1、2016年 辽 宁 省 丹 东 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (下 列 各 题 的 备 选 答 案 中 ， 只 有 一 个 是 正 确 的 .每 小 题 3分 ， 共 24分 )1.-3的 倒 数 是 ( )A.3B. 13C.-13D.-3解 析 ： -3 (- 13 )=1， -3 的 倒 数 是 -13 . 答 案 ： C.2.2016 年 1 月 19 日 ， 国 家 统 计 局 公 布 了 2015 年 宏 观 经 济 数 据 ， 初 步 核 算 ， 全 年 国 内 生 产总 值 为 676000 亿 元 .676000用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( )A.6
2、.76 106B.6.76 105C.67.6 105D.0.676 10 6解 析 ： 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10n的 形 式 ， 其 中 1 |a| 10， n为 整 数 .确 定 n 的 值 时 ，整 数 位 数 减 1 即 可 .当 原 数 绝 对 值 10时 ， n 是 正 数 ； 当 原 数 的 绝 对 值 1时 ， n是 负 数 .将676000用 科 学 记 数 法 表 示 为 6.76 105.答 案 ： B.3.如 图 所 示 几 何 体 的 左 视 图 为 ( ) A.B.C. D.解 析 ： 从 左 边 看 第 一 层 一 个 小 正 方 形
3、， 第 二 层 一 个 小 正 方 形 ， 第 三 层 一 个 小 正 方 形 .答 案 ： A.4.一 组 数 据 8， 3， 8， 6， 7， 8， 7的 众 数 和 中 位 数 分 别 是 ( )A.8， 6B.7， 6C.7， 8D.8， 7解 析 ： 把 这 组 数 据 从 小 到 大 排 列 ： 3， 6， 7， 7， 8， 8， 8，8出 现 了 3次 ， 出 现 的 次 数 最 多 ， 则 众 数 是 8；最 中 间 的 数 是 7，则 这 组 数 据 的 中 位 数 是 7. 答 案 ： D.5.下 列 计 算 结 果 正 确 的 是 ( )A.a8 a4=a2B.a2 a3
4、=a6C.(a3)2=a6D.(-2a2)3=8a6解 析 ： A、 a 8 a4=a4， 故 A 错 误 ；B、 a2 a3=a5， 故 B 错 误 ；C、 (a3)2=a6， 故 C 正 确 ；D、 (-2a2)3=-8a6， 故 D 错 误 .答 案 ： C.6.二 元 一 次 方 程 组 52 4x yx y ， 的 解 为 ( )A. 14xy B. 23xyC. 32xyD. 41xy 解 析 ： 52 4x yx y ， ， + ， 得 3x=9， 解 得 x=3，把 x=3代 入 ， 得 3+y=5， y=2，所 以 原 方 程 组 的 解 为 32xy ，答 案 ： C.7.
5、如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， BF平 分 ABC， 交 AD 于 点 F， CE 平 分 BCD， 交 AD于 点 E，AB=6， EF=2， 则 BC 长 为 ( ) A.8B.10C.12D.14解 析 ： 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， AD BC， DC=AB=6， AD=BC， AFB= FBC， BF 平 分 ABC， ABF= FBC， 则 ABF= AFB， AF=AB=6，同 理 可 证 ： DE=DC=6， EF=AF+DE-AD=2，即 6+6-AD=2， 解 得 ： AD=10.答 案 ： B.8.如 图 ， 在 ABC中 ， A
