1、2017年 内 蒙 古 呼 和 浩 特 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 10小 题 , 每 小 题 3 分 , 共 30 分 )1.我 市 冬 季 里 某 一 天 的 最 低 气 温 是 -10 , 最 高 气 温 是 5 , 这 一 天 的 温 差 为 ( )A.-5B.5C.10D.15解 析 : 5-(-10)=5+10=15 .答 案 : D.2.中 国 的 陆 地 面 积 约 为 9600000km 2, 将 这 个 数 用 科 学 记 数 法 可 表 示 为 ( )A.0.96 107km2B.960 104km2C.9.6 106km2D.9.6
2、105km2解 析 : 将 9600000用 科 学 记 数 法 表 示 为 : 9.6 106.答 案 : C.3.图 中 序 号 (1)(2)(3)(4)对 应 的 四 个 三 角 形 , 都 是 ABC这 个 图 形 进 行 了 一 次 变 换 之 后 得 到的 , 其 中 是 通 过 轴 对 称 得 到 的 是 ( ) A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)解 析 : 轴 对 称 是 沿 着 某 条 直 线 翻 转 得 到 新 图 形 , 通 过 轴 对 称 得 到 的 是 (1).答 案 : A.4.如 图 , 是 根 据 某 市 2010年 至 2014年 工 业 生 产 总 值
3、 绘 制 的 折 线 统 计 图 , 观 察 统 计 图 获 得 以下 信 息 , 其 中 信 息 判 断 错 误 的 是 ( ) A.2010年 至 2014年 间 工 业 生 产 总 值 逐 年 增 加B.2014年 的 工 业 生 产 总 值 比 前 一 年 增 加 了 40亿 元C.2012年 与 2013年 每 一 年 与 前 一 年 比 , 其 增 长 额 相 同D.从 2011 年 至 2014年 , 每 一 年 与 前 一 年 比 , 2014年 的 增 长 率 最 大解 析 : A、 2010年 至 2014年 间 工 业 生 产 总 值 逐 年 增 加 , 正 确 , 不
4、符 合 题 意 ;B、 2014年 的 工 业 生 产 总 值 比 前 一 年 增 加 了 40 亿 元 , 正 确 , 不 符 合 题 意 ;C、 2012年 与 2013年 每 一 年 与 前 一 年 比 , 其 增 长 额 相 同 , 正 确 , 不 符 合 题 意 ;D、 从 2011年 至 2014年 , 每 一 年 与 前 一 年 比 , 2012年 的 增 长 率 最 大 , 故 D符 合 题 意 .答 案 : D.5.关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x 2+(a2-2a)x+a-1=0的 两 个 实 数 根 互 为 相 反 数 , 则 a 的 值 为 ( )A.2B.0
5、C.1D.2或 0解 析 : 设 方 程 的 两 根 为 x1, x2, 根 据 根 与 系 数 的 关 系 得 a2-2a=0, 解 得 a=0或 a=2, 然 后 利 用判 别 式 的 意 义 确 定 a的 取 值 .答 案 : B.6.一 次 函 数 y=kx+b 满 足 kb 0, 且 y 随 x 的 增 大 而 减 小 , 则 此 函 数 的 图 象 不 经 过 ( )A.第 一 象 限B.第 二 象 限 C.第 三 象 限D.第 四 象 限解 析 : 根 据 y 随 x 的 增 大 而 减 小 得 : k 0, 又 kb 0, 则 b 0,故 此 函 数 的 图 象 经 过 第 二
6、 、 三 、 四 象 限 ,即 不 经 过 第 一 象 限 .答 案 : A.7.如 图 , CD 为 O的 直 径 , 弦 AB CD, 垂 足 为 M, 若 AB=12, OM: MD=5: 8, 则 O的 周 长 为( ) A.26B.13C.965D.39 105 解 析 : 连 接 OA, 根 据 垂 径 定 理 得 到 AM= 12 AB=6, 设 OM=5x, DM=8x, 得 到 OA=OD=13x, 根 据勾 股 定 理 得 到 OA=12 13, 于 是 得 到 结 论 . 答 案 : B.8.下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.(a2+2b2)-2(-a2+b2)=
