1、2016年 重 庆 市 中 考 真 题 (A 卷 )数 学一 、 选 择 题 (本 题 共 12 个 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 48 分 )1.在 实 数 -2， 2， 0， -1 中 ， 最 小 的 数 是 ( )A.-2B.2C.0D.-1解 析 ： 在 实 数 -2， 2， 0， -1 中 ， 最 小 的 数 是 -2.答 案 ： A 2.下 列 图 形 中 是 轴 对 称 图 形 的 是 ( )A.B.C. D.解 析 ： A、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 不 符 合 题 意 ；B、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 不 符 合 题 意 ；C、 不 是 轴 对 称 图
2、形 ， 不 符 合 题 意 ；D、 是 轴 对 称 图 形 ， 对 称 轴 有 两 条 ， 符 合 题 意 .答 案 ： D.3.计 算 a 3 a2正 确 的 是 ( )A.aB.a5C.a6D.a9解 析 ： 同 底 数 幂 相 乘 ， 底 数 不 变 ， 指 数 相 加 .a3 a2=a3+2=a5.答 案 ： B.4.下 列 调 查 中 ， 最 适 合 采 用 全 面 调 查 (普 查 )方 式 的 是 ( ) A.对 重 庆 市 辖 区 内 长 江 流 域 水 质 情 况 的 调 查B.对 乘 坐 飞 机 的 旅 客 是 否 携 带 违 禁 物 品 的 调 查C.对 一 个 社 区
3、每 天 丢 弃 塑 料 袋 数 量 的 调 查D.对 重 庆 电 视 台 “ 天 天 630” 栏 目 收 视 率 的 调 查解 析 ： A、 对 重 庆 市 辖 区 内 长 江 流 域 水 质 情 况 的 调 查 ， 应 采 用 抽 样 调 查 ；B、 对 乘 坐 飞 机 的 旅 客 是 否 携 带 违 禁 物 品 的 调 查 ， 应 采 用 全 面 调 查 ；C、 对 一 个 社 区 每 天 丢 弃 塑 料 袋 数 量 的 调 查 ， 应 采 用 抽 样 调 查 ；D、 对 重 庆 电 视 台 “ 天 天 630” 栏 目 收 视 率 的 调 查 ， 应 采 用 抽 样 调 查 .答 案
4、： B.5.如 图 ， AB CD， 直 线 l交 AB于 点 E， 交 CD于 点 F， 若 2=80 ， 则 1 等 于 ( ) A.120B.110C.100D.80解 析 ： AB CD， 1+ DFE=180 ， DFE= 2=80 ， 1=180 -80 =100 .答 案 ： C.6.若 a=2， b=-1， 则 a+2b+3 的 值 为 ( )A.-1B.3C.6D.5 解 析 ： 当 a=2， b=-1时 ， 原 式 =2-2+3=3.答 案 ： B7.函 数 y= 1 2x 中 ， x 的 取 值 范 围 是 ( )A.x 0B.x -2C.x -2D.x -2解 析 ：
5、根 据 题 意 得 ： x+2 0， 解 得 x -2.答 案 ： D.8. ABC与 DEF的 相 似 比 为 1： 4， 则 ABC与 DEF的 周 长 比 为 ( ) A.1： 2 B.1： 3C.1： 4D.1： 16解 析 ： ABC与 DEF 的 相 似 比 为 1： 4， ABC 与 DEF的 周 长 比 为 1： 4.答 案 ： C.9.如 图 ， 以 AB 为 直 径 ， 点 O 为 圆 心 的 半 圆 经 过 点 C， 若 AC=BC= 2 ， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面积 是 ( ) A. 4B. 12 4C. 2D. 12 2解 析 ： AB为 直 径 ， AC
