1、2 0 1 7年四川省绵阳市高考二诊数学理一、选择题(共1 2小题，每小题5分，满分6 0分)1 .已知集合A=xZ|x2 ，B=x|(x-1 )(x-3 )0 ，则AB=( )A.B.2 C.2，3 D.x|2x3 解析：集合A=xZ|x2 ，B=x|(x-1 )(x-3 )0 =x|1x3 ，则AB=2 .答案：B. 2 .若复数z满足(1 +i)z=i(i是虚数单位)，则z的虚部为( )A.12B. 12C.12iD. 12i解析：由(1 +i)z=i，得 1 1 1 11 1 1 2 2 2i ii iz ii i i ， 则z的虚部为：12 .答案：A.3 .某校共有在职教师2 0
2、0人，其中高级教师2 0人，中级教师1 0 0人，初级教师8 0人，现采用分层抽样抽取容量为5 0的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为( )A.2 5B.2 0C.1 2D.5解析：初级教师8 0人，抽取一个容量为5 0的样本，用分层抽样法抽取的初级教师人数为8 0 2 0 0n5 0，解得n=2 0，即初级教师人数应为2 0人， 答案：B.4 .“a=1”是“直线l1：ax+(a-1 )y-1 =0与直线l2：(a-1 )x+(2 a+3 )y-3 =0垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若直线l1：ax+(a-1 )y-
3、1 =0与直线l2：(a-1 )x+(2 a+3 )y-3 =0垂直，则：a(a-1 )+(a-1 )(2 a+3 )=0，解得：a=1或-1，故“a=1”是“直线l1：ax+(a-1 )y-1 =0与直线l2：(a-1 )x+(2 a+3 )y-3 =0垂直”的充分不必要条件.答案：A.5 .某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为12，且相互之间设有影响，若每个项目成功都获利2 0万元，若每个项目失败都亏损5万元，该公司三个投资项目获利的期望为( )A.3 0万元B.2 2 .5万元 C.1 0万元D.7 .5万元解析：设该公司投资成功的各数为X，则XB(3，12 ).
4、1 33 2 2E X .该公司三个投资项目获利的期望= 32 (2 0 -5 )=2 2 .5万元.答案：B6 .宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于( ) A.2B.3C.4D.5 解析：当n=1时，152a ，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，454a ，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，1358a ，b=1 6满足进行循环的条件，当n=4时，40516a ，b=3 2不满足进行循环的条件，故输出的n值为4 .答案：C.7 .若一个三
5、位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为“单重数”，例：1 1 2，2 3 2，则不超过2 0 0的“单重数”个数是( ) A.1 9B.2 7C.2 8D.3 7解析：由题意，不超过2 0 0，两个数字一样为0，有2个，两个数字一样为1，1 1 0，1 0 1，1 1 2，1 2 1，1 1 3，1 3 1，1 1 4，1 4 1，1 1 5，1 5 1，1 1 6，1 6 1，1 1 7，1 7 1，1 1 8，1 8 1，1 1 9，1 9 1，有1 8个，两个数字一样为2，1 2 2，有一个，同理两个数字一样为3，4，5，6，7，8，9，各1个，综上所述
6、，不超过2 0 0的“单重数”个数是2 +1 8 +8 =2 8 .答案：C. 8 .过点P(2，1 )的直线l与函数 2 32 4xf x x 的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则OA OP OB OP =( )A. 5B.2 5C.5D.1 0解析： 72 3 2=12 4 2xf x x x ， 函数 2 32 4xf x x 的图象关于点P(2，1 )对称，过点P(2，1 )的直线l与函数 2 32 4xf x x 的图象交于A，B两点，A，B两点关于点P(2，1 )对称，=2OA OB OP ， 则 22OA OP OB OP OP OA OB OP ，22 1 5OP ，则=2
7、5=10OA OP OB OP .答案：D.9 .已知cos，sin是函数f(x)=x2 -tx+t(tR)的两个零点，则sin2=( )A.2 2 2B.2 2 2C. 2 1 D.1 2解析：cos，sin是函数f(x)=x2 -tx+t(tR)的两个零点，sin+cos=t，sincos=t，由sin2+cos2=1，得(sin+cos)2 -2 sincos=1，即t2 -2 t=1，解得t=1 2，或t=1 2 (舍).sin2=2 sincos=2 t=2 2 2 .答案：A.1 0 .设F 1，F2分别为双曲线C：2 22 2 1x ya b (a0，b0 )的两个焦点，M，N是
8、双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形MF1 NF2为矩形，A为双曲线的一个顶点，若AMN的面积为212c，则该双曲线的离心率为( )A.3B.2C. 3D. 2解析：设M(x，b xa )，由题意，|MO|=c，则x=a，M(a，b)， AMN的面积为212c，21 12 4a b c ，4 a2 (c2 -a2 )=c4，e4 -4 e2 +4 =0， e= 2 .答案：D.1 1 .已知点P(-2，142 )在椭圆C：2 22 2 1x ya b (ab0 )上，过点P作圆C：x2 +y2 =2的切线，切点为A，B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则a2 +b2的值是( )A.1 3B.
