1、2017年 内 蒙 古 赤 峰 市 中 考 数 学一 、 选 择 题 (每 小 题 给 出 的 选 项 中 只 有 一 个 符 合 题 意 ， 请 将 符 合 题 意 的 选 项 序 号 ， 在 答 题 卡的 对 应 位 置 上 按 要 求 涂 黑 .每 小 题 3 分 ， 共 计 36分 )1.|( 3) 5|等 于 ( )A. 8B. 2C.2D.8解 析 ： |( 3) 5|=| 3 5|=| 8|=8.答 案 ： D. 2.下 列 图 形 中 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： A、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是
2、 中 心 对 称 图 形 ， 不 合 题 意 ；B、 不 是 轴 对 称 图 形 ， 是 中 心 对 称 图 形 ， 不 合 题 意 ；C、 是 轴 对 称 图 形 ， 也 是 中 心 对 称 图 形 ， 符 合 题 意 ；D、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 不 合 题 意 .答 案 ： C.3.风 景 秀 美 的 赤 峰 有 “ 草 原 明 珠 ” 的 美 称 ， 赤 峰 市 全 域 总 面 积 为 90021 平 方 公 里 .90021 用科 学 记 数 法 表 示 为 ( ) A.9.0021 105B.9.0021 104C.90.021 103D.
3、900.21 102解 析 ： 90021 用 科 学 记 数 法 表 示 为 9.0021 104.答 案 ： B.4.下 列 运 算 正 确 的 是 ( ) A.3x+2y=5(x+y)B.x+x3=x4C.x2 x3=x6D.(x2)3=x6解 析 ： A、 不 是 同 类 项 不 能 合 并 ， 故 A 错 误 ；B、 不 是 同 类 项 不 能 合 并 ， 故 B 错 误 ；C、 x2 x3=x5， 故 C 错 误 ；D、 (x2)3=x6， 故 D 正 确 .答 案 ： D.5.直 线 a b， Rt ABC的 直 角 顶 点 C 在 直 线 a 上 ， 若 1=35 ， 则 2等
4、 于 ( ) A.65B.50C.55D.60解 析 ： Rt ABC的 直 角 顶 点 C 在 直 线 a 上 ， 1=35 ， 3=90 35 =55 ，又 a b， 2= 3=55 . 答 案 ： C.6.能 使 式 子 2 1x x 成 立 的 x 的 取 值 范 围 是 ( )A.x 1B.x 2C.1 x 2D.x 2解 析 ： 根 据 题 意 得 ： 2 01 0 xx ，解 得 ： 1 x 2.答 案 ： C.7.小 明 向 如 图 所 示 的 正 方 形 ABCD 区 域 内 投 掷 飞 镖 ， 点 E 是 以 AB 为 直 径 的 半 圆 与 对 角 线 AC 的 交 点
5、.如 果 小 明 投 掷 飞 镖 一 次 ， 则 飞 镖 落 在 阴 影 部 分 的 概 率 为 ( ) A. 12B. 14C. 13D. 18解 析 ： 如 图 所 示 ： 连 接 BE， 可 得 ， AE=BE， AEB=90 ，且 阴 影 部 分 面 积 =S CEB= 1 12 4BEC ABCDS S 正 方 形 ，故 小 明 投 掷 飞 镖 一 次 ， 则 飞 镖 落 在 阴 影 部 分 的 概 率 为 ： 14 .答 案 ： B.8.下 面 几 何 体 的 主 视 图 为 ( ) A.B.C. D.解 析 ： 从 正 面 看 ，答 案 ： C.9.点 A(1， y1)、 B(3
6、， y2)是 反 比 例 函 数 9y x 图 象 上 的 两 点 ， 则 y1、 y2的 大 小 关 系 是 ( )A.y 1 y2B.y1=y2C.y1 y2D.不 能 确 定解 析 ： 反 比 例 函 数 9y x 中 的 9 0， 经 过 第 一 、 三 象 限 ， 且 在 每 一 象 限 内 y 随 x 的 增 大 而 减 小 ，又 A(1， y 1)、 B(3， y2)都 位 于 第 一 象 限 ， 且 1 3， y1 y2.答 案 ： A.10.如 图 ， 将 边 长 为 4 的 菱 形 ABCD 纸 片 折 叠 ， 使 点 A 恰 好 落 在 对 角 线 的 交 点 O 处 ，
