1、2016 年 湖 南 省 岳 阳 一 中 高 考 模 拟 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 1 0 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 4 0 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一项 符 合 题 目 要 求 ).1 .一 个 年 级 有 1 2 个 班 ， 每 个 班 的 同 学 从 1 至 5 0 排 学 号 ， 为 了 交 流 学 习 经 验 ， 要 求 每 班 学 号为 1 4 的 同 学 留 下 进 行 交 流 ， 这 里 运 用 的 是 ( )A.系 统 抽 样B.分 层 抽 样C.抽 签 抽 样D.随 机 抽 样解 析 ： 当 总 体 容
2、 量 N 较 大 时 ， 采 用 系 统 抽 样 .将 总 体 分 段 ， 分 段 的 间 隔 要 求 相 等 ， 这 时 间 隔一 般 为 预 先 制 定 的 ， 在 第 1 段 内 采 用 简 单 随 机 抽 样 确 定 一 个 起 始 编 号 ， 在 此 编 号 的 基 础 上 加 上 分 段 间 隔 的 整 倍 数 即 为 抽 样 编 号 .本 题 中 ， 把 每 个 班 级 学 生 从 1 到 5 0 号 编 排 ， 要 求 每 班 编 号 为 1 4 的 同 学 留 下 进 行 交 流 ，这 样 选 出 的 样 本 是 采 用 系 统 抽 样 的 方 法 .答 案 ： A.2 .设
3、 全 集 U=R， 集 合 A=x|x 2 ， B=x|0 x 5 ， 则 集 合 A B=( )A.x|0 xB.x|0 x 2 C.x|0 x 2 D.x|2 x 5 解 析 ： 全 集 U=R， 集 合 A=x|x 2 ， B=x|0 x 5 ， A B=x|2 x 5 ，答 案 ： D. 3 .已 知 a、 b 是 两 条 异 面 直 线 ， c a， 那 么 c 与 b 的 位 置 关 系 ( )A.一 定 是 异 面B.一 定 是 相 交C.不 可 能 平 行D.不 可 能 垂 直解 析 ： a、 b 是 两 条 异 面 直 线 ， c a， 那 么 c 与 b 异 面 和 相 交
4、 均 有 可 能 ， 但 不 会 平 行 .因 为 若 c b， 因 为 c a， 由 平 行 公 理 得 a b， 与 a、 b 是 两 条 异 面 直 线 矛 盾 .答 案 ： C4 .已 知 函 数 3 02 0 xlog x xf x x ， ， ， 则 19f f =( ) A.12B. 14 C.16D.18解 析 ： 因 为 19 0 ， 所 以 1 13 29 9f log （ ） ， 又 -2 0 ， 所 以 22 2 14f （ ） ；答 案 ： B.5 .已 知 倾 斜 角 为 的 直 线 ， 与 直 线 x-3 y+1 =0 垂 直 ， 则 tan =( )A.13B.
5、3C.-3 D. 13解 析 ： 倾 斜 角 为 的 直 线 ， 与 直 线 x-3 y+1 =0 垂 直 ， 113 tan ，解 得 tan =-3 .答 案 ： C.6 .设 M=2 a(a-2 )， N=(a+1 )(a-3 )， 则 有 ( )A.M NB.M NC.M ND.M N 解 析 ： M-N 2 a(a-2 )-(a+1 )(a-3 )=(a-1 )2 +2 0 ， M N.答 案 ： A.7 .在 ABC 中 ， A： B： C=1 ： 2 ： 3 ， 则 a： b： c 等 于 ( )A.1 ： 2 ： 3B.3 ： 2 ： 1C.1 32： ：D.2 31： ：解
6、析 ： 在 ABC 中 ， 若 A： B： C=1 ： 2 ： 3 ， 又 A+ B+ C= 所 以 6 3 2A B C ， ， .由 正 弦 定 理 可 知 ： 1 326 3 2a b c sin A sin B sin C sin sin sin ： ： ： ： ： ： ： ： .答 案 ： C. 8 .已 知 函 数 1 2 02 1 0 xx xf x x ， ， ， 则 该 函 数 是 ( )A.非 奇 非 偶 函 数 ， 且 单 调 递 增B.偶 函 数 ， 且 单 调 递 减C.奇 函 数 ， 且 单 调 递 增D.奇 函 数 ， 且 单 调 递 减解 析 ： 此 函 数 的
