C， 得 ： 22 21 11 4 1ba b ， ， 解 得 a2=4， b2=1， 椭 圆 C 的 方 程 为 2 2 14x y .证 明 ： (2) 当 斜 率 不 存 在 时 ， 设 l： x=m， A(m， yA)， B(m， -yA)， 直 线 P2A与 直 线 P2B 的 斜 率 的 和 为 -1， 2 2 1 1 2 1A AP A P N y yk k m m m ，解 得 m=2， 此 时 l 过 椭 圆 右 顶 点 ， 不 存 在
39、两 个 交 点 ， 故 不 满 足 . 当 斜 率 存 在 时 ， 设 l： y=kx+b， (b 1)， A(x1， y1)， B(x2， y2)，联 立 2 24 4 0y kx bx y ， ， 整 理 ， 得 (1+4k 2)x2+8kbx+4b2-4=0，x1+x2= 281 4kbk ， x1x2= 2 24 41 4b k ，则 2 2 2 1 2 1 2 11 21 2 1 21 1P A P B x kx b x x kx b xy yk k x x x x 2 222 28 8 8 8 8 11 4 14 4 4 1 11 4kb k kb kb k bkb b bk ，
40、又 b 1， b=-2k-1， 此 时 =-64k， 存 在 k， 使 得 0 成 立 ， 直 线 l 的 方 程 为 y=kx-2k-1， 当 x=2时 ， y=-1， l 过 定 点 (2， -1).21.已 知 函 数 f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨 论 f(x)的 单 调 性 ；(2)若 f(x)有 两 个 零 点 ， 求 a的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)求 导 ， 根 据 导 数 与 函 数 单 调 性 的 关 系 ， 分 类 讨 论 ， 即 可 求 得 f(x)单 调 性 ；(2)由 (1)可 知 ： 当 a 0时 才 有 个 零 点 ， 根 据 函 数
41、 的 单 调 性 求 得 f(x)最 小 值 ， 由 f(x)min 0，g(a)=alna+a-1， a 0， 求 导 ， 由 g(a) min=g(e-2)=e-2lne-2+e-2-1= 21 1e ， g(1)=0， 即 可 求 得a的 取 值 范 围 .答 案 ： (1)由 f(x)=ae2x+(a-2)ex-x， 求 导 f (x)=2ae2x+(a-2)ex-1，当 a=0时 ， f (x)=2ex-1 0， 当 x R， f(x)单 调 递 减 ，当 a 0 时 ， f (x)= 1 12 1 1 2 2x x x xe ae a e e a ，令 f (x)=0， 解 得 ：
42、 x=ln 1a ，当 f (x) 0， 解 得 ： x ln 1a ， 当 f (x) 0， 解 得 ： x ln 1a ， x (- ， ln 1a )时 ， f(x)单 调 递 减 ， x (ln 1a ， + )单 调 递 增 ；当 a 0 时 ， f (x)= 1 12 2xa e ex a 0， 恒 成 立 ， 当 x R， f(x)单 调 递 减 ，综 上 可 知 ： 当 a 0 时 ， f(x)在 R 单 调 减 函 数 ，当 a 0 时 ， f(x)在 (- ， ln 1a )是 减 函 数 ， 在 (ln 1a ， + )是 增 函 数 ；(2) 若 a 0 时 ， 由 (
43、1)可 知 ： f(x)最 多 有 一 个 零 点 ，当 a 0 时 ， f(x)=ae 2x+(a-2)ex-x，当 x - 时 ， e2x 0， ex 0， 当 x - 时 ， f(x) + ，当 x ， e2x + ， 且 远 远 大 于 ex和 x， 当 x ， f(x) + ， 函 数 有 两 个 零 点 ， f(x)的 最 小 值 小 于 0 即 可 ，由 f(x)在 (- ， ln 1a )是 减 函 数 ， 在 (ln 1a ， + )是 增 函 数 ， f(x) min= 21 1 1 1ln 2 lnf aa a a a 0， 1 11 lna a 0， 即 ln 1 1
