1、2016年 辽 宁 省 丹 东 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (下 列 各 题 的 备 选 答 案 中 , 只 有 一 个 是 正 确 的 .每 小 题 3分 , 共 24分 )1.-3的 倒 数 是 ( )A.3B. 13C.-13D.-3解 析 : -3 (- 13 )=1, -3 的 倒 数 是 -13 . 答 案 : C.2.2016 年 1 月 19 日 , 国 家 统 计 局 公 布 了 2015 年 宏 观 经 济 数 据 , 初 步 核 算 , 全 年 国 内 生 产总 值 为 676000 亿 元 .676000用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.6
2、.76 106B.6.76 105C.67.6 105D.0.676 10 6解 析 : 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 , 其 中 1 |a| 10, n为 整 数 .确 定 n 的 值 时 ,整 数 位 数 减 1 即 可 .当 原 数 绝 对 值 10时 , n 是 正 数 ; 当 原 数 的 绝 对 值 1时 , n是 负 数 .将676000用 科 学 记 数 法 表 示 为 6.76 105.答 案 : B.3.如 图 所 示 几 何 体 的 左 视 图 为 ( ) A.B.C. D.解 析 : 从 左 边 看 第 一 层 一 个 小 正 方 形
3、, 第 二 层 一 个 小 正 方 形 , 第 三 层 一 个 小 正 方 形 .答 案 : A.4.一 组 数 据 8, 3, 8, 6, 7, 8, 7的 众 数 和 中 位 数 分 别 是 ( )A.8, 6B.7, 6C.7, 8D.8, 7解 析 : 把 这 组 数 据 从 小 到 大 排 列 : 3, 6, 7, 7, 8, 8, 8,8出 现 了 3次 , 出 现 的 次 数 最 多 , 则 众 数 是 8;最 中 间 的 数 是 7,则 这 组 数 据 的 中 位 数 是 7. 答 案 : D.5.下 列 计 算 结 果 正 确 的 是 ( )A.a8 a4=a2B.a2 a3
4、=a6C.(a3)2=a6D.(-2a2)3=8a6解 析 : A、 a 8 a4=a4, 故 A 错 误 ;B、 a2 a3=a5, 故 B 错 误 ;C、 (a3)2=a6, 故 C 正 确 ;D、 (-2a2)3=-8a6, 故 D 错 误 .答 案 : C.6.二 元 一 次 方 程 组 52 4x yx y , 的 解 为 ( )A. 14xy B. 23xyC. 32xyD. 41xy 解 析 : 52 4x yx y , , + , 得 3x=9, 解 得 x=3,把 x=3代 入 , 得 3+y=5, y=2,所 以 原 方 程 组 的 解 为 32xy ,答 案 : C.7.
5、如 图 , 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , BF平 分 ABC, 交 AD 于 点 F, CE 平 分 BCD, 交 AD于 点 E,AB=6, EF=2, 则 BC 长 为 ( ) A.8B.10C.12D.14解 析 : 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 , AD BC, DC=AB=6, AD=BC, AFB= FBC, BF 平 分 ABC, ABF= FBC, 则 ABF= AFB, AF=AB=6,同 理 可 证 : DE=DC=6, EF=AF+DE-AD=2,即 6+6-AD=2, 解 得 : AD=10.答 案 : B.8.如 图 , 在 ABC中 , A
