1、2017年 上 海 市 杨 浦 区 高 考 一 模 数 学一 、 填 空 题 (本 大 题 满 分 54 分 )共 12 小 题 , 1-6题 每 题 4分 , 7-12题 每 题 5分1.若 “ a b” , 则 “ a3 b3” 是 _命 题 (填 : 真 、 假 )解 析 : 函 数 f(x)=x3在 R 是 单 调 增 函 数 , 当 a b, 一 定 有 a3 b3, 故 是 真 命 题 .答 案 : 真 .2.已 知 A=( , 0, B=(a, + ), 若 A B=R, 则 a的 取 值 范 围 是 _.解 析 : 若 A B=R, A=( , 0, B=(a, + ),必 有
2、 a 0.答 案 : a 0.3.z+2z =9+4i(i为 虚 数 单 位 ), 则 |z|=_.解 析 : 设 z=x+yi(x, y R), z+2z =9+4i, x+yi+2(x yi)=9+4i, 化 为 : 3x yi=9+4i, 3x=9, y=4, 解 得 x=3, y= 4. 2 23 ( 4) 5z .答 案 : 5.4.若 ABC中 , a+b=4, C=30 , 则 ABC面 积 的 最 大 值 是 _.解 析 : 在 ABC中 , C=30 , a+b=4, ABC的 面 积 21 1 1 1 1sin sin30 4 12 2 4 4)4 ( 2S ab C ab
3、 bab a , 当 且 仅当 a=b=2 时 取 等 号 .答 案 : 1.5.若 函 数 2g 1lo xf x ax 的 反 函 数 的 图 象 经 过 点 ( 2, 3), 则 a=_. 解 析 : 函 数 2g 1lo xf x ax 的 反 函 数 的 图 象 经 过 点 ( 2, 3), 函 数 2g 1lo xf x ax 的 图 象 经 过 点 (3, 2), 2 32 log 3 1a , a=2.答 案 : 2.6.过 半 径 为 2 的 球 O表 面 上 一 点 A作 球 O 的 截 面 , 若 OA 与 该 截 面 所 成 的 角 是 60 , 则 该 截面 的 面
4、积 是 _.解 析 : 设 截 面 的 圆 心 为 Q,由 题 意 得 : OAQ=60 , QA=1, S= 1 2= .答 案 : .7.抛 掷 一 枚 均 匀 的 骰 子 (刻 有 1, 2, 3, 4, 5, 6)三 次 , 得 到 的 数 字 依 次 记 作 a, b, c, 则a+bi(i为 虚 数 单 位 )是 方 程 x2 2x+c=0的 根 的 概 率 是 _.解 析 : 抛 掷 一 枚 均 匀 的 骰 子 (刻 有 1, 2, 3, 4, 5, 6)三 次 , 得 到 的 数 字 依 次 记 作 a, b, c,基 本 事 件 总 数 n=6 6 6=216, a+bi(i
5、为 虚 数 单 位 )是 方 程 x2 2x+c=0的 根 , (a+bi)2 2(a+bi)+c=0,即 2 2 2 02 2a b c aab b , a=1, c=b2+1, a+bi(i为 虚 数 单 位 )是 方 程 x2 2x+c=0的 根 包 含 的 基 本 事 件 为 :(1, 1, 2), (1, 2, 5), a+bi(i为 虚 数 单 位 )是 方 程 x2 2x+c=0的 根 的 概 率 是 2 1216 108p .答 案 : 1108 .8.设 常 数 a 0, 9( )ax x 展 开 式 中 x 6的 系 数 为 4, 则 2limn na a a =_.解 析
6、 : 常 数 a 0, 9( )ax x 展 开 式 中 x6的 系 数 为 4, 18 39 2 21 9 9r rr r r r rrT C x a x a C x ,当 18 3 62 r 时 , r=2, 2 29 4a C , 解 得 13a , 2 2 1 1(1 )1 1 1 1 13 3 (1 )13 3 3 2 31 3 nn n na a a , 2 1 1 1lim lim (1 )2 3 2n nn na a a .答 案 : 12 .9.已 知 直 线 l 经 过 点 ( 5,0) 且 方 向 向 量 为 (2, 1), 则 原 点 O 到 直 线 l 的 距 离 为
