1、2017年 上 海 市 宝 山 区 中 考 一 模 数 学一 、 选 择 题 : (本 大 题 共 6 题 , 每 题 4 分 , 满 分 24 分 )1.已 知 A=30 , 下 列 判 断 正 确 的 是 ( )A.sinA= 12B.cosA= 12C.tanA= 12D.cotA= 12 解 析 : 根 据 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 进 行 判 断 即 可 A=30 , sinA= 12 , cosA= 32 , tanA= 33 , cotA= 3 .答 案 : A.2.如 果 C 是 线 段 AB 的 黄 金 分 割 点 C, 并 且 AC CB, AB=1, 那 么 A
2、C的 长 度 为 ( )A. 23B. 12 C. 5 12D. 3 2 5解 析 : C是 线 段 AB的 黄 金 分 割 点 C, AC CB, 52 25 1 1AC AB .答 案 : C.3.二 次 函 数 y=x 2+2x+3 的 定 义 域 为 ( )A.x 0B.x为 一 切 实 数C.y 2D.y为 一 切 实 数解 析 : 二 次 函 数 y=x2+2x+3 的 定 义 域 为 x 为 一 切 实 数 . 答 案 : B4.已 知 非 零 向 量 ar、 br之 间 满 足 3a br r, 下 列 判 断 正 确 的 是 ( )A.ar的 模 为 3B.ar与 br的 模
3、 之 比 为 -3: 1C.ar与 br平 行 且 方 向 相 同D.ar与 br平 行 且 方 向 相 反解 析 : 根 据 向 量 的 长 度 和 方 向 , 可 得 答 案 . A、 由 3a br r, 得 3a br r , 故 A 错 误 ;B、 由 3a br r, 得 3a br r , |ar|: |br|=3: 1, 故 B 错 误 ;C、 由 3a br r, 得 ar与 br方 向 相 反 , 故 C错 误 ;D、 由 3a br r, 得 ar与 br平 行 且 方 向 相 反 , 故 D 正 确 .答 案 : D.5.如 果 从 甲 船 看 乙 船 , 乙 船 在
4、甲 船 的 北 偏 东 30 方 向 , 那 么 从 乙 船 看 甲 船 , 甲 船 在 乙 船 的( )A.南 偏 西 30 方 向 B.南 偏 西 60 方 向C.南 偏 东 30 方 向D.南 偏 东 60 方 向解 析 : 根 据 题 意 正 确 画 出 图 形 进 而 分 析 得 出 从 乙 船 看 甲 船 的 方 向 .如 图 所 示 :可 得 1=30 , 从 甲 船 看 乙 船 , 乙 船 在 甲 船 的 北 偏 东 30 方 向 , 从 乙 船 看 甲 船 , 甲 船 在 乙 船 的 南 偏 西 30 方 向 .答 案 : A.6.二 次 函 数 y=a(x+m)2+n的 图
5、 象 如 图 , 则 一 次 函 数 y=mx+n的 图 象 经 过 ( ) A.第 一 、 二 、 三 象 限B.第 一 、 二 、 四 象 限C.第 二 、 三 、 四 象 限D.第 一 、 三 、 四 象 限解 析 : 抛 物 线 的 顶 点 在 第 四 象 限 , -m 0, n 0, m 0, 一 次 函 数 y=mx+n 的 图 象 经 过 二 、 三 、 四 象 限 .答 案 : C.二 、 填 空 题 : (本 大 题 共 12 小 题 , 每 题 4 分 , 满 分 48分 ) 7.已 知 2a=3b, 则 ab .解 析 : 比 例 的 基 本 性 质 : 两 外 项 之
6、积 等 于 两 内 项 之 积 . 2a=3b, 32ab .答 案 : 32 .8.如 果 两 个 相 似 三 角 形 的 相 似 比 为 1: 4, 那 么 它 们 的 面 积 比 为 .解 析 : 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 : 相 似 三 角 形 的 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方 即 可 解 得 . 两 个 相 似 三 角 形 的 相 似 比 为 1: 4, 它 们 的 面 积 比 为 1: 16. 答 案 : 1: 16.9.如 图 , D 为 ABC 的 边 AB 上 一 点 , 如 果 ACD= ABC 时 , 那 么 图 中 是 AD 和 AB 的 比