6、D和 BE是 高 ， ABE=45 ， 点 F 是 AB的 中 点 ， AD与 FE、 BE分 别 交 于 点 G、 H， CBE= BAD.有 下 列 结 论 ： FD=FE； AH=2CD； BC AD= 2 AE2； S ABC=4S ADF.其 中 正 确 的 有 ( )A.1个B.2 个 C.3 个D.4个 解 析 ： 在 ABC中 ， AD和 BE是 高 ， ADB= AEB= CEB=90 ， 点 F是 AB的 中 点 ， FD= 12 AB， ABE=45 ， ABE是 等 腰 直 角 三 角 形 ， AE=BE， 点 F是 AB的 中 点 ， FE= 12 AB， FD=FE
7、， 正 确 ； CBE= BAD， CBE+ C=90 ， BAD+ ABC=90 ， ABC= C， AB=AC， AD BC， BC=2CD， BAD= CAD= CBE，在 AEH和 BEC中 ， AEH CEBAE BEEAH CBE ， ， AEH BEC(ASA)， AH=BC=2CD， 正 确 ； BAD= CBE， ADB= CEB， ABD BCE， BC BEAB AD ， 即 BC AD=AB BE， 2 AE2=AB AE=AB BE， BC AD=AC BE=AB BE， BC AD= 2 AE2； 正 确 ； F 是 AB 的 中 点 ， BD=CD， S ABC=
8、2S ABD=4S ADF. 正 确 .答 案 ： D.二 、 填 空 题 (每 小 题 3 分 ， 共 24 分 )9.分 解 因 式 ： xy 2-x= .解 析 ： xy2-x=x(y2-1)=x(y-1)(y+1).答 案 ： x(y-1)(y+1).10.不 等 式 组 12 6 23x xx ， 的 解 集 为 .解 析 ： 12 6 23x xx ， ， 由 得 ， x 2， 由 得 ， x 6， 故 不 等 式 组 的 解 集 为 ： 2 x 6. 答 案 ： 2 x 6.11.一 个 袋 中 装 有 两 个 红 球 、 三 个 白 球 ， 每 个 球 除 颜 色 外 都 相
9、同 .从 中 任 意 摸 出 一 个 球 ， 摸 到红 球 的 概 率 是 .解 析 ： 一 个 袋 中 装 有 两 个 红 球 、 三 个 白 球 ， 球 的 总 数 =2+3=5， 从 中 任 意 摸 出 一 个 球 ， 摸 到 红 球 的 概 率 = 25 .答 案 ： 25 . 12.反 比 例 函 数 y= 1kx 的 图 象 经 过 点 (2， 3)， 则 k= .解 析 ： 反 比 例 函 数 y= 1kx 的 图 象 经 过 点 (2， 3)， k-1=2 3， 解 得 ： k=7.答 案 ： 7.13.某 公 司 今 年 4 月 份 营 业 额 为 60 万 元 ， 6 月
10、份 营 业 额 达 到 100 万 元 ， 设 该 公 司 5、 6 两 个月 营 业 额 的 月 均 增 长 率 为 x， 则 可 列 方 程 为 .解 析 ： 设 平 均 每 月 的 增 长 率 为 x， 根 据 题 意 可 得 ： 60(1+x) 2=100.答 案 ： 60(1+x)2=100.14.观 察 下 列 数 据 ： -2， 52 ， -103 ， 174 ， - 265 ， ， 它 们 是 按 一 定 规 律 排 列 的 ， 依 照 此 规律 ， 第 11 个 数 据 是 .解 析 ： -2=- 21 ， 52 ， -103 ， 174 ， - 265 ， ， 第 11 个
11、 数 据 是 ： 211 1 12211 11 .答 案 ： -12211 . 15.如 图 ， 正 方 形 ABCD边 长 为 3， 连 接 AC， AE平 分 CAD， 交 BC 的 延 长 线 于 点 E， FA AE，交 CB 延 长 线 于 点 F， 则 EF的 长 为 .解 析 ： 四 边 形 ABCD为 正 方 形 ， 且 边 长 为 3， AC=3 2 ， AE 平 分 CAD， CAE= DAE， AD CE， DAE= E， CAE= E， CE=CA=3 2 ， FA AE， FAC+ CAE=90 ， F+ E=90 ， FAC= F， CF=AC=3 2 ， EF=C
