1、2017年 上 海 市 杨 浦 区 高 考 一 模 数 学一 、 填 空 题 (本 大 题 满 分 54 分 )共 12 小 题 ， 1-6题 每 题 4分 ， 7-12题 每 题 5分1.若 “ a b” ， 则 “ a3 b3” 是 _命 题 (填 ： 真 、 假 )解 析 ： 函 数 f(x)=x3在 R 是 单 调 增 函 数 ， 当 a b， 一 定 有 a3 b3， 故 是 真 命 题 .答 案 ： 真 .2.已 知 A=( ， 0， B=(a， + )， 若 A B=R， 则 a的 取 值 范 围 是 _.解 析 ： 若 A B=R， A=( ， 0， B=(a， + )，必 有
2、 a 0.答 案 ： a 0.3.z+2z =9+4i(i为 虚 数 单 位 )， 则 |z|=_.解 析 ： 设 z=x+yi(x， y R)， z+2z =9+4i， x+yi+2(x yi)=9+4i， 化 为 ： 3x yi=9+4i， 3x=9， y=4， 解 得 x=3， y= 4. 2 23 ( 4) 5z .答 案 ： 5.4.若 ABC中 ， a+b=4， C=30 ， 则 ABC面 积 的 最 大 值 是 _.解 析 ： 在 ABC中 ， C=30 ， a+b=4， ABC的 面 积 21 1 1 1 1sin sin30 4 12 2 4 4)4 ( 2S ab C ab
3、 bab a ， 当 且 仅当 a=b=2 时 取 等 号 .答 案 ： 1.5.若 函 数 2g 1lo xf x ax 的 反 函 数 的 图 象 经 过 点 ( 2， 3)， 则 a=_. 解 析 ： 函 数 2g 1lo xf x ax 的 反 函 数 的 图 象 经 过 点 ( 2， 3)， 函 数 2g 1lo xf x ax 的 图 象 经 过 点 (3， 2)， 2 32 log 3 1a ， a=2.答 案 ： 2.6.过 半 径 为 2 的 球 O表 面 上 一 点 A作 球 O 的 截 面 ， 若 OA 与 该 截 面 所 成 的 角 是 60 ， 则 该 截面 的 面
4、积 是 _.解 析 ： 设 截 面 的 圆 心 为 Q，由 题 意 得 ： OAQ=60 ， QA=1， S= 1 2= .答 案 ： .7.抛 掷 一 枚 均 匀 的 骰 子 (刻 有 1， 2， 3， 4， 5， 6)三 次 ， 得 到 的 数 字 依 次 记 作 a， b， c， 则a+bi(i为 虚 数 单 位 )是 方 程 x2 2x+c=0的 根 的 概 率 是 _.解 析 ： 抛 掷 一 枚 均 匀 的 骰 子 (刻 有 1， 2， 3， 4， 5， 6)三 次 ， 得 到 的 数 字 依 次 记 作 a， b， c，基 本 事 件 总 数 n=6 6 6=216， a+bi(i
5、为 虚 数 单 位 )是 方 程 x2 2x+c=0的 根 ， (a+bi)2 2(a+bi)+c=0，即 2 2 2 02 2a b c aab b ， a=1， c=b2+1， a+bi(i为 虚 数 单 位 )是 方 程 x2 2x+c=0的 根 包 含 的 基 本 事 件 为 ：(1， 1， 2)， (1， 2， 5)， a+bi(i为 虚 数 单 位 )是 方 程 x2 2x+c=0的 根 的 概 率 是 2 1216 108p .答 案 ： 1108 .8.设 常 数 a 0， 9( )ax x 展 开 式 中 x 6的 系 数 为 4， 则 2limn na a a =_.解 析
6、 ： 常 数 a 0， 9( )ax x 展 开 式 中 x6的 系 数 为 4， 18 39 2 21 9 9r rr r r r rrT C x a x a C x ，当 18 3 62 r 时 ， r=2， 2 29 4a C ， 解 得 13a ， 2 2 1 1(1 )1 1 1 1 13 3 (1 )13 3 3 2 31 3 nn n na a a ， 2 1 1 1lim lim (1 )2 3 2n nn na a a .答 案 ： 12 .9.已 知 直 线 l 经 过 点 ( 5,0) 且 方 向 向 量 为 (2， 1)， 则 原 点 O 到 直 线 l 的 距 离 为
