1、2 0 1 7年广东省茂名市高考一模数学文一、选择题：本大题共1 2个小题；每小题5分，共6 0分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1 .已知集合P=xN|1x1 0 ，集合Q=xR|x2 -x-60 ，则PQ等于( )A.1，2，3 B.1，2 C.1，2 D.1，3 )解析：P=xN|1x1 0 =1，2，3，4，5，6，7，8，9，1 0 ，Q=xR|-2x3 ，则PQ=1，2 .答案：B. 2已知a是实数，1a ii是纯虚数，则a=( )A.1B.-1C. 2D.- 2解析：由 1 1 11 1 1 2 2a i ia i a a ii i i 是纯虚数，则1=
2、02a且1 02a ，故a=1 . 答案：A.3 .函数1 1ln 22y x x x 的零点所在的区间是( )A.(1e，1 )B.(1，2 )C.(2，e)D.(e，3 )解析：函数1 1ln 22y x x x (x0 )，21 11 02y x x ， 函数1 1ln 22y x x x 在定义域(0，+)上是单调增函数；又x=2时，1 1 1 1ln2 2 2 ln2 02 2 2 2y ， x=e时，1 1 1 1ln 2 2 02 2y e e ee e ，因此函数1 1ln 22y x x x 的零点在(2，e)内.答案：C.4 .在1，3，5 和2，4 两个集合中各取一个数组
3、成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是( )A.13B. 12C.16 D.14解析：符合条件的所有两位数为：1 2，1 4，2 1，4 1，3 2，3 4，2 3，4 3，5 2，5 4，2 5，4 5共1 2个，能被4整除的数为1 2，3 2，5 2共3个，所求概率3 112 4p .答案：D.5 .对于向量a b c 、 、和实数，下列命题中真命题是( )A.若0a b ，则a =0或b =0 B.若0a ，则=0或0a C.若2 2a b ，则=a b 或-a b D.若a b a c ，则b c 解析：a b 时也有0a b ，A不正确；B正确；设a(2，2 )，1 )7(b ，此
4、时2 2a b ，但=a b 或-a b 不成立，C错误；a b a c 得不到b c ，如a为零向量或a与b、c垂直时，D错误. 答案：B.6 .已知ABC的面积为3，且C=3 0，BC=2 3，则AB等于( ) A.1B. 3C.2D.2 3解析：由题意得，1 1 1sin2 2 322 3ABCS AC BC C AC ，解得AC=2，由余弦定理得，AB 2 =AC2 +BC2 -2 ACBCcosC= 34 12 2 2 2 3 42 ，所以AB=2 .答案：C.7 .我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是
5、：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( ) A.6斤B.9斤C.9 .5斤D.1 2斤解析：依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a1 =4，则a5 =2，由等差数列性质得a2 +a4 =a1 +a5 =6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤.答案：A.8 .已知函数 ( 3)3cosf x x (0 )和g(x)=2 sin(2 x+)+1的图象的对称轴完全相同， 若x0，3 ，则f(x)的取值范围是( )A.-3，3
6、B. 32，3 C.-3，3 32 D.-3，32 解析：因为函数f(x)和g(x)的图象的对称轴完全相同，故f(x)和g(x)的周期相同，所以=2，所以 ( 3)3cosf x x ，由x0，3 ，得2 3 3x ，根据余弦函数的单调性，当2 x+ 3，即x3时，f (x)min=-3，当2 3 3x ，即x=0时，f (x)max= 32，所以f(x)的取值范围是-3，32 .答案：D. 9 .执行如图的程序框图，若输出的结果是3132，则输入的a为( ) A.3B.4C.5D.6解析：由程序框图知：算法的功能是求1 21 1 12 2 2nS 的值，1 112 2 1 3111 2 32
7、1 2 n nS .n=5，跳出循环的n值为5，判断框的条件为n5 .即a=5 . 答案：C.1 0 .一个几何体的三视图如图所示，其表面积为6 2 ，则该几何体的体积为( ) A.4B.2C.113 D.3解析：由三视图可知：该几何体从左到右由三部分组成，分别为三棱锥、圆柱、半球.表面积为216 2 2 2 2 2 22 r r r r r ，解得r=1 .该几何体的体积2 2 31 22 33 3V r r r r r .答案：D. 1 1 .已知F1，F2分别是双曲线2 22 2 1y xa b (a，b0 )的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于
