1、2017年 上 海 市 静 安 区 高 考 一 模 数 学一 、 填 空 题 (50分 )本 大 题 共 有 10 题 ， 要 求 在 答 题 纸 相 应 题 序 的 空 格 内 直 接 填 写 结 果 ， 每 个空 格 填 对 得 5 分 ， 否 则 一 律 得 零 分 .1.“ x 0” 是 “ x a” 的 充 分 非 必 要 条 件 ， 则 a的 取 值 范 围 是 _.解 析 ： 若 “ x 0” 是 “ x a” 的 充 分 非 必 要 条 件 ，则 a 的 取 值 范 围 是 (0， + ).答 案 ： (0， + ).2.函 数 f(x)=1-3sin 2(x+ 4 )的 最
2、小 正 周 期 为 _.解 析 ： 利 用 三 角 恒 等 变 换 化 简 函 数 的 解 析 式 ， 再 利 用 正 弦 函 数 的 周 期 性 ， 求 得 f(x)的 最 小正 周 期 .答 案 ： .3.若 复 数 z为 纯 虚 数 ， 且 满 足 (2-i)z=a+i(i为 虚 数 单 位 )， 则 实 数 a 的 值 为 _.解 析 ： 由 (2-i)z=a+i， 得 z= 2a ii ， 然 后 利 用 复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 化 简 复 数 z， 由 复 数z为 纯 虚 数 ， 列 出 方 程 组 ， 求 解 即 可 得 答 案 .答 案 ： 12 . 4.二
3、 项 式 (x2+ 1x )5展 开 式 中 x 的 系 数 为 _.解 析 ： 利 用 二 项 式 (x2+ 1x )5展 开 式 的 通 项 公 式 即 可 求 得 答 案 .答 案 ： 10.5.用 半 径 1米 的 半 圆 形 薄 铁 皮 制 作 圆 锥 型 无 盖 容 器 ， 其 容 积 为 _立 方 米 .解 析 ： 由 已 知 求 出 圆 锥 的 底 面 半 径 ， 进 一 步 求 得 高 ， 代 入 圆 锥 体 积 公 式 得 答 案 .答 案 ： 324 .6.已 知 为 锐 角 ， 且 cos( + 4 )= 35 ， 则 sin =_. 解 析 ： 由 为 锐 角 求 出
4、 + 4 的 范 围 ， 利 用 同 角 三 角 函 数 间 的 基 本 关 系 求 出 sin( + 4 )的值 ， 所 求 式 子 中 的 角 变 形 后 ， 利 用 两 角 和 与 差 的 正 弦 函 数 公 式 化 简 ， 将 各 自 的 值 代 入 计 算 即可 求 出 值 .答 案 ： 210 . 7.根 据 相 关 规 定 ， 机 动 车 驾 驶 人 血 液 中 的 酒 精 含 量 大 于 (等 于 )20毫 克 /100毫 升 的 行 为 属 于饮 酒 驾 车 .假 设 饮 酒 后 ， 血 液 中 的 酒 精 含 量 为 p0 毫 克 /100 毫 升 ， 经 过 x 个 小
5、时 ， 酒 精 含 量降 为 p 毫 克 /100毫 升 ， 且 满 足 关 系 式 p=p0 erx(r为 常 数 ).若 某 人 饮 酒 后 血 液 中 的 酒 精 含 量为 89 毫 克 /100 毫 升 ， 2 小 时 后 ， 测 得 其 血 液 中 酒 精 含 量 降 为 61 毫 克 /100 毫 升 ， 则 此 人 饮酒 后 需 经 过 _小 时 方 可 驾 车 .(精 确 到 小 时 )解 析 ： 先 求 出 er= 6189 ， 再 利 用 89 exr 20， 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： 8.8.已 知 奇 函 数 f(x)是 定 义 在 R 上 的 增 函 数
6、， 数 列 x n是 一 个 公 差 为 2 的 等 差 数 列 ， 满 足f(x7)+f(x8)=0， 则 x2017的 值 为 _.解 析 ： 设 x7=x， 则 x8=x+2， 则 f(x)+f(x+2)=0， 结 合 奇 函 数 关 于 原 点 的 对 称 性 可 知 ，f(x+1)=0=f(0)， x7=-1.设 数 列 xn通 项 xn=x7+2(n-7).得 到 通 项 xn=2n-15.由 此 能 求 出 x2011的值 .答 案 ： 4019.9.直 角 三 角 形 ABC中 ， AB=3， AC=4， BC=5， 点 M 是 三 角 形 ABC外 接 圆 上 任 意 一 点
