1、2017年 湖 北 省 咸 宁 市 中 考 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 24 分 )1.下 表 是 我 市 四 个 景 区 今 年 2月 份 某 天 6 时 的 气 温 ， 其 中 气 温 最 低 的 景 区 是 ( )景 区 潜 山 公 园 陆 水 湖 隐 水 洞 三 湖 连 江气 温 1 0 2 2A.潜 山 公 园B.陆 水 湖C.隐 水 洞D.三 湖 连 江解 析 ： 2 1 0 2， 隐 水 洞 的 气 温 最 低 .答 案 ： C. 2.在 绿 满 鄂 南 行 动 中 ， 咸 宁 市 计 划 2015年 至 2017年 三
2、 年 间 植 树 造 林 1210000亩 ， 全 力 打 造绿 色 生 态 旅 游 城 市 ， 将 1210000用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.121 104B.12.1 105C.1.21 105D.1.21 106解 析 ： 用 科 学 记 数 法 表 示 较 大 的 数 时 ， 一 般 形 式 为 a 10n， 其 中 1 |a| 10， n 为 整 数 ， 据此 判 断 即 可 .1210000=1.21 106.答 案 ： D.3.下 列 算 式 中 ， 结 果 等 于 a 5的 是 ( )A.a2+a3B.a2 a3C.a5 aD.(a2)3解 析 ： A、 a2
3、与 a3不 能 合 并 ， 所 以 A 选 项 错 误 ；B、 原 式 =a5， 所 以 B选 项 正 确 ；C、 原 式 =a4， 所 以 C选 项 错 误 ；D、 原 式 =a 6， 所 以 D选 项 错 误 .答 案 ： B.4.如 图 是 某 个 几 何 体 的 三 视 图 ， 该 几 何 体 是 ( )A.三 棱 柱B.三 棱 锥C.圆 柱 D.圆 锥解 析 ： 主 视 图 是 三 角 形 ， 俯 视 图 是 两 个 矩 形 ， 左 视 图 是 矩 形 ， 得 几 何 体 是 三 棱 柱 .答 案 ： A. 5.由 于 受 H7N9 禽 流 感 的 影 响 ， 我 市 某 城 区 今
4、 年 2 月 份 鸡 的 价 格 比 1月 份 下 降 a%， 3月 份 比2月 份 下 降 b%， 已 知 1月 份 鸡 的 价 格 为 24元 /千 克 .设 3月 份 鸡 的 价 格 为 m元 /千 克 ， 则 ( )A.m=24(1 a% b%)B.m=24(1 a%)b%C.m=24 a% b%D.m=24(1 a%)(1 b%)解 析 ： 今 年 2月 份 鸡 的 价 格 比 1月 份 下 降 a%， 1 月 份 鸡 的 价 格 为 24 元 /千 克 ， 2 月 份 鸡 的 价 格 为 24(1 a%)， 3 月 份 比 2 月 份 下 降 b%， 三 月 份 鸡 的 价 格 为
5、 24(1 a%)(1 b%).答 案 ： D.6.已 知 a、 b、 c 为 常 数 ， 点 P(a， c)在 第 二 象 限 ， 则 关 于 x的 方 程 ax 2+bx+c=0 根 的 情 况 是 ( )A.有 两 个 相 等 的 实 数 根B.有 两 个 不 相 等 的 实 数 根C.没 有 实 数 根D.无 法 判 断解 析 ： 点 P(a， c)在 第 二 象 限 ， a 0， c 0， ac 0， =b 2 4ac 0， 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 .答 案 ： B.7.如 图 ， O 的 半 径 为 3， 四 边 形 ABCD 内 接 于 O， 连 接 OB