7、 定 义 域 是 R当 x 0 时 ， 有 f(x)+f(-x)=1 -2 -x+2 -x-1 =0当 x 0 时 ， 有 f(-x)+f(x)=1 -2 x+2 x-1 =0由 上 证 知 ， 此 函 数 是 一 个 奇 函 数 ，又 x 0 时 ， 函 数 1 -2 -x 是 一 个 增 函 数 ， 最 小 值 是 0 ； x 0 时 ， 函 数 2 x-1 是 一 个 增 函 数 ， 最 大值 为 0 ，所 以 函 数 函 数 1 2 02 1 0 xx xf x x ， ， 在 定 义 域 上 是 增 函 数综 上 ， 函 数 1 2 02 1 0 xx xf x x ， ， 在 定
8、义 域 上 是 增 函 数 ， 且 是 奇 函 数答 案 ： C9 .如 图 ， 在 ABC 中 ， 已 知 2BD DC ， 则 AD =( ) A. 312 2AB AC B. 312 2AB AC C.1 23 3AB AC D.1 23 3AB AC 解 析 ： 根 据 平 面 向 量 的 运 算 法 则 及 题 给 图 形 可 知 ： 2 2 1 23 3 3 3AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC .答 案 ： C. 1 0 .已 知 函 数 f(x)=2 sin( x+ )( 0 ， 0 )的 图 象 上 相 邻 两 个 最 高 点 的 距 离 为 .若 将
9、函 数 f(x)的 图 象 向 左 平 移 6 个 单 位 长 度 后 ， 所 得 图 象 关 于 y轴 对 称 .则 函 数 P的 解 析 式 为 ( ) A.f(x)=2 sin(x+ 6 )B.f(x)=2 sin(x+ 3 )C.f(x)=2 sin(2 x+ 6 )D.f(x)=2 sin(2 x+ 3 )解 析 ： 函 数 的 图 象 上 相 邻 两 个 最 高 点 的 距 离 为 ， 函 数 周 期 T= ， 即 2T ， 即 =2 ，即 f(x)=2 sin(2 x+ )，若 将 函 数 f(x) 的 图 象 向 左 平 移 6 个 单 位 长 度 后 ， 得2 2 3 2 2
10、6f x sin x sin x （ ） （ ） ） （ ） ，若 图 象 关 于 y 轴 对 称 .则 3 2 k ，即 6 k k Z ， ， 0 ， 当 k=0 时 ， = 6 ，即 f(x)=2 sin(2 x+ 6 )，答 案 ： C. 二 、 填 空 题 (本 小 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 2 0 分 )1 1 .如 图 是 一 个 算 法 的 流 程 图 ， 则 当 输 入 的 值 为 5 时 ， 输 出 的 值 是 . 解 析 ： 由 已 知 中 的 程 序 框 图 可 知 ： 该 程 序 的 功 能 是 利 用 条 件 结 构 计 算 并 输 出 分
11、 段 函 数 2 2 1 52 2 5x xy x x ， ， 的 值 ，当 x=5 时 ， y=2 5 2 +2 =5 2 ，答 案 ： 5 21 2 .如 图 ， 在 长 方 体 ABCD-A1 B1 C1 D1 中 ， 底 面 ABCD 是 边 长 为 2 的 正 方 形 ， 棱 BB1 长 为 2 ，则 二 面 角 B 1 -AC-B 的 大 小 是 度 .解 析 ： 连 接 BD 交 AC 于 O， 连 接 B 1 O， 底 面 ABCD 是 边 长 为 2 的 正 方 形 ， BO AC， 在 长 方 体 ABCD-A 1 B1 C1 D1 中 ， B1 B 平 面 ABCD AC
12、 平 面 BBB1 O， AC B1 O， B1 OB 是 二 面 角 B1 -AC-B 的 平 面 角 ， 底 面 ABCD 是 边 长 为 2 的 正 方 形 ， 棱 BB1 长 为 2 ， OB= 2 ，则 11 2 12BBtan B OB BO ，则 B 1 OB=4 5 ，即 二 面 角 B1 -AC-B 的 大 小 是 4 5 ，答 案 ： 4 5 .1 3 .已 知 A、 B、 C 为 ABC 的 三 内 角 ， 若 12cos B C ， 则 A= .解 析 ： ABC 中 ， 12cos B C cosA ， 即 12cosA - ， 23A ，答 案 ： 23 .1 4