12、F+CE=3 2 +3 2 =6 2 ，答 案 ： 6 2 .16.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， A、 B 两 点 分 别 在 x轴 、 y 轴 上 ， OA=3， OB=4， 连 接 AB.点 P在 平 面 内 ， 若 以 点 P、 A、 B 为 顶 点 的 三 角 形 与 AOB全 等 (点 P 与 点 O 不 重 合 )， 则 点 P的 坐标 为 . 解 析 ： 如 图 所 示 ： OA=3， OB=4， P 1(3， 4)； 连 结 OP2，设 AB 的 解 析 式 为 y=kx+b， 则 3 04k bb ， 解 得 434kb ，故 AB 的 解 析 式 为
13、y=- 43 x+4， 则 OP 2的 解 析 式 为 y= 34 x，联 立 方 程 组 得 y=- 43 x+4y= 34 x， 解 得 48253625xy ， 则 P2( 9625 ， 7225 )； 连 结 P 2P3， (3+0) 2=1.5， (0+4) 2=2， E(1.5， 2)， 1.5 2- 9625 =- 2125 ， 2 2- 9625 = 2825 ， P3(- 2125 ， 2825 ).故 点 P的 坐 标 为 (3， 4)或 ( 9625 ， 7225 )或 (- 2125 ， 2825 ).答 案 ： (3， 4)或 ( 9625 ， 7225 )或 (-
14、2125 ， 2825 ).三 、 解 答 题 (每 小 题 8 分 ， 共 16 分 )17.计 算 ： 4sin60 +|3- 12|-( 12 ) -1+( -2016)0.解 析 ： 根 据 实 数 的 运 算 顺 序 ， 首 先 计 算 乘 方 、 乘 法 ， 然 后 从 左 向 右 依 次 计 算 ， 求 出 算 式4sin60 +|3- 12|-( 12 )-1+( -2016)0的 值 是 多 少 即 可 . 答 案 ： 4sin60 +|3- 12 |-( 12 )-1+( -2016)0=4 32 +2 3 -3-2+1=2 3 +2 3 -4=4 3 -4.18.在 平
15、面 直 角 坐 标 系 中 ， ABC的 位 置 如 图 所 示 (每 个 小 方 格 都 是 边 长 为 1 个 单 位 长 度 的 正方 形 ). (1)将 ABC沿 x轴 方 向 向 左 平 移 6个 单 位 ， 画 出 平 移 后 得 到 的 A1B1C1；(2)将 ABC 绕 着 点 A 顺 时 针 旋 转 90 ， 画 出 旋 转 后 得 到 的 AB2C2， 并 直 接 写 出 点 B2、 C2的坐 标 .解 析 ： (1)利 用 点 平 移 的 规 律 写 出 点 A、 B、 C 的 对 应 点 A1、 B1、 C1的 坐 标 ， 然 后 描 点 即 可 得到 A1B1C1；(
16、2)利 用 网 格 特 点 和 旋 转 的 性 质 画 出 点 B、 C 的 对 应 点 B2、 C2， 从 而 得 到 AB2C2， 再 写 出 点 B2、C2的 坐 标 .答 案 ： (1)如 图 ， A 1B1C1即 为 所 求 ；(2)如 图 ， AB 2C2即 为 所 求 ， 点 B2(4， -2)， C2(1， -3). 四 、 (每 小 题 10分 ， 共 20分 )19.为 了 促 进 学 生 多 样 化 发 展 ， 某 校 组 织 开 展 了 社 团 活 动 ， 分 别 设 置 了 体 育 类 、 艺 术 类 、 文学 类 及 其 它 类 社 团 (要 求 人 人 参 与 社
17、 团 ， 每 人 只 能 选 择 一 项 ).为 了 解 学 生 喜 爱 哪 种 社 团 活 动 ，学 校 做 了 一 次 抽 样 调 查 .根 据 收 集 到 的 数 据 ， 绘 制 成 如 下 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 ， 请 根 据 图 中提 供 的 信 息 ， 完 成 下 列 问 题 ： (1)此 次 共 调 查 了 多 少 人 ？(2)求 文 学 社 团 在 扇 形 统 计 图 中 所 占 圆 心 角 的 度 数 ；(3)请 将 条 形 统 计 图 补 充 完 整 ；(4)若 该 校 有 1500名 学 生 ， 请 估 计 喜 欢 体 育 类 社 团 的 学 生 有 多 少
