1、2017年 上 海 市 长 宁 区 高 考 一 模 数 学一 、 填 空 题 (共 12 小 题 ， 1-6每 题 4 分 ， 7-12每 题 5分 ， 共 54分 )1.设 集 合 A=x|x-2| 1， x R， 集 合 B=Z， 则 A B=_.解 析 ： |x-2| 1， 即 -1 x-2 1， 解 得 1 x 3， 即 A=(1， 3)，集 合 B=Z，则 A B=2.答 案 ： 22.函 数 sin( )3y x ( 0)的 最 小 正 周 期 是 ， 则 =_.解 析 ： sin( )3y x ( 0)， | |2T ， =2.答 案 ： 23.设 i为 虚 数 单 位 ， 在
2、复 平 面 上 ， 复 数 232 i 对 应 的 点 到 原 点 的 距 离 为 _.解 析 ： 复 数 2 3 3 43 3 9 123 4 3 4 3 4 252 i ii i ii 对 应 的 点 9 125( )225， 到 原 点 的 距 离= 2 29 12 325 25 5 . 答 案 ： 354.若 函 数 f(x)=log2(x+1)+a的 反 函 数 的 图 象 经 过 点 (4， 1)， 则 实 数 a=_.解 析 ： 函 数 f(x)=log2(x+1)+a的 反 函 数 的 图 象 经 过 点 (4， 1)，即 函 数 f(x)=log2(x+1)+a的 图 象 经
3、 过 点 (1， 4)， 4=log2(1+1)+a 4=1+a，a=3.答 案 ： 35.已 知 (a+3b) n展 开 式 中 ， 各 项 系 数 的 和 与 各 项 二 项 式 系 数 的 和 之 比 为 64， 则 n=_.解 析 ： 令 二 项 式 中 的 a=b=1 得 到 展 开 式 中 的 各 项 系 数 的 和 4n又 各 项 二 项 式 系 数 的 和 为 2n据 题 意 得 4 642nn ， 解 得 n=6.答 案 ： 66.甲 、 乙 两 人 从 5 门 不 同 的 选 修 课 中 各 选 修 2 门 ， 则 甲 、 乙 所 选 的 课 程 中 恰 有 1 门 相 同
4、 的 选法 有 _种 .解 析 ： 根 据 题 意 ， 采 用 间 接 法 ： 由 题 意 可 得 ， 所 有 两 人 各 选 修 2门 的 种 数 2 25 5 100C C ， 两 人 所 选 两 门 都 相 同 的 有 为 25 10C 种 ， 都 不 同 的 种 数 为 2 25 3 30C C ，故 只 恰 好 有 1 门 相 同 的 选 法 有 100-10-30=60种 .答 案 ： 607.若 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 是 半 径 为 2cm， 圆 心 角 为 270 的 扇 形 ， 则 这 个 圆 锥 的 体 积 为 _cm3.解 析 ： 设 此 圆 锥 的 底 面 半
5、 径 为 r， 由 题 意 ， 得 ：32 22r ，解 得 32r .故 圆 锥 的 高 9 74 4 2h ， 圆 锥 的 体 积 2 31 3 73 8V r h cm .答 案 ： 3 78 .8.若 数 列 an的 所 有 项 都 是 正 数 ， 且 21 2 3na a a n n (n N*)， 则1 221lim 2 3 1nn aa an n ( )=_.解 析 ： 21 2 3na a a n n (n N*)， n=1时 ， 1 4a ， 解 得 a 1=16.n 2 时 ， 且 21 2 1 ( 1) 3( 1)na a a n n ， 可 得 ： 2 2na n ，
6、an=4(n+1)2. 4( 1)1na nn . 1 22 2(2 1)41 2lim ( ) lim 22 3 1nn n n naa an n n .答 案 ： 2.9.如 图 ， 在 ABC中 ， B=45 ， D是 BC边 上 的 一 点 ， AD=5， AC=7， DC=3， 则 AB 的 长 为 _. 解 析 ： 在 ADC中 ， AD=5， AC=7， DC=3，由 余 弦 定 理 得 2 2 2 1cos 2 2AD DC ACADC AD DC ， ADC=120 ， ADB=60在 ABD中 ， AD=5， B=45 ， ADB=60 ，由 正 弦 定 理 得 sin s