7、 ， 则 AB AM的 最 大 值 为 _.解 析 ： 建 立 坐 标 系 ， 设 M ( 32 + 52 cos ， 2+ 52 sin )， 则 AM =( 32 + 52 cos ， 2+ 52 sin )，AB =(3， 0)， AB AM = 92 +152 cos 12.答 案 ： 12.10.已 知 f(x)=ax-b(a 0 且 且 a 1， b R)， g(x)=x+1， 若 对 任 意 实 数 x 均 有 f(x) g(x) 0， 则 1 4a b 的 最 小 值 为 _.解 析 ： 根 据 对 任 意 实 数 x均 有 f(x) g(x) 0， 求 出 a， b的 关 系
8、 ， 可 求 1 4a b 的 最 小 值 .答 案 ： 4.二 、 选 择 题 (25 分 )本 大 题 共 有 5 题 ， 每 题 都 给 出 四 个 结 论 ， 其 中 有 且 只 有 一 个 结 论 是 正 确的 ， 必 须 把 答 题 纸 上 相 应 题 序 内 的 正 确 结 论 代 号 涂 黑 ， 选 对 得 5 分 ， 否 则 一 律 得 零 分 . 11.若 空 间 三 条 直 线 a、 b、 c 满 足 a b， b c， 则 直 线 a与 c( )A.一 定 平 行B.一 定 相 交C.一 定 是 异 面 直 线D.平 行 、 相 交 、 是 异 面 直 线 都 有 可
9、能解 析 ： 如 图 所 示 ： a b， b c， a与 c可 以 相 交 ， 异 面 直 线 ， 也 可 能 平 行 .从 而 若 直 线 a、 b、 c满 足 a b、 b c， 则 a c， 或 a 与 c 相 交 ， 或 a 与 c 异 面 .答 案 ： D.12.在 无 穷 等 比 数 列 an中 ， limn (a1+a2+ +an)= 12 ， 则 a1的 取 值 范 围 是 ( )A.(0， 12 )B.( 12 ， 1)C.(0， 1)D.(0， 12 ) ( 12 ， 1) 解 析 ： 利 用 无 穷 等 比 数 列 和 的 极 限 ， 列 出 方 程 ， 推 出 a1的
10、 取 值 范 围 .答 案 ： D.13.某 班 班 会 准 备 从 含 甲 、 乙 的 6 名 学 生 中 选 取 4 人 发 言 ， 要 求 甲 、 乙 两 人 至 少 有 一 人 参 加 ，那 么 不 同 的 发 言 顺 序 有 ( )A.336种B.320种C.192种D.144种解 析 ： 根 据 题 意 ， 分 2 种 情 况 讨 论 ， 只 有 甲 乙 其 中 一 人 参 加 ， 甲 乙 两 人 都 参 加 ， 由 排 列 、组 合 计 算 可 得 其 符 合 条 件 的 情 况 数 目 ， 由 加 法 原 理 计 算 可 得 答 案 .答 案 ： A. 14.已 知 椭 圆 C
11、1， 抛 物 线 C2焦 点 均 在 x 轴 上 ， C1的 中 心 和 C2顶 点 均 为 原 点 O， 从 每 条 曲 线 上各 取 两 个 点 ， 将 其 坐 标 记 录 于 表 中 ， 则 C1的 左 焦 点 到 C2的 准 线 之 间 的 距 离 为 ( )A. 2 -1B. 3 -1 C.1D.2解 析 ： 由 表 可 知 ： 抛 物 线 C2焦 点 在 x 轴 的 正 半 轴 ， 设 抛 物 线 C2： y2=2px(p 0)， 则 有 2yx =2p(x 0)， 将 (3， -2 3 )， (4， -4)在 C2上 ， 代 入 求 得 2p=4， 即 可 求 得 抛 物 线 方
