1、2 0 1 7年广东省广州市高考一模数学理一、选择题：本小题共1 2题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .复数 2 21 1i i 的共轭复数是( )A.1 +iB.1 -iC.-1 +iD.-1 -i解析： 2 2 121 2 2 1 11 1 1ii i i i ii i i 的共轭复数是1 -i. 答案：B.2 .若集合M=x|x|1 ，N=y|y=x2，|x|1 ，则( )A.M=NB.M NC. N MD.M N 解析：由题意，N=y|y=x2，|x|1 =y|0y1 ，N M，答案：C. 3 .已知等比数列an的各项都为正数，且a3，512 a，
2、a4成等差数列，则3 54 6a aa a的值是( )A. 5 12B. 5 12C. 3 52 D. 3 52解析：设等比数列an的公比为q，且q0，a3，512 a，a4成等差数列， 2512 aa3 +a4，则a3 q2a3 +a3 q，化简得，q2 -q-1 =0，解得1 52q ，则5 12q ，3 5 3 54 6 3 5 1 2 5 125 1a a a aa a a q a q q ，答案：A. 4 .阅读如图的程序框图.若输入n=5，则输出k的值为( ) A.2B.3C.4D.5解析：第一次执行循环体，n=1 6，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体，n=4 9，不
3、满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体，n=1 4 8，不满足退出循环的条件，k=3；第四次执行循环体，n=4 4 5，满足退出循环的条件，故输出k值为3，答案：B5 .已知双曲线C：2 22 14x ya 的一条渐近线方程为2 x+3 y=0，F 1，F2分别是双曲线C的左， 右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1 |=7，则|PF2 |等于( )A.1B.1 3C.4或1 0D.1或1 3解析：由双曲线的方程、渐近线的方程可得2 23a ，a=3 .由双曲线的定义可得|PF2 |-7 |=6，|PF2 |=1或1 3 .答案：D.6 .如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几
4、何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是( ) A.B.C.D.解析：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P-ABCD，如图所示， 该几何体的俯视图为D.答案：D. 7 .五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么，没有相邻的两个人站起来的概率为( )A. 12B. 1532C. 1132D. 516解析：五个人的编号为1，2，3，4，5 .由题意，所有事件，共有2 5 =3 2种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有(1 )，(2 )，(3
5、 )，(4 )，(5 )，(1，3 )，(1，4 )，(2，4 )，(2，5 )，(3，5 )，再加上没有人站起来的可能有1种，共1 1种情况，没有相邻的两个人站起来的概率为1132，答案：C.8 .已知F 1，F2分别是椭圆C：2 22 2 1x ya b (ab0 )的左、右焦点，椭圆C上存在点P使F1 PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是( )A.( 22，1 )B.( 12，1 )C.(0，22 )D.(0，12 ) 解析：设P(x0，y0 )，则|x0 |a，又F1 (-c，0 )，F2 (c，0 )，又F1 PF2为钝角，当且仅当1 2 0PF PF 有解，即 20 0 0
6、0 0 0 0 0c x y c x y c x c x y ， ， ，即有c2x0 2 +y0 2有解，即c2(x0 2 +y0 2 )min.又22 2 20 02by b xa ， 22 2 2 2 2 20 0 02 cx y b x b aa ， )，即(x0 2 +y0 2 )min=b2 .故c2b2，c2a2 -c2，22 12ca ，即22e，又0e1，22e1 .答案：A. 9 .已知p：x0，ex-ax1成立，q：函数f(x)=-(a-1 )x是减函数，则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：p：x0，ex-ax1成立
7、，则1xea x，令 1xef x x，则 2 1x xe x ef x x .令g(x)=exx-ex+1，则g(0 )=0，g(x)=xe x0，g(x)0，f(x)0，a0 .q：函数f(x)=-(a-1 )x是减函数，则a-11，解得a2 .则p是q的必要不充分条件.答案：B.1 0 .九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( )A.8B.1 2C.2 0D.2 4 解析：由题意，PC为球