7、inAB ADADB B ， 5 62AB 答 案 ： 5 6210.有 以 下 命 题 ： 若 函 数 f(x)既 是 奇 函 数 又 是 偶 函 数 ， 则 f(x)的 值 域 为 0； 若 函 数 f(x)是 偶 函 数 ， 则 f(|x|)=f(x)； 若 函 数 f(x)在 其 定 义 域 内 不 是 单 调 函 数 ， 则 f(x)不 存 在 反 函 数 ； 若 函 数 f(x)存 在 反 函 数 f -1(x)， 且 f-1(x)与 f(x)不 完 全 相 同 ， 则 f(x)与 f-1(x)图 象 的 公 共点 必 在 直 线 y=x上 ；其 中 真 命 题 的 序 号 是 _
8、.(写 出 所 有 真 命 题 的 序 号 )解 析 ： 若 函 数 f(x)既 是 奇 函 数 又 是 偶 函 数 ， 则 f(x)=0， 为 常 数 函 数 ， 所 以 f(x)的 值 域 是0，所 以 正 确 . 若 函 数 为 偶 函 数 ， 则 f(-x)=f(x)， 所 以 f(|x|)=f(x)成 立 ， 所 以 正 确 . 因 为 函 数 1( )f x x 在 定 义 域 上 不 单 调 ， 但 函 数 f(x)存 在 反 函 数 ， 所 以 错 误 . 原 函 数 图 象 与 其 反 函 数 图 象 的 交 点 关 于 直 线 y=x对 称 ， 但 不 一 定 在 直 线
9、y=x上 ，比 如 函 数 1y x 与 其 反 函 数 y=x 2-1(x 0)的 交 点 坐 标 有 (-1， 0)， (0， 1)，显 然 交 点 不 在 直 线 y=x上 ， 所 以 错 误 .答 案 ： .11.设 向 量 OA=(1， -2)， OB =(a， -1)， OC =(-b， 0)， 其 中 O 为 坐 标 原 点 ， a 0， b 0，若 A、 B、 C三 点 共 线 ， 则 1 2a b 的 最 小 值 为 _.解 析 ： 向 量 OA=(1， -2)， OB =(a， -1)， OC =(-b， 0)， 其 中 O为 坐 标 原 点 ， a 0， b 0， 1(
10、)1AB OB OA a ， ， 1( )2AC OC OA b ， ， A、 B、 C三 点 共 线 ， AB AC ， 1 11 2a b ，解 得 2a+b=1， 1 2 1 2 4 42 2 2 4 2 8b a b aa ba b a b a b a b ， 当 且 仅 当 a= 14 ， b= 12 ，取 等 号 ，故 1 2a b 的 最 小 值 为 8.答 案 ： 812.如 图 ， 已 知 正 三 棱 柱 ABC-A 1B1C1的 底 面 边 长 为 2cm， 高 为 5cm， 一 质 点 自 A点 出 发 ， 沿 着三 棱 柱 的 侧 面 绕 行 两 周 到 达 A1点 的
11、 最 短 路 线 的 长 为 _cm. 解 析 ： 将 正 三 棱 柱 ABC-A1B1C1沿 侧 棱 展 开 ， 再 拼 接 一 次 ， 其 侧 面 展 开 图 如 图 所 示 ，在 展 开 图 中 ， 最 短 距 离 是 六 个 矩 形 对 角 线 的 连 线 的 长 度 ， 也 即 为 三 棱 柱 的 侧 面 上 所 求 距 离 的最 小 值 .由 已 知 求 得 矩 形 的 长 等 于 6 2=12， 宽 等 于 5， 由 勾 股 定 理 2 212 5 13d .答 案 ： 13 二 、 选 择 题 (共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 满 分 20 分 )13.“ x 2”
