1、2017 年 四 川 省 成 都 市 中 考 真 题 数 学 （ A 卷 ）一 、 选 择 题 (本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30 分 )1. 九 章 算 术 中 注 有 “ 今 两 算 得 失 相 反 ， 要 令 正 负 以 名 之 ” ， 意 思 是 ： 今 有 两 数 若 其 意 义相 反 ， 则 分 别 叫 做 正 数 与 负 数 ， 若 气 温 为 零 上 10 记 作 +10 ， 则 -3 表 示 气 温 为 ( )A.零 上 3B.零 下 3C.零 上 7D.零 下 7解 析 ： 若 气 温 为 零 上 10 记 作 +10 ， 则 -3 表 示
2、气 温 为 零 下 3 .答 案 ： B. 2.如 图 所 示 的 几 何 体 是 由 4 个 大 小 相 同 的 小 立 方 体 组 成 ， 其 俯 视 图 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： 从 上 边 看 一 层 三 个 小 正 方 形 .答 案 ： C.3.总 投 资 647亿 元 的 西 域 高 铁 预 计 2017年 11月 竣 工 ， 届 时 成 都 到 西 安 只 需 3 小 时 ， 上 午 游武 侯 区 ， 晚 上 看 大 雁 塔 将 成 为 现 实 ， 用 科 学 记 数 法 表 示 647亿 元 为 ( )A.647 10 8B.6.47 109C.6.47 1010
3、D.6.47 1011解 析 ： 647亿 =64700000000=6.47 1010.答 案 ： C. 4.二 次 根 式 1x 中 ， x 的 取 值 范 围 是 ( )A.x 1B.x 1C.x 1D.x 1解 析 ： 根 据 二 次 根 式 有 意 义 的 条 件 即 可 求 出 答 案 .答 案 ： A.5.下 列 图 标 中 ， 既 是 轴 对 称 图 形 ， 又 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( ) A.B.C. D.解 析 ： 根 据 轴 对 称 图 形 和 中 心 对 称 图 形 的 概 念 对 各 选 项 分 析 判 断 即 可 得 解 .答 案 ： D.6.下 列
4、 计 算 正 确 的 是 ( )A.a5+a5=a10B.a7 a=a6C.a 3 a2=a6D.(-a3)2=-a6解 析 ： 利 用 同 底 数 幂 的 乘 法 和 除 法 法 则 以 及 合 并 同 类 项 的 法 则 运 算 即 可 .答 案 ： B.7.学 习 全 等 三 角 形 时 ， 数 学 兴 趣 小 组 设 计 并 组 织 了 “ 生 活 中 的 全 等 ” 的 比 赛 ， 全 班 同 学 的 比赛 结 果 统 计 如 下 表 ： 则 得 分 的 众 数 和 中 位 数 分 别 为 ( )A.70分 ， 70分B.80分 ， 80分C.70分 ， 80分D.80分 ， 70分
5、解 析 ： 70 分 的 有 12 人 ， 人 数 最 多 ， 故 众 数 为 70分 ； 处 于 中 间 位 置 的 数 为 第 20、 21 两 个 数 ，都 为 80分 ， 中 位 数 为 80分 .答 案 ： C.8.如 图 ， 四 边 形 ABCD 和 A B C D 是 以 点 O 为 位 似 中 心 的 位 似 图 形 ， 若 OA： OA =2： 3，则 四 边 形 ABCD 与 四 边 形 A B C D 的 面 积 比 为 ( ) A.4： 9B.2： 5C.2： 3D.2： 3解 析 ： 根 据 题 意 求 出 两 个 相 似 多 边 形 的 相 似 比 ， 根 据 相