7、3a2+b2B. 2 1 211 1a aaa a C.(-a) 3m am=(-1)ma2mD.6x2-5x-1=(2x-1)(3x-1)解 析 : 直 接 利 用 分 式 的 加 减 运 算 法 则 以 及 结 合 整 式 除 法 运 算 法 则 和 因 式 分 解 法 分 别 分 析 得 出答 案 .答 案 : C.9.如 图 , 四 边 形 ABCD 是 边 长 为 1 的 正 方 形 , E, F 为 BD 所 在 直 线 上 的 两 点 , 若 AE= 5, EAF=135 , 则 下 列 结 论 正 确 的 是 ( ) A.DE=1B.tan AFO=13C.AF= 102D.四
8、 边 形 AFCE 的 面 积 为 94解 析 : 根 据 正 方 形 的 性 质 求 出 AO 的 长 , 用 勾 股 定 理 求 出 EO 的 长 , 然 后 由 MAN=135 及 BAD=90 可 以 得 到 相 似 三 角 形 , 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 求 出 BF 的 长 , 再 一 一 计 算 即 可 判 断 .答 案 : C. 10.函 数 y= 2 1x x 的 大 致 图 象 是 ( )A. B.C. D.解 析 : 本 题 可 用 排 除 法 解 答 , 根 据 y 始 终 大 于 0, 可 排 除 D, 再 根 据 x 0 可 排 除 A, 根 据 函
9、数 y= 2 1x x 和 y= 32 x有 交 点 即 可 排 除 C, 即 可 解 题 .答 案 : B.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 6 小 题 , 每 小 题 3 分 , 共 18 分 )11.若 式 子 11 2x 有 意 义 , 则 x的 取 值 范 围 是 _.解 析 : 根 据 二 次 根 式 有 意 义 的 条 件 : 被 开 方 数 为 非 负 数 , 再 结 合 分 式 有 意 义 的 条 件 : 分 母 0, 可 得 不 等 式 1-2x 0, 再 解 不 等 式 即 可 .答 案 : x 12 .12.如 图 , AB CD, AE平 分 CAB 交 CD于
10、点 E, 若 C=48 , 则 AED 为 _ .解 析 : 根 据 平 行 线 性 质 求 出 CAB的 度 数 , 根 据 角 平 分 线 求 出 EAB的 度 数 , 根 据 平 行 线 性质 求 出 AED的 度 数 即 可 .答 案 : 114. 13.如 图 是 某 几 何 体 的 三 视 图 , 根 据 图 中 数 据 , 求 得 该 几 何 体 的 表 面 积 为 _.解 析 : 根 据 给 出 的 几 何 体 的 三 视 图 可 知 几 何 体 是 由 圆 柱 体 和 圆 锥 体 构 成 , 从 而 根 据 三 视 图 的 特 点 得 知 高 和 底 面 直 径 , 代 入
11、表 面 积 公 式 计 算 即 可 .答 案 : (225+25 2 ) .14.下 面 三 个 命 题 : 若 x ay b 是 方 程 组 22 3xx y 的 解 , 则 a+b=1 或 a+b=0; 函 数 y=-2x 2+4x+1通 过 配 方 可 化 为 y=-2(x-1)2+3; 最 小 角 等 于 50 的 三 角 形 是 锐 角 三 角 形 ,其 中 正 确 命 题 的 序 号 为 _.解 析 : 根 据 方 程 组 的 解 的 定 义 , 把 x ay b 代 入 22 3xx y , 即 可 判 断 ; 利 用 配 方 法 把 函 数 y=-2x2+4x+1化 为 顶 点
12、 式 , 即 可 判 断 ; 根 据 三 角 形 内 角 和 定 理 以 及 锐 角 三 角 形 的 定 义 即 可 判 断 .答 案 : .15.如 图 , 在 ABCD 中 , B=30 , AB=AC, O 是 两 条 对 角 线 的 交 点 , 过 点 O 作 AC 的 垂 线 分别 交 边 AD, BC于 点 E, F, 点 M是 边 AB的 一 个 三 等 分 点 , 则 AOE与 BMF 的 面 积 比 为 _. 解 析 : 作 MH BC于 H, 设 AB=AC=m, 则 BM=13 m, MH= 12 BM=16 m, 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 求 得OA=OC