7、 _.解 析 : 直 线 的 方 向 向 量 为 (2, 1), 所 以 直 线 的 斜 率 为 : 12 , 直 线 方 程 为 : x+2y+ 5 =0,由 点 到 直 线 的 距 离 可 知 : 2 25 11 2 ;答 案 : 1.10.若 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 为 x+2y=0, 且 双 曲 线 与 抛 物 线 y=x 2的 准 线 仅 有 一 个 公 共 点 , 则 此双 曲 线 的 标 准 方 程 为 _.解 析 : 抛 物 线 y=x2的 准 线 : 14y ,双 曲 线 与 抛 物 线 y=x2的 准 线 仅 有 一 个 公 共 点 , 可 得 双 曲 线 实
8、半 轴 长 为 14a , 焦 点 在 y 轴 上 .双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 为 x+2y=0, 12ab , 可 得 12b ,则 此 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 : 2 2 11 116 4y x .答 案 : 2 2 11 116 4y x .11.平 面 直 角 坐 标 系 中 , 给 出 点 A(1, 0), B(4, 0), 若 直 线 x+my 1=0存 在 点 P, 使 得 |PA|=2|PB|,则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 _.解 析 : 设 P(1 my, y), |PA|=2|PB|, |PA| 2=4|PB|2, (1 my 1)2+y2=
9、4(1 my 4)2+y2,化 简 得 (m2+1)y2+8my+12=0则 =64m2 48m2 48 0,解 得 m 3 或 m 3 ,即 实 数 m 的 取 值 范 围 是 m 3 或 m 3 .答 案 : m 3 或 m 3 .12.函 数 y=f(x)是 最 小 正 周 期 为 4的 偶 函 数 , 且 在 x 2, 0时 , f(x)=2x+1, 若 存 在 x 1,x2, xn满 足 0 x1 x2 xn, 且 |f(x1) f(x2)|+|f(x2) f(x1)|+ +|f(xn 1f(xn)|=2016, 则 n+xn的 最 小 值 为 _.解 析 : 函 数 y=f(x)是
10、 最 小 正 周 期 为 4的 偶 函 数 , 且 在 x 2, 0时 , f(x)=2x+1, 函 数 的 值 域 为 3, 1, 对 任 意 xi, xj(i, j=1, 2, 3, , m), 都 有 |f(xi) f(xj)| f(x)max f(x)min=4,要 使 n+xn取 得 最 小 值 , 尽 可 能 多 让 xi(i=1, 2, 3, , m)取 得 最 高 点 , 且 f(0)=1, f(2)= 3, 0 x 1 x2 xm, |f(x1) f(x2)|+|f(x2) f(x3)|+ +|f(x n 1) f(xn)|=2016, n 的 最 小 值 为 2016 1
11、5054 , 相 应 的 xn最 小 值 为 1008, 则 n+xn的 最 小 值 为 1513.答 案 : 1513.二 、 选 择 题 (本 大 题 共 4 题 , 满 分 20分 )13.若 a 与 b c 都 是 非 零 向 量 , 则 “ a b a c ” 是 “ ( )a b c ” 的 ( )A.充 分 但 非 必 要 条 件B.必 要 但 非 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 非 充 分 也 非 必 要 条 件解 析 : “ a b a c ” “ 0a b a c ” “ ( ) 0a b c ” “ ( )a b c ” ,故 “ a b a c ” 是 “ (