12、 程 ， 求 得 准 线方 程 ， 设 椭 圆 C 1： 2 22 2x ya b =1(a b 0)， 把 点 (-2， 0)， ( 2 ， 22 )， 即 可 求 得 椭 圆 方 程 ，求 得 焦 点 坐 标 ， 即 可 求 得 C1的 左 焦 点 到 C2的 准 线 之 间 的 距 离 .答 案 ： B.15.已 知 y=g(x)与 y=h(x)都 是 定 义 在 (- ， 0) (0， + )上 的 奇 函 数 ， 且 当 x 0 时 ，g(x)= 2 0 11 1x xg x x ， ， ， h(x)=klog 2x(x 0)， 若 y=g(x)-h(x)恰 有 4 个 零 点 ，
13、则 正 实 数 k的 取 值 范 围 是 ( )A. 12 ， 1B.( 12 ， 1C.( 12 ， log 32D. 12 ， log32解 析 ： 问 题 转 化 为 g(x)和 h(x)有 4个 交 点 ， 画 出 函 数 g(x)， h(x)的 图 象 ， 结 合 图 象 得 到 关于 k 的 不 等 式 组 ， 解 出 即 可 .答 案 ： C.三 、 解 答 题 (本 题 满 分 75分 )本 大 题 共 有 5题 ， 解 答 下 列 各 题 必 须 在 答 题 纸 的 规 定 区 域 (对 应的 题 号 )内 写 出 必 要 的 步 骤 .16.已 知 正 四 棱 柱 ABCD
14、-A 1B1C1D1， AB=a， AA1=2a， E， F分 别 是 棱 AD， CD的 中 点 .(1)求 异 面 直 线 BC1与 EF 所 成 角 的 大 小 ；(2)求 四 面 体 CA1EF 的 体 积 .解 析 ： (1)连 接 A1C1， 由 E， F分 别 是 棱 AD， CD的 中 点 ， 可 得 EF AC， 进 一 步 得 到 EF A1C1，可 知 A1C1B为 异 面 直 线 BC1与 EF所 成 角 .然 后 求 解 直 角 三 角 形 得 答 案 ；(2)直 接 利 用 等 体 积 法 把 四 面 体 CA1EF 的 体 积 转 化 为 三 棱 锥 A1-EFC
15、 的 体 积 求 解 .答 案 ： (1)连 接 A1C1， E， F分 别 是 棱 AD， CD的 中 点 ， EF AC， 则 EF A1C1， A1C1B 为 异 面 直 线 BC1与 EF所 成 角 .在 A1C1B 中 ， 由 AB=a， AA1=2a， 得 C1B=A1B=5a， A1C1=2a， cos A1C1B= 2 102 105 aa ， 异 面 直 线 BC 1与 EF所 成 角 的 大 小 为 arccos 1010 ；(2) 1 1 31 1 23 2 2 2 12C A EF A EFC a a aV V a .17.设 双 曲 线 C： 2 22 3x y =1
16、， F 1， F2为 其 左 右 两 个 焦 点 .(1)设 O 为 坐 标 原 点 ， M 为 双 曲 线 C右 支 上 任 意 一 点 ， 求 1OM FM 的 取 值 范 围 ；(2)若 动 点 P与 双 曲 线 C 的 两 个 焦 点 F1， F2的 距 离 之 和 为 定 值 ， 且 cos F1PF2的 最 小 值 为 - 19 ，求 动 点 P 的 轨 迹 方 程 .解 析 ： (1)设 M(x， y)， x 2 ， 左 焦 点 F 1(- 5 ， 0)， 通 过 1OM FM =(x， y) (x+ 5 ， y)利 用 二 次 函 数 的 性 质 求 出 对 称 轴 x=- 5
17、5 2 ， 求 出 1OM FM 的 取 值 范 围 .(2)写 出 P 点 轨 迹 为 椭 圆 2 22 2x ya b =1， 利 用 |F1F2|=2 5 ， |PF1|+|PF2|=2a， 结 合 余 弦 定 理 ，以 及 基 本 不 等 式 求 解 椭 圆 方 程 即 可 .答 案 ： (1)设 M(x， y)， x 2 ， 左 焦 点 F 1(- 5 ， 0)， 1OM FM =(x， y) (x+ 5 ，y)=x2+ 5 x+y2=x2+ 5 x+ 232x -3= 52 x2+ 5 x-3(x 2 )对 称 轴 x=- 55 2 ， 1OM FM 2+ 10 ， + )(2)由
