1、2017年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (天 津 卷 )数 学 理一 、 选 择 题 ： 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.设 集 合 A=1， 2， 6， B=2， 4， C=x R|-1 x 5， 则 (A B) C=( )A.2B.1， 2， 4C.1， 2， 4， 5D.x R|-1 x 5解 析 ： A=1， 2， 6， B=2， 4， A B=1， 2， 4， 6，又 C=x R|-1 x 5， (A B) C=1， 2， 4. 答 案 ： B2.设 变 量 x， y 满 足 约 束
2、 条 件 2 02 2 003x yx yxy ， ， 则 目 标 函 数 z=x+y的 最 大 值 为 ( )A. 23B.1C. 32D.3 解 析 ： 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 2 02 2 003x yx yxy ， ， 的 可 行 域 如 图 ： 目 标 函 数 z=x+y结 果 可 行 域 的 A 点 时 ， 目 标 函 数 取 得 最 大 值 ， 由 30yx ， 可 得 A(0， 3)， 目 标 函 数 z=x+y 的 最 大 值 为 ： 3.答 案 ： D3.阅 读 下 面 的 程 序 框 图 ， 运 行 相 应 的 程 序 ， 若 输 入 N的 值 为 24
3、， 则 输 出 N 的 值 为 ( ) A.0B.1C.2D.3解 析 ： 第 一 次 N=24， 能 被 3 整 除 ， N= 243 =8 3不 成 立 ，第 二 次 N=8， 8 不 能 被 3 整 除 ， N=8-1=7， N=7 3不 成 立 ，第 三 次 N=7， 不 能 被 3 整 除 ， N=7-1=6， N= 63 =2 3 成 立 ，输 出 N=2，答 案 ： C 4.设 R， 则 “ | -12 | 12 ” 是 “ sin 12 ” 的 ( )A.充 分 而 不 必 要 条 件B.必 要 而 不 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件
4、解 析 ： 012 12 12 12 12| 6| ， sin 1 7 2 22 6 6k k ， k Z， 则 ( ) 70 2 26 6 6 k k ， ， ， k Z，可 得 “ 12| | 12 ” 是 “ sin 12 ” 的 充 分 不 必 要 条 件 .答 案 ： A5.已 知 双 曲 线 2 22 2 1x ya b (a 0， b 0)的 左 焦 点 为 F， 离 心 率 为 2.若 经 过 F 和 P(0， 4)两点 的 直 线 平 行 于 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 ， 则 双 曲 线 的 方 程 为 ( )A. 2 2 14 4x y B. 2 2 18 8x
5、y C. 2 2 14 8x y D. 2 2 19 4x y 解 析 ： 设 双 曲 线 的 左 焦 点 F(-c， 0)， 离 心 率 e= 2ca ， c= 2 a，则 双 曲 线 为 等 轴 双 曲 线 ， 即 a=b，双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 by x xa ， 则 经 过 F 和 P(0， 4)两 点 的 直 线 的 斜 率 4 0 40k c c ，则 4c =1， c=4， 则 a=b=2 2 ， 双 曲 线 的 标 准 方 程 ： 2 2 18 8x y .答 案 ： B6.已 知 奇 函 数 f(x)在 R上 是 增 函 数 ， g(x)=xf(x).若 a=
6、g(-log 25.1)， b=g(20.8)， c=g(3)， 则a， b， c 的 大 小 关 系 为 ( )A.a b cB.c b aC.b a cD.b c a解 析 ： 奇 函 数 f(x)在 R 上 是 增 函 数 ， 当 x 0， f(x) f(0)=0， 且 f (x) 0， g(x)=xf(x)， 则 g (x)=f(x)+xf (x) 0， g(x)在 (0， + )单 调 递 增 ， 且 g(x)=xf(x)偶 函 数 ， a=g(-log 25.1)=g(log25.1)， 则 2 -log25.1 3， 1 20.8 2， 由 g(x)在 (0， + )单 调 递