7、例 中 项 . 解 析 : 根 据 两 角 分 别 相 等 的 两 个 三 角 形 相 似 , 可 得 ACD ABC 的 关 系 , 根 据 相 似 三 角 形的 性 质 , 可 得 答 案 .在 ACD与 ABC中 , ACD= ABC, A= A, ACD ABC, AD ACAC AB , AC 是 AD和 AB的 比 例 中 项 .答 案 : AC.10.如 图 , ABC中 C=90 , 若 CD AB于 D, 且 BD=4, AD=9, 则 tanA= . 解 析 : 先 证 明 BDC CDA, 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 求 出 CD 的 长 度 , 然 后 根
8、据 锐 角 三 角 函数 的 定 义 即 可 求 出 tanA 的 值 . BCD+ DCA= DCA+ A=90 , BCD= A, CD AB, BDC= CDA=90 , BDC CDA, CD 2=BD AD, CD=6, tan 23CDA AD .答 案 : 23 .11.计 算 : 2 3 5a b b r r r .解 析 : 可 根 据 向 量 的 加 法 法 则 进 行 计 算 , 可 得 答 案 . 2 3 5 2 6 5 2a b b a b b a b r r r r r r r r. 答 案 : 2a br r.12.如 图 , G为 ABC的 重 心 , 如 果
9、AB=AC=13, BC=10, 那 么 AG的 长 为 . 解 析 : 延 长 AG 交 BC 于 D, 根 据 重 心 的 概 念 得 到 BAD= CAD, 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 求 出BD, 根 据 勾 股 定 理 和 重 心 的 性 质 计 算 即 可 .延 长 AG交 BC 于 D, G 为 ABC的 重 心 , BAD= CAD, AB=AC, BD= 12 BC=5, AD BC,由 勾 股 定 理 得 , AD= 2 2AB BD =12, G 为 ABC的 重 心 , AG= 23 AD=8.答 案 : 8.13.二 次 函 数 y=5(x-4) 2+3
10、向 左 平 移 二 个 单 位 长 度 , 再 向 下 平 移 一 个 单 位 长 度 , 得 到 的 函 数解 析 式 是 .解 析 : 按 照 “ 左 加 右 减 , 上 加 下 减 ” 的 规 律 求 解 即 可 .y=5(x-4)2+3 向 左 平 移 二 个 单 位 长 度 , 再 向 下 平 移 一 个 单 位 长 度 得 y=5(x-4+2)2+3-1, 即y=5(x-2)2+2.答 案 : y=5(x-2)2+2.14.如 果 点 A(1, 2)和 点 B(3, 2)都 在 抛 物 线 y=ax 2+bx+c 的 图 象 上 , 那 么 抛 物 线 y=ax2+bx+c的 对
11、称 轴 是 直 线 .解 析 : 根 据 函 数 值 相 等 的 点 到 抛 物 线 对 称 轴 的 距 离 相 等 可 求 得 其 对 称 轴 . 点 A(1, 2)和 点 B(3, 2)都 在 抛 物 线 y=ax2+bx+c 的 图 象 上 , 其 对 称 轴 为 1 3 22x .答 案 : x=2. 15.已 知 A(2, y1)、 B(3, y2)是 抛 物 线 2 312y x 的 图 象 上 两 点 , 则 y1 y2.(填不 等 号 )解 析 : 由 题 意 得 : 抛 物 线 的 对 称 轴 是 : 直 线 x=1, 2 0, 当 x 1 时 , y随 x的 增 大 而 减