6、D和 BE是 高 , ABE=45 , 点 F 是 AB的 中 点 , AD与 FE、 BE分 别 交 于 点 G、 H, CBE= BAD.有 下 列 结 论 : FD=FE; AH=2CD; BC AD= 2 AE2; S ABC=4S ADF.其 中 正 确 的 有 ( )A.1个B.2 个 C.3 个D.4个 解 析 : 在 ABC中 , AD和 BE是 高 , ADB= AEB= CEB=90 , 点 F是 AB的 中 点 , FD= 12 AB, ABE=45 , ABE是 等 腰 直 角 三 角 形 , AE=BE, 点 F是 AB的 中 点 , FE= 12 AB, FD=FE
7、, 正 确 ; CBE= BAD, CBE+ C=90 , BAD+ ABC=90 , ABC= C, AB=AC, AD BC, BC=2CD, BAD= CAD= CBE,在 AEH和 BEC中 , AEH CEBAE BEEAH CBE , , AEH BEC(ASA), AH=BC=2CD, 正 确 ; BAD= CBE, ADB= CEB, ABD BCE, BC BEAB AD , 即 BC AD=AB BE, 2 AE2=AB AE=AB BE, BC AD=AC BE=AB BE, BC AD= 2 AE2; 正 确 ; F 是 AB 的 中 点 , BD=CD, S ABC=
8、2S ABD=4S ADF. 正 确 .答 案 : D.二 、 填 空 题 (每 小 题 3 分 , 共 24 分 )9.分 解 因 式 : xy 2-x= .解 析 : xy2-x=x(y2-1)=x(y-1)(y+1).答 案 : x(y-1)(y+1).10.不 等 式 组 12 6 23x xx , 的 解 集 为 .解 析 : 12 6 23x xx , , 由 得 , x 2, 由 得 , x 6, 故 不 等 式 组 的 解 集 为 : 2 x 6. 答 案 : 2 x 6.11.一 个 袋 中 装 有 两 个 红 球 、 三 个 白 球 , 每 个 球 除 颜 色 外 都 相
9、同 .从 中 任 意 摸 出 一 个 球 , 摸 到红 球 的 概 率 是 .解 析 : 一 个 袋 中 装 有 两 个 红 球 、 三 个 白 球 , 球 的 总 数 =2+3=5, 从 中 任 意 摸 出 一 个 球 , 摸 到 红 球 的 概 率 = 25 .答 案 : 25 . 12.反 比 例 函 数 y= 1kx 的 图 象 经 过 点 (2, 3), 则 k= .解 析 : 反 比 例 函 数 y= 1kx 的 图 象 经 过 点 (2, 3), k-1=2 3, 解 得 : k=7.答 案 : 7.13.某 公 司 今 年 4 月 份 营 业 额 为 60 万 元 , 6 月
10、份 营 业 额 达 到 100 万 元 , 设 该 公 司 5、 6 两 个月 营 业 额 的 月 均 增 长 率 为 x, 则 可 列 方 程 为 .解 析 : 设 平 均 每 月 的 增 长 率 为 x, 根 据 题 意 可 得 : 60(1+x) 2=100.答 案 : 60(1+x)2=100.14.观 察 下 列 数 据 : -2, 52 , -103 , 174 , - 265 , , 它 们 是 按 一 定 规 律 排 列 的 , 依 照 此 规律 , 第 11 个 数 据 是 .解 析 : -2=- 21 , 52 , -103 , 174 , - 265 , , 第 11 个
11、 数 据 是 : 211 1 12211 11 .答 案 : -12211 . 15.如 图 , 正 方 形 ABCD边 长 为 3, 连 接 AC, AE平 分 CAD, 交 BC 的 延 长 线 于 点 E, FA AE,交 CB 延 长 线 于 点 F, 则 EF的 长 为 .解 析 : 四 边 形 ABCD为 正 方 形 , 且 边 长 为 3, AC=3 2 , AE 平 分 CAD, CAE= DAE, AD CE, DAE= E, CAE= E, CE=CA=3 2 , FA AE, FAC+ CAE=90 , F+ E=90 , FAC= F, CF=AC=3 2 , EF=C