13、= 12 AC= 12 m, 解 直 角 三 角 形 求 得 FC= 33 m, 然 后 根 据 ASA 证 得 AOE COF, 证 得AE=FC= 33 m, 进 一 步 求 得 OE=12 AE= 36 m, 从 而 求 得 S AOE= 324 m2, 作 AN BC于 N, 根 据 等腰 三 角 形 的 性 质 以 及 解 直 角 三 角 形 求 得 BC= 3 m, 进 而 求 得 BF=BC-FC= 3 m- 33 m= 2 33 m,分 别 求 得 AOE与 BMF 的 面 积 , 即 可 求 得 结 论 . 答 案 : 3: 4.16.我 国 魏 晋 时 期 数 学 家 刘
14、徽 首 创 “ 割 圆 术 ” 计 算 圆 周 率 .随 着 时 代 发 展 , 现 在 人 们 依 据 频 率估 计 概 率 这 一 原 理 , 常 用 随 机 模 拟 的 方 法 对 圆 周 率 进 行 估 计 , 用 计 算 机 随 机 产 生 m个 有 序 数 对 (x, y)(x, y 是 实 数 , 且 0 x 1, 0 y 1), 它 们 对 应 的 点 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 全 部在 某 一 个 正 方 形 的 边 界 及 其 内 部 .如 果 统 计 出 这 些 点 中 到 原 点 的 距 离 小 于 或 等 于 1 的 点 有 n个 , 则 据 此 可 估 计
15、 的 值 为 _.(用 含 m, n 的 式 子 表 示 )解 析 : 根 据 落 在 扇 形 内 的 点 的 个 数 与 正 方 形 内 点 的 个 数 之 比 等 于 两 者 的 面 积 之 比 列 出141 nm , 可 得 答 案 .答 案 : 4nm .三 、 解 答 题 (本 大 题 共 9 小 题 , 共 72 分 )17.(1)计 算 : 1 10 32 5 2 8 2 2 ( ) ; (2)先 化 简 , 再 求 值 : 22 22 4 4 12 4 2x x xx x x x , 其 中 x=- 65 .解 析 : (1)原 式 利 用 绝 对 值 的 代 数 意 义 化
16、简 , 去 括 号 合 并 即 可 得 到 结 果 ;(2)原 式 第 一 项 利 用 除 法 法 则 变 形 , 约 分 后 利 用 同 分 母 分 式 的 加 法 法 则 计 算 得 到 最 简 结 果 ,把 x 的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 .答 案 : (1)原 式 = 1 35 2 5 2 5 12 2 ;(2)原 式 = 22 22 1 1 1 32 2 2 22x xxx x x x x xx ,当 x=- 65 时 , 原 式 =- 54 . 18.如 图 , 等 腰 三 角 形 ABC中 , BD, CE分 别 是 两 腰 上 的 中 线 .(1)求 证 : B
17、D=CE;(2)设 BD 与 CE 相 交 于 点 O, 点 M, N 分 别 为 线 段 BO 和 CO 的 中 点 , 当 ABC 的 重 心 到 顶 点 A的 距 离 与 底 边 长 相 等 时 , 判 断 四 边 形 DEMN 的 形 状 , 无 需 说 明 理 由 .解 析 : (1)根 据 已 知 条 件 得 到 AD=AE, 根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 即 可 得 到 结 论 ; (2)根 据 三 角 形 中 位 线 的 性 质 得 到 ED BC, ED= 12 BC, MN BC, MN= 12 BC, 等 量 代 换 得 到 ED MN, ED=MN, 推 出
18、四 边 形 EDNM 是 平 行 四 边 形 , 由 (1)知 BD=CE, 求 得 DM=EN, 得 到 四 边 形EDNM是 矩 形 , 根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 得 到 OB=OC, 由 三 角 形 的 重 心 的 性 质 得 到 O到 BC 的 距 离 = 12 BC, 根 据 直 角 三 角 形 的 判 定 得 到 BD CE, 于 是 得 到 结 论 .答 案 : (1)解 : 由 题 意 得 , AB=AC, BD, CE 分 别 是 两 腰 上 的 中 线 , AD= 12 AC, AE= 12 AB, AD=AE,在 ABD和 ACE中AB ACA AAD AE