12、 是 “ x2 4” 的 ( )A.充 分 非 必 要 条 件B.必 要 非 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 非 充 分 也 非 必 要 条 件解 析 ： 由 x2 4， 解 得 ： -2 x 2，故 x 2 是 x2 4的 必 要 不 充 分 条 件 .答 案 ： B.14.若 无 穷 等 差 数 列 a n的 首 项 a1 0， 公 差 d 0， an的 前 n 项 和 为 Sn， 则 以 下 结 论 中 一 定正 确 的 是 ( )A.Sn单 调 递 增B.Sn单 调 递 减C.Sn有 最 小 值D.Sn有 最 大 值解 析 ： 21 112 2 2n n n d dS na d
13、 n a n ， 2d 0， S n有 最 小 值 .答 案 ： C.15.给 出 下 列 命 题 ： (1)存 在 实 数 使 3sin cos 2 .(2)直 线 2x 是 函 数 y=sinx 图 象 的 一 条 对 称 轴 .(3)y=cos(cosx)(x R)的 值 域 是 cos1， 1.(4)若 ， 都 是 第 一 象 限 角 ， 且 ， 则 tan tan .其 中 正 确 命 题 的 题 号 为 ( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)解 析 ： (1) 3sin cos 2 s ( 4)in 2 ， (1)错 误 ；(2) y=sinx图 象
14、 的 对 称 轴 方 程 为 2 ( )x k k Z ， k=-1， 2x ， (2)正 确 ； (3)根 据 余 弦 函 数 的 性 质 可 得 y=cos(cosx)的 最 大 值 为 ymax=cos0=1， ymin=cos(cos1)， 其 值 域是 cos1， 1， (3)正 确 ；(4)不 妨 令 94 ， 3 ， 满 足 ， 都 是 第 一 象 限 角 ， 且 ， 但 tan tan ，(4)错 误 .答 案 ： B.16.如 果 对 一 切 实 数 x、 y， 不 等 式 2 9cos sin4y x a x y 恒 成 立 ， 则 实 数 a的 取 值 范 围 是( )A
15、.(- ， 43 B.3， + ) C. 2 2 22 ，D.-3， 3解 析 ： 实 数 x、 y， 不 等 式 2 9cos sin4y x a x y 恒 成 立 29 sin 1 sin4y a x xy 恒 成 立 ，令 9( ) 4yf y y ，则 asinx+1-sin 2x f(y)min，当 y 0 时 ， 9 9( ) 2 34 4y yf y y y (当 且 仅 当 y=6时 取 “ =” )， f(y)min=3；当 y 0 时 ， 9 9( ) 2 ( ) ( ) 34 4y yf y y y (当 且 仅 当 y=-6时 取 “ =” )， f(y)max=-3
16、，f(y)min不 存 在 ；综 上 所 述 ， f(y) min=3.所 以 ， asinx+1-sin2x 3， 即 asinx-sin2x 2 恒 成 立 . 若 sinx 0， 2sin sina x x 恒 成 立 ， 令 sinx=t， 则 0 t 1， 再 令 2( )g t t t (0 t 1)， 则 a g(t)min. 由 于 22( ) 1 0g t t ，所 以 ， 2( )g t t t 在 区 间 (0， 1上 单 调 递 减 ，因 此 ， g(t)min=g(1)=3，所 以 a 3； 若 sinx 0， 则 2sin sina x x 恒 成 立 ， 同 理
17、可 得 a -3； 若 sinx=0， 0 2 恒 成 立 ， 故 a R；综 合 ， -3 a 3.答 案 ： D.三 、 解 答 题 (共 5 小 题 ， 满 分 76 分 )17.如 图 ， 已 知 AB 平 面 BCD， BC CD， AD与 平 面 BCD所 成 的 角 为 30 ， 且 AB=BC=2； (1)求 三 棱 锥 A-BCD 的 体 积 ；(2)设 M 为 BD 的 中 点 ， 求 异 面 直 线 AD 与 CM所 成 角 的 大 小 (结 果 用 反 三 角 函 数 值 表 示 ).解 析 ： (1)由 AB 平 面 BCD， 得 CD 平 面 ABC， 由 此 能