7、 若 折 痕EF=2 3 ， 则 A=( )A.120 B.100C.60D.30解 析 ： 连 接 AC， 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， AC BD， A 沿 EF 折 叠 与 O 重 合 ， EF AC， EF 平 分 AO， AC BD， EF BD， E、 F分 别 为 AB、 AD的 中 点 ， EF 为 ABD的 中 位 线 ， EF=BD， BD=2EF=4 3 ， BO=2 3 ， AO= 2 2AB BO =2， AO= 12 AB， ABO=30 ， BAO=60 ， BAD=120 .答 案 ： A.11.将 一 次 函 数 y=2x 3 的 图 象 沿 y 轴
8、向 上 平 移 8 个 单 位 长 度 ， 所 得 直 线 的 解 析 式 为 ( ) A.y=2x 5B.y=2x+5C.y=2x+8D.y=2x 8解 析 ： 由 题 意 ， 得y=2x 3+8，即 y=2x+5，答 案 ： B.12.正 整 数 x、 y满 足 (2x 5)(2y 5)=25， 则 x+y 等 于 ( )A.18或 10B.18C.10D.26 解 析 ： xy是 正 整 数 ， (2x 5)、 (2y 5)均 为 整 数 ， 25=1 25， 或 25=5 5， 存 在 两 种 情 况 ： 2x 5=1， 2y 5=25， 解 得 ： x=3， y=15， ； 2x 5
9、=2y 5=5， 解 得 ： x=y=5； x+y=18或 10.答 案 ： A.二 、 填 空 题 (请 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 的 横 线 上 ， 每 小 题 3 分 ， 共 12分 )13.分 解 因 式 ： xy 2+8xy+16x=_.解 析 ： xy2+8xy+16x=x(y2+8y+16)=x(y+4)2.答 案 ： x(y+4)2.14.如 果 关 于 x 的 方 程 x2 4x+2m=0有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 m 的 取 值 范 围 是 _.解 析 ： 关 于 x的 方 程 x2 4x+2m=0有 两 个 不 相 等 的 实 数 根
10、 ， =( 4) 2 4 2m=16 8m 0，解 得 ： m 2.答 案 ： m 2.15.数 据 5， 6， 5， 4， 10的 众 数 、 中 位 数 、 平 均 数 的 和 是 _. 解 析 ： 数 据 5 出 现 了 2 次 ， 次 数 最 多 ， 所 以 众 数 是 5；数 据 按 从 小 到 大 排 列 为 4， 5， 5， 6， 10， 中 位 数 为 5；平 均 数 =(5+6+5+4+10) 5=6；5+5+6=16.答 案 ： 16.16.在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 P(x， y)经 过 某 种 变 换 后 得 到 点 P( y+1， x+2)， 我 们
11、把 点 P(y+1， x+2)叫 做 点 P(x， y)的 终 结 点 .已 知 点 P 1的 终 结 点 为 P2， 点 P2的 终 结 点 为 P3， 点 P3的终 结 点 为 P4， 这 样 依 次 得 到 P1、 P2、 P3、 P4、 Pn、 ， 若 点 P1的 坐 标 为 (2， 0)， 则 点 P2017的 坐 标 为 _.解 析 ： P1 坐 标 为 (2， 0)， 则 P2坐 标 为 (1， 4)， P3坐 标 为 ( 3， 3)， P4坐 标 为 ( 2， 1)，P5坐 标 为 (2， 0)， Pn的 坐 标 为 (2， 0)， (1， 4)， ( 3， 3)， ( 2，
12、1)循 环 ， 2017=2016+1=4 504+1， P2017 坐 标 与 P1点 重 合 .答 案 ： (2， 0).三 、 解 答 题 (在 答 题 卡 上 解 答 ， 答 在 本 试 卷 上 无 效 ， 解 答 时 要 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过程 或 演 算 步 骤 ， 共 10题 ， 满 分 102分 )17. 2 6 34 2 2a aa a a ， 其 中 112017 27 tan305a . 解 析 ： 先 化 简 分 式 ， 然 后 再 化 简 a的 值 ， 从 而 可 求 出 原 式 的 值 .答 案 ： 原 式 = 6 2 3 22 2 2