12、F+CE=3 2 +3 2 =6 2 ,答 案 : 6 2 .16.如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , A、 B 两 点 分 别 在 x轴 、 y 轴 上 , OA=3, OB=4, 连 接 AB.点 P在 平 面 内 , 若 以 点 P、 A、 B 为 顶 点 的 三 角 形 与 AOB全 等 (点 P 与 点 O 不 重 合 ), 则 点 P的 坐标 为 . 解 析 : 如 图 所 示 : OA=3, OB=4, P 1(3, 4); 连 结 OP2,设 AB 的 解 析 式 为 y=kx+b, 则 3 04k bb , 解 得 434kb ,故 AB 的 解 析 式 为
13、y=- 43 x+4, 则 OP 2的 解 析 式 为 y= 34 x,联 立 方 程 组 得 y=- 43 x+4y= 34 x, 解 得 48253625xy , 则 P2( 9625 , 7225 ); 连 结 P 2P3, (3+0) 2=1.5, (0+4) 2=2, E(1.5, 2), 1.5 2- 9625 =- 2125 , 2 2- 9625 = 2825 , P3(- 2125 , 2825 ).故 点 P的 坐 标 为 (3, 4)或 ( 9625 , 7225 )或 (- 2125 , 2825 ).答 案 : (3, 4)或 ( 9625 , 7225 )或 (-
14、2125 , 2825 ).三 、 解 答 题 (每 小 题 8 分 , 共 16 分 )17.计 算 : 4sin60 +|3- 12|-( 12 ) -1+( -2016)0.解 析 : 根 据 实 数 的 运 算 顺 序 , 首 先 计 算 乘 方 、 乘 法 , 然 后 从 左 向 右 依 次 计 算 , 求 出 算 式4sin60 +|3- 12|-( 12 )-1+( -2016)0的 值 是 多 少 即 可 . 答 案 : 4sin60 +|3- 12 |-( 12 )-1+( -2016)0=4 32 +2 3 -3-2+1=2 3 +2 3 -4=4 3 -4.18.在 平
15、面 直 角 坐 标 系 中 , ABC的 位 置 如 图 所 示 (每 个 小 方 格 都 是 边 长 为 1 个 单 位 长 度 的 正方 形 ). (1)将 ABC沿 x轴 方 向 向 左 平 移 6个 单 位 , 画 出 平 移 后 得 到 的 A1B1C1;(2)将 ABC 绕 着 点 A 顺 时 针 旋 转 90 , 画 出 旋 转 后 得 到 的 AB2C2, 并 直 接 写 出 点 B2、 C2的坐 标 .解 析 : (1)利 用 点 平 移 的 规 律 写 出 点 A、 B、 C 的 对 应 点 A1、 B1、 C1的 坐 标 , 然 后 描 点 即 可 得到 A1B1C1;(
16、2)利 用 网 格 特 点 和 旋 转 的 性 质 画 出 点 B、 C 的 对 应 点 B2、 C2, 从 而 得 到 AB2C2, 再 写 出 点 B2、C2的 坐 标 .答 案 : (1)如 图 , A 1B1C1即 为 所 求 ;(2)如 图 , AB 2C2即 为 所 求 , 点 B2(4, -2), C2(1, -3). 四 、 (每 小 题 10分 , 共 20分 )19.为 了 促 进 学 生 多 样 化 发 展 , 某 校 组 织 开 展 了 社 团 活 动 , 分 别 设 置 了 体 育 类 、 艺 术 类 、 文学 类 及 其 它 类 社 团 (要 求 人 人 参 与 社
17、 团 , 每 人 只 能 选 择 一 项 ).为 了 解 学 生 喜 爱 哪 种 社 团 活 动 ,学 校 做 了 一 次 抽 样 调 查 .根 据 收 集 到 的 数 据 , 绘 制 成 如 下 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 , 请 根 据 图 中提 供 的 信 息 , 完 成 下 列 问 题 : (1)此 次 共 调 查 了 多 少 人 ?(2)求 文 学 社 团 在 扇 形 统 计 图 中 所 占 圆 心 角 的 度 数 ;(3)请 将 条 形 统 计 图 补 充 完 整 ;(4)若 该 校 有 1500名 学 生 , 请 估 计 喜 欢 体 育 类 社 团 的 学 生 有 多 少