8、点M，若点M在以线段F1 F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1，2 )B.(2，+)C.(1，2 )D.( 2，+)解析：如图，不妨设F 1 (0，c)，F2 (0，-c)，则过F1与渐近线ay xb平行的直线为ay x cb ， 联立ay x cbay xb -解得22bcx acy 即2( )2bc cM a ，因M在以线段F1 F2为直径的圆x2 +y2 =c2内，故2 2 22 2bc c ca ，化简得b23 a2，即c2 -a23 a2，解得2ca，又双曲线离心率1ce a ，所以双曲线离心率的取值范围是(1，2 ).答案：A.1 2 .已知f(x)=|xe
9、x|，又g(x)=f2 (x)+tf(x)(tR)，若满足g(x)=-1的x有四个，则t的取值范围为( )A.(-，2 1e e )B.( 2 1e e，+)C.( 2 1e e，-2 ) D.(2，2 1e e )解析：g(x)=-1的x有四个，f2 (x)+tf(x)-1 =0有4个根，f(x)=|xex|的图象如图： 在x0时，有最大值f(-1 )=1e， 故要使有四个解，则f2 (x)+tf(x)-1 =0一根在(0，1e )中间，一根在(1e，+)，y(1e )0，21 1 1 0te e ，21 1 1t e e ，21 1et ee e .答案：A. 二、填空题：本大题共4小题，
10、每小题5分，共2 0分.把答案填在答题卡的相应位置.1 3 .设x，y满足约束条件02 01xx yx y ，则z=2 x+y的最大值是_.解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示 做直线L：2 x+y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图象可知当直线z=2 x+y过点A时，z最大由12 0 x yx y 可得A(2，1 )即当x=2，y=1时，zmax=5 .答案：51 4 .若(0，)，且sin2+2 cos2=2，则tan=_.解析：sin2+2 cos2=2， 由二倍角公式得2 sincos+2 (1 -2 sin2)=2，即(cos-2 sin)sin=0，(0，)，sin0，co
11、s-2 sin=0，故sin 1tan cos 2 .答案：12 .1 5 .已知直线x-2 y+2 =0与圆C相切，圆C与x轴交于两点A (-1，0 )、B (3，0 )，则圆C的方程为_.解析：圆C与x轴交于两点A(-1，0 )、B(3，0 )，由垂径定理得圆心在x=1这条直线上.设圆心坐标为C(1，b)，圆半径为r，则C到切线x-2 y+2 =0的距离等于r=|CA|， 2 21 2 2 25b b ，即b2 +1 2 b+1 1 =0，解得b=-1或b=-1 1 .圆C的方程为(x-1 )2 +(y+1 )2 =5或(x-1 )2 +(y+1 1 )2 =1 2 5 .答案：(x-1
12、)2 +(y+1 )2 =5或(x-1 )2 +(y+1 1 )2 =1 2 51 6 .过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB，AC，AD，且两两夹角都为6 0，若球半径为R，则BCD的面积为_.解析：法1，由条件A-BCD是正四面体，BCD是正三角形，A，B，C，D为球上四点，将正三棱锥A-BCD补充成一个正方体AGBH-FDEC如图，则正三棱锥A-BCD和正方体AGBH-FDEC有共同的外接球，BCD的边长就是正方体面的对角线，设正方体AGBH-FDEC的棱长为a，则正方体外接球半径R满足： a2 +a2 +a2 =(2 R)2，解得2 243a R，所以2 2 2 283BC a a
13、 R ，BCD的面积2 21 1 8 3 2 3sin602 2 3 2 3S BC BD R R .法2，由条件A-BCD是正四面体，BCD是正三角形，A，B，C，D为球上四点，球心O在正四面体中心如图5，设BC=a，CD的中点， 为E，O1为过点B，C，D截面圆圆心，则截面圆半径1 2 2 3 33 3 2 3r O B BE a a ，正四面体A-BCD的高221 3 63 3AO a a a .截面BCD与球心的距离dOO163 a R，在RtBOO1中，2 223 63 3a R a R ，解得2 63a R .BCD的面积为S2 21 1 2 6 3 2 3sin602 2 3 2
