1、2017年 安 徽 省 合 肥 市 高 考 一 模 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.若 集 合 M=x|log2x 1， 集 合 N=x|x2-1 0， 则 M N=( )A.x|1 x 2B.x|-1 x 2C.x|-1 x 1D.x|0 x 1解 析 ： 集 合 M=x|log 2x 1=x|0 x 2，集 合 N=x|x2-1 0=x|-1 x 1，则 M N=x|0 x 1.答 案 ： D.2.已 知 复
2、数 z= 21 ii (i 为 虚 数 单 位 )， 那 么 z 的 共 轭 复 数 为 ( )A. 3 32 2 iB. 1 32 2 iC. 1 32 2 i D. 3 32 2 i解 析 ： 利 用 复 数 的 运 算 法 则 、 共 轭 复 数 的 定 义 即 可 得 出 .答 案 ： B.3.要 想 得 到 函 数 y=sin2x+1 的 图 象 ， 只 需 将 函 数 y=cos2x的 图 象 ( )A.向 左 平 移 4 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 1 个 单 位B.向 右 平 移 4 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 1 个 单 位C.向 左 平 移 2 个 单 位
3、， 再 向 下 平 移 1 个 单 位D.向 右 平 移 2 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 1 个 单 位 解 析 ： 利 用 诱 导 公 式 化 简 成 同 名 函 数 ， 在 平 移 变 换 (左 加 右 减 ， 上 加 下 减 )即 可 .答 案 ： B.4.执 行 如 图 的 程 序 框 图 ， 则 输 出 的 n 为 ( ) A.9B.11C.13D.15解 析 ： 算 法 的 功 能 是 求 满 足 1 1 1 11 3 5 2017S n 的 最 大 的 正 整 数 n+2 的 值 ， 验 证S=1 3 13 2017， 从 而 确 定 输 出 的 n值 .答 案 ： C.
4、5.已 知 双 曲 线 24y -x 2=1 的 两 条 渐 近 线 分 别 与 抛 物 线 y2=2px(p 0)的 准 线 交 于 A， B 两 点 ， O为 坐 标 原 点 ， 若 OAB的 面 积 为 1， 则 p 的 值 为 ( )A.1B. 2C.2 2D.4解 析 ： 求 出 双 曲 线 24y -x 2=1 的 两 条 渐 近 线 方 程 与 抛 物 线 y2=2px(p 0)的 准 线 方 程 ， 进 而 求出 A， B 两 点 的 坐 标 ， 再 由 AOB的 面 积 为 1列 出 方 程 ， 由 此 方 程 求 出 p的 值 .答 案 ： B.6. ABC的 内 角 A，
5、 B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 若 cosC= 2 23 ， bcosA+acosB=2， 则 ABC的 外 接 圆 的 面 积 为 ( )A.4B.8C.9 D.36解 析 ： 由 余 弦 定 理 化 简 已 知 等 式 可 求 c 的 值 ， 利 用 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 可 求 sinC的 值 ，进 而 利 用 正 弦 定 理 可 求 三 角 形 的 外 接 圆 的 半 径 R的 值 ， 利 用 圆 的 面 积 公 式 即 可 计 算 得 解 .答 案 ： C.7.祖 暅 原 理 ： “ 幂 势 既 同 ， 则 积 不 容 异 ” .它 是 中
6、 国 古 代 一 个 涉 及 几 何 体 体 积 的 问 题 ， 意 思 是两 个 同 高 的 几 何 体 ， 如 在 等 高 处 的 截 面 积 恒 相 等 ， 则 体 积 相 等 .设 A、 B为 两 个 同 高 的 几 何 体 ，p： A、 B 的 体 积 不 相 等 ， q： A、 B 在 等 高 处 的 截 面 积 不 恒 相 等 ， 根 据 祖 暅 原 理 可 知 ， p 是 q的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 解 析 ： 由 pq， 反 之 不 成 立 . p 是 q 的 充 分 不