6、、 OD， 若 BOD= BCD， 则 BD的长 为 ( )A. B. 32C.2D.3解 析 ： 四 边 形 ABCD内 接 于 O， BCD+ A=180 ， BOD=2 A， BOD= BCD， 2 A+ A=180 ，解 得 ： A=60 ， BOD=120 ， BD的 长 =120 3180 =2 .答 案 ： C. 8.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 将 一 块 含 有 45 角 的 直 角 三 角 板 如 图 放 置 ， 直 角 顶 点 C 的 坐标 为 (1， 0)， 顶 点 A 的 坐 标 为 (0， 2)， 顶 点 B 恰 好 落 在 第 一 象 限 的 双
7、 曲 线 上 ， 现 将 直 角 三 角 板 沿 x轴 正 方 向 平 移 ， 当 顶 点 A 恰 好 落 在 该 双 曲 线 上 时 停 止 运 动 ， 则 此 时 点 C 的 对 应 点 C的 坐 标 为 ( )A.( 32 ， 0)B.(2， 0) C.( 52 ， 0)D.(3， 0)解 析 ： 过 点 B 作 BD x 轴 于 点 D， ACO+ BCD=90 ， OAC+ACO=90 ， OAC= BCD，在 ACO与 BCD中 ，OAC BCDAOC BDCAC BC ACO BCD(AAS) OC=BD， OA=CD， A(0， 2)， C(1， 0) OD=3， BD=1，
8、B(3， 1)， 设 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 ky x ， 将 B(3， 1)代 入 ky x ， k=3， 3y x ， 把 y=2代 入 3y x ， 32x ，当 顶 点 A 恰 好 落 在 该 双 曲 线 上 时 ，此 时 点 A 移 动 了 32 个 单 位 长 度 ， C 也 移 动 了 32 个 单 位 长 度 ，此 时 点 C 的 对 应 点 C 的 坐 标 为 ( 52 ， 0)答 案 ： C二 、 填 空 题 (每 小 题 3 分 ， 共 24 分 )9. 8 的 立 方 根 是 _.解 析 ： 利 用 立 方 根 的 定 义 计 算 ， 8的 立 方 根
9、为 2. 答 案 ： 2.10.化 简 ： 2 1 1x xx x =_.解 析 ： 原 式 利 用 除 法 法 则 变 形 ， 约 分 即 可 .原 式 = 1 1 1x x xx x =x 1答 案 ： x 1.11.分 解 因 式 ： 2a 2 4a+2=_.解 析 ： 原 式 提 取 2， 再 利 用 完 全 平 方 公 式 分 解 .原 式 =2(a2 2a+1)=2(a 1)2.答 案 ： 2(a 1)2.12.如 图 ， 直 线 y=mx+n 与 抛 物 线 y=ax2+bx+c 交 于 A( 1， p)， B(4， q)两 点 ， 则 关 于 x 的 不等 式 mx+n ax2
10、+bx+c的 解 集 是 _. 解 析 ： 观 察 函 数 图 象 可 知 ： 当 x 1 或 x 4 时 ， 直 线 y=mx+n在 抛 物 线 y=ax2+bx+c 的 上 方 ， 不 等 式 mx+n ax2+bx+c的 解 集 为 x 1或 x 4.答 案 ： x 1 或 x 4.13.小 明 的 爸 爸 是 个 “ 健 步 走 ” 运 动 爱 好 者 ， 他 用 手 机 软 件 记 录 了 某 个 月 (30天 )每 天 健 步 走的 步 数 ， 并 将 记 录 结 果 绘 制 成 了 如 下 统 计 表 ：步 数 (万 步 ) 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5天 数 3 7