14、 3BC BD R R . 答案：22 33 R三、解答题：本大题共5小题，共7 0分.其中1 7至2 1题为必做题，2 2、2 3题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7 .在等差数列an中，a2 =4，前4项之和为1 8 .()求数列an的通项公式；()设22annb n ，求数列bn的前n项和Tn.解析：()利用已知条件列出方程组，求出首项与公差，即可求数列a n的通项公式；()利用错位相减法求和，求解即可.答案：()设等差数列an的公差为d.由已知得1 1 44 34 182a da d 解得1 31ad .所以a n=n+2 .()由()可得bn=n2 n， T
15、n=b1 +b2 +b3 +bn=12 +22 2 +32 3 +n2 n2 Tn=12 2 +22 3 +32 4 +(n-1 )2 n+n2 n+1-得：-Tn2 +2 2 +2 3 +2 n-n2 n+1 1 1 12 2 2 1 2 21 2n n nnT n n 11 2 2nnT n 1 8 .如图1，在边长为2 3的正方形ABCD中，E、O分别为AD、BC的中点，沿EO将矩形ABOE折起使得BOC=1 2 0，如图2，点G在BC上，BG=2 GC，M、N分别为AB、EG中点.()求证：OEMN； ()求点M到平面OEG的距离.解析：()取OG的中点的H，连结HN，HB，证明12H
16、N OE，推出四边形MNHB为平行四边形，得到MNBH，证明OE平面OBC，然后推出OEMN.()说明点M到平面OEG的距离为点B到平面OEG的距离，在三角形OBC中，推出 OBG=3 0，在OBC中，求出BG=2，求出OG，然后求解点B到平面OEG的距离.答案：()如图，取OG的中点的H，连结HN，HB，由N为EG中点，得GOE中位线HNOE，且12HN OE，又BMOE，M为且AB中点，故1 12 2BM AB OE ，HNBM，且HN=BM四边形MNHB为平行四边形，MNBH.在正方形ABCD中，E、O分别为AD、BC的中点OE OBOE OCOB OC O 得OE平面OBC， 又BH平
17、面OBC，OEBH，OEMN.()解：在边长为2 3的正方形ABCD中，E、O分别为AD、BC的中点ABOE，又OE平面OEG，AB平面OEG，AB平面OEG，点M到平面OEG的距离为点B到平面OEG的距离. 在三角形OBC中，OB=OC= 3，BOC=1 2 0，OBG=3 0，在OBC中，由余弦定理得BC=3，又BG=2 GC，BG=2，同法由余弦定理得OG=1，OB2 +OG2 =BG2，即OBOG.由()知OE平面OBC，又OB?平面OBC，OEOB，又OEOG=O，BO平面OEG，点B到平面OEG的距离为BO= 3.即点M到平面OEG的距离为3.1 9 .随着社会的发展，终身学习成为
18、必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂 有工人1 0 0 0名，其中2 5 0名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外7 5 0名工人参加过长期培训(称为B类工人)，从该工厂的工人中共抽查了1 0 0名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)得到A类工人生产能力的茎叶图(图1 )，B类工人生产能力的频率分布直方图(图2 ). ()问A类、B类工人各抽查了多少工人，并求出直方图中的x；()求A类工人生产能力的中位数，并估计B类工人生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；()若规定生产能力在1 3 0，1 5 0 内为能力优秀，由以上统计数据在答题
19、卡上完成下面的22列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0 .1 %的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关.能力与培训时间列联表短期培训长期培训合计能力优秀能力不优秀合计参考数据： P(K2k) 0 .1 5 0 .1 0 0 .0 5 0 .0 2 5 0 .0 1 0 0 .0 0 5 0 .0 0 1K 2 .0 7 2 2 .7 0 6 3 .8 4 1 5 .0 2 4 6 .6 3 5 7 .8 7 9 1 0 .8 2 8参考公式： 22 n ad bcK a b c d a c b d ，其中n=a+b+c+d.解析：()由茎叶图知A类工人中抽查人数为2 5名，B类工人中应