18、求 出 三 棱 锥 A-BCD 的 体 积 .(2)以 C 为 原 点 ， CD 为 x 轴 ， CB为 y轴 ， 过 C作 平 面 BCD的 垂 线 为 z轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标系 ， 由 此 能 求 出 异 面 直 线 AD 与 CM所 成 角 的 大 小 .答 案 ： (1)如 图 ， 因 为 AB 平 面 BCD，所 以 AB CD， 又 BC CD， 所 以 CD 平 面 ABC， 因 为 AB 平 面 BCD， AD 与 平 面 BCD所 成 的 角 为 30 ， 故 ADB=30 ，由 AB=BC=2， 得 AD=4， 2 2AC ， 16 4 2 3BD ， 2
19、 22 3 2 2 2CD ，则 1 1 1 4 22 2 2 23 6 6 3A BCD BCDV S AB BC CD AB . (2)以 C 为 原 点 ， CD为 x轴 ， CB 为 y 轴 ， 过 C 作 平 面 BCD的 垂 线 为 z 轴 ，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 A(0， 2， 2)， D(2 2 ， 0， 0)， C(0， 0， 0)， B(0， 2， 0)， M( 2 ， 1， 0)，(2 2 2 2)AD ， ， ， ( 21 0)CM ， ， ，设 异 面 直 线 AD 与 CM所 成 角 为 ，则 2 3cos 64 3AD CMAD CM .3a
20、rccos 6 . 异 面 直 线 AD 与 CM所 成 角 的 大 小 为 3arccos 6 .18.在 ABC中 ， a， b， c分 别 是 角 A， B， C的 对 边 ， 且 28sin 2cos2 72B C A . (I)求 角 A 的 大 小 ；(II)若 a= 3 ， b+c=3， 求 b和 c的 值 .解 析 ： (I)在 ABC中 有 B+C= -A， 由 条 件 可 得 ： 41-cos(B+C)-4cos2A+2=7， 解 方 程 求 得cosA 的 值 ， 即 可 得 到 A 的 值 .(II)由 余 弦 定 理 2 2 2 1cos 2 2b c aA bc 及
21、 a= 3 ， b+c=3， 解 方 程 组 求 得 b和 c的 值 .答 案 ： (I)在 ABC中 有 B+C= -A， 由 条 件 可 得 ： 41-cos(B+C)-4cos2A+2=7，又 cos(B+C)=-cosA， 4cos 2A-4cosA+1=0.解 得 cosA 12 ， 又 A (0， )， 3A .(II)由 cosA 12 知 2 2 2 12 2b c abc ， 即 (b+c)2-a2 3bc.又 a 3 ， b+c 3， 代 入 得 bc 2.由 3 12 2b c bbc c 或 21bc .19.某 地 要 建 造 一 个 边 长 为 2(单 位 ： km
22、)的 正 方 形 市 民 休 闲 公 园 OABC， 将 其 中 的 区 域 ODC 开挖 成 一 个 池 塘 ， 如 图 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 后 ， 点 D 的 坐 标 为 (1， 2)， 曲 线 OD是 函 数 y=ax 2图 象 的 一 部 分 ， 对 边 OA 上 一 点 M 在 区 域 OABD内 作 一 次 函 数 y=kx+b(k 0)的 图 象 ， 与 线 段DB交 于 点 N(点 N 不 与 点 D 重 合 )， 且 线 段 MN 与 曲 线 OD有 且 只 有 一 个 公 共 点 P， 四 边 形 MABN为 绿 化 风 景 区 ：(1)求 证 ： 28kb