19、 , ABD ACE(ASA). BD=CE;(2)四 边 形 DEMN是 正 方 形 ,证 明 : E、 D 分 别 是 AB、 AC的 中 点 , AE= 12 AB, AD= 12 AC, ED是 ABC的 中 位 线 , ED BC, ED= 12 BC, 点 M、 N 分 别 为 线 段 BO和 CO中 点 , OM=BM, ON=CN, MN是 OBC的 中 位 线 , MN BC, MN= 12 BC, ED MN, ED=MN, 四 边 形 EDNM 是 平 行 四 边 形 , 由 (1)知 BD=CE,又 OE=ON, OD=OM, OM=BM, ON=CN, DM=EN,
20、四 边 形 EDNM 是 矩 形 ,在 BDC与 CEB中 , BE CDCE BDBC CB , BDC CEB, BCE= CBD, OB=OC, ABC的 重 心 到 顶 点 A的 距 离 与 底 边 长 相 等 , O 到 BC 的 距 离 = 12 BC, BD CE, 四 边 形 DEMN 是 正 方 形 . 19.为 了 解 某 地 某 个 季 度 的 气 温 情 况 , 用 适 当 的 抽 样 方 法 从 该 地 这 个 季 度 中 抽 取 30天 , 对 每天 的 最 高 气 温 x(单 位 : )进 行 调 查 , 并 将 所 得 的 数 据 按 照 12 x 16, 16
21、 x 20, 20 x 24, 24 x 28, 28 x 32分 成 五 组 , 得 到 如 图 频 数 分 布 直 方 图 .(1)求 这 30天 最 高 气 温 的 平 均 数 和 中 位 数 (各 组 的 实 际 数 据 用 该 组 的 组 中 值 代 表 ); (2)每 月 按 30 天 计 算 , 各 组 的 实 际 数 据 用 该 组 的 组 中 值 代 表 , 估 计 该 地 这 个 季 度 中 最 高 气 温超 过 (1)中 平 均 数 的 天 数 ;(3)如 果 从 最 高 气 温 不 低 于 24 的 两 组 内 随 机 选 取 两 天 , 请 你 直 接 写 出 这 两
22、 天 都 在 气 温 最 高一 组 内 的 概 率 .解 析 : (1)根 据 30 天 的 最 高 气 温 总 和 除 以 总 天 数 , 即 可 得 到 这 30天 最 高 气 温 的 平 均 数 , 再根 据 第 15 和 16个 数 据 的 位 置 , 判 断 中 位 数 ;(2)根 据 30天 中 , 最 高 气 温 超 过 (1)中 平 均 数 的 天 数 , 即 可 估 计 这 个 季 度 中 最 高 气 温 超 过 (1)中 平 均 数 的 天 数 ;(3)从 6 天 中 任 选 2 天 , 共 有 15 种 等 可 能 的 结 果 , 其 中 两 天 都 在 气 温 最 高
23、一 组 内 的 情 况 有 6种 , 据 此 可 得 这 两 天 都 在 气 温 最 高 一 组 内 的 概 率 .答 案 : (1)这 30天 最 高 气 温 的 平 均 数 为 : 14 8 18 6 22 10 26 2 30 430 =20.4 ; 中 位 数 落 在 第 三 组 内 , 中 位 数 为 22 ;(2) 30天 中 , 最 高 气 温 超 过 (1)中 平 均 数 的 天 数 为 16天 , 该 地 这 个 季 度 中 最 高 气 温 超 过 (1)中 平 均 数 的 天 数 为 1630 90=48(天 );(3)从 6 天 中 任 选 2 天 , 共 有 15 种
24、等 可 能 的 结 果 , 其 中 两 天 都 在 气 温 最 高 一 组 内 的 情 况 有 6种 ,故 这 两 天 都 在 气 温 最 高 一 组 内 的 概 率 为 6 215 5 .20.某 专 卖 店 有 A, B 两 种 商 品 , 已 知 在 打 折 前 , 买 60件 A 商 品 和 30件 B 商 品 用 了 1080元 , 买 50 件 A 商 品 和 10 件 B 商 品 用 了 840 元 , A, B 两 种 商 品 打 相 同 折 以 后 , 某 人 买 500 件 A商 品 和 450件 B商 品 一 共 比 不 打 折 少 花 1960元 , 计 算 打 了 多