12、 小 , 2 3, y 1 y2.答 案 : .16.如 果 在 一 个 斜 坡 上 每 向 上 前 进 13 米 , 水 平 高 度 就 升 高 了 5 米 , 则 该 斜 坡 的 坡 度 i= .解 析 : 设 在 一 个 斜 坡 上 前 进 13米 , 水 平 高 度 升 高 了 5 米 , 此 时 水 平 距 离 为 x 米 ,根 据 勾 股 定 理 , 得 x2+52=132,解 得 : x=12,故 该 斜 坡 坡 度 i=5: 12=1: 2.4.答 案 : 1: 2.4.17.数 学 小 组 在 活 动 中 继 承 了 学 兄 学 姐 们 的 研 究 成 果 , 将 能 够 确
13、 定 形 如 y=ax 2+bx+c的 抛 物 线的 形 状 、 大 小 、 开 口 方 向 、 位 置 等 特 征 的 系 数 a、 b、 c 称 为 该 抛 物 线 的 特 征 数 , 记 作 : 特 征数 a、 b、 c, (请 你 求 )在 研 究 活 动 中 被 记 作 特 征 数 为 1、 -4、 3的 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 为 .解 析 : 特 征 数 为 1、 -4、 3, 抛 物 线 解 析 式 为 y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 抛 物 线 顶 点 坐 标 为 (2, -1).答 案 : (2, -1).18.如 图 , D 为 直 角 ABC 的 斜 边
14、 AB 上 一 点 , DE AB 交 AC 于 E, 如 果 AED 沿 DE 翻 折 , A恰 好 与 B 重 合 , 联 结 CD 交 BE于 F, 如 果 AC=8, tanA= 12 , 那 么 CF: DF= . 解 析 : DE AB, tanA= 12 , DE= 12 AD, Rt ABC中 , AC=8, tanA= 12 , BC=4, 2 2 4 5AB AC BC ,又 AED沿 DE翻 折 , A恰 好 与 B重 合 , AD=BD=2 5 , DE= 5 , Rt ADE中 , 2 2 5AE AD DE , CE=8-5=3, Rt BCE中 , 2 23 4
15、5BE ,如 图 , 过 点 C 作 CG BE 于 G, 作 DH BE于 H, 则 Rt BDE中 , 2 5 25 5DH ,Rt BCE中 , 3 4 125 5CG , CG DH, CFG DFH, 12 652 5CF CGDF DH .即 CF: DF=6: 5.答 案 : 6: 5.三 、 解 答 题 : (本 大 题 共 7 小 题 , 满 分 78 分 ) 19.计 算 : 0cot 45 cos30 2017tan 60 2sin 45 .解 析 : 原 式 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 , 以 及 零 指 数 幂 法 则 计 算 即 可 得 到 结 果
16、.答 案 : 原 式 3 3 33 21 1 22 2 223 2 1 12 .20.如 图 , 在 ABC中 , 点 D、 E 分 别 在 边 AB、 AC上 , 如 果 DE BC, 且 DE= 23 BC. (1)如 果 AC=6, 求 CE的 长 .解 析 : (1)根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 , 可 得 AE 的 长 , 根 据 线 段 的 和 差 , 可 得 答 案 .答 案 : (1)由 DE BC, 得 ADE ABC, AE DEAC BC .又 DE= 23 BC 且 AC=6, 得AE= 23 AC=4,CE=AC-AE=6-4=2.(2)设 AB
17、 auuur r, AC buuur r, 求 向 量 DEuuur(用 向 量 ar、 br表 示 ). 解 析 : (2)根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 , 可 得 AE, AD 的 长 , 根 据 向 量 的 减 法 运 算 , 可 得 答案 .答 案 : (2)如 图 ,由 DE BC, 得 ADE ABC, AE DEAC BC . 又 AC=6且 DE= 23 BC, 得AE= 23 AC, AD= 23 AB.2 23 3AE AC b uuur uuur r, 2 23 3AD AB a uuur uuur r.2 23 3DE AE AD b a uuur