23、 ；(2)设 点 P 的 横 坐 标 为 t， 用 t 表 示 M、 N两 点 坐 标 ； 将 四 边 形 MABN的 面 积 S表 示 成 关于 t 的 函 数 S=S(t)， 并 求 S 的 最 大 值 . 解 析 ： (1)根 据 函 数 y=ax2过 点 D， 求 出 解 析 式 y=2x2； 由 22y kx by x 消 去 y， 利 用 =0 证 明 结 论 成 立 ；(2) 写 出 点 P 的 坐 标 (t， 2t2)， 代 入 直 线 MN的 方 程 ， 用 t 表 示 出 直 线 方 程 ，利 用 直 线 方 程 求 出 M、 N 的 坐 标 ； 将 四 边 形 MABN的
24、 面 积 S 表 示 成 关 于 t 的 函 数 S(t)，利 用 基 本 不 等 式 即 可 求 出 S 的 最 大 值 .答 案 ： (1)证 明 ： 函 数 y=ax2过 点 D(1， 2)，代 入 计 算 得 a=2， y=2x 2；由 22y kx by x ， 消 去 y 得 2x2-kx-b=0，由 线 段 MN 与 曲 线 OD有 且 只 有 一 个 公 共 点 P，得 =(-k)2-4 2 b=0，解 得 28kb ；(2)解 ： 设 点 P 的 横 坐 标 为 t， 则 0 t 1， 点 P(t， 2t 2)； 直 线 MN 的 方 程 为 y=kx+b，即 28ky kx
25、 过 点 P， 2 228kkt t ，解 得 k=4t；y=4tx-2t 2令 y=0， 解 得 x= 2t ， M( 2t ， 0)；令 y=2， 解 得 12 2tx t ， N( 12 2t t ， 2)； 将 四 边 形 MABN的 面 积 S 表 示 成 关 于 t 的 函 数 为1 1 12 2 2 ( ) 4 ( )2 2 2 2 2t tS S t tt t （ ） ， 其 中 0 t 1；由 1 12 22 2t tt t ， 当 且 仅 当 12t t ， 即 22t 时 “ =” 成 立 ，所 以 4 2 2S ； 即 S 的 最 大 值 是 4 2 2 . 20.已
26、知 函 数 ( ) 9 2 3 3x xf x a ：(1)若 a=1， x 0， 1时 ， 求 f(x)的 值 域 ；(2)当 x -1， 1时 ， 求 f(x)的 最 小 值 h(a)；(3)是 否 存 在 实 数 m、 n， 同 时 满 足 下 列 条 件 ： n m 3； 当 h(a)的 定 义 域 为 m， n时 ，其 值 域 为 m2， n2， 若 存 在 ， 求 出 m、 n的 值 ， 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)设 t=3x， 则 (t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2， (t)的 对 称 轴 为 t=a， 当 a=1时 ， 即 可求
27、出 f(x)的 值 域 ；(2)由 函 数 (t)的 对 称 轴 为 t=a， 分 类 讨 论 当 a 13 时 ， 当 13 a 3时 ， 当 a 3 时 ， 求 出最 小 值 ， 则 h(a)的 表 达 式 可 求 ； (3)假 设 满 足 题 意 的 m， n存 在 ， 函 数 h(a)在 (3， + )上 是 减 函 数 ， 求 出 h(a)的 定 义 域 ， 值域 ， 然 后 列 出 不 等 式 组 ， 求 解 与 已 知 矛 盾 ， 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： (1) 函 数 ( ) 9 2 3 3x xf x a ，设 t=3x， t 1， 3，则 (t)=t2-2at
28、+3=(t-a)2+3-a2， 对 称 轴 为 t=a.当 a=1时 ， (t)=(t-1)2+2 在 1， 3递 增 ， (t) (1)， (3)， 函 数 f(x)的 值 域 是 ： 2， 6；( ) 函 数 (t)的 对 称 轴 为 t=a，当 x -1， 1时 ， t 13 ， 3，当 a 13 时 ， min 1 28 2( )3 9 3ay h a （ ） ； 当 13 a 3时 ， ymin=h(a)= (a)=3-a2；当 a 3 时 ， ymin=h(a)= (3)=12-6a.故 228 2 19 3 31( ) 3 3312 6 3a ah a a aa a ， ， ，