25、 少 折 ?解 析 : 设 打 折 前 A 商 品 的 单 价 为 x 元 /件 、 B 商 品 的 单 价 为 y 元 /件 , 根 据 “ 买 60 件 A 商 品和 30 件 B 商 品 用 了 1080元 , 买 50 件 A 商 品 和 10件 B 商 品 用 了 840元 ” , 即 可 得 出 关 于 x、y的 二 元 一 次 方 程 组 , 解 之 即 可 得 出 x、 y 的 值 , 再 算 出 打 折 前 购 买 500件 A商 品 和 450件 B商 品 所 需 钱 数 , 结 合 少 花 钱 数 即 可 求 出 折 扣 率 .答 案 : 设 打 折 前 A 商 品 的
26、单 价 为 x元 /件 、 B商 品 的 单 价 为 y 元 /件 ,根 据 题 意 得 : 60 30 108050 10 840 x yx y ,解 得 : 164xy , 500 16+450 4=9800(元 ),9800 19609800 =0.8.答 : 打 了 八 折 .21.已 知 关 于 x 的 不 等 式 2 1 12 2m mx x .(1)当 m=1 时 , 求 该 不 等 式 的 解 集 ;(2)m取 何 值 时 , 该 不 等 式 有 解 , 并 求 出 解 集 .解 析 : (1)把 m=1代 入 不 等 式 , 求 出 解 集 即 可 ;(2)不 等 式 去 分
27、 母 , 移 项 合 并 整 理 后 , 根 据 有 解 确 定 出 m 的 范 围 , 进 而 求 出 解 集 即 可 .答 案 : (1)当 m=1时 , 不 等 式 为 2 1 12 2m mx x , 去 分 母 得 : 2-x x-2,解 得 : x 2;(2)不 等 式 去 分 母 得 : 2m-mx x-2,移 项 合 并 得 : (m+1)x 2(m+1),当 m -1 时 , 不 等 式 有 解 ,当 m -1 时 , 不 等 式 解 集 为 x 2;当 x -1 时 , 不 等 式 的 解 集 为 x 2.22.如 图 , 地 面 上 小 山 的 两 侧 有 A, B 两
28、地 , 为 了 测 量 A, B 两 地 的 距 离 , 让 一 热 气 球 从 小 山西 侧 A 地 出 发 沿 与 AB 成 30 角 的 方 向 , 以 每 分 钟 40m 的 速 度 直 线 飞 行 , 10 分 钟 后 到 达 C处 , 此 时 热 气 球 上 的 人 测 得 CB 与 AB 成 70 角 , 请 你 用 测 得 的 数 据 求 A, B 两 地 的 距 离 AB长 .(结 果 用 含 非 特 殊 角 的 三 角 函 数 和 根 式 表 示 即 可 ) 解 析 : 过 点 C作 CM AB交 AB延 长 线 于 点 M, 通 过 解 直 角 ACM得 到 AM的 长
29、度 , 通 过 解 直 角 BCM得 到 BM 的 长 度 , 则 AB=AM-BM.答 案 : 过 点 C 作 CM AB 交 AB延 长 线 于 点 M,由 题 意 得 : AC=40 10=400(米 ).在 直 角 ACM中 , A=30 , CM= 12 AC=200米 , AM= 32 AC=200 3米 .在 直 角 BCM中 , tan20 = BMCM , BM=200tan20 , AB=AM-BM=200 3-200tan20 =200( 3-tan20 ),因 此 A, B 两 地 的 距 离 AB长 为 200( 3-tan20 )米 .23.已 知 反 比 例 函
30、数 y= 2 1kx (k为 常 数 ). (1)若 点 P1(1 32 , y1)和 点 P2(-12, y2)是 该 反 比 例 函 数 图 象 上 的 两 点 , 试 利 用 反 比 例 函 数的 性 质 比 较 y1和 y2的 大 小 ;(2)设 点 P(m, n)(m 0)是 其 图 象 上 的 一 点 , 过 点 P 作 PM x 轴 于 点 M.若 tan POM=2,PO= 5 (O为 坐 标 原 点 ), 求 k的 值 , 并 直 接 写 出 不 等 式 kx+ 2 1k x 0 的 解 集 .解 析 : (1)先 根 据 反 比 例 函 数 的 解 析 式 判 断 出 函