20、抽查1 0 0 -2 5 =7 5，由频率 分布直方图求出x；()由茎叶图知A类工人生产能力的中位数为1 2 2，由()及频率分布直方图，估计B类工人生产能力的平均数；()求出K2，与临界值比较，即可得出结论.答案：()由茎叶图知A类工人中抽查人数为2 5名，B类工人中应抽查1 0 0 -2 5 =7 5 (名).由频率分布直方图得(0 .0 0 8 +0 .0 2 +0 .0 4 8 +x)1 0 =1，得x=0 .0 2 4 .()由茎叶图知A类工人生产能力的中位数为1 2 2由()及频率分布直方图，估计B类工人生产能力的平均数为xB=1 1 50 .0 0 81 0 +1 2 50 .0
21、 2 01 0 +1 3 50 .0 4 81 0 +1 4 50 .0 2 41 0 =1 3 3 .8()由()及所给数据得能力与培训的22列联表，短期培训长期培训合计 能力优秀8 5 4 6 2能力不优秀1 7 2 1 3 8合计2 5 7 5 1 0 0由上表得2 2100 8 21 17 54 100 750 12.733 10.82825 75 38 62 25 75 38 62( )k 因此，可以在犯错误概率不超过0 .1 %的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关.2 0 .已知定点Q( 3，0 )，P为圆N： 2 2 43 2x y 上任意一点，线段QP的垂直平分线交NP于点
22、M.()当P点在圆周上运动时，求点M (x，y)的轨迹C的方程； ()若直线l与曲线C交于A、B两点，且0OA OB ，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程.解析：()求出圆N的圆心坐标为N(- 3，0 )，半径为2 6，|MP|=|MQ|，得到|MN|+|MQ|=|MN|+|MP|=|NP|=2 6|NQ|，利用椭圆的定义，求解点M的轨迹C的方程.()当直线的斜率存在时，设直线l为y=kx+m，A(x1，y1 )，B(x2，y2 )，联立直线与椭圆的方程，得2 22 6x yy kx m 消去y，通过直线与椭圆有两个不同的交点，利用判别式以及韦达定理，通过0OA OB ，求解即可
23、，当直线的斜率不存在时，直线为x=m，验证求解即可. 答案：()依题意可得：圆N的圆心坐标为N(- 3，0 )，半径为2 6，|MP|=|MQ|，则|MN|+|MQ|=|MN|+|MP|=|NP|=2 6|NQ|根据椭圆的定义，点M的轨迹是以N、Q为焦点，长轴长为2 6的椭圆， 即2 a=2 6，2 c=2 3，2 2 3b a c .所以点M的轨迹C的方程为：2 2 16 3x y .()当直线的斜率存在时，设直线l为y=kx+m，A(x1，y1 )，B(x2，y2 )，联立直线与椭圆的方程，得2 22 6x yy kx m 消去y并整理得(1 +2 k2 )x2 +4 kmx+2 m2 -
24、6 =0 .因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以=1 6 k 2 m2 -4 (1 +2 k2 )(2 m2 -6 )0，化简得：m26 k2 +3由韦达定理得：1 2 241 2kmx x k -，21 2 22 61 2mx x k . 2 21 2 1 2 261 2m ky y kx m kx m k .0OA OB ，x 1 x2 +y1 y2 =0，即2 2 22 22 6 6 01 2 1 2m m kk k ，整理得m2 =2 k2 +2满足式，2 21mk ，即原点到直线l为的距离是2，直线l与圆x2 +y2 =2相切.当直线的斜率不存在时，直线为x=m，与椭圆C交点为2 2
25、6 62 2m mA m B m ， ， ，0OA OB ，22 3 0 22mm m . 此时直线为2x ，显然也与圆x2 +y2 =2相切.综上，直线l与定圆E：x2 +y2 =2相切.2 1 .已知函数 1 af x x (aR).()当a=0时，求曲线f (x)在x=1处的切线方程；()设函数h(x)=alnx-x-f(x)，求函数h (x)的极值；()若g(x)=alnx-x在1，e(e=2 .7 1 8 2 8)上存在一点x0，使得g(x0 )f(x0 )成立，求a的取值范围.解析：()求出函数的导数，计算f(1 )，f(1 )，求出切线方程即可；()求出h(x)的导数，通过讨论a
26、的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； ()问题转化为函数 1ln ah x a x x x 在1，e上，有h(x)max0，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出a的范围即可.答案：()当a=0时， 1f x x，f (1 )=1，则切点为(1，1 )， 21f x x ，切线的斜率为k=f(1 )=-1，曲线f(x)在点(1，1 )处的切线方程为y-1 =-(x-1 )，即x+y-2 =0()依题意 1ln ah x a x x x ，定义域为(0，+)， 22 2 21 1111 x x ax ax aa ah x x x x x ， 当a+10，即a-1时，令h(x