6、似 多 边 形 的 性 质 解 答 .答 案 ： A.9.已 知 x=3是 分 式 方 程 2 1 21kx kx x 的 解 ， 那 么 实 数 k 的 值 为 ( )A.-1B.0C.1D.2 解 析 ： 将 x=3代 入 原 方 程 即 可 求 出 k 的 值 .答 案 ： D.10.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 二 次 函 数 y=ax2+bx+c 的 图 象 如 图 所 示 ， 下 列 说 法 正 确 的 是( ) A.abc 0， b2-4ac 0B.abc 0， b2-4ac 0 C.abc 0， b2-4ac 0D.abc 0， b2-4ac 0解 析 ： 首
7、 先 根 据 图 象 中 抛 物 线 的 开 口 方 向 、 对 称 轴 的 位 置 、 与 y轴 交 点 的 位 置 来 判 断 出 a、b、 c 的 位 置 ， 进 而 判 断 各 结 论 是 否 正 确 .答 案 ： B.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 16 分 )11.( 2017 -1) 0=_.解 析 ： 直 接 利 用 零 指 数 幂 的 性 质 求 出 答 案 .答 案 ： 1.12.在 ABC中 ， A： B： C=2： 3： 4， 则 A 的 度 数 为 _.解 析 ： 直 接 用 一 个 未 知 数 表 示 出 A， B，
8、 C 的 度 数 ， 再 利 用 三 角 形 内 角 和 定 理 得 出 答 案 .答 案 ： 40 .13.如 图 ， 正 比 例 函 数 y 1=k1x 和 一 次 函 数 y2=k2x+b 的 图 象 相 交 于 点 A(2， 1)， 当 x 2 时 ，y1_y2.(填 “ ” 或 “ ” ).解 析 ： 由 图 象 可 以 知 道 ， 当 x=2 时 ， 两 个 函 数 的 函 数 值 是 相 等 的 ， 再 根 据 函 数 的 增 减 性 即 可得 到 结 论 .答 案 ： . 14.如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， 按 以 下 步 骤 作 图 ： 以 A 为 圆
9、心 ， 任 意 长 为 半 径 作 弧 ， 分别 交 AB， AD于 点 M， N； 分 别 以 M， N为 圆 心 ， 以 大 于 12 MN 的 长 为 半 径 作 弧 ， 两 弧 相 交 于点 P； 作 AP 射 线 ， 交 边 CD于 点 Q， 若 DQ=2QC， BC=3， 则 平 行 四 边 形 ABCD周 长 为 _.解 析 ： 根 据 角 平 分 线 的 性 质 可 知 DAQ= BAQ， 再 由 平 行 四 边 形 的 性 质 得 出 CD AB， BC=AD=3， BAQ= DQA， 故 可 得 出 AQD是 等 腰 三 角 形 ， 据 此 可 得 出 DQ=AD， 进 而
10、 可 得 出 结 论 .答 案 ： 15. 三 、 解 答 题 (本 大 题 共 6 小 题 ， 共 54 分 ) 15.(1)计 算 ： | 2 -1|- 8 +2sin45 +( 12 )-2；(2)解 不 等 式 组 ： 2 7 3 14 23 13 3x xx x .解 析 ： (1)原 式 利 用 二 次 根 式 性 质 ， 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 ， 以 及 负 整 数 指 数 幂 法 则 计 算 即 可得 到 结 果 .(2)分 别 求 得 两 个 不 等 式 的 解 集 ， 然 后 取 其 公 共 部 分 即 可 .答 案 ： (1)原 式 = 2 -1-2 2 +
11、2 22 +4= 2 -1-2 2 + 2 +4=3； (2) 2 7 3 14 23 13 3x xx x ， 可 化 简 为 2x-7 3x-3， -x 4， x -4， 可 化 简 为 2x 1-3， 则 x -1.不 等 式 的 解 集 是 -4 x -1.16.化 简 求 值 ： 2 1 212 1 1xx x x ， 其 中 x= 3 -1.解 析 ： 原 式 括 号 中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 减 法 法 则 计 算 ， 同 时 利 用 除 法 法 则 变 形 ， 约分 得 到 最 简 结 果 ， 把 已 知 代 入 计 算 即 可 求 出 值 . 答