18、 人 ?解 析 : (1)根 据 体 育 人 数 80 人 , 占 40%, 可 以 求 出 总 人 数 .(2)根 据 圆 心 角 =百 分 比 360 即 可 解 决 问 题 .(3)求 出 艺 术 类 、 其 它 类 社 团 人 数 , 即 可 画 出 条 形 图 .(4)用 样 本 百 分 比 估 计 总 体 百 分 比 即 可 解 决 问 题 .答 案 : (1)80 40%=200(人 ). 此 次 共 调 查 200人 .(2) 60200 360 =108 . 文 学 社 团 在 扇 形 统 计 图 中 所 占 圆 心 角 的 度 数 为 108 .(3)补 全 如 图 , (
19、4)1500 40%=600(人 ). 估 计 该 校 喜 欢 体 育 类 社 团 的 学 生 有 600 人 .20.甲 、 乙 两 人 进 行 摸 牌 游 戏 .现 有 三 张 形 状 大 小 完 全 相 同 的 牌 , 正 面 分 别 标 有 数 字 2, 3, 5.将 三 张 牌 背 面 朝 上 , 洗 匀 后 放 在 桌 子 上 .(1)甲 从 中 随 机 抽 取 一 张 牌 , 记 录 数 字 后 放 回 洗 匀 , 乙 再 随 机 抽 取 一 张 .请 用 列 表 法 或 画 树 状图 的 方 法 , 求 两 人 抽 取 相 同 数 字 的 概 率 ;(2)若 两 人 抽 取 的
20、 数 字 和 为 2 的 倍 数 , 则 甲 获 胜 ; 若 抽 取 的 数 字 和 为 5 的 倍 数 , 则 乙 获 胜 .这 个 游 戏 公 平 吗 ? 请 用 概 率 的 知 识 加 以 解 释 .解 析 : (1)利 用 列 表 法 得 到 所 有 可 能 出 现 的 结 果 , 根 据 概 率 公 式 计 算 即 可 ;(2)分 别 求 出 甲 、 乙 获 胜 的 概 率 , 比 较 即 可 .答 案 : (1)所 有 可 能 出 现 的 结 果 如 图 : 从 表 格 可 以 看 出 , 总 共 有 9种 结 果 , 每 种 结 果 出 现 的 可 能 性 相 同 , 其 中 两
21、 人 抽 取 相 同 数 字 的结 果 有 3 种 , 所 以 两 人 抽 取 相 同 数 字 的 概 率 为 : 13 ;(2)不 公 平 .从 表 格 可 以 看 出 , 两 人 抽 取 数 字 和 为 2的 倍 数 有 5 种 , 两 人 抽 取 数 字 和 为 5的 倍 数 有 3 种 ,所 以 甲 获 胜 的 概 率 为 : 59 , 乙 获 胜 的 概 率 为 : 13 . 59 13 , 甲 获 胜 的 概 率 大 , 游 戏 不 公 平 .五 、 (每 小 题 10分 , 共 20分 )21.某 商 场 购 进 甲 、 乙 两 种 商 品 , 乙 商 品 的 单 价 是 甲 商
22、 品 单 价 的 2倍 , 购 买 240元 甲 商 品 的 数 量 比 购 买 300元 乙 商 品 的 数 量 多 15 件 , 求 两 种 商 品 单 价 各 为 多 少 元 ?解 析 : 设 甲 商 品 的 单 价 为 x 元 , 乙 商 品 的 单 价 为 2x 元 , 根 据 购 买 240元 甲 商 品 的 数 量 比 购 买 300元 乙 商 品 的 数 量 多 15 件 列 出 方 程 , 求 出 方 程 的 解 即 可 得 到 结 果 .答 案 : 设 甲 商 品 的 单 价 为 x 元 , 乙 商 品 的 单 价 为 2x 元 ,根 据 题 意 , 得 240 3002x
23、 x =15,解 这 个 方 程 , 得 x=6,经 检 验 , x=6是 所 列 方 程 的 根 , 2x=2 6=12(元 ),答 : 甲 、 乙 两 种 商 品 的 单 价 分 别 为 6 元 、 12元 .22.如 图 , AB 是 O 的 直 径 , 点 C 在 AB 的 延 长 线 上 , CD 与 O 相 切 于 点 D, CE AD, 交 AD的 延 长 线 于 点 E. (1)求 证 : BDC= A;(2)若 CE=4, DE=2, 求 AD的 长 .解 析 : (1)连 接 OD, 由 CD是 O切 线 , 得 到 ODC=90 , 根 据 AB为 O的 直 径 , 得