27、)0，x0，0 x1 +a，此时，h(x)在区间(0，a+1 )上单调递增，令h(x)0，得x1 +a.此时，h(x)在区间(a+1，+)上单调递减.当a+10，即a-1时，h(x)0恒成立，h(x)在区间(0，+)上单调递减.综上，当a-1时，h(x)在x=1 +a处取得极大值h(1 +a)=aln(1 +a)-a-2，无极小值；当a-1时，h(x)在区间(0，+)上无极值.()依题意知，在1，e上存在一点x0，使得g(x0 )f(x0 )成立，即在1，e上存在一点x 0，使得h(x0 )0，故函数 1ln ah x a x x x 在1，e上，有h(x)max0 .由()可知，当a+1e，
28、即ae-1时，h(x)在1，e上单调递增， max 1 0ah x h e a e e ，2 11ea e ，2 1 11e ee ，2 11ea e .当0a+11，或a-1，即a0时，h(x)在1，e上单调递减，h(x) max=h(1 )=-1 -1 -a0，a-2 .当1a+1e，即0ae-1时，由()可知，h(x)在x=1 +a处取得极大值也是区间(0，+)上的最大值，即h(x)max=h(1 +a)=aln(1 +a)-a-2 =aln(1 +a)-1 -2，0ln(a+1 )1，h(1 +a)0在1，e上恒成立，此时不存在x0使h(x0 )0成立.综上可得，所求a的取值范围是2
29、11ea e 或a-2 .请考生在第2 2、2 3两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.选修4 -4：坐标系与参数方程 2 2 .在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为2 5cos2sinxy (为参数).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2 +4cos?2sin+40 .()写出曲线C1，C2的普通方程；()过曲线C1的左焦点且倾斜角为4的直线l交曲线C2于A，B两点，求|AB|.解析：()消去参数及利亚极坐标与直角坐标互化方法，写出曲线C1，C2的普通方程；()直线l的参数方程为：24 222x ty t (t为参数)，将其代入曲线C 2整理可得
30、：2 3 2 4 0t t ，利用参数的几何运用求|AB|.答案：() 2 2 2 22 5cos cos sin 122 52sin x yxy 即C 1的普通方程为2 2 120 4x y .2 =x2 +y2，x=cos，y=sin，C2可化为x2 +y2 +4 x-2 y+4 =0，即(x+2 )2 +(y-1 )2 =1 .()曲线C1左焦点为(-4，0 )，直线l的倾斜角为4，sincos22 .所以直线l的参数方程为：24 222x ty t (t为参数)， 将其代入曲线C2整理可得：2 3 2 4 0t t ，所以 23 2 4 4 2 0 .设A，B对应的参数分别为t1，t2
31、，则t1 +t23 2，t1 t24 .所以 221 2 1 2 1 24 3 2 4 4 2AB t t t t t t .选修4 -5：不等式选讲2 3 .已知函数f(x)=|2 x-a|+|2 x+3 |，g(x)=|x-1 |+2 .()若a=1，解不等式f(x)6； ()若对任意x1R，都有x2R，使得f(x1 )=g(x2 )成立，求实数a的取值范围.解析：()通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；()问题转化为y|y=f(x)y|y=g(x)，分别求出f(x)，g(x)的最小值，得到关于a的不等式，解出即可.答案：()当a=1时，f(x)6，即|2 x-1 |+|2 x+3 |6，即321 2 2 3 6x x x 或3 12 22 3 1 2 6xx x 或122 1 2 3 6xx x ，32 2x 或3 12 2x 或1 12 x ，-2x1，所以不等式f(x)6的解集为x|-2x1 . ()对任意x1R，都有x2R，使得f(x1 )=g(x2 )成立，则有y|y=f(x)y|y=g(x)，又f(x)=|2 x-a|+|2 x+3 |(2 x-a)-(2 x+3 )|=|a+3 |，g(x)=|x-1 |+22，从而|a+3 |2，解得a-5或a-1，故a(-，-5 -1，+).