12、 案 ： 22 1 2 1 1 112 1 1 1 11x x xx x x x xx ， x= 3 -1， 原 式 = 1 333 1 1 .17.随 着 经 济 的 快 速 发 展 ， 环 境 问 题 越 来 越 受 到 人 们 的 关 注 ， 某 校 学 生 会 为 了 解 节 能 减 排 、垃 圾 分 类 知 识 的 普 及 情 况 ， 随 机 调 查 了 部 分 学 生 ， 调 查 结 果 分 为 “ 非 常 了 解 ” “ 了 解 ” “ 了 解较 少 ” “ 不 了 解 ” 四 类 ， 并 将 调 查 结 果 绘 制 成 下 面 两 个 统 计 图 . (1)本 次 调 查 的
13、学 生 共 有 _人 ， 估 计 该 校 1200名 学 生 中 “ 不 了 解 ” 的 人 数 是 _人 ；(2)“ 非 常 了 解 ” 的 4 人 有 A1， A2两 名 男 生 ， B1， B2两 名 女 生 ， 若 从 中 随 机 抽 取 两 人 向 全 校 做环 保 交 流 ， 请 利 用 画 树 状 图 或 列 表 的 方 法 ， 求 恰 好 抽 到 一 男 一 女 的 概 率 .解 析 ： (1)用 “ 非 常 了 解 ” 人 数 除 以 它 所 占 的 百 分 比 即 可 得 到 调 查 的 总 人 数 ； 用 总 人 数 乘 以“ 不 了 解 ” 人 数 所 占 的 百 分
14、比 即 可 得 出 答 案 ；(2)先 画 树 状 图 展 示 所 有 12 个 等 可 能 的 结 果 数 ， 再 找 出 恰 好 是 一 位 男 同 学 和 一 位 女 同 学 的 结果 数 ， 然 后 根 据 概 率 公 式 求 解 .答 案 ： (1)4 8%=50(人 )，1200 (1-40%-22%-8%)=360(人 )；(2)画 树 状 图 ， 共 有 12 根 可 能 的 结 果 ， 恰 好 抽 到 一 男 一 女 的 结 果 有 8 个 ， P(恰 好 抽 到 一 男 一 女 的 )= 8 212 3 .18.科 技 改 变 生 活 ， 手 机 导 航 极 大 方 便 了
15、 人 们 的 出 行 ， 如 图 ， 小 明 一 家 自 驾 到 古 镇 C 游 玩 ，到 达 A 地 后 ， 导 航 显 示 车 辆 应 沿 北 偏 西 60 方 向 行 驶 4千 米 至 B 地 ， 再 沿 北 偏 东 45 方 向行 驶 一 段 距 离 到 达 古 镇 C， 小 明 发 现 古 镇 C恰 好 在 A地 的 正 北 方 向 ， 求 B， C两 地 的 距 离 . 解 析 ： 过 B 作 BD AC 于 点 D， 在 直 角 ABD中 利 用 三 角 函 数 求 得 BD 的 长 ， 然 后 在 直 角 BCD中 利 用 三 角 函 数 求 得 BC 的 长 .答 案 ： 过
16、 B作 BD AC于 点 D.在 Rt ABD中 ， AD=AB cos BAD=4cos60 =4 12 =2(千 米 )， BD=AB sin BAD=4 32 =2 3 (千 米 )， BCD中 ， CBD=45 ， BCD是 等 腰 直 角 三 角 形 ， CD=BD=2 3 (千 米 )， BC= 2 BD=2 6 (千 米 ).答 ： B， C 两 地 的 距 离 是 2 6 千 米 .19.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 已 知 正 比 例 函 数 y= 12 x 的 图 象 与 反 比 例 函 数 y= kx 的 图象 交 于 A(a， -2)， B两