13、.若 变 量 x， y 满 足 约 束 条 件 111x yy xx ， 则 z=2 x-y 的 最 小 值 为 .解 析 ： 由 约 束 条 件 111x yy xx 作 出 可 行 域 如 图 ， 由 图 可 知 ， 最 优 解 为 A，联 立 =1=1x yy x ， 解 得 A(0 ， 1 ). z=2 x-y 的 最 小 值 为 2 0 -1 =-1 .答 案 ： -1 .1 5 .方 程 |x2 -a|-x+2 =0 (a 0 )有 两 个 不 等 的 实 数 根 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 方 程 |x2 -a|-x+2 =0 (a 0 )有 两 个
14、 不 等 的 实 数 根 ， 函 数 y=|x 2 -a|(a 0 )与 函 数 y=x-2 的 图 象 有 两 个 交 点 ，作 函 数 y=|x2 -a|(a 0 )与 函 数 y=x-2 的 图 象 如 下 ， 结 合 图 象 可 得 ，存 在 x 2 时 ， x2 -a=0 ，故 a 4 ；答 案 ： a 4 .三 、 解 答 题 (本 大 题 共 5 小 题 ， 满 分 4 0 分 ， 解 答 须 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 过 程 )1 6 .已 知 二 次 函 数 f(x)=ax2 -4 x+c.若 f(x) 0 的 解 集 是 (-1 ， 5 )(1
15、 )求 实 数 a， c 的 值 ；(2 )求 函 数 f(x)在 x 0 ， 3 上 的 值 域 .解 析 ： (1 )由 不 等 式 f(x) 0 的 解 集 是 (-1 ， 5 )， 可 知 二 次 不 等 式 对 应 的 方 程 的 根 ， 利 用 根 与 系数 关 系 列 式 求 a 和 c 的 值 ；(2 )求 出 函 数 f(x)的 解 析 式 后 ， 借 助 于 其 图 象 分 析 函 数 在 0 ， 3 上 的 单 调 性 ， 运 用 单 调 性 求 函数 f(x)在 x 0 ， 3 上 的 值 域 . 答 案 ： (1 )由 f(x) 0 ， 得 ： ax2 -4 x+c
16、0 ，不 等 式 ax2 -4 x+c 0 的 解 集 是 (-1 ， 5 )，故 方 程 ax2 -4 x+c=0 的 两 根 是 x1 =-1 ， x2 =5 .所 以 1 2 1 24 4 5cx x x xa a ， 所 以 a=1 ， c=-5 .(2 )由 (1 )知 ， f(x)=x2 -4 x-5 =(x-2 )2 -9 . x 0 ， 3 ， f(x)在 0 ， 2 上 为 减 函 数 ， 在 2 ， 3 上 为 增 函 数 . 当 x=2 时 ， f(x)取 得 最 小 值 为 f(2 )=-9 .而 当 x=0 时 ， f(0 )=(0 -2 ) 2 -9 =-5 ， 当
17、 x=3 时 ， f(3 )=(3 -2 )2 -9 =-8 f(x)在 0 ， 3 上 取 得 最 大 值 为 f(0 )=-5 . 函 数 f(x)在 x 0 ， 3 上 的 值 域 为 -9 ， -5 .1 7 .已 知 向 量 ( ) )2 2 2(3 32x x x xa cos sin b cos sin ， ， ， .(1 )已 知 /a b 且 20 x ， ， 求 x； (2 )若 f(x) a b ， 写 出 f(x)的 单 调 递 减 区 间 .解 析 ： (1 )由 /a b ， 根 据 平 行 向 量 的 坐 标 关 系 以 及 两 角 差 的 正 弦 公 式 即 可
18、 得 出 sinx=0 ， 这 样根 据 x 的 范 围 便 可 得 出 x 的 值 ；(2 )进 行 向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算 ， 根 据 两 角 差 的 余 弦 公 式 便 可 得 出 f(x)=cosx， 从 而 可 以 写 出 余弦 函 数 的 单 调 递 减 区 间 .答 案 ： (1 ) /a b ； 3 3 =2 2 2 2x x x xcos sin sin cos 0， 即 sinx=0 ； 20 x ， ； x=0 ；(2 ) 3 32 2 2 2x x x xf x a b cos cos sin sin cosx （ ） ； f(x)的 单 调 递 减 区