6、B=90 ， AC=BC= 2 ， ACB为 等 腰 直 角 三 角 形 ， OC AB， AOC和 BOC都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， S AOC=S BOC， OA= 22 AC=1， S 阴 影 部 分 =S 扇 形 AOC= 290 1360 4 .答 案 ： A.10.下 列 图 形 都 是 由 同 样 大 小 的 小 圆 圈 按 一 定 规 律 所 组 成 的 ， 其 中 第 个 图 形 中 一 共 有 4 个小 圆 圈 ， 第 个 图 形 中 一 共 有 10个 小 圆 圈 ， 第 个 图 形 中 一 共 有 19 个 小 圆 圈 ， ， 按 此 规律 排 列 ， 则
7、第 个 图 形 中 小 圆 圈 的 个 数 为 ( ) A.64B.77C.80 D.85解 析 ： 通 过 观 察 ， 得 到 小 圆 圈 的 个 数 分 别 是 ：第 一 个 图 形 为 ： 21 2 2 12 =4，第 二 个 图 形 为 ： 21 3 3 22 =6，第 三 个 图 形 为 ： 21 4 4 32 =10，第 四 个 图 形 为 ： 21 5 5 42 =15， ，所 以 第 n 个 图 形 为 ： 22 12n n n ，当 n=7时 ， 27 2 7 1 72 =85.答 案 ： D.11.某 数 学 兴 趣 小 组 同 学 进 行 测 量 大 树 CD高 度 的
8、综 合 实 践 活 动 ， 如 图 ， 在 点 A处 测 得 直 立 于地 面 的 大 树 顶 端 C 的 仰 角 为 36 ， 然 后 沿 在 同 一 剖 面 的 斜 坡 AB 行 走 13 米 至 坡 顶 B 处 ， 然后 再 沿 水 平 方 向 行 走 6米 至 大 树 脚 底 点 D处 ， 斜 面 AB 的 坡 度 (或 坡 比 )i=1： 2.4， 那 么 大 树CD的 高 度 约 为 (参 考 数 据 ： sin36 0.59， cos36 0.81， tan36 0.73)( ) A.8.1米B.17.2米C.19.7米D.25.5米解 析 ： 作 BF AE于 F， 如 图 所
9、 示 ：则 FE=BD=6米 ， DE=BF， 斜 面 AB 的 坡 度 i=1： 2.4， AF=2.4BF，设 BF=x米 ， 则 AF=2.4x 米 ，在 Rt ABF中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： x2+(2.4x)2=132， 解 得 ： x=5， DE=BF=5米 ， AF=12 米 ， AE=AF+FE=18米 ，在 Rt ACE中 ， CE=AE tan36 =18 0.73=13.14米 ， CD=CE-DE=13.14 米 -5 米 8.1米 .答 案 ： A.12.从 -3， -1， 12 ， 1， 3 这 五 个 数 中 ， 随 机 抽 取 一 个 数 ， 记 为
10、a， 若 数 a使 关 于 x的 不 等 式组 33 21 70 xx a ， 无 解 ， 且 使 关 于 x的 分 式 方 程 2 13 3x ax x 有 整 数 解 ， 那 么 这 5 个 数 中 所 有 满 足 条 件 的 a 的 值 之 和 是 ( )A.-3B.-2C.- 32D. 12解 析 ： 解 33 21 70 xx a ， 得 1xx a ， ， 不 等 式 组 33 21 70 xx a ， 无 解 ， a 1， 解 方 程 2 13 3x ax x 得 x=5 2a ， x=5 2a 为 整 数 ， a 1， a=-3或 1， 所 有 满 足 条 件 的 a 的 值
11、之 和 是 -2.答 案 ： B.二 、 填 空 题 (本 题 6 个 下 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 24分 )13.据 报 道 ， 2015 年 某 市 城 镇 非 私 营 单 位 就 业 人 员 年 平 均 工 资 超 过 60500元 ， 将 数 60500用科 学 计 数 法 表 示 为 .解 析 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10 n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n 为 整 数 .确 定 n的 值 是易 错 点 ， 由 于 60500有 5位 ， 所 以 可 以 确 定 n=5-1=4.60500=6.05 104.答 案 ： 6.05