17、 点 . (1)求 反 比 例 函 数 的 表 达 式 和 点 B 的 坐 标 ；(2)P是 第 一 象 限 内 反 比 例 函 数 图 象 上 一 点 ， 过 点 P作 y轴 的 平 行 线 ， 交 直 线 AB 于 点 C， 连接 PO， 若 POC的 面 积 为 3， 求 点 P 的 坐 标 .解 析 ： (1)把 A(a， -2)代 入 y= 12 x， 可 得 A(-4， -2)， 把 A(-4， -2)代 入 y=kx ， 可 得 反 比 例函 数 的 表 达 式 为 y= 8x ， 再 根 据 点 B 与 点 A关 于 原 点 对 称 ， 即 可 得 到 B的 坐 标 ；(2)过
18、 P 作 PE x 轴 于 E， 交 AB于 C， 先 设 P(m， 8m )， 则 C(m， 12 m)， 根 据 POC的 面 积 为3， 可 得 方 程 12 m | 12 m- 8m|=3， 求 得 m 的 值 ， 即 可 得 到 点 P 的 坐 标 .答 案 ： (1)把 A(a， -2)代 入 y= 12 x， 可 得 a=-4， A(-4， -2)，把 A(-4， -2)代 入 y= kx ， 可 得 k=8， 反 比 例 函 数 的 表 达 式 为 y= 8x ， 点 B与 点 A 关 于 原 点 对 称 ， B(4， 2)；(2)如 图 所 示 ， 过 P 作 PE x 轴
19、于 E， 交 AB于 C， 设 P(m， 8m )， 则 C(m， 12 m)， POC的 面 积 为 3， 12 m | 12 m- 8m |=3，解 得 m=2 7 或 2， P(2 7 ， 4 77 )或 (2， 4).20.如 图 ， 在 ABC中 ， AB=AC， 以 AB为 直 径 作 圆 O， 分 别 交 BC 于 点 D， 交 CA的 延 长 线 于 点E， 过 点 D 作 DH AC于 点 H， 连 接 DE 交 线 段 OA于 点 F. (1)求 证 ： DH是 圆 O的 切 线 ；(2)若 A 为 EH 的 中 点 ， 求 EFFD 的 值 ；(3)若 EA=EF=1，
20、求 圆 O 的 半 径 .解 析 ： (1)根 据 同 圆 的 半 径 相 等 和 等 边 对 等 角 证 明 ： ODB= OBD= ACB， 则 DH OD， DH是圆 O 的 切 线 ；(2)如 图 2， 先 证 明 E= B= C， 则 H 是 EC 的 中 点 ， 设 AE=x， EC=4x， 则 AC=3x， 由 OD 是 ABC的 中 位 线 ， 得 ： OD= 12 AC= 32x ， 证 明 AEF ODF， 列 比 例 式 可 得 结 论 ；(3)如 图 2， 设 O 的 半 径 为 r， 即 OD=OB=r， 证 明 DF=OD=r， 则 DE=DF+EF=r+1， BD
21、=CD=DE=r+1，证 明 BFD EFA， 列 比 例 式 为 ： EF BFFA DF ， 则 1 11 rr r ， 求 出 r 的 值 即 可 .答 案 ： (1)连 接 OD， 如 图 1， OB=OD， ODB是 等 腰 三 角 形 ， OBD= ODB ，在 ABC中 ， AB=AC， ABC= ACB ，由 得 ： ODB= OBD= ACB， OD AC， DH AC， DH OD， DH 是 圆 O的 切 线 ；(2)如 图 2， 在 O中 ， E= B， 由 (1)可 知 ： E= B= C， EDC是 等 腰 三 角 形 ， DH AC， 且 点 A 是 EH 中 点
22、 ，设 AE=x， EC=4x， 则 AC=3x，连 接 AD， 则 在 O 中 ， ADB=90 ， AD BD， AB=AC， D 是 BC 的 中 点 ， OD 是 ABC的 中 位 线 ， OD AC， OD= 12 AC= 12 3x= 32x ， OD AC， E= ODF， 在 AEF和 ODF中 ， E= ODF， OFD= AFE， AEF ODF， EF AEFD OD ， 23 32AE xOD x ， 23EFFD ；(3)如 图 2， 设 O 的 半 径 为 r， 即 OD=OB=r， EF=EA， EFA= EAF， OD EC， FOD= EAF，则 FOD= E