7、增 ， 则 g(20.8) g(log25.1) g(3)， b a c.答 案 ： C7.设 函 数 f(x)=2sin( x+ )， x R， 其 中 0， | | x.若 f( 58 )=2， f(118 )=0， 且f(x)的 最 小 正 周 期 大 于 2 ， 则 ( )A. 23 12 ，B. 2 113 12 ，C. 1 113 24 ， D. 1 73 24 ，解 析 ： 由 f(x)的 最 小 正 周 期 大 于 2 ， 得 4 2T ，又 f( 58 )=2， f(118 )=0， 得 11 5 34 8 8 4T ， T=3 ， 则 2 =3 ， 即 = 23 . f(x
8、)=2sin( x+ )=2sin( 23 x+ )，由 f( 58 )=2sin( 2 53 8 + )=2， 得 sin( + 512 )=1. + 512 2 +2k ， k Z.取 k=0， 得 =12 . 23 12 ， .答 案 ： A 8.已 知 函 数 f(x)= 2 3 12 1x x xx xx ， ， ， 设 a R， 若 关 于 x 的 不 等 式 f(x) | 2x +a|在 R 上 恒 成立 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 ( )A. 4716 ， 2B. 47 3916 16 ， C.-2 3 ， 2D. 392 3 16 ， 解 析 ： 当 x 1 时 ，
9、关 于 x 的 不 等 式 f(x) | 2x +a|在 R上 恒 成 立 ， 即 为 -x2+x-3 2x +a x2-x+3， 即 有 -x2+ 12 x-3 a x2- 32 x+3，由 y=-x2+ 12 x-3的 对 称 轴 为 x= 14 1， 可 得 x= 14 处 取 得 最 大 值 4716 ；由 y=x2- 32 x+3的 对 称 轴 为 x= 34 1， 可 得 x= 34 处 取 得 最 小 值 3916 ，则 47 3916 16a ，当 x 1 时 ， 关 于 x 的 不 等 式 f(x) | 2x +a|在 R 上 恒 成 立 ，即 为 2 22xx a xx x
10、 ， 即 有 3 2 22 2xx ax x ， 由 3 2 3 22 2 32 2xy x x x (当 且 仅 当 x= 23 1)取 得 最 大 值 -2 3 ；由 1 2 1 22 22 2y x xx x (当 且 仅 当 x=2 1)取 得 最 小 值 2.则 -2 3 a 2 ， 由 可 得 ， - 4716 a 2.答 案 ： A二 .填 空 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30 分 .9.已 知 a R， i为 虚 数 单 位 ， 若 2a ii 为 实 数 ， 则 a 的 值 为 . 解 析 ： a R， i为 虚 数 单 位 ， 2 2
11、 1 2 2 1 22 2 2 4 1 5 5a i i a a ia i a aii i i ，由 2a ii 为 实 数 ， 可 得 -2+a5=0， 解 得 a=-2.答 案 ： -210.已 知 一 个 正 方 体 的 所 有 顶 点 在 一 个 球 面 上 ， 若 这 个 正 方 体 的 表 面 积 为 18， 则 这 个 球 的 体积 为 .解 析 ： 设 正 方 体 的 棱 长 为 a， 这 个 正 方 体 的 表 面 积 为 18， 6a 2=18， 则 a2=3， 即 a= 3 ， 一 个 正 方 体 的 所 有 顶 点 在 一 个 球 面 上 ， 正 方 体 的 体 对 角
12、 线 等 于 球 的 直 径 ，即 3 a=2R， 即 R= 32 ， 则 球 的 体 积 V= 34 3 93 2 2 . 答 案 ： 9211.在 极 坐 标 系 中 ， 直 线 4 cos( - 6 )+1=0 与 圆 =2sin 的 公 共 点 的 个 数为 .解 析 ： 直 线 4 cos( - 6)+1=0 展 开 为 ： 4 ( 3 1cos sin2 2 )+1=0， 化 为 ：2 3 x+2y+1=0.圆 =2sin 即 2=2 sin ， 化 为 直 角 坐 标 方 程 ： x2+y2=2y， 配 方 为 ： x2+(y-1)2=1. 圆 心 C(0， 1)到 直 线 的