18、 uuur uuur r r.21.如 图 , AB、 CD分 别 表 示 两 幢 相 距 36米 的 大 楼 , 高 兴 同 学 站 在 CD 大 楼 的 P 处 窗 口 观 察 AB大 楼 的 底 部 B 点 的 俯 角 为 45 , 观 察 AB大 楼 的 顶 部 A 点 的 仰 角 为 30 , 求 大 楼 AB 的 高 . 解 析 : 过 点 P 作 AB 的 垂 线 , 垂 足 为 E, 根 据 题 意 可 得 出 四 边 形 PDBE 是 矩 形 , 再 由 EPB=45可 知 BE=PE=36m, 由 AE=PE tan30 得 出 AE的 长 , 进 而 可 得 出 结 论
19、.答 案 : 如 图 , 过 点 P作 AB 的 垂 线 , 垂 足 为 E, PD AB, DB AB, 四 边 形 PDBE 是 矩 形 , BD=36m, EPB=45 , BE=PE=36m, AE=PE tan30 =36 33 =12 3 (m), AB=AB+BE=(12 3 +36)m.答 : 建 筑 物 AB 的 高 为 (36+12 3 )米 . 22.直 线 l: 34 6y x 交 y 轴 于 点 A, 与 x 轴 交 于 点 B, 过 A、 B 两 点 的 抛 物 线 m 与 x 轴的 另 一 个 交 点 为 C, (C在 B 的 左 边 ), 如 果 BC=5, 求
20、 抛 物 线 m 的 解 析 式 , 并 根 据 函 数 图 象 指出 当 m的 函 数 值 大 于 0 的 函 数 值 时 x 的 取 值 范 围 .解 析 : 先 根 据 函 数 的 解 析 式 求 出 A、 B 两 点 的 坐 标 , 再 求 出 点 C 的 坐 标 , 利 用 待 定 系 数 法 求出 抛 物 线 m的 解 析 式 , 画 出 其 图 象 , 利 用 数 形 结 合 即 可 求 解 .答 案 : 34 6y x 交 y 轴 于 点 A, 与 x轴 交 于 点 B, x=0时 , y=6, A(0, 6), y=0时 , x=8, B(8, 0), 过 A、 B 两 点
21、的 抛 物 线 m 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 为 C, (C 在 B 的 左 边 ), BC=5, C(3, 0).设 抛 物 线 m的 解 析 式 为 y=a(x-3)(x-8),将 A(0, 6)代 入 , 得 24a=6, 解 得 a= 14 , 抛 物 线 m的 解 析 式 为 y= 14 (x-3)(x-8), 即 2 114 1 64y x x ;函 数 图 象 如 图 : 当 抛 物 线 m的 函 数 值 大 于 0 时 , x的 取 值 范 围 是 x 3或 x 8.23.如 图 , 点 E 是 正 方 形 ABCD的 对 角 线 AC 上 的 一 个 动 点 (不
22、与 A、 C重 合 ), 作 EF AC交 边BC于 点 F, 联 结 AF、 BE 交 于 点 G.(1)求 证 : CAF CBE; 解 析 : (1)利 用 AA 证 明 CEF CAB, 再 列 出 比 例 式 利 用 SAS证 明 CAF CBE.答 案 : (1)证 明 : 四 边 形 ABCD是 正 方 形 , ABC=90 , EF AC, FEC=90 = ABC,又 FCE= ACB, CEF CAB, CF CBCE CA ,又 ACF= BCE, CAF CBE.(2)若 AE: EC=2: 1, 求 tan BEF的 值 .解 析 : (2)证 出 BAF= BEF,