7、 必 要 条 件 .答 案 ： A.8.在 如 图 所 示 的 正 方 形 中 随 机 投 掷 10000 个 点 ， 则 落 入 阴 影 部 分 (曲 线 C 的 方 程 为 x2-y=0)的 点 的 个 数 的 估 计 值 为 ( ) A.5000B.6667C.7500D.7854解 析 ： 由 题 意 ， 阴 影 部 分 的 面 积 S= 1 2 3 10 013 | 21 3x dx x x ， 正 方 形 的 面 积 为 1，利 用 正 方 形 中 随 机 投 掷 10000个 点 ， 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： B.9.一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示
8、 (其 中 正 视 图 的 弧 线 为 四 分 之 一 圆 周 )， 则 该 几 何 体 的 表 面 积为 ( ) A.72+6B.72+4C.48+6D.48+4解 析 ： 由 已 知 中 的 三 视 图 ， 可 得 该 几 何 体 是 一 个 以 正 视 图 为 为 底 面 的 柱 体 ， 由 柱 体 表 面 积 公式 ， 可 得 答 案 .答 案 ： A.10.已 知 (ax+b) 6的 展 开 式 中 x4项 的 系 数 与 x5项 的 系 数 分 别 为 135与 -18， 则 (ax+b)6展 开 式 所有 项 系 数 之 和 为 ( )A.-1B.1C.32D.64解 析 ： 由
9、 题 意 先 求 得 a、 b 的 值 ， 再 令 x=1 求 出 展 开 式 中 所 有 项 的 系 数 和 .答 案 ： D.11.已 知 函 数 f(x)=(x 2-2x)sin(x-1)+x+1 在 -1， 3上 的 最 大 值 为 M， 最 小 值 为 m， 则M+m=( )A.4B.2C.1D.0解 析 ： 把 已 知 函 数 解 析 式 变 形 ， 可 得 f(x)=(x-1)2-1sin(x-1)+x-1+2 ， 令g(x)=(x-1) 2sin(x-1)-sin(x-1)+(x-1)， 结 合 g(2-x)+g(x)=0， 可 得 g(x)关 于 (1， 0)中 心 对称 ，
10、 则 f(x)在 -1， 3上 关 于 (1， 2)中 心 对 称 ， 从 而 求 得 M+m的 值 .答 案 ： A.12.已 知 函 数 f(x)= 22 1 01 2 1 02x xx x x ， ， ， 方 程 f2(x)-af(x)+b=0(b 0)有 六 个 不 同 的 实 数解 ， 则 3a+b的 取 值 范 围 是 ( ) A.6， 11B.3， 11C.(6， 11)D.(3， 11)解 析 ： 作 函 数 f(x)= 22 1 01 2 1 02x xx x x ， ， 的 图 象 ， 从 而 利 用 数 形 结 合 知 t2-at+b=0有 2 个不 同 的 正 实 数
11、解 ， 且 其 中 一 个 为 1， 从 而 可 得 -1-a 0 且 -1-a 1； 从 而 解 得 .答 案 ： D.二 、 填 空 题 (每 题 5 分 ， 满 分 20 分 ， 将 答 案 填 在 答 题 纸 上 )13.命 题 ： “ x R， x 2-ax+1 0” 的 否 定 为 _.解 析 ： 直 接 利 用 特 称 命 题 的 否 定 是 全 称 命 题 写 出 结 果 即 可 .答 案 ： x R， x2-ax+1 0.14.已 知 a =(1， 3)， b =(-2， k)， 且 (a +2b ) (3a -b )， 则 实 数 k=_.解 析 ： 利 用 向 量 坐 标
12、 运 算 性 质 、 向 量 共 线 定 理 即 可 得 出 .答 案 ： -6.15.已 知 sin2 -2=2cos2 ， 则 sin 2 +sin2 =_.解 析 ： 利 用 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 ， 求 得 cos =0 或 tan =2， 从 而 求 得 要 求 式 子 的 值 .答 案 ： 1 或 85 .16.已 知 直 线 y=b与 函 数 f(x)=2x+3 和 g(x)=ax+lnx分 别 交 于 A， B 两 点 ， 若 |AB|的 最 小 值 为2， 则 a+b=_.解 析 ： 设 A(x 1， b)， B(x2， b)， 则 2x1+3=ax2+