13、距 离 2 23 3 142 3 2d =R. 直 线 4 cos( - 6 )+1=0 与 圆 =2sin 的 公 共 点 的 个 数 为 2.答 案 ： 212.若 a， b R， ab 0， 则 4 44 1a bab 的 最 小 值 为 .解 析 ： a ， b R ， ab 0 ， 4 4 4 4 2 24 1 2 4 1 4 1 1 14 2 4 4a b a b a b ab abab ab ab ab ab ，当 且 仅 当 4 44 14a bab ab ， ， 即 2 22 2 2 14a ba b ， ，即 a= 412 ， b= 418 或 a=- 412 ， b=-
14、418 时 取 “ =” ； 上 式 的 最 小 值 为 4.答 案 ： 413.在 ABC 中 ， A=60 ， AB=3， AC=2.若 2BD DC ， AE AC AB R ， 且AD AE =-4， 则 的 值 为 .解 析 ： 如 图 所 示 ， ABC中 ， A=60 ， AB=3， AC=2， 2BD DC ， 2 2 1 23 3 3 3AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC ，又 AE AC AB ( R)， 2 21 2 1 2 1 23 3 3 3 3 3AD AE AB AC AC AB AB AC AB AC 2 21 2 1 23 2 cos6
15、0 3 2 43 3 3 3 ， 11 13 ， 解 得 = 311. 答 案 ： 31114.用 数 字 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9组 成 没 有 重 复 数 字 ， 且 至 多 有 一 个 数 字 是 偶 数 的 四位 数 ， 这 样 的 四 位 数 一 共 有 个 .解 析 ： 根 据 题 意 ， 分 2 种 情 况 讨 论 ： 四 位 数 中 没 有 一 个 偶 数 数 字 ， 即 在 1、 3、 5、 7、 9种 任 选 4个 ， 组 成 一 共 四 位 数 即 可 ，有 45A =120种 情 况 ， 即 有 120个 没 有 一 个 偶 数 数 字 四 位
16、 数 ； 四 位 数 中 只 有 一 个 偶 数 数 字 ，在 1、 3、 5、 7、 9 种 选 出 3 个 ， 在 2、 4、 6、 8 中 选 出 1 个 ， 有 3 15 4C C =40种 取 法 ，将 取 出 的 4个 数 字 全 排 列 ， 有 44A =24 种 顺 序 ， 则 有 40 24=960 个 只 有 一 个 偶 数 数 字 的 四 位 数 ； 则 至 多 有 一 个 数 字 是 偶 数 的 四 位 数 有 120+960=1080 个 .答 案 ： 1080三 .解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 80 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ，
17、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .15.在 ABC中 ， 内 角 A， B， C所 对 的 边 分 别 为 a， b， c.已 知 a b， a=5， c=6， sinB= 35 .( )求 b 和 sinA的 值 ； ( )求 sin(2A+ 4 )的 值 .解 析 ： ( )由 已 知 结 合 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 求 得 cosB， 再 由 余 弦 定 理 求 得 b， 利 用 正 弦定 理 求 得 sinA；( )由 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 求 得 cosA， 再 由 倍 角 公 式 求 得 sin2A， cos2A， 展 开 两 角 和