18、 椭 圆 定 义 得 ： P 点 轨 迹 为 椭 圆 2 22 2x ya b =1， |F1F2|=2 5 ， |PF1|+|PF2|=2acosF1PF2= 2 21 21 2 202PF PFPF PF = 2 1 21 24 2 202a PF PFPF PF = 21 24 202 1aPF PF 由 基 本 不 等 式 得 2a=|PF 1|+|PF2| 1 22 PF PF ，当 且 仅 当 |PF1|=|PF2|时 等 号 成 立 |PF1| |PF2| a2cos F1PF2 2 24 20 12a a =- 19 a2=9，b2=4所 求 动 点 P的 轨 迹 方 程 为
19、2 29 4x y =1.18.在 某 海 滨 城 市 附 近 海 面 有 一 台 风 ， 据 监 测 ， 当 前 台 风 中 心 位 于 城 市 A(看 做 一 点 )的 东 偏南 角 方 向 (cos = 210 )， 300km 的 海 面 P处 ， 并 以 20km/h的 速 度 向 西 偏 北 45 方 向 移 动 . 台 风 侵 袭 的 范 围 为 圆 形 区 域 ， 当 前 半 径 为 60km， 并 以 10km/h的 速 度 不 断 增 大 .(1)问 10 小 时 后 ， 该 台 风 是 否 开 始 侵 袭 城 市 A， 并 说 明 理 由 ；(2)城 市 A 受 到 该
20、台 风 侵 袭 的 持 续 时 间 为 多 久 ？ 解 析 ： (1)建 立 直 角 坐 标 系 ， ， 则 城 市 A(0， 0)， 当 前 台 风 中 心 P(30 2 ， -210 2 )， 设 t小 时 后 台 风 中 心 P 的 坐 标 为 (x， y)， 由 题 意 建 立 方 程 组 ， 能 求 出 10小 时 后 ， 该 台 风 还 没 有开 始 侵 袭 城 市 A.(2)t小 时 后 台 风 侵 袭 的 范 围 可 视 为 以 P(30 2 -10 2 t， -210 2 +10 2 t)为 圆 心 ， 60+10t为 半 径 的 圆 ， 由 此 利 用 圆 的 性 质 能
21、求 出 结 果 .答 案 ： (1)如 图 建 立 直 角 坐 标 系 ， 则 城 市 A(0， 0)， 当 前 台 风 中 心 P(30 2 ， -210 2 )，设 t 小 时 后 台 风 中 心 P 的 坐 标 为 (x， y)，则 30 2 10 2210 2 10 2x ty t ， 此 时 台 风 的 半 径 为 60+10t，10小 时 后 ， |PA| 184.4km， 台 风 的 半 径 为 r=160km， r |PA|， 10 小 时 后 ， 该 台 风 还 没 有 开 始 侵 袭 城 市 A.(2)由 (1)知 t小 时 后 台 风 侵 袭 的 范 围 可 视 为 以
22、P(30 2 -10 2 t， -210 2 +10 2 t)为 圆 心 ，60+10t为 半 径 的 圆 ，若 城 市 A 受 到 台 风 侵 袭 ， 则 2 230 2 10 2 0 210 2 10 2 0t t (60+10t)， 300t2-10800t+86400 0， 即 t2-36t+288 0，解 得 12 t 24 该 城 市 受 台 风 侵 袭 的 持 续 时 间 为 12 小 时 .19.设 集 合 Ma=f(x)|存 在 正 实 数 a， 使 得 定 义 域 内 任 意 x都 有 f(x+a) f(x).(1)若 f(x)=2 x-x2， 试 判 断 f(x)是 否
23、为 M1中 的 元 素 ， 并 说 明 理 由 ；(2)若 g(x)=x3- 14 x+3， 且 g(x) Ma， 求 a的 取 值 范 围 ；(3)若 h(x)=log3(x+ kx )， x 1， + )(k R)， 且 h(x) M2， 求 h(x)的 最 小 值 .解 析 ： (1)利 用 f(1)=f(0)=1， 判 断 f(x)M1.(2)f(x+a)-f(x) 0， 化 简 ， 通 过 判 别 式 小 于 0， 求 出 a 的 范 围 即 可 .(3)由 f(x+a)-f(x) 0， 推 出 h(x+2)-h(x)=log 3(x+2)+ 2kx -log3(x+ kx ) 0，