11、5 12 3在 每 天 所 走 的 步 数 这 组 数 据 中 ， 众 数 和 中 位 数 分 别 是 _.解 析 ： 要 求 一 组 数 据 的 中 位 数 ，把 这 组 数 据 按 照 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 ， 第 4、 5 个 两 个 数 的 平 均 数 是 (1.3+1.4) 2=1.35， 所 以 中 位 数 是 1.35，在 这 组 数 据 中 出 现 次 数 最 多 的 是 1.4，即 众 数 是 1.4.答 案 ： 1.4； 1.35.14.如 图 ， 点 O 是 矩 形 纸 片 ABCD 的 对 称 中 心 ， E是 BC上 一 点 ， 将 纸 片 沿 AE折
12、叠 后 ， 点 B 恰好 与 点 O 重 合 .若 BE=3， 则 折 痕 AE的 长 为 _.解 析 ： 由 题 意 得 ： AB=AO=CO， 即 AC=2AB， 且 OE 垂 直 平 分 AC， AE=CE，设 AB=AO=OC=x，则 有 AC=2x， ACB=30 ，在 Rt ABC中 ， 根 据 勾 股 定 理 得 ： BC= 3 x，在 Rt OEC中 ， OCE=30 ， OE= 12 EC， 即 BE= 12 EC， BE=3， OE=3， EC=6，则 AE=6.答 案 ： 615.如 图 ， 边 长 为 4的 正 六 边 形 ABCDEF的 中 心 与 坐 标 原 点 O
13、重 合 ， AF x轴 ， 将 正 六 边 形 ABCDEF 绕 原 点 O 顺 时 针 旋 转 n 次 ， 每 次 旋 转 60 .当 n=2017时 ， 顶 点 A 的 坐 标 为 _.解 析 ： 2017 60 360 =336 1， 即 与 正 六 边 形 ABCDEF 绕 原 点 O 顺 时 针 旋 转 1 次 时 点 A的 坐 标 是 一 样 的 .当 点 A按 顺 时 针 旋 转 60 时 ， 与 原 F 点 重 合 .连 接 OF， 过 点 F作 FH x轴 ， 垂 足 为 H； 由 已 知 EF=4， FOE=60 (正 六 边 形 的 性 质 )， OEF是 等 边 三 角
14、 形 ， OF=EF=4， F(2， 2 3 )， 即 旋 转 2017 后 点 A 的 坐 标 是 (2， 2 3 )，答 案 ： (2， 2 3).16.如 图 ， 在 Rt ABC 中 ， BC=2， BAC=30 ， 斜 边 AB 的 两 个 端 点 分 别 在 相 互 垂 直 的 射 线OM、 ON上 滑 动 ， 下 列 结 论 ： 若 C、 O 两 点 关 于 AB 对 称 ， 则 OA=2 3 ； C、 O两 点 距 离 的 最 大 值 为 4； 若 AB平 分 CO， 则 AB CO； 斜 边 AB 的 中 点 D 运 动 路 径 的 长 为 2 ；其 中 正 确 的 是 _(
15、把 你 认 为 正 确 结 论 的 序 号 都 填 上 ). 解 析 ： 在 Rt ABC中 ， BC=2， BAC=30 ， AB=4， AC= 2 24 2 2 3 ， 若 C、 O 两 点 关 于 AB 对 称 ， 如 图 1， AB 是 OC的 垂 直 平 分 线 ，则 OA=AC=2 3 ；所 以 正 确 ； 如 图 1， 取 AB的 中 点 为 E， 连 接 OE、 CE， AOB= ACB=90 ， OE=CE= 12 AB=2，当 OC 经 过 点 E 时 ， OC最 大 ，则 C、 O 两 点 距 离 的 最 大 值 为 4；所 以 正 确 ； 如 图 2， 同 理 取 AB
16、的 中 点 E， 则 OE=CE， AB 平 分 CO， OF=CF， AB OC，所 以 正 确 ； 如 图 3， 斜 边 AB 的 中 点 D 运 动 路 径 是 ： 以 O 为 圆 心 ， 以 2 为 半 径 的 圆 周 的 14 ， 则 ： 90 2180 .所 以 不 正 确 ；综 上 所 述 ， 本 题 正 确 的 有 ： .答 案 ： .三 、 解 答 题 (本 大 题 共 8 小 题 ， 满 分 72分 )17.(1)计 算 ： 3 48 2017 ；(2)解 方 程 ： 1 22 3x x .解 析 ： (1)根 据 实 数 的 运 算 法 则 ， 零 指 数 幂 的 性 质