23、AF= EFA= OFD， DF=OD=r， DE=DF+EF=r+1， BD=CD=DE=r+1，在 O中 ， BDE= EAB， BFD= EFA= EAB= BDE， BF=BD， BDF是 等 腰 三 角 形 ， BF=BD=r+1， AF=AB-BF=2OB-BF=2r-(1+r)=r-1，在 BFD和 EFA中 ， BFD EFAB E ， BFD EFA， EF BFFA DF ， 1 11 rr r ，解 得 ： r1=1 52 ， r2=1 52 (舍 )，综 上 所 述 ， O的 半 径 为 1 52 .四 、 填 空 题 (本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 4
24、分 ， 共 20 分 )21.如 图 ， 数 轴 上 点 A 表 示 的 实 数 是 _. 解 析 ： 直 接 利 用 勾 股 定 理 得 出 三 角 形 斜 边 长 即 可 得 出 A 点 对 应 的 实 数 .答 案 ： 5 -1. 22.已 知 x1， x2是 关 于 x的 一 元 二 次 方 程 x2-5x+a=0 的 两 个 实 数 根 ， 且 x12-x22=10， 则 a=_.解 析 ： 由 x12-x22=0得 x1+x2=0 或 x1-x2=0； 当 x1+x2=0时 ， 运 用 两 根 关 系 可 以 得 到 -2m-1=0或 方程 有 两 个 相 等 的 实 根 ， 据
25、此 即 可 求 得 m的 值 .答 案 ： 214 .23.已 知 O 的 两 条 直 径 AC， BD 互 相 垂 直 ， 分 别 以 AB， BC， CD， DA 为 直 径 向 外 作 半 圆 得 到如 图 所 示 的 图 形 ， 现 随 机 地 向 该 图 形 内 掷 一 枚 小 针 ， 记 针 尖 落 在 阴 影 区 域 内 的 概 率 为 P 1， 针尖 落 在 O内 的 概 率 为 P2， 则 12PP =_.解 析 ： 直 接 利 用 圆 的 面 积 求 法 结 合 正 方 形 的 性 质 得 出 P 1， P2的 值 即 可 得 出 答 案 .答 案 ： 2 .24.在 平
26、面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 对 于 不 在 坐 标 轴 上 的 任 意 一 点 P(x， y)， 我 们 把 点 P ( 1x ，1y )称 为 点 P 的 “ 倒 影 点 ” ， 直 线 y=-x+1 上 有 两 点 A， B， 它 们 的 倒 影 点 A ， B 均 在 反 比例 函 数 y= kx 的 图 象 上 .若 AB=2 2 ， 则 k=_.解 析 ： 设 点 A(a， -a+1)， B(b， -b+1)(a b)， 则 A ( 1a ， 11 a )， B ( 1b， 11 b )， 由 AB=2 2 可 得 出 b=a+2， 再 根 据 反 比 例 函 数 图 象
27、上 点 的 坐 标 特 征 即 可 得 出 关 于 k、 a、 b的 方 程 组 ， 解之 即 可 得 出 k 值 .答 案 ： - 43 .25.如 图 1， 把 一 张 正 方 形 纸 片 对 折 得 到 长 方 形 ABCD， 再 沿 ADC的 平 分 线 DE 折 叠 ， 如 图 2，点 C 落 在 点 C 处 ， 最 后 按 图 3 所 示 方 式 折 叠 ， 使 点 A 落 在 DE 的 中 点 A 处 ， 折 痕 是 FG，若 原 正 方 形 纸 片 的 边 长 为 6cm， 则 FG=_cm. 解 析 ： 作 GM AC 于 M， A N AD于 N， AA 交 EC 于 K.