7、 _.解 析 ： 直 线 的 方 向 向 量 为 (2， 1)， 所 以 直 线 的 斜 率 为 ： 12 ， 直 线 方 程 为 ： x+2y+ 5 =0，由 点 到 直 线 的 距 离 可 知 ： 2 25 11 2 ；答 案 ： 1.10.若 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 为 x+2y=0， 且 双 曲 线 与 抛 物 线 y=x 2的 准 线 仅 有 一 个 公 共 点 ， 则 此双 曲 线 的 标 准 方 程 为 _.解 析 ： 抛 物 线 y=x2的 准 线 ： 14y ，双 曲 线 与 抛 物 线 y=x2的 准 线 仅 有 一 个 公 共 点 ， 可 得 双 曲 线 实
8、半 轴 长 为 14a ， 焦 点 在 y 轴 上 .双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 为 x+2y=0， 12ab ， 可 得 12b ，则 此 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 ： 2 2 11 116 4y x .答 案 ： 2 2 11 116 4y x .11.平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 给 出 点 A(1， 0)， B(4， 0)， 若 直 线 x+my 1=0存 在 点 P， 使 得 |PA|=2|PB|，则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 _.解 析 ： 设 P(1 my， y)， |PA|=2|PB|， |PA| 2=4|PB|2， (1 my 1)2+y2=
9、4(1 my 4)2+y2，化 简 得 (m2+1)y2+8my+12=0则 =64m2 48m2 48 0，解 得 m 3 或 m 3 ，即 实 数 m 的 取 值 范 围 是 m 3 或 m 3 .答 案 ： m 3 或 m 3 .12.函 数 y=f(x)是 最 小 正 周 期 为 4的 偶 函 数 ， 且 在 x 2， 0时 ， f(x)=2x+1， 若 存 在 x 1，x2， xn满 足 0 x1 x2 xn， 且 |f(x1) f(x2)|+|f(x2) f(x1)|+ +|f(xn 1f(xn)|=2016， 则 n+xn的 最 小 值 为 _.解 析 ： 函 数 y=f(x)是
10、 最 小 正 周 期 为 4的 偶 函 数 ， 且 在 x 2， 0时 ， f(x)=2x+1， 函 数 的 值 域 为 3， 1， 对 任 意 xi， xj(i， j=1， 2， 3， ， m)， 都 有 |f(xi) f(xj)| f(x)max f(x)min=4，要 使 n+xn取 得 最 小 值 ， 尽 可 能 多 让 xi(i=1， 2， 3， ， m)取 得 最 高 点 ， 且 f(0)=1， f(2)= 3， 0 x 1 x2 xm， |f(x1) f(x2)|+|f(x2) f(x3)|+ +|f(x n 1) f(xn)|=2016， n 的 最 小 值 为 2016 1
11、5054 ， 相 应 的 xn最 小 值 为 1008， 则 n+xn的 最 小 值 为 1513.答 案 ： 1513.二 、 选 择 题 (本 大 题 共 4 题 ， 满 分 20分 )13.若 a 与 b c 都 是 非 零 向 量 ， 则 “ a b a c ” 是 “ ( )a b c ” 的 ( )A.充 分 但 非 必 要 条 件B.必 要 但 非 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 非 充 分 也 非 必 要 条 件解 析 ： “ a b a c ” “ 0a b a c ” “ ( ) 0a b c ” “ ( )a b c ” ，故 “ a b a c ” 是 “ (