9、1 4C.1 5D.1 6 解析：由题意，以OP为直径的圆的方程为 22 14 151 4 8x y .与圆C：x2 +y2 =2相减，可得直线AB的方程为142 2 02x y ，令y=0，可得x=-1，c=1，2 274 2 1a b ，a2 =8，b2 =7，a 2 +b2 =8 +7 =1 5，答案：C.1 2 .已知f(x)=ex，g(x)=lnx，若f(t)=g(s)，则当s-t取得最小值时，f(t)所在区间是( )A.(ln2，1 )B.(12，ln2 )C.( 1 13 e ， )D. 1 12e ， 解析：令f(t)=g(s)=a，即et=lns=a0，t=lna，s=ea，
10、s-t=ea-lna，(a0 )，令h(a)=ea-lna， 1ah a e a y=ea递增，1y a递减，故存在唯一a=a 0使得h(a)=0， 0aa0时，1ae a，h(a)0，aa0时，1ae a，h(a)0，h(a)min=h(a0 )，即s-t取最小值是时，f(t)=a=a0，由零点存在定理验证0 01 0ae a 的根的范围：0 12a 时，0 01 0ae a ， a0 =ln2时，0 01 0ae a ，故a0(12，ln2 )，答案：B.二、填空题(共4小题，每小题5分，满分2 0分)1 3 . 52 11 1x x 的展开式的常数项为_.解析：由于 52 2 5 4 3
11、 21 1 5 10 10 51 1 1 1x xx x x x x x ， 故展开式的常数项为-1 0 -1 =-1 1 .答案：-1 1 .1 4 .已知甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为12和13，现让他们独立地破译这种密码，则至少有1人能译出密码的概率为_.解析：甲、乙二人能译出某种密码的概率分别为12和13，现让他们独立地破译这种密码，至少有1人能译出密码的对立事件是两人都不能译出密码，至少有1人能译出密码的概率：1 1 21 1 12 3 3p . 答案：23 .1 5 .已知直线mx-y+m+2 =0与圆C1：(x+1 )2 +(y-2 )2 =1相交于A，B两点，点P是圆C2
12、：(x-3 )2 +y2 =5 上的动点，则PAB面积的最大值是_.解析：由题意，直线恒过定点(-1，2 )，即C1圆的圆心，|AB|=2圆心C2到直线mx-y+m+2 =0的最大距离为 2 23 1 2 2 5 ，P到直线mx-y+m+2 =0的最大距离为3 5，PAB面积的最大值是1 2 3 5 3 52 .答案：3 5 .1 6 .已知抛物线C：y 2 =4 x，焦点为F，过点P(-1，0 )作斜率为k(k0 )的直线l与抛物线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交抛物线C于M，N两点，若18AF BFFM FN ，则k=_.解析：由题意，图形关于x轴对称，A，B，P三点共线，可得1 2
13、1 21 1y yx x .由焦半径公式|AF|=x1 +1 =|NF|，|BF|=x2 +1 =|MF|，1 22 1 18AF BF y yFM FN y y ，(y 1 +y2 )2 =2 0 y1 y2，由 2 4 1y xy k x ，可得ky2 -4 y+4 k=0，1 2 4y y k ，y1 y2 =4，216 80k ，k0，55k .答案：55 . 三、解答题(共5小题，满分6 0分)1 7 .数列an中，an+2 -2 an+1 +an=1 (nN*)，a1 =1，a2 =3 .(1 )求证：an+1 -an是等差数列；(2 )求数列1na 的前n项和Sn.解析：(1 )
14、令cn=an+1 -an，通过cn+1 -cn=1，说明an+1 -an是以2为首项，1为公差的等差数列.(2 )由(1 )知c n=n+1，求出an，化简 1 2 1 121 1na n n n n .利用裂项求和求解即可. 答案：(1 )证明：令cn=an+1 -an，则cn+1 -cn=(an+2 -an+1 )-(an+1 -an)=an+2 -2 an+1 +an=1 (常数)，c1 =a2 -a1 =2，故an+1 -an是以2为首项，1为公差的等差数列.(2 )由(1 )知cn=n+1，即an+1 -an=n+1，于是an=(an-an-1 )+(an-1 -an-2 )+(a2
15、 -a1 )+a1 =n+(n-1 )+2 +1 = 12n n，故 1 2 1 121 1na n n n n .1 1 1 1 1 1 12 1 2 2 22 2 3 3 4 1nS n n （ ） = 12 1 1n = 2 1nn .1 8 .已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且abc，C=2 A.(1 )若2c a，求角A；(2 )是否存在ABC恰好使a，b，c是三个连续的自然数？若存在，求ABC的周长；若不存在，请说明理由.解析：(1 )由正弦定理有sin 2sinC A，又C=2 A，利用倍角公式可求2sin cos 2sinA A A ，结合sinA0，可得