17、 计 算 即 可 ；(2)根 据 分 式 方 程 的 解 法 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： (1)： 3 48 2017 3 4 3 1 1 3 3 ； (2)方 程 两 边 通 乘 以 2x(x 3)得 ， x 3=4x，解 得 ： x= 1，检 验 ： 当 x= 1时 ， 2x(x 3) 0， 原 方 程 的 根 是 x= 1.18.如 图 ， 点 B、 E、 C、 F在 一 条 直 线 上 ， AB=DF， AC=DF， BE=FC.(1)求 证 ： ABC DFE； (2)连 接 AF、 BD， 求 证 ： 四 边 形 ABDF是 平 行 四 边 形 .解 析 ： (1)由 S
18、SS证 明 ABC DFE即 可 ；(2)连 接 AF、 BD， 由 全 等 三 角 形 的 性 质 得 出 ABC= DFE， 证 出 AB DF， 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1) BE=FC， BC=EF， 在 ABC和 DFE中 ， AB DFAC DEBC EF ， ABC DFE(SSS)；(2)连 接 AF、 BD， 如 图 所 示 ： 由 (1)知 ABC DFE， ABC= DFE， AB DF， AB=DF， 四 边 形 ABDF 是 平 行 四 边 形 .19.咸 宁 市 某 中 学 为 了 解 本 校 学 生 对 新 闻 、 体 育 、 动 画 、 娱 乐
19、四 类 电 视 节 目 的 喜 爱 情 况 ， 随机 抽 取 了 部 分 学 生 进 行 问 卷 调 查 ， 根 据 调 查 结 果 绘 制 了 如 图 所 示 的 两 幅 不 完 整 统 计 图 ， 请 你根 据 图 中 信 息 解 答 下 列 问 题 ： (1)补 全 条 形 统 计 图 ， “ 体 育 ” 对 应 扇 形 的 圆 心 角 是 _度 ；(2)根 据 以 上 统 计 分 析 ， 估 计 该 校 2000名 学 生 中 喜 爱 “ 娱 乐 ” 的 有 _人 ；(3)在 此 次 问 卷 调 查 中 ， 甲 、 乙 两 班 分 别 有 2 人 喜 爱 新 闻 节 目 ， 若 从 这
20、 4 人 中 随 机 抽 取 2 人去 参 加 “ 新 闻 小 记 者 ” 培 训 ， 请 用 列 表 法 或 画 树 状 图 的 方 法 求 所 抽 取 的 2 人 来 自 不 同 班 级 的概 率 .解 析 ： (1)根 据 动 画 类 人 数 及 其 百 分 比 求 得 总 人 数 ， 总 人 数 减 去 其 他 类 型 人 数 可 得 体 育 类 人 数 ， 用 360度 乘 以 体 育 类 人 数 所 占 比 例 即 可 得 ；(2)用 样 本 估 计 总 体 的 思 想 解 决 问 题 ；(3)根 据 题 意 先 画 出 树 状 图 ， 得 出 所 有 情 况 数 ， 再 根 据
21、概 率 公 式 即 可 得 出 答 案 .答 案 ： (1)调 查 的 学 生 总 数 为 60 30%=200(人 )，则 体 育 类 人 数 为 200 (30+60+70)=40，补 全 条 形 图 如 下 ：“ 体 育 ” 对 应 扇 形 的 圆 心 角 是 360 40200 =72 . 答 案 ： 72；(2)估 计 该 校 2000名 学 生 中 喜 爱 “ 娱 乐 ” 的 有 ： 2000 70200 =700(人 ).故 答 案 为 ： 700；(3)将 两 班 报 名 的 学 生 分 别 记 为 甲 1、 甲 2、 乙 1、 乙 2， 树 状 图 如 图 所 示 ： 所 以