24、到 ADB=90 ,等 量 代 换 得 到 BDC= ADO, 根 据 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 得 到 ADO= A, 即 可 得 到 结 论 ;(2)根 据 垂 直 的 定 义 得 到 E= ADB=90 , 根 据 平 行 线 的 性 质 得 到 DCE= BDC, 根 据 相 似 三角 形 的 性 质 得 到 CE AEDE CE , 解 方 程 即 可 得 到 结 论 .答 案 : (1)证 明 : 连 接 OD, CD 是 O切 线 , ODC=90 , 即 ODB+ BDC=90 , AB 为 O的 直 径 , ADB=90 , 即 ODB+ ADO=90 , BD
25、C= ADO, OA=OD, ADO= A, BDC= A.(2) CE AE, E= ADB=90 , DB EC, DCE= BDC, BDC= A, A= DCE, E= E, AEC CED, CE AEDE CE , EC2=DE AE, 16=2(2+AD), AD=6.六 、 (每 小 题 10分 , 共 20分 )23.某 中 学 九 年 级 数 学 兴 趣 小 组 想 测 量 建 筑 物 AB的 高 度 .他 们 在 C处 仰 望 建 筑 物 顶 端 , 测 得仰 角 为 48 , 再 往 建 筑 物 的 方 向 前 进 6米 到 达 D处 , 测 得 仰 角 为 64 ,
26、求 建 筑 物 的 高 度 .(测 角 器 的 高 度 忽 略 不 计 , 结 果 精 确 到 0.1米 )(参 考 数 据 : sin48 710 , tan48 1110 , sin64 910 , tan64 2)解 析 : Rt ADB中 用 AB 表 示 出 BD、 Rt ACB中 用 AB表 示 出 BC, 根 据 CD=BC-BD可 得 关 于 AB的 方 程 , 解 方 程 可 得 .答 案 : 根 据 题 意 , 得 ADB=64 , ACB=48 ,在 Rt ADB中 , tan64 = ABBD , 则 BD= tan 6 124AB AB,在 Rt ACB中 , tan
27、48 = ABCB , 则 CB= 10tan 48 11AB AB, CD=BC-BD,即 6= 1011 21 AB AB , 解 得 : AB=1329 14.7(米 ), 建 筑 物 的 高 度 约 为 14.7米 . 24.某 片 果 园 有 果 树 80棵 , 现 准 备 多 种 一 些 果 树 提 高 果 园 产 量 , 但 是 如 果 多 种 树 , 那 么 树 之间 的 距 离 和 每 棵 树 所 受 光 照 就 会 减 少 , 单 棵 树 的 产 量 随 之 降 低 .若 该 果 园 每 棵 果 树 产 果 y(千克 ), 增 种 果 树 x(棵 ), 它 们 之 间 的
28、函 数 关 系 如 图 所 示 .(1)求 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ;(2)在 投 入 成 本 最 低 的 情 况 下 , 增 种 果 树 多 少 棵 时 , 果 园 可 以 收 获 果 实 6750千 克 ? (3)当 增 种 果 树 多 少 棵 时 , 果 园 的 总 产 量 w(千 克 )最 大 ? 最 大 产 量 是 多 少 ?解 析 : (1)函 数 的 表 达 式 为 y=kx+b, 把 点 (12, 74), (28, 66)代 入 解 方 程 组 即 可 .(2)列 出 方 程 解 方 程 组 , 再 根 据 实 际 意 义 确 定 x 的 值 .(3)构
29、建 二 次 函 数 , 利 用 二 次 函 数 性 质 解 决 问 题 .答 案 : (1)设 函 数 的 表 达 式 为 y=kx+b, 该 一 次 函 数 过 点 (12, 74), (28, 66),得 12 7428 66k bk b , 解 得 0.580kb , 该 函 数 的 表 达 式 为 y=-0.5x+80.(2)根 据 题 意 , 得 , (-0.5x+80)(80+x)=6750, 解 得 , x 1=10, x2=70 投 入 成 本 最 低 . x2=70不 满 足 题 意 , 舍 去 . 增 种 果 树 10 棵 时 , 果 园 可 以 收 获 果 实 6750千