12、104.14.计 算 ： 4+(-2)0= .解 析 ： 4+(-2)0=2+1=3.答 案 ： 3. 15.如 图 ， OA， OB 是 O 的 半 径 ， 点 C 在 O 上 ， 连 接 AC， BC， 若 AOB=120 ， 则 ACB=度 .解 析 ： 圆 周 角 定 理 ： 在 同 圆 或 等 圆 中 ， 同 弧 或 等 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 ， 都 等 于 这 条 弧 所 对 的圆 心 角 的 一 半 . AOB=120 ， ACB=120 12 =60 .答 案 ： 60. 16.从 数 -2， - 12 ， 0， 4 中 任 取 一 个 数 记 为 m， 再 从
13、余 下 的 三 个 数 中 ， 任 取 一 个 数 记 为 n， 若k=mn， 则 正 比 例 函 数 y=kx的 图 象 经 过 第 三 、 第 一 象 限 的 概 率 是 .解 析 ： 根 据 题 意 画 图 如 下 ：共 有 12种 情 况 ， 正 比 例 函 数 y=kx 的 图 象 经 过 第 三 、 第 一 象 限 ， k 0， k=mn， mn 0， 符 合 条 件 的 情 况 数 有 2 种 ， 正 比 例 函 数 y=kx 的 图 象 经 过 第 三 、 第 一 象 限 的 概 率 是 212 16 . 答 案 ： 1617.甲 、 乙 两 人 在 直 线 道 路 上 同 起
14、 点 、 同 终 点 、 同 方 向 ， 分 别 以 不 同 的 速 度 匀 速 跑 步 1500米 ， 先 到 终 点 的 人 原 地 休 息 ， 已 知 甲 先 出 发 30秒 后 ， 乙 才 出 发 ， 在 跑 步 的 整 个 过 程 中 ， 甲 、乙 两 人 的 距 离 y(米 )与 甲 出 发 的 时 间 x(秒 )之 间 的 关 系 如 图 所 示 ， 则 乙 到 终 点 时 ， 甲 距 终 点的 距 离 是 米 .解 析 ： 根 据 题 意 得 ， 甲 的 速 度 为 ： 75 30=2.5 米 /秒 ， 设 乙 的 速 度 为 m米 /秒 ， 则 (m-2.5) 150=75，
15、解 得 ： m=3米 /秒 ，则 乙 的 速 度 为 3米 /秒 ， 乙 到 终 点 时 所 用 的 时 间 为 ： 15003 =500(秒 )，此 时 甲 走 的 路 程 是 ： 2.5 (500+30)=1325(米 )，甲 距 终 点 的 距 离 是 1500-1325=175(米 ).答 案 ： 175.18.正 方 形 ABCD中 ， 对 角 线 AC， BD 相 交 于 点 O， DE 平 分 ADO交 AC 于 点 E， 把 ADE 沿 AD翻 折 ， 得 到 ADE ， 点 F 是 DE的 中 点 ， 连 接 AF， BF， E F.若 AE= 2 .则 四 边 形 ABFE
16、 的面 积 是 . 解 析 ： 如 图 ， 连 接 EB、 EE ， 作 EM AB于 M， EE 交 AD于 N. 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， AB=BC=CD=DA， AC BD， AO=OB=OD=OC， DAC= CAB= DAE =45 ，根 据 对 称 性 ， ADE ADE ABE， DE=DE ， AE=AE ， AD 垂 直 平 分 EE ， EN=NE ， NAE= NEA= MAE= MEA=45 ， AE= 2 ， AM=EM=EN=AN=1， ED 平 分 ADO， EN DA， EO DB， EN=EO=1， AO= 2 +1， AB= 2 AO=2+