18、 人 ？解 析 ： (1)根 据 体 育 人 数 80 人 ， 占 40%， 可 以 求 出 总 人 数 .(2)根 据 圆 心 角 =百 分 比 360 即 可 解 决 问 题 .(3)求 出 艺 术 类 、 其 它 类 社 团 人 数 ， 即 可 画 出 条 形 图 .(4)用 样 本 百 分 比 估 计 总 体 百 分 比 即 可 解 决 问 题 .答 案 ： (1)80 40%=200(人 ). 此 次 共 调 查 200人 .(2) 60200 360 =108 . 文 学 社 团 在 扇 形 统 计 图 中 所 占 圆 心 角 的 度 数 为 108 .(3)补 全 如 图 ， (
19、4)1500 40%=600(人 ). 估 计 该 校 喜 欢 体 育 类 社 团 的 学 生 有 600 人 .20.甲 、 乙 两 人 进 行 摸 牌 游 戏 .现 有 三 张 形 状 大 小 完 全 相 同 的 牌 ， 正 面 分 别 标 有 数 字 2， 3， 5.将 三 张 牌 背 面 朝 上 ， 洗 匀 后 放 在 桌 子 上 .(1)甲 从 中 随 机 抽 取 一 张 牌 ， 记 录 数 字 后 放 回 洗 匀 ， 乙 再 随 机 抽 取 一 张 .请 用 列 表 法 或 画 树 状图 的 方 法 ， 求 两 人 抽 取 相 同 数 字 的 概 率 ；(2)若 两 人 抽 取 的
20、 数 字 和 为 2 的 倍 数 ， 则 甲 获 胜 ； 若 抽 取 的 数 字 和 为 5 的 倍 数 ， 则 乙 获 胜 .这 个 游 戏 公 平 吗 ？ 请 用 概 率 的 知 识 加 以 解 释 .解 析 ： (1)利 用 列 表 法 得 到 所 有 可 能 出 现 的 结 果 ， 根 据 概 率 公 式 计 算 即 可 ；(2)分 别 求 出 甲 、 乙 获 胜 的 概 率 ， 比 较 即 可 .答 案 ： (1)所 有 可 能 出 现 的 结 果 如 图 ： 从 表 格 可 以 看 出 ， 总 共 有 9种 结 果 ， 每 种 结 果 出 现 的 可 能 性 相 同 ， 其 中 两
21、 人 抽 取 相 同 数 字 的结 果 有 3 种 ， 所 以 两 人 抽 取 相 同 数 字 的 概 率 为 ： 13 ；(2)不 公 平 .从 表 格 可 以 看 出 ， 两 人 抽 取 数 字 和 为 2的 倍 数 有 5 种 ， 两 人 抽 取 数 字 和 为 5的 倍 数 有 3 种 ，所 以 甲 获 胜 的 概 率 为 ： 59 ， 乙 获 胜 的 概 率 为 ： 13 . 59 13 ， 甲 获 胜 的 概 率 大 ， 游 戏 不 公 平 .五 、 (每 小 题 10分 ， 共 20分 )21.某 商 场 购 进 甲 、 乙 两 种 商 品 ， 乙 商 品 的 单 价 是 甲 商
22、 品 单 价 的 2倍 ， 购 买 240元 甲 商 品 的 数 量 比 购 买 300元 乙 商 品 的 数 量 多 15 件 ， 求 两 种 商 品 单 价 各 为 多 少 元 ？解 析 ： 设 甲 商 品 的 单 价 为 x 元 ， 乙 商 品 的 单 价 为 2x 元 ， 根 据 购 买 240元 甲 商 品 的 数 量 比 购 买 300元 乙 商 品 的 数 量 多 15 件 列 出 方 程 ， 求 出 方 程 的 解 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： 设 甲 商 品 的 单 价 为 x 元 ， 乙 商 品 的 单 价 为 2x 元 ，根 据 题 意 ， 得 240 3002x
23、 x =15，解 这 个 方 程 ， 得 x=6，经 检 验 ， x=6是 所 列 方 程 的 根 ， 2x=2 6=12(元 )，答 ： 甲 、 乙 两 种 商 品 的 单 价 分 别 为 6 元 、 12元 .22.如 图 ， AB 是 O 的 直 径 ， 点 C 在 AB 的 延 长 线 上 ， CD 与 O 相 切 于 点 D， CE AD， 交 AD的 延 长 线 于 点 E. (1)求 证 ： BDC= A；(2)若 CE=4， DE=2， 求 AD的 长 .解 析 ： (1)连 接 OD， 由 CD是 O切 线 ， 得 到 ODC=90 ， 根 据 AB为 O的 直 径 ， 得