13、a a aa a a a a = 3 262 2aaa a a a = 2 2a 由 于 112017 27 tan305a ， a=1 5+3= 1 原 式 = 21 2 = 2 18.已 知 平 行 四 边 形 ABCD.(1)尺 规 作 图 ： 作 BAD 的 平 分 线 交 直 线 BC 于 点 E， 交 DC 延 长 线 于 点 F(要 求 ： 尺 规 作 图 ，保 留 作 图 痕 迹 ， 不 写 作 法 )；(2)在 (1)的 条 件 下 ， 求 证 ： CE=CF.解 析 ： (1)作 BAD的 平 分 线 交 直 线 BC于 点 E， 交 DC延 长 线 于 点 F即 可 ；(
14、2)先 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 得 出 AB DC， AD BC， 故 1= 2， 3= 4.再 由 AF平 分 BAD得 出 1= 3， 故 可 得 出 2= 4， 据 此 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1)如 图 所 示 ， AF即 为 所 求 ； (2) 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， AB DC， AD BC， 1= 2， 3= 4. AF 平 分 BAD， 1= 3， 2= 4， CE=CF.19.为 了 增 强 中 学 生 的 体 质 ， 某 校 食 堂 每 天 都 为 学 生 提 供 一 定 数 量 的 水 果 ， 学 校 李 老 师 为 了
15、了 解 学 生 喜 欢 吃 哪 种 水 果 ， 进 行 了 抽 样 调 查 ， 调 查 分 为 五 种 类 型 ： A 喜 欢 吃 苹 果 的 学 生 ； B喜 欢 吃 桔 子 的 学 生 ； C.喜 欢 吃 梨 的 学 生 ； D.喜 欢 吃 香 蕉 的 学 生 ； E喜 欢 吃 西 瓜 的 学 生 ， 并 将调 查 结 果 绘 制 成 图 1和 图 2 的 统 计 图 (不 完 整 ).请 根 据 图 中 提 供 的 数 据 解 答 下 列 问 题 ：(1)求 此 次 抽 查 的 学 生 人 数 ；(2)将 图 2 补 充 完 整 ， 并 求 图 1 中 的 x； (3)现 有 5 名 学
16、 生 ， 其 中 A 类 型 3 名 ， B 类 型 2 名 ， 从 中 任 选 2 名 学 生 参 加 体 能 测 试 ， 求 这两 名 学 生 为 同 一 类 型 的 概 率 (用 列 表 法 或 树 状 图 法 )解 析 ： (1)根 据 百 分 比 =所 占 人 数总 人 数 计 算 即 可 ； (2)求 出 B、 C 的 人 数 画 出 条 形 图 即 可 ；(3)利 用 树 状 图 ， 即 可 解 决 问 题 ；答 案 ： (1)此 次 抽 查 的 学 生 人 数 为 16 40%=40 人 .(2)C占 40 10%=4 人 ， B占 20%， 有 40 20%=8人 ，条 形
17、图 如 图 所 示 ， (3)由 树 状 图 可 知 ： 两 名 学 生 为 同 一 类 型 的 概 率 为 8 220 5 .20.王 浩 同 学 用 木 板 制 作 一 个 带 有 卡 槽 的 三 角 形 手 机 架 ， 如 图 1所 示 .已 知 AC=20cm， BC=18cm， ACB=50 ， 王 浩 的 手 机 长 度 为 17cm， 宽 为 8cm， 王 浩 同 学 能 否 将 手 机 放 入 卡 槽 AB 内 ？ 请说 明 你 的 理 由 .(提 示 ： sin50 0.8， cos50 0.6， tan50 1.2) 解 析 ： 根 据 题 意 作 出 合 适 的 辅 助
18、线 ， 可 以 求 得 AD和 CD的 长 ， 进 而 可 以 求 得 DB 的 长 ， 然 后根 据 勾 股 定 理 即 可 得 到 AB的 长 ， 然 后 与 17比 较 大 小 ， 即 可 解 答 本 题 .答 案 ： 王 浩 同 学 能 将 手 机 放 入 卡 槽 AB 内 .理 由 ： 作 AD BC于 点 D， C=50 ， AC=20cm， AD=AC sin50 =20 0.8=16cm，CD=AC cos50 =20 0.6=12cm， BC=18cm， DB=BC CD=18 12=6cm， 2 2 2 216 6 292AB AD BD ， 17 289 292 ， 王