13、lnx2=b， 表 示 出 x1， 求 出 |AB|， 利 用 导 数 ， 结合 最 小 值 也 为 极 小 值 ， 可 得 极 值 点 ， 求 出 最 小 值 ， 解 方 程 可 得 a=1， 进 而 得 到 b， 求 出 a+b.答 案 ： 2.三 、 解 答 题 (本 大 题 共 5 小 题 ， 共 70 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .)17.已 知 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn， 且 满 足 S4=24， S7=63.( )求 数 列 an的 通 项 公 式 ；( )若 b n=2 na +(-1)n an， 求
14、 数 列 bn的 前 n 项 和 Tn.解 析 ： ( )利 用 等 差 数 列 的 求 和 公 式 及 其 通 项 公 式 即 可 得 出 .( )通 过 分 类 讨 论 ， 利 用 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 求 和 公 式 即 可 得 出 .答 案 ： ( )因 为 an为 等 差 数 列 ，所 以 4 1 17 1 4 34 24 327 6 27 632S a d adS a d a n=2n+1. ( ) bn=2 na +(-1)n an=22n+1+(-1)n (2n+1)=2 4n+(-1)n (2n+1) Tn=2(41+42+ +4n)+-3+5-7+9- +
15、(-1)n(2n+1)= 8 4 13n +Gn，当 n=2k(k N*)时 ， Gn=2 2n =n， Tn= 8 4 13n +n当 n=2k-1(k N *)时 ， Gn=2 12n -(2n+1)=-n-2， Tn= 8 4 13n -n-2， Tn= * *8 4 1 238 4 1 2 2 13 ( )( )nn n n k k Nn n k k N ， ， .18.某 公 司 在 迎 新 年 晚 会 上 举 行 抽 奖 活 动 ， 有 甲 ， 乙 两 个 抽 奖 方 案 供 员 工 选 择 .方 案 甲 ： 员 工 最 多 有 两 次 抽 奖 机 会 ， 每 次 抽 奖 的 中
16、奖 率 均 为 45 ， 第 一 次 抽 奖 ， 若 未 中 奖 ，则 抽 奖 结 束 ， 若 中 奖 ， 则 通 过 抛 一 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 ， 决 定 是 否 继 续 进 行 第 二 次 抽 奖 ， 规 定 ：若 抛 出 硬 币 ， 反 面 朝 上 ， 员 工 则 获 得 500 元 奖 金 ， 不 进 行 第 二 次 抽 奖 ； 若 正 面 朝 上 ， 员 工 则 须 进 行 第 二 次 抽 奖 ， 且 在 第 二 次 抽 奖 中 ， 若 中 奖 ， 则 获 得 1000 元 ； 若 未 中 奖 ， 则 所 获 得 奖金 为 0元 .方 案 乙 ： 员 工 连 续 三 次
17、 抽 奖 ， 每 次 中 奖 率 均 为 25 ， 每 次 中 奖 均 可 获 得 奖 金 400元 .( )求 某 员 工 选 择 方 案 甲 进 行 抽 奖 所 获 奖 金 X(元 )的 分 布 列 ；( )试 比 较 某 员 工 选 择 方 案 乙 与 选 择 方 案 甲 进 行 抽 奖 ， 哪 个 方 案 更 划 算 ？解 析 ： ( )利 用 相 互 独 立 事 件 的 概 率 计 算 公 式 即 可 得 出 .( )利 用 数 学 期 望 计 算 公 式 、 二 项 分 布 列 的 性 质 即 可 得 出 .答 案 ： ( )P(X=0)= 1 4 1 1 75 5 2 5 25
18、， P(X=500)= 4 1 25 2 5 ， P(X=1000)= 4 1 4 85 2 5 25 ，所 以 某 员 工 选 择 方 案 甲 进 行 抽 奖 所 获 奖 金 X(元 )的 分 布 列 为 ( )由 ( )可 知 ， 选 择 方 案 甲 进 行 抽 奖 所 获 得 奖 金 X的 均 值 E(X)=500 25 +1000 825 =520，若 选 择 方 案 乙 进 行 抽 奖 中 奖 次 数 B(3， 25 )， 则 E( )=3 25 = 65 ，抽 奖 所 获 奖 金 X的 均 值 E(X)=E(400 )=400E( )=480，故 选 择 方 案 甲 较 划 算 .