18、的 正 弦 得 答 案 .答 案 ： ( )在 ABC中 ， a b，故 由 sinB= 35 ， 可 得 cosB= 45 .由 已 知 及 余 弦 定 理 ， 有 b 2=a2+c2-2accosB=25+36-2 5 6 45 =13， b= 13 .由 正 弦 定 理 sin sina bA B ， 得 sinA= sin 3 1313a Bb . b= 13 ， sinA= 3 1313 ；( )由 ( )及 a c， 得 cosA= 2 1313 ， sin2A=2sinAcosA=1213 ， 2 2 5cos 1 2sin 13A A .故 12 2 5 2 7 2sin 2
19、sin 2 cos cos 2 sin4 4 4 13 2 13 2 26( )A A A .16.从 甲 地 到 乙 地 要 经 过 3个 十 字 路 口 ， 设 各 路 口 信 号 灯 工 作 相 互 独 立 ， 且 在 各 路 口 遇 到 红 灯 的 概 率 分 别 为 12 ， 13 ， 14 .( )设 X 表 示 一 辆 车 从 甲 地 到 乙 地 遇 到 红 灯 的 个 数 ， 求 随 机 变 量 X的 分 布 列 和 数 学 期 望 ；( )若 有 2辆 车 独 立 地 从 甲 地 到 乙 地 ， 求 这 2 辆 车 共 遇 到 1 个 红 灯 的 概 率 .解 析 ： ( )
20、随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 取 值 为 0， 1， 2， 3， 求 出 对 应 的 概 率 值 ，写 出 它 的 分 布 列 ， 计 算 数 学 期 望 值 ；( )利 用 相 互 独 立 事 件 同 时 发 生 的 概 率 公 式 计 算 所 求 事 件 的 概 率 值 .答 案 ： ( )随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 取 值 为 0， 1， 2， 3；则 1 1 1 10 1 1 12 3 4 4P X ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 12 3 4 2 3 4 2 3 4 24P X ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1
21、 1 12 3 4 2 3 4 2 3 4 4P X ， 1 1 1 13 2 3 4 24P X ；所 以 ， 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 随 机 变 量 X的 数 学 期 望 为 1 11 1 1 130 1 2 34 24 4 24 12E X ；( )设 Y 表 示 第 一 辆 车 遇 到 红 灯 的 个 数 ， Z表 示 第 二 辆 车 遇 到 红 灯 的 个 数 ，则 所 求 事 件 的 概 率 为P(Y+Z=1)=P(Y=0， Z=1)+P(Y=1， Z=0)=P(Y=0) P(Z=1)+P(Y=1) P(Z=0)= 1 11 11 1 114 24 24 4 48
22、；所 以 ， 这 2辆 车 共 遇 到 1个 红 灯 的 概 率 为 1148 .17.如 图 ， 在 三 棱 锥 P-ABC 中 ， PA 底 面 ABC， BAC=90 .点 D， E， N 分 别 为 棱 PA， PC， BC的 中 点 ， M是 线 段 AD的 中 点 ， PA=AC=4， AB=2. ( )求 证 ： MN 平 面 BDE；( )求 二 面 角 C-EM-N的 正 弦 值 ；( )已 知 点 H 在 棱 PA上 ， 且 直 线 NH 与 直 线 BE 所 成 角 的 余 弦 值 为 3 721 ， 求 线 段 AH 的 长 .解 析 ： ( )取 AB中 点 F， 连
23、 接 MF、 NF， 由 已 知 可 证 MF 平 面 BDE， NF 平 面 BDE.得 到 平 面MFN 平 面 BDE， 则 MN 平 面 BDE；( )由 PA 底 面 ABC， BAC=90 .可 以 A为 原 点 ， 分 别 以 AB、 AC、 AP 所 在 直 线 为 x、 y、 z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 .求 出 平 面 MEN 与 平 面 CME的 一 个 法 向 量 ， 由 两 法 向 量 所 成 角 的 余 弦值 得 二 面 角 C-EM-N 的 余 弦 值 ， 进 一 步 求 得 正 弦 值 ；( )设 AH=t， 则 H(0， 0， t)， 求 出 N