22、 2 8 212 3P 名 学 生 来 自 不 同 班 .20.小 慧 根 据 学 习 函 数 的 经 验 ， 对 函 数 y=|x 1|的 图 象 与 性 质 进 行 了 探 究 .下 面 是 小 慧 的 探究 过 程 ， 请 补 充 完 整 ：(1)函 数 y=|x 1|的 自 变 量 x的 取 值 范 围 是 _；(2)列 表 ， 找 出 y 与 x 的 几 组 对 应 值 .x 1 0 1 2 3 y b 1 0 1 2 其 中 ， b=_；(3)在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 描 出 以 上 表 中 对 对 应 值 为 坐 标 的 点 ， 并 画 出 该 函 数 的 图
23、 象 ；(4)写 出 该 函 数 的 一 条 性 质 ： _. 解 析 ： (1)根 据 一 次 函 数 的 性 质 即 可 得 出 结 论 ；(2)把 x= 1 代 入 函 数 解 析 式 ， 求 出 y 的 值 即 可 ；(3)在 坐 标 系 内 描 出 各 点 ， 再 顺 次 连 接 即 可 ；(4)根 据 函 数 图 象 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1) x 无 论 为 何 值 ， 函 数 均 有 意 义 ， x 为 任 意 实 数 .故 答 案 为 ： 任 意 实 数 ；(2) 当 x= 1 时 ， y=| 1 1|=2， b=2.故 答 案 为 ： 2；(3)如 图 所
24、 示 ； (4)由 函 数 图 象 可 知 ， 函 数 的 最 小 值 为 0.故 答 案 为 ： 函 数 的 最 小 值 为 0(答 案 不 唯 一 ).21.如 图 ， 在 ABC中 ， AB=AC， 以 AB 为 直 径 的 O与 边 BC、 AC分 别 交 于 D、 E两 点 ， 过 点 D作 DF AC， 垂 足 为 点 F.(1)求 证 ： DF是 O 的 切 线 ；(2)若 AE=4， cosA= 25 ， 求 DF的 长 . 解 析 ： (1)证 明 ： 如 图 ， 连 接 OD， 作 OG AC 于 点 G， 推 出 ODB= C； 然 后 根 据 DF AC， DFC=90
25、 ， 推 出 ODF= DFC=90 ， 即 可 推 出 DF是 O 的 切 线 .(2)首 先 判 断 出 ： AG= 12 AE=2， 然 后 判 断 出 四 边 形 OGFD 为 矩 形 ， 即 可 求 出 DF 的 值 是 多 少 .答 案 ： (1)证 明 ： 如 图 ， 连 接 OD， 作 OG AC于 点 G， OB=OD， ODB= B，又 AB=AC， C= B， ODB= C， DF AC， DFC=90 ， ODF= DFC=90 ， DF 是 O的 切 线 .(2)解 ： AG= 12 AE=2， cosA= AGOA ， 2 52cos 5AGOA A ， 2 2 2
26、1OG OA AG ， ODF= DFG= OGF=90 ， 四 边 形 OGFD 为 矩 形 ， DF=OG= 21.22.某 公 司 开 发 出 一 款 新 的 节 能 产 品 ， 该 产 品 的 成 本 价 为 6 元 /件 ， 该 产 品 在 正 式 投 放 市 场 前通 过 代 销 点 进 行 了 为 期 一 个 月 (30 天 )的 试 营 销 ， 售 价 为 8 元 /件 ， 工 作 人 员 对 销 售 情 况 进 行了 跟 踪 记 录 ， 并 将 记 录 情 况 绘 成 图 象 ， 图 中 的 折 线 ODE表 示 日 销 售 量 y(件 )与 销 售 时 间 x(天 )之 间