12、)a b c ” 的 充 要 条 件 . 答 案 : C 14.行 列 式 1 4 72 5 83 6 9 中 , 元 素 7 的 代 数 余 子 式 的 值 为 ( )A. 15B. 3C.3D.12解 析 : 行 列 式 1 4 72 5 83 6 9 , 元 素 7 的 代 数 余 子 式 为 :D 13=( 1)4 2 53 6 =2 6 5 3= 3.答 案 : B.15.一 个 公 司 有 8 名 员 工 , 其 中 6 名 员 工 的 月 工 资 分 别 为 5200, 5300, 5500, 6100, 6500,6600, 另 两 名 员 工 数 据 不 清 楚 , 那 么
13、8位 员 工 月 工 资 的 中 位 数 不 可 能 是 ( )A.5800B.6000C.6200D.6400解 析 : 一 个 公 司 有 8 名 员 工 , 其 中 6名 员 工 的 月 工 资 分 别 为 5200, 5300, 5500, 6100,6500, 6600, 当 另 外 两 名 员 工 的 工 资 都 小 于 5300 时 , 中 位 数 为 5300 5500 54002 , 当 另 外 两 名 员 工 的 工 资 都 大 于 6500时 , 中 位 数 为 6100 6500 63002 , 8 位 员 工 月 工 资 的 中 位 数 的 取 值 区 间 为 540
14、0, 6300, 8 位 员 工 月 工 资 的 中 位 数 不 可 能 是 6400.答 案 : D.16.若 直 线 1x ya b 通 过 点 P(cos, sin), 则 下 列 不 等 式 正 确 的 是 ( )A.a 2+b2 1B.a2+b2 1C. 2 21 1 1a b D. 2 21 1 1a b 解 析 : 直 线 1x ya b 通 过 点 P(cos, sin), bcos+asin=ab, 2 2 sin( )a b ab , 其 中 tan ba , 2 2a b ab , a2+b2 a2b2, 2 21 1 1a b ,答 案 : D三 、 解 答 题 (满
15、分 76 分 )共 5 题17.某 柱 体 实 心 铜 制 零 件 的 截 面 边 长 是 长 度 为 55毫 米 线 段 AB 和 88毫 米 的 线 段 AC以 及 圆 心为 P, 半 径 为 PB的 一 段 圆 弧 BC构 成 , 其 中 BAC=60 .(1)求 半 径 PB 的 长 度 ;(2)现 知 该 零 件 的 厚 度 为 3 毫 米 , 试 求 该 零 件 的 重 量 (每 1 个 立 方 厘 米 铜 重 8.9克 , 按 四 舍 五入 精 确 到 0.1克 ).V 柱 =S 底 h.解 析 : (1)在 ABP中 , 由 余 弦 定 理 建 立 方 程 , 即 可 求 半
16、径 PB的 长 度 ;(2)求 出 V 柱 =S 底 h, 即 可 求 该 零 件 的 重 量 .答 案 : (1) AB=55, AC=88, BP=R, BAC=60 .AP=88 R, 在 ABP中 , 由 余 弦 定 理 可 得 : BP2=AB2+AP2 2AB AP cos BAC, 可 得 : R2=552+(88 R)2 2 55 (88 R) cos60 , 解 得 : R=49mm.(2)在 ABP中 , AP=88 49=39mm, AB=55, BP=49,2 2 239 49 55 897cos 0.23472 39 49 3822BPA , sin BPA 0.97
17、2. BPA=arcsin0.972.V 柱 =S 底 h=(S ABP+S 扇 形 BPC) h= 21 3 (arcsin 0.972) 49( 55 39 ) 32 2 360 该 零 件 的 重 量 = 21 3 (arcsin 0.972) 49( 55 39 ) 32 2 360 1000 8.9 82.7.18.如 图 所 示 , l1, l2是 互 相 垂 直 的 异 面 直 线 , MN是 它 们 的 公 垂 线 段 , 点 A, B 在 直 线 l1上 ,且 位 于 M 点 的 两 侧 , C 在 l2上 , AM=BM=NM=CN(1)求 证 : 异 面 直 线 AC 与