12、)a b c ” 的 充 要 条 件 . 答 案 ： C 14.行 列 式 1 4 72 5 83 6 9 中 ， 元 素 7 的 代 数 余 子 式 的 值 为 ( )A. 15B. 3C.3D.12解 析 ： 行 列 式 1 4 72 5 83 6 9 ， 元 素 7 的 代 数 余 子 式 为 ：D 13=( 1)4 2 53 6 =2 6 5 3= 3.答 案 ： B.15.一 个 公 司 有 8 名 员 工 ， 其 中 6 名 员 工 的 月 工 资 分 别 为 5200， 5300， 5500， 6100， 6500，6600， 另 两 名 员 工 数 据 不 清 楚 ， 那 么
13、8位 员 工 月 工 资 的 中 位 数 不 可 能 是 ( )A.5800B.6000C.6200D.6400解 析 ： 一 个 公 司 有 8 名 员 工 ， 其 中 6名 员 工 的 月 工 资 分 别 为 5200， 5300， 5500， 6100，6500， 6600， 当 另 外 两 名 员 工 的 工 资 都 小 于 5300 时 ， 中 位 数 为 5300 5500 54002 ， 当 另 外 两 名 员 工 的 工 资 都 大 于 6500时 ， 中 位 数 为 6100 6500 63002 ， 8 位 员 工 月 工 资 的 中 位 数 的 取 值 区 间 为 540
14、0， 6300， 8 位 员 工 月 工 资 的 中 位 数 不 可 能 是 6400.答 案 ： D.16.若 直 线 1x ya b 通 过 点 P(cos， sin)， 则 下 列 不 等 式 正 确 的 是 ( )A.a 2+b2 1B.a2+b2 1C. 2 21 1 1a b D. 2 21 1 1a b 解 析 ： 直 线 1x ya b 通 过 点 P(cos， sin)， bcos+asin=ab， 2 2 sin( )a b ab ， 其 中 tan ba ， 2 2a b ab ， a2+b2 a2b2， 2 21 1 1a b ，答 案 ： D三 、 解 答 题 (满
15、分 76 分 )共 5 题17.某 柱 体 实 心 铜 制 零 件 的 截 面 边 长 是 长 度 为 55毫 米 线 段 AB 和 88毫 米 的 线 段 AC以 及 圆 心为 P， 半 径 为 PB的 一 段 圆 弧 BC构 成 ， 其 中 BAC=60 .(1)求 半 径 PB 的 长 度 ；(2)现 知 该 零 件 的 厚 度 为 3 毫 米 ， 试 求 该 零 件 的 重 量 (每 1 个 立 方 厘 米 铜 重 8.9克 ， 按 四 舍 五入 精 确 到 0.1克 ).V 柱 =S 底 h.解 析 ： (1)在 ABP中 ， 由 余 弦 定 理 建 立 方 程 ， 即 可 求 半
16、径 PB的 长 度 ；(2)求 出 V 柱 =S 底 h， 即 可 求 该 零 件 的 重 量 .答 案 ： (1) AB=55， AC=88， BP=R， BAC=60 .AP=88 R， 在 ABP中 ， 由 余 弦 定 理 可 得 ： BP2=AB2+AP2 2AB AP cos BAC， 可 得 ： R2=552+(88 R)2 2 55 (88 R) cos60 ， 解 得 ： R=49mm.(2)在 ABP中 ， AP=88 49=39mm， AB=55， BP=49，2 2 239 49 55 897cos 0.23472 39 49 3822BPA ， sin BPA 0.97
17、2. BPA=arcsin0.972.V 柱 =S 底 h=(S ABP+S 扇 形 BPC) h= 21 3 (arcsin 0.972) 49( 55 39 ) 32 2 360 该 零 件 的 重 量 = 21 3 (arcsin 0.972) 49( 55 39 ) 32 2 360 1000 8.9 82.7.18.如 图 所 示 ， l1， l2是 互 相 垂 直 的 异 面 直 线 ， MN是 它 们 的 公 垂 线 段 ， 点 A， B 在 直 线 l1上 ，且 位 于 M 点 的 两 侧 ， C 在 l2上 ， AM=BM=NM=CN(1)求 证 ： 异 面 直 线 AC 与