28、易 知 MG=AB=AC ， 首 先 证 明 AKC GFM， 可 得 GF=AK， 由 AN=4.5cm， A N=1.5cm， C K A N， 推 出 KC ACA N AN ， 可 得31.5 4.5KC ， 推 出 C K=1.5cm， 在 Rt AC K 中 ， 根 据 AK= 2 2AC C K ， 求 出 AK即 可解 决 问 题 . 答 案 ： 10 .五 、 解 答 题 (本 大 题 共 3 小 题 ， 共 30 分 )26.随 着 地 铁 和 共 享 单 车 的 发 展 ， “ 地 铁 +单 车 ” 已 成 为 很 多 市 民 出 行 的 选 择 ， 李 华 从 文 化
29、宫站 出 发 ， 先 乘 坐 地 铁 ， 准 备 在 离 家 较 近 的 A， B， C， D， E中 的 某 一 站 出 地 铁 ， 再 骑 共 享 单 车回 家 ， 设 他 出 地 铁 的 站 点 与 文 化 宫 距 离 为 x(单 位 ： 千 米 )， 乘 坐 地 铁 的 时 间 y1(单 位 ： 分 钟 )是 关 于 x 的 一 次 函 数 ， 其 关 系 如 下 表 ：(1)求 y 1关 于 x 的 函 数 表 达 式 ；(2)李 华 骑 单 车 的 时 间 (单 位 ： 分 钟 )也 受 x的 影 响 ， 其 关 系 可 以 用 y2= 12 x2-11x+78来 描 述 ，请 问
30、 ： 李 华 应 选 择 在 那 一 站 出 地 铁 ， 才 能 使 他 从 文 化 宫 回 到 家 所 需 的 时 间 最 短 ？ 并 求 出 最 短时 间 .解 析 ： (1)根 据 表 格 中 的 数 据 ， 运 用 待 定 系 数 法 ， 即 可 求 得 y1关 于 x 的 函 数 表 达 式 ；(2)设 李 华 从 文 化 宫 回 到 家 所 需 的 时 间 为 y， 则 y=y 1+y2= 12 x2-9x+80， 根 据 二 次 函 数 的 性 质 ，即 可 得 出 最 短 时 间 .答 案 ： (1)设 y1=kx+b， 将 (8， 18)， (9， 20)， 代 入 得 ：8
31、 189 20k bk b ， 解 得 ： 22kb ，故 y1关 于 x 的 函 数 表 达 式 为 ： y1=2x+2；(2)设 李 华 从 文 化 宫 回 到 家 所 需 的 时 间 为 y， 则y=y1+y2=2x+2+ 12 x2-11x+78= 12 x2-9x+80， 当 x=9时 ， y有 最 小 值 ， y min= 214 80 92 14 2 =39.5，答 ： 李 华 应 选 择 在 B站 出 地 铁 ， 才 能 使 他 从 文 化 宫 回 到 家 所 需 的 时 间 最 短 ， 最 短 时 间 为 39.5分 钟 .27.问 题 背 景 ： 如 图 1， 等 腰 AB
32、C中 ， AB=AC， BAC=120 ， 作 AD BC于 点 D， 则 D 为 BC的 中 点 ， BAD= 12 BAC=60 ， 于 是 2 3BC BDAB AB ； 迁 移 应 用 ： 如 图 2， ABC和 ADE都 是 等 腰 三 角 形 ， BAC= DAE=120 ， D， E， C 三 点 在同 一 条 直 线 上 ， 连 接 BD. 求 证 ： ADB AEC； 请 直 接 写 出 线 段 AD， BD， CD之 间 的 等 量 关 系 式 ；拓 展 延 伸 ： 如 图 3， 在 菱 形 ABCD 中 ， ABC=120 ， 在 ABC 内 作 射 线 BM， 作 点