30、 克 .(3)根 据 题 意 , 得 w=(-0.5x+80)(80+x)=-0.5 x2+40 x+6400=-0.5(x-40)2+7200. a=-0.5 0, 则 抛 物 线 开 口 向 下 , 函 数 有 最 大 值 当 x=40 时 , w最 大 值 为 7200千 克 . 当 增 种 果 树 40棵 时 果 园 的 最 大 产 量 是 7200千 克 .七 、 (本 题 12 分 ) 25.如 图 , ABC 与 CDE 是 等 腰 直 角 三 角 形 , 直 角 边 AC、 CD 在 同 一 条 直 线 上 , 点 M、 N分 别 是 斜 边 AB、 DE 的 中 点 , 点
31、P 为 AD的 中 点 , 连 接 AE、 BD.(1)猜 想 PM与 PN的 数 量 关 系 及 位 置 关 系 , 请 直 接 写 出 结 论 ; (2)现 将 图 中 的 CDE绕 着 点 C 顺 时 针 旋 转 (0 90 ), 得 到 图 , AE 与 MP、 BD分 别 交 于 点 G、 H.请 判 断 (1)中 的 结 论 是 否 成 立 ? 若 成 立 , 请 证 明 ; 若 不 成 立 , 请 说 明 理 由 ;(3)若 图 中 的 等 腰 直 角 三 角 形 变 成 直 角 三 角 形 , 使 BC=kAC, CD=kCE, 如 图 , 写 出 PM 与PN的 数 量 关
32、系 , 并 加 以 证 明 .解 析 : (1)由 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 易 证 ACE BCD, 由 此 可 得 AE=BD, 再 根 据 三 角 形 中位 线 定 理 即 可 得 到 PM=PN, 由 平 行 线 的 性 质 可 得 PM PN;(2)(1)中 的 结 论 仍 旧 成 立 , 由 (1)中 的 证 明 思 路 即 可 证 明 ;(3)PM=kPN, 由 已 知 条 件 可 证 明 BCD ACE, 所 以 可 得 BD=kAE, 因 为 点 P、 M、 N 分 别 为 AD、AB、 DE的 中 点 , 所 以 PM= 12 BD, PN= 12 AE, 进
33、 而 可 证 明 PM=kPN.答 案 : (1)PM=PN, PM PN, 理 由 如 下 : ACB和 ECD是 等 腰 直 角 三 角 形 , AC=BC, EC=CD, ACB= ECD=90 . 在 ACE和 BCD中 , 90AC BCACB ECDCE CD , , ACE BCD(SAS), AE=BD, EAC= CBD, 点 M、 N 分 别 是 斜 边 AB、 DE的 中 点 , 点 P为 AD的 中 点 , PM= 12 BD, PN= 12 AE, PM=PM, NPD= EAC, MPN= BDC, EAC+ BDC=90 , MPA+ NPC=90 , MPN=9
34、0 , 即 PM PN.(2) ACB和 ECD是 等 腰 直 角 三 角 形 , AC=BC, EC=CD, ACB= ECD=90 . ACB+ BCE= ECD+ BCE. ACE= BCD. ACE BCD. AE=BD, CAE= CBD. 又 AOC= BOE, CAE= CBD, BHO= ACO=90 . 点 P、 M、 N 分 别 为 AD、 AB、 DE 的 中 点 , PM= 12 BD, PM BD; PN= 12 AE, PN AE. PM=PN. MGE+ BHA=180 . MGE=90 . MPN=90 . PM PN.(3)PM=kPN ACB和 ECD是 直
35、 角 三 角 形 , ACB= ECD=90 . ACB+ BCE= ECD+ BCE. ACE= BCD. BC=kAC, CD=kCE, BC CDAC CE =k. BCD ACE. BD=kAE. 点 P、 M、 N 分 别 为 AD、 AB、 DE 的 中 点 , PM= 12 BD, PN= 12 AE. PM=kPN.八 、 (本 题 14 分 ) 26.如 图 , 抛 物 线 y=ax2+bx过 A(4, 0), B(1, 3)两 点 , 点 C、 B 关 于 抛 物 线 的 对 称 轴 对 称 ,过 点 B作 直 线 BH x轴 , 交 x轴 于 点 H. (1)求 抛 物