24、H 、 BE的 坐 标 ， 结 合 直 线 NH与 直 线 BE 所 成 角 的 余 弦 值 为 3 721 列 式 求 得 线 段 AH的 长 .答 案 ： ( )取 AB中 点 F， 连 接 MF、 NF， M 为 AD 中 点 ， MF BD， BD平 面 BDE， MF平 面 BDE， MF 平 面 BDE. N 为 BC 中 点 ， NF AC， 又 D、 E 分 别 为 AP、 PC 的 中 点 ， DE AC， 则 NF DE. DE平 面 BDE， NF平 面 BDE， NF 平 面 BDE.又 MF NF=F. 平 面 MFN 平 面 BDE， 则 MN 平 面 BDE；(
25、) PA 底 面 ABC， BAC=90 . 以 A为 原 点 ， 分 别 以 AB、 AC、 AP所 在 直 线 为 x、 y、 z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 . PA=AC=4， AB=2， A(0， 0， 0)， B(2， 0， 0)， C(0， 4， 0)， M(0， 0， 1)， N(1， 2， 0)， E(0， 2， 2)，则 MN=(1， 2， -1)， ME =(0， 2， 1)，设 平 面 MEN的 一 个 法 向 量 为 m =(x， y， z)，由 00m MNm ME ， 得 2 02 0 x y zy z ， 取 z=2， 得 m =(4， -1， 2)
26、.由 图 可 得 平 面 CME的 一 个 法 向 量 为 n =(1， 0， 0). 4 4 21cos 2121 1mn m n m n ， . 二 面 角 C-EM-N的 余 弦 值 为 4 2121 ， 则 正 弦 值 为 10521 ；( )解 ： 设 AH=t， 则 H(0， 0， t)， NH =(-1， -2， t)， BE=(-2， 2， 2). 直 线 NH 与 直 线 BE所 成 角 的 余 弦 值 为 3 721 ， 22 2 3 7cos 22| | 15 3NH BE tNH BE NH BE t ， ， 解 得 ： t=4. 当 H与 P重 合 时 直 线 NH与
27、 直 线 BE 所 成 角 的 余 弦 值 为 3 721 ， 此 时 线 段 AH的 长 为 4. 18.已 知 an为 等 差 数 列 ， 前 n 项 和 为 Sn(n N*)， bn是 首 项 为 2 的 等 比 数 列 ， 且 公 比 大 于0， b2+b3=12， b3=a4-2a1， S11=11b4.( )求 an和 bn的 通 项 公 式 ；( )求 数 列 a2nb2n-1的 前 n 项 和 (n N+).解 析 ： ( )设 等 差 数 列 an的 公 差 为 d， 等 比 数 列 bn的 公 比 为 q.通 过 b2+b3=12， 求 出 q， 得到 bn=2n.然 后
28、求 出 公 差 d， 推 出 an=3n-2.( )化 简 数 列 的 通 项 公 式 ， 利 用 错 位 相 减 法 求 解 数 列 的 和 即 可 .答 案 ： ( )设 等 差 数 列 a n的 公 差 为 d， 等 比 数 列 bn的 公 比 为 q.由 已 知 b2+b3=12， 得b1(q+q2)=12， 而 b1=2， 所 以 q2+q-6=0.又 因 为 q 0， 解 得 q=2.所 以 ， bn=2n.由 b3=a4-2a1， 可 得 3d-a1=8.由 S11=11b4， 可 得 a1+5d=16， 联 立 ， 解 得 a1=1， d=3，由 此 可 得 an=3n-2.所