31、数 图 象 所 在 的 象 限 及 其 增 减 性 , 再 根 据 P 1、P2两 点 的 横 坐 标 判 断 出 两 点 所 在 的 象 限 , 故 可 得 出 结 论 .(2)根 据 题 意 求 得 -n=2m, 根 据 勾 股 定 理 求 得 m=1, n=-2, 得 到 P(1, -2), 即 可 得 到 -k2-1=-2,即 可 求 得 k的 值 , 然 后 分 两 种 情 况 借 助 反 比 例 函 数 和 正 比 例 函 数 图 象 即 可 求 得 .答 案 : (1) -k2-1 0, 反 比 例 函 数 y= 2 1kx 在 每 一 个 象 限 內 y 随 x 的 增 大 而
32、 增 大 , 1 1 3 02 2 , y1 y2;(2)点 P(m, n)在 反 比 例 函 数 y= 2 1kx 的 图 象 上 , m 0, n 0, OM=m, PM=-n, tan POM=2, PM nOM m =2, -n=2m, PO= 5, m 2+(-n)2=5, m=1, n=-2, P(1, -2), -k2-1=-2,解 得 k= 1, 当 k=-1 时 , 则 不 等 式 kx+ 2 1k x 0 的 解 集 为 : x - 2 或 0 x 2 ; 当 k=1时 , 则 不 等 式 kx+ 2 1k x 0 的 解 集 为 : x 0. 24.如 图 , 点 A,
33、B, C, D 是 直 径 为 AB的 O 上 的 四 个 点 , C 是 劣 弧 BD的 中 点 , AC与 BD 交于 点 E.(1)求 证 : DC 2=CE AC;(2)若 AE=2, EC=1, 求 证 : AOD 是 正 三 角 形 ;(3)在 (2)的 条 件 下 , 过 点 C 作 O的 切 线 , 交 AB的 延 长 线 于 点 H, 求 ACH的 面 积 .解 析 : (1)由 圆 周 角 定 理 得 出 DAC= CDB, 证 明 ACD DCE, 得 出 对 应 边 成 比 例 , 即 可 得出 结 论 ;(2)求 出 DC= 3, 连 接 OC、 OD, 如 图 所
34、示 : 证 出 BC=DC= 3, 由 圆 周 角 定 理 得 出 ACB=90 ,由 勾 股 定 理 得 出 AB= 2 2AC BC =2 3, 得 出 OB=OC=OD=DC=BC= 3 , 证 出 OCD、 OBC是 正 三 角 形 , 得 出 COD= BOC= OBC=60 , 求 出 AOD=60 , 即 可 得 出 结 论 ;(3)由 切 线 的 性 质 得 出 OC CH, 求 出 H=30 , 证 出 H= BAC, 得 出 AC=CH=3, 求 出 AH和 高 , 由 三 角 形 面 积 公 式 即 可 得 出 答 案 .答 案 : (1)证 明 : C是 劣 弧 BD的
35、 中 点 , DAC= CDB, ACD= DCE, ACD DCE, AC CDDC CE , DC 2=CE AC;(2)证 明 : AE=2, EC=1, AC=3, DC2=CE AC=1 3=3, DC= 3,连 接 OC、 OD, 如 图 所 示 : C 是 劣 弧 BD的 中 点 , OC 平 分 DOB, BC=DC= 3, AB 是 O的 直 径 , ACB=90 , AB= 2 2AC BC =2 3, OB=OC=OD=DC=BC= 3, OCD、 OBC是 正 三 角 形 , COD= BOC= OBC=60 , AOD=180 -2 60 =60 , OA=OD, A
36、OD是 正 三 角 形 ;(3)解 : CH是 O 的 切 线 , OC CH, COH=60 , H=30 , BAC=90 -60 =30 , H= BAC, AC=CH=3, AH=3 3, AH上 的 高 为 BC?sin60 = 32 , ACH的 面 积 = 1 3 9 33 32 2 4 .25.在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 抛 物 线 y=ax2+bx+c 与 y 轴 交 于 点 C, 其 顶 点 记 为 M, 自 变 量x=-1和 x=5对 应 的 函 数 值 相 等 .若 点 M在 直 线 l: y=-12x+16 上 , 点 (3, -4)在 抛 物 线
37、 上 .(1)求 该 抛 物 线 的 解 析 式 ;(2)设 y=ax2+bx+c 对 称 轴 右 侧 x 轴 上 方 的 图 象 上 任 一 点 为 P, 在 x 轴 上 有 一 点 A(- 72 , 0),试 比 较 锐 角 PCO与 ACO的 大 小 (不 必 证 明 ), 并 写 出 相 应 的 P 点 横 坐 标 x 的 取 值 范 围 .(3)直 线 l 与 抛 物 线 另 一 交 点 记 为 B, Q为 线 段 BM 上 一 动 点 (点 Q 不 与 M 重 合 ), 设 Q点 坐 标为 (t, n), 过 Q 作 QH x 轴 于 点 H, 将 以 点 Q, H, O, C 为