23、 设 EC=1, 则 EF=1, FC= 2 , AC=3, 由 勾 股 定 理 得 出AB=BC= 22 AC= 3 22 , 得 出 BF=BC-FC= 22 , 由 三 角 函 数 即 可 得 出 结 果 .答 案 : (2) CAF CBE, CAF= CBE, BAC= BCA=45 , BAF= BEF,设 EC=1, 则 EF=1, FC= 2 , AE: EC=2: 1, AC=3, AB=BC= 22 AC= 3 22 , BF=BC-FC= 22 , tan BEF=tan BAF= BFAB = 13 .24.如 图 , 二 次 函 数 y=ax2- 32 x+2(a 0
24、)的 图 象 与 x 轴 交 于 A、 B 两 点 , 与 y 轴 交 于 点 C, 已知 点 A(-4, 0). (1)求 抛 物 线 与 直 线 AC 的 函 数 解 析 式 .解 析 : (1)把 点 A 的 坐 标 代 入 抛 物 线 的 解 析 式 , 就 可 求 得 抛 物 线 的 解 析 式 , 根 据 A, C 两 点 的坐 标 , 可 求 得 直 线 AC的 函 数 解 析 式 . 答 案 : (1) A(-4, 0)在 二 次 函 数 y=ax2- 32 x+2(a 0)的 图 象 上 , 0=16a+6+2,解 得 a= 12 , 抛 物 线 的 函 数 解 析 式 为
25、2 21 32 2y x x ; 点 C的 坐 标 为 (0, 2),设 直 线 AC 的 解 析 式 为 y=kx+b, 则0 42 k bb , 解 得 212kb , 直 线 AC 的 函 数 解 析 式 为 : 2 21y x .(2)若 点 D(m, n)是 抛 物 线 在 第 二 象 限 的 部 分 上 的 一 动 点 , 四 边 形 OCDA的 面 积 为 S, 求 S关于 m 的 函 数 关 系 .解 析 : (2)先 过 点 D 作 DH x 轴 于 点 H, 运 用 割 补 法 即 可 得 到 : 四 边 形 OCDA 的 面 积 = ADH的 面 积 +四 边 形 OCD
26、H的 面 积 , 据 此 列 式 计 算 化 简 就 可 求 得 S 关 于 m的 函 数 关 系 .答 案 : (2) 点 D(m, n)是 抛 物 线 在 第 二 象 限 的 部 分 上 的 一 动 点 , D(m, 21 32 22m m ), 过 点 D作 DH x轴 于 点 H,则 DH= 21 32 22m m , AH=m+4, HO=-m, 四 边 形 OCDA 的 面 积 = ADH的 面 积 +四 边 形 OCDH的 面 积 , 12S AH DH OH DH g g 2 21 14 2 23 1 32 2 2 2 2m m m m m m , 化 简 , 得 3 21 1
27、4 4 4 4mS m m (-4 m 0).(3)若 点 E 为 抛 物 线 上 任 意 一 点 , 点 F 为 x 轴 上 任 意 一 点 , 当 以 A、 C、 E、 F 为 顶 点 的 四 边 形是 平 行 四 边 形 时 , 请 直 接 写 出 满 足 条 件 的 所 有 点 E 的 坐 标 .解 析 : (3)由 于 AC 确 定 , 可 分 AC是 平 行 四 边 形 的 边 和 对 角 线 两 种 情 况 讨 论 , 得 到 点 E与 点C的 纵 坐 标 之 间 的 关 系 , 然 后 代 入 抛 物 线 的 解 析 式 , 就 可 得 到 满 足 条 件 的 所 有 点 E
28、的 坐 标 .答 案 : (3) 若 AC 为 平 行 四 边 形 的 一 边 , 则 C、 E 到 AF 的 距 离 相 等 , |y E|=|yC|=2, yE= 2.当 yE=2时 , 解 方 程 21 32 2 2 2x x 得 ,x1=0, x2=-3, 点 E的 坐 标 为 (-3, 2);当 y E=-2时 , 解 方 程 21 32 2 2 2x x 得 ,x1= 3 412 , x2= 3 412 , 点 E的 坐 标 为 ( 3 412 , -2)或 ( 3 412 , -2); 若 AC为 平 行 四 边 形 的 一 条 对 角 线 , 则 CE AF, y E=yC=2
