1、2017年 上 海 市 高 考 模 拟 数 学一 、 填 空 题 (本 大 题 满 分 54 分 ， 1-6每 小 题 4 分 ， 7-12每 小 题 4 分 )1.计 算 ： 4 32 1 =_.解 析 ： 利 用 二 阶 行 列 式 对 角 线 法 则 直 接 求 解 .答 案 ： -2.2.设 函 数 f(x)= x 的 反 函 数 是 f -1(x)， 则 f-1(4)=_.解 析 ： 先 求 出 x=y2， y 0， 互 换 x， y， 得 f-1(x)=x2， x 0， 由 此 能 求 出 f-1(4).答 案 ： 16.3.已 知 复 数 z=1+ 3 i(i为 虚 数 单 位
2、)， 则 |z|=_.解 析 ： 利 用 复 数 模 的 计 算 公 式 即 可 得 出 .答 案 ： 2.4.函 数 f(x)=sinx+ 3 cosx， 若 存 在 锐 角 满 足 f( )=2， 则 =_.解 析 ： 运 用 两 角 和 的 正 弦 公 式 和 特 殊 角 的 正 弦 函 数 值 ， 计 算 即 可 得 到 所 求 值 . 答 案 ： 6 .5.已 知 球 的 半 径 为 R， 若 球 面 上 两 点 A， B的 球 面 距 离 为 3R ， 则 这 两 点 A， B间 的 距 离 为 _.解 析 ： 两 点 A、 B 间 的 球 面 距 离 为 3R ， 可 得 AOB
3、= 3 ， 即 可 求 出 两 点 A， B 间 的 距 离 .答 案 ： R.6.若 (2+x) n的 二 项 展 开 式 中 ， 所 有 二 项 式 的 系 数 和 为 256， 则 正 整 数 n=_.解 析 ： 由 题 意 可 得 ： 2n=256， 解 得 n=8.答 案 ： 8.7.设 k为 常 数 ， 且 cos( 4 - )=k， 则 用 k表 示 sin2 的 式 子 为 sin2 =_.解 析 ： 利 用 两 角 差 的 余 弦 函 数 公 式 化 简 已 知 等 式 ， 进 而 两 边 平 方 利 用 二 倍 角 的 正 弦 函 数 公 式 ，同 角 三 角 函 数 基
4、本 关 系 式 即 可 求 解 .答 案 ： sin2 =2k 2-1.8.设 椭 圆 2 24x y =1 的 两 个 焦 点 为 F1， F2， M 是 椭 圆 上 任 一 动 点 ， 则 1 2MF MF 的 取 值 范 围 为 _.解 析 ： 由 题 意 可 知 ： 焦 点 坐 标 为 F1(- 3 ， 0)， F2( 3 ， 0)， 设 点 M坐 标 为 M(x， y)， 可 得y2=1- 24x ， 1 2MF MF =(- 3 -x， -y) ( 3 -x， -y)=x2-3+1- 24x = 234x -2， 则 x2 0， 4，1 2MF MF 的 取 值 范 围 为 -2，
5、 1.答 案 ： -2， 1.9.在 ABC 中 ， 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 是 a， b， c， 若 a 2-b2= 3 bc， sinC=2 3 sinB， 则A角 大 小 为 _.解 析 ： 先 利 用 正 弦 定 理 化 简 sinC=2 3 sinB， 得 到 c 与 b 的 关 系 式 ， 代 入 a2-b2= 3 bc中 得到 a2与 b2的 关 系 式 ， 然 后 利 用 余 弦 定 理 表 示 出 cosA， 把 表 示 出 的 关 系 式 分 别 代 入 即 可 求 出cosA的 值 ， 根 据 A 的 范 围 ， 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数
6、 值 即 可 求 出 A 的 值 .答 案 ： 6 .10.设 f(x)=lgx， 若 f(1-a)-f(a) 0， 则 实 数 a的 取 值 范 围 为 _.解 析 ： 由 题 意 ， f(x)=lgx在 (0， + )上 单 调 递 增 ， 利 用 f(-a)-f(a) 0， 可 得 -a a 0， 即可 求 出 实 数 a 的 取 值 范 围 . 答 案 ： (0， 12 ).11.已 知 数 列 an满 足 ： a1=1， an+1+an=( 13 )n， n N*， 则 2lim nn a =_.解 析 ： 由 已 知 推 导 出 S2n= 38 (1- 213 n )， S2n-1
7、=1+ 18 (1- 2 113 n )， 从 而 a2n=S2n-S2n-1= 38(1- 213 n )-1+ 18 (1- 2 113 n )， 由 此 能 求 出 2lim nn a .答 案 ： - 34 .12.已 知 ABC的 面 积 为 360， 点 P 是 三 角 形 所 在 平 面 内 一 点 ， 且 1 14 4AP AB AC ， 则 PAB的 面 积 为 _.解 析 ： 取 AB的 中 点 D， AC的 中 点 E， 则 P 为 DE的 中 点 ， 利 用 相 似 比 ， 可 得 结 论 .答 案 ： 90.二 、 选 择 题 (本 大 题 满 分 20 分 )13.