19、浩 同 学 能 将 手 机 放 入 卡 槽 AB 内 . 21.如 图 ， 一 次 函 数 3 13y x 的 图 象 与 x 轴 、 y 轴 分 别 交 于 点 A、 B， 以 线 段 AB 为 边 在第 一 象 限 作 等 边 ABC.(1)若 点 C 在 反 比 例 函 数 ky x 的 图 象 上 ， 求 该 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ；(2)点 P(2 3 ， m)在 第 一 象 限 ， 过 点 P作 x 轴 的 垂 线 ， 垂 足 为 D， 当 PAD 与 OAB相 似 时 ，P点 是 否 在 (1)中 反 比 例 函 数 图 象 上 ？ 如 果 在 ， 求 出 P点 坐
20、 标 ； 如 果 不 在 ， 请 加 以 说 明 . 解 析 ： (1)由 直 线 解 析 式 可 求 得 A、 B坐 标 ， 在 Rt AOB中 ， 利 用 三 角 函 数 定 义 可 求 得 BAO=30 ，且 可 求 得 AB的 长 ， 从 而 可 求 得 CA OA， 则 可 求 得 C 点 坐 标 ， 利 用 待 定 系 数 法 可 求 得 反 比 例函 数 解 析 式 ；(2)分 PAD ABO和 PAD BAO两 种 情 况 ， 分 别 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 可 求 得 m 的 值 ，可 求 得 P 点 坐 标 ， 代 入 反 比 例 函 数 解 析 式 进 行
21、 验 证 即 可 .答 案 ： (1)在 3 13y x 中 ， 令 y=0 可 解 得 x= 3 ， 令 x=0可 得 y=1， A( 3 ， 0)， B(0， 1)， 1 3tan 33OBBAO OA ， BAO=30 ， ABC是 等 边 三 角 形 ， BAC=60 ， CAO=90 ，在 Rt BOA中 ， 由 勾 股 定 理 可 得 AB=2， AC=2， C( 3 ， 2)， 点 C在 反 比 例 函 数 ky x 的 图 象 上 ， 2 3 2 3k ， 反 比 例 函 数 解 析 式 为 2 3y x ；(2) P(2 3 ， m)在 第 一 象 限 ， AD=OD OA=
22、2 3 3 3 ， PD=m， 当 ADP AOB时 ， 则 有 PD ADOB OA ， 即 31 3m ， 解 得 m=1， 此 时 P点 坐 标 为 (2 3 ， 1)； 当 PDA AOB 时 ， 则 有 PD ADOA OB ， 即 313m ， 解 得 m=3， 此 时 P 点 坐 标 为 (2 3 ，3)；把 P(2 3 ， 3)代 入 2 3y x 可 得 2 33 2 3 ， P(2 3 ， 3)不 在 反 比 例 函 数 图 象 上 ，把 P(2 3 ， 1)代 入 反 比 例 函 数 解 析 式 得 2 31 2 3 ， P(2 3 ， 1)在 反 比 例 函 数 图 象
23、 上 ；综 上 可 知 P点 坐 标 为 (2 3 ， 1).22.为 了 尽 快 实 施 “ 脱 贫 致 富 奔 小 康 ” 宏 伟 意 图 ， 某 县 扶 贫 工 作 队 为 朝 阳 沟 村 购 买 了 一 批 苹 果 树 苗 和 梨 树 苗 ， 已 知 一 棵 苹 果 树 苗 比 一 棵 梨 树 苗 贵 2元 ， 购 买 苹 果 树 苗 的 费 用 和 购 买 梨 树苗 的 费 用 分 别 是 3500元 和 2500元 .(1)若 两 种 树 苗 购 买 的 棵 数 一 样 多 ， 求 梨 树 苗 的 单 价 ；(2)若 两 种 树 苗 共 购 买 1100棵 ， 且 购 买 两 种
24、树 苗 的 总 费 用 不 超 过 6000 元 ， 根 据 (1)中 两 种 树苗 的 单 价 ， 求 梨 树 苗 至 少 购 买 多 少 棵 .解 析 ： (1)设 梨 树 苗 的 单 价 为 x元 ， 则 苹 果 树 苗 的 单 价 为 (x+2)元 ， 根 据 两 种 树 苗 购 买 的 棵 树一 样 多 列 出 方 程 求 出 其 解 即 可 ；(2)设 购 买 梨 树 苗 种 树 苗 a 棵 ， 苹 果 树 苗 则 购 买 (1100 a)棵 ， 根 据 购 买 两 种 树 苗 的 总 费 用 不超 过 6000 元 建 立 不 等 式 求 出 其 解 即 可 .答 案 ： (1)