29、；( )假 设 满 足 题 意 的 m， n 存 在 ， n m 3， h(a)=12-6a， 函 数 h(a)在 (3， + )上 是 减 函 数 .又 h(a)的 定 义 域 为 m， n， 值 域 为 m 2， n2，则 2212 612 6m nn m ，两 式 相 减 得 6(n-m)=(n-m) (m+n)，又 n m 3， m-n 0， m+n=6， 与 n m 3矛 盾 . 满 足 题 意 的 m， n 不 存 在 .21.已 知 无 穷 数 列 a n的 各 项 都 是 正 数 ， 其 前 n 项 和 为 Sn， 且 满 足 ： a1=a， rSn=anan+1-1， 其 中
30、a 1， 常 数 r N；(1)求 证 ： an+2-an是 一 个 定 值 ；(2)若 数 列 an是 一 个 周 期 数 列 (存 在 正 整 数 T， 使 得 对 任 意 n N*， 都 有 an+T=an成 立 ， 则 称 an为 周 期 数 列 ， T为 它 的 一 个 周 期 ， 求 该 数 列 的 最 小 周 期 ；(3)若 数 列 an是 各 项 均 为 有 理 数 的 等 差 数 列 ， cn=2 3n-1(n N*)， 问 ： 数 列 cn中 的 所 有 项是 否 都 是 数 列 an中 的 项 ？ 若 是 ， 请 说 明 理 由 ， 若 不 是 ， 请 举 出 反 例 .
31、解 析 ： (1)由 rSn=anan+1-1， 利 用 迭 代 法 得 ： ran+1=an+1(an+2-an)， 由 此 能 够 证 明 an+2-an为 定 值 .(2)当 n=1 时 ， ra=aa 2-1， 故 2 1 raa a ， 根 据 数 列 是 隔 项 成 等 差 ， 写 出 数 列 的 前 几 项 ， 再由 r 0 和 r=0 两 种 情 况 进 行 讨 论 ， 能 够 求 出 该 数 列 的 周 期 .(3)因 为 数 列 an是 一 个 有 理 等 差 数 列 ， 所 以 12a a r r a ， 化 简 2a2-ar-2=0， 解 得a是 有 理 数 ， 由 此
32、 入 手 进 行 合 理 猜 想 ， 能 够 求 出 Sn.答 案 ： (1)证 明 ： rSn=anan+1-1， rS n+1=an+1an+2-1， - ， 得 ： ran+1=an+1(an+2-an)， an 0， an+2-an=r.(2)解 ： 当 n=1 时 ， ra=aa2-1， 2 1 raa a ，根 据 数 列 是 隔 项 成 等 差 ， 写 出 数 列 的 前 几 项 ： a， r+ 1a ， a+r， 2r+ 1a ， a+2r， 3r+ 1a ， .当 r 0 时 ， 奇 数 项 和 偶 数 项 都 是 单 调 递 增 的 ， 所 以 不 可 能 是 周 期 数
33、列 ， r=0时 ， 数 列 写 出 数 列 的 前 几 项 ： a， 1a ， a， 1a ， .所 以 当 a 0 且 a 1时 ， 该 数 列 的 周 期 是 2，(3)解 ： 因 为 数 列 an是 一 个 有 理 等 差 数 列 ， a+a+r=2(r+ 1a )， 化 简 2a2-ar-2=0， 2 164r ra 是 有 理 数 .设 2 16r =k， 是 一 个 完 全 平 方 数 ，则 r2+16=k2， r， k 均 是 非 负 整 数 r=0时 ， a=1， an=1， Sn=n.r 0 时 (k-r)(k+r)=16=2 8=4 4可 以 分 解 成 8组 ，其 中 只 有 35rk ， 符 合 要 求 ，此 时 a=2， 3 12n na ， 3 54n n nS ， 12 3nnc (n N*)， a n=1时 ， 不 符 合 ， 舍 去 .3 12n na 时 ， 若 1 3 12 3 2n k ， 则 ： 3k=4 3n-1-1， n=2时 ， 113k ， 不 是 整 数 ，因 此 数 列 cn中 的 所 有 项 不 都 是 数 列 an中 的 项 .