17、 2 ， S AEB=S AED=S ADE = 12 1(2+ 2 )=1+ 22 ， S BDE=S ADB-2S AEB=1+ 2 ， DF=EF， S EFB=1 2 2 ， S DEE =2S ADE-S AEE = 2 +1， S DFE = 12 S DEE = 2 12 ， S 四 边 形 AEFE =2S ADE-S DFE =3 2 2 ， S 四 边 形 ABFE =S 四 边 形 AEFE +S AEB+S EFB= 6 32 2 .答 案 ： 6 32 2 . 三 、 解 答 题 (本 题 共 2 个 小 题 ， 每 小 题 7 分 ， 共 14 分 )19.如 图
18、， 点 A， B， C， D在 同 一 条 直 线 上 ， CE DF， EC=BD， AC=FD.求 证 ： AE=FB.解 析 ： 根 据 CE DF， 可 得 ACE= D， 再 利 用 SAS证 明 ACE FDB， 得 出 对 应 边 相 等 即 可 .答 案 ： CE DF， ACE= D， 在 ACE和 FDB中 ， AC FDACE DEC BD ， ， ACE FDB(SAS)， AE=FB.20.为 响 应 “ 全 民 阅 读 ” 号 召 ， 某 校 在 七 年 级 800名 学 生 中 随 机 抽 取 100名 学 生 ， 对 概 念 机学 生 在 2015 年 全 年
19、阅 读 中 外 名 著 的 情 况 进 行 调 查 ， 整 理 调 查 结 果 发 现 ， 学 生 阅 读 中 外 名 著的 本 数 ， 最 少 的 有 5 本 ， 最 多 的 有 8本 ， 并 根 据 调 查 结 果 绘 制 了 如 图 所 示 的 不 完 整 的 条 形 统计 图 ， 其 中 阅 读 了 6 本 的 人 数 占 被 调 查 人 数 的 30%， 根 据 图 中 提 供 的 信 息 ， 补 全 条 形 统 计 图并 估 计 该 校 七 年 级 全 体 学 生 在 2015年 全 年 阅 读 中 外 名 著 的 总 本 数 . 解 析 ： 由 阅 读 了 6本 的 人 数 占
20、被 调 查 人 数 的 30%可 求 得 阅 读 6本 的 人 数 ， 将 总 人 数 减 去 阅 读数 是 5、 6、 8本 的 人 数 可 得 阅 读 7本 人 数 ， 据 此 补 全 条 形 图 可 得 ； 根 据 样 本 计 算 出 平 均 每 人的 阅 读 量 ， 再 用 平 均 数 乘 以 七 年 级 学 生 总 数 即 可 得 答 案 .答 案 ： 根 据 题 意 ， 阅 读 了 6 本 的 人 数 为 100 30%=30(人 )，阅 读 了 7 本 的 人 数 为 ： 100-20-30-15=35(人 )，补 全 条 形 图 如 图 ： 平 均 每 位 学 生 的 阅 读
21、数 量 为 ： 5 20 6 30 7 35 8 15100 =6.45(本 )， 估 计 该 校 七 年 级 全 体 学 生 在 2015年 全 年 阅 读 中 外 名 著 的 总 本 数 为 800 6.45=5160本 ，答 ： 估 计 该 校 七 年 级 全 体 学 生 在 2015 年 全 年 阅 读 中 外 名 著 的 总 本 数 约 为 5160本 .四 、 解 答 题 (本 题 共 4 个 下 题 ， 每 小 题 10 分 ， 共 40 分 )21.计 算 ： (1)(a+b) 2-b(2a+b)(2)( 2 21xx +x-1) 2 1x xx .解 析 ： (1)根 据 完
22、 全 平 方 公 式 和 单 项 式 乘 多 项 式 的 法 则 计 算 即 可 ；(2)根 据 分 式 的 混 合 运 算 法 则 进 行 计 算 .答 案 ： (1)(a+b)2-b(2a+b)=a2+2ab+b2-2ab-b2=a2；(2) 22 2 2 12 2 2 2 1 1 1 111 1 1 1 1xx x x x x x x xxx x x x x x x x x .22.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 一 次 函 数 y=ax+b(a 0)的 图 形 与 反 比 例 函 数 y= kx (k 0)的 图 象 交 于 第 二 、 四 象 限 内 的 A、 B 两 点 ，