19、 间 为 2 k ， 2 k + ， k Z.1 8 .甲 、 乙 两 校 各 有 3 名 教 师 报 名 支 教 ， 期 中 甲 校 2 男 1 女 ， 乙 校 1 男 2 女 .( )若 从 甲 校 和 乙 校 报 名 的 教 师 中 各 任 选 1 名 ， 写 出 所 有 可 能 的 结 果 ， 并 求 选 出 的 2 名 教 师性 别 相 同 的 概 率 ；( )若 从 报 名 的 6 名 教 师 中 任 选 2 名 ， 写 出 所 有 可 能 的 结 果 ， 并 求 选 出 的 2 名 教 师 来 自 同 一学 校 的 概 率 .解 析 ： 首 先 根 据 题 意 ， 将 甲 校 的
20、 男 教 师 用 A、 B 表 示 ， 女 教 师 用 C 表 示 ， 乙 校 的 男 教 师 用 D表 示 ， 女 教 师 用 E、 F 表 示 ，( )依 题 意 ， 列 举 可 得 “ 从 甲 校 和 乙 校 报 名 的 教 师 中 各 任 选 1 名 ” 以 及 “ 选 出 的 2 名 教 师 性 别 相 同 ” 的 情 况 数 目 ， 由 古 典 概 型 的 概 率 公 式 计 算 可 得 答 案 ；( )依 题 意 ， 列 举 可 得 “ 从 报 名 的 6 名 教 师 中 任 选 2 名 ” 以 及 “ 选 出 的 2 名 教 师 同 一 个 学 校的 有 6 种 ” 的 情 况
21、 数 目 ， 由 古 典 概 型 的 概 率 公 式 计 算 可 得 答 案 .答 案 ： 甲 校 的 男 教 师 用 A、 B 表 示 ， 女 教 师 用 C 表 示 ， 乙 校 的 男 教 师 用 D 表 示 ， 女 教 师 用 E、F 表 示 ，( )根 据 题 意 ， 从 甲 校 和 乙 校 报 名 的 教 师 中 各 任 选 1 名 ，有 (AD)， (AE)， (AF)， (BD)， (BE)， (BF)， (CD)， (CE)， (CF)， 共 9 种 ；其 中 性 别 相 同 的 有 (AD)(BD)(CE)(CF)四 种 ；则 选 出 的 2 名 教 师 性 别 相 同 的
22、概 率 为 49P ；( )若 从 报 名 的 6 名 教 师 中 任 选 2 名 ，有 (AB)(AC)(AD)(AE)(AF)(BC)(BD)(BE)(BF)(CD)(CE)(CF)(DE)(DF)(EF)共 1 5 种 ；其 中 选 出 的 教 师 来 自 同 一 个 学 校 的 有 6 种 ； 则 选 出 的 2 名 教 师 来 自 同 一 学 校 的 概 率 为 6 215 5P .1 9 .设 数 列 an是 公 比 为 正 数 的 等 比 数 列 ， a1 =2 ， a3 -a2 =1 2 .(1 )求 数 列 an的 通 项 公 式 ； (2 )若 数 列 bn满 足 ： 3
23、332nn nb log log a ， 求 数 列 an+bn的 前 n 项 和 Sn.解 析 ： (1 )设 出 等 比 数 列 的 公 比 ， 由 已 知 列 式 求 出 公 比 ， 直 接 代 入 等 比 数 列 的 通 项 公 式 得 答案 ；(2 )把 an 2 3 n-1 代 入 3 332nn nb log log a ， 化 简 后 得 到 数 列 bn的 通 项 公 式 ， 然 后 利 用分 组 求 和 求 得 数 列 an+bn的 前 n 项 和 Sn.答 案 ： (1 )设 数 列 a n的 公 比 为 q， 由 a1 =2 ， a3 -a2 =1 2 ，得 2 q2
24、-2 q-1 2 =0 ， 即 q2 -q-6 =0 .解 得 q=3 或 q=-2 ， q 0 ， q=-2 不 合 题 意 舍 去 ， an 2 3 n-1 ；(2 )由 3 332nn nb log log a ， 且 an 2 3 n-1 ， 得1 2 13 3(3 3 2)2 3 12n n nnb log log n ， 数 列 b n是 首 项 b1 =1 ， 公 差 d=2 的 等 差 数 列 ， Sn=(a1 +a2 + +an)+(b1 +b2 + +bn)=2 (3 n?1 )3 ?1 +n(1 +2 n?1 )2 =3 n-1 +n2 .2 0 .已 知 圆 O： x2