18、 BN 垂 直 ；(2)若 四 面 体 ABCN的 体 积 V ABCN=9， 求 异 面 直 线 l1， l2之 间 的 距 离 .解 析 ： (1)欲 证 AC NB， 可 先 证 BN 面 ACN， 根 据 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 只 需 证 AN BN， CN BN 即 可 ；(2)判 断 异 面 直 线 的 距 离 ， 利 用 体 积 公 式 求 解 即 可 .答 案 ： (1)证 明 ： 由 已 知 l 2 MN， l2 l1， MN l1=M， 可 得 l2 平 面 ABN. 由 已 知 MN l1， AM=MB=MN，可 知 AN=NB且 AN NB.又 AN 为
19、AC在 平 面 ABN内 的 射 影 . AC NB(2) AM=BM=NM=CN， MN 是 它 们 的 公 垂 线 段 ，就 是 异 面 直 线 l1， l2之 间 的 距 离 ，由 中 垂 线 的 性 质 可 得 AN=BN， 四 面 体 ABCN的 体 积 VABCN=9，可 得 ： 31 1 19 3 2 3ABCNV AB MN CN MN ， MN=3.异 面 直 线 l 1， l2之 间 的 距 离 为 3.19.如 图 所 示 ， 椭 圆 C： 224 1x y ， 左 右 焦 点 分 别 记 作 F 1， F2， 过 F1， F2分 别 作 直 线 l1，l2交 椭 圆 A
20、B， CD， 且 l1 l2.(1)当 直 线 l1的 斜 率 k1与 直 线 BC 的 斜 率 k2都 存 在 时 ， 求 证 ： k1 k2为 定 值 ；(2)求 四 边 形 ABCD面 积 的 最 大 值 .解 析 ： (1)由 椭 圆 方 程 求 出 焦 点 坐 标 ， 得 到 直 线 AB、 CD 的 方 程 ， 与 椭 圆 方 程 联 立 求 得 A、 D的 坐 标 ， 求 出 AD所 在 直 线 斜 率 得 答 案 ；(2)由 (1)结 合 弦 长 公 式 求 得 |AB|， 再 由 两 平 行 线 间 的 距 离 公 式 求 出 边 AB、 CD的 距 离 ， 代 入 平 行
21、四 边 形 面 积 公 式 ， 利 用 换 元 法 求 得 最 值 .答 案 ： (1)证 明 ： 由 椭 圆 C： 224 1x y ， 得 a2=4， b2=1， 2 2 3c a b .设 k1=k， 则 AB 所 在 直 线 方 程 为 y=kx+ 3 k， CD所 在 直 线 方 程 为 y=kx 3 k，联 立 2 24 31y kx kyx ， 得 (1+4k2)x2+8 3 k2x+12k2 4=0.解 得 2 224 3 2 11 4k kx k ， 不 妨 取 2 224 3 2 11 4B k kx k ， 则 223 2 11 4B k k ky k 同 理 求 得 2
22、 224 3 2 11 4C k kx k ， 223 2 11 4C k k ky k . 则 2 22 22 2 2 23 2 1 3 2 1 2 3 148 34 3 2 1 4 3 2 1 k k k k k k kk kkk k k k ， 则1 2 1 1 ( )4 4k k k k ；(2)解 ： 由 (1)知 ， 228 31 4A B kx x k ， 2 212 41 4A B kx x k 2 22 222 2 2 2 24 18 3 48 161 4 1 1 4 1 4 1 4A B A B kk kAB k x x x x k k k k .AB、 CD的 距 离 2
23、2 31 kd k ， 2 4 2 22 2 24 1 2 3 8 31 4 1 1 4四 边 形 ABCD k k k kS k k k . 令 1+4k2=t(t 1)，则 23 1 1 1 18 3 16 8 16S t t ， 当 t=3时 ， Smax=4.20.数 列 an， 定 义 an为 数 列 an的 一 阶 差 分 数 列 ， 其 中 an=an+1 an(n N*)(1)若 an=n2 n， 试 判 断 an是 否 是 等 差 数 列 ， 并 说 明 理 由 ；(2)若 a 1=1， an an=2n， 求 数 列 an的 通 项 公 式 ；(3)对 (b)中 的 数 列