29、 以 ， an的 通 项 公 式 为 an=3n-2， bn的 通 项 公 式 为 bn=2n.(II)设 数 列 a2nb2n-1的 前 n 项 和 为 Tn，由 a 2n=6n-2， b2n-1= 12 4n， 有 a2nb2n-1=(3n-1)4n，故 Tn=2 4+5 42+8 43+ +(3n-1)4n，4Tn=2 42+5 43+8 44+ +(3n-1)4n+1，上 述 两 式 相 减 ， 得 -3Tn=2 4+3 42+3 43+ +3 4n-(3n-1)4n+1= 12 1 41 4 n -4-(3n-1)4n+1=-(3n-2)4n+1-8，得 T n= 13 2 843
30、3nn .所 以 ， 数 列 a2nb2n-1的 前 n 项 和 为 13 2 843 3nn .19.设 椭 圆 2 22 2 1x ya b (a b 0)的 左 焦 点 为 F， 右 顶 点 为 A， 离 心 率 为 12 .已 知 A是 抛 物 线y 2=2px(p 0)的 焦 点 ， F 到 抛 物 线 的 准 线 l 的 距 离 为 12 .(I)求 椭 圆 的 方 程 和 抛 物 线 的 方 程 ；(II)设 l 上 两 点 P， Q 关 于 x 轴 对 称 ， 直 线 AP 与 椭 圆 相 交 于 点 B(B异 于 A)， 直 线 BQ与 x 轴相 交 于 点 D.若 APD的
31、 面 积 为 62 ， 求 直 线 AP的 方 程 .解 析 ： (I)根 据 椭 圆 和 抛 物 线 的 定 义 、 性 质 列 方 程 组 求 出 a， b， p 即 可 得 出 方 程 ；(II)设 AP 方 程 为 x=my+1， 联 立 方 程 组 得 出 B， P， Q 三 点 坐 标 ， 从 而 得 出 直 线 BQ 的 方 程 ，解 出 D点 坐 标 ， 根 据 三 角 形 的 面 积 列 方 程 解 出 m即 可 得 出 答 案 .答 案 ： ( )设 F的 坐 标 为 (-c， 0). 依 题 意 可 得 122 12ca paa c ， ， 解 得 a=1， c= 12
32、， p=2， 于 是 b2=a2-c2= 34 .所 以 ， 椭 圆 的 方 程 为 22 4 13yx ， 抛 物 线 的 方 程 为 y2=4x.( )直 线 l的 方 程 为 x=-1， 设 直 线 AP的 方 程 为 x=my+1(m 0)，联 立 方 程 组 1 1xx my ， ， 解 得 点 P(-1， - 2m )， 故 Q(-1， 2m ).联 立 方 程 组 x=my+1， x 2+4y23=1， 消 去 x， 整 理 得 (3m2+4)y2+6my=0， 解 得 y=0， 或 y= 263 4mm . B( 223 43 4mm ， 263 4mm ). 直 线 BQ 的
33、 方 程 为 22 26 2 3 4 21 1 03 4 3 4m mx ym m m m ，令 y=0， 解 得 222 33 2mx m ， 故 D( 222 33 2mm ， 0). |AD|=1- 2 22 22 3 63 2 3 2m mm m .又 APD 的 面 积 为 62 ， 221 6 2 62 3 2 2mm m ， 整 理 得 3m 2-2 6 |m|+2=0， 解 得|m|= 63 ， m= 63 . 直 线 AP 的 方 程 为 3x+ 6 y-3=0， 或 3x- 6 y-3=0.20.设 a Z， 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x)=2x 4+3x
34、3-3x2-6x+a 在 区 间 (1， 2)内 有 一 个 零 点 x0，g(x)为 f(x)的 导 函 数 .( )求 g(x)的 单 调 区 间 ；( )设 m 1， x0) (x0， 2， 函 数 h(x)=g(x)(m-x0)-f(m)， 求 证 ： h(m)h(x0) 0；( )求 证 ： 存 在 大 于 0的 常 数 A， 使 得 对 于 任 意 的 正 整 数 p， q， 且 pq 1， x0) (x0， 2，满 足 0 41p xq Aq . 解 析 ： ( )求 出 函 数 的 导 函 数 g(x)=f (x)=8x3+9x2-6x-6， 求 出 极 值 点 ， 通 过 列