38、 顶 点 的 四 边 形 的 面 积 S 表 示 为 t的 函 数 , 标 出 自 变 量 t 的 取 值 范 围 , 并 求 出 S 可 能 取 得 的 最 大 值 .解 析 : (1)根 据 已 知 条 件 得 到 抛 物 线 的 对 称 轴 为 x=2.设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=a(x-2) 2-8.将 (3,-4)代 入 得 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=4(x-2)2-8, 即 可 得 到 结 论 ;(2)由 题 意 得 : C(0, 8), M(2, -8), 如 图 , 当 PCO= ACO时 , 过 P 作 PH y 轴 于 H, 设 CP的 延 长 线 交
39、 x 轴 于 D, 则 ACD 是 等 腰 三 角 形 , 于 是 得 到 OD=OA= 72 , 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质得 到 x= 247 , 过 C 作 CE x轴 交 抛 物 线 与 E, 则 CE=4, 设 抛 物 线 与 x 轴 交 于 F, B, 则 B(2+ 2 ,0), 于 是 得 到 结 论 ;(3)解 方 程 组 得 到 D(-1, 28 得 到 Q(t, -12t+16)(-1 t 2), 当 -1 t 0 时 , 当 0 t 43 时 , 当 43 t 2 时 , 求 得 二 次 函 数 的 解 析 式 即 可 得 到 结 论 .答 案 : (1) 自
40、 变 量 x=-1和 x=5对 应 的 函 数 值 相 等 , 抛 物 线 的 对 称 轴 为 x=2. 点 M在 直 线 l: y=-12x+16 上 , yM=-8.设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=a(x-2)2-8.将 (3, -4)代 入 得 : a-8=-4, 解 得 : a=4. 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=4(x-2)2-8, 整 理 得 : y=4x2-16x+8.(2)由 题 意 得 : C(0, 8), M(2, -8),如 图 , 当 PCO= ACO时 , 过 P 作 PH y 轴 于 H, 设 CP 的 延 长 线 交 x 轴 于 D,则 ACD是 等
41、 腰 三 角 形 , OD=OA= 72 , P 点 的 横 坐 标 是 x, P 点 的 纵 坐 标 为 4x2-16x+8, PH OD, CHP COD, CH PHOC OD , x= 247 ,过 C 作 CE x 轴 交 抛 物 线 与 E, 则 CE=4,设 抛 物 线 与 x 轴 交 于 F, B,则 B(2+ 2 , 0), y=ax2+bx+c 对 称 轴 右 侧 x 轴 上 方 的 图 象 上 任 一 点 为 P, 当 x= 247 时 , PCO= ACO,当 2+ 2 x 247 时 , PCO ACO,当 247 x 4 时 , PCO ACO;(3)解 方 程 组
42、 212 164 16 8y xy x x , 解 得 : 128xy , D(-1, 28), Q 为 线 段 BM 上 一 动 点 (点 Q不 与 M 重 合 ), Q(t, -12t+16)(-1 t 2), 当 -1 t 0 时 , S= 12 (-t)(-12t+16-8)+8(-t)=6t2-12t=6(t-1)2-6, -1 t 0, 当 t=-1 时 , S 最 大 =18; 当 0 t 43 时 , S= 12 t 8+ 12 t(-12t+16)=-6t 2+12t=-6(t-1)2+6, 0 t 43 , 当 t=-1 时 , S 最 大 =6; 当 43 t 2时 , S= 12 t 8+ 12 (12t-16)=6t2-4t=6(t-13 )2- 23 , 43 t 2, 此 时 S 为 最 大 值 .