8、已 知 集 合 A=x|x -1， 则 下 列 选 项 正 确 的 是 ( )A.0A B.0AC. AD.0 A解 析 ： 根 据 元 素 与 集 合 的 关 系 ， 用 ， 集 合 与 集 合 的 关 系 ， 用 ， 可 得 结 论 .答 案 ： B.14.设 x， y R， 则 “ |x|+|y| 1” 的 一 个 充 分 条 件 是 ( )A.|x| 1B.|x+y| 1C.y -2D.|x| 12 且 |y| 12解 析 ： 根 据 充 分 条 件 和 必 要 条 件 的 定 义 进 行 判 断 即 可 . 答 案 ： C.15.图 中 曲 线 的 方 程 可 以 是 ( )A.(x
9、+y-1) (x 2+y2-1)=0B. 1x y (x2+y2-1)=0C.(x+y-1) 2 2 1x y =0D. 1x y 2 2 1x y =0解 析 ： 由 图 象 可 知 曲 线 的 方 程 可 以 是 x 2+y2=1或 x+y-1=0(x2+y2 1)， 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： C.16.已 知 非 空 集 合 M 满 足 ： 对 任 意 x M， 总 有 x2M 且 x M， 若 M0， 1， 2， 3， 4， 5，则 满 足 条 件 M 的 个 数 是 ( )A.11B.12C.15D.16解 析 ： 由 题 意 M 是 集 合 2， 3， 4， 5的 非
10、空 子 集 ， 且 2， 4 不 同 时 出 现 ， 同 时 出 现 有 4 个 ，即 可 得 出 结 论 . 答 案 ： A. 三 、 解 答 题 (本 大 题 满 分 76 分 )17.已 知 A 是 圆 锥 的 顶 点 ， BD 是 圆 锥 底 面 的 直 径 ， C 是 底 面 圆 周 上 一 点 ， BD=2， BC=1， AC与底 面 所 成 角 的 大 小 为 3 ， 过 点 A 作 截 面 ABC， ACD， 截 去 部 分 后 的 几 何 体 如 图 所 示 .(1)求 原 来 圆 锥 的 侧 面 积 ；(2)求 该 几 何 体 的 体 积 .解 析 ： (1)设 BD的 中
11、 点 为 O， 连 结 OA， OC， 则 OA 平 面 BCD.由 经 能 求 出 S 圆 锥 侧 .(2)该 几 何 体 的 体 积 V= 13 (S BCD+S 半 圆 ) AO， 由 此 能 求 出 结 果 .答 案 ： (1)设 BD的 中 点 为 O， 连 结 OA， OC， A 是 圆 锥 的 顶 点 ， BD 是 圆 锥 底 面 的 直 径 ， OA 平 面 BCD. BD=2， BC=1， AC 与 底 面 所 成 角 的 大 小 为 3 ， 过 点 A 作 截 面 ABC， ACD， 在 Rt AOC中 ， OC=1， ACO= 3 ，AC=2， AO= 3 ， S 圆 锥
12、 侧 = rl= 22 2=2 .(2)该 几 何 体 为 三 棱 锥 与 半 个 圆 锥 的 组 合 体 ， AO= 3 ， BCD=90 ， CD= 3 ，该 几 何 体 的 体 积 V= 13 (S BCD+S 半 圆 ) AO=1 1 3 31 3 33 2 2 6( ) .18.已 知 双 曲 线 ： 2 22 2x ya b =1(a 0， b 0)， 直 线 l： x+y-2=0， F1， F2为 双 曲 线 的 两 个焦 点 ， l 与 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 平 行 且 过 其 中 一 个 焦 点 .(1)求 双 曲 线 的 方 程 ； (2)设 与 l 的 交