33、C 关 于 BM的 对 称 点 E， 连 接 AE并 延 长 交 BM于 点 F， 连 接 CE， CF. 证 明 CEF是 等 边 三 角 形 ； 若 AE=5， CE=2， 求 BF的 长 .解 析 ： 迁 移 应 用 ： 如 图 中 ， 只 要 证 明 DAB= CAE， 即 可 根 据 SAS 解 决 问 题 ； 结 论 ： CD= 3 AD+BD.由 DAB EAC， 可 知 BD=CE， 在 Rt ADH中 ， DH=AD cos30 = 32 AD， 由 AD=AE， AH DE， 推 出 DH=HE， 由 CD=DE+EC=2DH+BD= 3 AD+BD， 即 可 解 决 问
34、题 ；拓 展 延 伸 ： 如 图 3 中 ， 作 BH AE 于 H， 连 接 BE.由 BC=BE=BD=BA， FE=FC， 推 出 A、 D、 E、C四 点 共 圆 ， 推 出 ADC= AEC=120 ， 推 出 FEC=60 ， 推 出 EFC是 等 边 三 角 形 ； 由 AE=5， EC=EF=2， 推 出 AH=HE=2.5， FH=4.5， 在 Rt BHF 中 ， 由 BFH=30 ， 可 得HFBF =cos30 ， 由 此 即 可 解 决 问 题 .答 案 ： 迁 移 应 用 ： 证 明 ： 如 图 BAC= DAE=120 ， DAB= CAE，在 DAE和 EAC中
35、 ，DA EADAB EACAB AC ， DAB EAC， 解 ： 结 论 ： CD= 3 AD+BD.理 由 ： 如 图 2-1中 ， 作 AH CD于 H. DAB EAC， BD=CE，在 Rt ADH中 ， DH=AD cos30 = 32 AD， AD=AE， AH DE， DH=HE， CD=DE+EC=2DH+BD= 3 AD+BD.拓 展 延 伸 ： 证 明 ： 如 图 3 中 ， 作 BH AE 于 H， 连 接 BE. 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， ABC=120 ， ABD， BDC是 等 边 三 角 形 ， BA=BD=BC， E、 C关 于 BM对 称 ，
36、BC=BE=BD=BA， FE=FC， A、 D、 E、 C 四 点 共 圆 ， ADC= AEC=120 ， FEC=60 ， EFC是 等 边 三 角 形 ， 解 ： AE=5， EC=EF=2， AH=HE=2.5， FH=4.5，在 Rt BHF中 ， BFH=30 ， HFBF =cos30 ， BF= 4.5 3 332 .28.如 图 1， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 抛 物 线 C： y=ax 2+bx+c 与 x 轴 相 交 于 A， B 两 点 ， 顶点 为 D(0， 4)， AB=4 2 ， 设 点 F(m， 0)是 x 轴 的 正 半 轴 上 一 点
37、， 将 抛 物 线 C绕 点 F 旋 转 180 ，得 到 新 的 抛 物 线 C . (1)求 抛 物 线 C 的 函 数 表 达 式 ；(2)若 抛 物 线 C 与 抛 物 线 C 在 y 轴 的 右 侧 有 两 个 不 同 的 公 共 点 ， 求 m 的 取 值 范 围 .(3)如 图 2， P是 第 一 象 限 内 抛 物 线 C 上 一 点 ， 它 到 两 坐 标 轴 的 距 离 相 等 ， 点 P 在 抛 物 线 C上 的 对 应 点 P ， 设 M是 C 上 的 动 点 ， N是 C 上 的 动 点 ， 试 探 究 四 边 形 PMP N 能 否 成 为 正方 形 ？ 若 能 ，