19、19.如 图 所 示 ， 在 四 棱 台 ABCD-A 1B1C1D1中 ， AA1 底 面 ABCD， 四 边 形 ABCD为 菱 形 ， BAD=120 ， AB=AA1=2A1B1=2.( )若 M 为 CD 中 点 ， 求 证 ： AM 平 面 AA 1B1B；( )求 直 线 DD1与 平 面 A1BD所 成 角 的 正 弦 值 .解 析 ： ( )推 导 出 AM CD， AM AB， AM AA1， 由 此 能 证 明 AM 平 面 AA1B1B.( )分 别 以 AB， AM， AA1为 x 轴 、 y轴 、 z 轴 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系
20、A-xyz， 利 用向 量 法 能 求 出 直 线 DD1与 平 面 A1BD所 成 角 的 正 弦 值 .答 案 ： ( ) 四 边 形 为 菱 形 ， BAD=120 ， 连 结 AC， ACD为 等 边 三 角 形 ，又 M为 CD中 点 ， AM CD，由 CD AB 得 ， AM AB， AA 1 底 面 ABCD， AM底 面 ABCD， AM AA1，又 AB AA1=A， AM 平 面 AA1B1B解 ： ( ) 四 边 形 ABCD 为 菱 形 ， BAD=120 ， AB=AA1=2A1B1=2， DM=1， AM=3， AMD= BAM=90 ，又 AA1 底 面 ABC
21、D，分 别 以 AB， AM， AA1为 x 轴 、 y轴 、 z 轴 ， 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 A-xyz， 则 A1(0， 0， 2)、 B(2， 0， 0)、 D(-1， 3 ， 0)、 D1(- 12 ， 32 ， 2)， 1DD =( 12 ， - 32 ， 2)， BD=(-3， 3 ， 0)， 1AB =(2， 0， -2)，设 平 面 A1BD的 一 个 法 向 量 n =(x， y， z)，则 有 1 0 3 3 0 3 32 2 0 0n BD x y y x zx zn AB ， 令 x=1， 则 n =(1， 3 ， 1)， 直 线 D
22、D1与 平 面 A1BD所 成 角 的 正 弦 值 ： sin =|cos n ， 1DD |= 11| | 15n DDn DD .20.已 知 点 F 为 椭 圆 E： 2 22 2x ya b =1(a b 0)的 左 焦 点 ， 且 两 焦 点 与 短 轴 的 一 个 顶 点 构 成 一个 等 边 三 角 形 ， 直 线 4 2x y =1与 椭 圆 E 有 且 仅 有 一 个 交 点 M.( )求 椭 圆 E 的 方 程 ；( )设 直 线 4 2x y =1 与 y 轴 交 于 P， 过 点 P 的 直 线 与 椭 圆 E 交 于 两 不 同 点 A， B， 若 |PM| 2=|P
23、A| |PB|， 求 实 数 的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )由 题 意 可 得 a， b与 c 的 关 系 ， 化 椭 圆 方 程 为 2 22 24 3x yc c =1， 联 立 直 线 方 程 与 椭圆 方 程 ， 由 判 别 式 为 0 求 得 c， 则 椭 圆 方 程 可 求 ；( )由 ( )求 得 M 坐 标 ， 得 到 |PM|2， 当 直 线 l 与 x 轴 垂 直 时 ， 直 接 由 |PM|2=|PA| |PB|求 得 值 ； 当 直 线 l 与 x 轴 不 垂 直 时 ， 设 直 线 l 的 方 程 为 y=kx+2， 联 立 直 线 方 程 与 椭 圆 方程