24、到 ADB=90 ，等 量 代 换 得 到 BDC= ADO， 根 据 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 得 到 ADO= A， 即 可 得 到 结 论 ；(2)根 据 垂 直 的 定 义 得 到 E= ADB=90 ， 根 据 平 行 线 的 性 质 得 到 DCE= BDC， 根 据 相 似 三角 形 的 性 质 得 到 CE AEDE CE ， 解 方 程 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： (1)证 明 ： 连 接 OD， CD 是 O切 线 ， ODC=90 ， 即 ODB+ BDC=90 ， AB 为 O的 直 径 ， ADB=90 ， 即 ODB+ ADO=90 ， BD
25、C= ADO， OA=OD， ADO= A， BDC= A.(2) CE AE， E= ADB=90 ， DB EC， DCE= BDC， BDC= A， A= DCE， E= E， AEC CED， CE AEDE CE ， EC2=DE AE， 16=2(2+AD)， AD=6.六 、 (每 小 题 10分 ， 共 20分 )23.某 中 学 九 年 级 数 学 兴 趣 小 组 想 测 量 建 筑 物 AB的 高 度 .他 们 在 C处 仰 望 建 筑 物 顶 端 ， 测 得仰 角 为 48 ， 再 往 建 筑 物 的 方 向 前 进 6米 到 达 D处 ， 测 得 仰 角 为 64 ，
26、求 建 筑 物 的 高 度 .(测 角 器 的 高 度 忽 略 不 计 ， 结 果 精 确 到 0.1米 )(参 考 数 据 ： sin48 710 ， tan48 1110 ， sin64 910 ， tan64 2)解 析 ： Rt ADB中 用 AB 表 示 出 BD、 Rt ACB中 用 AB表 示 出 BC， 根 据 CD=BC-BD可 得 关 于 AB的 方 程 ， 解 方 程 可 得 .答 案 ： 根 据 题 意 ， 得 ADB=64 ， ACB=48 ，在 Rt ADB中 ， tan64 = ABBD ， 则 BD= tan 6 124AB AB，在 Rt ACB中 ， tan
27、48 = ABCB ， 则 CB= 10tan 48 11AB AB， CD=BC-BD，即 6= 1011 21 AB AB ， 解 得 ： AB=1329 14.7(米 )， 建 筑 物 的 高 度 约 为 14.7米 . 24.某 片 果 园 有 果 树 80棵 ， 现 准 备 多 种 一 些 果 树 提 高 果 园 产 量 ， 但 是 如 果 多 种 树 ， 那 么 树 之间 的 距 离 和 每 棵 树 所 受 光 照 就 会 减 少 ， 单 棵 树 的 产 量 随 之 降 低 .若 该 果 园 每 棵 果 树 产 果 y(千克 )， 增 种 果 树 x(棵 )， 它 们 之 间 的
28、函 数 关 系 如 图 所 示 .(1)求 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ；(2)在 投 入 成 本 最 低 的 情 况 下 ， 增 种 果 树 多 少 棵 时 ， 果 园 可 以 收 获 果 实 6750千 克 ？ (3)当 增 种 果 树 多 少 棵 时 ， 果 园 的 总 产 量 w(千 克 )最 大 ？ 最 大 产 量 是 多 少 ？解 析 ： (1)函 数 的 表 达 式 为 y=kx+b， 把 点 (12， 74)， (28， 66)代 入 解 方 程 组 即 可 .(2)列 出 方 程 解 方 程 组 ， 再 根 据 实 际 意 义 确 定 x 的 值 .(3)构
29、建 二 次 函 数 ， 利 用 二 次 函 数 性 质 解 决 问 题 .答 案 ： (1)设 函 数 的 表 达 式 为 y=kx+b， 该 一 次 函 数 过 点 (12， 74)， (28， 66)，得 12 7428 66k bk b ， 解 得 0.580kb ， 该 函 数 的 表 达 式 为 y=-0.5x+80.(2)根 据 题 意 ， 得 ， (-0.5x+80)(80+x)=6750， 解 得 ， x 1=10， x2=70 投 入 成 本 最 低 . x2=70不 满 足 题 意 ， 舍 去 . 增 种 果 树 10 棵 时 ， 果 园 可 以 收 获 果 实 6750千