16、2cos 2A，即可得解A的值.(2 )设a=n，b=n+1，c=n+2，nN*.由已知利用二倍角公式可求sincos 2sin 2C cA A a ，由余弦定理得 2 2 21 2 22 1 2 2n n n nn n n ，解得n=4，求得a，b，c的值，从而可求ABC的周长.答案：(1 )2c a，由正弦定理有sin 2sinC A . 又C=2 A，即sin2 2sinA A，于是2sin cos 2sinA A A， 在ABC中，sinA0，于是2cos 2A，4A .(2 )根据已知条件可设a=n，b=n+1，c=n+2，nN*.由C=2 A，得sinC=sin2 A=2 sinA
17、cosA，sincos 2sin 2C cA A a .由余弦定理得2 2 22 2b c a cbc a ，代入a，b，c可得： 2 2 21 2 22 1 2 2n n n nn n n ， 解得n=4，a=4，b=5，c=6，从而ABC的周长为1 5，即存在满足条件的ABC，其周长为1 5 .1 9 . 2 0 1 6年下半年，锦阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球比赛，以增强直属单位间的交流与合作，组织方统计了来自A1，A2，A3，A4，A5等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如表所示：单位A1 A2 A3 A4 A5平均身高x(单位：cm) 1 7 0 1
18、 7 4 1 7 6 1 8 1 1 7 9平均得分y 6 2 6 4 6 6 7 0 6 8(1 )根据表中数据，求y关于x的线性回归方程；(系数精确到0 .0 1 ) (2 )若M队平均身高为1 8 5 cm，根据(1 )中所求得的回归方程，预测M队的平均得分(精确到0 .0 1 )注：回归当初 y bx a中斜率和截距最小二乘估计公式分别为 1 21ni nixi x yi yb xi x ，a y bx .解析：(1 )求出样本中心点，利用最小二乘法得到线性回归方程的系数，得到线性回归方程；(2 )当x=1 8 5代入回归直线方程，即可预测M队的平均得分.答案：(1 )由已知有x=1
19、7 6，y =6 6， 1 21 27 0.7337ni nixi x yi yb xi x ， 62.48a y bx ，y=0 .7 3 x-6 2 .4 8 .(2 )x=1 8 5，代入回归方程得y=0 .7 31 8 5 -6 2 .4 8 =7 2 .5 7，即可预测M队的平均得分为7 2 .5 7 .2 0 .已知椭圆C：2 22 2 1x ya b (ab0 )的右焦点F( 6，0 )，过点F作平行于y轴的直线截椭圆C所得的弦长为2 . (1 )求椭圆的标准方程；(2 )过点(1，0 )的直线l交椭圆C于P，Q两点，N点在直线x=-1上，若NPQ是等边三角形，求直线l的方程.解
20、析：()设椭圆C的焦半距为c，则c= 6，于是a2 -b2 =6 .把x=c代入椭圆的标准方程可得：2by a，即22 2ba ，联立解出即可得出.()设直线PQ：x=ty+1，P(x1，y1 )，Q(x2，y2 ).联立直线与椭圆方程可得：(t2 +4 )y2 +2 ty-7 =0，利用一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、等边三角形的性质即可得出.答案：()设椭圆C的焦半距为c，则c= 6，于是a 2 -b2 =6 .把x=c代入椭圆的标准方程可得：2 22 2 1c ya b ，整理得2 42 2 2 21 c by b a a ，解得2by a，22 2ba ，即a 2 =2 b
21、4，2 b4 -b2 -6 =0，解得b2 =2，或2 32b (舍去)，进而a2 =8，椭圆C的标准方程为2 2 18 2x y .()设直线PQ：x=ty+1，P(x1，y1 )，Q(x2，y2 ).联立直线与椭圆方程：2 214 8x tyx y ，消去x得：(t 2 +4 )y2 +2 ty-7 =0， 1 2 22 4ty y t ，1 2 2 74y y t .于是 1 2 1 2 282 4x x t y y t ，故线段PQ的中点2 24 4 4tD t t ， .设N(-1，y0 )，由|NP|=|NQ|，则kNDkPQ=-1，即0 22 441 4ty t tt ，整理得0