24、 ， 利 用 判 别 式 大 于 0 求 得 k的 取 值 范 围 ， 再 由 根 与 系 数 的 关 系 ， 结 合 |PM| 2=|PA| |PB|，把 用 含 有 k 的 表 达 式 表 示 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 可 求 .答 案 ： ( )由 题 意 ， 得 a=2c， b= 3 c， 则 椭 圆 E 为 ： 2 22 24 3x yc c =1，联 立 2 2 24 3 14 2y cxx y ， 得 x 2-2x+4-3c2=0， 直 线 4 2x y =1与 椭 圆 E 有 且 仅 有 一 个 交 点 M， =4-4(4-3c2)=0， 得 c2=1， 椭 圆 E
25、的 方 程 为 2 24 3x y =1；( )由 ( )得 M(1， 32 )， 直 线 4 2x y =1与 y 轴 交 于 P(0， 2)， |PM|2= 54 ，当 直 线 l 与 x 轴 垂 直 时 ， |PA| |PB|=(2+ 3 )(2- 3 )=1，由 |PM|2=|PA| |PB|， 得 = 45 ， 当 直 线 l 与 x 轴 不 垂 直 时 ， 设 直 线 l 的 方 程 为 y=kx+2， A(x1， y1)， B(x2， y2)，联 立 2 223 4 12 0y kxx y ， 得 (3+4k2)x2+16kx+4=0，依 题 意 得 ， x1x2= 243 4k
26、 ， 且 =48(4k2-1) 0， |PA|PB|=(1+k 2)x1x2=(1+k2) 243 4k =1+ 213 4k = 54 ， = 45 (1+ 213 4k )， k2 14 ， 45 1，综 上 所 述 ， 的 取 值 范 围 是 45 ， 1). 21.已 知 函 数 f(x)=ex- 12 ax2(x 0， e为 自 然 对 数 的 底 数 )， f (x)是 f(x)的 导 函 数 .( )当 a=2时 ， 求 证 f(x) 1；( )是 否 存 在 正 整 数 a， 使 得 f (x) x2lnx对 一 切 x 0恒 成 立 ？ 若 存 在 ， 求 出 a 的 最 大
27、 值 ；若 不 存 在 ， 说 明 理 由 .解 析 ： ( )求 出 函 数 的 导 数 ， 根 据 函 数 的 单 调 性 证 明 即 可 ；( )求 出 函 数 的 导 数 ， 得 到 a e， 问 题 转 化 为 证 明 当 a=2 时 ， 不 等 式 恒 成 立 ， 设g(x)= 2 2xex x -lnx， 根 据 函 数 的 单 调 性 证 明 即 可 .答 案 ： ( )证 明 ： 当 a=2时 ， f(x)=e x-x2， 则 f (x)=ex-2x，令 f1(x)=f (x)=ex-2x， 则 f 1(x)=ex-2，令 f 1(x)=0， 得 x=ln2， 故 f (x)
28、在 x=ln2 时 取 得 最 小 值 ， f (ln2)=2-2ln2 0， f(x)在 (0， + )上 为 增 函 数 ， f(x) f(0)=1；( )f (x)=ex-ax，由 f (x) x2lnx， 得 ex-ax x2lnx对 一 切 x 0恒 成 立 ，当 x=1时 ， 可 得 a e， 所 以 若 存 在 ， 则 正 整 数 a的 值 只 能 取 1， 2.下 面 证 明 当 a=2时 ， 不 等 式 恒 成 立 ，设 g(x)= 2 2xex x -lnx， 则 g (x)= 3 2 322 2 1 xx x e xx ex x x x ， 由 ( )ex x2+1 2x