35、 表 判 断 函 数的 单 调 性 求 出 单 调 区 间 即 可 .( )由 h(x)=g(x)(m-x0)-f(m)， 推 出 h(m)=g(m)(m-x0)-f(m)，令 函 数 H1(x)=g(x)(x-x0)-f(x)， 求 出 导 函 数 H 1(x)利 用 ( )知 ， 推 出 h(m)h(x0) 0.( )对 于 任 意 的 正 整 数 p， q， 且 pq 1， x0) (x0， 2， 令 m= pq ， 函 数 h(x)=g(x)(m-x0)-f(m).由 ( )知 ， 当 m 1， x 0)时 ， 当 m (x0， 2时 ， 通 过 h(x)的 零 点 .转 化 推 出
36、4 3 2 2 3 40 41 2 3 3 62 2pp ff p p q p q pq aqqqp xq g x g g q . 推 出|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4| 1.然 后 推 出 结 果 .答 案 ： ( )由 f(x)=2x 4+3x3-3x2-6x+a， 可 得 g(x)=f (x)=8x3+9x2-6x-6，进 而 可 得 g (x)=24x2+18x-6.令 g (x)=0， 解 得 x=-1， 或 x= 14 .当 x 变 化 时 ， g (x)， g(x)的 变 化 情 况 如 下 表 ：所 以 ， g(x)的 单 调 递 增 区 间 是 (- ， -
37、1)， ( 14 ， + )， 单 调 递 减 区 间 是 (-1， 14 ). ( )由 h(x)=g(x)(m-x0)-f(m)， 得 h(m)=g(m)(m-x0)-f(m)， h(x0)=g(x0)(m-x0)-f(m).令 函 数 H1(x)=g(x)(x-x0)-f(x)， 则 H 1(x)=g (x)(x-x0).由 ( )知 ， 当 x 1， 2时 ， g (x) 0，故 当 x 1， x0)时 ， H 1(x) 0， H1(x)单 调 递 减 ；当 x (x0， 2时 ， H 1(x) 0， H1(x)单 调 递 增 .因 此 ， 当 x 1， x0) (x0， 2时 ， H
38、1(x) H1(x0)=-f(x0)=0， 可 得 H1(m) 0即 h(m) 0，令 函 数 H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x)， 则 H 2(x)=g (x0)-g(x).由 ( )知 ， g(x)在 1， 2上 单 调递 增 ， 故 当 x 1， x 0)时 ， H 2(x) 0， H2(x)单 调 递 增 ； 当 x (x0， 2时 ， H 2(x) 0， H2(x)单 调 递 减 .因 此 ， 当 x 1， x0) (x0， 2时 ， H2(x) H2(x0)=0， 可 得 得 H2(m) 0即 h(x0) 0，所 以 ， h(m)h(x0) 0.( )对 于 任 意 的
39、正 整 数 p， q， 且 pq 1， x0) (x0， 2，令 m= pq ， 函 数 h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m).由 ( )知 ， 当 m 1， x0)时 ， h(x)在 区 间 (m， x0)内 有 零 点 ； 当 m (x0， 2时 ， h(x)在 区 间 (x0， m)内 有 零 点 .所 以 h(x)在 (1， 2)内 至 少 有 一 个 零 点 ， 不 妨 设 为 x1， 则 h(x1)=g(x1)( pq -x0)-f( pq )=0.由 ( )知 g(x)在 1， 2上 单 调 递 增 ， 故 0 g(1) g(x1) g(2)，于 是 4 3 2 2 3 4
40、0 41 2 3 3 62 2pp ff p p q p q pq aqqqp xq g x g g q .因 为 当 x 1， 2时 ， g(x) 0， 故 f(x)在 1， 2上 单 调 递 增 ，所 以 f(x)在 区 间 1， 2上 除 x 0外 没 有 其 他 的 零 点 ， 而 pq x0， 故 f( pq ) 0.又 因 为 p ， q ， a 均 为 整 数 ， 所 以 |2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4| 是 正 整 数 ， 从 而|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4| 1.所 以 0 412p xq g q .所 以 ， 只 要 取 A=g(2)， 就 有 0 41p xq Aq .