25、设 梨 树 苗 的 单 价 为 x 元 ， 则 苹 果 树 苗 的 单 价 为 (x+2)元 ，依 题 意 得 ： 2500 35002x x ，解 得 x=5.经 检 验 x=5是 原 方 程 的 解 ， 且 符 合 题 意 . 答 ： 梨 树 苗 的 单 价 是 5 元 ；(2)设 购 买 梨 树 苗 种 树 苗 a 棵 ， 苹 果 树 苗 则 购 买 (1100 a)棵 ，依 题 意 得 ： (5+2)(1100 a)+5a 6000，解 得 a 850.答 ： 梨 树 苗 至 少 购 买 850棵 .23.如 图 ， 点 A 是 直 线 AM 与 O 的 交 点 ， 点 B 在 O 上
26、 ， BD AM 垂 足 为 D， BD与 O 交 于 点C， OC平 分 AOB， B=60 .(1)求 证 ： AM是 O 的 切 线 ；(2)若 DC=2， 求 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 (结 果 保 留 和 根 号 ). 解 析 ： (1)由 已 知 条 件 得 到 BOC是 等 边 三 角 形 ， 根 据 等 边 三 角 形 的 性 质 得 到 1= 2=60 ，由 角 平 分 线 的 性 质 得 到 1= 3， 根 据 平 行 线 的 性 质 得 到 OAM=90 ， 于 是 得 到 结 论 ； (2)根 据 等 边 三 角 形 的 性 质 得 到 OAC=60 ， 根
27、据 三 角 形 的 内 角 和 得 到 CAD=30 ， 根 据 勾股 定 理 得 到 AD=2 ， 于 是 得 到 结 论 .答 案 ： (1) B=60 ， BOC是 等 边 三 角 形 ， 1= 2=60 ， OC 平 分 AOB， 1= 3， 2= 3， OA BD， BDM=90 ， OAM=90 ， AM 是 O的 切 线 ；(2) 3=60 ， OA=OC， AOC是 等 边 三 角 形 ， OAC=60 ， OAM=90 ， CAD=30 ， CD=2， AC=2CD=4， AD=2 3 ， S 阴 影 =S 梯 形 OADC S 扇 形 OAC= 1 60 16 84 2 2
28、 3 - 6 3 -2 360 3 . 24.如 图 1， 在 ABC中 ， 设 A、 B、 C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 过 点 A 作 AD BC， 垂 足为 D， 会 有 sin C= ADAC ， 则1 1 1sin sin2 2 2ABCS BC AD BC AC C ab C ，即 1 sin2ABCS ab C 同 理 1 sin2ABCS bc A 1 sin2ABCS ac B 通 过 推 理 还 可 以 得 到 另 一 个 表 达 三 角 形 边 角 关 系 的 定 理 余 弦 定 理 ：如 图 2， 在 ABC中 ， 若 A、 B、 C的 对 边 分 别
29、为 a， b， c， 则 a2=b2+c2 2bccos Ab2=a2+c2 2accos Bc2=a2+b2 2abcos C用 上 面 的 三 角 形 面 积 公 式 和 余 弦 定 理 解 决 问 题 ：(1)如 图 3， 在 DEF中 ， F=60 ， D、 E 的 对 边 分 别 是 3和 8.求 S DEF和 DE2. 解 ： S DEF= 12 EF DFsin F=_；DE2=EF2+DF2 2EF DFcos F=_.(2)如 图 4， 在 ABC 中 ， 已 知 AC BC， C=60 ， ABC、 BCA、 ACB分 别 是 以 AB、BC、 AC 为 边 长 的 等 边
30、 三 角 形 ， 设 ABC、 ABC、 BCA、 ACB的 面 积 分 别 为 S1、 S2、 S3、S4， 求 证 ： S1+S2=S3+S4. 解 析 ： (1)直 接 利 用 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 即 可 得 出 结 论 ；(2)方 法 1、 利 用 正 弦 定 理 得 出 三 角 形 的 面 积 公 式 ， 再 利 用 等 边 三 角 形 的 性 质 即 可 得 出 结 论 ；方 法 2、 先 用 正 弦 定 理 得 出 S1， S2， S3， S4， 最 后 用 余 弦 定 理 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1)在 DEF中 ， F=60 ， D、 E 的