18、 BN 垂 直 ;(2)若 四 面 体 ABCN的 体 积 V ABCN=9, 求 异 面 直 线 l1, l2之 间 的 距 离 .解 析 : (1)欲 证 AC NB, 可 先 证 BN 面 ACN, 根 据 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 只 需 证 AN BN, CN BN 即 可 ;(2)判 断 异 面 直 线 的 距 离 , 利 用 体 积 公 式 求 解 即 可 .答 案 : (1)证 明 : 由 已 知 l 2 MN, l2 l1, MN l1=M, 可 得 l2 平 面 ABN. 由 已 知 MN l1, AM=MB=MN,可 知 AN=NB且 AN NB.又 AN 为
19、AC在 平 面 ABN内 的 射 影 . AC NB(2) AM=BM=NM=CN, MN 是 它 们 的 公 垂 线 段 ,就 是 异 面 直 线 l1, l2之 间 的 距 离 ,由 中 垂 线 的 性 质 可 得 AN=BN, 四 面 体 ABCN的 体 积 VABCN=9,可 得 : 31 1 19 3 2 3ABCNV AB MN CN MN , MN=3.异 面 直 线 l 1, l2之 间 的 距 离 为 3.19.如 图 所 示 , 椭 圆 C: 224 1x y , 左 右 焦 点 分 别 记 作 F 1, F2, 过 F1, F2分 别 作 直 线 l1,l2交 椭 圆 A
20、B, CD, 且 l1 l2.(1)当 直 线 l1的 斜 率 k1与 直 线 BC 的 斜 率 k2都 存 在 时 , 求 证 : k1 k2为 定 值 ;(2)求 四 边 形 ABCD面 积 的 最 大 值 .解 析 : (1)由 椭 圆 方 程 求 出 焦 点 坐 标 , 得 到 直 线 AB、 CD 的 方 程 , 与 椭 圆 方 程 联 立 求 得 A、 D的 坐 标 , 求 出 AD所 在 直 线 斜 率 得 答 案 ;(2)由 (1)结 合 弦 长 公 式 求 得 |AB|, 再 由 两 平 行 线 间 的 距 离 公 式 求 出 边 AB、 CD的 距 离 , 代 入 平 行
21、四 边 形 面 积 公 式 , 利 用 换 元 法 求 得 最 值 .答 案 : (1)证 明 : 由 椭 圆 C: 224 1x y , 得 a2=4, b2=1, 2 2 3c a b .设 k1=k, 则 AB 所 在 直 线 方 程 为 y=kx+ 3 k, CD所 在 直 线 方 程 为 y=kx 3 k,联 立 2 24 31y kx kyx , 得 (1+4k2)x2+8 3 k2x+12k2 4=0.解 得 2 224 3 2 11 4k kx k , 不 妨 取 2 224 3 2 11 4B k kx k , 则 223 2 11 4B k k ky k 同 理 求 得 2
22、 224 3 2 11 4C k kx k , 223 2 11 4C k k ky k . 则 2 22 22 2 2 23 2 1 3 2 1 2 3 148 34 3 2 1 4 3 2 1 k k k k k k kk kkk k k k , 则1 2 1 1 ( )4 4k k k k ;(2)解 : 由 (1)知 , 228 31 4A B kx x k , 2 212 41 4A B kx x k 2 22 222 2 2 2 24 18 3 48 161 4 1 1 4 1 4 1 4A B A B kk kAB k x x x x k k k k .AB、 CD的 距 离 2
23、2 31 kd k , 2 4 2 22 2 24 1 2 3 8 31 4 1 1 4四 边 形 ABCD k k k kS k k k . 令 1+4k2=t(t 1),则 23 1 1 1 18 3 16 8 16S t t , 当 t=3时 , Smax=4.20.数 列 an, 定 义 an为 数 列 an的 一 阶 差 分 数 列 , 其 中 an=an+1 an(n N*)(1)若 an=n2 n, 试 判 断 an是 否 是 等 差 数 列 , 并 说 明 理 由 ;(2)若 a 1=1, an an=2n, 求 数 列 an的 通 项 公 式 ;(3)对 (b)中 的 数 列