25、 +y2 =4 和 圆 C： x2 +(y-4 )2 =1 .( )判 断 圆 O 和 圆 C 的 位 置 关 系 ；( )过 圆 C 的 圆 心 C 作 圆 O 的 切 线 l， 求 切 线 l 的 方 程 ；( )过 圆 C 的 圆 心 C 作 动 直 线 m 交 圆 O 于 A， B 两 点 .试 问 ： 在 以 AB 为 直 径 的 所 有 圆 中 ， 是否 存 在 这 样 的 圆 P， 使 得 圆 P 经 过 点 M(2 ， 0 )？ 若 存 在 ， 求 出 圆 P 的 方 程 ； 若 不 存 在 ， 请 说明 理 由 .解 析 ： ( )求 出 两 圆 的 半 径 和 圆 心 距
26、， 由 此 能 判 断 两 圆 的 位 置 关 系 .( )设 切 线 l 的 方 程 为 ： y=kx+4 ， 由 圆 心 O 到 直 线 l 的 距 离 等 于 半 径 ， 能 求 出 切 线 l 的 方 程 .( )当 直 线 m 的 斜 率 不 存 在 时 ， 直 线 m 经 过 圆 O 的 圆 心 O， 由 此 得 到 圆 O 是 满 足 题 意 的 圆 ； 当 直 线 m的 斜 率 存 在 时 ， 设 直 线 m： y=kx+4 ， 由 2 2 44x yy kx ， 消 去 y整 理 ， 得 (1 +k2 )x2 +8 kx+1 2 =0 ，由 此 求 出 存 在 以 AB 为
27、直 径 的 圆 P 满 足 题 意 .从 而 能 求 出 在 以 AB 为 直 径 的 所 有 圆 中 ， 存 在 圆P： 5 x2 +5 y2 -1 6 x-8 y+1 2 =0 或 x2 +y2 =4 ， 使 得 圆 P 经 过 点 M(2 ， 0 ).答 案 ： ( )因 为 圆 O 的 圆 心 O(0 ， 0 )， 半 径 r1 =2 ， 圆 C 的 圆 心 C(0 ， 4 )， 半 径 r2 =1 ，所 以 圆 O 和 圆 C 的 圆 心 距 |OC|=|4 -0 | r1 +r2 =3 ，所 以 圆 O 与 圆 C 相 离 .( )设 切 线 l 的 方 程 为 ： y=kx+4
28、， 即 kx-y+4 =0 ，所 以 O 到 l 的 距 离 20 0 4 21d k ， 解 得 3k .所 以 切 线 l 的 方 程 为 3 4 0 3 4 0 x y x y 或 ( ) )当 直 线 m 的 斜 率 不 存 在 时 ， 直 线 m 经 过 圆 O 的 圆 心 O，此 时 直 线 m 与 圆 O 的 交 点 为 A(0 ， 2 )， B(0 ， -2 )，AB 即 为 圆 O 的 直 径 ， 而 点 M(2 ， 0 )在 圆 O 上 ，即 圆 O 也 是 满 足 题 意 的 圆 )当 直 线 m 的 斜 率 存 在 时 ， 设 直 线 m： y=kx+4 ，由 2 2
29、44x yy kx ， 消 去 y 整 理 ， 得 (1 +k2 )x2 +8 kx+1 2 =0 ，由 =6 4 k 2 -4 8 (1 +k2 ) 0 ， 得 3 3k k 或 .设 A(x1 ， y1 )， B(x2 ， y2 )，则 有 1 2 21 2 2 81121 kx x kx x k - 由 得 221 2 1 2 1 2 1 2 216 44 4 4 16 1 ky y kx kx k x x k x x k ， 1 2 1 2 1 2 284 4 8 1y y kx kx k x x k ， 若 存 在 以 AB 为 直 径 的 圆 P 经 过 点 M(2 ， 0 )，
30、则 MA MB， 所 以 0MA MB ， 因 此 (x1 -2 )(x2 -2 )+y1 y2 =0 ，即 x1 x2 -2 (x1 +x2 )+4 +y1 y2 =0 ，则 22 2 216 16 412 4 01 1 1k kk k k ， 所 以 1 6 k+3 2 =0 ， k=-2 ， 满 足 题 意 .此 时 以 AB 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 x2 +y2 -(x1 +x2 )x-(y1 +y2 )y+x1 x2 +y1 y2 =0 ，即 2 2 16 8 12 05 5 5x y x y ， 亦 即 5 x2 +5 y2 -1 6 x-8 y+1 2 =0 .综 上 ， 在 以 AB 为 直 径 的 所 有 圆 中 ，存 在 圆 P： 5 x2 +5 y2 -1 6 x-8 y+1 2 =0 或 x2 +y2 =4 ， 使 得 圆 P 经 过 点 M(2 ， 0 ).