24、 得 到x+2+ 2kx x+ kx 0对 任 意 x 1， + )都 成 立 ， 然 后 分 离 变 量 ， 通 过 当 -1 k 0时 ， 当0 k 1 时 ， 分 别 求 解 最 小 值 即 可 .答 案 ： (1) f(1)=f(0)=1， f(x)M1. (2)由 g(x+a)-g(x)=(x+a)3-x3- 14 (x+a)+ 14 x=3ax2+3a2x+a3- 14 a 0 =9a4-12a(a3- 14 a) 0， 故 a 1.(3)由 h(x+2)-h(x)=log3(x+2)+ 2kx -log3(x+ kx ) 0，即 ： log3(x+2)+ 2kx log3(x+
25、kx ) x+2+ 2kx x+ kx 0 对 任 意 x 1， + )都 成 立 2 2 3 1k x x kkk x -1 k 3 当 -1 k 0时 ， h(x)min=h(1)=log3(1+k)；当 0 k 1时 ， h(x)min=h(1)=log3(1+k)；当 1 k 3时 ， h(x)min=h( k )=log3(2 k ).综 上 ： h(x)min= 33 1 1 12 1 3log k klog k k ， ， .20.由 n(n 2)个 不 同 的 数 构 成 的 数 列 a 1， a2， an中 ， 若 1 i j n 时 ， aj ai(即 后 面 的项 aj小
26、 于 前 面 项 ai)， 则 称 ai与 aj构 成 一 个 逆 序 ， 一 个 有 穷 数 列 的 全 部 逆 序 的 总 数 称 为 该 数列 的 逆 序 数 .如 对 于 数 列 3， 2， 1， 由 于 在 第 一 项 3 后 面 比 3 小 的 项 有 2 个 ， 在 第 二 项 2 后面 比 2 小 的 项 有 1 个 ， 在 第 三 项 1 后 面 比 1 小 的 项 没 有 ， 因 此 ， 数 列 3， 2， 1 的 逆 序 数 为2+1+0=3； 同 理 ， 等 比 数 列 1， - 12 ， 14 ， -18 的 逆 序 数 为 4.(1)计 算 数 列 an=-2n+1
27、9(1 n 100， n N*)的 逆 序 数 ；(2)计 算 数 列 a n= 13 1n nn nn ， 奇， 偶为 数为 数 (1 n k， n N*)的 逆 序 数 ；(3)已 知 数 列 a1， a2， an的 逆 序 数 为 a， 求 an， an-1， a1的 逆 序 数 .解 析 ： (1)由 an为 单 调 递 减 数 列 ， 可 得 逆 序 数 为 99+98+ +1.(2)当 n 为 奇 数 时 ， a1 a3 a2n-1 0.当 n 为 偶 数 时 ： 0 a2 a4 a2n.可 得 逆 序 数 .(3)在 数 列 a1， a2， an中 ， 若 a1与 后 面 n-1
28、 个 数 构 成 p1个 逆 序 对 ， 则 有 (n-1)-p1不 构 成 逆序 对 ， 可 得 在 数 列 a n， an-1， a1中 ， 逆 序 数 为 (n-1)-p1+(n-2)-p2+ +(n-n)-pn.答 案 ： (1) an为 单 调 递 减 数 列 ， 逆 序 数 为 99+98+ +1= 99 1 992 =4950.(2)当 n 为 奇 数 时 ， a1 a3 a2n-1 0.当 n 为 偶 数 时 ： an-an-2= 21 1n nn n (n 4)= 2 21n = 21 1n n 0 0 a2 a4 a2n.当 k 为 奇 数 时 ， 逆 序 数 为 (k-1)+(k-3)+ +2+ 32k + 52k + +1= 23 4 18k k ；当 k 为 偶 数 时 ， 逆 序 数 为 (k-1)+(k-3)+ +1+ 22k + 42k + +1= 23 28k k .(3)在 数 列 a 1， a2， an中 ， 若 a1与 后 面 n-1个 数 构 成 p1个 逆 序 对 ，则 有 (n-1)-p1不 构 成 逆 序 对 ， 所 以 在 数 列 an， an-1， a1中 ，逆 序 数 为 (n-1)-p1+(n-2)-p2+ +(n-n)-pn= 12n n -a.