30、 克 .(3)根 据 题 意 ， 得 w=(-0.5x+80)(80+x)=-0.5 x2+40 x+6400=-0.5(x-40)2+7200. a=-0.5 0， 则 抛 物 线 开 口 向 下 ， 函 数 有 最 大 值 当 x=40 时 ， w最 大 值 为 7200千 克 . 当 增 种 果 树 40棵 时 果 园 的 最 大 产 量 是 7200千 克 .七 、 (本 题 12 分 ) 25.如 图 ， ABC 与 CDE 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 直 角 边 AC、 CD 在 同 一 条 直 线 上 ， 点 M、 N分 别 是 斜 边 AB、 DE 的 中 点 ， 点
31、P 为 AD的 中 点 ， 连 接 AE、 BD.(1)猜 想 PM与 PN的 数 量 关 系 及 位 置 关 系 ， 请 直 接 写 出 结 论 ； (2)现 将 图 中 的 CDE绕 着 点 C 顺 时 针 旋 转 (0 90 )， 得 到 图 ， AE 与 MP、 BD分 别 交 于 点 G、 H.请 判 断 (1)中 的 结 论 是 否 成 立 ？ 若 成 立 ， 请 证 明 ； 若 不 成 立 ， 请 说 明 理 由 ；(3)若 图 中 的 等 腰 直 角 三 角 形 变 成 直 角 三 角 形 ， 使 BC=kAC， CD=kCE， 如 图 ， 写 出 PM 与PN的 数 量 关
32、系 ， 并 加 以 证 明 .解 析 ： (1)由 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 易 证 ACE BCD， 由 此 可 得 AE=BD， 再 根 据 三 角 形 中位 线 定 理 即 可 得 到 PM=PN， 由 平 行 线 的 性 质 可 得 PM PN；(2)(1)中 的 结 论 仍 旧 成 立 ， 由 (1)中 的 证 明 思 路 即 可 证 明 ；(3)PM=kPN， 由 已 知 条 件 可 证 明 BCD ACE， 所 以 可 得 BD=kAE， 因 为 点 P、 M、 N 分 别 为 AD、AB、 DE的 中 点 ， 所 以 PM= 12 BD， PN= 12 AE， 进
33、 而 可 证 明 PM=kPN.答 案 ： (1)PM=PN， PM PN， 理 由 如 下 ： ACB和 ECD是 等 腰 直 角 三 角 形 ， AC=BC， EC=CD， ACB= ECD=90 . 在 ACE和 BCD中 ， 90AC BCACB ECDCE CD ， ， ACE BCD(SAS)， AE=BD， EAC= CBD， 点 M、 N 分 别 是 斜 边 AB、 DE的 中 点 ， 点 P为 AD的 中 点 ， PM= 12 BD， PN= 12 AE， PM=PM， NPD= EAC， MPN= BDC， EAC+ BDC=90 ， MPA+ NPC=90 ， MPN=9
34、0 ， 即 PM PN.(2) ACB和 ECD是 等 腰 直 角 三 角 形 ， AC=BC， EC=CD， ACB= ECD=90 . ACB+ BCE= ECD+ BCE. ACE= BCD. ACE BCD. AE=BD， CAE= CBD. 又 AOC= BOE， CAE= CBD， BHO= ACO=90 . 点 P、 M、 N 分 别 为 AD、 AB、 DE 的 中 点 ， PM= 12 BD， PM BD； PN= 12 AE， PN AE. PM=PN. MGE+ BHA=180 . MGE=90 . MPN=90 . PM PN.(3)PM=kPN ACB和 ECD是 直
35、 角 三 角 形 ， ACB= ECD=90 . ACB+ BCE= ECD+ BCE. ACE= BCD. BC=kAC， CD=kCE， BC CDAC CE =k. BCD ACE. BD=kAE. 点 P、 M、 N 分 别 为 AD、 AB、 DE 的 中 点 ， PM= 12 BD， PN= 12 AE. PM=kPN.八 、 (本 题 14 分 ) 26.如 图 ， 抛 物 线 y=ax2+bx过 A(4， 0)， B(1， 3)两 点 ， 点 C、 B 关 于 抛 物 线 的 对 称 轴 对 称 ，过 点 B作 直 线 BH x轴 ， 交 x轴 于 点 H. (1)求 抛 物