31、对 边 分 别 是 3 和 8， EF=3， DF=8， 1 1sin 3 8 sin 60 6 32 2DEFS EF DF F ，DE2=EF2+DF2 2EF DFcos F=32+82 2 3 8 cos60 =49，故 答 案 为 ： 6 ， 49；(2)证 明 ： 方 法 1， ACB=60 ， AB 2=AC2+BC2 2AC BCcos60 =AC2+BC2 ACBC，两 边 同 时 乘 以 12 sin60 得 ，2 2 21 1 1 1sin 60 sin 60 sin 60 sin 602 2 2 2AB AC BC AC BC ， ABC， BCA， ACB是 等 边
32、三 角 形 ， 2 2 21 2 3 41 1 1 1sin 60 sin 60 sin 60 sin 602 2 2 2S AC BC S AB S BC S AC ， ， ， ， S 2=S4+S3 S1， S1+S2=S3+S4，方 法 2、 令 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 1 1 1 3sin sin 602 2 4S ab C ab ab ABC， BCA， ACB是 等 边 三 角 形 ， 2 2 4 22 31 3 1 3 1 3sin 60 sin 60 sin 602 2 24 4 4S c c c S a a a S b b b ， ， ， 2
33、 2 21 2 3 43 34 4S S ab c S S a b ， ， c2=a2+b2 2ab cos C=a2+b2 2ab cos60 ， a2+b2=c2+ab， S 1+S2=S3+S4.25. OPA和 OQB分 别 是 以 OP、 OQ 为 直 角 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 点 C、 D、 E 分 别 是 OA、 OB、AB的 中 点 .(1)当 AOB=90 时 如 图 1， 连 接 PE、 QE， 直 接 写 出 EP 与 EQ 的 大 小 关 系 ；(2)将 OQB 绕 点 O 逆 时 针 方 向 旋 转 ， 当 AOB 是 锐 角 时 如 图 2， (1
34、)中 的 结 论 是 否 成 立 ？ 若成 立 ， 请 给 出 证 明 ； 若 不 成 立 ， 请 加 以 说 明 .(3)仍 将 OQB绕 点 O 旋 转 ， 当 AOB为 钝 角 时 ， 延 长 PC、 QD 交 于 点 G， 使 ABG为 等 边 三 角形 如 图 3， 求 AOB 的 度 数 . 解 析 ： (1)先 判 断 出 点 P， O， Q 在 同 一 条 直 线 上 ， 再 判 断 出 APE BFE， 最 后 用 直 角 三 角形 的 斜 边 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 即 可 得 出 结 论 ；(2)先 判 断 出 CE=DQ， PC=DE， 进 而 判 断
35、出 EPC QED即 可 得 出 结 论 ；(3)先 判 断 出 CQ， GP 分 别 是 OB， OA的 垂 直 平 分 线 ， 进 而 得 出 GBO= GOB， GOA= GAO，即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1)如 图 1， 延 长 PE， QB交 于 点 F， APO和 BQO是 等 腰 直 角 三 角 形 ， APO= BQO=90 ， AOP= BOQ=45 ， AOB=90 ， AOP+ AOB+ BOQ=180 ， 点 P， O， Q 在 同 一 条 直 线 上 ， APO= BQO=90 ， AP BQ， PAE= FBE， 点 E是 AB中 点 ， AE=BE，