36、线 的 表 达 式 ;(2)直 接 写 出 点 C 的 坐 标 , 并 求 出 ABC的 面 积 ;(3)点 P 是 抛 物 线 上 一 动 点 , 且 位 于 第 四 象 限 , 当 ABP的 面 积 为 6时 , 求 出 点 P的 坐 标 ;(4)若 点 M 在 直 线 BH 上 运 动 , 点 N 在 x 轴 上 运 动 , 当 以 点 C、 M、 N为 顶 点 的 三 角 形 为 等 腰 直角 三 角 形 时 , 请 直 接 写 出 此 时 CMN的 面 积 .解 析 : (1)利 用 待 定 系 数 法 求 二 次 函 数 的 表 达 式 ;(2)根 据 二 次 函 数 的 对 称
37、轴 x=2写 出 点 C 的 坐 标 为 (3, 3), 根 据 面 积 公 式 求 ABC的 面 积 ;(3)因 为 点 P是 抛 物 线 上 一 动 点 , 且 位 于 第 四 象 限 , 设 出 点 P的 坐 标 (m, -m 2+4m), 利 用 差 表示 ABP的 面 积 , 列 式 计 算 求 出 m的 值 , 写 出 点 P 的 坐 标 ;(4)分 别 以 点 C、 M、 N 为 直 角 顶 点 分 三 类 进 行 讨 论 , 利 用 全 等 三 角 形 和 勾 股 定 理 求 CM 或 CN的 长 , 利 用 面 积 公 式 进 行 计 算 .答 案 : (1)把 点 A(4,
38、 0), B(1, 3)代 入 抛 物 线 y=ax2+bx中 ,得 0 16 43 a ba b , 解 得 : 14ab , 抛 物 线 表 达 式 为 : y=-x2+4x;(2)点 C 的 坐 标 为 (3, 3), 又 点 B 的 坐 标 为 (1, 3), BC=2, S ABC= 12 2 3=3. (3)过 P 点 作 PD BH交 BH于 点 D, 设 点 P(m, -m2+4m),根 据 题 意 , 得 : BH=AH=3, HD=m2-4m, PD=m-1, S ABP=S ABH+S 四 边 形 HAPD-S BPD,6= 12 3 3+ 12 (3+m-1)(m2-4
39、m)- 12 (m-1)(3+m2-4m), 3m2-15m=0, m1=0(舍 去 ), m2=5, 点 P坐 标 为 (5, -5).(4)以 点 C、 M、 N 为 顶 点 的 三 角 形 为 等 腰 直 角 三 角 形 时 , 分 三 类 情 况 讨 论 : 以 点 M 为 直 角 顶 点 且 M在 x轴 上 方 时 , 如 图 2, CM=MN, CMN=90 , 则 CBM MHN, BC=MH=2, BM=HN=3-2=1, M(1, 2), N(2, 0),由 勾 股 定 理 得 : MC= 2 22 1 5 , S CMN= 52 5 21 5 ; 以 点 M 为 直 角 顶
40、 点 且 M 在 x 轴 下 方 时 , 如 图 3, 作 辅 助 线 , 构 建 如 图 所 示 的 两 直 角 三 角 形 :Rt NEM和 Rt MDC, 得 Rt NEM Rt MDC, EM=CD=5, MD=ME=2,由 勾 股 定 理 得 : CM= 2 22 5 29 , S CMN= 2929 212 9 2 ; 以 点 N 为 直 角 顶 点 且 N在 y轴 左 侧 时 , 如 图 4, CN=MN, MNC=90 , 作 辅 助 线 , 同 理 得 : CN= 2 23 5 3 4 , S CMN= 34 72 11 34 ; 以 点 N 为 直 角 顶 点 且 N在 y轴 右 侧 时 , 作 辅 助 线 , 如 图 5, 同 理 得 : CN=32+12=10, S CMN= 52 10 01 1 ; 以 C为 直 角 顶 点 时 , 不 能 构 成 满 足 条 件 的 等 腰 直 角 三 角 形 ;综 上 所 述 : CMN的 面 积 为 : 52 或 292 或 17 或 5.