23、 与 y 轴 交 于 C 点 ， 过 点 A 作 AH y 轴 ， 垂 足 为 H， OH=3，tan AOH= 43 ， 点 B 的 坐 标 为 (m， -2).(1)求 AHO的 周 长 ；(2)求 该 反 比 例 函 数 和 一 次 函 数 的 解 析 式 . 解 析 ： (1)根 据 正 切 函 数 ， 可 得 AH 的 长 ， 根 据 勾 股 定 理 ， 可 得 AO的 长 ， 根 据 三 角 形 的 周 长 ，可 得 答 案 ； (2)根 据 待 定 系 数 法 ， 可 得 函 数 解 析 式 .答 案 ： (1)由 OH=3， tan AOH= 43 ， 得 AH=4.即 A(-
24、4， 3).由 勾 股 定 理 ， 得 AO= 2 2OH AH =5， AHO的 周 长 =AO+AH+OH=3+4+5=12.(2)将 A 点 坐 标 代 入 y= kx (k 0)， 得 k=-4 3=-12， 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为 y= 12x ；当 y=-2时 ， -2= 12x ， 解 得 x=6， 即 B(6， -2).将 A、 B 点 坐 标 代 入 y=ax+b， 得 4 36 2a ba b ， 解 得 121ab ， 一 次 函 数 的 解 析 式 为 y=- 12 x+1.23.近 期 猪 肉 价 格 不 断 走 高 ， 引 起 了 民 众 与 政 府
25、 的 高 度 关 注 .当 市 场 猪 肉 的 平 均 价 格 每 千 克 达到 一 定 的 单 价 时 ， 政 府 将 投 入 储 备 猪 肉 以 平 抑 猪 肉 价 格 .(1)从 今 年 年 初 至 5 月 20日 ， 猪 肉 价 格 不 断 走 高 ， 5 月 20日 比 年 初 价 格 上 涨 了 60%.某 市 民在 今 年 5月 20 日 购 买 2.5千 克 猪 肉 至 少 要 花 100元 钱 ， 那 么 今 年 年 初 猪 肉 的 最 低 价 格 为 每千 克 多 少 元 ？(2)5月 20日 ， 猪 肉 价 格 为 每 千 克 40 元 .5 月 21 日 ， 某 市 决
26、 定 投 入 储 备 猪 肉 并 规 定 其 销 售 价在 每 千 克 40 元 的 基 础 上 下 调 a%出 售 .某 超 市 按 规 定 价 出 售 一 批 储 备 猪 肉 ， 该 超 市 在 非 储 备猪 肉 的 价 格 仍 为 每 千 克 40 元 的 情 况 下 ， 该 天 的 两 种 猪 肉 总 销 量 比 5 月 20 日 增 加 了 a%， 且储 备 猪 肉 的 销 量 占 总 销 量 的 34 ， 两 种 猪 肉 销 售 的 总 金 额 比 5 月 20 日 提 高 了 110 a%， 求 a 的 值 .解 析 ： (1)设 今 年 年 初 猪 肉 价 格 为 每 千 克
27、x 元 ； 根 据 题 意 列 出 一 元 一 次 不 等 式 ， 解 不 等 式 即可 ；(2)设 5 月 20 日 两 种 猪 肉 总 销 量 为 1； 根 据 题 意 列 出 方 程 ， 解 方 程 即 可 .答 案 ： (1)设 今 年 年 初 猪 肉 价 格 为 每 千 克 x 元 ；根 据 题 意 得 ： 2.5 (1+60%)x 100， 解 得 ： x 25.答 ： 今 年 年 初 猪 肉 的 最 低 价 格 为 每 千 克 25 元 ；(2)设 5 月 20 日 两 种 猪 肉 总 销 量 为 1；根 据 题 意 得 ： 40(1-a%) 34 (1+a%)+40 14 (1
28、+a%)=40(1+ 110a%)，令 a%=y， 原 方 程 化 为 ： 40(1-y) 34 (1+y)+40 14 (1+y)=40(1+ 110y)，整 理 得 ： 5y 2-y=0， 解 得 ： y=0.2， 或 y=0(舍 去 )， 则 a%=0.2， a=20.答 ： a的 值 为 20.24.我 们 知 道 ， 任 意 一 个 正 整 数 n 都 可 以 进 行 这 样 的 分 解 ： n=p q(p， q 是 正 整 数 ， 且 p q)，在 n 的 所 有 这 种 分 解 中 ， 如 果 p， q 两 因 数 之 差 的 绝 对 值 最 小 ， 我 们 就 称 p q 是