8、O的直径，4 16 2 5PC ，球O的半径为5，球O的表面积为45 =2 0，答案：C.1 1 .若直线y=1与函数f(x)=2 sin2 x的图象相交于点P(x1，y1 )，Q(x2，y2 )，且1 2 23x x ， 则线段PQ与函数f(x)的图象所围成的图形面积是( )A. 2 33 B. 33 C. 2 3 23 D. 3 23 解析：函数f(x)=2 sin2 x，周期T=，令2 sin2 x=1，解得：12x k 或56k ， 直线y=1与函数f(x)=2 sin2 x的图象相交于点从左向右依次是12，512，1312，1 2 23x x 令x1 = 512，x2 =1312，可
9、得：线段PQ与函数f(x)的图象所围成的图形面积32 4512 22 21 2 2sin 2 2 2sin 2 33 3S xdx xdx .答案：A 1 2 .已知函数 3 23 3 12 4 8f x x x x ，则20161 2017k kf 的值为( )A.0B.5 0 4C.1 0 0 8D.2 0 1 6解析： 3 2 3 23 3 1 3 3 1 1 1 132 4 8 2 4 8 4 2 4f x x x x x x x x .1 2017 1 02017 2 2017 2k k ，k=1，2，2 0 1 6 . 3 31 2017 1 02017 2 2017 2k k ，
10、k=1，2，2 0 1 6 .20161 1 2016 5042017 4k kf .答案：B. 二、填空题：本小题共4题，每小题5分.1 3 .已知1a ，2b ，且 a a b ，则向量a与向量b的夹角是_.解析：设向量a与向量b的夹角是，则由题意可得 2 1 1 2 cos 0a a b a a b ，求得2cos 2 ，可得4 ，答案：4 . 1 4 .(3 -x)n的展开式中各项系数和为6 4，则x3的系数为_(用数字填写答案)解析：令x=1，则2 n=6 4，解得n=6 .(3 -x)6的通项公式为： 6 61 6 63 1 3rr r r r rrT C x rC x ，令r=3
11、，则x3的系数为3 36 3C =-5 4 0 .答案：-5 4 0 .1 5 .已知函数 1 22 01 log 0 x xf x x x ， ， ，若|f(a)|2，则实数a的取值范围是_.解析：由题意知， 1 22 01 log 0 x xf x x x ， ， ， 当a0时，不等式|f(a)|2为|2 1 -a|2，则2 1 -a2，即1 -a1，解得a0；当a0时，不等式|f(a)|2为|1 -log2 a|2，则1 -log2 a2或1 -log2 a-2，即log2 a-1或log2 a3，解得0a12或a8；综上可得，实数a的取值范围是(-，12 8，+)，答案：(-，12 8
12、，+).1 6 .设S n为数列an的前n项和，已知a1 =2，对任意p、qN*，都有ap+q=ap+aq，则 601nSf n n (nN*)的最小值为_.解析：对任意p、qN*，都有ap+q=ap+aq，令p=n，q=1，可得an+1 =an+a1，则an+1 -an=2，数列an是等差数列，公差为2 . 212 22n n nS n n n .则 260 60 601 11 1 1nS n nf n nn n n ，令g(x)=x+ 60 x (x1 )，则 22 260 601 xg x x x ，可得x1，60 )时，函数g(x)单调递减；x 60，+)时，函数g(x)单调递增.又f
13、(7 )=1 4 + 12，f(8 )=1 4 + 23 .f(7 )f(8 ). 601nSf n n (nN*)的最小值为292 .答案：292 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7 .如图，在ABC中，点P在BC边上，PAC=6 0，PC=2，AP+AC=4 .()求ACP； ()若APB的面积是3 32，求sinBAP.解析：()在APC中，由余弦定理得AP2 -4 AP+4 =0，解得AP=2，可得APC是等边三角形，即可得解.()法1：由已知可求APB=1 2 0.利用三角形面积公式可求PB=3 .进而利用余弦定理可求AB，在APB中，由正弦定理可求3sin
14、120sin 19BAP 的值.法2：作ADBC，垂足为D，可求：PD1，AD3，PAD3 0，利用三角形面积公式可求PB，进而可求BD，AB，利用三角函数的定义可求4sin 19BDBAD AB ，3cos 19ADBAD AB .利用两角差的正弦函数公式可求sinBAP=sin(BAD-3 0)的值. 答案：()在APC中，因为PAC=6 0，PC=2，AP+AC=4，由余弦定理得PC2 =AP2 +AC2 -2APACcosPAC，所以2 2 =AP2 +(4 -AP)2 -2AP(4 -AP)cos6 0，整理得AP2 -4 AP+4 =0，解得AP=2 .所以AC=2 .所以APC是
15、等边三角形.所以ACP=6 0.()法1：由于APB是APC的外角，所以APB=1 2 0.因为APB的面积是3 32，所以1 3 3sin2 2AP PB APB .所以PB=3 . 在APB中，AB2 =AP2 +PB2 -2APPBcosAPB=2 2 +3 2 -223cos1 2 0=1 9，所以AB19 .在APB中，由正弦定理得sin sinAB PBAPB BAP ，所以3sin120 3 57sin 3819BAP .法2：作ADBC，垂足为D， 因为APC是边长为2的等边三角形，所以PD1，AD3，PAD3 0.因为APB的面积是3 32，所以1 3 32 2AD PB .