29、 x， ex-x 0(x 0)， 当 0 x 2 时 ， g (x) 0； 当 x 2时 ， g (x) 0，即 g(x)在 (0， 2)上 是 减 函 数 ， 在 (2， + )上 是 增 函 数 ， g(x) g(2)= 14 (e2-4-4ln2) 14 (2.72-4-4ln2) 14 (3-ln16) 0， 当 a=2时 ， 不 等 式 恒 成 立 ，所 以 a的 最 大 值 是 2.请 考 生 在 22、 23 两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 .选 修 4-4： 坐标 系 与 参 数 方 程 22.已 知 直 线
30、l 的 参 数 方 程 为 11 23 3x ty t (t为 参 数 )以 坐 标 原 点 O 为 极 点 ， 以 x轴 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C 的 方 程 为 sin - 3 cos2 =0.( )求 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 ；( )写 出 直 线 l与 曲 线 C交 点 的 一 个 极 坐 标 .解 析 ： ( )利 用 极 坐 标 与 直 角 坐 标 互 化 方 法 ， 求 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 ；( )将 11 23 3x ty t ， 代 入 y- 3 x2=0 得 ， 3 + 3 t- 3 (1+ 12
31、 t)2=0， 求 出 交 点 坐 标 ，即 可 直 线 l与 曲 线 C交 点 的 一 个 极 坐 标 .答 案 ： ( ) sin - 3 cos 2 =0， sin - 3 2cos2 =0，即 y- 3 x2=0；( )将 11 23 3x ty t ， 代 入 y-3 3 2=0得 ， 3 + 3 t- 3 (1+ 12 t)2=0， 即 t=0，从 而 ， 交 点 坐 标 为 (1， 3 )，所 以 ， 交 点 的 一 个 极 坐 标 为 (2， 3 ). 选 修 4-5： 不 等 式 选 讲 23.已 知 函 数 f(x)=|x-m|-|x+3m|(m 0).( )当 m=1时
32、， 求 不 等 式 f(x) 1的 解 集 ；( )对 于 任 意 实 数 x， t， 不 等 式 f(x) |2+t|+|t-1|恒 成 立 ， 求 m的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )将 m=1的 值 带 入 ， 得 到 关 于 x 的 不 等 式 组 ， 求 出 不 等 式 的 解 集 即 可 ；( )问 题 等 价 于 对 任 意 的 实 数 xf(x) |2+t|+|t-1|min恒 成 立 ， 根 据 绝 对 值 的 性 质 求 出 f(x)的 最 大 值 以 及 |2+t|+|t-1|min， 求 出 m的 范 围 即 可 . 答 案 ： ( )f(x)=|x-m|-|x+
33、3m|= 42 2 34 3m x mx m m x mm x m ，当 m=1时 ， 由 2 2 13 1x x 或 x -3， 得 到 x - 32 ， 不 等 式 f(x) 1 的 解 集 为 x|x - 32 ；( )不 等 式 f(x) |2+t|+|t-1|对 任 意 的 实 数 t， x 恒 成 立 ，等 价 于 对 任 意 的 实 数 xf(x) |2+t|+|t-1| min恒 成 立 ，即 f(x)max |2+t|+|t-1|min， f(x)=|x-m|-|x+3m| |(x-m)-(x+3m)|=4m，|2+t|+|t-1| |(2+t)-(t-1)|=3， 4m 3 又 m 0， 所 以 0 m 34 .