29、n 的 最 佳 分 解 .并 规 定 ： F(n)= pq .例 如 12可 以 分 解 成 1 12， 2 6 或 3 4， 因 为 12-1 6-2 4-3， 所有 3 4 是 12 的 最 佳 分 解 ， 所 以 F(12)= 34 .(1)如 果 一 个 正 整 数 a是 另 外 一 个 正 整 数 b 的 平 方 ， 我 们 称 正 整 数 a是 完 全 平 方 数 .求 证 ： 对任 意 一 个 完 全 平 方 数 m， 总 有 F(m)=1；(2)如 果 一 个 两 位 正 整 数 t， t=10 x+y(1 x y 9， x， y 为 自 然 数 )， 交 换 其 个 位 上
30、的 数 与 十位 上 的 数 得 到 的 新 数 减 去 原 来 的 两 位 正 整 数 所 得 的 差 为 18， 那 么 我 们 称 这 个 数 t 为 “ 吉 祥数 ” ， 求 所 有 “ 吉 祥 数 ” 中 F(t)的 最 大 值 .解 析 ： (1)根 据 题 意 可 设 m=n 2， 由 最 佳 分 解 定 义 可 得 F(m)= nn =1；(2)根 据 “ 吉 祥 数 ” 定 义 知 (10y+x)-(10 x+y)=18， 即 y=x+2， 结 合 x 的 范 围 可 得 2位 数 的 “ 吉祥 数 ” ， 求 出 每 个 “ 吉 祥 数 ” 的 F(t)， 比 较 后 可
31、得 最 大 值 .答 案 ： (1)对 任 意 一 个 完 全 平 方 数 m， 设 m=n2(n 为 正 整 数 )， |n-n|=0， n n是 m的 最 佳 分 解 ， 对 任 意 一 个 完 全 平 方 数 m， 总 有 F(m)= nn =1.(2)设 交 换 t 的 个 位 上 的 数 与 十 位 上 的 数 得 到 的 新 数 为 t ， 则 t =10y+x， t 为 “ 吉 祥 数 ” ， t -t=(10y+x)-(10 x+y)=9(y-x)=18， y=x+2， 1 x y 9， x， y为 自 然 数 ， “ 吉 祥 数 ” 有 ： 13， 24， 35， 46， 5
32、7， 68， 79， F(13)= 113， F(24)= 46 23 ， F(35)= 57 ， F(46)= 223， F(57)= 319， F(68)= 417， F(79)= 179 ， 57 23 417 319 223 113 179 ， 所 有 “ 吉 祥 数 ” 中 ， F(t)的 最 大 值 是 57 .五 、 解 答 题 (本 题 2 个 小 题 ， 每 小 题 12 分 ， 共 24分 )解 答 时 每 小 题 必 须 给 出 必 要 的 演 算 过 程或 推 理 步 骤 ， 画 出 必 要 的 图 形 ， 请 将 解 答 过 程 书 写 在 答 题 卡 中 对 应 的
33、 位 置 上 .25.在 ABC中 ， B=45 ， C=30 ， 点 D 是 BC 上 一 点 ， 连 接 AD， 过 点 A 作 AG AD， 在AG上 取 点 F， 连 接 DF.延 长 DA至 E， 使 AE=AF， 连 接 EG， DG， 且 GE=DF. (1)若 AB=2 2 ， 求 BC的 长 ；(2)如 图 1， 当 点 G 在 AC上 时 ， 求 证 ： BD= 12 CG；(3)如 图 2， 当 点 G 在 AC的 垂 直 平 分 线 上 时 ， 直 接 写 出 ABCG 的 值 . 解 析 ： (1)如 图 1 中 ， 过 点 A 作 AH BC 于 H， 分 别 在