13、点 为 P， 求 F1PF2的 角 平 分 线 所 在 直 线 的 方 程 .解 析 ： (1)依 题 意 ， 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y= x， 焦 点 坐 标 为 F1(-2， 0)， F2(2， 0)， 即 可求 双 曲 线 的 方 程 ；(2)设 与 l 的 交 点 为 P， 求 出 P 的 坐 标 ， 利 用 夹 角 公 式 ， 即 可 求 F1PF2的 角 平 分 线 所 在 直线 的 方 程 .答 案 ： (1)依 题 意 ， 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y= x， 焦 点 坐 标 为 F1(-2， 0)， F2(2， 0)， 双 曲 线 方 程 为
14、x2-y2=2；(2) 2 2 22 0 x yx y P( 32 ， 12 )， 显 然 F 1PF2的 角 平 分 线 所 在 直 线 斜 率 k存 在 ， 且 k 0，1 17PFk ， 2PFk =-1， 于 是 1 21 21 1PF PFPF PFk k k kk k k k k=3. y- 12 =3(x- 32 )3x-y-4=0为 所求 .19.某 租 车 公 司 给 出 的 财 务 报 表 如 下 ： 有 投 资 者 在 研 究 上 述 报 表 时 ， 发 现 租 车 公 司 有 空 驶 情 况 ， 并 给 出 空 驶 率 的 计 算 公 式 为 T=t akak 100%
15、.(1)分 别 计 算 2014， 2015年 该 公 司 的 空 驶 率 的 值 (精 确 到 0.01%)；(2)2016年 该 公 司 加 强 了 流 程 管 理 ， 利 用 租 车 软 件 ， 降 低 了 空 驶 率 并 提 高 了 平 均 每 单 里 程 ，核 算 截 止 到 11 月 30 日 ， 空 驶 率 在 2015 年 的 基 础 上 降 低 了 20 个 百 分 点 ， 问 2016 年 前 11个 月 的 平 均 每 单 油 费 和 平 均 每 单 里 程 分 别 为 多 少 ？ (分 别 精 确 到 0.01元 和 0.01 公 里 )解 析 ： (1)根 据 空 驶
16、 率 的 计 算 公 式 为 T=t akak 100%， 带 入 计 算 即 可 ；(2)根 据 T 2016的 值 ， 求 出 k 的 值 ， 从 而 求 出 2016年 前 11 个 月 的 平 均 每 单 油 费 和 平 均 每 单 里程 .答 案 ： (1)T2014=14.82 0.7 150.7 15 100% 41.14%， T2015=14.49 0.7 150.7 15 100% 38.00%， 2014、 2015年 ， 该 公 司 空 驶 率 分 别 为 41.14%和 38.00%.(2)t2016= 65321496350331996 12.98， T2016=38
17、%-20%=18%.由 T 2016=12.98 0.70.7 kk 100% 18.00%k=15.71， 2016年 前 11个 月 的 平 均 每 单 油 费 为 12.98 元 ，平 均 每 单 里 程 为 15.71km. 20.已 知 数 列 an， bn与 函 数 f(x)， an是 首 项 a1=15， 公 差 d 0 的 等 差 数 列 ， bn满 足 ：bn=f(an).(1)若 a4， a7， a8成 等 比 数 列 ， 求 d 的 值 ；(2)若 d=2， f(x)=|x-21|， 求 bn的 前 n 项 和 Sn；(3)若 d=-1， f(x)=ex， Tn=b1 b
18、2 b3 bn， 问 n 为 何 值 时 ， Tn的 值 最 大 ？解 析 ： (1)由 a4， a7， a8成 等 比 数 列 ， 可 得 27a =a4 a8， 可 得 (15+6d)2=(15+3d)(15+7d)， 化 简解 出 即 可 得 出 .(2)依 题 意 ， a n=15+2(n-1)=2n+13， bn=|2n-8|， 对 n 分 类 讨 论 ， 利 用 等 差 数 列 的 求 和 公 式 即可 得 出 .(3)依 题 意 ， an=15-(n-1)=16-n， bn=e16-n， 利 用 指 数 运 算 性 质 、 等 差 数 列 的 求 和 公 式 及 其 二 次函 数