27、 的 函 数 关 系 ， 已 知 线 段 DE表 示 的 函 数 关 系 中 ， 时 间 每 增 加 1 天 ， 日 销 售 量 减 少 5 件 .(1)第 24 天 的 日 销 售 量 是 _件 ， 日 销 售 利 润 是 _元 .(2)求 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ， 并 写 出 x 的 取 值 范 围 ；(3)日 销 售 利 润 不 低 于 640元 的 天 数 共 有 多 少 天 ？ 试 销 售 期 间 ， 日 销 售 最 大 利 润 是 多 少 元 ？ 解 析 ： (1)根 据 第 22 天 销 售 了 340件 ， 结 合 时 间 每 增 加 1 天 日 销 售
28、量 减 少 5 件 ， 即 可 求 出 第24天 的 日 销 售 量 ， 再 根 据 日 销 售 利 润 =单 件 利 润 日 销 售 量 即 可 求 出 日 销 售 利 润 ；(2)根 据 点 D的 坐 标 利 用 待 定 系 数 法 即 可 求 出 线 段 OD的 函 数 关 系 式 ， 根 据 第 22天 销 售 了 340件 ， 结 合 时 间 每 增 加 1 天 日 销 售 量 减 少 5件 ， 即 可 求 出 线 段 DE的 函 数 关 系 式 ， 联 立 两 函 数关 系 式 求 出 交 点 D 的 坐 标 ， 此 题 得 解 ；(3)分 0 x 18和 18 x 30， 找 出
29、 关 于 x 的 一 元 一 次 不 等 式 ， 解 之 即 可 得 出 x 的 取 值 范 围 ，有 起 始 和 结 束 时 间 即 可 求 出 日 销 售 利 润 不 低 于 640元 的 天 数 ， 再 根 据 点 D的 坐 标 结 合 日 销 售利 润 =单 件 利 润 日 销 售 数 ， 即 可 求 出 日 销 售 最 大 利 润 .答 案 ： (1)340 (24 22) 5=330(件 )，330 (8 6)=660(元 ).故 答 案 为 ： 330； 660.(2)设 线 段 OD 所 表 示 的 y与 x之 间 的 函 数 关 系 式 为 y=kx，将 (17， 340)代
30、 入 y=kx中 ，340=17k， 解 得 ： k=20， 线 段 OD 所 表 示 的 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 为 y=20 x.根 据 题 意 得 ： 线 段 DE所 表 示 的 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 为 y=340 5(x 22)= 5x+450.联 立 两 线 段 所 表 示 的 函 数 关 系 式 成 方 程 组 ，得 205 450y xy x ， 解 得 ： 18360 xy ， 交 点 D 的 坐 标 为 (18， 360)， y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 为 20 0 185 450 18 30 x xy x x .(
31、3)当 0 x 18时 ， 根 据 题 意 得 ： (8 6) 20 x 640，解 得 ： x 16；当 18 x 30 时 ， 根 据 题 意 得 ： (8 6) ( 5x+450) 640，解 得 ： x 26. 16 x 26. 26 16+1=11(天 )， 日 销 售 利 润 不 低 于 640元 的 天 数 共 有 11 天 . 点 D的 坐 标 为 (18， 360)， 日 最 大 销 售 量 为 360件 ，360 2=720(元 )， 试 销 售 期 间 ， 日 销 售 最 大 利 润 是 720元 .23.定 义 ：数 学 活 动 课 上 ， 李 老 师 给 出 如 下