36、线 的 表 达 式 ；(2)直 接 写 出 点 C 的 坐 标 ， 并 求 出 ABC的 面 积 ；(3)点 P 是 抛 物 线 上 一 动 点 ， 且 位 于 第 四 象 限 ， 当 ABP的 面 积 为 6时 ， 求 出 点 P的 坐 标 ；(4)若 点 M 在 直 线 BH 上 运 动 ， 点 N 在 x 轴 上 运 动 ， 当 以 点 C、 M、 N为 顶 点 的 三 角 形 为 等 腰 直角 三 角 形 时 ， 请 直 接 写 出 此 时 CMN的 面 积 .解 析 ： (1)利 用 待 定 系 数 法 求 二 次 函 数 的 表 达 式 ；(2)根 据 二 次 函 数 的 对 称
37、轴 x=2写 出 点 C 的 坐 标 为 (3， 3)， 根 据 面 积 公 式 求 ABC的 面 积 ；(3)因 为 点 P是 抛 物 线 上 一 动 点 ， 且 位 于 第 四 象 限 ， 设 出 点 P的 坐 标 (m， -m 2+4m)， 利 用 差 表示 ABP的 面 积 ， 列 式 计 算 求 出 m的 值 ， 写 出 点 P 的 坐 标 ；(4)分 别 以 点 C、 M、 N 为 直 角 顶 点 分 三 类 进 行 讨 论 ， 利 用 全 等 三 角 形 和 勾 股 定 理 求 CM 或 CN的 长 ， 利 用 面 积 公 式 进 行 计 算 .答 案 ： (1)把 点 A(4，
38、 0)， B(1， 3)代 入 抛 物 线 y=ax2+bx中 ，得 0 16 43 a ba b ， 解 得 ： 14ab ， 抛 物 线 表 达 式 为 ： y=-x2+4x；(2)点 C 的 坐 标 为 (3， 3)， 又 点 B 的 坐 标 为 (1， 3)， BC=2， S ABC= 12 2 3=3. (3)过 P 点 作 PD BH交 BH于 点 D， 设 点 P(m， -m2+4m)，根 据 题 意 ， 得 ： BH=AH=3， HD=m2-4m， PD=m-1， S ABP=S ABH+S 四 边 形 HAPD-S BPD，6= 12 3 3+ 12 (3+m-1)(m2-4
39、m)- 12 (m-1)(3+m2-4m)， 3m2-15m=0， m1=0(舍 去 )， m2=5， 点 P坐 标 为 (5， -5).(4)以 点 C、 M、 N 为 顶 点 的 三 角 形 为 等 腰 直 角 三 角 形 时 ， 分 三 类 情 况 讨 论 ： 以 点 M 为 直 角 顶 点 且 M在 x轴 上 方 时 ， 如 图 2， CM=MN， CMN=90 ， 则 CBM MHN， BC=MH=2， BM=HN=3-2=1， M(1， 2)， N(2， 0)，由 勾 股 定 理 得 ： MC= 2 22 1 5 ， S CMN= 52 5 21 5 ； 以 点 M 为 直 角 顶
40、 点 且 M 在 x 轴 下 方 时 ， 如 图 3， 作 辅 助 线 ， 构 建 如 图 所 示 的 两 直 角 三 角 形 ：Rt NEM和 Rt MDC， 得 Rt NEM Rt MDC， EM=CD=5， MD=ME=2，由 勾 股 定 理 得 ： CM= 2 22 5 29 ， S CMN= 2929 212 9 2 ； 以 点 N 为 直 角 顶 点 且 N在 y轴 左 侧 时 ， 如 图 4， CN=MN， MNC=90 ， 作 辅 助 线 ， 同 理 得 ： CN= 2 23 5 3 4 ， S CMN= 34 72 11 34 ； 以 点 N 为 直 角 顶 点 且 N在 y轴 右 侧 时 ， 作 辅 助 线 ， 如 图 5， 同 理 得 ： CN=32+12=10， S CMN= 52 10 01 1 ； 以 C为 直 角 顶 点 时 ， 不 能 构 成 满 足 条 件 的 等 腰 直 角 三 角 形 ；综 上 所 述 ： CMN的 面 积 为 ： 52 或 292 或 17 或 5.