34、RT ABH， RT AHC中 求 出 BH、 HC 即 可 .(2)如 图 1 中 ， 过 点 A 作 AP AB 交 BC 于 P， 连 接 PG， 由 ABD APG推 出 BD=PG， 再 利 用30度 角 性 质 即 可 解 决 问 题 .(3)如 图 2 中 ， 作 AH BC 于 H， AC的 垂 直 平 分 线 交 AC 于 P， 交 BC于 M.则 AP=PC， 作 DK AB于 K， 设 BK=DK=a， 则 AK= 3a， AD=2a， 只 要 证 明 BAD=30 即 可 解 决 问 题 .答 案 ： (1)如 图 1 中 ， 过 点 A 作 AH BC于 H. AHB
35、= AHC=90 ， 在 RT AHB中 ， AB=2 2 ， B=45 ， BH=AB cosB=2 2 22 =2， AH=AB sinB=2，在 RT AHC中 ， C=30 ， AC=2AH=4， CH=AC cosC=2 3， BC=BH+CH=2+2 3.(2)如 图 1 中 ， 过 点 A 作 AP AB 交 BC 于 P， 连 接 PG， AG AD， DAF= EAC=90 ， 在 DAF和 GAE中 ， AF AEDF EG ， DAF GAE， AD=AG， BAP=90 = DAG， BAD= PAG， B= APB=45 ， AB=AP，在 ABD和 APG中 ， A
36、B APBAD PAGAD AG ， ， ABD APG， BD=PG， B= APG=45 ， GPB= GPC=90 ， C=30 ， PG= 12 GC， BD= 12 CG.(3)如 图 2 中 ， 作 AH BC于 H， AC的 垂 直 平 分 线 交 AC于 P， 交 BC于 M.则 AP=PC， 在 RT AHC中 ， ACH=30 ， AC=2AH， AH=AP，在 RT AHD和 RT APG中 ， AH APAD AG ， AHD APG， DAH= GAP， GM AC， PA=PC， MA=MC， MAC= MCA= MAH=30 ， DAM= GAM=45 ， DAH
37、= GAP=15 ， BAD= BAH- DAH=30 ，作 DK AB 于 K， 设 BK=DK=a， 则 AK= 3a， AD=2a， 3 12 23AB a aAD a ， AG=CG=AD， 123ABCG . 26.如 图 1， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 抛 物 线 y= 2 21 33 33x x 与 x 轴 交 于 A， B两 点 (点 A在 点 B左 侧 )， 与 y 轴 交 于 点 C， 抛 物 线 的 顶 点 为 点 E.(1)判 断 ABC的 形 状 ， 并 说 明 理 由 ；(2)经 过 B， C两 点 的 直 线 交 抛 物 线 的 对 称 轴 于 点
38、D， 点 P 为 直 线 BC上 方 抛 物 线 上 的 一 动 点 ，当 PCD的 面 积 最 大 时 ， Q 从 点 P 出 发 ， 先 沿 适 当 的 路 径 运 动 到 抛 物 线 的 对 称 轴 上 点 M 处 ， 再 沿 垂 直 于 抛 物 线 对 称 轴 的 方 向 运 动 到 y轴 上 的 点 N 处 ， 最 后 沿 适 当 的 路 径 运 动 到 点 A 处 停止 .当 点 Q 的 运 动 路 径 最 短 时 ， 求 点 N 的 坐 标 及 点 Q 经 过 的 最 短 路 径 的 长 ；(3)如 图 2， 平 移 抛 物 线 ， 使 抛 物 线 的 顶 点 E 在 射 线 A
39、E 上 移 动 ， 点 E 平 移 后 的 对 应 点 为 点 E ，点 A 的 对 应 点 为 点 A ， 将 AOC 绕 点 O 顺 时 针 旋 转 至 A1OC1的 位 置 ， 点 A， C 的 对 应 点 分别 为 点 A1， C1， 且 点 A1恰 好 落 在 AC上 ， 连 接 C1A ， C1E ， A C1E 是 否 能 为 等 腰 三 角 形 ？若 能 ， 请 求 出 所 有 符 合 条 件 的 点 E 的 坐 标 ； 若 不 能 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)先 求 出 抛 物 线 与 x 轴 和 y 轴 的 交 点 坐 标 ， 再 用 勾 股 定 理 的 逆