32、定 义 ： 如 果 一 个 三 角 形 有 一 边 上 的 中 线 等 于 这 条 边 的 一 半 ，那 么 称 这 个 三 角 形 为 “ 智 慧 三 角 形 ” .理 解 ：(1)如 图 1， 已 知 A、 B 是 O 上 两 点 ， 请 在 圆 上 找 出 满 足 条 件 的 点 C， 使 ABC为 “ 智 慧 三 角形 ” (画 出 点 C 的 位 置 ， 保 留 作 图 痕 迹 )； (2)如 图 2， 在 正 方 形 ABCD中 ， E 是 BC的 中 点 ， F 是 CD上 一 点 ， 且 CF= 14 CD， 试 判 断 AEF是 否 为 “ 智 慧 三 角 形 ” ， 并 说
33、 明 理 由 ；运 用 ：(3)如 图 3， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， O 的 半 径 为 1， 点 Q 是 直 线 y=3上 的 一 点 ， 若 在 O上 存 在 一 点 P， 使 得 OPQ为 “ 智 慧 三 角 形 ” ， 当 其 面 积 取 得 最 小 值 时 ， 直 接 写 出 此 时 点 P的 坐 标 . 解 析 ： (1)连 结 AO 并 且 延 长 交 圆 于 C1， 连 结 BO 并 且 延 长 交 圆 于 C2， 即 可 求 解 ；(2)设 正 方 形 的 边 长 为 4a， 表 示 出 DF=CF 以 及 EC、 BE 的 长 ， 然 后 根 据 勾
34、股 定 理 列 式 表 示 出AF2、 EF2、 AE2， 再 根 据 勾 股 定 理 逆 定 理 判 定 AEF是 直 角 三 角 形 ， 由 直 角 三 角 形 的 性 质 可 得 AEF为 “ 智 慧 三 角 形 ” ；(3)根 据 “ 智 慧 三 角 形 ” 的 定 义 可 得 OPQ为 直 角 三 角 形 ， 根 据 题 意 可 得 一 条 直 角 边 为 1， 当斜 边 最 短 时 ， 另 一 条 直 角 边 最 短 ， 则 面 积 取 得 最 小 值 ， 由 垂 线 段 最 短 可 得 斜 边 最 短 为 3， 根据 勾 股 定 理 可 求 另 一 条 直 角 边 ， 再 根 据
35、 三 角 形 面 积 可 求 斜 边 的 高 ， 即 点 P 的 横 坐 标 ， 再 根 据勾 股 定 理 可 求 点 P 的 纵 坐 标 ， 从 而 求 解 .答 案 ： (1)如 图 1 所 示 ： (2) AEF是 否 为 “ 智 慧 三 角 形 ” ，理 由 如 下 ： 设 正 方 形 的 边 长 为 4a， E 是 DC 的 中 点 ， DE=CE=2a， BC： FC=4： 1， FC=a， BF=4a a=3a，在 Rt ADE中 ， AE2=(4a)2+(2a)2=20a2，在 Rt ECF中 ， EF2=(2a)2+a2=5a2，在 Rt ABF中 ， AF 2=(4a)2+
36、(3a)2=25a2， AE2+EF2=AF2， AEF是 直 角 三 角 形 ， 斜 边 AF 上 的 中 线 等 于 AF 的 一 半 ， AEF为 “ 智 慧 三 角 形 ” ；(3)如 图 3 所 示 ： 由 “ 智 慧 三 角 形 ” 的 定 义 可 得 OPQ为 直 角 三 角 形 ，根 据 题 意 可 得 一 条 直 角 边 为 1， 当 斜 边 最 短 时 ， 另 一 条 直 角 边 最 短 ， 则 面 积 取 得 最 小 值 ，由 垂 线 段 最 短 可 得 斜 边 最 短 为 3，由 勾 股 定 理 可 得 2 23 1 2 2PQ ，2 21 2 2 3 3PM ，由 勾