29、, 点 E的 坐 标 为 (-3, 2).综 上 所 述 , 满 足 条 件 的 点 E 的 坐 标 为 (-3, 2)、 ( 3 412 , -2)、 ( 3 412 , -2).25.如 图 (1)所 示 , E 为 矩 形 ABCD的 边 AD 上 一 点 , 动 点 P、 Q 同 时 从 点 B 出 发 , 点 P 以 1cm/秒 的 速 度 沿 折 线 BE-ED-DC 运 动 到 点 C 时 停 止 , 点 Q 以 2cm/秒 的 速 度 沿 BC 运 动 到 点 C 时 停止 .设 P、 Q 同 时 出 发 t 秒 时 , BPQ 的 面 积 为 ycm 2.已 知 y 与 t
30、的 函 数 关 系 图 象 如 图 (2)(其中 曲 线 OG 为 抛 物 线 的 一 部 分 , 其 余 各 部 分 均 为 线 段 ).(1)试 根 据 图 (2)求 0 t 5 时 , BPQ的 面 积 y关 于 t 的 函 数 解 析 式 ; 解 析 : (1)观 察 图 象 可 知 , AD=BC=5 2=10, BE=1 10=10, ED=4 1=4, AE=10-4=6 在 Rt ABE中 , 2 2 2 210 6 8AB BE AE , 如 图 1 中 , 作 PM BC 于 M.由 ABE MPB, 得PB PMBE AB , 求 出 PM, 根 据 BPQ的 面 积 y
31、= 12 BQ PM 计 算 即 可 问 题 .答 案 : (1)观 察 图 象 可 知 , AD=BC=5 2=10, BE=1 10=10, ED=4 1=4, AE=10-4=6在 Rt ABE中 , 2 2 2 210 6 8AB BE AE ,如 图 1中 , 作 PM BC于 M. ABE MPB, PB PMBE AB , 10 8t PM , 45PM t ,当 0 t 5时 , BPQ的 面 积 21 12 2 4 42 5 5y BQ PM t t g g g g .(2)求 出 线 段 BC、 BE、 ED的 长 度 ;解 析 : (2)观 察 图 象 (1)(2), 即
32、 可 解 决 问 题 .答 案 : (2)由 (1)可 知 BC=BE=10, ED=4. (3)当 t 为 多 少 秒 时 , 以 B、 P、 Q 为 顶 点 的 三 角 形 和 ABE相 似 ;解 析 : (3)分 三 种 情 形 讨 论 P在 BE上 , P 在 DE 上 , P 在 CD 上 , 分 别 求 解 即 可 .答 案 : (3) 当 P 在 BE 上 时 , 点 C在 C处 时 , BE=BC=10, 当 AE=AP=6时 , PQB与 ABE 相 似 , t=6. 当 点 P 在 ED 上 时 , 观 察 图 象 可 知 , 不 存 在 . 当 点 P 在 DC 上 时
33、, 设 PC=a,当 PC BCAE AB 时 , 106 8a , a=152 , 此 时 t=10+4+(8-152 )=14.5, t=14.5s时 , PQB与 ABE相 似 . (4)如 图 (3)过 E作 EF BC 于 F, BEF 绕 点 B 按 顺 时 针 方 向 旋 转 一 定 角 度 , 如 果 BEF 中 E、F的 对 应 点 H、 I恰 好 和 射 线 BE、 CD的 交 点 G 在 一 条 直 线 , 求 此 时 C、 I两 点 之 间 的 距 离 .解 析 : (4)由 BIH= BCG=90 , 推 出 B、 I、 C、 G 四 点 共 圆 , 推 出 BGH=
34、 BCI, 由 GBH CBI, 可 得 IC BIGH BH , 由 此 只 要 求 出 GH即 可 解 决 问 题 .答 案 : (4)如 图 3 中 , 设 EG=m, GH=n, DE BC, EG DEGB BC , 410 10mm , m= 203 ,则 BG= 503 .在 Rt BIG中 , BG 2=BI2+GI2, ( 503 )2=62+(8+n)2, n=-8+8 343 或 -8-8 343 (舍 弃 ), BIH= BCG=90 , B、 I、 C、 G 四 点 共 圆 , BGH= BCI, GBF= HBI, GBH= CBI, GBH CBI, (也 可 以 先 证 明 BFI GFC, 想 办 法 推 出 GFB CFI, 推 出 BGH=BCI) IC BIGH BH , 68 108 343IC , 8 34 245 5IC .