24、 an， 是 否 存 在 等 差 数 列 bn， 使 得 1 21 2 nn n n n nbC b C b C a ， 对 一切 n N*都 成 立 ， 若 存 在 ， 求 出 数 列 bn的 通 项 公 式 ， 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)根 据 数 列 an的 通 项 公 式 an=n2 n， 结 合 新 定 义 ， 可 判 定 an是 首 项 为 4， 公 差为 2 的 等 差 数 列 ；(2)由 an an=2n入 手 能 够 求 出 数 列 an的 通 项 公 式 ；(3)结 合 组 合 数 的 性 质 ： 1Cn1+2Cn2+3Cn3+ +nCnn
25、=n(Cn 10+Cn 11+Cn 12+ +Cn 1n 1)=n 2n 1进 行 求解 .答 案 ： (1)若 a n=n2 n， 试 判 断 an是 等 差 数 列 ， 理 由 如 下 ： an=n2 n， an=an+1 an=(n+1)2 (n+1) (n2 n)=2n， an+1 an=2， 且 a1=4， an是 首 项 为 4， 公 差 为 2 的 等 差 数 列 ；(2) an an=2n. an=an+1 an， an+1 2an=2n， 11 12 2 2n nn na a ， 数 列 2nna 构 成 以 12 为 首 项 ， 12 为 公 差 的 等 差 数 列 ，即
26、122 2 nn nna n a n ； (3)b1Cn1+b2Cn2+ +bnCnn=an， 即 b1Cn1+b2Cn2+ +bnCnn=n 2n 1， 1Cn1+2Cn2+3Cn3+ +nCnn=n(Cn 10+Cn 11+Cn 12+ +Cn 1n 1)=n 2n 1， 存 在 等 差 数 列 bn， bn=n， 使 得 b1Cn1+b2Cn2+ +bnCnn=an对 一 切 自 然 n N都 成 立 . 21.对 于 函 数 f(x)(x D)， 若 存 在 正 常 数 T， 使 得 对 任 意 的 x D， 都 有 f(x+T) f(x)成 立 ，我 们 称 函 数 f(x)为 “
27、T 同 比 不 减 函 数 ” .(1)求 证 ： 对 任 意 正 常 数 T， f(x)=x2都 不 是 “ T同 比 不 减 函 数 ” ；(2)若 函 数 f(x)=kx+sinx是 “ 2 同 比 不 减 函 数 ” ， 求 k 的 取 值 范 围 ；(3)是 否 存 在 正 常 数 T， 使 得 函 数 f(x)=x+|x 1| |x+1|为 “ T同 比 不 减 函 数 ” ； 若 存 在 ，求 T 的 取 值 范 围 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)根 据 T 同 比 不 减 函 数 的 定 义 即 可 证 明 ，(2)根 据 T 同 比 不 减
28、函 数 的 定 义 ， 分 离 参 数 得 到 2 2 sin( )4k x ， 根 据 三 角 形 函 数 的 性质 即 可 求 出 k 的 范 围 ，(3)画 出 函 数 f(x)的 图 象 ， 根 据 图 象 的 平 移 即 可 求 出 T 的 范 围 .答 案 ： (1) f(x)=x 2， f(x+T) f(x)=(x+T)2 x2=2xT+T2=T(2x+T)，由 于 2x+T 与 0 的 小 无 法 比 较 ， f(x+T) f(x)不 一 定 成 立 ， 对 任 意 正 常 数 T， f(x)=x2都 不 是 “ T同 比 不 减 函 数 ，(2) 函 数 f(x)=kx+sinx是 “ 2 同 比 不 减 函 数 ， sin sin2 2 2（ ） （ ） （ ） （ ）f x f x k x x kx x =cos sin 2 sin 02 2 4（ ）k kx x x 恒 成 立 ， 2 2 sin 4（ ）k x ， 1 sin(x 4 ) 1， 2 2k ，(3)f(x)=x+|x 1| |x+1|图 象 如 图 所 示 ， 由 图 象 可 知 ， 只 要 把 图 象 向 左 至 少 平 移 4 个 单 位 ，即 对 任 意 的 x D， 都 有 f(x+T) f(x)成 立 ， T 4.