16、所以PB=3 .所以BD=4 .在RtADB中，2 2 19AB BD AD ，所以4sin 19BDBAD AB ，3cos 19ADBAD AB . 所以sinBAP=sin(BAD-3 0)=sinBADcos3 0-cosBADsin3 0= 4 3 3 1 3 572 2 3819 19 . 1 8 .近年来，我国电子商务蓬勃发展.2 0 1 6年“6 1 8”期间，某网购平台的销售业绩高达5 1 6亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统.从该评价系统中选出2 0 0次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0 .6，对服务的满意率为
17、0 .7 5，其中对商品和服务都满意的交易为8 0次.()根据已知条件完成下面的22列联表，并回答能否有9 9 %的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？对服务满意对服务不满意合计对商品满意8 0对商品不满意合计2 0 0()若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX. 附： 22 n ad bcK a b c d a c b d (其中n=a+b+c+d为样本容量)P(K2k) 0 .1 5 0 .1 0 0 .0 5 0 .0 2 5 0 .0 1 0K 2 .0 7 2 2 .7 0 6 3 .8
18、 4 1 5 .0 2 4 6 .6 3 5解析：()利用数据直接填写联列表即可，求出X2，即可回答是否有9 5 %的把握认为性别和对手机的“认可”有关；()由题意可得X的可能值，分别可求其概率，可得分布列，进而可得数学期望.答案：()22列联表：对服务满意对服务不满意合计对商品满意8 0 4 0 1 2 0对商品不满意7 0 1 0 8 0合计1 5 0 5 0 2 0 02 2 200 80 10 40 70 11.111150 50 120( 8 )0K ，因为1 1 .1 1 16 .6 3 5，所以能有9 9 %的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”.()每次购物时，对
19、商品和服务都满意的概率为25，且X的取值可以是0，1，2，3 . 33 270 5 125P X ； 213 2 3 541 5 5 125P X C ； 2 123 2 3 362 5 5 125P X C ； 3 033 2 3 83 5 5 125P X C . X的分布列为：X 0 1 2 3P 27125 54125 36125 8125 所以27 54 36 8 60 1 2 3125 125 125 125 5EX .1 9 .如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDDC，点E是BC边的中点，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图
20、2所示的几何体.()求证：AB平面ADC；()若AD=1，二面角C-AB-D的平面角的正切值为6，求二面角B-AD-E的余弦值. 解析：()证明DCAB.ADAB即可得AB平面ADC.()由()知AB平面ADC，即二面角C-AB-D的平面角为CAD二面角C-AB-D的平面角的正切值为6，解得AB，如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面BAD的法向量n(0，1，0 )，平面ADE的法向量，即可得二面角B-AD-E的余弦值答案：()因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，又BDDC，所以DC平面ABD.因为AB平面ABD，所以DCAB.又因为折叠前后均有ADAB，DCAD=
21、D，所以AB平面ADC.()由()知AB平面ADC，所以二面角C-AB-D的平面角为CAD.又DC平面ABD，AD平面ABD，所以DCAD. 依题意tan 6CDCAD AD .因为AD=1，所以6CD .设AB=x(x0 )，则2 1BD x .依题意ABDBDC，所以AB CDAD BD，即261 1x x .解得x2，故AB2，BD3，2 2 3BC BD CD .如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz，则D(0，0，0 )，B( 3，0，0 )，C(0，6，0 )，3 6 02 2E ， ， ，3 603 3A ， ， 所以3 6 02 2DE ， ，3 603 3DA ， ， .由(
22、)知平面BAD的法向量n(0，1，0 ).设平面ADE的法向量m(x，y，z)由0m DE ，0m DA 得3 6 02 23 6 03 3x yx z .令x6，得y- 3，z- 3， 所以 6 3 3m ， ， .所以1cos 2nm n m n m ， .由图可知二面角B-AD-E的平面角为锐角，所以二面角B-AD-E的余弦值为12 . 2 0 .过点P(a，-2 )作抛物线C：x2 =4 y的两条切线，切点分别为A(x1，y1 )，B(x2，y2 ).()证明：x1 x2 +y1 y2为定值；()记PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是