38、 求 出 m的 值 ； 若 不 能 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)由 题 意 抛 物 线 的 顶 点 C(0， 4)， A(2 2 ， 0)， 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=ax2+4， 把A(2 2 ， 0)代 入 可 得 a=- 12 ， 由 此 即 可 解 决 问 题 ；(2)由 题 意 抛 物 线 C 的 顶 点 坐 标 为 (2m， -4)， 设 抛 物 线 C 的 解 析 式 为 y= 12 (x-2m) 2-4， 由 2 21 421 2 42y xy x m ， 消 去 y 得 到 x2-2mx+2m2-8=0， 由 题 意 ， 抛 物 线 C 与 抛
39、物 线 C 在 y轴 的 右 侧 有 两 个 不 同 的 公 共 点 ， 则 有 2 222 4 2 8 02 02 8 0m mmm ， 解 不 等 式 组 即 可 解 决 问 题 ；(3)情 形 1， 四 边 形 PMP N能 成 为 正 方 形 .作 PE x 轴 于 E， MH x 轴 于 H.由 题 意 易 知 P(2， 2)， 当 PFM是 等 腰 直 角 三 角 形 时 ， 四 边 形 PMP N 是 正 方 形 ， 推 出 PF=FM， PFM=90 ， 易证 PFE FMH， 可 得 PE=FH=2， EF=HM=2-m， 可 得 M(m+2， m-2)， 理 由 待 定 系
40、 数 法 即 可 解 决问 题 ； 情 形 2， 如 图 ， 四 边 形 PMP N 是 正 方 形 ， 同 法 可 得 M(m-2， 2-m)， 利 用 待 定 系 数 法 即可 解 决 问 题 .答 案 ： (1)由 题 意 抛 物 线 的 顶 点 C(0， 4)， A(2 2 ， 0)， 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=ax2+4，把 A(2 2 ， 0)代 入 可 得 a=- 12 ， 抛 物 线 C的 函 数 表 达 式 为 y=- 12 x 2+4.(2)由 题 意 抛 物 线 C 的 顶 点 坐 标 为 (2m， -4)， 设 抛 物 线 C 的 解 析 式 为 y= 1
41、2 (x-2m)2-4， 由 2 21 421 2 42y xy x m ， 消 去 y 得 到 x2-2mx+2m2-8=0，由 题 意 ， 抛 物 线 C 与 抛 物 线 C 在 y 轴 的 右 侧 有 两 个 不 同 的 公 共 点 ，则 有 2 222 4 2 8 02 02 8 0m mmm ， 解 得 2 m 2 2 ， 满 足 条 件 的 m的 取 值 范 围 为 2 m 2 2 .(3)结 论 ： 四 边 形 PMP N能 成 为 正 方 形 .理 由 ： 1 情 形 1， 如 图 ， 作 PE x 轴 于 E， MH x轴 于 H. 由 题 意 易 知 P(2， 2)， 当
42、PFM是 等 腰 直 角 三 角 形 时 ， 四 边 形 PMP N 是 正 方 形 ， PF=FM， PFM=90 ，易 证 PFE FMH， 可 得 PE=FH=2， EF=HM=2-m， M(m+2， m-2)， 点 M在 y=- 12 x2+4上 ， m-2=- 12 (m+2) 2+4， 解 得 m= 17 -3或 - 17 -3(舍 弃 )， m= 17 -3时 ， 四 边 形 PMP N 是 正 方 形 .情 形 2， 如 图 ， 四 边 形 PMP N是 正 方 形 ， 同 法 可 得 M(m-2， 2-m)， 把 M(m-2， 2-m)代 入 y=- 12 x2+4 中 ， 2-m=- 12 (m-2)2+4， 解 得 m=6或 0(舍 弃 )， m=6时 ， 四 边 形 PMP N是 正 方 形 .