36、 AEP= BEF， APE BFE， PE=EF， 点 E是 Rt PQF的 斜 边 PF 的 中 点 ， EP=EQ；(2)成 立 ，证 明 ： 点 C， E 分 别 是 OA， AB 的 中 点 ， CE OB， CE= 12 OB， DOC= ECA， 点 D是 Rt OQB斜 边 中 点 ， DQ= 12 OB， CE=DQ，同 理 ： PC=DE， DOC= BDE， ECA= BDE， PCE= EDQ， EPC QED， EP=EQ；(3)如 图 2 连 接 GO， 点 D， C分 别 是 OB， OA 的 中 点 ， APO与 QBO 都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ，
37、CQ， GP 分 别 是 OB， OA的 垂 直 平 分 线 ， GB=GO=GA， GBO= GOB， GOA= GAO，设 GOB=x， GOA=y， x+x+y+y+60 =360 x+y=150 ， AOB=150 .26.如 图 ， 二 次 函 数 y=ax 2+bx+c(a 0)的 图 象 交 x 轴 于 A、 B 两 点 ， 交 y 轴 于 点 D， 点 B 的 坐标 为 (3， 0)， 顶 点 C的 坐 标 为 (1， 4). (1)求 二 次 函 数 的 解 析 式 和 直 线 BD的 解 析 式 ；(2)点 P 是 直 线 BD上 的 一 个 动 点 ， 过 点 P作 x轴
38、 的 垂 线 ， 交 抛 物 线 于 点 M， 当 点 P 在 第 一 象限 时 ， 求 线 段 PM长 度 的 最 大 值 ；(3)在 抛 物 线 上 是 否 存 在 异 于 B、 D 的 点 Q， 使 BDQ中 BD 边 上 的 高 为 2 ？ 若 存 在 求 出 点 Q的 坐 标 ； 若 不 存 在 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)可 设 抛 物 线 解 析 式 为 顶 点 式 ， 由 B 点 坐 标 可 求 得 抛 物 线 的 解 析 式 ， 则 可 求 得 D 点坐 标 ， 利 用 待 定 系 数 法 可 求 得 直 线 BD 解 析 式 ；(2)设 出 P 点 坐 标 ，
39、从 而 可 表 示 出 PM 的 长 度 ， 利 用 二 次 函 数 的 性 质 可 求 得 其 最 大 值 ；(3)过 Q 作 QG y轴 ， 交 BD 于 点 G， 过 Q 和 QH BD于 H， 可 设 出 Q 点 坐 标 ， 表 示 出 QG 的 长度 ， 由 条 件 可 证 得 DHG为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 则 可 得 到 关 于 Q 点 坐 标 的 方 程 ， 可 求 得 Q 点 坐标 .答 案 ：(1) 抛 物 线 的 顶 点 C 的 坐 标 为 (1， 4)， 可 设 抛 物 线 解 析 式 为 y=a(x 1) 2+4， 点 B(3， 0)在 该 抛 物 线 的
40、图 象 上 ， 0=a(3 1)2+4， 解 得 a= 1， 抛 物 线 解 析 式 为 y= (x 1)2+4， 即 y= x2+2x+3， 点 D在 y轴 上 ， 令 x=0可 得 y=3， D 点 坐 标 为 (0， 3)， 可 设 直 线 BD 解 析 式 为 y=kx+3，把 B 点 坐 标 代 入 可 得 3k+3=0， 解 得 k= 1， 直 线 BD 解 析 式 为 y= x+3；(2)设 P 点 横 坐 标 为 m(m 0)， 则 P(m， m+3)， M(m， m 2+2m+3)， PM= m2+2m+3 ( m+3)= m2+3m= 23 92 4m ， 当 m= 32
41、时 ， PM 有 最 大 值 94 ；(3)如 图 ， 过 Q 作 QG y 轴 交 BD 于 点 G， 交 x 轴 于 点 E， 作 QH BD于 H， 设 Q(x， x2+2x+3)， 则 G(x， x+3)， QG=| x2+2x+3 ( x+3)|=| x2+3x|， BOD是 等 腰 直 角 三 角 形 ， DBO=45 ， HGQ= BGE=45 ，当 BDQ中 BD 边 上 的 高 为 2 2 时 ， 即 QH=HG=2 2 ， 2 2 2 4QG ， | x 2+3x|=4，当 x2+3x=4时 ， =9 16 0， 方 程 无 实 数 根 ，当 x2+3x= 4 时 ， 解 得 x= 1 或 x=4， Q( 1， 0)或 (4， 5)，综 上 可 知 存 在 满 足 条 件 的 点 Q， 其 坐 标 为 ( 1， 0)或 (4， 5).