23、否恒过点F？并说明理由.解析：()求导，求得直线PA的方程，将P代入直线方程，求得21 12 8 0 x ax ，同理可知222 2 8 0 x ax .则x1，x2是方程x2 -2 ax-8 =0的两个根，则由韦达定理求得x1 x2，y1 y2的值，即可求证x 1 x2 +y1 y2为定值；设切线方程，代入抛物线方程，由=0，则k1 k2 =-2，分别求得切线方程，代入即可求证x1 x2 +y1 y2为定值；()直线PA的垂直平分线方程为1 112 22 2y x ay xx ，同理求得直线PB的垂直平分线方程，求得M坐标，抛物线C的焦点为F(0，1 )，则2 23 3 02 2a aMF
24、PF ， 则MF PF .则以PM为直径的圆恒过点F.答案：()证明：法1：由x2 =4 y，得214y x，所以12y x .所以直线PA的斜率为112 x .因为点A(x1，y1 )和B(x2，y2 )在抛物线C上，所以21 114y x，22 214y x .所以直线PA的方程为 21 1 11 14 2y x x xx - .因为点P(a，-2 )在直线PA上，所以 21 1 11 12 4 2 xax x ，即21 12 8 0 x ax .同理，222 2 8 0 x ax . 所以x1，x2是方程x2 -2 ax-8 =0的两个根.所以x1 x2 =-8 .又 22 21 2 1
25、 2 1 21 1 1 44 4 16y y x x x x ，所以x1 x2 +y1 y2 =-4为定值.法2：设过点P(a，-2 )且与抛物线C相切的切线方程为y+2 =k(x-a)， 2 24y k x ax y ，消去y得x2 -4 kx+4 ka+8 =0，由=1 6 k 2 -4 (4 ak+8 )=0，化简得k2 -ak-2 =0 .所以k1 k2 =-2 .由x2 =4 y，得214y x=，所以12y x .所以直线PA的斜率为1 112k x，直线PB的斜率为2 212k x .所以1 21 24 x x ，即x1 x2 =-8 .又 22 21 2 1 2 1 21 1
26、1 44 4 16y y x x x x ，所以x 1 x2 +y1 y2 =-4为定值.()法1：直线PA的垂直平分线方程为1 112 22 2y x ay xx ，由于21 114y x，21 18 2x ax ，所以直线PA的垂直平分线方程为1 1124 2ax x ay xx .同理直线PB的垂直平分线方程为2 2224 2ax x ay xx . 由解得32x a，21 2ay ，所以点23 12 2aM a ， .抛物线C的焦点为F(0，1 )，则232 2aMF a ，PF(-a，3 ).由于2 23 3 02 2a aMF PF ，所以MF PF . 所以以PM为直径的圆恒过点
27、F.另法：以PM为直径的圆的方程为 23 2 1 02 2ax a x a y y .把点F(0，1 )代入上方程，知点F的坐标是方程的解.所以以PM为直径的圆恒过点F.法2：设点M的坐标为(m，n)，则PAB的外接圆方程为(x-m)2 +(y-n)2 =(m-a)2 +(n+2 )2，由于点A(x 1，y1 )，B(x2，y2 )在该圆上，则(x1 -m)2 +(y1 -n)2(m-a)2 +(n+2 )2，(x2 -m)2 +(y2 -n)2(m-a)2 +(n+2 )2 .两式相减得(x1 -x2 )(x1 +x2 -2 m)+(y1 -y2 )(y1 +y2 -2 n)=0，由()知x
28、1 +x22 a，x1 x2-8，21 114y x，22 214y x，代入上式得(x1 -x2 )(4 a-4 m+a3 +4 a-2 an)0，当x1x2时，得8 a-4 m+a3 -2 an=0，假设以PM为直径的圆恒过点F，则MF PF ，即(-m，n-1 )(-a，-3 )=0，得ma-3 (n-1 )=0，由解得m32 a，n211 2 a， 所以点23 12 2aM a ， .当x1 =x2时，则a=0，点M(0，1 ).所以以PM为直径的圆恒过点F.2 1 .已知函数 af x lnx x (a0 ).()若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围； ()证明：当2a e，b1
29、时， 1f lnb b .解析：()法一：求出函数f(x)的导数，得到函数的单调区间，求出f(x)的最小值，从而求出a的范围即可；法二：求出a=-xlnx，令g(x)=-xlnx，根据函数的单调性求出g(x)的最大值，从而求出a的范围即可；()令h(x)=xlnx+a，通过讨论a的范围，根据函数的单调性证明即可.答案：()法1：函数 af x lnx x 的定义域为(0，+).由 af x lnx x ，得 2 21 a x af x x x x .因为a0，则x(0，a)时，f(x)0；x(a，+)时，f(x)0 .所以函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，+)上单调递增. 当x=a时