19、 的 单 调 性 即 可 得 出 .答 案 ： (1) a4， a7， a8成 等 比 数 列 ， 27a =a4 a8， (15+6d)2=(15+3d)(15+7d)， 化 为 ： d2+2d=0， d 0， d=-2.(2)依 题 意 ， a n=15+2(n-1)=2n+13， bn=|2n-8|， bn=|2n-8|= 8 2 42 8 4n nn n ， ， Sn=|b1|+|b2|+|b3|+ +|bn|= 227 47 24 4n n nn n n ， ， .(3)依 题 意 ， a n=15-(n-1)=16-n， bn=e16-n，Tn=b1 b2 b3 bn= 21 2
20、1 312n n na a ae e ， 当 n=15 或 16时 ， Tn最 大 .21.对 于 函 数 f(x)， 若 存 在 实 数 m， 使 得 f(x+m)-f(m)为 R 上 的 奇 函 数 ， 则 称 f(x)是 位 差 值为 m 的 “ 位 差 奇 函 数 ” .(1)判 断 函 数 f(x)=2x+1 和 g(x)=2 x是 否 为 位 差 奇 函 数 ？ 说 明 理 由 ；(2)若 f(x)=sin(x+ )是 位 差 值 为 4 的 位 差 奇 函 数 ， 求 的 值 ；(3)若 f(x)=x3+bx2+cx 对 任 意 属 于 区 间 - 12 ， + )中 的 m 都
21、 不 是 位 差 奇 函 数 ， 求 实 数 b， c满 足 的 条 件 .解 析 ： (1)根 据 “ 位 差 奇 函 数 ” 的 定 义 .考 查 h(x)=g(x+m)-g(m)=2x+m-2m=2m(2x-1)即 可 ，(2)依 题 意 ， f(x+ 4 )-f( 4 )=sin(x+ 4 + )-sin( 4 + )是 奇 函 数 ， 求 出 ；(3)记 h(x)=f(x+m)-f(m)=(x+m) 3+b(x+m)2+c(x+m)-m3-bm2-cm=x3+(3m+b)x2+(3m2+2bm+c)x.假设 h(x)是 奇 函 数 ， 则 3m+b=0， 此 时 b=-3m 32 .
22、故 要 使 h(x)不 是 奇 函 数 ， 必 须 且 只 需 b 32 .答 案 ： (1)对 于 f(x)=2x+1， f(x+m)-f(m)=2(x+m)+1-(2m+1)=2x， 对 任 意 实 数 m， f(x+m)-f(m)是 奇 函 数 ， 即 f(x)是 位 差 值 为 任 意 实 数 m的 “ 位 差 奇 函 数 ” ；对 于 g(x)=2x， 记 h(x)=g(x+m)-g(m)=2x+m-2m=2m(2x-1)，由 h(x)+h(-x)=2m(2x-1)+2m(2-x-1)=0， 当 且 仅 当 x=0 等 式 成 立 ， 对 任 意 实 数 m， g(x+m)-g(m)
23、都 不 是 奇 函 数 ， 则 g(x)不 是 “ 位 差 奇 函 数 ” ；(2)依 题 意 ， f(x+ 4 )-f( 4 )=sin(x+ 4 + )-sin( 4 + )是 奇 函 数 ， 4 + =k =k - 4 (k Z).(3)记 h(x)=f(x+m)-f(m)=(x+m) 3+b(x+m)2+c(x+m)-m3-bm2-cm=x3+(3m+b)x2+(3m2+2bm+c)x.依 题 意 ， h(x)对 任 意 m - 12 ， + )都 不 是 奇 函 数 ，若 h(x)是 奇 函 数 ， 则 3m+b=0， 此 时 b=-3m 32 .故 要 使 h(x)不 是 奇 函 数 ， 必 须 且 只 需 b 32 ， 且 c R.