24、 an, 是 否 存 在 等 差 数 列 bn, 使 得 1 21 2 nn n n n nbC b C b C a , 对 一切 n N*都 成 立 , 若 存 在 , 求 出 数 列 bn的 通 项 公 式 , 若 不 存 在 , 请 说 明 理 由 .解 析 : (1)根 据 数 列 an的 通 项 公 式 an=n2 n, 结 合 新 定 义 , 可 判 定 an是 首 项 为 4, 公 差为 2 的 等 差 数 列 ;(2)由 an an=2n入 手 能 够 求 出 数 列 an的 通 项 公 式 ;(3)结 合 组 合 数 的 性 质 : 1Cn1+2Cn2+3Cn3+ +nCnn
25、=n(Cn 10+Cn 11+Cn 12+ +Cn 1n 1)=n 2n 1进 行 求解 .答 案 : (1)若 a n=n2 n, 试 判 断 an是 等 差 数 列 , 理 由 如 下 : an=n2 n, an=an+1 an=(n+1)2 (n+1) (n2 n)=2n, an+1 an=2, 且 a1=4, an是 首 项 为 4, 公 差 为 2 的 等 差 数 列 ;(2) an an=2n. an=an+1 an, an+1 2an=2n, 11 12 2 2n nn na a , 数 列 2nna 构 成 以 12 为 首 项 , 12 为 公 差 的 等 差 数 列 ,即
26、122 2 nn nna n a n ; (3)b1Cn1+b2Cn2+ +bnCnn=an, 即 b1Cn1+b2Cn2+ +bnCnn=n 2n 1, 1Cn1+2Cn2+3Cn3+ +nCnn=n(Cn 10+Cn 11+Cn 12+ +Cn 1n 1)=n 2n 1, 存 在 等 差 数 列 bn, bn=n, 使 得 b1Cn1+b2Cn2+ +bnCnn=an对 一 切 自 然 n N都 成 立 . 21.对 于 函 数 f(x)(x D), 若 存 在 正 常 数 T, 使 得 对 任 意 的 x D, 都 有 f(x+T) f(x)成 立 ,我 们 称 函 数 f(x)为 “
27、T 同 比 不 减 函 数 ” .(1)求 证 : 对 任 意 正 常 数 T, f(x)=x2都 不 是 “ T同 比 不 减 函 数 ” ;(2)若 函 数 f(x)=kx+sinx是 “ 2 同 比 不 减 函 数 ” , 求 k 的 取 值 范 围 ;(3)是 否 存 在 正 常 数 T, 使 得 函 数 f(x)=x+|x 1| |x+1|为 “ T同 比 不 减 函 数 ” ; 若 存 在 ,求 T 的 取 值 范 围 ; 若 不 存 在 , 请 说 明 理 由 .解 析 : (1)根 据 T 同 比 不 减 函 数 的 定 义 即 可 证 明 ,(2)根 据 T 同 比 不 减
28、函 数 的 定 义 , 分 离 参 数 得 到 2 2 sin( )4k x , 根 据 三 角 形 函 数 的 性质 即 可 求 出 k 的 范 围 ,(3)画 出 函 数 f(x)的 图 象 , 根 据 图 象 的 平 移 即 可 求 出 T 的 范 围 .答 案 : (1) f(x)=x 2, f(x+T) f(x)=(x+T)2 x2=2xT+T2=T(2x+T),由 于 2x+T 与 0 的 小 无 法 比 较 , f(x+T) f(x)不 一 定 成 立 , 对 任 意 正 常 数 T, f(x)=x2都 不 是 “ T同 比 不 减 函 数 ,(2) 函 数 f(x)=kx+sinx是 “ 2 同 比 不 减 函 数 , sin sin2 2 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x k x x kx x =cos sin 2 sin 02 2 4( )k kx x x 恒 成 立 , 2 2 sin 4( )k x , 1 sin(x 4 ) 1, 2 2k ,(3)f(x)=x+|x 1| |x+1|图 象 如 图 所 示 , 由 图 象 可 知 , 只 要 把 图 象 向 左 至 少 平 移 4 个 单 位 ,即 对 任 意 的 x D, 都 有 f(x+T) f(x)成 立 , T 4.