37、 股 定 理 可 求 得 22 2 2 11 3 3OM ，故 点 P的 坐 标 2 2 1 2 2 13 3 3 3 ， ， ， . 24.如 图 ， 抛 物 线 y= 12 x2+bx+c与 x轴 交 于 A、 B两 点 ， 与 y 轴 交 于 点 C， 其 对 称 轴 交 抛 物 线于 点 D， 交 x 轴 于 点 E， 已 知 OB=OC=6.(1)求 抛 物 线 的 解 析 式 及 点 D 的 坐 标 ；(2)连 接 BD， F 为 抛 物 线 上 一 动 点 ， 当 FAB= EDB时 ， 求 点 F的 坐 标 ；(3)平 行 于 x轴 的 直 线 交 抛 物 线 于 M、 N 两
38、 点 ， 以 线 段 MN 为 对 角 线 作 菱 形 MPNQ， 当 点 P 在 x轴 上 ， 且 PQ= 12 MN时 ， 求 菱 形 对 角 线 MN 的 长 . 解 析 ： (1)由 条 件 可 求 得 B、 C 坐 标 ， 利 用 待 定 系 数 法 可 求 得 抛 物 线 解 析 式 ， 进 一 步 可 求 得 D点 坐 标 ；(2)过 F 作 FG x 轴 于 点 G， 可 设 出 F 点 坐 标 ， 利 用 FAG BDE， 由 相 似 三 角 形 的 性 质 可得 到 关 于 F点 坐 标 的 方 程 ， 可 求 得 F 点 的 坐 标 ；(3)可 求 得 P点 坐 标 ，
39、设 T 为 菱 形 对 角 线 的 交 点 ， 设 出 PT 的 长 为 n， 从 而 可 表 示 出 M点 的 坐标 ， 代 入 抛 物 线 解 析 式 可 得 到 n 的 方 程 ， 可 求 得 n 的 值 ， 从 而 可 求 得 MN的 长 .答 案 ： (1) OB=OC=6， B(6， 0)， C(0， 6)， 21 6 6 02 6 b cc ， 解 得 26bc ， 抛 物 线 解 析 式 为 y= 12 x2 2x 6， 221 1-2 -6 -2 -82 2y x x x ， 点 D的 坐 标 为 (2， 8).(2)如 图 1， 过 F作 FG x轴 于 点 G， 设 F(
40、x， 12 x2 2x 6)， 则 FG=| 12 x2 2x 6|，在 y= 12 x2 2x 6中 ， 令 y=0可 得 12 x2 2x 6=0， 解 得 x= 2或 x=6， A( 2， 0)， OA=2， 则 AG=x+2， B(6， 0)， D(2， 8)， BE=6 2=4， DE=8，当 FAB= EDB时 ， 且 FGA= BED， FAG BDE， FG AGBE DE ， 即 21 2 6 4 12 2 8 2x xx ， 当 点 F在 x轴 上 方 时 ， 则 有 21 2 6 12 2 2x xx ， 解 得 x= 2(舍 去 )或 x=7， 此 进 F 点 坐 标
41、为(7， 92 )；当 点 F 在 x 轴 上 方 时 ， 则 有 21 2 6 12 2 2x xx ， 解 得 x= 2(舍 去 )或 x=5， 此 进 F 点 坐 标为 (5， 72 )；综 上 可 知 F点 的 坐 标 为 (7， 92 )或 (5， 72 ).(3) 点 P 在 x 轴 上 ， 由 菱 形 的 对 称 性 可 知 P(2， 0)，如 图 2， 当 MN 在 x 轴 上 方 时 ， 设 T为 菱 形 对 角 线 的 交 点 ， PQ= 12 MN， MT=2PT，设 PT=n， 则 MT=2n， M(2+2n， n)， M 在 抛 物 线 上 ， n= 12 (2+2n)2 2(2+2n) 6， 解 得 n=1 654 或 n=1 654 ， MN=2MT=4n= 65 +1；当 MN 在 x 轴 下 方 时 ， 同 理 可 设 PT=n， 则 M(2+2n， n)， n= 12 (2+2n) 2 2(2+2n) 6， 解 得 n= 1 654 或 n= 1 654 (舍 去 )， MN=2MT=4n= 65 1；综 上 可 知 菱 形 对 角 线 MN 的 长 为 65 +1或 65 1.