22、 23 4ty t t ，得N(-1，23 4tt t ).又NPQ是等边三角形， 32ND PQ，即2 234ND PQ，即 2 2 222 2 2 24 4 3 2 71 1 44 4 4 4 4 t tt tt t t t ，整理得 22 2 22 28 24 844 4t tt t ，解得t 2 =1 0，t=10，直线l的方程是x10y-1 =0 .2 1 .已知函数 1ln 12mf x xx (mR)的两个零点为x1，x2 (x1x2 ).(1 )求实数m的取值范围；(2 )求证：1 21 1 2x x e .解析：(1 )求导数，分类讨论，利用函数 1ln 12mf x xx
23、(mR)的两个零点，得出1 12 02 2ln m ，即可求实数m的取值范围；(2 )由题意方程ln 22tm t有两个根为t1，t2，不妨设1 11t x，2 21t x，要证明1 21 1 2x x e ，即证明1 2 2t t e ，即证明h(t1 )h( 2e -t2 ).令(x)=h(x)-h( 2e -x)，证明(x)0对任意x(0，1e )恒成立即可. 答案：(1 ) 222x mf x x .m0，f(x)0，f(x)在(0，+)上单调递增，不可能有两个零点；m0，f(x)0可解得x2 m，f(x)0可解得0 x2 m，f(x)在(0，2 m)上单调递减，在(2 m，+)上单调
24、递增， min 1 12 ln22 2f x f m m ，由题意，1 12 02 2ln m ，0m2e；(2 )证明：令t= 1x，1 1ln 1 02f mt tx ， 由题意方程ln 22tm t有两个根为t1，t2，不妨设1 11t x，2 21t x .令h(t)=ln 22t t，则h(t)= 212lntt，令h(t)0，可得0t1e，函数单调递增；h(t)0，可得t1e，函数单调递减.由题意，t11et20，要证明1 21 1 2x x e ，即证明1 2 2t t e ，即证明h(t 1 )h( 2e -t2 ).令(x)=h(x)-h( 2e -x)，下面证明(x)0对任
25、意x(0，1e )恒成立， 22 2ln 1ln 12 22 xx ex x xe ，x(0，1e )， -lnx-10，22 2x xe ， 22ln 2 022x x ex xe ， (x)在(0，1e )上是增函数，(x)(1e )=0，原不等式成立.选修4 -4：坐标系与参数方程2 2 .已知曲线C的参数方程是3cossinxy (为参数)(1 )将C的参数方程化为普通方程；(2 )在直角坐标系xOy中，P(0，2 )，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 直线l的极坐标方程为cos 3 sin 2 3 0 ，Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值.解析
26、：(1 )消去参数，将C的参数方程化为普通方程；(2 )将直线l的方程化为普通方程为3 2 3 0 x y .设Q( 3 cos，sin)，则M 3 1cos 1 sin2 2 ，利用点到直线的距离公式，即可求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值.答案：(1 )消去参数得，曲线C的普通方程得2 2 13x y . (2 )将直线l的方程化为普通方程为3 2 3 0 x y .设Q( 3cos，sin)，则M 3 1cos 1 sin2 2 ，3 3 6cos 3 sin 2 3 sin 3 32 2 2 ( 42 2 )d ，最小值是6 3 64 . 选修4 -5：不等式选讲2 3 .已知函
27、数f(x)=|x-1 |+|x-t|(tR)(1 )t=2时，求不等式f(x)2的解集；(2 )若对于任意的t1，2 ，x-1，3 ，f(x)a+x恒成立，求实数a的取值范围.解析：(1 )通过讨论x的范围，去掉绝对值解关于x的不等式，求出不等式的解集即可；(2 )问题等价于af(x)-x，令g(x)=f(x)-x，求出g(x)的最小值，从而求出a的范围即可. 答案：(1 )当t=2时，f(x)=|x-1 |+|x-2 |，若x1，则f(x)=3 -2 x，于是由f(x)2，解得x12，综合得x12；若1x2，则f(x)=1，显然f(x)2不成立；若x2，则f(x)=2 x-3，于是由f(x)2，解得x52，综合得x52不等式f(x)2的解集为x|x12，或x52 .(2 )f(x)a+x等价于af(x)-x，令g(x)=f(x)-x，当-1x1时，g(x)=1 +t-3 x，显然g(x) min=g(1 )=t-2，当1xt时，g(x)=t-1 -x，此时g(x)g(1 )=t-2，当tx3时，g(x)=x-t-1，g(x)min=g(1 )=t-2，当x1，3 时，g(x)min=t-2，又t1，2 ，g(x)min-1，即a-1，综上，a的取值范围是a-1 .