30、，f(x)min=lna+1 .当lna+10，即10 a e时，又f(1 )=ln1 +a=a0，则函数f(x)有零点.所以实数a的取值范围为(0，1e .法2：函数 af x lnx x 的定义域为(0，+).由 af x lnx x 0，得a=-xlnx.令g(x)=-xlnx，则g(x)=-(lnx+1 ).当x(0，1e )时，g(x)0；当x( 1e，+)时，g(x)0 . 所以函数g(x)在(0，1e )上单调递增，在( 1e，+)上单调递减.故x1e时，函数g(x)取得最大值1 1 1 1g lne e e e .因而函数 af x lnx x 有零点，则0a1e .所以实数a
31、的取值范围为(0，1e .()证明：令h(x)=xlnx+a，则h(x)=lnx+1 .当0 x1e时，h(x)0；当x1e时，h(x)0 .所以函数h(x)在(0，1e )上单调递减，在( 1e，+)上单调递增. 当x1e时，h(x)min- 1e +a.于是，当a2e时， 1 1h x ae e .令(x)=xe-x，则(x)=e-x-xe-x=e-x(1 -x). 当0 x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0 .所以函数(x)在(0，1 )上单调递增，在(1，+)上单调递减.当x=1时，(x)max1e .于是，当x0时，(x)1e .显然，不等式、中的等号不能同时成立.故当x0，a2
32、e时，xlnx+axe-x.因为b1，所以lnb0 .所以lnbln(lnb)+alnbe -lnb.所以 1aln lnb lnb b ，即 1f lnb b .选修4 -4：坐标系与参数方程2 2 .在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为31x ty t (t为参数).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：2 2 4cos . ()求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；()求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.解析：()将直线l的参数方程31x ty t 消去t参数，可得直线l的普通方程，将cos=x，sin=y，2 =x2 +y2，带入2 2 cos 4 可得曲
33、线C的直角坐标方程.()法一：设曲线C上的点为 1 2 cos 1 2 sinP ，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值.法二：设与直线l平行的直线为l：x+y+b=0，当直线l与圆C相切时，得1 1 22 b ，点到直线的距离公式可得最大值.答案：()由直线l的参数方程31x ty t 消去t参数，得x+y-4 =0，直线l的普通方程为x+y-4 =0 .由2 2 cos & 2 2 cos cos sin sin 2cos 2sin4 4 4 . 得2 =2cos+2sin.将2 =x2 +y2，cos=x，sin=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2 +y2
34、=2 x+2 y，即(x-1 )2 +(y-1 )2 =2 .()法1：设曲线C上的点为 1 2 cos 1 2 sinP ，则点P到直线l的距离为2sin 21 2 cos 1 2 sin 4 2 sin cos 2 42 2 2( )( )d 当sin 14 ，2 2maxd 曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2 2；法2：设与直线l平行的直线为l：x+y+b=0 .当直线l与圆C相切时，得1 1 22 b ，解得b=0或b=-4 (舍去).直线l的方程为x+y=0 .那么：直线l与直线l的距离为0 4 2 22d 故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为2 2 . 选修4 -5：不等式
35、选讲2 3 .已知函数f(x)=|x+a-1 |+|x-2 a|.()若f(1 )3，求实数a的取值范围；()若a1，xR，求证：f(x)2 .解析：()通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；()基本基本不等式的性质证明即可.答案：()因为f(1 )3，所以|a|+|1 -2 a|3 .当a0时，得-a+(1 -2 a)3，解得23a ，所以23a0；当0a12时，得a+(1 -2 a)3， 解得a-2，所以0a12；当a12时，得a-(1 -2 a)3，解得43a，所以1 42 3a ； 综上所述，实数a的取值范围是2 43 3 ， .()因为a1，xR，所以f(x)=|x+a-1 |+|x-2 a|(x+a-1 )-(x-2 a)|=|3 a-1 |=3 a-12 .