40、 定 理 判 断 出 ABC 是直 角 三 角 形 ；(2)先 求 出 S PCD最 大 时 ， 点 P( 2 32 ， 154 )， 然 后 判 断 出 所 走 的 路 径 最 短 ， 即 最 短 路 径 的 长为 PM+MN+NA的 长 ， 计 算 即 可 ；(3) A C1E 是 等 腰 三 角 形 ， 分 三 种 情 况 分 别 建 立 方 程 计 算 即 可 .答 案 ： (1) ABC为 直 角 三 角 形 ，当 y=0时 ， 即 2 21 33 33x x =0， x1=- 3， x2=3 3， A(- 3， 0)， B(3 3， 0)， OA= 3， OB=3 3 ，当 x=0
41、时 ， y=3， C(0， 3)， OC=3，根 据 勾 股 定 理 得 ， AC2=OB2+OC2=12， BC2=OB2+OC2=36， AC2+BC2=48， AB2=3 3-(- 3)2=48， AC2+BC2=AB2， ABC是 直 角 三 角 形 ，(2)如 图 ， B(3 3， 0)， C(0， 3)， 直 线 BC 解 析 式 为 y=- 33 x+3，过 点 P作 y 轴 ，设 P(a， 2 21 33 33a a )， G(a， - 33 a+3)， PG=-13 a2+ 3a，设 点 D的 横 坐 标 为 xD， C点 的 横 坐 标 为 xC，S PCD= 12 (xD
42、-xC) PG= 23 3 3 836 2 9a ， 0 a 3 3， 当 a=3 32 时 ， S PCD最 大 ， 此 时 点 P(3 32 ， 154 )，将 点 P向 左 平 移 3个 单 位 至 P ， 连 接 AP ， 交 y 轴 于 点 N， 过 点 N 作 MN 抛 物 线 对 称 轴于 点 M，连 接 PM， 点 Q 沿 P M N A， 运 动 ， 所 走 的 路 径 最 短 ， 即 最 短 路 径 的 长 为 PM+MN+NA的 长 ， P(3 32 ， 154 ) P ( 32 ， 154 )， 点 A(- 3， 0)， 直 线 AP 的 解 析 式 为 y=5 3 5
43、6 2x ，当 x=0时 ， y= 52 ， N(0， 52 )，过 点 P 作 P H x轴 于 点 H， AH=3 32 ， P H=154 ， AP =3 374 ， 点 Q运 动 得 最 短 路 径 长 为 PM+MN+AN=3 37 3 374 4 33 4 ； (3)在 Rt AOC 中 ， tan OAC= 3OCOA ， OAC=60 ， OA=OA1， OAA1为 等 边 三 角 形 ， AOA1=60 ， BOC1=30 ， OC1=OC=3， C1(3 32 ， 32 )， 点 A(- 3， 0)， E( 3， 4)， AE=2 7 ， A E =AE=2 7 ， 直 线
44、 AE 的 解 析 式 为 y= 2 33 x+2， 设 点 E (a， 2 33 a +2)， A (a-2 3， 2 33 a -2)， C1E 2=(a-2 3)2+( 2 33 a +2- 32 )2= 73 a2- 7 33 a+7，C1A 2=(a-2 3-3 32 )2+( 2 33 a -2- 32 )2= 73 a2-a+49， 若 C 1A =C1E ， 则 C1A 2=C1E 2，即 ： 2 27 7 3 7 35 33 7 493 3 3a a a a ， a=3 32 ， E (3 32 ， 5)， 若 A C1=A E ， A C12=A E 2即 ： 27 35 33 3 49 28a a ， a 1=5 3 392 ， a2=5 3 392 ， E (5 3 392 ， 7+ 13)， 或 (5 3 392 ， 7- 13)， 若 E A =E C1， E A 2=E C12， 即 ： 27 7 33 3 7 28a a ， a 1= 3 392 ， a2= 3 392 (舍 )， E ( 3 392 ， 3+ 13)，即 ， 符 合 条 件 的 点 E (3 32 ， 5)， (5 3 392 ， 7+ 13)， 或 (5 3 392 ， 7- 13 )， ( 3 392 ， 3+ 13).