44、1a a 0，设 t=1a， 则 g(t)=lnt+t-1， (t 0)，求 导 g (t)=1t +1， 由 g(1)=0， t= 1a 1， 解 得 ： 0 a 1， a的 取 值 范 围 (0， 1).22.在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 3cossinxy ， ( 为 参 数 )， 直 线 l 的 参 数 方 程 为 41x a ty t ， (t为 参 数 )(1)若 a=-1， 求 C 与 l 的 交 点 坐 标 ；(2)若 C 上 的 点 到 l 距 离 的 最 大 值 为 17 ， 求 a.解 析 ： (1)将 曲 线 C 的 参 数
45、 方 程 化 为 标 准 方 程 ， 直 线 l的 参 数 方 程 化 为 一 般 方 程 ， 联 立 两 方程 可 以 求 得 焦 点 坐 标 ；(2)曲 线 C 上 的 点 可 以 表 示 成 P(3cos ， sin )， 0， 2 )， 运 用 点 到 直 线 距 离 公 式 可以 表 示 出 P到 直 线 l的 距 离 ， 再 结 合 距 离 最 大 值 为 17 进 行 分 析 ， 可 以 求 出 a的 值 . 答 案 ： (1)曲 线 C 的 参 数 方 程 为 3cossinxy ， ( 为 参 数 )， 化 为 标 准 方 程 是 ： 2 2 19x y ；a=-1时 ， 直
46、 线 l的 参 数 方 程 化 为 一 般 方 程 是 ： x+4y-3=0；联 立 方 程 2 2 1,9 4 3 0 x yx y ， 解 得 30 xy ， 或 21252425xy ， 所 以 椭 圆 C 和 直 线 l 的 交 点 为 (3， 0)和 ( 2125 ， 2425 ).(2)l的 参 数 方 程 41x a ty t ， (t为 参 数 )化 为 一 般 方 程 是 ： x+4y-a-4=0， 椭 圆 C上 的 任 一 点 P可 以 表 示 成 P(3cos ， sin )， 0， 2 )，所 以 点 P 到 直 线 l 的 距 离 d 为 ： 5sin 43cos 4
47、sin 417 17 aad ， 满 足 tan = 34 ，又 d 的 最 大 值 d max= 17 ， 所 以 |5sin( + )-a-4|的 最 大 值 为 17，得 ： 5-a-4=17或 -5-a-4=-17， 即 a=-16或 a=8.23.已 知 函 数 f(x)=-x2+ax+4， g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当 a=1 时 ， 求 不 等 式 f(x) g(x)的 解 集 ；(2)若 不 等 式 f(x) g(x)的 解 集 包 含 -1， 1， 求 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)当 a=1时 ， f(x)=-x 2+x+4， g(x)=|x+1
48、|+|x-1|= 2 12 1 12 1x x xx x ， ， ， ， 分 x 1、 x -1，1、 x (- ， -1)三 类 讨 论 ， 结 合 g(x)与 f(x)的 单 调 性 质 即 可 求 得 f(x) g(x)的 解 集 为 -1，17 12 ；(2)依 题 意 得 ： -x 2+ax+4 2 在 -1， 1恒 成 立 x2-ax-2 0 在 -1， 1恒 成 立 ， 只 需 2 21 1 2 01 1 2 0a a ， ， 解 之 即 可 得 a 的 取 值 范 围 .答 案 ： (1)当 a=1时 ， f(x)=-x2+x+4， 是 开 口 向 下 ， 对 称 轴 为 x= 12 的 二 次 函 数 ， g(x)=|x+1|+|x-1|= 2 12 1 12 1x x xx x ， ， ， ，当 x (1， + )时 ， 令 -x2+x+4=2x， 解 得 x= 17 12 ， g(x)在 (1， + )上 单 调 递 增 ， f(x)在 (1， + )上 单 调 递 减 ， 此 时 f(x) g(x)的 解 集 为 (1， 17 1
